미분계수2 1･도함수의 계산2 2･

고계 도함수2 3･속도 가속도2 4 ,･

평균값의 정리2 5･부정형의 극한값2 6･

함수의 극값2 7･함수의 위로 볼록과 아래로 볼록2 8･

곡선의 추적2 9･미분과 근사값2 10･

곡률 근2 11 ,･극좌표2 12･

뉴턴 (I&sc Newton, 1642 1727)～

뉴턴은 라이프니츠가 태초부터 뉴턴이 살았던 시대까지의 수학을 놓고 볼 때 그" ,

가 이룩한 업적이 반 이상이다 라고 말한 것과 같은 그의 위대성에 관한 많은 증명"

서들을 발견할 수 있다 또한 라그랑주는 뉴턴은 최상의 행운아이다 왜냐하면 단. " .

지 한 번만 우주의 체계를 세울 수 있기 때문이다 라고 언급했다 이러한 찬사에" .

비하여 자기 업적에 대한 자신의 평가는 다음과 같이 겸손하다 나는 내가 세상에. "

어떻게 비쳐질지 모른다 하지만 내 자신에게 나는 진리의 거대한 바다가 아무것도.

발견되지 않은 체 내 앞에 놓여 있는 바닷가에서 놀며 때때로 보통보다 매끈한 조,

약돌이나 더 예쁜 조개를 찾고 있는 어린애에 지나지 않았던 것 같다 그는 언젠."

가 선배들에게 그가 다른 사람들보다 더 멀리 보았다면 그것은 단지 거인들의 어깨

위에 서 있었기 때문이라고 겸손하게 말하였다.

미분계수

함수 가 를 포함하는 어떤 구간에서 정의되어 있다고 하자 이때 극한값.

(2 1)･가 존재하면 는 에서 미분가능 이라고 하며 이 극한값을(differentiable) , 의

에 있어서의 미분계수 라 부르고(differential coefficient) ʹ 로 나타낸다.

가 에서 미분가능일 때

ʹ 곧, ʹ라 놓으면 ʹ 는 와 관계없고 이 된다 역으로.

(2 2)･단( , 는 와 관계없는 상수이고 )

이면 는 에서 미분가능이고 ʹ 이다 따라서 식 가 성립하는 것은. (2 2)･는 에서 미분가능이기 위한 필요충분조건이다.

는 에서 미분가능이면 에서 연속이다.

42

식 로부터(2 2)･ 이기 때문이다.

이 정리의 역은 성립하지 않는다 즉. 가 에서 연속이라도 반드시 미분가능인 것

은 아니다 예를 들어 다음 그림을 참조하여라. .

그림 에서(2 1)･ 에서의 접선이 수직선이면 점 에서 미분계수가 존재하지 않는다 이것은.

그림 2 1･

가 이면 무한히 커지기 때문이다.

또한 에서의 두 가지 극한값

ʹ ʹ(2 3)･

를 구별할 때가 있다 이 경우. ʹ ʹ 를 각각 에 있어서의 우측미분계수, 좌측미

분계수라 한다. ʹ ʹ 가 모두 존재하고 이 두 값이 일치할 때 는 에

서 미분가능이고 ʹ ʹ ʹ 가 성립한다.

일 때 ʹ 및 ʹ 를 구하여라 또 이 함수는. 에서 연속이지만

미분가능이 아님을 보여라.

이제 미분계수의 의미를 기하학적으로 살펴보자.

43

그림 2 2･

곡선 위의 점2 를 잡으면

는 직선 의 기울기를 나타낸다. 를 변화시키면 의 위치가 바뀌고 의 기울기도 달

라지지만 일 때 즉, 를 곡선에 따라서 에 가까이 접근시킬 때 직선 는 기울기

가 ʹ 인 직선 를 곡선 의 점 에 있어서의 접선이라 한다. 가

에서 미분가능인 것은 곡선 상의 점 에서 이 곡선에 접선을 그을 수 있

음을 의미한다 이때. 에 있어서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

ʹ (2 4)･

곡선 위의 점 에 있어서 이 곡선의 접선에 수직인 직선을 에

있어서의 법선이라 한다. 에 있어서의 법선의 방정식을 구하여라.

가 어떤 구간의 각 점 에서 미분가능일 때 는 이 구간에서 미분가능이라고

한다 폐구간( 에서 생각하는 경우 끝점 에서는 각각 ʹ , ʹ 만을 생각

하는 것으로 한다 이 경우 각 점). 에 그 점에서의 미분계수를 대응시킴으로써 정해지는 함

수를 의 도함수 라 하고 다음 기호들로 나타낸다(derivative) .

44

ʹ ʹ

함수 의 도함수를 구하는 것을 를 미분한다 고 한다 식 에(differentiate) . (2 1)･의하면

ʹ (2 5)･이다.

도함수의 계산

이 절에서는 도함수의 계산법을 다루기로 한다 다음에 열거하는 개의 정리는 이미 알고 있. 4

을 것이다.

및 가 미분가능일 때

(1) ʹ ʹ ʹ(2) ʹ ʹ( 상수)：

(3) ʹ ʹ ʹ(4) ʹ ʹ ʹ

정리 을 증명하여라1 .

합성함수의 도함수

가 각각 의 함수로서 미분가능이면 합성함수 는 의

함수로서 미분가능이고

(2 6)･

45

의 값을 하나 정하고 라 하면

ʹ

한편 앞절의 식 에 의하면(2 2)･ʹ

절 정리 에 의하여2 1 1･ 는 연속이므로 일 때, 따라서. 이므로

ʹ ʹ ʹ

즉

역함수의 도함수

가 의 근방에서 좁은 뜻의 단조함수라고 하자. 가 에서 미

분가능이고 ʹ 이면 의 역함수 는 에서 미분가능이고

다음 정리가 성립한다.

ʹ ʹ (2 7)･

라 놓으면 이고, 이므로

,

이고 일 때 이므로

ʹ

ʹ

46

매개변수함수의 도함수

를 미분가능이라 하자 이 때. 가 의 근방에서 좁은 뜻의

단조함수이고 ʹ 이면, 의 근방에서 의 함수 가 정해지고 이 점에서 다음

식이 성립한다.

ʹʹ (2 8)･

이 경우 의 근방에서 의 역함수 가 존재하여 식 이 성립한(2 7)･다 그러므로 식 에 의하여. (2 6)･

초등함수의 도함수는 다음과 같다.

초등함수의 도함수

(1) ʹ ( 는 실수) (2) ʹ(3) ʹ (4) ʹ(5) ʹ (6) ʹ(7) ʹ (8) ʹ

(9) ʹ (10) ʹ

(11) ʹ (12) ʹ

(13) ʹ (14) ʹ(15) ʹ (16) ʹ(17) ʹ (18) ʹ

(19) ʹ (20) ʹ

이 가운데 몇 개만 증명하여 보자.

47

(2) ʹ

여기서 이므로 ʹ

(5) ʹ ʹ

(8) 이고 이 범위에서는 이므로

이다 따라서. 이므로 식 에 의하여(2 7)･

절의 식 의 를 이용하면(11) 1 5 (1 15) (2)･ ･ʹ

(12) 인 경우는 이고

일 때는 라 놓으면 이고 이므로

(16) ʹ ʹ방법(18) ( 1) 이고 이다 따라서.

이므로 식 에 의하여(2 7)･

방법 절의 항등식 를 이용하면( 2) 1 5 (1-19)･ʹ ʹ

48

위의 공식 중에서 증명되지 않은 나머지 공식을 모두 증명하여라.

다음 각 식을 증명하여라.

(a) ʹ (b) ʹ

(c) ʹ (d) ʹ

(e) ʹ (f) ʹ(g) ʹ (h) ʹ

(i) ʹ

의 양변의 절대값의 대수를 취하면 가 된다 이 식의 양변을 미분.

하여 위 공식 을 증명하여라(1) .

( 는 의 함수 이면 다음 식이 성립함을 보여라) .

ʹ ʹ ʹ ʹ

다음에서 를 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

(i) (j)

(k) (l)

고계 도함수

의 도함수 ʹ ʹ 가 다시 미분가능이면 그 도함수 ʹ ʹ을 생각할 수 있다.

이것을 의 제2계도함수 라 하고(second order derivative) , ʺ, ʺ

49

등으로 나타낸다 이 제. 2계도함수가 또다시 미분가능이면 제3계도함수(third order derivative)

를 생각할 수 있게 된다 이와 같이. 를 계속하여 번 미분하면 제 계도함수( th

가 정의된다 제order derivative) . 계도함수는 다음 기호로 나타낸다.

