Electrostatics Note

1

3-2 Electrostatics in Free Space

ในท�น� จะศกษาเก�ยวกบสนามไฟฟาในปรภมเสร (Free Space) ท�ม Permittivity เทากบ ε0 หรอประมาณ

(1/36π)×10-9 = 8.854×10-12 (F/m) เร�มตน Electric Field Intensity (ความเขมสนามไฟฟา) ไดรบการกาหนดนยามใหเปนแรงตอหนวยประจไฟฟา ซ�งประจไฟฟาทดสอบขนาดเลกท�หยดน�ง (very small stationary test charge) ไดรบในกรณถกวางในบรเวณท�มสนามไฟฟา กลาวคอ

qq

FE

0lim→

= (V/m) (3-1)

E แปรผนตรงตามแรงและมทศทางเดยวกบแรง และสงเกตวา หนวย Newton/Coulomb = V/m จาก (3-2) แรงท�กระทาตอประจไฟฟาหยดน�งในสนามไฟฟาเทากบ

EF q= (N) (3-2) สมการพ�นฐานสาหรบ Electrostatics ใน Free space กาหนด divergence และ curl ของ Electric Field Intensity ไว ดงน�

0ερv=⋅∇ E (3-3) และ 0E =×∇ (3-4)

โดย ρv แสดงความหนาแนนของประจไฟฟา (Volume charge density) และมหนวยเปน (C/m3) โดยนยามของ ρv คอ

v

q

vv ∆

∆=

→∆ 0limρ (C/m3)

เง�อนไข (3-4) ระบใหสนามไฟฟาเปน irrotational และเง�อนไข (3-3) ทาใหสนามไฟฟาไมเปน solenoidal (ยกเวน ρv เทากบ 0) เง�อนไขท�งสองน� เปนสมการพ�นฐานท�แสดง Electrostatics และใชในการหาทฤษฎ กฎ และความสมพนธตางๆใน Electrostatics อน�ง (3-3),(3-4) อยในรป differential form เม�อทาการหา volume integral ของท�งสองขางของ (3-3) ดานขวามอ (Right-hand side; RHS) จะเทากบ

00 εερ Q

dvV

v =∫

โดย Q แสดงประจรวมในปรมาตร V และเม�อใช Divergence Theorem ดานซายมอ (Left-hand side; LHS) จะเทากบ

∫∫ ⋅=⋅∇SV

ddv sEE

ดงน�น จะได

0εQ

dS

=⋅∫ sE (Gauss’s law) (3-6)

ในทานองเดยวกน เม�อทาการหา Surface integral ของท�งสองขางของ (3-4) และใช Stokes’ Theorem RHS จะเทากบ

∫∫ ⋅=⋅×∇CS

dd lEsE

ดงน�น จะได

0=⋅∫C dlE (3-7)

Electrostatics Note

2

ซ�งหมายถง “the scalar line integral of the static electric field intensity around any closed path vanishes” (3-6),(3-7) เรยกวา integral form ของ (3-3),(3-4) อน�ง สงเกตวา แรงดนไฟฟาไดจากการ integrate สนามไฟฟา

∫ ⋅=C

dV lE (V)

ดงน�น (3-7) จงหมายถง Kirchhoff’s voltage law : the algebraic sum of voltage drops around any closed circuit is zero

3-3 Coulomb’s Law เม�อพจารณาประจไฟฟาจด (point charge) q ใน Free space ท�ไรขอบเขต (boundless) เม�อเราวาดทรงกลมท�มจดศนยกลางอยตาแหนงเดยวกบ q เน�องจาก point charge ไมมทศทางเจาะจง ทาใหสนามไฟฟาท�เกดจาก point charge บนทรงกลมมขนาดเทากน และมทศทางพงออกจากทรงกลม (ทศทาง r) เม�อใช (3-6) กบรปท� 1 (a) จะได

0

ˆ)ˆ(εq

dsrErdS

rS

=⋅=⋅ ∫∫ sE หรอ 0

24ε

πq

rEdsE rS

r ==∫

ดงน�น

2

04ˆˆ

r

qrEr r πε

==E (V/m) (3-8)

รปท� 1 (3-8) ทาใหรวา the electric field intensity of a point charge is in the outward radial direction and has a magnitude proportional to the charge and inversely proportional to the square of the distance from the charge กรณท� point charge ไมไดอยท�จดกาเนด ดงแสดงในรปท� 1 (b) เม�อกาหนด vector ดงรป จะไดสนามไฟฟาท�จด P ดงน�

2

0 |'|4ˆ

rrE

−=

πεq

aqPP

แตเน�องจาก |'|

'ˆ

rr

rr

−−

=qPa

3

0 |'|4

)'(

rr

rrE

−−

=πεq

P (V/m) (3-11)

Example 3-1 Determine the electric field intensity at P(-0.2,0,-2.3) due to a point charge of +5 (nC) at Q(0.2,0.1,-2.5) in air. All dimensions are in meters.

