25_Strutture Reticolari Isostatiche Piane, Sezioni Di Ritter

7/25/2019 25_Strutture Reticolari Isostatiche Piane, Sezioni Di Ritter

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 25Titolo: Strutture reticolari isostatiche piane: sezioni di Ritter

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 25 Strutture reticolari isostatiche piane: sezioni di

Ritter

Nucleotematico

Lez. Contenuto

7 25Strutture reticolari isostatiche piane: metodo delle sezioni diRitter.

Nella lezione 24 stato introdotto il metodo dellequilibrio dei nodi perla soluzione delle strutture reticolari isostatiche. Viene ora introdottoun metodo di soluzione alternativo, detto metodo delle sezioni diRitter. Questo metodo particolarmente vantaggioso nei casi in cuinon necessario determinare lo sforzo normale in tutte le aste di unareticolare, ma solo in alcune di queste.

Metodo delle sezioni d i Ritter

Si consideri una struttura reticolare isostatica e si immagini diavere determinato le reazioni dei vincoli esterni cui soggetta (figura25.1a).

Figura 25.1.

F P

A B

RA RB

1

2

3

F P

A B

RA RB

1

2

3

1

2

3

F P

A B

RA

1

2

3

1

2

3

N1N1

N2 N2

N3 N3

(a)

(b)

(c)

1

2

1

2

1

2

RB

d

L

L

L
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Si immagini poi di sezionare la struttura con un piano ortogonale al

piano sul quale giace la struttura modo da separare la struttura in dueparti distinte ed in modo che il piano intersechi lasse di tre aste(brevemente, tagli tre aste) non concorrenti allo stesso nodo, come infigura 25.1b. Una siffatta sezione della struttura detta sezione diRitter.

Ognuna delle parti in cui la struttura resta divisa dal piano pensata soggetta solo alle forze applicate ed alle reazioni vincolarinon , in generale, in equilibrio; la condizione di equilibrio vieneripristinata dalle azioni interne che le aste tagliate dal piano siscambiavano prima del taglio, e cio in questo caso dallo sforzo

normale di dette aste (figura 25.1c). Le forze applicate ad ognunadelle due parti in cui la struttura resta divisa dal piano devonosoddisfare le Equazioni Cardinali della Statica. Avendo predeterminatole reazioni dei vincoli esterni, tutte le forze cui ogni parte di struttura soggetta sono note tranne i tre sforzi normali delle aste tagliate.Questi ultimi possono quindi essere determinati mediante le treequazioni di equilibrio per i sistemi piani che nel caso della parte didestra della struttura di figura 25.1 sono

=

=++=

LPdN

sinRsinNsinN

PcosRNcosNcosN

1

B2211

B32211

(25.1)

avendo scelto il punto B come polo ed essendo d = L cosla distanzatra il polo B e la retta di azione di N1, cio la retta contenente lasta 1.Queste equazioni consentono la determinazione degli sforzi normaliN1, N2ed N3. Si osserva che scegliendo come polo il punto al qualeconvergono due delle tre aste tagliate da , nellequazione di equilibrioalla rotazione non compaiono gli sforzi normali di queste due aste elequazione di equilibrio alla rotazione consente la determinazionedello sforzo normale nella terza asta. evidente come questoprocedimento non sia applicabile a qualunque struttura reticolare

isostatica in quanto non detto che, scelta unasta della quale si vuoledeterminare lo sforzo normale, esista un piano che sezioni la strutturain modo da tagliare tre aste non convergenti allo stesso nodo. Sequesta circostanza si verifica la struttura viene detta ad astecanoniche.

Gli esempi seguenti chiariscono quanto brevemente illustrato.

Esempio 25.1

Si determini lo sforzo normale nellasta 4 della struttura

dellesempio 24.1.


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La struttura e le reazioni dei vincoli esterni sono gi state

determinate nella lezione 24 e sono riportate in figura 25.2. Si opera lasezione mostrata in figura 25.2 in modo da tagliare le aste 4, 5 e 7, siseparano le due parti in cui la struttura resta divisa dalla sezioneconsiderata e si evidenziano gli sforzi normali nelle sezioni delle astetagliate. Lequazione di equilibrio alla rotazione rispetto al polo C dellaparte di sinistra non coinvolge gli sforzi normali delle aste convergentinel nodo C e consente la determinazione dello sforzo normaledellasta 7:

0LN7 = quindi 0N7 = (e.1.1)

Figura 25.2.

