2_Crtanje_odziva_sistema_na_zadatu_pobudu[2013-2014]

Materijal za vebe iz predmeta UPRAVLJANJE TEHNIKIM SISTEMIMA 36

Asistenti: Laslo Tarjan, Nikola uki Fakultet tehnikih nauka, 2013/2014

Crtanje odziva sistema na zadatu pobudu

Da bi izraunali odziv nekog sistema potrebno je sraunati vrednost diferencijalnih jednaina sistema u razliitim vremenskim trenucima.

Za proraun diferencijalnih jednaina koristi se ugraena Matlab funkcija ode23. Da bi ode23 funkcija mogla da radi potrebno je napisati funkciju sa parametrima i diferencijalnim jednainama sistema. Preporuka je da se za naziv te funkcije koristi sistem (sistem.m).

function xp=sistem(t,x) %Parametri sistema: K1=1; K2=0.3; B1=1.1; M1=1.2; M2=0.4; %dati su za svaki sistem % Pobudni signal (pobudna sila) F=(t>50).*5; % Diferencijalne jednacine sistema xp=[x(3) x(4) (1./M1).*(-B1.*x(3)-K1.*x(1)-B2(x(3)-x(4))-K2.*(x(1)-x(2)) (1./M2).*(F+B2(x(3)-x(4))+K2.*(x(1)-x(2))-B3.*x(4)];

Funkcija sistem treba da se sauva kao poseban m fajl (ni sluajno u onaj isti odakle se poziva!). Da bi se ode23 funkcija pozvala potrebno je imati napisanu funkciju sistem i potrebno je znati za koji interval vremena se trae vrednosti [t0, tstop] kao i poetne uslove [x1(0), x1(0), x2(0), x1(0)]. Funkcija ode23 se poziva na sledei nain:

[t,y]=ode23(@sistem, [t0, tstop], [x1(0), x1(0), x2(0), x2(0), ...]); Primer poziva funkcije za prethodni primer sistema:

[t,y]=ode23(@sistem, [0, 1000], [0, 0, 0, 0]);

ode23 funkcija vraa vremenske trenutke u kojima su raunate vrednosti diferencijalnih jednaina (t - vektor) i vrednosti x-ova i x -ova u tim vremenskim trenucima (y - matrica). U prethodnom primeru y matrica sadri etiri kolone u kojima su vrednosti za

2211 ,,, xxxx u razliitim vremenskim trenucima. Da bi se rezultat grafiki prikazao potrebno je pozvati Matlab funkciju plot koja e

iscrtati dobijene rezultate. Poziv plot funkcije u ovom sluaju bi bio: plot(t,y)

Postupak rada:

1. Napie se funkcija sistem (function xp=sistem(t,x)) u posebnom m fajlu (sistem.m).

2. U Matlab okruenju ili u m fajlu u kom se trenutno radi zadatak, otkuca se poziv ode23 funkcije:

([t,y]=ode23(@sistem, [0, 1000], [0, 0, 0, 0]);) 3. Da bi se grafiki prikazalo reenje, otkuca se plot(t,y).



Crtanje odziva sistema na zadatu pobudu

Zadaci za vebu 1) Za mehaniki sistem sa slike:

a) Napisati diferencijalnu jednainu koja opisuje ponaanje sistema.

b) Uvesti smene tako da se od dobijene diferencijalne jednaine drugog reda dobije diferencijalna jednaina prvog reda. Dobijene diferencijalne jednaine prvog reda izraziti u vidu matrice (xp matrica).

c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema za prvih 10 sekundi ako se sila F(t) menja po zadatom dijagramu a parametri sistema su: K=10, B1=5, M=0.8. Stanje sistema u poetnom trenutku je: x(0)=0, x(0)=0.

REENJE a) Prvo je potrebno uraditi dekompoziciju sistema i nacrtati sve sile (direktne i indirektne) koje deluju na masu M.

Na osnovu slike koja pokazuje sve sile koje deluju na masu M mogue je napisati diferencijalnu jednainu (suma svih sila koje deluju na masu treba da je jednaka 0) koja opisuje ponaanje sistema:

FKxxBxM b) Smena:

xx 1 21 xx

xx 2 )(1

122 xKxBFMxx

xp=[x(2) (1/M).*(F-B.*x(2)-K.*x(1))];

c) Prvo je potrebno definisati nain promene sile F(t). Da bi se lako moglo proveriti da li je sila F(t)dobro definisana, definisae se i vreme t, i nakon toga uz pomo funkcije plot() proveriti da li se dobija eljena promena. NAPOMENA: Prilikom definisanj1 sistema za ode23 funkciju nije potrebno definisati vreme t.