Electrostatics Note

3

เม�อ point charge q2 ถกวางในสนามไฟฟาท�เกดจาก point charge q1 จะทาใหเกดแรงกระทาตอ q2 เทากบ

2

120

211212212

4ˆ

R

qqaq

πε== EF (N) ; |||| 121212 rrR −==R (3-13)

(3-13) เปนสมการคณตศาสตรแสดง Coulomb’s law : the force between two point charges is proportional to the product of the charges and inversely proportional to the square of the distance of separation.

Example 3-2 The electrostatic deflection system of a cathode-ray oscillograph is depicted in the right figure. Electrons from a heated cathode are given an initial velocity v0=zv0 by a positively charged anode. The electrons enter at z=0 into a region of deflection

plates where a uniform electric field Ed=-yEd is maintained over a width w. Ignoring gravitational effects, find the vertical deflection of the electrons on the fluorescent screen at z=L. 3-3.1 Electric field due to a system of discrete charges

สมมตวา สนามไฟฟาถกสรางข�นจาก point charge จานวน n ประจ q1, q2, …, qn ท�อยในตาแหนงตางกน เน�องจากความเขมสนามไฟฟาเปน linear function ของ rq/r2 จงสามารถใช principle of superposition ได กลาวคอ สนามไฟฟารวมจะไดจากผลรวม vector ของสนามไฟฟาท�เกดจากประจแตละอน จาก (3-13) จะได

3

0

2

3

20

22

3

10

11

||4

)(

||4

)(

||4

)(

n

nqqq

rr

rr

rr

rr

rr

rrE

′−

′−++

′−

′−+

′−

′−=

πεπεπεL หรอ

∑= ′−

′−=

n

k k

kkq

13

0 ||

)(

4

1

rr

rrE

πε (V/m) (3-14)

3-3.2 Electric field due to a continuous distribution charges

สนามไฟฟาถกสรางข�นจากประจท�ตอเน�องกนดงแสดงในรปขวามอ สามารถหาไดจากการ integrate สนามไฟฟาท�เกดจากสวนยอยของประจตอเน�องน�น ถากาหนดให ρv แทน volume charge density (C/m3) แลว สนามไฟฟาท�เกดจาก qdv’ จะเทากบ

2

04

'ˆ

R

dvad v

R περ

=E

Electrostatics Note

4

ดงน�น

∫∫∫ ===' 3

0' 2

0'

'4

1'ˆ

4

1

Vv

V

vR

Vdv

RR

dvad ρ

περ

πεR

EE (V/m) ; R

aR

R=ˆ (3-16)

กรณท�เปนประจตอเน�องบนพ�นผวท�ม surface charge density ρs (C/m2) (3-16) จะเปล�ยนเปน

∫=' 2

0

'ˆ

4

1

S

sR

R

dsa

ρπε

E (V/m) (3-17)

กรณท�เปนประจตอเน�องบนเสนท�ม line charge density ρl (C/m) (3-16) จะเปล�ยนเปน

∫=' 2

0

'ˆ

4

1

L

lR

R

dla

ρπε

E (V/m) (3-18)

Example 3-3 Determine the electric field of an infinitely long, straight, line charge of uniform density ρl (C/m) in air

3-4 Gauss’s Law and Applications

Gauss’s law อยในรป integral form ท�หาไดโดยตรงจาก (3-3) ซ�งเปนเง�อนไข divergence ในรป differential form

ของ Electrostatics กลาวคอ 0ε

Qd

S=⋅∫ sE (3-6)

Gauss’s law : the total outward flux of the E-field over any closed surface in free space is equal to the total charge enclosed in the surface divided by ε0 โดยพ�นผว S อาจเปนส�งสมมตข�น (hypothetical) หรอเปนทางคณตศาสตร (mathematical) ท�เลอกตามความสะดวก และไมจาเปนตองเปนอนเดยวกบพ�นผวทางกายภาพ (physical surface) Gauss’s law เหมาะกบปญหาท�สนามไฟฟามลกษณะสมมาตร อนสงผลให normal component ของสนามไฟฟาบนพ�นผว (ท�เลอกใหเปน Gaussian Surface) เปนคาคงท� เพ�อใหสามารถทาการ integrate ดานซายมอของสมการได Example 3-4 Use Gauss’s law for Example 3-3

Electrostatics Note

5

Example 3-5 Determine the electric field intensity due to an infinite planar charge with a uniform surface charge density ρs.