가 존재하는 경우 는 번 미분가능이라고 한다.

다음 함수의 제 계도함수를 구하여라.

(a) (b) (c)

(a) ʹ ʺ

그대로 계속 미분하기는 어려우므로 부분분수 분해하여(b)

과 같이 변형하여 생각하는 것이 좋다.

이라 놓으면

ʹ ʺ

이라 놓으면

ʹ ʺ

따라서

(c) ʹ ʺ ʺʹ와 같이 되므로 의 개가 반복하여4

나타난다 이것을 하나의 식으로 나타내기 위해서는 다음과 같이 하면 된다. .

50

ʹ ʹ이렇게 계속하면

다음 함수의 제 계도함수를 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

이제 두 함수의 곱의 고계 도함수를 생각하자. ʹ ʹ ʹ의 양변을 계속 미분해 가면

ʺ ʺ ʹ ʹ ʺʺʹ ʺʹ ʺ ʹ ʹ ʺ ʺʹ

ʺʹ ʹ ʺ ʺ ʹ ʺʹ이들 식의 우변을 보면 계수의 배열이 등의 전개식에 있어서의

계수의 배열과 같이 되어 있다 실제로 수학적 귀납법에 의하면 다음 정리를 증명할 수 있다. .

의 정리Leibniz

의 함수 가 번 미분가능이면

ʹ여기서

대신에 라는 기호를 쓸 때도 있다.

다음 등식을 증명하여라.

(a) (b)

51

정리 을 수학적 귀납법에 의하여 증명하여라1 .

다음 함수의 제 계도함수를 구하여라.

(a) (b)

일 때

가 성립함을 보이고 이것을 이용하여 을 구하여라.

이면 ʺ ʹ 임을 보여라.

속도 가속도,

이 절에서는 미분계수의 응용으로서 속도 가속도에 관하여 알아보기로 한다, .

직선운동

점 가 하나의 수직선 위를 움직일 때 시각 에 있어서의 의 좌표를 라고 하면 는

의 함수이므로

(2 9)･와 같이 나타낼 수 있다 이때 시각. 와 사이에 있어서의 의 이동 거리는

이므로

(2 10)･는 이 사이에 있어서의 의 평균속도이고, 가 미분가능이면

ʹ (2 11)･는 시각 에 있어서의 의 위치의 순간변화율이다 이것을 시각. 에 있어서의 의 속도라

한다.

속도 ʹ 는 또한 의 함수이다 이 함수가 다시 미분가능일 때.

52

ʺ (2 12)･를 시각 에 있어서의 의 가속도라 한다.

예를 들면 수직선상을 운동하는 점 의 시각 에 있어서의 좌표가

( 상수)： (2 13)･로 주어질 때 이 점 의 운동을 단진동이라 한다 이 운동의 속도. 가속도, 는 각각

로 된다 이로부터 단진동을 하는 점. 의 가속도는 원점 로부터의 거리에 비례하고 그 방향

은 항상 원점을 향하고 있음을 알 수 있다.

단진동 은 원점(2 13)･ 의 좌우를 왕복하는 운동이다 이 운동의 방향이 바뀌는 시각을.

구하여라 또 이 운동은 어떤 일정한 시간. 의 간격을 두고 같은 상태가 되풀이 된다 이.

시간 를 구하여라 이 시간. 를 주기라 한다.

시각 에 있어서의 점 의 위치 가 로 정해지는 직선운동

감쇠진동이라 한다 에 대하여 그 속도 및 가속도를 구하여라 또( ) . 와 와의 관계를 그

래프로 나타내어라.

직선운동을 하는 점 의 시각 에서의 좌표를 속도를, 라 하자.

(a) 일 때 가속도는 일정함을 보여라.

(b) 일 때 가속도는 에 반비례함을 보여라.

평면 위에서의 운동

점 가 평면 위를 운동할 때 시각 에 있어서의 의 좌표를 라고 하면 는 각각

의 함수

(2 14)･로 나타낼 수 있다. 의 변화에 따라서 식 로 정해지는 점(2 14)･ 는 평면상에서 하나

의 곡선을 그린다.

는 미분가능이라 하자 시각. 에 있어서의 ʹ ʹ 의 값은 각각 이 시

53

각에 있어서의 의 횡좌표 종좌표 의 순간변화율인데 이것을 각각(abscissa), (ordinate)

의 축 방향 및 축 방향의 속도성분 또는 분속도라 한다 또. ʹ 및 ʹ 를 성분으로

하는 벡터

그림 2 3･

ʹ ʹ (2 15)･를 시각 에 있어서의 의 속도벡터라 하며 의 크기

(2 16)･를 이 시각에 있어서의 의 속력이라 한다.

이고 우변은 가 그리는 곡선의 시각 에 대응하는 점에서의 접선의 기울기를 나타내고 있으

므로 벡터 의 방향은 이 접선의 방향과 같다.

식 로 주어지는 운동에 있어서 시각(2 14)･ 에 있어서의 ʺ ʺ 를 성분으로 하는

벡터

ʺ ʺ (2 17)･을 시각 에 있어서의 의 가속도벡터라 한다 그 크기는.

이다.

54

점 가 평면상을 운동할 때 이 평면상에 정점 와 정반직선 를 정하고 반직선 가

에 대하여 이루는 각을 라고 하면 는 시각 의 함수가 된다 이 때. 의 시각 에 있

어서의 순간변화율 를 점 또는 반직선( 의 시각) 에 있어서의 각속도라 한

다 또 각속도의 순간변화율. 을 시각 에 있어서의 각가속도라 한다.

점 가 반지름 인 원주상을 일정한 각속도 로 원운동하고 있을 때 그 속도벡터 및 가

속도벡터의 크기와 방향을 구하여라.

시각 에 있어서의 점 의 위치가 로 주어질 때 가 그

리는 곡선 을 도시하고(cycloid) 의 속도벡터 가속도벡터의 크기와 방향을 구하여라, .

점 가 식 로 정해지는 곡선에 운동할 때(2 14)･ 의 축의 양의 방향에 대

한 회전각을 라 하자( 는 원점 이때 다음 식이 성립함을 증명하여라). .

점 가 어떤 곡선에 일정한 속력으로 움직일 때 그 속도벡터와 가속도벡터는 수직임을

밝혀라.

그림 2 4･그림 에서 점2 4･ 는 정점 를 중심으로 하고 반지름이 인 원주에 일정한 각속도

로 움직인다 또 점. 는 정직선 위의 동점이며 항상 ( 는 상수, 라 하)

자. 의 속도를 구하여라.

55

1. 다음 함수를 미분하여라.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

(i) (j)

(k) (l)

(m) (n)

(o) (p)

2. 다음에서 를 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

(e)

3. 다음에서 및 를 구하여라.

(a) (b)

(c)

4. 다음에서 를 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

(e)

5. 다음의 제 계 도함수를 구하여라.

56

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

6. 일 때 다음을 증명하여라.

ʺʹʹ

ʺʹ

7. 일 때 다음을 증명하여라.

ʺ단, 는 상수이다.

8. 일 때 ʺ 임을 보여라.

9. 일 때, 임을 증명하여라.

10. 이고, 일 때 다음 식을 증명하여라, .

(a)ʹʹ (b)

ʹʹ ʹ ʹ

11. 다음 함수의 에서의 미분가능성을 조사하여라.

(a) (b)

(c) (d)

12. 곡선 위의 점 에서 축에 내린 수선을 점, 에서의 이 곡선의 접선과

법선이 축과 만나는 점을 이라고 하면 접선영, ʹ 법선영, ʹ 접선,

의 길이 ʹ ʹ 법선의 길이, ʹ 임을 증명하여라.

13. 곡선 위의 점 에서의 접선영과 법선의 길이를 구하여라(-2, 4) .

57

14. 두 곡선의 교각은 그 교점에서의 접선의 교각을 말한다 두 곡선. 의 교점

에서의 교각을 구하여라.

58

15. 구간 에서 두 미분 가능한 함수가 를 만족하면 ʹ ʹ 가 성립한

다고 할 수가 있는가 예를 들어 설명하여라? .

16. 한 동점 가 으로 포물선 위를 따라서 운동하고 있다 점. 가 점(2, 4)

를 지날 때 의 각속도와 각가속도를 구하여라.