Lequazione di equilibrio alla traslazione verticale della stessa parte distruttura fornisce

0FsinN5

=+ quindi 5Fsin

FN

5 =

= (e.1.2)

essendo

5

1sin = (e.1.3)

Infine, lequazione di equilibrio alla traslazione orizzontale della stessaparte di struttura fornisce

0NcosNN754

=++ (e.1.4)

e quindi, tenendo conto degli sforzi normali gi trovati:

2L 2L

F

L

1

23

4

56

7

A

BC

ED

F2F

x

y

2L

F1

23

4

5

7

A

B

E

2F

L

4

56

7

C

D

F

N4

N5

N7

N4

N5

N7


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F2tan

F

cosNN 5

54 === (e.1.5)

essendo

2

1tan = (e.1.6)

Gli sforzi normali determinati sono evidentemente gli stessi calcolatinella lezione 24 con il metodo dellequilibrio dei nodi. altresevidente che gli stessi sforzi normali avrebbero potuto ottenersi con leequazioni di equilibrio della parte di destra della struttura.

Esempio 25.2

Si determini lo sforzo normale nellasta 1 della strutturareticolare di figura 25.3.

Figura 25.3.

La struttura costituita da 13 aste ed ha 8 nodi; la condizionedi isostaticit (24.3) quindi soddisfatta; inoltre la struttura esternamente isostatica (in vincoli esterni hanno molteplicit totalepari a 3) e non suscettibile di spostamenti rigidi. La struttura quindiuna reticolare isostatica. Le reazioni vincolari esterne evidenziate infigura 25.4 si determinano immediatamente e sono

FXB = 0X

A= 0Y

A= (e.2.1)

Figura 25.4.

Per la determinazione lo sforzo normale N1 dellasta 1 si opera lasezione di Ritter di figura 25.4 che taglia le aste 1, 2 e 3, nonconvergenti allo stesso nodo.

L

L L

F

3

2A

BXB

XA

YA

1C

L

L L

F

1


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Si evidenziano poi gli sforzi normali delle aste sezionate come

mostrato in figura 25.5. Assumendo come polo il nodo C al qualeconvergono le aste 1 e 2, lequazione di equilibrio alla rotazione dellaparte di sinistra della struttura consente la determinazione di N3:

02

2LNLF

3 = quindi 2FN3= (e.2.2)

essendo 22L il braccio di N3 rispetto al polo C, cio la distanzadella sua retta di azione dal nodo C.

Figura 25.5.

Lequazione di equilibrio alla traslazione verticale della stessa parte distruttura

02

N

2

N32 = (e.2.3)

da cui, tenendo conto della (e.2.2) si ottiene

2FNN32

== (e.2.4)

Infine lequazione di equilibrio alla traslazione orizzontale

F2

N

2

NN

32

1 =++ (e.2.5)

che, tenendo conto di quanto gi determinato fornisce

FN1 = (e.2.6)

Come verifica si pu controllare che gli sforzi normali determinatisoddisfano le equazioni di equilibrio della parte destra della struttura:

==

=+=+

=+=

0LFLFLF2

2LN

0FF2

N

2

N

0FFFFN2

N

2

NF

3

32

1

32

(e.2.7)

nella terza delle (e.2.7) i momenti delle forze applicate alla parte didestra della struttura sono calcolati avendo scelto il nodo D comepolo.

L

L

F F

3

2

A

B

3

2N3

N2

N1

N3

N2

N1

11CD


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LEZIONE 25 Sessione di studio 1

Strutture reticolari isostatiche piane: sezioni di Ritter

Sono proposte nel seguito alcune osservazioni in merito alle strutturereticolari ed in particolare al metodo delle sezioni di Ritter.

Osservazione 1

Sezionando una struttura con un piano disposto in modo dadividerla in due parti ed evidenziando le forze che gli elementistrutturali tagliati si scambiavano prima della separazione evidenteche possono scriversi le equazioni di equilibrio relativamente adognuna delle due parti in cui la struttura resta divisa. Queste equazioni

contengono gli sforzi normali delle aste tagliate dal piano considerato.Nel caso delle sezioni di Ritter si opera scegliendo un piano che tagliatre aste non concorrenti allo stesso nodo. Se si scegliesse un pianoche taglia tre aste concorrenti allo stesso nodo la condizione diequilibrio di ciascuna delle parti di struttura risultanti dalla separazionecoinciderebbe con la condizione di equilibrio del nodo e le duemodalit di imposizione delle condizioni di equilibrio (equilibrio dei nodie sezioni di Ritter) non presenterebbero alcuna differenza. La figura25.6 mostra quanto affermato, con riferimento ad una struttura chesar risolta nel seguito.