Example 3-6 Determine the E field due to a spherical cloud of electrons with a volume charge density ρ0 inside and 0 outside.

3-5 Electric Potential

เน�องจาก ( ) 0≡∇×∇ V และ 0E =×∇ ใน Electrostatics จงสามารถกาหนดให E เทากบ V−∇=E (3-26)

โดย V มช�อเรยกวา Electric Potential และเปน Scalar เน�องจากเม�อกาหนดให W เปนงาน (Work) สาหรบเคล�อนประจ q จากจด P1 ไปยงจด P2 จะได

∫ ⋅−=2

1

P

Pd

q

WlE (J/C หรอ V) (3-27)

ดงน�น Electric potential จงหมายถง work done in carrying a charge from one point to another in the presence of E ซ�งไมข�นกบ integration path จากจด P1 ถงจด P2 เน�องจาก E เปน conservative field ความแตกตางระหวาง potential ท�จด 2 จด เปรยบไดกบเปนพลงงานศกยในกลศาสตร กลาวคอ potential difference (Electrostatic voltage) หมายถง ความแตกตางระหวางพลงงานศกยท�จด 2 จดตอหนวยประจ หรอ

∫ ⋅−=−2

112

P

PdVV lE (V) (3-28)

ใหสงเกตวา 12

2

1

2

1

2

1

ˆ VVdVdlVdP

P

P

Pl

P

P−==⋅∇=⋅− ∫∫∫ alE

และ P1 เปรยบเสมอนเปน reference point ขอสงเกตเก�ยวกบ Electric Potential 1. เน�องจากเคร�องหมายลบ ทศทางของ E จะตรงขามกบทศทางการเพ�มข�นของ V 2. ทศทางของ V∇ ต�งฉากกบ surfaces of constant V ดงน�น E ต�งฉากกบ equipotential lines หรอ equipotential surfaces

Electrostatics Note

6

3-5.1 Electric Potential due to a charge distribution

เม�อกาหนดให infinity เปน reference point Electric potential จาก point charge เทากบ

R

qdr

r

qV

R

0

2

0 4ˆ

4ˆ

πεπε=⋅−= ∫∞ rr (V) (3-29)

ดงน�น Electric potential ระหวางจด 2 จดเทากบ

−=−=

120

21

11

412 RR

qVVV PP πε

(3-30)

กรณท�ม point charge จานวน n ประจ q1, q2, …, qn ในตาแหนงตางกน

∑= ′−

=n

k k

kqV

10 ||4

1

rrπε (V) (3-31)

กรณท�เปนประจตอเน�อง V เทากบ

∫='

0

'

4

1

V

v

R

dvV

ρπε

(V/m) (volume charge) (3-38)

∫='

0

'

4

1

S

s

R

dsV

ρπε

(V) (surface charge) (3-39)

∫='

0

'

4

1

L

l

R

dlV

ρπε

(V) (line charge) (3-40)

Example 3-7 Electric potential due to an electric dipole consisting of charges +q and –q with a small separation of d

Example 3-8 Obtain a formula for the electric field intensity on the axis of a circular disk of radius b that carries a uniform surface charge density ρs.

3-6 Material Media in Static Electric Field

วสดทางไฟฟาท�ใชกนอยในปจจบนสามารถจาแนกไดตามคณสมบตการนาไฟฟาได 3 ประเภทใหญๆคอ ตวนาไฟฟา ฉนวนหรอไดอเลกทรกส และสารก�งตวนา เม�อพจารณาจาก Energy band อนไดมาจากทฤษฎทาง Solid State Physics จะไดดงรปท� 1

Electrostatics Note

7

รปท� 1 Energy band structure 3-6.1 Conductors in Static Electric Field เม�อนาประจไฟฟาเขาในตวนาไฟฟา จะเกดสนามไฟฟา ซ�งสงผลใหเกดแรงทาใหประจไฟฟาเคล�อนท�แยกจากกน การเคล�อนท�น� จะเปนไปอยางตอเน�องจนประจท�งหมดไปอยท�พ�นผวของตวนาไฟฟา เปนผลใหประจและสนามไฟฟาภายในตวนาไฟฟาเปน 0 กลาวคอ

0E =

= 0vρ

ท�งน� เน�องจากไมมประจอสระ (free charge) อยในตวนาไฟฟา 0=vρ และเม�อประยกตใช Gauss’ Law จะทาใหไดเง�อนไข 0E = เม�อพจารณาขอบเขตระหวางตวนาไฟฟากบอากาศ ดงแสดงในรปท� 2