17. 모든 실수 에 대하여 ʹ 을 만족하는 함수는 ʹ 임을

증명하시오.

평균값의 정리

평균값의 정리는 함수의 많은 성질들이 그것으로부터 쉽게 추론될 수 있기 때문에 미적분학

에서 대단히 중요한 위치를 차지하고 있다 평균값의 정리를 살펴보기 전에 우선 한 특별한 경.

우의 정리를 살펴보자 이것은 년에 프랑스 수학자 미셀 롤. 1690 (Michel Rolle, 1652∼

에 의하여 발견된 것이다1719) .

의 정리Rolle

가 에서 연속, 에서 미분가능이고 이면

ʹ인 가 적어도 하나 존재한다.

( )ⅰ 가 상수함수이면 위 정리는 명백히 성립한다.

( )ⅱ 가 상수함수가 아니면 또는 인 점 이 존재

한다. 라고 가정하자. 는 에서 연속이므로 절 정리 에 의1-4 5

하여 는 의 어떤 점 에서 최대값을 갖는다 특히.

이므로 이고 는 최대값이므로 의 부호에 관계없이

이다 따라서.

59

이면

이면

한편 는 에서 미분가능이므로

ʹ

ʹ위의 두 식에서

ʹ인 경우는 가 최소값을 갖는 점 에 대하여 같은 방법으로

보이면 된다.

의 정리의 기하학적 의미가 그림 에서 보여지고 있다 결국 이 정리의 주장은 주어Rolle 2 5 .･진 가정을 만족하는 곡선이 와 사이의 어떤 곳에서 수평접선을 가진다는 것이다.

그림 2 5･

이제 의 정리를 이용하여 평균값의 정리를 증명하여 보자Rolle .

평균값의 정리

가 에서 연속이고, 에서 미분가능이면

ʹ (2 18)･인 가 적어도 하나 존재한다.

60

다음과 같이 함수 를 정의하자.

그러면 가정에 의하여 는 에서 연속이고 에서 미분가능이다 또.

그러므로 의 정리를 적용하면Rolle ʹ 인 가 존재한다 한편.

ʹ ʹ이므로

ʹ ʹ즉 ʹ인 가 존재한다.

평균값의 정리의 기하학적 의미가 그림 에서 보여지고 있다 즉 곡선2 6 .･ 상의 두 점

사이의 호 상에 현 와 나란한 접선을 가지는 점

가 적어도 하나 존재한다는 것이다.

그림 2 6･

평균값의 정리에서 ‘( , 에서 미분가능 이라는 조건은 필수적인 것이다 예를 들어 함수) ’ .

는 실선의 모든 곳에서 연속이고 을 제외한 모든 곳에서 미분가능이다0 .

라고 하면 현 의 기울기는

이지만 어떤 곳에서의 미분계수도 이 아니다.

61

주어진 폐구간에서 정의된 아래 각각의 함수에 대하여 평균값의 정리를 만족하는 값 가

존재하면 그 값을 구하여라. 가 존재하지 않으면 평균값의 정리의 조건 중에서 무엇이

위배된 것인지 밝혀라.

(a)

(b)

(c)

(d)

평균값의 정리의 다음 확장이 사용하기에 편리할 때가 많다.

의 평균값의 정리Cauchy

와 가 에서 연속이고 에서 미분가능이면

ʹ ʹ인 가 적어도 하나 존재한다.

함수 를 생각하면 이 는 에서

연속이고 에서 미분가능이고 이므로 의Rolle

정리에 의하여 ʹ 인 가 적어도 하나 존재한다.

이 정리 라 놓은 경우가 정리 이다2 .

매개변수 에 의하여 로 주어지는 곡선에 대하여 정리 의 기하학적3

의미를 설명하여라.

평균값의 정리의 공식이 다음과 같이 표현될 수 있음을 보여라.

ʹ (2 19)･또 가 아래와 같이 주어질 때 를 로 나타내어라.

(a) (b)

평균값의 정리를 이용하여 다음 부등식을 유도하여라.

62

(a)

(b)

부정형의 극한값

함수 의 극한값을 구할 때 다음과 같은 형태의 부정형(indeterminant)

이 자주 나타난다 이제 이런 것을 취급하는 방법을 살펴보자 특히 부정형. . 이외의

다른 형태의 부정형은 적당한 변형에 의하여 이나 꼴로 바뀌어 질 수 있으므로 다음의

의 법칙L Hospitalʹ 은 매우 강력한 결과임을 알 수 있다.

의 법칙L Hospitalʹ두 함수 가 를 포함하는 한 개구간에서 미분가능이고 항상 , ʹ

이라 하자 만일.

(1) 이고ʹʹ 가 존재하면

ʹʹ

(2) 이고ʹʹ 가 존재하면

ʹʹ

이 정리는 에서 미분가능하지 않은 경우도 성립하며 또 극한값, 이 또는

일 때도 그리고, 대신 일 때도 성립한다.

(1)

로 놓고 다시 라 놓으면 절의 정리 에 의하여2 5 3･

63

ʹʹ

ʹʹ ,

(2 20)･인 가 존재한다 그런데.

ʹʹ

이라 하면

ʹʹ

이다 따라서 식 에 의하여. (2 20)･

(2)ʹʹ 이라 하면 임의의 에 대하여 인 이 존재하여

이면ʹʹ (2 21)･

이 성립한다 또.

ʹʹ (2 22)･

이므로 식 에 의하여(2 21)･ʹʹ (2 23)･

이다 식 를 다시 고쳐 쓰면. (2 22)･

・ ʹʹ

즉

ʹʹ ・ (2 24)･

그런데 이므로 주어진 에 대하여 가 존재하

여 이면

64

(2 25)･

이 성립되므로 에서(2 23), (2 24), (2 25)･ ･ ･

ʹʹ ・

ʹʹ

ʹʹ ・ ・

이다. 은 임의의 양수였으므로

이다.ʹʹ 도 같은 방법으로 증명된다.

65

의 값을 구하여라.

로 놓으면

그러므로

따라서

의 법칙의 적용이 항상 바라는 결과를 가져오지는 않는다L'Hospital .

의 값을 구하여라.

의 법칙을 적용하면L'Hospital ,

이 경우에는 의 법칙을 반복하여 사용해도 아무런 결과를 얻지 못한다 그러므로L` Hospital .ʹ다른 방법을 사용하여야 한다 원 식을 다른 형으로 쓰고 변수를 바꾸어 주면. ,

다음의 극한값을 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

다음의 극한값을 구하여라.

(a) (b)

66

(c) (d)

다음의 극한값을 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

다음의 극한값을 구하여라.

(a) (b)

(c)

함수의 극값

함수값의 변동상태를 알기 위해서는 그 도함수를 조사하는 것이 유용한 방법이다 이 절에서.

는 이에 관한 기본적인 정의를 설명한다.

가 점 를 포함하는 어떤 구간에서 정의되어 있다고 하자. 에 충분히 가까운

에 대하여

이면 , 이면

일 때, 는 에서 증가의 상태에 있다고 하며

이면 이면

일 때, 는 에서 감소의 상태에 있다고 한다.

또 에 충분히 가까운 에 대하여 항상

는 에서 극소

는 에서 극대

로 된다고 하며, 를 각각 극대값, 극소값이라 하고 이들을 통틀어 의 극값이라 한다.

또 에 충분히 가까운 에 대하여 항상 또는( 일 때) 는

에서 넓은 뜻의 극소 또는( 넓은 뜻의 극대 로 된다고 한다) .

67

가 에서 미분가능일 때

(1) ʹ 이면 는 에서 증가상태에 있다.

(2) ʹ 이면 는 에서 감소상태에 있다.

(3) 가 넓은 뜻의 극값이면 ʹ 이다.

(1) ʹ이므로 절 정리 에 의하여1 3 4･ 에 충분히 가까운 에 대해서는

가 성립한다.

따라서 이면 이면 이므로 는 에서 증

가상태에 있다.

위 와 같은 방법으로 증명된다(2) (1) .

(3) 가 넓은 뜻의 극값 일 때는 에 의하여(1), (2) ʹ 로 되지도 않고 ʹ로 되지도 않으며, 는 미분가능이므로 ʹ 이다.

위의 정리 의 은1 (3) 가 에서 미분가능이라는 조건아래서만 성립한다 일반적으.

로 ʹ 가 존재하지 않아도 에서 극값을 가질 수도 있다.

