Idrodinamica  Equazione  di  con0nuità  Equazione  di  Bernoulli  

Fluidi  Ideali  Lo studio del moto di un fluido reale sarebbe troppo complesso ed è ancora oggetto di molti studi. Limitiamoci a studiare un liquido reale che sia vincolato alle seguenti caratteristiche. Supponiamo che il nostro fluido sia: •  Incoprimibile, cioè sia un liquido e che la massa volumica sia costante •  Laminare, cioè nel tempo non cambi ne direzione ne verso: il moto dell’acqua al centro di un fiume è laminare, mentre non lo è quello delle rapide. •  non viscoso, la viscosità è l’equivalente dell’attrito nel moto dei solidi. In un fluido ideale l’elica di una barca sarebbe inutile, ma una barca non avrebbe bisogno di un’elica una volta in movimento. •  Irrotazionale, cioè nel suo movimento il liquido non incontra vortici

Equazione  di  con0nuità  •  Consideriamo un liquido che fluisce in un tubo seguendo le specifiche del fluido ideale e vediamo come varia la sua velocità nel caso che il tubo cambi dimensione. •  Supponiamo che nell’intervallo di tempo Δt una certa quantità di liquido ΔV che occupa una regione di spazio con superficie A1 abbia una velocità v1. •  Allora per l’incomprimibilità del liquido la stessa quantità di liquido dovrà lasciare la sezione A2, ma la sua velocità sarà diversa. •  Infatti, sia ΔV la quantità di liquido considerata, allora ΔV = A Δx ovvero ΔV = A vΔt e quindi nel tempo Δt sarà anche A1v1 = A2v2 cioè la portata volumica in [m3/s] è Rv = cost . •  La portata massica espressa in [kg/s] è Rm = ρRv = ρ A v = cost

Equazione  di  Bernoulli  Supponiamo un tubo di flusso che abbia l’ingresso e l’uscita a due diverse quote e siano di due diverse sezioni.

Bernoulli partendo dall’equazione di continuità e facendo semplici considerazioni di conservazione dell’Energia meccanica concluse che:

cost 21

ovvero21

21

2

22221

211

=++

++=++

gyvp

gyvpgyvp

ρρ

ρρρρ

Generalità  dell’Equazione  di  Bernoulli  

2. Se invece il flusso è orizzontale y1 = y2 p1 – p2 = ½ρ (v2

2 – v12)

Si verifica l’affermazione che laddove aumenta la velocità di un fluido diminuisce la pressione (portanza delle ali, tubo di venturi)

Questa equazione ha interessanti implicazioni: 1. Se il fluido è a riposo v1 = v2 ovvero v = 0

p1 - p2 = ρg (y2 – y1) Questa formula è esattamente uguale all’equazione usata da

Torricelli per misurare la pressione atmosfera

Si può notare che l’equazione di Bernoulli non ha le dimensioni dell’energia, ma da questa deriva e vedremo come.

Dimostrazione dell’Equazione di Bernoulli

•  In un certo intervallo di tempo Δt ai due estremi del tubo le superfici che si spostano sono Δs1 e Δs2 e per il principio di continuità dovrà essere: ΔV = Δs1A1 = Δs2A2. •  Il lavoro fatto sarà w = p1A1Δs1 - p2A2Δs2 = w = (p1-p2) ΔV. (In s2 la pressione è diretta in senso opposto alla pressione in s1, quindi segno - in s2 ) •  Il lavoro fatto corrisponde alla variazione dell’energia meccanica.

w = E+U

Ancora sull’equazione di Bernoulli •  D’altronde l’Ek(s1) = ½ mv2 = ½ ρ ΔV v1

2 è l’energia cinetica di una massa m che entra nel tubo di flusso in s1. •  Nello stesso intervallo di tempo la stessa massa dovrà lasciare il tubo da s2 portandosi dietro una energia cinetica Ek(s2) così che possiamo scrivere

ΔEk = Ek(s2) – Ek(s1) = ½ ρ ΔV (v22 - v1

2)

•  L’energia potenziale della massa m entrante in s1 sarà Δmgy1 = ρ ΔVgy1 e quella uscente in s2 nello stesso Δt sarà Δmgy2 = ρ ΔVgy2

ΔU = ρ ΔV g(y2 – y1) •  Per il teorema del Lavoro e dell’Energia

(p1-p2) ΔV = ½ ρ ΔV (v22-v1

2) + ρ ΔV g(y2 - y1) o più semplicemente

p + ½ ρv2 + ρgy = cost [M-1KS-2]

Esempio  classico  Trovare la velocità dell’acqua che esce dal foro?

1.  Bisogna pensare ad un tubo con diametro del serbatoio. Quindi per l’equazione della continuità

Av0 = av v0 = (a/A) v

2.  p0 + ½ ρ v02 + ρ gh = p0 + ½ ρ v2 + ρ g(0) e per v0<<v

v = (2gh)½ (velocità di un grave)

Come  pesare  la  spinta  di  Archimede  Un recipiente pieno d’acqua è posto su una bilancia che indica un peso W. Una pietra che pesa w, agganciata ad una corda, viene immersa nell’acqua senza toccare il fondo.

La pietra sospesa ad un filo e immersa nell’acqua deve rispettare la II legge di Newton e pertanto Σ Fx = 0 e le forze presenti sono: la forza peso w, la tensione del filo T e la forza di galleggiamento B, quindi T + B = w (*).

Newton darà W + w = S + T e tenendo conto della relazione (*) avremo:

W + (T + B) = S + T S = W + B B = ρ g V spinta di Archimede

la bilancia segnerà la forza peso dell’acqua più la spinta di Archimede

Quando mettiamo il sistema isolato sulla bilancia, la molla eserciterà sul sistema una forza S così che la II legge di