伝送工学２．時間領域・周波数領域

千葉大学工学部

総合工学科電気電子工学コース

橋本研也k.hashimoto@ieee.org

http://www.te.chiba-u.jp/~ken

令和元年8月1日版

フーリエ級数展開

n

nn tjEte )exp()(

周期Tの周期関数e(t)は正弦波の集合として表現可能

両辺にexp(-jmt)を乗じて、t=[0,T]の範囲で積分すると

ここで、n=2n/T

En:各周波数成分の大きさ（スペクトル、スペクトラム）

n

T

T mnn

T

T m dttjEdttjte2/

2/

2/

2/)exp()exp()(

dttjteTET

T mm

2/

2/

1 )exp()( mnT

R

i(t)

ei(t)R

E0

E1

E2

E3

E

1

2

3

i(t)

(a) 時間的に変動する信号源 (b) フーリエ級数による表現

正弦波の集合による表現とは？

n

nn tjEte )exp()(

証明： e(t)が実数ならば、e(t)=e(t)*

の関係より、

1. e(t)が実数ならば、E-n=En*

l

lln

nn tjEtjEte )exp()exp()( ***

の関係よりE-n=En*が成立

2. e(-t)=e(t) ならば、E-n=En

3. e(-t)=-e(t) ならば、E-n=-En

)cos(2)(1

0 tEEte nn

n

)sin(2)(1

tEjte nn

n

n

nnn EtEEte )cos(2)( 0

R

Lei(t)

i(t)

eo(t)

)()(

)()()(

o

i

tRite

tRidt

tdiLte

例題：回路の応答の解析

nn

n

n

n

tjEEI

teteti

)exp()()()(

o

i

o

i

nn

nnnn

RIERILIjE

o

i

RLjEE

n

nn /1

io

ここで

t0

aei(t)

w

xxx /)sin()(sinc

2/2/0

)(i wtAwt

te

矩形波

T

)2/(sinc)exp(2/

2/

1i w

TWadttjaTE m

w

w mn

1)0(sinc TaWE /0i

であるから

（平均値）

-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

-4 -2 0 2 4x

sinc

(x)

xxx /)sin()(sinc

包絡線がx-1で変化

シンク関数

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1

e o(t)

t/T

矩形波入力に対する応答

n

nn

n tjRLj

wTWate )exp(

/1)2/(sinc)(o

R

Cei(t)

i(t)

eo(t)

CRjCREjE

n

nnn

1

io

n

nn

nno tj

CRjwCRj

TWate )exp(

1)2/(sinc)(

矩形波入力に対する応答

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1t/T

e o(t)

関数の直交性(類似性の無さ)dxxfdxxfxfxw

b

ammn

b

anm 2* )()()()(

例１：],[ ,1)( w),exp()( xxjmxxfm とした場合、

mndxxnmj

2})(exp{

例２：

]1,1[ ,1/1)( w

)),(coscos()()(2

1

xxx

xmxTxf mmとした場合、

)1(2

)cos()cos(1

)()(0

0

1

12 mmn

nm dnmdxx

xTxT

関数の完全性

M

Mnmm xfaxe )()(

x=[a,b]の範囲で定義された任意の関数e(x)を

関数列fm(x)の和として表現（amは係数）

が成立する時、 fm(x)は完全系をなすと言う。

0)()(2

lim

b

a

M

Mmmm

MdxxfaxeS

m

mm xfaxe )()(

普通の意味では以下の様に表現できる時

パーシバルの定理

n

n

T

T

EdtteT 22/

2/

21 )(

証明：

nn

m n

T

Tnmnm

T

T

E

dttjTEEdtteT

2

2/

2/

1*2/

2/

21

)exp()(

nm

n

n

T

T

EdtteTe 22/

2/

21RMS )(

注：以下のeRMSはe(t)の実効値

R

i(t)

ei(t)

R

E0

E1

E2

E3

E

1

2

3

i(t)

(a) 周期的な信号源(b) フーリエ展開に

よる表現

各電源からの出力エネルギーの和は元の電源の出力エネルギーと同一

n

n

T

T

ERdtteRT 212/

2/

211 )(

TtjTEte n

nn

2)exp(21)(

周期Tを無限とすれば

ここで、n=2n/T

dttjteTET

T mm

2/

2/)exp()(

dtjEte )exp()(21)(

dttjteE

)exp()()(

フーリエ変換とフーリエ逆変換

任意の関数e(t)は正弦波の集合として表現可能

dttjteteE )exp()()()( F

もしくはfとおくと

dtjEEte )exp()(21)()( 1F

dtjfttefE )2exp()()(

dfjftfEte )2exp()()(

フーリエ変換と逆変換

E(周波数成分の大きさ（スペクトル、スペクトラム）

任意の信号は正弦波の集合で表現可能

•正弦波＝完全性（集合で表現可能）

•E() :スペクトラム(各周波数成分の大きさ)

