2o Trabalho de Laboratorio - Circuitos Resistivos

Grupo 18, Turno 4afeiraAndre Patrıcio (67898)Bavieche Samgi (67901)Miguel Aleluia (67935)

MEFT, TCFE

10 de Maio de 2011

Resumo

Neste trabalho experimental, analisamos um circuito divisor de tensao analiticamente,tendo-se seguido a sua montagem e verificacao do seu funcionamento.

Analisamos ainda e verificamos o funcionamento, com base no teorema de Thevenin parauma rede de parametros lineares, um bridge circuit, muitas vezes usado para determinar ovalor de resistencias desconhecidas em funcao de valores de resistencias ja conhecidos.

Finalmente, terminamos por analisar e verificar experimentalmente o funcionamento deoutro circuito realizando a sua analise por determinacao do seu equivalente de Norton.

Os resultados experimentais obtidos foram os esperados.

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1 Introducao e Teoria Relevante

I - Resolucao do Circuito Divisor de Tensoes

Pretendemos, nesta etapa, analisar o seguinte circuito divisor de tensao e, em particular, de-terminar a tensao v0 aos terminais da resistencia R2:

Figura 1: Circuito divisor de tensao a analisar

Na analise efectuada, iremos assumir que a bateria nao possui resistencia interna, considerando-a como uma fonte de tensao ideal com tensao nominal igual a Vcc. Caso esse nao fosse o caso,poderıamos modelar a bateria como uma fonte de tensao ideal em serie com um resistor.

Este e um circuito divisor de tensao porque e um unico loop que contem duas resistenciase uma fonte de tensao em serie.

E util para obtermos uma fraccao da tensao nominal da bateria aos terminais da resistenciaR2, marcada como v0.

Para encontrar a relacao entre V2(logo v0), a tensao nominal Vcc da bateria e o valor dasresistencias, aplicamos o metodo dos nos, apesar de uma abordagem analıtica pelo metodobasico KVL/KCL tambem nao ser desadequada.

1- Escolhemos para no de referencia, ground node, o no 1 porque esta ligado a um maximo deramos(2) e liga directamente a uma fonte de tensao, o que permite escrever directamentepara o potencial no no 3 como sendo igual a Vcc:

Figura 2

2- Escrevendo a KCL para o no 2, vemos que

e

R2+

e− Vcc

R1= 0 (1)

2

pelo que

v0 = v2 = e =G1Vcc

G1 + G2=

R2

R1 + R2Vcc (2)

Podemos, agora, obter as restantes variaveis de ramos

i2 =v2R2

=e

R2=

Vcc

R1 + R2(3)

i1 = i2 =Vcc

R1 + R2(4)

i0 = −i1 = − Vcc

R1 + R2(5)

v1 = R1i1 =R1

R1 + R2Vcc (6)

Respostas as Questoes

1- A relacao desejada, v0 = v0(Vcc), e

v0 =R2

R1 + R2Vcc (7)

2- Neste caso em concreto,

R1 = 1kΩ , R2 = 2kΩ (8)

Logo,

R1 + R2 = 3kΩ eR2

R1 + R2=

2

3(9)

Portanto,

v0 =

(2

3

)Vcc (10)

Figura 3: Relacao linear v0(Vcc) para o divisor de tensao com R1 = 1kΩ , R2 = 2kΩ

3

3- Para estes valores de R1 e R2,

R1 = 1kΩ , R2 = 560Ω (11)

Assim,

R1 + R2 = 1.56kΩ eR2

R1 + R2=

14

39≈ 0.36 (12)

Portanto,

v0 =

(14

39

)Vcc (13)

II - Equivalente de Thevenin( Ponte de Wheatstone )

1), 2) e 5) Considerando a bateria uma fonte de tensao ideal, isto e, assumindo que nao possuiresistencia interna, queremos analisar o circuito seguinte:

Ou seja, queremos analisar um circuito Ponte de Wheatstone, usado para medir valoresde resistencias desconhecidas, por comparacao com valores conhecidos.

Comecemos por notar que, quando visto do porto bb’, este circuito e equivalente aoseguinte, pois o potencial e o mesmo nos pontos x e y.

Podemos, agora, encontrar o circuito equivalente Thevenin de cada um dos circuitos A eB assinalados, em relacao aos portos bc e bc’, respectivamente.

