Γραμμική Αλγεβρα

Καθετότητα και Ορθογωνιότητα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

15 Δεκεμβρίου 2013

Μήκος Διανύσματος

‖x‖2 = x21 + x22 + . . . + x2n

‖x‖ =√xTx

Μήκος Διανύσματος

‖x‖2 = x21 + x22 + . . . + x2n

‖x‖ =√xTx

Μήκος Διανύσματος

‖x‖2 = x21 + x22 + . . . + x2n

‖x‖ =√xTx

Καθετότητα Διανυσμάτων

‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x − y‖2

Θεώρημα

x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν xTy = 0

Ορισμός

Ο αριθμός xTy λέγεται εσωτερικό γινόμενο

Καθετότητα Διανυσμάτων

‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x − y‖2

Θεώρημα

x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν xTy = 0

Ορισμός

Ο αριθμός xTy λέγεται εσωτερικό γινόμενο

Καθετότητα Διανυσμάτων

‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x − y‖2

Θεώρημα

x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν xTy = 0

Ορισμός

Ο αριθμός xTy λέγεται εσωτερικό γινόμενο

Καθετότητα Διανυσμάτων

‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x − y‖2

Θεώρημα

x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν xTy = 0

Ορισμός

Ο αριθμός xTy λέγεται εσωτερικό γινόμενο

Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους

τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Απόδειξη.

c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0⇒

vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0⇒

c1vT1 v1 + c2v

T1 v2 + . . .+ cnv

T1 vn = 0⇒

c1||v1|| = 0⇒ c1 = 0

Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους

τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Απόδειξη.

c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0

⇒

vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0⇒

c1vT1 v1 + c2v

T1 v2 + . . .+ cnv

T1 vn = 0⇒

c1||v1|| = 0⇒ c1 = 0

Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους

τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Απόδειξη.

c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0⇒

vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0

⇒

c1vT1 v1 + c2v

T1 v2 + . . .+ cnv

T1 vn = 0⇒

c1||v1|| = 0⇒ c1 = 0

Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους

τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Απόδειξη.

c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0⇒

vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0⇒

c1vT1 v1 + c2v

T1 v2 + . . .+ cnv

T1 vn = 0

⇒

c1||v1|| = 0⇒ c1 = 0

Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους

τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Απόδειξη.

c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0⇒

vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0⇒

c1vT1 v1 + c2v

T1 v2 + . . .+ cnv

T1 vn = 0⇒

c1||v1|| = 0

⇒ c1 = 0

Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία

Θεώρημα

Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους

τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Απόδειξη.

c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0⇒

vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0⇒

c1vT1 v1 + c2v

T1 v2 + . . .+ cnv

T1 vn = 0⇒

c1||v1|| = 0⇒ c1 = 0

Ορθογώνιοι Υπόχωροι

Ορισμός

Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του

Rn) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο

σε κάθε διάνυσμα w ∈W .

Παράδειγμα:

V =

c1

140

+ c2

−170

, c1, c2 ∈ R

W =

d

00−3

, d ∈ R

Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα

Ορισμός

Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του

Rn) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο

σε κάθε διάνυσμα w ∈W .

Ορισμός

Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn, ο χώρος όλων των ορθογωνίων

διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V καισυμβολίζεται με V⊥

.

Θεώρημα

W = V⊥ ⇒ V = W⊥,(V⊥)⊥ = V

Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα

Ορισμός

Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του

Rn) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο

σε κάθε διάνυσμα w ∈W .

Ορισμός

Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn, ο χώρος όλων των ορθογωνίων

διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V καισυμβολίζεται με V⊥

.

Θεώρημα

W = V⊥ ⇒ V = W⊥,

(V⊥)⊥ = V

Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα

Ορισμός

Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του

Rn) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο

σε κάθε διάνυσμα w ∈W .

Ορισμός

Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn, ο χώρος όλων των ορθογωνίων

διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V καισυμβολίζεται με V⊥

.

Θεώρημα

W = V⊥ ⇒ V = W⊥,(V⊥)⊥ = V

Παράδειγμα

Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Αλγεβρας (μέρος 2ο)

N (A) =(R(AT )

)⊥

R(AT ) = (N (A))⊥

N (AT ) = (R(A))⊥

R(A) =(N (AT )

)⊥

Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Αλγεβρας (μέρος 2ο)

N (A) =(R(AT )

)⊥R(AT ) = (N (A))⊥

N (AT ) = (R(A))⊥

R(A) =(N (AT )

)⊥

Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Αλγεβρας (μέρος 2ο)

N (A) =(R(AT )

)⊥R(AT ) = (N (A))⊥

N (AT ) = (R(A))⊥

R(A) =(N (AT )

)⊥

Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Αλγεβρας (μέρος 2ο)

Πόρισμα

Το Ax = b έχει λύση ανν bTy = 0 οποτεδήποτεATy = 0

mΤο Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σεκάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες

του A.Παράδειγμα:

x1 − x2 = b1

x2 − x3 = b2

x3 − x1 = b3

Πόρισμα

Το Ax = b έχει λύση ανν bTy = 0 οποτεδήποτεATy = 0

mΤο Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σεκάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες

του A.

Παράδειγμα:

x1 − x2 = b1

x2 − x3 = b2

x3 − x1 = b3

Πόρισμα

Το Ax = b έχει λύση ανν bTy = 0 οποτεδήποτεATy = 0

mΤο Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σεκάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες

του A.Παράδειγμα:

x1 − x2 = b1

x2 − x3 = b2

x3 − x1 = b3

Πόρισμα

Η απεικόνιση του χώρου γραμμών

στον χώρο στηλών είναι

αντιστρέψιμη

m

Για κάθε b στον χώρο στηλώνυπάρχει μοναδικό xr στον χώρογραμμών

Πόρισμα

Η απεικόνιση του χώρου γραμμών

στον χώρο στηλών είναι

αντιστρέψιμη

m

Για κάθε b στον χώρο στηλώνυπάρχει μοναδικό xr στον χώρογραμμών