2da tarea de control

EJERCICIOS DESARROLLADOS Nº 2

CARRASCO MALUQUISH MARCIAL Página 1

PROBLEMAS RESUELTOS N ª 2 PROB: 1 Refiriéndose al sistema en lazo cerrado de la figura 1, diseñe un compensador de

adelanto tal que el margen de fase sea 45°, el margen de ganancia no sea

menor que 8dB y la constante de error estático de velocidad sea . Represente las curvas de respuesta a un escalón unitario y a una rampa unitaria con MATLAB.

Sistema no compensado

MATLAB: num=[0 0 0 1];

den = [0.1 1.1 1 0];

sys=tf(num,den);

transf=(sys)/(sys+1);

step(transf)

grid

Repuesta ante un escalón unitario del sistema no compensado



Vamos a utilizar el compensador de adelanto siguiente:

Ya que es especificado como , tenemos MATLAB:

grid

Hacemos K = 1 y definimos . Entonces

Ahora trazamos un diagrama de Bode de

Diagrama de bode de lazo abierto de KGp

num=[0 0 0 4];

den = [0.1 1.1 1 0];

bode(num,den);



De éste gráfico, la fase y márgenes de ganancia son 17° y 8.7dB, respectivamente. Ya que las especificaciones requieren un margen de fase de 45°, vamos a elegir

Esto significa que 12° ha sido añadido al compensador para el cambio en la frecuencia del cruce de ganancia. La fase máxima de adelanto es de 40°. Dado que

Es determinado como 0.2174. Vamos a elegir, en lugar de 0.2174, a ser 0.21, o

El siguiente paso es determinar las frecuencias de esquina y del

compensador en adelanto. Tenga en cuenta que el máximo ángulo de adelanto de

fase se produce en la media geométrica de las dos frecuencias de corte, o .

El valor de la modificación en la curva de magnitud en debido a la inclusión

del término es

Tenemos en cuenta que

Tenemos que encontrar el punto de frecuencia donde, cuando el compensador de adelanto es añadido, la magnitud total se convierte en0 dB. La magnitud es-

6.7778dBcorresponde a . Seleccionamos esta frecuencia para ser la

nueva ganancia de cruce de frecuencia . Entonces obtenemos

Por lo tanto

Y

Así



La función de transferencia de lazo abierto se convierte en

MATLAB: num=[0 0 0 3.1064 4];

den=[0.01631 0.2794 1.2631 1 0];

bode(num,den);

grid

Diagrama de bode de lazo abierto de KGpGc

La función de transferencia de lazo cerrado es



MATLAB: num=[0 0 0 3.1064 4];

den=[0.01631 0.2794 1.2631 4.1064 4];

step(num,den)

grid

Repuesta ante un escalón unitario del sistema compensado

MATLAB: num=[0 0 0 3.1064 4];

den=[0.01631 0.2794 1.2631 4.1064 4];

t=0:0.01:8; r=t;

lsim(numc,denc,r,t)

grid



Repuesta ante una rampa unitario del sistema compensado PROB: 2 Sea el sistema que se muestra en la figura 2.Diseñe un compensador tal que la constante de error estático sea de 50 seg-1,el margen de fase sea 50º y el margen de ganancia sea al menos de 8dB.Representa las curvas a un escalón unitario y a una rampa unitaria del sistema compensado con MATLAB.


MATLAB: num=[1]; den=[1 1 0]; sys=tf(num,den);

transf=sys/(sys+1);

step(transf)

gri



Repuesta ante un escalón unitario del sistema no compensado Siendo

MATLAB: num=[50];

den=[1 1 0];

bode(num,den)

grid



Diagrama de bode de lazo abierto de KGp Como observamos el margen de fase es 8º, por ende el compensador debe aportar un angulo de 42º para que el margen de fase sea 50º y 12º de ajuste por parte del compensador de adelanto.

La nueva frecuencia de corte debe ser:



La función de transferencia del controlador multiplicado con la planta es:

MATLAB: num=[500 620];

den=conv([[1 1 0]],[1 12.38]);

sys=tf(num,den);

bode(sys)

grid

Diagrama de bode de lazo abierto de KGpGc MATLAB: num=[500 620];

den=conv([[1 1 0]],[1 12.38]);

sys=tf(num,den);

transf=sys/(sys+1);

step(transf)

grid




MATLAB: num=[500 7310 1.449e004 7676 0];

den=[1 26.76 703.8 7641 1.464e004 7676 0];

t=0:0.01:5; r=t;

lsim(num,den,r,t)

grid

Repuesta ante una rampa unitario del sistema compensado



PROB: 3 Sea el sistema que se muestra en la figura 3.Diseñe un compensador tal que la constante de error estático sea de 4 seg-1,el margen de fase sea 50º y el margen de ganancia sea al menos de 10dB.Representa las curvas a un escalón unitario y a una rampa unitaria del sistema compensado con MATLAB. Asimismo, dibuje el diagrama de Nyquist del sistema compensado con MATLAB.




Siendo

Agregamos a la función de transferencia en lazo abierto,que es parte del controlador

para la simplificación al momento de hallar la constante de de error estatico de velocidad.