4

Os subcircuitos A e B sao ambos divisores de tensao, pelo que a tensao de Theveninequivalente de cada um e

vTHA =R2

R1 + R2Vcc (14)

vTHB =R4

R3 + R4Vcc (15)

Por outro lado, as resistencias de Thevenin equivalentes sao

RTHA = R1||R2 (16)

RTHB = R3||R4 (17)

Logo, o circuito equivalente de Thevenin em relacao ao porto bb’ e o seguinte

Assim, a corrente i que passa pela resistencia R5 e

i =

(R2

R1+R2− R4

R3+R4

)(R1||R2) + R5 + (R3||R4)

(18)

e a tensao vb e

5

vb = iR5 =

(R2

R1+R2− R4

R3+R4

)[(R1||R2)

R5+ 1 + (R3||R4)

R5

]Vcc (19)

No caso R1 = 1kΩ, R2 = 2kΩ, R3 = 560Ω,R4 = 220Ω e R5 =∞, obtemos

vb =5

13Vcc (20)

Devemos notar que, de facto, a relacao vb(Vcc com R5 =∞, circuito aberto no porto bb’,e

vb =

(R2

R1 + R2− R4

R3 + R4

)Vcc (21)

De facto, o circuito com R5 = ∞ consiste em dois divisores de tensao independentesligados a uma fonte de tensao comum Vcc!

3) Podemos encontrar a resistencia equivalente de Thevenin, vista dos terminais bb’, notandoque, curto-circuitando Vcc, o circuito e equivalente ao seguinte:

Logo, a resistencia equivalente e

RTH = (R1||R2) + (R3||R4) (22)

4) Como vimos atras, no caso R5 =∞, a tensao equivalente deaos terminais bb’ e

vTH =

(R2

R1 + R2− R4

R3 + R4

)Vcc (23)

Logo, o circuito de Thevenin equivalente do circuito aberto em bb’, quando visto desteporto, esquematiza-se de seguida

6

Devemos notar ainda que a tensao vb se anula caso

R2

R1=

R4

R3(24)

Assim, podemos substituir R5 por um voltımetro e determinar o valor de uma das resis-tencias em funcao das outras. Por exemplo, desconhecendo R4, podemos usar uma caixade resistencias em R1 para determinar o valor de R4 por identificacao do valor de R1 parao qual vb = 0.

III - Equivalente de Norton

Pretende-se encontrar o circuito de Norton equivalente a seguinte rede linear, em relacao aopar de terminais bb’:

Com os calculos efectuados, mostraremos tambem que podemos converter o circuito deNorton equivalente no de Thevenin.

Comecamos por supor que a bateria e ideal, nao possui resistencia interna consideravel,pelo que passamos a analisar o circuito substituindo a bateria por uma fonte de tensao ideal:

1- Comecamos por determinar a tensao de circuito aberto aos terminais bb’ da rede linearoriginal, vbca.

Pela relacao dos divisores de tensao, vemos de imediato que

vbca = VccR2

R1 + R2(25)

7

Esta e, obiamente, tambem a tensao do circuito de Thevenin equivalente a rede original,vTH :

vTH = vbca = VccR2

R1 + R2(26)

2- Queremos, agora, determinar a corrente de Norton equivalente, iN :

Para isso, notamos que esta e igual a corrente que se obtem quando se aplica um curto-circuito aos terminais bb’, isto e, e igual a corrente de curto-circuito icc da rede original:

Logo, pela relacao do divisore de corrente :

icc = iN =Vcc

(R1||R3) + R1

G3

G3 + G2=

R2Vcc

R1R2 + R1R3 + R2R3(27)

3- Passamos a determinar a resistencia de Norton equivalente ao circuito linear original, quandovisto do porto bb’. Esta pode obter-se calculando a resistencia de circuito aberto da redelinear original, com a fonte de tensao curto-circuitada:

Vemos, assim, que

8

RN = R3 + (R1||R2) =R1R2 + R1R3 + R2R3

R1 + R2(28)

4- Finalmente, estimamos o quociente

vbcaicc

, (29)

uma resistencia, e igual a

vbcaicc

=R2

R1+R2

R2R1R2+R1R3+R2R3

= RN (30)

De facto, este resultado nao e surpreeendente, uma vez que, sendo os circuitos equivalentede Norton e Thevenin

respectivamente, vemos que existe a seguinte relacao entre a tensao de circuito aberto ea resistencia de Norton equivalente:

vbca = iNRN = iccRN (31)

Logo, para determinar qualquer um destes dois tipos de circuitos equivalentes, Nor-ton/Thevenin, basta calcular duas das sequintes tres quantidades:

vbca , icc ou RN = RTH (32)

5- Para completude da analise, concretizamos agora o circuito equivalente com os seguintesvalores numericos:

Vcc = 5V , R1 = 1kΩ , R2 = 560Ω , R3 = 220Ω (33)

O circuito equivalente de Norton em relacao ao porto bb’ esboca-se, entao:

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3) Resultados Experimentais

Resumimos aqui os principais resultados obtidos, de acordo com a numeracao presente noprotocolo do trabalho.

