3 4 Probabilità discreta: dado a 6 facce Probabilità ...misure.mecc.polimi.it/files/Materiale Didattico Gasparetto/lab1... · v.a. continue: calcolo probabilità 16 Introduzione

1

Misure Meccaniche e Termiche

Introduzione alla statistica

Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali


Fenomeni aleatori2

• I fenomeni aleatori (o casuali) sono fenomeni empirici il cui risultato non è prevedibile a priori, caratterizzati cioèdalla proprietà che la loro osservazione in un insieme fissato di circostanze non conduce sempre agli stessi risultati.

• Non si ha una regolarità deterministica, bensì di tipo statistico, in quanto nell'osservazione del fenomeno in oggetto si può notare che, nonostante l'irregolare comportamento dei singoli risultati, questi nel loro complesso manifestano determinati caratteri di regolarità.


Probabilità discreta: dado a 6 facce

3


-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

Evento: faccia dado

Pro

babi

lità

even

to

Funzione di densità discreta f(x)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

0.5

1

Evento: faccia dado

Pro

babi

lità

cum

ulat

a ev

ento

Funzione di probabilità cumulata discreta F(x)

Probabilità discreta: funzioni statistiche

1/6

2/61/6

3/64/6

5/61

punti massa

4


Valore atteso

• Valore atteso:

• Il valore atteso indica il baricentro della distribuzione e può non coincidere con uno dei suoi punti di massa.

Nel caso del dado a 6 facce:

5


Varianza e deviazione standard

• Varianza:

Indica il momento di inerzia della distribuzione, cioè la sua dispersione attorno al valore medio.

• Deviazione standard (scarto quadratico medio):

6

2


Variabili aleatorie continue

• Ipotizziamo di avere un serbatoio il cui livello può variare concontinuità fra 0 e 100 e che non presenti valori di livello più probabili di altri.

• Quanto vale la probabilità associata ad un preciso valore di livello:h

-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.500.51

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

7


Serbatoio: 100 osservazioni

5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

5

10

15

Livello serbatoio

Num

ero

occo

rren

ze

Istogramma occorrenze - N = 100

5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

0.005

0.01

0.015

0.02

Livello serbatoio

f(x)

Istogramma - N = 100

8


Serbatoio: 1000 e 100mila osservazioni

5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

50

100

Livello serbatoio

Num

ero

occo

rren

ze


5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

0.005

0.01

0.015

Livello serbatoio

f(x)


5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

5000

10000

Livello serbatoio

Num

ero

occo

rren

ze


5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

0.005

0.01

0.015

Livello serbatoio

f(x)


L'aumento delle osservazioni porta ad una maggiore conoscenza del fenomeno aleatorio

9


Serbatoio: 100mila osservazioni

Riducendo le ampiezze delle basi degli istogrammi (aumentando la“risoluzione”) il fenomeno non mantiene la propria regolarità

5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

5000

10000

Livello serbatoio

Num

ero

occo

rren

ze


5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

0.005

0.01

0.015

Livello serbatoio

f(x)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Livello serbatoio

f(x)


10


Serbatoio: 10 milioni di osservazioni

Riducendo le ampiezze delle basi degli istogrammi il fenomeno ora mantiene la propria regolarità

5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

5

10x 10

5

Livello serbatoio

Num

ero

occo

rren

ze


5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

0.005

0.01

0.015

Livello serbatoio

f(x)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Livello serbatoio

f(x)


11


• Si intuisce che se avessimo una conoscenza completa del fenomeno aleatorio N → ∞ , potremmo fare tendere a 0 la base degli istogrammi. Si continuerebbe ad avere un numero finito di osservazioni in ogni intervallo.

• Questo passaggio al limite ci consente di ottenere una funzione continua: la funzione densità di probabilità (per v.a. continue).