•正弦波は直交関数＝パーシバルの定理が成立|E()|2は各周波数成分の持つエネルギー

•一般に信号は周波数帯域が有限

•信号は実数

フーリエ変換の性質

•e(t)が実数ならば、E(-)=E()*

•e(t)が対称(e(-t)=e(t))ならば、E()は純実数

•e(t)が斜対称(e(-t)=-e(t))ならば、E()は純虚数

•E(0) [DC成分]は面積

•滑らかな変化は高周波成分少

•パーシバルの定理

dttjteteE )exp()()()( F

dEdtte 22 |)(|

21|)(|

R

i(t)

ei(t)

R

E0

E1

E2

E3

E

1

2

3

i(t)

(a) 時間的に変動する信号源 (b) フーリエ変換に

よる表現

各電源からの出力エネルギーの和は元の電源の出力エネルギーと同一

dE

Rdtte

R22 |)(|1

21|)(|1

微分⇒

積分⇒

)()}({ Ejdt

ted

F

)(1)(

Ej

dtte F

遅延⇒ )()exp()( Ejte F

ラプラス演算子: s=j

線形性⇒ )()()()( 22112211 EaEateatea F

sa

jadttjate

0})(exp{)(F

t0 t=0

e(t)

0)exp(00

)(ttat

te

a/の時 インパルス関数(t) ⇒ F[(t)]

t0 t=0

e(t)

000

)(tt

t

全周波数にわたってフラット、同相

aの時 ステップ関数 u(t) ⇒ F[u(t)]j

t0 t=0

e(t)

0100

)(tt

tu

この部分に高周波成分含まれる

)2/(sinc)2/()2/()( TTTtuTtute FFFここで

t+T/20

1e(t)

-T/2

xxx /)sin()(sinc

2/12/0

)(TtTt

tu

単一パルス

-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

-2 -1 0 1 2x

sinc

(x)

包絡線がx-1で変化

シンク関数

xxx /)sin()(sinc

⇒ F[t(t)]

t0 t=0

e(t)

)2/(sinc)()(2)()( 21 TTTttttTttTte FFFF

t+T0

1e(t)

-T

TtTtTt

te/||1

0)(

三角パルス

000

)(ttt

tt

t

dttutt0

)()(

スケーリング⇒ )/()( aaEtae F

)2/(sinc)( TaaTte F

aの増加と共に

t+aT/20

1e(t)

-aT/2

2/12/0

)(aTtaTt

te

単一パルスの例

1.直流成分の増加

2.高周波成分の干渉によるリップル周期の短縮

積⇒

dEE

EEtete

)()(

)()()()(

21

2121F

畳み込み積分（コンボリューション）

-10-1-0.500.51

-5 0 5 10時間, t/t0

-10-1-0.500.51

-5 0 5 10時間, t/t0

振幅

, e1(

t)振幅

, e2(

t)

0

02 5||0

5||1)(

tttt

te

-1-0.500.51

-10 -5 0 5 10時間, t/t0

e1(t)=cos(2t/t0)

振幅

, e1(

t)e2(

t)

トーンバースト波形

dtjS

dtjStcts

})(exp{)(41

})(exp{)(41)()(

c

c

dtjSts )exp()(

21)(

c(t)=cos(ct)を乗ずると

F()

0-2c -c +c +2c

S()S(+c)/2S(-c)/2

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5時間, t/t0

振幅

, f(t)

f(t)連続

f’(t)不連続

f(t)連続

f’(t)連続

単波交流パルスの波形

f(t)不連続

f’(t)連続

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0 1 2 3 4 5周波数, /0

スペクトラム

, |F(

)| (d

B)

基本波成分の大きさは同一0

f(t)不連続、f’(t)連続、|F()|

f(t)連続、f’(t)不連続、|F()|

f(t)連続、f’(t)連続、|F()|

)cos()( tte c の時

)()()exp()()( ccdttjteE

周期関数のフーリエ変換

の関係より

)}exp(){exp(21)cos( tjtjt ccc

dttj )exp(

21)(

)()( Ttete

ここで

の時

2/

2/)exp()()()exp()()(

T

TdttjteUdttjteE

周期関数のフーリエ変換

kn

TkTTjnU )/2()exp()(

単一周期のスペクトラム

-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

-2 -1 0 1 2相対周波数

スペクトラム

R

L

i(t)

ei(t)