0. Medida das resistencias

Para alem da seleccao das resistencias de acordo com as cores das suas faixas, confirmamosainda o seu valor com o multımetro, tendo obtido os seguintes resultados:

Divisor de Tensao/Thevenin

Resistor Valor Teorico(kΩ) Tol. Fabrico(%) Valor Experimental(kΩ) Desvio a Precisao(%)

R1 1000 5 981 1.9%R2 2000 5 1969 1.6%R3 560 5 553 1.3%R4 220 5 217 1.4%

Norton

Resistor Valor Teorico(kΩ) Tol. Fabrico(%) Valor Experimental(kΩ) Desv. a Precisao(%)

R1 1000 5 981 1.9%R2 560 5 553 1.3%R3 220 5 217 1.4%

A tolerancia de todas as resistencias e de 5%. Como se pode constatar , os valores obtidossao valores representativos da resistencia pois o desvio a precisao e coberto largamente pelatolerancia indicada pelo fabricante.

I. Circuito divisor de tensao

Procedemos a montagem do circuito divisor de tensao da Fig. 1, aqui reproduzido novamente

Figura 4: Circuito divisor de tensao a analisar

e variamos a tensao contınua VCC entre 0 e 5V com incrementos de 1V; com o multımetro,medimos as tensoes VCC e v0 e registamos os valores de i1 = i2 e v0 tal como definidos na figura2, que se apresentam nas tabelas 1 e 2.

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Vcc( V) V0( V )Imposta Experimental Prevista Experimental Desv. Precisao(%)

0 0.010 0.007 0.010 50.0%1 1.005 0.670 0.666 0.6%2 2.010 1.340 1.330 0.7%3 2.980 1.987 1.980 0.3%4 4.000 2.667 2.660 0.2%5 5.000 3.333 3.330 0.1%

Tabela 1: Valores de tensao para o circuito divisor de tensao.

Vcc( V) V0( V )Imposta Experimental Prevista Experimental Desv. Precisao(%)

0 0.010 0.003 0.006 80.0%1 1.005 0.335 0.327 2.4%2 2.010 0.670 0.670 0.0%3 2.980 0.993 1.000 0.7%4 4.000 1.333 1.350 1.3%5 5.000 1.667 1.690 1.4%

Tabela 2: Valores de corrente para o circuito divisor de tensao.

O ajuste da figura 5 confirma a relacao linear v0(Vcc) prevista pela equacao 9. Obtivemosa relacao

v0 = a · Vcc + b (34)

com os valores experimentais a = 0.6656± 0.0003 e b = (1.8± 0.7)× 10−3 V .Vemos, assim, que a relacao teorica foi confirmada experimentalmente uma vez que o desvio

a exactidao de a, 0.2%, e quase coberto pelo respectivo desvio a precisao de 0.1%. Vemos quea ordenada na origem pode ser considerada nula pois apresenta um desvio a precisao bastanteelevada de 40%, resultante da dificuldade em medir valores de tensao muito baixos.

Figura 5: Ajuste dos pares de valores (Vcc, v0 ) a lei teorica 34.

Ja o ajuste da Fig. 6) permitiu-nos encontrar um novo valor experimental para a resistenciaR2, tendo obtido

R2 = (1966± 39)Ω (35)

Tambem neste caso a ordenada na origem b = (−5 ± 4) × 10−3mA e desprezavel dado oseu desvio a precisao de 80%. Verificamos que as medicoes sao compatıveis com o valor daresistencia atras medido, o que comprova a validade de todas as relacoes envolvidas.

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Figura 6: Ajuste dos pares de valores (v0, i2 = i1 ) a lei i2 = i1 = a · v0 + b.

Figura 7: Circuito Ponte de Wheatstone a analisar.