아래 그림 에서2 7･ 에서는 ʹ 가 존재하지 않지만 극값을 갖는다.

일반적으로 의 정의역 안의 에 대해서 ʹ 이거나 또는 ʹ 가 정의되지

않을 때( 를) 임계점 이라고 한다 따라서 극점은 하나의 임계점이 됨(critical point) .

을 알 수 있다 그러나 임계점이 꼭 극점이 될 필요는 없다 다음 정리를 살펴보자. . .

그림 2 7･

68

계도함수에 의한 극값판정법1

가 점 를 포함하는 어떤 개구간에서 연속이고, 이외의 점에서 미분 가능이고

점 ( 가) 의 임계점이라고 하자 이때.

(1) 에서 ʹ , 에서 ʹ 이면 는 극대값이다.

(2) 에서 ʹ , 에서 ʹ 이면 는 극소값이다.

(3) 의 좌우에서 ʹ 의 부호가 변하지 않으면 는 극값이 아니다.

(1) 에 충분히 가까운 곳에서 인 를 임으로 잡는다 그러면 평균값의.

정리에 의하여 , 인 가 존재하여

ʹ ʹ

따라서 일 때 이고 일 때 이다 그러므로.

는 극대값이다 와 의 증명도 마찬가지로 할 수 있다. (2) (3) .

곡선 의 극값을 구하여라.

을 미분하면

ʹ

따라서 과 에서 임계점을 갖는다 그러나 이 곡선은. 에서 정의되지 않으므

로 이에 대응하는 임계점은 없다 이제. 인 경우만을 살펴보자.

따라서 에서 극소값 를 갖는다12 .

일 때 ʹ 은 존재하지 않으나 는 극소값임을 말하여라.

ʹ 가 존재할 때 의 좌우에서 ʹ 의 부호가 바뀌면 정리 의 에 의하여2 (1), (2)

는 극값이며 따라서 정리 의 에 의하여1 (3) ʹ 이 된다.

69

계도함수에 의한 극값판정법2

가 점 를 포함하는 어떤 개구간 에서 미분가능이고Ⅰ ʹ 가 존재한다고 하

자 이때.

(1) ʹ ʺ 이면 는 극소값이다.

(2) ʹ ʺ 이면 는 극대값이다.

(1) ʺ 이므로 정리 에 의하여1 ʹ 는 에서 증가의 상태에 있다 따라서. 에 충분

히 가까운 에 대하여 이면 ʹ ʹ 이면 ʹ ʹ 가

된다 따라서 정리 의 에 의하여. 2 (2) 는 극소값이다.

과 같은 방법으로 증명된다(2) (1) .

ʺ 이 되는 경우는 이 정리에서는 결론이 얻어지지 않지만 이때는 다음 정리가 있다.

가 를 포함하는 어떤 구간에서 회까지 미분가능이고 특히 에서는 회까지

미분가능이며

ʹ ʺ이라 하자 이때.

(1) 이 홀수이면 는 극값이 아니다.

(2) 이 짝수이고 이면 는 극소값, 이면 는 극대

값이다.

(1) 인 경우를 증명하자. ʺʹ 이라고 가정하면 ʺ 는 에서 증가의 상태에 있

고 가정에서 ʺ 이므로 에 충분히 가까운 에서 ʺ , 에서

ʺ 이 된다 따라서. ʹ 는 에서 감소, 에서 증가하며 가정에서

ʹ 이므로 일 때 ʹ 이다 따라서. 는 를 포함하는 어떤 구간에

서 단조증가이므로 는 극값이 아니다. ʺʹ 인 경우도 마찬가지 방법으로 증명

할 수 있다.

(2) 인 경우는 표를 들어서 생각하면 가 극소값임을 알 수 있다 기타.

의 경우도 같은 방법으로 증명된다.

70

ʹ̋ʺ

ʹ

ʹ̋

ʺ

ʹ

인 경우 가 극대값임을 표를 만들어서 증명하여라.

의 극값을 구하고 그래프의 개형을 그려라.

의 정의역은 이고 이 구간에서 는 연속이며

이므로

ʹ

ʹ이고 에서는

ʹ ʹ

이므로 ʹ 은 존재하지 않는다.

71

이상을 종합하여 ʹ 의 부호와 의 증감의 상태를 조사하여 표를 만들면 아래와 같

고 곡선 와 개형은 그림 과 같다2 8 .･

ʹ

그림 2 8･

이 표에서 극소값은 극대값은, 임을 알 수가 있다.

다음 함수의 극값을 구하고 그 그래프의 개형을 그려라.

(a) (b)

타원 에 내접하는 최대직사각형의 면적을 구하여라.

그림 와 같이 직사각형을 타원에 내접시키고 제 상한에 있는 정점을2 9 1･ 라 하면

그 직사각형의 면적은 와 같다 점. 는 타원의 방정식을 만족하므로

72

그림 2 9･

따라서 를 얻는다. 이 극대일 때 도 극대가 된다는 사실을 이용하

면 즉,

따라서

그런데 는 양수가 되도록 택하였으므로 따라서,

따라서 최대면적은 이다.

합이 이 되는 두 수로서 그 각각의 제곱의 합이 최소가 되는 것을 구하여라10 .

의 철망을 가지고 그림 과 같이 울타리를 쳐서 똑같은 면적의 땅으로 나누려100m 2 10･한다 땅의 넓이가 최대가 되도록 하려면 어떻게 할 것인가. ?

그림 2 10･

73

함수의 위로 볼록과 아래로 볼록

가 어떤 구간에서 연속이라고 하자 이 구간 내의. 인 임의의 점에 대3 하여

(2 26)･가 성립한다면 는 이 구간에서 아래로 볼록하다 고 하며 식(convex downward) (2 26)･에서 를 로 바꾸어 쓸 수 있을 때＜≦ 는 좁은 뜻에서 아래로 볼록한 함수라 한다 부등호.

의 방향을 반대로 하면 위로 볼록한 함수가 정의된다 앞으로 아래로 볼록한(convex upward) .

함수를 주로 고찰할 것이나 위로 볼록한 함수에 대해서는 부등호의 방향만 바꾸면 된다, .

가 어떤 구간에서 아래로 볼록이면 식 에서 다음 부등식이 얻어진다 즉(2 26) .･

(2 27)･일반적으로 이면 가 성립한다.

의 그래프 위에 세 점 를 잡으면

부등식 은(2 27)･ 의 기울기 의 기울기 의 기울기를 나타낸다 그림 또( 2 11).･식 의 첫째부등식을 변형하면(2 27)･

(2 28)･

그림 2 11･

74

을 얻는데 이 식의 좌변은 의 좌표를 나타내고 우변은 선분 를 ：

의 비로 내분하는 점 의 좌표를 나타낸다 그러므로. 가 아래로 볼록하다는 것은 곡

선 는 호 가 현 의 위쪽에는 존재하지 않는다는 것을 의미하고 가 좁

은 뜻에서 아래로 볼록하다는 것은 곡선 의 호 가 항상 현 의 아래쪽에 있

음을 뜻한다.

가 어떤 구간에서 번 미분 가능하다고 하면2 가 이 구간에서 아래로 볼록일 필요

충분조건은 이 구간에서 항상 ʺ 가 성립하는 것이다 또 이 구간에서 항상. ʺ이면 는 이 구간에서 좁은 뜻의 아래로 볼록한 함수이다.

필요조건( ) 가 아래로 볼록하다면 식 에 의하여(2 27)･

일 때

가 성립한다 여기서. 를 고정하고 라 하면

ʹ ʹ

가 성립함을 볼 수 있다 따라서. ʹ 가 단조증가로 되기 때문에 ʺ 이다.

충분조건 항상( ) ʺ 라 하자 그러면. ʹ 는 이 구간에서 단조증가이다 그런데.

인 임의의 점을 잡으면 평균값의 정리에 의하여3

ʹ ʹ

인 가 존재하고 이므로 ʹ ʹ 이다 따라서 식 이 성립하므로. (2 26)･는 아래로 볼록하다.

항상 ʹ 인 경우도 위와 마찬가지로 생각하면 된다 이 때는. 이면 ʹʹ 이므로 는 좁은 뜻의 아래로 볼록한 함수이다.

75

가 어떤 구간에서 번 미분 가능하다고 하면2 가 이 구간에서 위로 볼록일 필요충

분조건은 이 구간에서 항상 ʺ 가 성립하는 것이다 또 이 구간에서 항상. ʺ이면 는 이 구간에서 좁은 뜻의 위로 볼록한 함수이다.

