函数

你知道吗？

一次函数 反比例函数 二次函数

正比例函数

ky= k≠ 0

xy=kx+b (k≠0)

y=kx(k≠0)一条直线

双曲线

• 得出结论： y=6x ①

动动脑筋

正方体的六个面都是全等的正方形（如下图），设正方体的棱长为 x, 表面积为 y, x 与y 之间可表示成的关系式是什么 ？

2

x

问题 1 多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？

再试试，你能行！

2

1

22

3

M

N

2

1

因为像线段 MN 与 NM 那样 , 连接相同两个顶点的对角线是同一条对角线，所以多边形对角线的总数

由左图可以想出，多边形有 n 条边，那么它有 个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可以作 条对角线 .

d= n(n-3) 即 d= n n ② ② 式表示了多边形的对角线数 d 与边数 n 之间的关系， 对于 n 的每一个值， d 都有一个对应值，即 d 是 n 的函数

问题 2 某工厂一种产品现在的年产量是 20 件，计划今后两年增加产量 . 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍 , 那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定 ,y 与 x 之间的关系应如何表示 ?

即两年后的产量为 y=20 （ 1+x ）即 y=20x +40x+20 ③2

2

这种产品的原产量是 20 件，一年后的产量是 件 , 再经过一年后的产量是 件 .

③ 式表示了两年后的产量 y 与计划增产的倍数x 之间的关系，对于 x 的每一个值， y 都有一个对应的值，即 y 是 x 的函数 .

小组合作：小组合作：1 、前后桌 4 人为一小组，认真观察前面得到的 3 个式子，然后互相交流它们之间是否存在有相同的特征 .① y=6x ② d= n + n ③ y=20x +40x+20

2 、请小组代表发表观点 .

①②③

2

1 22

3

2

2

讨论结果：1 、三个函数表达式都是将函数用自变量的二次式表示的形式

2 、①式的二次式中有二次项没有一次项和常数项

② 式的二次式中有二次项、一次项，但没有常 数项

③ 式的二次式中有二次项、一次项和常数项

相同点：都有二次项

归纳总结

2

一般地，形如 y=a x +bx+c （ a ， b, c 是常数 ,a≠0 ）的函数，叫做二次函数 .其中， x 是自变量， a, b, c 分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项 .

( 特别 : 当 a ≠ 0, b ≠0, c=0, 则二次函数解析式为 y=a x +bx

当 a ≠ 0, c ≠0, b=0, 则二次函数解析式为 y=a x +c

当 a ≠ 0, c =0 , b=0, 则二次函数解析式为 y=a x )

2

2

2

例 1 下列函数中是二次函数的有那一些？

（ 1 ） y=3x+5 （ 2 ） y=

（ 3 ） y=(x+1)(x-3) （ 4 ） y=3x +2x

（ 5 ） y= (6)y=2x +6x – 5

（ 7 ） s=3t - b

2

5

x

x

6

分析：成为二次函数的条件是①函数由含自变量的二次整式来表示 ( 含 1 个自变量，且自变量的最高次数为 2 次 ) ② 二次项系数不为 0

3

2

2

解：是二次函数的有（ 3 ）、（ 6 ） .

2 3 4m mmx

2

( 1) m mm x

例 2 当 m是何值时，下列函数是二次函数，并写出这时的函数关系式．( 1)y = ,m= ,y=

,m= ,y=

.

（ 2 ） y=

分析： ①自变量的最高次数为 2 次

② 二次项系数不为 0

2 或 1

X² 或 -2 X²

-2 或1

22X 或 X

2

基础练习

1 ．某工厂第一年的利润为 20 （万元），第三年的利润 y （万元），与平均年增长率 x 之间的函数关系式是

2 ．在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“ x”(l ） y=-2x ( ) (2 ） y=x-x ( ) (3 ） y=2(x-1) +3 ( )

(4 ） y=-3x -3 ( ) (5) s=a(8-a) ( )

3 ．说出下列二次函数的二次项系数 a ，一次项系数 b 和常数项 c ．(1)y=x 中 a= ,b= ,c= ; (2)y=5x +2x 中 a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1) 中 a= ,b= ,c= .

.

2

2

2

2 2

2

2

4 、当m 是何值时，下面这个函数是二次函数，并写出这时的函数关系式

2 3 2( 4) m mm x y=

5 ．已知二次函数 y=x +bx-c, 当 x=-1 时， y=0; 当 x=3 时， y=0 ， 则 b= ； c=

2

2 、二次函数的概念 一般地，形如 y=a x +bx+c （ a ， b, c 是常数 ,a≠0 ）的函数，叫做二次函数 . 其中， x 是自变量， a, b, c 分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项 . 有如下特殊情况：

2

小 结

当 a ≠ 0, b ≠0, c=0, 则二次函数解析式为 y=a x +bx当 a ≠ 0, c ≠0, b=0, 则二次函数解析式为 y=a x +c当 a ≠ 0, c =0 , b=0, 则二次函数解析式为 y=a x

2

22

1 、通过实际的探索，体会二次函数是刻画世界的一个数学模型 .

r

1 、一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与半径r 之间的关系式 .

2 、 n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式 .