MATLAB: num=[0 1 0.1]; den=[1 0 1]; sys=tf(num,den); transf=sys/(sys+1); step(transf) grid

MATLAB: num=[0 0 40 4];

den=[1 0 1 0];

bode(num,den)

grid



Diagrama de bode de lazo abierto de KGp Como observamos el margen de fase es cero, por ende el compensador debe aportar un angulo de 50º para que el margen de fase sea 50º y 5º de ajuste por parte del compensador de adelanto.





MATLAB: num=conv([400 40],[1 3.24]);

den=conv([[1 0 1 0]],[1 32.44]);

sys=tf(num,den);

bode(sys)

grid

Diagrama de bode de lazo abierto de KGpGc MATLAB: num=conv([400 40],[1 3.24]);

den=conv([[1 0 1 0]],[1 32.44]);

sys=tf(num,den);

transf=sys/(sys+1);

step(transf)

grid



Repuesta ante un escalón unitario del sistema no compensado MATLAB: num=conv([400 40],[1 3.24]);

den=conv([[1 0 1 0]],[1 32.44]);

sys=tf(num,den);

nyquist(sys)

grid

Diagrama de Nyquist de KGpGc



MATLAB: num=[0 0 400 14312 4.387e004 1.852e004 4.347e004 4204 0];

den=[1 64.88 1454 1.444e004 4.598e004 1.858e004 4.452e004 4204 0];

t=0:0.01:100; r=t;

lsim(num,den,r,t)

grid




PROB: 4 Sea el sistema que se muestra en la figura 4 se desea diseñar un compensador tal que la constante de error estático de velocidad sea de 4 seg-1.el margen de fase sea menor de 50º y el margen de ganancia sea al menos de 8dB.Repersente las curvas de respuesta a un escalón unitario y a una rampa del sistema compensado.


MATLAB: num=[2 0.1] den=[1 0.1 6 0.1];

sys=tf(num,den) step(sys)

grid




Siendo

MATLAB: num=[320 16];

den=[1 0.1 4 0];

bode(num,den)

grid




Como observamos el margen de fase es cero, por ende el compensador debe aportar un angulo de 50º para que el margen de fase sea 50º y 5º de ajuste por parte del compensador de adelanto.



MATLAB: num=conv([3200 160],[1 3.24]);

den=conv([1 0.1 4 0],[1 32.44]);

sys=tf(num,den);

bode(sys)

grid




MATLAB: num=conv([3200 160],[1 3.24]);

den=conv([1 0.1 4 0],[1 32.44]);

sys=tf(num,den);

transf=sys/(sys+1);

step(transf)

grid




MATLAB: numc=[3200 114656 3.663e005 5.084e005 1.37e006 6.727e004 0];

denc=[1 65.08 4273 1.154e005 3.748e005 5.102e005 1.387e006 6.727e004 0];

t=0:0.01:8; r=t;

lsim(numc,denc,r,t)

grid




PROB: 5

Sea el sistema que se muestra en la figura 5.Diseña un compensador de retardo

adelanto tal que la constante de error estático de velocidad sea de 20seg-1,el margen

de fase sea de 60º y el margen de ganancia de al menos de 8dB,Represente las

curvas de respuesta a un escalón unitario y a una rampa unitaria del sistema

compensado con MATLAB.


MATLAB:

num=[0 0 0 1];

den=[1 6 5 0];

sys=tf(num,den);


step(transf)

grid




Es el controlador:

Por lo que se eligió:

De donde:

Siendo:

MATLAB:

num=[0 0 0 100];

den=[1 6 5 0];

bode(num,den)

grid




De acuerdo al diagrama de bode elegimos la nueva frecuencia de corte donde el

margen de fase es 0, por ende esta nueva frecuencia radial es de 2.24 rad/s alrededor

de 60ª,en la que por el compensador tanto de retardo y de adelanto se agrega 5ª más,

quedando 65ª,

Donde:

De la que:

Por lo que obtenemos la función de transferencia del compensador de retardo:

Para la función de transferencia del compensador de adelanto, para la nueva

frecuencia, que es 1.5 rad/s su ganancia es 10.5dB,por lo que a partir de esta

,debemos encontrar una línea recta de pendiente 20dB/década ,que pase por el punto

(2.24 rad/s,--10.5dB).

La recta tendrá la forma de:

La recta tendrá la forma de:

Esta al interceptarse con las líneas de 0dB y --20dB, determinan las frecuencias de

esquinas



Por lo que:

Obteniendo finalmente:

Siendo la función de transferencia en lazo abierto:

MATLAB:

num=conv([100 75],[1 0.224]);

den1=conv([1 7.46],[1 0.011]);

den=conv(den1,[1 6 5 0]);

bode(num,den)

grid




MATLAB:

num=conv([100 75],[1 0.224]);

den1=conv([1 7.46],[1 0.011]);

den=conv(den1,[1 6 5 0]);

sys=tf(num,den);


step(transf)

grid




MATLAB: num=[0 0 0 100 1445 6320 8872 4566 675.8 6.893 0];

den=[1 26.94 281.3 1520 4956 1.011e004 1.035e004 4597 676 6.893 0];

t=0:0.01:8;

r=t;

lsim(num,den,r,t)

grid




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