정리 의 증명과 유사하다1 .

가 를 경계로 하여 좁은 뜻의 아래로 볼록한 함수로부터 좁은 뜻의 위로 볼록한

함수로 변하든가 또는 그와 반대로 변할 때, 를 의 변곡점 이라(inflection point)

한다 변곡점 근방에서. 의 그래프는 가 를 지나는 순간에 에서의 접선의 한

쪽에서 다른 쪽으로 이동한다.

그림 에서 점2 12･ 가 바로 주어진 곡선의 변곡점이다.

그림 2 12･

이제 변곡점의 판정법에 관한 정리를 살펴보자.

가 를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능이고 이외의 점에서는 번 미분가능이라2

고 하자 이때.

(1) 의 좌우에서 ʺ 의 부호가 바뀌면 는 변곡점이다.

(2) ʺ 가 존재하고 ʺ 가 이 구간에서 연속일 때 가 변곡점이면 ʺ이다.

76

정리 과 그의 따름정리에서 곧 알 수 있다(1) 1 .

만일(2) ʺ 라 하면 ʺ 는 연속이므로 에 충분히 가까운 에 대하여 ʺ 는

ʺ 와 같은 부호를 갖게 되며 따라서, 는 좁은 뜻의 아래로 볼록인 함수 또는 위로

볼록인 함수가 되므로 점 는 변곡점이 아니다 이것은 가정에 모순된다. .

ʺ

곡선 의 위로 볼록 또는 아래로 볼록과 변곡점을 조사하여라.

,

ʺ

( )ⅰ 에서 ʺ 이므로 아래로 볼록하다.

( )ⅱ 에서 ʺ 이므로 위로 볼록하다.

( )ⅲ 의 좌우에서 ʺ의 부호가 바뀌므로 는 변곡점이다.

그림 2 13･

변곡점은 때로는 ʺ 를 정의할 수 없는 점에 존재하는 경우가 있다 예를 들면 곡선.

에서 ʹ , ʺ 이다. 이면 ʺ , 이면 ʺ 임을 알 수

있다 이것은. 이 변곡점임을 말하는 것이다 왜냐하면. , 가 을 지나 증가할 때 곡선은 위0

로 오목한데서 아래로 오목한 방향으로 변하기 때문이다 그림 참조( 2 14 ).･

77

그림 2 14･

다음 곡선의 위로 볼록 또는 아래로 볼록과 변곡점을 조사하여라.

(a) (b)

(c) (d)

가 에서 좁은 뜻의 위로 볼록한 함수임을 말하고 이를 이용하여

일 때 임을 증명하여라.

곡선의 추적

초보적인 과정에서 임의의 방정식 의 그래프는 방정식을 만족하는(a) 의

값을 구하고 점, (b) 를 그리고 그 점들을 매끄러운 곡선으로 연결하여 그렸다 이, (c) .

러한 과정은 해석기하학에서 배운 바와 같이 곡선에 관한 일반적인 성질을 몇 가지 결정하면

대단히 간편하게 취급할 수 있다 그러한 일반적인 성질 및 그 내용은 다음과 같다. .

범 위

곡선의 범위를 구한다는 것은 곡선 위에 점의 좌표로 허용되는 의 변역을 구하는 것을

의미한다.

곡선 는 와 의 구간에 놓여 있다 왜냐하면. 는 에

대하여 정의되지 않고, 은 일 때 음수가 되기 때문이다.

78

대칭성

함수 가 다음의 어느 한 항등식을 만족하면 곡선 은 주어진 점 또는 직

선에 관하여 대칭이다.

축；

축；

원점；

직선

방정식 에서 대신 를 대신 를 바꿔 주어도 방정식은 변하지 않는다 그.

러므로 이 그래프는 원점에 관하여 대칭이다 즉 곡선은 원점을 중심으로 회전하여도 불. 180°

변이다.

절 편

곡선 이 좌표축과 만나는 곳을 구하려면 다음과 같이 한다.

이면 은 절편이다.

이면 은 절편이다.

방정식 에서 이라 놓으면 과 으로부터 절편

와 을 얻는다. 는 일 때 정의되지 않으므로 절편은 없다.

수직 및 수평 점근선(vertical and horizontal asymptote)

곡선 위의 점의 좌표가 어떤 값 에 접근할 때 그 좌표가 무한히 증가 또는 감소하면 직

선 는 그 곡선의 수직점근선이다. 가 무한히 증가 또는 감소할 때 가 어떤 값 에

접근하면 직선 는 그 곡선의 수평점근선이다.

이므로 직선 는 곡선 의 수직점근선이다.

또 이므로 는 수평점근선이다.

79

곡선 의 그래프의 개형을 그려라.

위의 해석에 따라서 그려보자.

곡선은1. 의 구간마다 똑같이 되풀이되므로 에서 까지의 구간의 곡선을

결정하자 이 구간에서. 는 가 음일 때 정의되지 않는다 그러므로 곡선은 구간.

에 제한된다.

2. 를 로 바꾸어도 방정식은 변하지 않는다 그러므로 곡선은. 축에 관하여 대칭이다.

3. 일 때 이고, 일 때 이다 그러므로 곡선은 점 에서 좌표축. (0, 0)

과 만난다.

4. 가 에 접근할 때 는 무한히 감소한다 그러므로 직선. 와

는 수직점근선이다 주기함수에서는 수평점근선이 존재하지 않는다 점. .

을 하나 더 결정하면 그림 에 보인 곡선을 얻는다, 2 15 .･

그림 2 15･

곡선 의 그래프의 개형을 그려라.

구간1. 에서는 곡선의 점이 존재하지 않으므로 이 구간을 사선으로 표시하자.

2. 를 로 바꿔주면 곡선이 축에 관하여 대칭임을 안다.

좌표축과의 교점은 하나이다3. (0, 0) .

직선4. , 는 수직점근선임을 보아서 알 수 있다 또.

이므로 직선 은 수평점근선이다.

80

그림 2 16･

곡선을 명확하게 그리기 위하여 주어진 방정식에 , 을 대입하고 이것에,

대응하는 값 을 결정하자 이 점들을 그리고 위에서 검토한 성질을. ,

이용하면 그림 에 보이는 곡선을 얻는다, 2 16 .･

사점근선(oblique asymptotes)

곡선의 방정식을

(2 29)･형으로 쓸 수 있고, 가 조건

중의 하나 또는 전부를 만족한다면 직선, 는 식 의 점근선이다 여기서(2 29) .･는 상수이다 이것은 곡선과 직선 사이의 수직거리가. , 가 한없이 증가 또는 감소할 때 에, 0

접근한다는 사실로부터 나온다.

(a) 방정식 을 형으로 쓰면 이므로 직선

는 그 곡선의 점근선이다.

방정식(b) 을 형으로 쓰면 이므로 는 그 곡선

의 점근선이다.

81

곡선의 방정식을 의 형으로 쓸 수 없을 때에도 곡선은 사점근선을 가질 때가 있다 예를(2 29) .･들면 쌍곡선 은 사점근선 를 가진다.

임계점 변곡점 곡선의 위로 볼록과 아래로 볼록, ,

절에서 배운 내용을 이용하여 임계점 변곡점 곡선의2 9 , ,･ 위로 볼록과 아래로 볼록을 조사한다.

곡선 을 추적하여라.

위의 해석을 적용하면 다음 결과를 얻는다.

곡선은1. 이외의 모든 점에서 정의된다.

곡선은 에서 좌표축과 만난다2. (2, 0), (3, 0), (0, -6) .

직선3. 은 수직점근선이다.

4. 이고 이므로 직선 는 사점근선이다 특히.

일 때는

일 때는

이므로 일 때 곡선은 사점근선의 위쪽, 일 때는 아래쪽에 있다.

5.

이므로 는 극대점이고 는 극소점이다 또 곡선은. 일 때는

아래로 록록, 일 때는 위로 볼록이다.

82

이상의 해석으로부터 그림 에 보이는 바와 같은 곡선을 얻는다2 17 .･

그림 2 17･

다음 곡선을 추적하여라.

(a) (b) (c)

1. 평균값의 정리의 관계식 이나 를 이용하여 다음을 증명하여라(2 18) (2 19) .･ ･모든(a) 에 대하여 이다.

(b) 라 하면 에 대하여 이다.

(c) 라 하면 에 대하여 이다.