Funzione densità di probabilità per v.a. continue12

3


Distribuzione continua uniforme o rettangolare13


Indici statistici

14


f(x) discrete Vs f(x) continue

• La differenza fra le funzioni densità discrete e continue non èsolo formale (sostituzione delle sommatorie con gli integrali):

f(x) per v.a. discrete esprimono una probabilità

f(x) per v.a. continue esprimono una densità di probabilità: la probabilità è associata ad intervalli e si determina quindi mediante un'operazione di integrazione

15


v.a. continue: calcolo probabilità16


Famiglie di distribuzioni

• Tutte le funzioni che soddisfano le proprietà analizzate precedentemente sono possibili funzioni densità di probabilità

• Solo alcune di esse sono però adeguate per modellare particolari fenomeni fisici

• In questo corso sono di interesse: Uniforme (già analizzata) Normale o Gaussiana T-Student

17


Distribuzione Normale o Gaussiana

2

2

2

2

1),,(

x

exf

x

La normale o gaussiana è la distribuzione che descrive la maggior parte dei fenomeni fisici in campo ingegneristico.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

X

f(x)

PDF gaussiana standardizzata

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

X

F(x

)

CDF gaussiana standardizzata

18

4


Distribuzione normale o gaussiana N(,2)

-5 0 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Influenza della media

012

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Influenza della deviazione standard

0.512

La distribuzione gaussiana è completamente descritta da due parametri: media media e varianza 22.

19


• circa il 68% della distribuzione ècompreso nell’intervallo centrato su e di estremi

• circa il 95.5% della distribuzione è compreso nell’intervallo centrato su e di estremi 2


20

Caratteristiche della Gaussiana


• Di particolare importanza è la normale standard, ovvero la distribuzione normale che ha media 0 e varianza (e deviazione standard) pari a 1 (si indica con N(0,1)).

Proprietà: se X N(,2)

se X è una variabile distribuita secondo una normale di media e varianza 22, la variabile è distribuita secondo una normale standard.

• Z è definita variabile standardizzata: consente un semplice uso delle tabelle e consente di effettuare delle valutazioni “normalizzate” (es: entro l'intervallo media 2 deviazioni standard è compreso circa il 95% della distribuzione, per qualsiasi distribuzione gaussiana).

21

Distribuzione normale standard N(,1)


Distribuzione t-Student22


Tabelle statistiche

23


Relazioni utili

• Per le distribuzioni simmetriche (Gaussiana, t-Student, …) valgono le seguenti proprietà:

• Se la distribuzione è a media nulla:

5


25


26


Si calcolino gli estremi dell'intervallo di confidenza al 90% diuna N(30,2).

Esempio uso tabelle statistiche

22 24 26 28 30 32 34 36 380

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

X

f(x)

0.050.05

0.90

27


22 24 26 28 30 32 34 36 380

0.05

0.1

0.15

0.2

X

f(x)

22 24 26 28 30 32 34 36 380

0.05

0.1

0.15

0.2

X

f(x) 0.05

0.05 0.050.90

0.95

28


Applicazione della statistica alle misure

29


Quando si effettua una misura si cerca di ottenere un valore misurato che sia il più vicino possibile al valore vero (sconosciuto e non conoscibile) della grandezza di interesse.

6


Se si fanno ripetere le misure di lunghezza del pesce a diversi pescatori si otterranno valori diversi. Le cause della diversità delle misure rilevata sono molte, e si possono schematizzare in due gruppi:

• effetti sistematici (tirare la coda, misurare lungo la corda)

• effetti casuali


effetti sistematici + casuali effetti casuali

Come trattare tutte queste misure diverse ???Soluzione: LA STATISTICA

Altro esempio: misure ripetute nel tempo


Numero rilevazione

Lettura[kPa]

1 10.02

2 10.20

3 10.26

4 10.20

5 10.22

6 10.13

7 9.97

8 10.12

9 10.09

10 9.90

11 10.05

12 10.17

13 10.42

14 10.21

15 10.23

16 10.11

17 9.98

18 10.10

19 10.04

20 9.81

Si sono effettuate 20 misure di Si sono effettuate 20 misure di pressione in un recipiente:pressione in un recipiente:

Le misure Le misure nonnon sono tutte uguali!sono tutte uguali!

Quale Quale èè la misura che possiamo dire la misura che possiamo dire essere il valore di pressione esistente essere il valore di pressione esistente nel recipiente ?nel recipiente ?

Altro esempio: misure di pressione di un recipiente

Introduzione alla statistica 3434

Si può procedere cosSi può procedere cosìì: si dispongano i dati rilevati in : si dispongano i dati rilevati in ordine crescente e si suddividano in intervalli omogenei ordine crescente e si suddividano in intervalli omogenei (in questo caso si sceglie 0.05 (in questo caso si sceglie 0.05 kPakPa). ).