% definisanje i provera sile F(t) - I nacin t=0:0.01:10; % definisanje vremena f=(t=5)*10; % opis nacin a promene sile F(t) plot(t,f) %iscrtavanje signala

% definisanje i provera sile F(t) - II nacin t=0:0.01:10; % definisanje vremena f=(t>=5)*10; % opis nacin a promene sile F(t) plot(t,f) %iscrtavanje signala



Nakon to je opisana silaF(t), moe se napisati funkcija koja e definisati sistem, koja se kasnije prosleuje funkcijiode23. Sistem se definie u obliku funkcije (function xp=sistem(t,x)) u posebnom m fajlu.

sistem1.m function xp=sistem1(t,x)%definicija mehanickog sistema iz zadatka 1 % Konstante sistema K=10; B1=5; M=0.8; % Definisanje promene sile F(t) F=(t>=5)*10; % XP matrica sistema xp=[x(2) (1/M).*(F-B.*x(2)-K.*x(1))];

Nakon definisanja sistema potrebno je pozvati ode23 funkciju koja e za eljeni vremenski interval izraunati vrednosti pozicija (x) i brzina (x) u zadatom vremenskom intervalu a nakon toga sa funkcijom plot e se dobijeni rezultati predstaviti na grafiku.

poziv1.m % poziv ode23 funkcije[t,y]=ode23(@sistem1, [0, 10], [0, 0]); % prikaz odziva sistema plot(t,y,'LineWidth',2) % 'LineWidth',2 - debljina linije 2 px TITLE('Odziv sistema iz zadatka 1') % naslov XLABEL('vreme t [s]'); % x-osa YLABEL('promena pozicije i brzine'); %y-osa LEGEND('x - pozicija','v - brzina'); %legenda

Dobijeniodziv sistema:



2) Za mehaniki sistem sa slike: a) Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju

ponaanje sistema.

b) Uvesti smene tako da se od dobijenih diferencijalnih jednaina drugog reda dobiju diferencijalne jednaine prvog reda. Dobijene diferencijalne jednaine prvog reda izraziti u vidu matrice (xp matrica).

c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema za prvih 15 sekundi ako se sila F(t) menja po zadatom dijagramu a parametri sistema su: K1=3.5, B1=5, K2=1.5, B2=5, B3=1.5, M1=5, M2=2, g=9.81. Stanje sistema u poetnom trenutku je: x1(0)=0, x1(0)=0, x2(0)=0, x2(0)=0.

REENJE

a) Prvo je potrebno uraditi dekompoziciju sistema i nacrtati sve sile (direktne i indirektne) koje deluju na masu Na osnovu slika koja pokazuju sve sile koje deluju na masu M mogue je napisati diferencijalnu jednainu (suma svih sila treba da je jednaka 0) koja opisuje ponaanje sistema:

0)()(

2122222

212111111

xxKxBxMFxxKxKxBxM

b) Smena:

11 xx 31 xx 22 xx 42 xx

13 xx ))((1

21211311

13 xxKxKxBFMxx

24 xx ))((1

422122

24 xBxxKMxx

xp=[x(3) x(4) (1/M1).*(F-B1.*x(3)-K1.*x(1)-K2.*(x(1)-x(2))) (1/M2).*(K2.*(x(1)-x(2))-B2.*x(4))];



c) Prvo je potrebno definisati nain promene sile F(t). Da bi se lako moglo proveriti da li je sila F(t)dobro definisana, definisae se i vreme t, i nakon toga uz pomo funkcije plot() proveriti da li se dobija eljena promena. NAPOMENA: Prilikom definisanja sistema za ode23 funkciju nije potrebno definisati vreme t.

% definisanje i provera sile F(t) t=0:0.01:15; % definisanje vremena F=(t=5)&(t



Dobijeni odziv sistema:



3) Za mehaniki sistem sa slike: a) Napisati diferencijalne jednaine

koje opisuju ponaanje sistema.


c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema za prvih 2*pi sekundi ako se sila F(t) menja po zadatom dijagramu a parametri sistema su: K1=0.2, B1=0.5, K2=0.3, K3=1, M1=0.5, M2=0.2, g=9.81. Stanje

sistema u poetnom trenutku je: x1(0)=0, x1(0)=0, x2(0)=0, x2(0)=0.