รปท� 2 ขอบเขตระหวางตวนาไฟฟากบอากาศ

ถาทาการหาปรพนธตามเสนทาง abcda แลวทาการกาหนดให 0→∆h จะได

0

or0lim0

=

=∆=⋅∫→∆

t

tabcdah

E

wEdlE

กลาวคอ Tangential component ของ E เทากบ 0 ทาใหพ�นผวของตวนาไฟฟาเปน Equipotential Surface ตอมา ถาทาการหาปรพนธบนพ�นผวในรป จะได

00

orερ

ερ s

n

s

nS

ESSEd =∆=∆=⋅∫ sE

ตวอยาง 3-9 กาหนดใหมประจชนดจดขนาด Q อยท�จดศนยกลางของ conducting shell ดงแสดงตามรป 3(a) จงหา V และ E ใหอยในรปฟงกชนของ r

Electrostatics Note

8

รปท� 3 ตวอยาง 3-9 3-6.2 Dielectrics in Static Electric Field วสดท�งหมดประกอบดวยอะตอมท�มจานวนปะจไฟฟาบวกอยตรงกลาง และลอมรอบดวยประจไฟฟาลบในจานวนท�เทาน�น ดงน�น ในสภาพท�ปราศจากสนามไฟฟา ประจจะอยในสถานะเปนกลาง (macroscopically neutral) เม�อมสนามไฟฟา จะเกดการเคล�อนท�ของประจไปตามแรงไฟฟา (qE) สงผลใหเกดเปน electric dipole moment ตามรป 4(b) (เรยกวา polarization) วสดเหลาน�จะเรยกวา nonpolar แตในวสดบางอยาง จะเกด dipole moment ถงแมจะไมมสนามไฟฟา เน�องจากโครงสรางของวสด ยกตวอยางเชน น� า จะเรยกวาเปนแบบ polar และประกอบดวย polar molecule ซ�งม permanent dipole moment ดงแสดงในรปท� 5 แตในสภาพท�ปราศจากสนามไฟฟา ทศทางของ dipole จะกระจดกระจาย สงผลใหเสมอนกบ dipole moment รวมเปน 0 (macroscopically) เม�อมสนามไฟฟา dipole จะเรยงตามทศทางของสนามไฟฟา ดงแสดงในรปท� 5 (b) สงผลให dipole moment รวมไมเปน 0 ดงแสดงในรปท� 6

รปท� 4 ประจใน dielectrics

รปท� 5 Polar molecule รปท� 6 ภายใน dielectric medium

Electrostatics Note

9

เม�อกาหนดนยามของ polarization vector P ดงน�

)(C/mlim 21

0 v

vN

k

k

v ∆=

∑∆

=

→∆

p

P

โดยให N แสดงจานวนของโมเลกลตอหนวยปรมาตร เวกเตอร P จะแสดง volume density of electric dipole moment ถากาหนดให dipole moment ตอหนวยปรมาตร dp = Pdv’ จะหา electric potential ท�เกดจาก dipole moment น�ไดจาก

'4

ˆ

2

0

dvR

dVπε

RP ⋅=

ดงน�น จะได potential ท�เกดจาก P เปน

∫⋅

=' 2

0

'ˆ

4

1

Vdv

RV

RP

πε

ในการศกษาผลของ polarization vector มการกาหนดนยามของส�งตอไปน� 1. Equivalent polarization surface charge density

nps aP ˆ⋅=ρ (C/m2)

2. Equivalent polarization volume charge density เน�องจาก

( ) ∫∫∫ =⋅∇−=⋅−=V

pvVS

n dvdvdsQ ρPaP ˆ

ดงน�น สามารถกาหนดนยามของ polarization volume charge density ดงน� P⋅−∇=pvρ (C/m3)

สงเกตวา ประจรวมภายในตว dielectric จะเทากบ ( ) 0ˆcharge total =⋅∇−⋅=+= ∫∫∫∫ VS

nV

pvS

ps dvdsdvds PaPρρ

สามารถหา potential จาก pvps ρρ , ไดโดยใชวธเดยวกบการหา potential จากประจท�วไป

ตวอยาง 3-10 กาหนดให polarization vector P เทากบ 0ˆPxP = ของไดอเลกทรกสทรงกลมรศม R0 จงหา

pvps ρρ , และประจรวมบนพ�นผวและในปรมาตรของไดอเลกทรกส

3-7 Electric Flux Density and Dielectric Constant

ในไดอเลกทรกส

( )pvv ρρ

ε+=⋅∇

0

1E

แตเน�องจาก P⋅−∇=pvρ

( ) vρε =+⋅∇ PE0 ในท�น� สามารถกาหนดนยามของ Electric Flux Density (หรอ electric displacement) D ใหเปน