Si definisca: Si definisca: •• n = numero di letture in un intervallon = numero di letture in un intervallo•• N = numero totale di lettureN = numero totale di letture•• a = ampiezza di un intervalloa = ampiezza di un intervallo

e infine la e infine la funzione densitfunzione densitàà di probabilitdi probabilitàà discreta discreta ffXX(x)(x)::

aN

nxf X )(


Se si traccia un Se si traccia un intervallo di altezza intervallo di altezza ffXX(x) per ogni (x) per ogni intervallo si ottiene:intervallo si ottiene:

ffXX(x)(x)

Numero di Numero di letture letture

nellnell’’intervallointervallo

nn

aN

nxfX

05.020)(


Ipotizzando:Ipotizzando:

0a

N

DensitDensitàà di probabilitdi probabilitààdiscretadiscreta

DensitDensitàà di probabilitdi probabilitààcontinuacontinua

7


b

a

dxxfbxap

a

dxxfaF

ProbabilitProbabilitààche a<x<bche a<x<b

ProbabilitProbabilitààche x<ache x<a

Funzione densità di probabilità

Funzione di distribuzione cumulataIntroduzione alla statistica

38

• Il teorema del limite centrale ci assicura che, sotto opportune ipotesi, una misura esente da effetti sistematici può essere modellata mediante una distribuzione gaussiana.

DISTRIBUZIONE STATISTICA DISTRIBUZIONE STATISTICA

DELLE MISUREDELLE MISURE


ex

xf 2

2

2

2

1

LA FUNZIONE LA FUNZIONE DIDI DENSITADENSITA’’ NORMALE o NORMALE o GAUSSIANAGAUSSIANA

x

x

dxxfxF


LA GAUSSIANA ELA GAUSSIANA E’’ COMPLETAMENTE DESCRITTA DA COMPLETAMENTE DESCRITTA DA DUE PARAMETRI:DUE PARAMETRI:

MEDIAMEDIA

DEVIAZIONE STANDARD DEVIAZIONE STANDARD

( o la varianza ( o la varianza 22 ))


MEDIAMEDIA

DEVIAZIONE STANDARDDEVIAZIONE STANDARD

INFLUENZA INFLUENZA DIDI MEDIA E DEVIAZIONE STANDARDMEDIA E DEVIAZIONE STANDARD


NUMERO INFINITO NUMERO INFINITO DIDI CAMPIONI:CAMPIONI:

: MEDIA: MEDIA : DEVIAZIONE STANDARD: DEVIAZIONE STANDARD

MA NON SI POSSONO EFFETTUARE UN MA NON SI POSSONO EFFETTUARE UN NUMERO INFINITO NUMERO INFINITO DIDI RILEVAZIONI :RILEVAZIONI :

SI DEVE TROVARE UN SISTEMA PER SI DEVE TROVARE UN SISTEMA PER STIMARESTIMARE MEDIA E DEVIAZ. MEDIA E DEVIAZ. STST..

8


N

xX

N

ii

1

1

1

2

N

Xxs

N

ii

Con xi= singola lettura e N = numero rilevazioni

Media campionaria

SI UTILIZZANO I SEGUENTI SI UTILIZZANO I SEGUENTI STIMATORISTIMATORI

Deviazione standard

campionaria


X

DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DELLE MEDIE DELLE MEDIE

CAMPIONARIECAMPIONARIEmm, , mm

DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE CAMPIONARIACAMPIONARIA

, ,

AVENDO AVENDO DIVERSE SERIEDIVERSE SERIE DIDI MISURAZIONI MISURAZIONI POTREMO CALCOLARE PER OGNUNA POTREMO CALCOLARE PER OGNUNA DIDIQUESTE LA MEDIA, ESSE NON SARANNO QUESTE LA MEDIA, ESSE NON SARANNO

TUTTE UGUALI E SI DISTRIBUIRANNO SU TUTTE UGUALI E SI DISTRIBUIRANNO SU UNA UNA GAUSSIANAGAUSSIANA

mm==

Nm


• circa il 68% della distribuzione ècompreso nell’intervallo centrato su e di estremi



45

Caratteristiche della Gaussiana


Circa il 68%degli intervalli così costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 68%)

N

sX

2

N

sX

N

sX

3

Si può quindi stimare che:46

Circa il 95.5%degli intervalli così costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 95.5%)

Circa il 99.7%degli intervalli così costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 99.7%)

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