REENJE

a) Prvo je potrebno uraditi dekompoziciju sistema i nacrtati sve sile (direktne i indirektne) koje deluju na masu Na osnovu slika koja pokazuju sve sile koje deluju na masu M mogue je napisati diferencijalnu jednainu (suma svih sila treba da je jednaka 0) koja opisuje ponaanje sistema:

gMfxxKxMgMxxKxKxKxBxM

xKK

221322

1213

)(

12111111

)()(

121

b)Smena:

11 xx 31 xx 22 xx 42 xx

13 xx ))()((1

2131213111

13 xxKxKKxBgMMxx

24 xx ))((1

21322

24 xxKgMfMxx

xp=[x(3) x(4) (1/M1).*(M1.*g-B1.*x(3)-(K1+K2).*x(1)-K3.*(x(1)-x(2))) (1/M2).*(f+M2.*g+K3.*(x(1)-x(2)))];




% definisanje i provera sile F(t) t=0:0.01:(2*pi); % definisanje vremena F=abs(sin(t)); % opis nacin a promene sile F(t) plot(t,F, 'LineWidth',3) %iscrtavanje signala

Nakon to je opisana sila F(t), moe se napisati funkcija koja e definisati sistem, koja se kasnije prosleuje funkciji ode23. Sistem se definie u obliku funkcije (function xp=sistem(t,x)) u posebnomm fajlu.

sistem3.m function xp=sistem3(t,x)%definicija mehanickog sistema iz zadatka 3 % Konstante sistema K1=0.2; B1=0.5; K2=0.3; K3=1; M1=0.5; M2=0.2; g=9.81; % Definisanje promene sile F(t) f=abs(sin(t)); % XP matrica sistema xp=[x(3) x(4) (1/M1).*(M1.*g-B1.*x(3)-(K1+K2).*x(1)-K3.*(x(1)-x(2))) (1/M2).*(f+M2.*g+K3.*(x(1)-x(2)))];


poziv3.m % poziv ode23 funkcije[t,y]=ode23(@sistem3, [0, 2*pi], [0,0,0,0]); % prikaz odziva sistema plot(t,y,'LineWidth',2) % 'LineWidth',2 - debljina linije 2 px TITLE('Odziv sistema iz zadatka 3') % naslov XLABEL('vreme t [s]'); % x-osa YLABEL('promena pozicije i brzine'); %y-osa LEGEND('x1 - pozicija M1', 'x2 - pozicija M2',... 'v1 - brzina M1','v2 - brzina M2'); %legenda



4) Za mehaniki sistem sa slike: a) Napisati diferencijalne

jednaine koje opisuju ponaanje sistema.


c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema za prvih 40 sekundi ako se sila F(t) menja po zadatom dijagramu a parametri sistema su: B1=12.5, B2=0.5, K1=0.25, K2=0.3, K3=0.5, M1=0.2, M2=0.3, M3=0.25, g=9.81. Stanje sistema u poetnom trenutku je: x1(0)=0, x1(0)=0, x2(0)=0, x2(0)=0, x3(0)=0, x3(0)=0.

REENJE a) Prvo je potrebno uraditi dekompoziciju sistema i nacrtati sve sile (direktne i indirektne) koje deluju na mase M1, M2 i M3. Na osnovu slika koja pokazuju sve sile koje deluju na svaku masu mogue je napisati diferencijalne jednaine (suma svih sila koje deluju na masu treba da je jednaka 0) koje opisuju ponaanje sistema:

gMxxKxxBxMgMfxxKxxKxxKxxBxM

gMxxKxxKxBxMxxKK

xxKK

332332233

2

))((

21221132332222

1

))((

2122111111

)()()()()()(

)()(2121

2121



b) Smena:

11 xx 41 xx

22 xx 52 xx

33 xx 63 xx

14 xx ))()((1

21214111

14 xxKKxBgMMxx

25 xx ))()()()((1

212132365222

25 xxKKxxKxxBgMfMxx

36 xx ))()((1

32365233

36 xxKxxBgMMxx

xp=[x(4) x(5) x(6) (1/M1).*(M1.*g-B1.*x(4)-(K1+K2).*(x(1)-x(2))) (1/M2).*(f+M2.*g-B2.*(x(5)-x(6))-K3.*(x(2)-x(3))+(K1+K2).*(x(1)-x(2))) (1/M3).*(M3.*g+B2*(x(5)-x(6))+K3.*(x(2)-x(3)))]; c) Prvo je potrebno definisati nain promene sile F(t). Da bi se lako moglo proveriti da li je sila F(t)dobro definisana, definisae se i vreme t, i nakon toga uz pomo funkcije plot() proveriti da li se dobija eljena promena. NAPOMENA: Prilikom definisanja sistema za ode23 funkciju nije potrebno definisati vreme t.

% definisanje i provera sile F(t) t=0:0.01:40; % definisanje vremena f=(t=5)&(t=10)&(t=20)&(t=30)&(t




sistem4.m function xp=sistem4(t,x)%definicija mehanickog sistema iz zadatka 4 % Konstante sistema B1=12.5; B2=5; K1=0.25; K2=0.3; K3=0.5; M1=0.2; M2=0.3; M3=0.25; g=9.81; % Definisanje promene sile F(t) f=(t=5)&(t=10)&(t=20)&(t=30)&(t




KOMENTAR: Sa dijagrama odziva sistema se vidi da se sistem ne zaustavlja na nekoj poziciji nego tei beskonanosti. Razlog za to je to sem trenja prema plafonu (B1) ne postoji nikakva sila koja vraa sistem prema gore, a sila F kao i gravitaciona sila deluju na dole.



5) Za mehaniki sistem sa slike: a) Napisati diferencijalne

jednaine koje opisuju ponaanje sistema.


c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema za prvih 2*pi sekundi ako se sila F(t) menja po zadatom dijagramu a parametri sistema su:

B1=12.5, B2=0.5, K1=0.25, K2=0.3, K3=0.5, M1=0.2, M2=0.3, M3=0.25, g=9.81. Stanje sistema u poetnom trenutku je: x1(0)=0, x1(0)=0, x2(0)=0, x2(0)=0, x3(0)=0, x3(0)=0.

REENJE a) Prvo je potrebno uraditi dekompoziciju sistema i nacrtati sve sile (direktne i indirektne) koje deluju na mase M1, M2 i M3. Na osnovu slika koja pokazuju sve sile koje deluju na svaku masu mogue je napisati diferencijalne jednaine (suma svih sila koje deluju na masu treba da je jednaka 0) koje opisuju ponaanje sistema:

0)()( 121211111 gMxxKKxBxM 0)()()()( 21212132332222 gMFxxKKxxKxxBxM

0)()( 2332332233 FgMxxKxxBxM



b) Smena:

11 xx 41 xx

22 xx 52 xx

33 xx 63 xx

14 xx ))()((1

21214111

14 xxKKxBgMMxx

25 xx ))()()()((1

2121323652212

25 xxKKxxKxxBgMFMxx

36 xx ))()((1

323652233

36 xxKxxBFgMMxx

xp=[x(4) x(5) x(6) (1/M1).*(M1.*g-B1.*x(4)-(K1+K2).*(x(1)-x(2))) (1/M2).*(F1+M2.*g-B2.*(x(5)-x(6))-K3.*(x(2)-x(3))+(K1+K2).*(x(1)-x(2))) (1/M3).*(M3.*g-F2+B2*(x(5)-x(6))+K3.*(x(2)-x(3)))]; c) Prvo je potrebno definisati nain promene sile F(t). Da bi se lako moglo proveriti da li je sila F(t)dobro definisana, definisae se i vreme t, i nakon toga uz pomo funkcije plot() proveriti da li se dobija eljena promena. NAPOMENA: Prilikom definisanja sistema za ode23 funkciju nije potrebno definisati vreme t.