Electrostatics Note

10

PED += 0ε (C/m2) ดงน�น จะได

vρ=⋅∇ D และเม�อประยกตใช Divergence Theorem จะได

QdvddvV

vV

==⋅=⋅∇ ∫∫∫ ρS

sDD

ดงน�น

Qd =⋅∫S sD (C)

ในกรณท�เปนวสดแบบ linear และ isotropic สามารถแสดง P ใหอยในรปของ E ไดดงน� EP eχε 0=

โดย eχ มช�อเรยกวา electric susceptibility และไมมหนวย (dimensionless) ในกรณน� สามารถแสดง D ดงน� ( ) EEED εεεχε ==+= re 00 1 (C/m2)

โดย

0

1εε

χε =+= er

มช�อเรยกวา relative permittivity หรอ dielectric constant และไมมหนวย โดยท�วไป สามารถจาแนกประเภทของไดอเลกทรกสไดดงน�

Linear : dielectric constant doesn’t change with applied electric field ↔ non-linear

Isotropic: dielectric constant doesn’t change with direction ↔ anisotropic

Homogeneous: dielectric constant doesn’t change from point to point ↔ inhomogeneous

3-7.1 Dielectric Strength เม�อสนามไฟฟาสงมาก จะสามารถทาใหเกด free charge และ Dielectric จะสามารถนาไฟฟาได ซ�งเรยกวา เกดการ breakdown ความเขมของสนามไฟฟาสงสดท� dielectric สามารถทนได เรยกวา dielectric strength (คลาย strength of material)

ตวอยาง 3-11 กาหนดใหทรงกลมสองลกเช�อมตอกนโดยมประจดงแสดงในรปท� 7 ถากาหนดให b1 < b2 และระยะหางระหวางทรงกลมท�งสองยาวกวารศมเปนอยางมาก จนทาใหประจบนพ�นผวทรงกลมกระจายแบบ uniform distribution จงหาประจบนทรงกลม และ E บนพ�นผวทรงกลม

รปท� 7 ตวอยาง 3-11

Electrostatics Note

11

ตวอยาง 3-9* กาหนดใหมประจชนดจดขนาด Q อยท�จดศนยกลางของ dielectric shell ซ�งม dielectric constant เทากบ εr ดงแสดงตามรป 8(a) จงหา V,E,D,P ใหอยในรปฟงกชนของ r

รปท� 8 ตวอยาง 3-9*

3-8 Boundary Conditions for Electrostatic Fields

รปท� 9 ขอบเขตระหวางวสดสองอยาง

พจารณาขอบเขตของวสดสองอยางดงแสดงในรปท� 9 ถาทาการหาปรพนธตามเสนทาง abcda แลวทาการกาหนดให 0→∆h

จะได

tt

abcdah

EE

EEd

21

210

or0)(lim

=

=∆−+∆=⋅∫→∆wwlE

กลาวคอ Tangential component ของ E ตอเน�องกนท�ขอบเขต ถากาหนดให permittivity ของวสด 1 และ 2 เทากบ ε1 และ ε2 ตามลาดบ จะได

2

2

1

1

εεtt DD

=

Electrostatics Note

12

ตอมา ถาทาการหาปรพนธบนพ�นผวในรป จะได

( ) ( ) SSSd snnnS

∆=∆−⋅=∆⋅+⋅=⋅∫ ρ1222211ˆˆˆ DDaaDaDsD

ดงน�น ( ) snnsn DD ρρ =−=−⋅ 21122 orˆ DDa (C/m2)

ตวอยาง 3-13 แผน Lucite ถกนาเขาในสนามไฟฟา 0ˆExE = ดงแสดงในรปท� 10 จงหา Ei,Di,Pi ใน Lucite

รปท� 10 ตวอยาง 3-13

ตวอยาง 3-14 ขอบเขตของไดอเลกทรกส 2 ชนดท�ม Dielectric constant เทากบ ε1, ε2 ตามลาดบ ถากาหนดใหขนาดของ E ท�จด P1 ในวสด 1 เทากบ E1 และทศทางดงแสดงในรป จงหาขนาดและทศทางของ E2 ท�จด P2

รปท� 11 ตวอยาง 3-14 3-9 CAPACITANCES AND CAPACITORS

ตวนาไฟฟาใน electrostatics เปน equipotential body และประจจะกระจายบนพ�นผวในลกษณะท�ทาใหสนามไฟฟาภายในเปน 0 ถากาหนดให potential ท�ไดจากประจ Q เทากบ V การเพ�ม V ทาใหประจเพ�มข�นตามไปดวย กลาวคอ อตราสวน Q/V เปนคาคงท� ซ�งอาจเหนไดจาก