2. 다음의 극한값을 구하여라.

(a) (b)

83

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

(i) (j)

(k) (l)

3. 다음 함수의 극값을 구하고 곡선의 개형을 그려라.

(a) (b)

(c)

(d)

4. 를 모든 에 대하여 연속이고 이 아닌 모든, 0 에 대하여 미분가능이라고 하자 아래의 그.

림은 ʹ 의 그래프이다. 에 관한 다음 물음에 답하여라.

(a) 는 어디에서 증가 혹은 감소하는가?

임계점은 어디에서 일어나는가(b) ?

극대 극소는 어디에서 일어나는가(c) , ?

아래로 볼록 위로 볼록인 곳은 어디에서 일어나는가(d) , ?

변곡점은 어디에서 일어나는가(e) ?

(f) 이고 에서 연속일 때 주어진 조건을 만족하는 함수 의 개형을 그려라.

5. 곡선 가 원점에서 임계점 또 점 에서 변곡점을 갖도록, (2, 4)

84

를 정하여라.

6. 점 와 점(0, 0) ( 를 연결하는 선분의 대응각을 최대로 하는, 0) 상의 점을 구하여라.

7. 반지름 인 구에 내접하는 직원추 중에서 부피가 최대인 것을 구하여라.

8. 주어진 타원상의 한 점에서 접선을 긋고 이것과 두 좌표축으로 만들어지는 삼각형의 면적이 최소인,

것을 구하여라.

9. 선분 에 한 점上 를 잡고 을 최소되게 하여라.

10. 의 극소점을 구하여라.

11. 의 변곡점을 구하여라.

12. 는 쌍곡선의 방정식임을 증명하고 그 그래프를 그려라.

13. 다음 곡선을 추적하여라.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

14. 방정식 가 개구간 에서 적어도 한 개의 해를 가짐을 보여라 ( 는 임의

의 실수)

15. 차 다항식 은 기껏해야 개의 변곡점을 가짐

을 증명하여라.

미분과 근사값

함수 가 에서 까지 변할 때 그 변동량 를 의 증분 이라 하고(increment) ,

로 나타낸다 여기에 대응하는. 의 변동량 를 의 증분이라 하며

로 나타낸다. 가 미분가능일 때는 식 에 의하여(2 2)･ʹ

85

이다.

은 가 작을 때에는 아주 작은 수이므로 의 근사값으로서 ʹ 를 취할 수 있

다 이 곱. ʹ 를 의 미분 이라 부르고(differential) , 또는 같은 기호

로 표시한다 즉.

ʹ (2 30)･이면 ʹ 이므로 식 에서(2 30)･ 를 얻는다 이와 같은 이유로 독.

립변수의 미분은 그 증분 라 정의하고 함수의 미분을 다음과 같이 쓴다, .

ʹ

이면, .

기하학적으로는 함수의 미분을 다음과 같이 설명할 수 있다 그림 에서. 2 18･ 와

을 곡선 상의 두 점이라 하자. 에서의 도함수의 값은 접선

의 기울기와 같으므로 다음 식을 얻는다 즉.

ʹ

곧, 는 에 대응하는 접선의 좌표의 증분인데 대해서, 는 곡선

의 좌표의 증분이다.

그림 2 18･앞에서 알 수 있는 바와 같이 와 의 차는 독립변수, 의 아주 작은 변화인 와 비교

86

할 때에는 아주 작으므로 함수의 미분, 의 근사값을 의 근사값으로 쓸 수 있다 실제로.

ʹ 이고,

ʹ ʹ

이므로 다음 극한식을 얻는다.

왜냐하면

ʹ ʹ ʹ ʹ

이 되기 때문이다.

함수형태로 증분, 는 근사적으로 와 같다 따라서.

로 쓸 수 있다 이 식은 우리가 어떤 점에서의 함수의 값과 그 점에서의 미분을 알면 그 점 바.

로 근처에 있는 함수의 값을 근사적으로 계산할 수 있음을 뜻한다.

일 때 미분을 써서, 일 때의 의 근사값을 구하여라.

여기서 은1.997 의 참값 에 증분 을 더해서 얻은 값이라 생각할

수 있다 따라서 미분에 의하여 다음을 얻는다. .

일 때 이며, 가 에서 로 변할 때의2 1.997 의 근사적 변화가 이므-0.051

로, 일 때의 의 근사값으로 다음 값을 얻는다.

이 근사값의 정확도를 추정하기 위해서 근사값의 오차, 를 계산해 보자 위의 예. 1

인 경우에

따라서 이므로 위의 근사값은 소수점 아래

87

세 자리까지 정확함을 알 수 있다.

미분을 써서 의 근사값을 구하여라.

은 완전제곱수 과 조금 밖에 다르지 않음을 알고98 100 , 가 에서 로 변하는데 대응100 98

하는 의 변화를 구하여 이 변화에 을 더하므로서 을 구한다.

이므로 에 대한 의 근사적 변화는

따라서 근사적으로 은 다음과 같다.

상대오차와 백분 비 오차( ) ： 를 의 오차라 할 때, 를 의 상대오차, 을

백분비오차라 한다.

어떤 구의 반경을 재어서 의 값을 얻었다 여기에는. 의 오차가 있을 가능

성이 있다 이 때 이 구의 부피를 계산함으로 생기는 최대상대오차와 백분오차를 구하여라. .

에서 생기는 정확한 최대오차는 이 에서5 로 변할 때의 값의 변

화 일 것이다. 의 근사값은 이므로

일 때의 부피는 이므로 상대오차는

이고 백분오차는 이다.

다음 함수의 미분 를 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

88

미분을 써서 다음의 근사값을 구하여라.

(a) (b)

한 변이 인 정사각형의 면적을 라 할 때, 를 구하고, 를 나타내는 그

림을 그려라.

어떤 직원뿔의 높이가 밑면의 반경과 같다고 한다 이들을 측정하여. 를 얻었다고

할 때 여기에, 의 오차가 있을 수 있다면 이 때 계산한 부피의 백분오차의 근사

치 구하여라.

그림 2 19･

의 방법Newton ：초보적인 문제에서는 방정식의 무리실근의 근사값을 구하는데 그래프에

의한 방법과 보간법이 쓰인다.

방정식 에 대한 근의 근사값은 다음과 같이 그래프로 구한다 곡선. 와

를 그린다 그 그래프의 교점의. 좌표는 소숫점 이하 첫째 자리까지 정확한 근사값으로서

이 된다 좀 더 정확한 값을 구하려면 더 큰 눈금 위에 그래프를 그리면 된다. .

방정식 의 근의 근사값은 다음과 같이 보간법 을 사용하여 구할 수 있다(interpolation) .

로 두고 삼각함수표를 이용하면, 이며,

임을 알 수 있다 따라서 보간법에 의하여.

그러므로

이다 따라서. 는 소숫점 이하 셋째자리까지 정확한 근사치가 된다.

89

다음에 살펴보려고 하는 것은 의 방법으로 알려진 근의 근사값을 구하는 다른방법이Newton

다 이 방법에 의하면 무리근의 근사값을 소숫점 이하 몇 번째 자리까지든지 원하는 대로 정확.

하게 구할 수 있다.

그림 에서 곡선2 20･ 를 생각하자. 을 방정식 의 근 에 대한 첫

번째 근사값이라 하자 점. 에서의 곡선에 대한 접선의 방정식은

(2 31)･이다. 이 에 가까운 값일 때 이 접선은 보통, 축과 점 에서 만나는데 그 점의, 좌표

는 보다 더 에 가까운 근사값이 된다 따라서 에. (2 31)･ 를 대입하면,

(2 32)･을 얻는다.

다시 를 첫 번째 근사값으로 생각하고 식 를 이용하면(2 32)･

그림 2 20･

90

를 얻는다 이 과정을 반복하면 의 공식. Newton

(2 33)･을 얻게 된다.

이와 같이 공식 을 반복하여 사용하면 근을 소숫점 이하 몇째 자리까지든지 정확하(2 33) ,･게 구할 수 있다.

첫 번째 근사값 을 에 충분히 가깝게 택하지 못하면 의 공식은 불합리한 결과를 초Newton

래할 수도 있다 그림 은 그와 같은 경우를 보이고 있다 이를 보완하는 한 방법은 근에 상당. 2 21 .･히 가까운 근사값에 이를 때까지는 이등분법을 사용하다가 결정적인 순간에 의 방법으로Newton

전환하는 것이다.