% definisanje i provera sile F(t) t=0:0.01:2*pi; % definisanje vremena u1=0.5+(t/25); % opis nacin a promene sile F1(t) u2=abs(sin(t)); F1=min(u2,u1); F2=sin(t); % opis nacin a promene sile F2(t) plot(t,F1, 'LineWidth',3) %iscrtavanje signala figure% otvaranje novog grafika plot(t,F2, 'LineWidth',3) %iscrtavanje signala




sistem5.m function xp=sistem5(t,x)%definicija mehanickog sistema iz zadatka 5 % Konstante sistema B1=12.5; B2=5; K1=0.25; K2=0.3; K3=0.5; M1=0.2; M2=0.3; M3=0.25; g=9.81; % Definisanje promene sile F(t) u1=0.5+(t/25); % opis nacin a promene sile F1(t) u2=abs(sin(t)); F1=min(u2,u1); F2=sin(t); % opis nacin a promene sile F2(t) % XP matrica sistema xp=[x(4) x(5) x(6) (1/M1).*(M1.*g-B1.*x(4)-(K1+K2).*(x(1)-x(2))) (1/M2).*(F1+M2.*g-B2.*(x(5)-x(6))-... K3.*(x(2)-x(3))+(K1+K2).*(x(1)-x(2))) (1/M3).*(M3.*g-F2+B2*(x(5)-x(6))+... K3.*(x(2)-x(3)))];


poziv5.m % poziv ode23 funkcije[t,y]=ode23(@sistem5, [0, 2*pi], [0,0,0,0,0,0]); % prikaz odziva sistema plot(t,y,'LineWidth',2) % 'LineWidth',2 - debljina linije 2 px TITLE('Odziv sistema iz zadatka 5') % naslov XLABEL('vreme t [s]'); % x-osa YLABEL('promena pozicije i brzine'); %y-osa LEGEND('x1 - pozicija M1', 'x2 - pozicija M2', 'x3 - pozicija M3',... 'v1 - brzina M1','v2 - brzina M2', 'v3 - brzina M3'); %legenda




KOMENTAR: Sa dijagrama odziva sistema se vidi da se sistem ne zaustavlja na nekoj poziciji nego tei beskonanosti. Razlog za to je to prema gore deluju samo sila F2 i sila od trenja prema plafonu (B1), a sve ostale sile deluju na dole. Ako se uporede odzivi iz zadatka 4 i zadatka 5, vidi se da je ipak dolazilo do pomeranja prema gore (negativna strana) usled delovanja sile F2 prema gore.



6) Za mehaniki sistem sa slike: a) Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju ponaanje sistema.

b) Uvesti smene tako da se od dobijenihdiferencijalnih jednaina drugog reda dobiju diferencijalne jednaine prvog reda. Dobijene diferencijalne jednaine prvog reda izraziti u vidu matrice (xp matrica).

c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema za prvih 20 sekundi ako se sila F(t) menja po zadatom

dijagramu a parametri sistema su: K1=3.5, B1=5, K2=1.5, B2=5, B3=1.5, M1=5, M2=2, g=9.81. Stanje sistema u poetnom trenutku je: x1(0)=0, x1(0)=0, x2(0)=0, x2(0)=0.

REENJE

aPrvo je potrebno uraditi dekompoziciju sistema i nacrtati sve sile (direktne i indirektne) koje deluju na mase M1, i M2. Na osnovu slika koja pokazuju sve sile koje deluju na svaku masu mogue je napisati diferencijalne jednaine (suma svih sila koje deluju na masu treba da je jednaka 0) koje opisuju ponaanje sistema:

2 0 2 0

b) Smena:

1 2 1 2

xp=[x(3) x(4) (1/M1).*(-B1*x(3)-(B2+2*B3)*(x(3)-x(4))... -K1*x(1)-K2*(x(1)-x(2))+M1*g) (1/M2).*(+(B2+2*B3)*(x(3)-x(4))... +K2*(x(1)-x(2))+M2*g+f)];

M1 M2

F

M1

xxxxxx

xxxxxx

B2 K2

B1 K1

B3 B3

M2

F

x1

x2




% definisanje i provera sile F(t) t=0:0.01:20; % definisanje vremena f=((t>=5)&(t=5+3*pi/2)&(t=5)&(t=5+3*pi/2)&(t



Dobiljeni odziv sistema:



7) Za mehaniki sistem sa slike: a) Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju

ponaanje sistema.


c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema za prvih 50 sekundi ako se sila F(t) menja po zadatom dijagramu a parametri sistema su: B1=1.5, B2=2.5, K1=3, K2=0.7, K3=0.5, M1=2.3, M2=7. Stanje sistema u poetnom trenutku je: x1(0)=0, x1(0)=0, x2(0)=0, x2(0)=0.