Figura 25.6.

In questo caso lequazione di equilibrio alla rotazione di ognuna delledue parti di struttura identicamente soddisfatta per qualunque sforzonormale nelle aste tagliate in quanto le rette di azione degli sforzinormali delle tre aste hanno un punto in comune, cio il nodo al qualele aste concorrono. Conseguentemente le due restanti equazioni diequilibrio, pur dovendo essere soddisfatte, non consentono da sole ladeterminazione degli sforzi normali nelle tre aste.

Osservazione 2

Se invece si seziona la struttura in modo da separarla in dueparti tagliando quattro aste evidente che le tre equazioni di equilibrio

1

F

a

a

3a/2 3a/2

A

B

C

2

3

4

5

D

E F

3 4 5

E

N3 N3N4

1A

B

C

2

3 4 5

D

N3 N5

N4

F

F/3

F/3


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di ognuna delle due parti, pur dovendo essere soddisfatte, non sono

sufficienti a determinare lo sforzo normale nelle aste tagliate.

Osservazione 3

Il procedimento delle sezioni di Ritter non evidentementeapplicabile ad ogni struttura reticolare isostatica, nel senso che non sempre possibile individuare un piano che divida la struttura in dueparti tagliando tre aste non concorrenti ad un nodo, come chiaro adesempio nel caso della figura 25.7.

Figura 25.7.

La separazione della struttura in diverse parti, indipendentemente dalnumero delle aste tagliate, pu tuttavia essere utile per un controllodei risultati ottenuti per altra via. Ad esempio sezionando la strutturadellesempio 24.2 come in figura 25.8 si pu controllare ilsoddisfacimento delle equazioni di equilibrio di una delle parti. Adesempio, considerando la parte in alto infigura 25.8 si ha

=

+

=++

=+

0a8F16

11

4

3sina8F

32

29

0F4

3F

16

9sinF

32

139sinF

32

29F

16

11

0FcosF32

139cosF

32

29

2

102

102

(25.2)

che, tenendo conto delle (e.2.5) della lezione 24, diventano

=

+

=++

=+

0a8F16

11

4

3

29

2

a8F32

29

0F4

3F

16

9

13

2F

32

139

29

2F

32

29F

16

11

0F13

3F

32

139

29

5F

32

29

(25.3)

F

F

F

a a

a

a

a

a


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Figura 25.8.

Naturalmente il soddisfacimento di queste equazioni non unacondizione sufficiente per affermare la correttezza dei risultati;viceversa il non soddisfacimento di queste equazioni indica concertezza la presenza di qualche errore.

F

1

A

11

3

10

G

a

3F/4

2

F1 2

B

4

C

6

7

58

1110

D E

H

a a a a a a a a

a

a

a

3F/4

2F9

5

7

8

9

10

2

29F/32

29F/32

11F/16

913F/32

913F/32 9F/16

9F/1611F/16


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Sono proposti nel seguito alcuni esempi. Si consiglia al lettore dirisolverli in modo autonomo e di utilizzare la soluzione riportata nellaprossima sessione di studio per un controllo dei risultati trovati.

Esempio 25.3

Si determini lo sforzo normale nellasta 1 della strutturareticolare di figura 25.9.

Figura 25.9.

Esempio 25.4

Si determinino gli sforzi normali nelle aste della struttura difigura 25.10.

Figura 25.10.

L L L

L/3

2L/3

F F

2

1

5

4

3

8

7

6

910

11

1

F

a

a

3a/2 3a/2

A

B

C


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Sono commentate nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nellasessione precedente.

Soluzione dell esempio 25.3

Per la struttura di figura 25.9 la condizione di isostaticit (24.3) soddisfatta (7 aste e 5 nodi); la struttura esternamente isostatica(vincoli esterni di molteplicit totale pari a 3) e non suscettibile dispostamenti rigidi. La struttura quindi una reticolare isostatica. Le

reazioni vincolari esterne evidenziate in figura 25.11 si determinanoimmediatamente e sono

FRA =

3

FR

B =

3

FR

C= (e.3.1)

Per la determinazione lo sforzo normale N1 dellasta 1 si opera lasezione di Ritter difigura 25.11 che taglia le aste 1, 2 e 3.

Figura 25.11.

Si evidenziano poi gli sforzi normali delle aste sezionate come

mostrato infigura 25.12.

Figura 25.12.