∫ ∫−=⋅−= dndV s

0ερ

lE และ ∫ ∫−=⋅−= dnk

dkkV s

0ερ

lE

กลาวคอ ประจรวมจะเพ�มข�น k เทาเชนกน โดยท�วไป อตราสวน Q/V จะถกแสดงดวย Capacitance และใชสญลกษณแทนดวย C มหนวยเปน Farad (หรอ C/V)

CVQ = ส�งท�ประยกตใช Capacitance ไดแก ตวเกบประจไฟฟา (Capacitor, Condenser) ดงตวอยางในรปท� 1

Electrostatics Note

13

รปท� 1 A two-conductor capacitor

ในกรณน� ตวเกบประจไฟฟาประกอบดวยตวนาไฟฟา 2 อนท�แยกจากกนดวย free space หรอวสด dielectric เม�อมแหลงจายแรงดนไฟฟาระหวางตวนาไฟฟาท�งสอง จะเกด +Q ท�ดานหน�ง และ –Q อกดานหน�ง จะสงเกตไดวา field line จะต�งฉากกบพ�นผวตวนาไฟฟา ซ�งเปน equipotential surface ในท�น� ถากาหนดใหแรงดนไฟฟาเทากบ V12 Capacitance จะสามารถแสดงไดดวย

12V

QC = (F)

ตวอยาง 3-15 parallel-plate capacitor ท�ประกอบดวยแผนตวนาไฟฟา 2 แผนท�มพ�นท� S และแยกจากกนดวยวสดท�ม dielectric constant ε ดงแสดงในรปท� 2

รปท� 2 ตวอยาง 3-15 ตวอยาง 3-16 A cylindrical capacitor

รปท� 3 ตวอยาง 3-16 ตวอยาง 3-16* A spherical capacitor

รปท� 4 ตวอยาง 3-16*

3-10 ELECTROSTATIC ENERGY AND FORCES

Electric potential ท�จดหน�ง หมายถง งานท�จาเปนสาหรบการนาประจบวกขนาดหน�งหนวยจากตาแหนงอนนต (reference point) มายงจดน�น ในการนาประจ Q2 จากตาแหนงอนนตตานสนามไฟฟาท�เกดจากประจ Q1 ใน free space ไปท�ระยะ R12 จะตองใชงานเทากบ

Electrostatics Note

14

11

120

21

120

12222

44VQ

R

QQ

R

QQVQW ====

πεπε

เน�องจาก E ใน Electrostatics เปนสนาม Conservative ทาให W2 ไมข�นกบเสนทาง (Path-independent) ใหสงเกต

วา หนวยของงาน J = (C)(V) = (C)(J/C) งานขางตนน�จะถกเกบในประจท�งสองในรป Potential energy กลาวคอ

( )221122

1VQVQW +=

ในท�น� ถามประจ Q

3 ถกเขาจากตาแหนงอนนตไปท�ตาแหนง R13,R23 จาก Q1,Q2 งานท�เพ�มข�นจะเทากบ

+==∆

230

2

130

1333

44 R

Q

R

QQVQW

πεπε ผลรวมของ ∆W กบ W

2 จะเปน Potential energy ซ�งจะถกเกบท�ประจท�งสาม กลาวคอ

( )332211

230

2

130

13

230

3

120

12

130

3

120

21

23

32

13

31

12

21

0

23

2

1

4444442

1

4

1

VQVQVQ

R

Q

R

QQ

R

Q

R

QQ

R

Q

R

QQ

R

QQ

R

QQ

R

QQWWW

++=

++

++

+=

++=∆+=

πεπεπεπεπεπε

πε

ใหสงเกตวา V1 ในสมการขางตนเปน potential ท� Q1 ท�เกดจาก Q

1, Q

2 ในกรณท�ประกอบดวย N ประจไมตอเน�อง

potential energy (หรอ Electrostatic Energy) จะเทากบ

J)(2

1

1

∑=

=N

k

kke VQW

สาหรบประจตอเน�อง potential energy สามารถแสดงไดดวย

J)('2

1

'∫=V

ve VdvW ρ

เน�องจากหนวย Joule ใหญเกนไปสาหรบท�จะเปนหนวยของงานทางไฟฟา จงนยมใชหนวย electron-volt (eV)