REENJE a) Prvo je potrebno uraditi dekompoziciju sistema i nacrtati sve sile (direktne i indirektne) koje deluju na mase M1, i M2. Na osnovu slika koja pokazuju sve sile koje deluju na svaku masu mogue je napisati diferencijalne jednaine (suma svih sila koje deluju na masu treba da je jednaka 0) koje opisuju ponaanje sistema:

0)()()( 2132112121111 xxKKxKxxBxBxM 0)()()( 213221222 FxxKKxxBxM

`

M2

XXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXX

B1

B2

K1

K2K3

F

x1x2



b) Smena:

11 xx 31 xx

22 xx 42 xx

13 xx ))()()((1

213211432311

13 xxKKxKxxBxBMxx

24 xx ))()()((1

21324322

24 FxxKKxxBMxx

xp=[x(3) x(4) (1/M1).*(-B1.*x(3)-B2*(x(3)-x(4))-K1*x(1)-(K2+K3).*(x(1)-x(2))) (1/M2).*(B2*(x(3)-x(4))+(K2+K3).*(x(1)-x(2))+F)]; c) Prvo je potrebno definisati nain promene sile F(t). Da bi se lako moglo proveriti da li je sila F(t)dobro definisana, definisae se i vreme t, i nakon toga uz pomo funkcije plot() proveriti da li se dobija eljena promena. NAPOMENA: Prilikom definisanja sistema za ode23 funkciju nije potrebno definisati vreme t.

% definisanje i provera sile F(t) t=0:0.01:50; % definisanje vremena F=(t=10)&(t=20)&(t




sistem7.m function xp=sistem7(t,x)%definicija mehanickog sistema iz zadatka 7 % Konstante sistema B1=1.5; B2=2.5; K1=3; K2=0.7; K3=0.5; M1=2.3; M2=7; % Definisanje promene sile F(t) F=(t=10)&(t=20)&(t



qout

8) Za termikisistem sa slike: a) Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju ponaanje termikog sistema.

b) Pripremiti jednainu u vidu [nx1] matrice (Qp matrica) pogodne za pozivanje funkcije ode23 (matrica je vektor kolona sa toliko lanova koliko ima jednaina).

c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema za prvih 300 sekundi ako se temperatura grejaa qi(t) menja po zadatom dijagramu a parametri sistema su: C=200, R=0.1, a=20. Stanje sistema u poetnom trenutku je: (0)=20.

REENJE a) Prvo je potrebno ucrtati toplotne struje koje zagrevaju (ulaze) i koje hlade (izlaze) posmatranu sredine. Na osnovu slike koja pokazuje sveulazne (qin) i sve izlazne (qout) toplotne struje mogue je napisati diferencijalnu jednainu za posmatranu sredinu (Cn, n(t)). Ova diferencijalna jednainaopisuje ponaanje termikog sistema:

1 ---------------------------

1 b) Smene:

1

% Qp matrica sistema Qp=[1/C*(qi-(Q(1)-Qa)/R];



c) Prvo je potrebno definisati nain promene temperature grejaaqi(t). Da bi se lako moglo proveriti da li je promena temperature grejaa qi(t)dobro definisana, definisae se i vreme t, i nakon toga uz pomo funkcije plot() proveriti da li se dobija eljena promena. NAPOMENA: Prilikom definisanja sistema za ode23 funkciju nije potrebno definisati vreme t.

% definisanje i provera temperature grejacaqi(t) t=0:0.01:300; % definisanje vremena qi=(t=10*pi/2)&(t=100)&(t



9) Za termikisistem sa slike:

a) Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju ponaanje termikog sistema.

b) Pripremiti jednaine u vidu [nx1] matrice (Qp matrica) pogodne za pozivanje funkcije ode23 (matrica je vektor kolona sa toliko lanova koliko ima jednaina).

c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema za prvih 700 sekundi ako se temperature grejaa q1(t)i q2(t)menjaju po zadatom dijagramu a parametri sistema su: C1=100, C2=600, R1=0.1, R2=0.2, R3=0.1, Qa=20, Q3=30. Stanje sistema u poetnom trenutku je: 1(0)=22.5, 2(0)=27.45.