1

2

3

1

2

3

F

a

a

F

F/3

F/33a/2

N3

N3

N1

N1

N2

N2

A

B

C

D

1

2

3

F

a

a

3a/2 3a/2

A

B

C

RA

RB

RC


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Assumendo come polo il nodo A al quale convergono le aste 1 e 3,

lequazione di equilibrio alla rotazione della parte di sinistra dellastruttura consente limmediata determinazione di N2:

0cosaN2

= quindi 0N2= (e.3.2)

essendo cosa il braccio di N2, rispetto al polo A cio la distanzadella sua retta di azione dal nodo A.Lequazione di equilibrio alla traslazione verticale della stessa parte distruttura

03

FsinN

3 = da cui F

6

13N

3= (e.3.3)

avendo tenuto conto della (e.3.2) ed essendo 132sin = (figura25.11). Infine lequazione di equilibrio alla traslazione orizzontale

FcosNN31 =+ da cui

2

FN

1= (e.3.4)

avendo tenuto conto della (e.3.2) e della (e.3.3) ed essendo133cos = (figura 25.11).

Come verifica si pu controllare che gli sforzi normali determinatisoddisfano le equazioni di equilibrio della parte destra della struttura:

=+=+

=+

=+

0a2

3

3

FaF

13

3aF

6

13a

2

3

3

FaF

13

3aN

03

F

13

2F

6

13

0F13

3F6

13

2

F

3

(e.3.5)

nella terza delle (e.3.5) i momenti delle forze applicate alla parte didestra della struttura sono calcolati avendo scelto il nodo D comepolo.

Soluzione dell esempio 25.4

La struttura di figura 25.10 isostatica. Le funzionitrigonometriche degli angoli e indicati in figura 25.10 sono

2

2sin =

10

1sin =

13

2sin =

2

2cos =

10

3cos =

13

3cos =

(e.4.1)

Le sue reazioni vincolari esterne sono rappresentate infigura 25.13.


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Figura 25.13.

Scegliendo di procedere con il metodo delle sezioni di Ritter possonoconsiderarsi le sezioni e di figura 25.13. Relativamente allasezione si ha (figura 25.14):

=

==++

0LFL3

2N

0sinN

0NcosNN

3

4

543

quindi

==

=

==

F5.1F2

3N

0N

F5.1F2

3N

5

4

3

(e.4.2)

Figura 25.14.

Relativamente alla sezione si ha (figura 25.15):

=

==++

0L3

2N

FsinN

0NcosNN

6

7

876

quindi

==

==

=

F5.1F2

3N

F803.12

13FN

0N

8

7

6

(e.4.3)

L

L/3

2L/3

F

2

1

5

4

3

F

L

F

5

4

3

8

7

6

9

F

N5

N4

N3

N5

N4

N3

1011

L L L

L/3

2L/3

F F

2

1

5

4

3

8

7

6

9

F

F

1011


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Figura 25.15.

Restano da determinare gli sforzi normali nelle aste 1, 2, 9, 10 ed 11per i quali si pu procedere con il metodo dellequilibrio dei nodi,tenendo conto dei risultati gi ottenuti (figura 25.16). Relativamente alnodo A si ha

FN9 = (e.4.4)

Relativamente al nodo B si ha

FN10

= (e.4.5)

Relativamente al nodo C si ha

=+=

FNsinN

F2

3

cosN

112

2 quindi

==

==

F5.0F2

1N

F121.2F

2

3N

11

2

(e.4.6)

Infine, relativamente al nodo D si ha

=+=+FsinNsinN

0cosNcosN

21

21 quindi

==

==

F121.2F2

3N

F581.1F2

10N

2

1

(e.4.7)

Figura 25.16.

L L L

L/3

2L/3

F F

2

1

5

4

3

8

7

6

9

F

F

A

F

A

N9

B10

F

N10

3F/2

B

3F/2

C

11

F

C3F/2

N11

N2

F

DN2

N1

D

E G

L L

L/3

2L/3

F F

2

1

5

4

3

8

7

6

F

8

7

6

9

F

N8

N7

N6

N8

N7

N6

10

11


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I risultati appena determinati possono essere controllati verificando ilsoddisfacimento delle equazioni di equilibrio relative ai nodi E e G.Questa operazione lasciata al lettore per esercizio. Si hanno indefinitiva gli sforzi normali riassunti infigura 25.17.

Figura 25.17.

L L L

L/3

2L/3

F F

F

F

-2.121F

+1.581F

+0.5

F

-F

-F

-1.5F -1.5F

+1.5F

+1.803F

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