II. Equivalente de Thevenin

Neste etapa, passamos a analisar o circuito Ponte de Wheatstone, aqui repetido na fig:7:

Medicao de Tensao aos terminais aa’

Comecamos por montar o circuito com R5 =∞, ou seja, nao existir ligacao entre os terminaisb b’, e R4 = 220Ω e ligamos a fonte de tensao contınua de 5V aos terminais aa’, tendo depoismedido a tensao experimental vaa′ = 4.98V , a que corresponde um desvio a exactidao de 0.4%.

Este valor e facilmente explicavel se deixarmos de lado a nossa suposicao de estarmos atrabalhar com uma fonte de tensao ideal sem resistencia interna porque, ao ligar a fonte detensao ao circuito, o efeito da resistencia interna e diminuir a tensao efectiva aos terminais dafonte. Poderıamos evitar este pequeno desvio(a resistencia do multimetro e muito maior, ≈ 3ordens de grandeza, que as restantes) em relacao ao ideal modelando a fonte de tensao comouma fonte de tensao ideal em serie com um resistor Rg que teria um valor aproximado

Rg =≈ 0.02

4.98[(R1 + R2)||(R3 + R4)] ≈ 2.5Ω (36)

Medicao de VTH

Medimos, depois, a tensao de circuito aberto vb aos terminais aa’, tensao equivalente de The-venin, tendo obtido os seguintes resultados:

Estes valores esperados foram calculados com os valores experimentais da tensao aa’ e dasresistencias medidos com o voltımetro na primeira fase deste trabalho.

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Figura 8: Modelacao de fonte de tensao nao ideal.

Resistencia R4( Ω )Tensao de Circuito Aberto V bca

Esperado( V ) Medido( V ) Desv. Precisao (%)

220 1.907 1.91 0.2%1000 0.117 0.12 2.4%2000 -0.577 -0.57 1.3%

Note-se que para valores elevados de R4 a tensao vb se torna cada vez mais negativa, o quepode ser interpretado fisicamente pela maior dificuldade de passagem, logo menor corrente, doselectroes pelo ramo de R4 e e traduzido analiticamente pela formula 23.

Verificamos tambem que para R4 = 1000Ω, valor mais proximo do previsto pela relacao 24,o valor de tensao de circuito aberto e mais proximo de zero. De facto, o valor previsto para asituacao de tensao nula e de R∗4 = 1120Ω, sendo a diferenca entre o valor usado e o teorico, empercentagem, igual a 12%.

Os desvios em relacao aos valores esperados sao cobertos pelos erros nos valores das resis-tencias, mas verifica-se que, para R4 = 1000Ω, valor para o qual vb assume o valor minimo dastres medicoes, o desvio a precisao e maior.

Medicao de RTH

Finalmente, medimos o valor da resistencia de circuito aberto, resistencia equivalente de The-venin:

Teorico(Ω) Experimental(Ω) Desv. a Precisao(%)

812 822 1.2%

Assim, o circuito de Thevenin equivalente, em relacao ao porto bb’, determinado experi-mentalmente e o seguinte:

III. Equivalente de Norton

Neste etapa, tal como no anterior, a tensao imposta ideal seria de 5 V; contudo verificamosque, na realidade, existia uma tensao de 4.98 V aos terminais aa’, o que representa um desvio

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a precisao de 0.4%. A justificacao de tal desvio e identica a da etapa anterior. Resumimos aseguir as escalas e posicoes de ground usadas em ambos os canais 1 e 2:

Os resultados obtidos apresentam-se na proxima tabela:

Quantidade Teorico Experimental Desv. a Exactidao(%)

Vbca(V) 1.791 1.79 0.1%Vsc (V) 0.682 0.68 0.3%isc = iN (mA) 3.143 3.08 2%RN (Ω) 570 581 2%

Devemos comecar por notar que os valores esperados usaram os valores experimentais dasresistencias.

Verifica-se que todos os valores experimentais obtidos sao cobertos pelos erros e toleranciasde medicao das resistencias e tensoes.

O circuito de Norton equivalente, em relacao ao porto bb’, determinado de forma experi-mental, e, entao:

4) Conclusao

Todos os objectivos para esta actividade laboratorial foram cumpridos com sucesso, estando asprevisoes teoricas baseadas no modelo de rede de parametros concentrados e na modelacao darede como uma rede linear de acordo com os resultados experimentais obtidos.

Referencias

[1] Agarwal, Anant, and Jeffrey H. Lang. Foundations of Analog and Digital Electronic Cir-cuits( Elsevier, July 2005 ).

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