REENJE a) Prvo je potrebno ucrtati toplotne struje koje zagrevaju (ulaze) i koje hlade (izlaze) posmatranu sredine. Na osnovu slike koja pokazuje sve ulazne (qin) i sve izlazne (qout) toplotne struje mogue je napisati diferencijalnu jednainu za svaku posmatranu sredinu (Cn, n(t)). Ove diferencijalne jednaine opisuju ukupno ponaanje termikog sistema:

1 1

1

1

----------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 1 1

1 1 1 1

qout11

qout12qout21

qout22



b) Smene:

1 2 3

% Qp matrica sistema Qp=[1/C1.*(q1-(Q(1)-Qa)./R1-(Q(1)-Q(2))./R2) 1/C2.*(q2-(Q(2)-Q(1))./R2-(Q(2)-Q3)./R3)];

c) Prvo je potrebno definisati nain promene temperature grejaa q1(t)i q2(t). Da bi se lako moglo proveriti da li je promena temperature grejaa q1(t)i q2(t)dobro definisana, definisae se i vreme t, i nakon toga uz pomo funkcije plot() proveriti da li se dobija eljena promena. NAPOMENA: Prilikom definisanja sistema za ode23 funkciju nije potrebno definisati vreme t.

% definisanje i provera temperature grejacaq1(t) i q2(t) t=0:0.01:700; % definisanje vremena % opis nacin a promene temperature q1(t) q1=((t>=50)&(t=300)&(t=100)&(t=250)&(t=400)&(t=50)&(t=300)&(t=100)&(t=250)&(t=400)&(t



Nakon definisanja sistema potrebno je pozvati ode23 funkciju koja e za eljeni vremenski interval izraunati vrednosti temperature () u zadatom vremenskom intervalu a nakon toga sa funkcijom plot e se dobijeni rezultati predstaviti na grafiku.

poziv9.m % poziv ode23 funkcije[t,Q]=ode23(@sistem9, [0, 700], [22.5 27.45]); % prikaz odziva sistema plot(t,Q,'LineWidth',2) % 'LineWidth',2 - debljina linije 2 px TITLE('Odziv sistema iz zadatka 9') % naslov XLABEL('vreme t [s]'); % x-osa YLABEL('promena temperatura [ ^oC]'); %y-osa LEGEND('\theta_1 - promena temperature sredine 1',... '\theta_2 - promena temperature sredine 2'); %legenda


Na donja dva grafika pokazano je kakav odziv bi se dobio kada bi se ukljuivao samo jedan od grejaa. U prvom sluaju radi samo drugi greja tj. q1=0, a u drugom samo prvi greja tj. q2=0.

function Qp=sistem9(t,Q)%definicija termickog sistema iz zadatka 9 % Konstante sistema C1=100; C2=600; Qa=20; Q3=30; R1=0.1; R2=0.2; R3=0.1; % Definisanje temperature grejaca qi(t) q1=0; q2=((t>=100)&(t=250)&(t=400)&(t



function Qp=sistem9(t,Q)%definicija termickog sistema iz zadatka 9 % Konstante sistema C1=100; C2=600; Qa=20; Q3=30; R1=0.1; R2=0.2; R3=0.1; % Definisanje temperature grejaca qi(t) q1=((t>=50)&(t=300)&(t



10) Za termikisistem sa slike: a) Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju ponaanje termikog sistema. b) Pripremiti jednaine u vidu [nx1] matrice (Qp matrica) pogodne za pozivanje funkcije ode23 (matrica je vektor kolona sa toliko lanova koliko ima jednaina). c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema za prvih 250 sekundi ako se

temperatura grejaa q1(t) menja po zadatom dijagramu a parametri sistema su: Ch=100, Cl=600, Rla=0.1, Rhl=0.5, a=20. Stanje sistema u poetnom trenutku je: 1(0)=20,2(0)=20.


1 1

1 1 ----------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 1 0 1

b)Smene: 1 2

% Qp matrica sistema Qp=[1/Ch.*(qi-(Q(1)-Qa)./Rla-(Q(1)-Q(2))./Rhl) 1/Cl.*((Qa-Q(2))./Rla-(Q(2)-Q(1))./Rhl)];



c) Prvo je potrebno definisati nain promene temperature grejaa qi(t). Da bi se lako moglo proveriti da li je promena temperature grejaa qi(t)dobro definisana, definisae se i vreme t, i nakon toga uz pomo funkcije plot() proveriti da li se dobija eljena promena. NAPOMENA: Prilikom definisanja sistema za ode23 funkciju nije potrebno definisati vreme t.