그림 2 21･

방정식 의 근을 소숫점 이하 셋째자리까지 정확하게 구하여라.

로 놓으면 ,

따라서 을 택하면 의 공식에 의하여, Newton

이 된다 에 을 대입하면 소숫점 이하 셋째자리까지 거의 영향이 없는 세 번째. (2 33) 1.303 ,･근사값을 얻는다 그러므로 구하는 근은 이다. 1.303 .

의 방법을 이용하여 다음 방정식의 최소의 양근을 소숫점 이하 셋째자리까지 구Newton

하여라.

(a) (b) (c)

91

곡률 근,

호의 길이의 미분

를 평면곡선

위의 어떤 시점 에서 점 까지 측정된 호의 길이라 하고 가 증가할 때 도 증

가한다고 하자 호의 길이. 는 분명히 의 함수이고 그림 를 참고하면2 22･ 에 관한 의

도함수는 관계식

에서 구할 수 있다 즉. 가 에 접근할 때0 는 에 접근하므로1

(2 34)･이 된다.

식 에(2 34)･ 를 곱하면 호의 길이에 대한 미분, ,

(2 35)･을 얻는다 즉. 는 , 를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변으로 생각할 수 있다.

그림 2 22･

92

곡 률

를 곡선 위의 두 점이라 하자 그림 에 표. 2 23･시된 바와 같이 접선이, 와 사이에 있는 호 를 그릴 때 접선은 각, 만큼 회전함

을 알 수 있다 비 율. ( ) 를 호 의 평균곡률이라 하며 다음과 같이 정의한다, .

곡선 위의 한 점 에서의 곡률 는 가 에 접근할 때 호, 의 평균곡률의 극한의

절대치이다 즉.

에서의 곡률

를 구하는 간편한 공식을 얻으려면 를 미분의 비 율 로 계산한다( ) .

즉 ʹ이므로 미분하면

ʺʹ

그리고 식 에서(2 35)･ʹ

따라서 를 로 나누면 곡선, 의 점 에서의 곡률은

ʺʹ (2 36)･

그림 2 23･

93

기울기 ʹ이 매우 작을 때는 는 근사적으로 ʺ 으로 주어진다 공학이나 물리학에서 사용하.

는 많은 공식에서는 이 근사치를 사용한다.

포물선 에 대해서는 ʹ ʺ 따라서 에 의하여 곡률은(2 36)･

정점 에서는(0, 0) 으로 두면 단위길이 가 된다(rad/ ) .

곡선의 방정식이 로 주어졌을 때는, ʹ ʹ 이고

ʹ ʺ ʺ ʹʹ

이므로 매개변수로 표시한 곡률은

ʹ ʺ ʺ ʹʹ ʹ (2 37)･

반지름 인 원 에 대해서는 ʹ ʺʹ ʺ 이므로 식 에 의하여(2 37)･

(2 38)･

이다 즉 원의 임의의 점에서의 곡률은 일정하며 원의 반지름의 역수와 같다. , .

곡률원

곡선 는 점 에서 접선 를 가지고 또 곡률 를 가진다고 하자 그림 에. 2 24･서 보이는 바와 같이 (a) 에서 에 접하고, (b) 에 대하여 곡선과 같은 쪽에 있으며 또,

곡률이 인 원을 작도하자 이 원을 주어진 곡선의 점. 에서의 곡률원 이 원의 중심을,

곡률중심 이 원의 반경을, 곡률반경이라 한다.

곡률반경을 로 표시하면 식 에 의하여, (2 38)･ 이 되고 따라서,

ʹʺ

94

그림 2 24･

곡선 에 대해서는 ʹ ʺ 이므로

다음 곡선의 주어진 점에서의 곡률반경을 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

다음 곡선의 임의의 점에서의 곡률반경을 구하여라.

(a) Asteroid

(b) Cycloid

(c) Catenary , ( )

(d)

곡률중심

곡선 위의 임의의 점 에서 기울기가 양 ʹ 이고 위로 오목,

ʺ 하다고 하자 그림 에서 곡률중심의 좌표. 2 24･ 는

95

(2 39)･이다 앞에서.

ʹ ʺ이고, ʹ인 관계식에서

ʹʹ ʹ

임을 알 수 있다 이 식을 식 에 대입하면. (2 39) ,･ʹ ʹʺ

ʹʺ (2 40)･

을 얻는다.

이와 같이 곡선의 곡률중심을 점 의 좌표를 매개변수로 하여 표시할 수 있다 식. (2 40)･은 ʹ ʺ 인 제한이 없어도 즉 모든 경우에 성립한다, .

포물선 에 대해서는 ʹ ʺ 이다 따라서 점. 에서는

ʹ ʺ 이다 이 값을 에 대입하면 곡률중심은. (2 40) ,･ 이다.

다음 곡선의 주어진 점에서의 곡률중심을 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

축폐선(Evolute)

그림 에서와 같이 점2 25･ 가 곡선 을 따라 움직이면, 에 대응하는 곡률중심은 다른

곡선 를 그린다 이 곡선. 를 곡선 의 축폐선 이라 하며 반대로(Evolute) , 을

의 신개선 이라 한다 곡선(involute) . 에 대응하는 축폐선의 방정식은 앞의 식(2･에 의하여 매개방정식으로 표시된다40) .

포물선 에 대해서는 ʹ ʺ 이다 식 에 대입하면 다음과 같이 포물. (2 40) ,･

96

그림 2 25･

선의 축폐선에 대한 매개방정식을 얻을 수 있다.

매개변수 를 소거하면 방정식,

을 얻는다 주어진 포물선과 그 축폐선인 반입방포물선 은 그림. (semicubical parabola) 2 25･와 같다.

다음 곡선의 축폐선에 대한 매개방정식을 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

극좌표

극좌표

직교좌표와는 다른 어떤 형의 좌표계를 사용하면 평면내의 점과 곡선에 관한 해석이 간편할

때가 있다 이와 같은 좌표계는 많이 있다 여기서는. . 극좌표 계라 하는 좌(polar coordinates)

표계를 공부하려고 한다.

97

그림 2 26･

한 직선 를 잡으면 평면내의 임의의 점 의 위치는 그림 에 보인 바와 같이 거리, 2 26 ,･와 각 의 크기에 따라서 결정된다. 과 로 표시되는 이 값을 의 극좌표라 하며

로 표시하고 을 동경벡터(radius vector), 를 편각 이라 한다 편각(polar angle) .

는 로부터 시계 바늘의 반대 방향으로 재면 양이고 시계 바늘과 같은 방향으로 재면, 음

이다 동경벡터. 은 로부터 의 끝변을 따라서 재면 양이고 끝변의 반대 방향을 따라서,

재면 음이다 고정직선. 를 시초선 또는(initial line) 극좌표축 이라 하고 점(polar axis) ,

를 극 또는(pole) 원점 이라 한다(origin) .

한 점의 극좌표를 알 때 극좌표 방안지 라 하는 특수한 형의 그래(polar coordinate paper) 프

용지를 사용하면 그 점을 대단히 간편하게 그릴 수 있다 이 용지 위의 좌표의 분할은 극을 지나.

는 동경 직선족과 극을 중심으로 하는 동심원족으로 되어 있다 점, . , ,

, 를 그러한 용지 위에 그리면 그림 과 같다2 27 .･

그림 2 27･

98

그림 2 28･

극좌표축을 그림 에 보인 바와 같이 양의2 28 ,･ 축을 따라서 잡으면 의 극좌표

와 직교좌표 사이의 관계식

를 얻는다.

이 관계식은 한 좌표계를 다른 좌표계로 바꾸고자 할 때 사용된다.

극방정식 또는 는 직교방정식으로 가 된다.

직교방정식 는 극방정식으로 또는 가 된다.

극방정식의 자취는 일반적으로 좌표 가 주어진 방정식을 만족하는 모든 점을 지나는

곡선이다 극방정식을 만족하는 점들은. 에다 임의의 값을 주고 이에 관련된 의 값을 구하

여 얻는다 곡선의 그래프를 그릴 때 혼란을 피하기 위해서는. 가 증가하는 순서대로 규칙적

으로 점을 그리고 그와 같은 순서대로 점들을 연결하는 것이 좋다.

Cardioid 의 자취를 구하여라.

이므로, 의 임의의 양값과 음값을 택하고 이 값에 대응하는, 의 값을

구한다 그러면 다음 표에 주어진 것과 대응하는 값들을 얻는다. .