過渡応答の解析例

(1) 入力信号のフーリエ変換

R

L

E0

E1

E2

E3

E

1

2

3

i(t)

(2) 各信号源による応答の和

LjRZ )(

)()( ii teE F

)()()( i11 EZti F

過渡応答の解析例

)]/exp(1)[(

/11

)()(

0

1010

01

LRttuRE

LRjRE

jRE

LjRjEti

FF

F

であるから

)()( 0i tuEte

jEE 0

i )(

LRjjRLjRj /

111)(

1

の時

j⇔sとすれ

ば、ラプラス変換による解析と同一

?ei(t)

線形システム )()()( 22112211 xfaxfaxaxaf

：各周波数毎の応答の和

システム伝達関数（周波数特性）

eo(t)

)()()(

i

o

EEH

dtjEHte )exp()()(21)( io

dtjHth )exp()(21)(

dteh

dethte

)()(

)()()(

i

io

：インパルス応答

：畳み込み積分

dtjEHte )exp()()(21)( io

djeE )exp()()( ii

を代入すると

インパルス関数(t)が入力された時の応答

フーリエ変換

システムの応答

インパルス応答: h(t) 周波数応答: H()

低域通過フィルタ（ＬＰＦ）

-14-12-10-8-6-4-20

0 2 4 6 8 10周波数

伝達関数

[dB

]-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5

インパルス応答

時間

帯域通過フィルタ（ＢＰＦ）の特性

h(t)

h(t)cos(ct)

{H(-c)+H(+c)}/2

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5

インパルス応答

時間

-14-12-10-8-6-4-20

6 8 10 12 14周波数

伝達関数

[dB

]

-14-12-10-8-6-4-20

0 2 4 6 8 10周波数

伝達関数

[dB

]

H()

高域通過フィルタ（ＨＰＦ）の特性

1-H()

インパルス応答

時間

周波数

伝達関数

[dB

]

-14-12-10-8-6-4-20

0 2 4 6 8 10周波数

伝達関数

[dB

]

H()

-14-12-10-8-6-4-20

0 2 4 6 8 10

h(t)

(t)-h(t)

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5

帯域除去フィルタ（ＢＥＦ）の特性

h(t)

(t)-h(t)cos(ct)

1-{H(-c)+H(+c)}/2

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5

インパルス応答

時間

周波数

伝達関数

[dB

]-14-12-10-8-6-4-20

6 8 10 12 14

-14-12-10-8-6-4-20

0 2 4 6 8 10周波数

伝達関数

[dB

]

H()

+6dB/Oct (周波数倍で振幅倍)

-6dB/Oct (周波数倍で振幅半分)

log()

20lo

g|H

()|

=a

虚数極の応答

)()(

ajaa

jj n

n=jaと表現

極を越えると

零点を越えると

位相-90o遅れ

位相±90o変化

-12dB/Oct

20logQ

log()

20lo

g|H

()|

=|n|

複素極の応答

)()()(

))((2

21

2

*

n

nn

nn

nn jQjjjj

QnImn]と表現

Q小

複素極を越えると

位相-180o遅れ

=|n|で位相-90o遅れ

N

mnm tjcth

1)exp()(

極の配置と時間応答

N

mnnnm

N

nnm

m

jj

jjcHjc

m

,1

)()(

1

)0()(

)(

)()(

0

)(Res

各極の応答の和

ここで

•tが小さい時⇒|cm|の大きな成分が支配的

•tが大きい時⇒Im(m)の小さな成分が支配的

N

nn

N

nn

jj

jjcH

1

)(

1

)0(

)(

)()(

0

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

ステップ応答

時間

Q=0.1 (虚数根)Q=0.5 (重根)Q=2.5 (複素根)

極配置と時間応答の関係

複素極のピークにより振動が発生

直流成分不通過

高周波成分通過の割合

h(t-)ei()d

t=

t

t

t

d

t=

ei(t)

eo(t)

dethte )()()( io

畳み込み積分とは？

•時間領域における入力信号の分割

•インパルス応答の重ね合わせ

dtjHth )exp()(21)( ：インパルス応答

•h(t)は実数だから、H(-)=H()*

•因果律（結果は入力より後）h(t)=0 (t<0)

dHH

dHH

)(1)(

)(1)( ヒルベルト変換対

・実部が傾きが虚数部に対応，虚数部の傾きが実数部に対応

時間遅れ零の応答はこの関係に含まれず

伝達関数における極と零点の配置

N

nn

N

nn

jj

jjcH

1

)(

1

)0(

)(

)()(

0

n(極

極の数

c実定数

n0)零点

0零点の数

N

nn

N

nncH

1

)(

1

)0( logloglog)(log0

)()(0 argargarg)(arg njjjjcH

ボード線図で見れば、極と零点の寄与の和

複素共役な零点の寄与は位相のみに影響

インパルス応答

•h(t)0 (t<0)