% definisanje i provera temperature grejacaqi(t) t=0:0.01:250; % definisanje vremena % opis nacin a promene temperature qi(t) q11=(t=100)&(t



11) Za termikisistem sa slike: a) Napisati diferencijalne jednaine koje opisuju ponaanje termikog sistema.

b) Pripremiti jednaine u vidu [nx1] matrice (Qp matrica) pogodne za pozivanje funkcije ode23 (matrica je vektor kolona sa toliko lanova koliko ima jednaina).

c) Koristei funkciju ode23 iscrtati odziv sistema

za prvih 75 sekundi ako se temperature grejaa q2(t) menja po zadatom dijagramu, q1(t)=30, a parametri sistema su: C1=300, C2=100, C3=100, R1=0.1, R2=1.1*R1, R3=2.2*R1, R12=R1/2, R13=0.75*R3, R23=0.4*R3, a=20. Stanje sistema u poetnom trenutku je: 1(0)=20, 2(0)=20, 3(0)=20.


1

1 1

1

1

11

1 1

----------------------------------------------------- 1

1 0 1

----------------------------------------------------- 1

1

1



b) Smene:

1 2 3

% Qp matrica sistema Qp=[1/C1.*(q1-(Q(1)-Qa)./R1-(Q(1)-Q(2))./R12-(Q(1)-Q(3))./R13) 1/C2.*((Q(1)-Q(2))./R12-(Q(2)-Qa)./R2-(Q(2)-Q(3))./R23) 1/C3.*(q2-(Q(3)-Q(1))./R13-(Q(3)-Q(2))./R23-(Q(3)-Qa)./R3)];

c) Prvo je potrebno definisati nain promene temperature grejaa qi(t). Da bi se lako moglo proveriti da li je promena temperature grejaa qi(t)dobro definisana, definisae se i vreme t, i nakon toga uz pomo funkcije plot() proveriti da li se dobija eljena promena. NAPOMENA: Prilikom definisanja sistema za ode23 funkciju nije potrebno definisati vreme t.

% definisanje i provera temperature hladnjakaq2(t) t=0:0.01:75*pi; % definisanje vremena % opis nacin a promene temperature q2(t) x1=2*sin(t/15); q2=min(0,x1); % hladjenje q2 q1=30; % grjanje q1

Nakon to je opisana promena temperature grejaa (q1(t)i q2(t)), moe se napisati funkcija koja e definisati sistem, koja se kasnije prosleuje funkciji ode23. Sistem se definie u obliku funkcije (function Qp=sistem(t,Q)) u posebnomm fajlu.

sistem11.m function Qp=sistem11(t,Q) %definicija termickog sistema iz zadatka 11 % Konstante sistema C1=300; C2=100; C3=100; R1=0.1; R2=1.1*R1; R3=2.2*R1; R12=R1/2; R13=0.75*R3; R23=0.4*R3; Qa=20; % Definisanje promene temperature x1=2*sin(t/15); q2=min(0,x1); % hladjenje q2 q1=30; % grjanje q1 % QP matrica sistema Qp=[1/C1.*(q1-(Q(1)-Qa)./R1-(Q(1)-Q(2))./R12-(Q(1)-Q(3))./R13) 1/C2.*((Q(1)-Q(2))./R12-(Q(2)-Qa)./R2-(Q(2)-Q(3))./R23) 1/C3.*(q2-(Q(3)-Q(1))./R13-(Q(3)-Q(2))./R23-(Q(3)-Qa)./R3)];



Nakon definisanja sistema potrebno je pozvati ode23 funkciju koja e za eljeni vremenski interval izraunati vrednosti temperature () u zadatom vremenskom intervalu a nakon toga sa funkcijom plot e se dobijeni rezultati predstaviti na grafiku.

poziv11.m % poziv ode23 funkcije[t,Q]=ode23(@sistem11, [0, 75*pi], [20 20 20]); % prikaz odziva sistema plot(t,Q,'LineWidth',2) % 'LineWidth',2 - debljina linije 2 px TITLE('Odziv termickog sistema iz zadatka 11') % naslov XLABEL('vreme t [s]'); % x-osa YLABEL('promena temperatura [ ^oC]'); %y-osa LEGEND('\theta_1 - promena temperature sredine 1',... '\theta_2 - promena temperature sredine 2',... '\theta_3 - promena temperature sredine 3'); %legenda


Documents

2_Crtanje_odziva_sistema_na_zadatu_pobudu[2013-2014]