99

그림 2 29･ 그림 2 30･

양의 각을 가진 점들을 찍고 연결하면 그림 에 보이는 호2 29･ 를 얻는다 음의 각을.

가진 점들은 호 를 표시한다.

네잎장미선 를 그려라.

의 값을 에서 까지 택하면 다음 표에서 주어진 의 값을 얻는다 이 점들을 찍고.

연결하면 그림 과 같은 호2 30･ 를 얻는다.

코사인 함수의 주기성 때문에 은 가 에서 까지 증가할 때 위의 표에서 반대순서

의 값을 취한다 이 점들을 그리면 호. , 를 얻는다 같은 방법으로. 와 호 는

각각 가 에서 까지와 에서 까지 증가함에 따라 얻는다.

그림 2 31･

100

그림 과 같은 소위 게으른2 31 ‘ 8’(lemniscate)･ 를 그릴 때에는 은

와 에서 허수임에 유의해야 한다.

한편 임의의 점의 극좌표는 여러 가지 방법으로 표시할 수 있다 예로서. ,

및 등은 모두 같은 점을 나타낸다 점을 표시하는 것이 이와 같이 일정.

하지 않으므로 곡선의 극방정식도 여러 가지 다른 형으로 표시할 수 있다 가령 원. 의 방

정식은 로도 표시할 수 있다 일반적으로. 가 극좌표로 표시된 곡선의 방정

식이면 그 곡선은 방정식,

, 여기서 (2 41)･중의 어느 하나로 표시할 수 있다.

방정식 는 서로 다른 형의 세 방정식을 갖는다 즉.

에서 이라 놓으면

또는

또는

또는

위의 고찰로 두 곡선

(2 42)･의 교점을 구하려면 다음 과정이 필요하다.

에 의하여 곡선 를 표시하는 서로 다른 방정식1. (2 41) (2 42)･ ･(2 43)･

(2 44)･을 구한다.

의 각 방정식과 의 각 방정식을 연립으로 푼다2. (2 43) (2 44) .･ ･3. 를 만족하는 과 의 값이 존재하면 원점 는 교점이다.

101

곡선 그림 과 원( 2 30)･ 의 교점을 구하여라.

위의 과정을 적용한다.

1. 로 쓰면 를 얻는다.

로 쓰면 를 얻는다.

2. 와 를 풀면, 를 얻는다.

와 를 풀면, 를 얻는다 의 방정식들을. 1

다른 방법으로 짝을 지어도 새로운 해는 얻지 못한다.

곡선3. 에서 은 결코 이 될 수 없으므로 원점은 교점이 아니다 따라서 교점은.

및 의 여덟 개다.

문제에 따라서는 두 곡선의 교점의 좌표는 직접 그 곡선의 그래프에서 얻을 수 있는 경우가 많다.

이 때에는 위의 과정을 적용할 필요가 없다.

다음 각 방정식의 그래프를 그려라.

의 나선(a) Archimedes :

(b) 축에 접하는 원 :

(c) 축에 접하는 두 원 :

(d) 축에 접하는 원 :

(e) 축에 접하는 두 원 :

장미잎선(f) :

네잎장미선(g) :

게으른(h) 8 :

네잎클로바(i) :

(j) Cardioid(심장형) :

달팽이형(k) Lima�on( ) :

다음 곡선의 각 쌍의 교점을 구하여라.

(a) (b)

102

동경벡터와 접선 사이의 각

를 곡선 그림 위의 점이라 하고 그 곡선의 방정식을 극좌표로( 2 32) ,･(2 45)･

라 하자.

에서 식 의 기울기 그림에서(2 45) (･ 를 구하기 위하여 다음과 같이 한다) . 의 직

교좌표

를 생각하자 이 방정식은 에 의하여. (2 45)･ 를 매개변수로 하는 곡선 의 매개방정식으로

생각할 수 있다 따라서. ,

를 얻는다 그러므로. , 이면,

접선의 기울기ʹʹ (2 46)･

그림 2 32･

곡선 상의 점 에서 이다 따라서. ,

기울기

103

과 가 모두 이 아니면 식 은, (2 46)･(2 47)･

형으로 쓸 수 있다 그러나 그림 에서. 2 32･ 이므로

(2 48)･

이다 식 을 식 에 대입하면 다음 결과를 얻는다. (2 47) (2 48) .･ ･

를 동경벡터 와 에서의 접선사이의 각이라 하면,

(2 49)･

이다.

두 곡선 와 ʹ이 점 에서 서로 만나면 그림 에서 알 수 있는 바와 같이 그 교각2 33･는 으로 주어진다 따라서.

ʹʹ (2 50)･

이고, 와 의 방정식이 극좌표로 주어지면, 와 의 값은 에서 구할 수(2 49)･있다.

그림 2 33･

104

곡선 와 는 점 를 지남을 증명하고 그 교각을 구하여라, .

일 때 , 이므로 점 는 주어진 방정식을

만족한다 교각을 구하려면 를 이용하여. , (2 49)･

ʹ ʹ ʹ을 계산한다 이것을 에 대입하면. (2 50)･

이 된다 따라서 교각은. 이다.

주어진 점에서 다음 곡선의 기울기를 구하여라.

(a) (b) 원점

다음 곡선의 각 쌍의 교각을 구하여라.

(a) (b)

호의 미분

한 점의 직교좌표와 극좌표 사이의 관계식

(2 51)･를 미분하면,

(2 52)･를 얻는다.

식 를(2 52)･ 에 대입하여 간단히 하면 극좌표로 표시된, 호의 미분

(differential)

또는 (2 53)･를 얻는다.

105

원 에 대하여 이므로

공식 은 그림 에서 도형(2 53) 2 34･ ･ 가 직각삼각형을 이룬다고 생각하면 쉽게 기억할 수 있

다.

그림 2 34･

곡 률

곡선 의 한 점 에서 , 과 가 모두 이 아니면 다음 결과를 얻는다, .

곡선 의 한 점 에서의 곡률은,

(2 54)･이다 여기서. 과 는 각각 에 관한 의 일계 및 이계도함수이다.

식 에서(2 49)･ 이다 따라서. ,

(2 55)･이다 그림 에서. 2 32･ 이다 따라서 를 사용하면. (2 55)･

ʺ(2 56)･

106

를 얻는다 을 호의 길이. (2 56)･ 로 나누면 공식 가 된다(2 54) .･원 에 대하여 ʹ 이고, ʺ 이므로 원의 임의의 점에서의 곡률반

경 ,

주어진 점에서의 다음 곡선의 곡률반경을 구하여라.

(a) (b)

(c)

1. 다음 함수의 미분 를 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

2. 반경이 각각 와 인 두 구의 표면적의 차의 근사값을 구하여라4cm 4.05cm .

3. 들이 정육면체 모양의 용기를 만들고자 한다 부피를 이내의 오차로 정확하게 재기 위해서. 3cc

는 내부의 한 모서리를 어느 정도 정확하게 재어야 하는가?

4. 어떤 측정값의 승의 상대오차는 근사적으로 그 측정값의 상대오차의 배임을 증명하여라.

5. 다음 각 곡선이 최대 곡률을 가지는 점을 구하여라.

(a) (b)

(c) (d)

6. 다음 곡선의 축폐선에 대한 매개방정식을 구하여라.

(a) (b)

7. 이다. 일 때 의 값을 소숫점 이하 둘째 자리까지 구하여라 힌트. ( : 의 상용 를log

107

생각하여라)

8. 다음 각 방정식은 한 개의 무리근을 갖는다 의 방법을 이용하여 그 근을 소숫점 이하 둘째. Newton

자리까지 구하여라.

(a) (b)

(c)

9. 임의의 초기값 을 가지고 의 방법을 이용하여Newton 의 근을 구할 수 없음을 보여라.

10. 다음 방정식을 직교좌표에서 극좌표로 바꾸어라.

(a) (b)

(c) (d)

11. 다음 방정식을 극좌표에서 직교좌표로 바꾸어라.

(a) (b)

(c) (d)

12. 다음 곡선의 각 쌍의 교점을 구하여라.

(a) (b)

13. 주어진 점에서 다음 곡선의 기울기를 구하여라.

(a) (b)

14. 다음 곡선의 각 쌍의 교각을 구하여라.

(a) (b)

15. 주어진 점에서의 다음 곡선의 곡률반경을 구하여라.

(a) (b)