• では遅延時間無限

)|(|0)|(|)exp(

)(0

0

j

H

実現不可能

•通過域変動発生

•帯域外変動発生

•有限の遷移帯域幅

理想フィルタは実現可能？

]2/)([sinc)( 00

tth

信号の直交性（⇔相関）

1 V

1 V

1 V

(a) 電池１個、電球１個

1 V 1 V

(d) 電池１個、電球１個

1 V 1 V

(e) 電池１個、電球１個

(b) 電池2個、電球2個

1 V

1 V

(c) 電池2個、電球2個

２倍 ２倍４倍

０倍

•電池からの電流は干渉（相関有り）

•電球の光は直交（相関無し）

相関関数Cmn()

dttftfC nmmn )()()(

dttftf

dttfdttfdttftf

nm

nmnm

)()(2

)()()]()([ 222

2信号を同時に加えた時の仕事 2信号を別個に加えた時の仕事

2信号の干渉による仕事

fm(t)=fn(t)の時⇒自己相関関数

fm(t)fn(t)の時⇒相互相関関数

0)]()([)( 2

dttftfF nm

シュバルツの不等式

任意の実関数fm(t)、fn(t)に対して

判別式D0

dttfdttfdttftf nmnm )()()()( 22

0)()()(2)()( 222

dttfdttftfdttfF mnmn

0)()()()( 222

dttfdttfdttftfD nmnm

展開

等号はfm(t)fn(t)の時に成立

Wiener-Khintchineの定理

djFF

djFFC

nm

nmmn

)exp()()(21

)exp()()(21)(

*

相関信号のフーリエ変換はエネルギースペクトラム

W()=Fm()Fn()*

dttjtfdttjtfW nm )exp()()exp()()(

平均相関関数Cmn()

2/

2/

1 )()(lim)(T

T nmTmn dttftfTC

持続する関数の場合、エネルギーは無限

^

dtjPC mnmn )exp()(21)(

2/

2/

2/

2/)exp()()exp()()( lim

T

T n

T

T mT

mn dttjtfdttjtfP

平均相関信号のフーリエ変換はパワースペクトラム（単位時間当りのエネルギースペクトラム）

単位時間当り

dPe )(21

RMS

信号の実効値(Root-Mean-Square, RMS)

2/

2/

21RMS )(lim)0(

T

TTdtteTCe

パワースペクトラムを利用して

?ei(t)

線形システム ：各周波数毎の応答の和

eo(t)

)()()(

i

o

EEH )()()( i

2o WHW

)()()( i2

o PHP

波形が不明でも回路応答の計算可能

干渉性（相関）が無いと

カラオケでAさんとBさんが２人で

一緒に歌ったら？

Aさんが単独に歌った時の出力

＋

Bさんが単独に歌った時の出力

熱(白色雑音)：どの信号とも(自分自身とも)相関無

自分自身との相関∝スペクトラムの幅

雑音のスペクトラムは全ての周波数にわたって平坦

周波数資源を有効に利用すると雑音の様に聞こえる（例）：Faxの通信音

白色雑音の性質＝干渉性（相関）が無

•パワースペクトラムは平坦(P()=PN/2)

•雑音電力は占有帯域幅に比例

•雑音同士の加算はパワースペクトラムの加算

•位相はランダム

•瞬時振幅は正規確率分布に従う

241 Nw

NRMS

w

w

PdPe

dxxpxe )(2

RMS

信号の振幅が確率密度に従えば

N: 標準偏差＝実効値

p(x)がガウス分布の場合

NN

2N

22

RMS 2)2/exp(

dxxxe

時間的な平均と確率的な平均は一致

ガウス性白色雑音

2N

wN

2

P

（振幅はガウス分布、スペクトラムは白色）

（情報理論、通信工学で頻繁に利用）

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

-1 -0.5 0 0.5 1

=0.2

=0.3

=0.4

x

確率密度関数

2)2/exp()(

22xxp ガウス分布の確率密度関数

: 標準偏差 1)(

dxxpなお、