ซ�งเทากบงานท�จาเปนสาหรบเคล�อนท�อเลกตรอนตานความตางศกย 1 (V) กลาวคอ

J)(1060.1 (eV)1 19−×= ตวอยาง 3-17 หาพลงงานท�จาเปนตอการสรางประจทรงกลมท�มรศม b และมความหนาแนน ρv

รปท� 5 ตวอยาง 3-17 3-10.1 Electrostatic Energy in Terms of Field Quantities

เน�องจาก vρ=⋅∇ D , ∫ ⋅∇='

')(2

1

Ve VdvW D

เม�อใช ( ) VVV ∇+⋅∇=⋅∇ DDD จะได

Electrostatics Note

15

∫∫∫∫ ⋅+⋅=∇−⋅∇=''''

'2

1'

2

1'

2

1')(

2

1

VSVVe dvdVVdvdvVW EDsDDD

เน�องจากโดยท�วไป D แปรผนตาม 1/r2 และ V แปรผนตาม 1/r เปนอยางนอย ดงน�น เม�อกาหนดให V’ เปนทรงกลมรศม r→∞ พจนแรกของ RHS จะเปน 0 ดงน�น

(J)'2

1

'∫ ⋅=V

e dvW ED

ในกรณท�เปน linear, isotropic medium

(J)'2

1

'

2∫=V

e dvEW ε

ในท�น� สามารถกาหนดนยามของ electrostatic energy density we ไดดงน�

∫=='

32 '2

1;)(J/m

Veee dvwWEw ε

ตวอยาง 3-18 A parallel-plate capacitor

รปท� 6 ตวอยาง 3-18 ตวอยาง 3-19 A cylindrical capacitor (รปท� 3) 3-10.2 Electrostatic Forces

Coulomb’s law : the force between two point charges Principle of Virtual Displacement : calculate the force on an object in a charged system from the electrostatic energy of the system

lF ddW Q ⋅=

โดย dW แสดง mechanical work สาหรบเคล�อนท�ไป dl และ FQ แสดง total electric force เน�องจากไมมพลงงานอ�นในระบบ mechanical work ตองเทากบ electrostatic energy ท�เปล�ยนไป กลาวคอ

lF ddWdW Qe ⋅=−=

เน�องจาก ldWdW ee ⋅∇= )(

(N)eQ W−∇=F

ตวอยาง 3-20 the force on conducting plates of a parallel-plate capacitor 3-11 SOLUTION OF ELECTROSTATIC BOUNDARY-VALUE PROBLEMS

ท�ผานมา ไดศกษาเก�ยวกบกรณท�ร charge distribution แลวหา E, D, V, etc. แตในปญหาท�วไป อาจไมสามารถร charge distribution ได จงตองแกปญหาโดยการกาหนดเง�อนไขขอบเขต แลวหาคาตอบท�ไดตามเง�อนไขดงกลาว วธน� เรยกวา วธ Boundary-value problem ซ�งเทากบ differential equation + boundary conditions

Electrostatics Note

16

3-11.1 Poisson’s and Laplace’s Equations

ใน Electrostatics, จะมความสมพนธดงตอไปน� Vv −∇==×∇=⋅∇ E0ED ;;ρ

ใน linear, isotropic medium, เน�องจาก ED ε= , ดงน�น

vV ρεε =∇−⋅∇=⋅∇=⋅∇ )()( ED

เพราะฉะน�น จะได Poisson’s equation และ Laplace’s equation (กรณท� ρv เทากบ 0) ดงตอไปน�

ερ vVsPoisson −=∇ 2:)'( ; 0:)'(

2 =∇ VsLaplace

โดย ∇2(del square) มช�อเรยกวา Laplacian operator 3-11.1* Uniqueness Theorem

Uniqueness theorem เปนส�งท�กาหนดวา มเพยงคาตอบเดยวจากการแก Poisson’s equation หรอ Laplace’s equation พสจน กาหนดให S1, S2, …, Sn เปนพ�นผวรอบตวนาไฟฟา และ S0 เปนพ�นผวรอบปรมาตร V ดงแสดงในรปท� 7

รปท� 7 proof of Uniqueness theorem

สมมตวามคาตอบเกน 1 คาตอบ โดยกาหนดใหเปน V1 และ V2 ซ�งคาตอบท�งสองจะตองเปนคาตอบของ Poisson’s equation ในปรมาตร V

ερ

ερ vv VV −=∇−=∇ 2

2

1

2 ;

และไดตามเง�อนไขขอบเขต กลาวคอ V1, V2 ตองเปนไปตามเง�อนไขขอบเขตท� S1, S2, …, Sn และ S0 ในท�น� ถากาหนดให Vd= V1-V2 จะได

nSSdV

d VV,,in in

2

1

0;0K

==∇

เม�อใช ( ) fff ∇+⋅∇=⋅∇ AAA และกาหนดให f=Vd, A= ∇Vd จะได

( ) 222)()()( dddddddddd VVVVVVVVVV ∇=∇+∇=∇⋅∇+∇⋅∇=∇⋅∇

ทาการหาปรพนธของท�งสองขางของสมการขางตน จะได

( ) ( )∫ ∫∫ ∇=⋅∇=∇⋅∇S V

dddV

dd dvVdVVdvVV2

s

เน�องจาก Vd เทากบ 0 บน S1, S2, …, Sn และบน S0

22 ;/1;/1; rdsrVrVr dd ∝∝∇∝∞→ ดงน�น ปรพนธท�ไดจะตองเปน 0 สงผลให |∇Vd|

2 ตองเปน 0 และเน�องจาก Gradient เปน 0 ทาให Vd ตองเทากบ

Vd บน S1, S2, …, Sn กลาวคอ ตองเทากบ 0 เชนกน ดงน�น V1=V2 และสรปไดวา มไดเพยงคาตอบเดยว ตวอยาง 3-21 parallel conducting plates separated by d with ρ

v=- ρ

0y/d

รปท� 8 ตวอยาง 3-21 ตวอยาง 3-22 Two infinite insulated conducting plates maintained at potentials 0 and V0 (รปท� 9) จงหา potential distribution บรเวณ 0<φ <α และ α <φ<2π

Electrostatics Note

17

รปท� 9 ตวอยาง 3-22 ตวอยาง 3-23

รปท� 10 ตวอยาง 3-23 ตวอยาง 3-16** A spherical capacitor

รปท� 11 ตวอยาง 3-16** 3-11.5 Method of Images

วธน� เปนการแทนท�เง�อนไขขอบเขตดวย Images ท�เหมาะสม เพ�อทาใหงายตอการแกปญหา โดยไมตองทาการแก Poisson’s equation หรอ Laplace’s equation ตวอยาง 3-24 Point Charges Near Conducting Planes ดงแสดงในรป (a)

(a) Physical arrangement

(b) Image charge and field lines รปท� 12 ตวอยาง 3-24

เน�องจากรคาตอบกรณท�ไมม Grounded plane conductor ในท�น� จงพยายามหาคาตอบโดยแทนท� conductor ดวย image charge ท�เหมาะสม ในท�น� จะแทนท�ดวยประจ –Q ท� (0,-d,0) ซ�งจะได

<

≥

+++−

+−+=

−=

−+

00

0)(

1

)(

1

4

11

4),,(

2222220

0

y

yzdyxzdyx

Q

RR

QzyxV

πε

πε

สงเกตวา

จะไดตามเง�อนไข V=0 ท� y=0 E ท� y≥0 จะหาไดจาก

[ ] [ ]

+++

+++−

+−+

+−+=−∇=

2/32222/32220 )(

ˆ)(ˆˆ

)(

ˆ)(ˆˆ

4 zdyx

zdyx

zdyx

zdyxQV

zyxzyxE

πε

Electrostatics Note

18

ดงน�น ( ) 2/322200

2 zdx

QdE

yys

++−==

= περ

Line charge near a parallel conducting cylinder

พจารณาปญหาในรป (a) ในการใช Method of Images ใหสงเกตวา (a) Image ควรจะอยในทรงกระบอก เพ�อทาใหระนาบ r=a เปน equipotential surface (b) Image ควรจะอยบนเสน OP ในท�น� ส�งท�ตองหาคอ ρi,di (ขนาดประจและจด Pi) ในข�นตอนแรกใหกาหนดคา

lρρ −=i จากน�น ทาการหาคา potential จากประจชนดเสน จะ

ได

r

rdr

rdrEV

r

r

r

rr

0

00

ln2

1

2 00 περ

περ

ll ∫∫ =−=−=

ดงน�น potential ท�จด M จะเทากบ potential จากประจชนดเสนท�งสอง กลาวคอ

r

r

r

r

r

rV i

i

M ln2

ln2

ln2 0

0

0

0

0 περ

περ

περ

lll =−=

เพ�อใหระนาบ r=a เปน equipotential surface, ri/r เปนคาคงท� และ ∆OMPi คลายกบ ∆OPM ทาใหได ∠

OMPi=∠ OPM ดงน�น

constantor; =====d

a

a

d

r

r

OP

OM

OM

OP

PM

MP iiii

เพราะฉะน�น di=a

2/d จด Pi มช�อเรยกวา inverse point of P with respect to a circle of radius a ตวอยาง 3-25 Capacitance per unit length between two long parallel circular conducting wires of radius a