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靜力學3

3-5　靜力學應用實例

簡單機械簡介一

1 一般常見的複雜機械，基本上都是由一些簡單的基本元件（如槓桿、輪軸、滑輪⋯）組合而成，這些

基本元件，稱之為「簡單機械」。

2 使用簡單機械可能省力（必費時）或省時（必費力），但絕對不能省功。

3 人利用簡單機械抬起物體時，人對機械所施的力，稱為施力 (effort)，其接觸點為施力點；物體對機械所施的力，稱為抗力 (resistance)，其接觸點稱為抗力點。

常見的簡單機械二

1 槓桿

種

類

第一類槓桿

（支點在中間）

第二類槓桿

（抗力點在中間）

第三類槓桿

（施力點在中間）

圖

示

　施力施力臂

抗力抗力臂

　施力施力臂

抗力抗力臂

　施力施力臂

抗力抗力臂

功

用

1施力臂＞抗力臂→省力

2施力臂抗力臂→方便

3施力臂＜抗力臂→省時

施力臂＞抗力臂→省力 施力臂＜抗力臂→省時

實

例

a蹺蹺板的槓桿圖

b剪刀的槓桿圖

a開瓶器的槓桿圖

b裁紙刀的槓桿圖

a筷子的槓桿圖

b夾子的槓桿圖

▲圖3-18

130

2 輪軸 1 輪軸是由兩個半徑不相等的同軸圓盤或圓柱構成，如圖3-19a所示，其中半徑較大者為輪，而

半徑較小者為軸。

2 如圖3-19bc所示，輪軸是槓桿的變形。假定輪半徑為R、軸半徑為 r，若施力F於繩子使重量

為W的物體平衡，由力矩平衡可知：　　　　　　　　　　。

3 由於R＞ r，因此施力小於抗力，故知輪軸屬於省力機械。

▲圖3-19a輪軸

b俯視圖 c輪軸是槓桿的變形

3 滑輪

定滑輪 動滑輪 滑輪組

圖示

功能

1 定滑輪是槓桿原理的應用，但由於施力臂等於抗力臂，因此

定滑輪無法省力，但可改變施

力的方向，以方便操作。

2 上圖中，F　W 　。

1 無法改變施力的方向，但可省一半的力（但費時一

倍）。

2 上圖中，F　　　。

1 滑輪組由定滑輪及動滑輪組成，故可以改變施力的方

向，同時也可以省力。

2 上圖中，F　　　。

FRWr&FrR

W

W2

W2

131

靜力學3

小明想要利用如圖示的滑輪組拉起重量W的物體，若不計滑輪的重量與阻力作用，若小明施力F時恰可拉住物體，使系統保持平衡狀態時，則此時：

1 A繩的張力T1　 　　。

2 B繩的張力T2　 　　。

3 小明的施力F　 　　。

【觀念】 小明施力F於B繩時，B繩亦施一反作用力於小明，此力即B繩的張力T2，故FT2。

【解答】 1 以物體與下方滑輪為系統，可得2T1W&T1W2。

2 由中間的滑輪可看出：T12T2&T2T1

2

W4。

3 FT2W4。

馬上練習

1 如圖所示的滑輪組由一個定滑輪和一個動滑輪組成，體重為70公斤重的阿呆欲操縱滑輪組，使本身和搭載的木箱維持在一定高度，設

載物平臺重量為10公斤重，木箱重量為100公斤重，忽略細繩、滑輪的重量與所有阻力，則：

1 繩子張力為　60　公斤重。 2 阿呆對繩子的拉力　60　公斤重。 3 若換人來操縱，欲在人不離開平臺的條件下使整個系統保持靜

止，人的體重至少要　55　公斤重才能達成任務。

滑輪範例 1

W2

W4

W4

4 斜面 1 斜面是一個省力但費時的簡單機械。

2 考慮圖3-20的情況，將重量為W的箱子沿著傾斜角  θ 的斜面上拉時，若忽略摩擦力，則與拉力F相抗衡的力量，不是重力的全部，而是重力在斜

面上的分量Wsin  θ ，因此拉力F只要大於這個分量就可以拉動重物&F　　　 　。

▲圖3-20

Wsinθ

132

5 齒輪

相互咬合型 鏈條相連型

圖示

特色兩個齒輪以輪齒相互咬合，兩個齒輪轉動的方向

正好相反。

兩個齒輪以鏈條連接，兩個齒輪轉動的方向相

同。

關係

1 以小齒輪帶動大齒輪時，小齒輪轉一周時，大齒輪轉動不及一周。2 反之，以大齒輪帶動小齒輪，則大齒輪轉一周時，小齒輪轉動超過一周。3 不管是哪一種情形，小齒輪與大齒輪所轉過的齒數會相同。

單車

1 單車是由輪軸、齒輪等簡單機械組合而成，如圖所示。

2 腳踏板和大齒輪的結合是以輪帶動軸，大齒輪再以鏈條帶動小齒輪，小齒輪再帶動輪子轉動，使單車前進。

3 當我們騎單車時，我們用腳施力於腳踏板，地面則施抗力於車輪的輪緣，由於腳踏板的曲柄長度小於車輪半

徑，因此由力矩平衡的觀點來看，單車不是省力的機

械，而是省時但費力的裝置。

觀念補強

焦 點 突 破

簡單機械

1 請在下列空格中，填上該簡單機械是屬於省力或費力的裝置

A B C D E

簡單機械

省力或費力 省力 費力 費力 省力 省力

輪軸

2 如圖所示輪軸的半徑分別為 20公分及 4公分，其上各繞以繩線，繞軸的繩接一10公斤重的重物，以手拉繞輪的繩子，則手至少須施力　2　公斤重，才可

將物拉起。

概念

概念

133

靜力學3 滑輪

3 如圖所示的滑輪組，繩子的重量及摩擦力忽略不計，A物的重量3W，滑輪的重量W，當B物的重量為　5W　時，系統恰處於平衡狀態。

綜 合 演 練

1 如圖所示的簡單機械組合，不計動滑輪的重量與阻力作用，欲拉動重量

為W的物體時，施力F的值至少為　F 　　　　。

大 考 試 題 精 選

1 圖a為鑷子POP' 夾住一玻璃珠的側面示意圖，圖b為對 xy水平面的俯視圖，即POP'在 xy平面上，且PP' 通過玻璃珠的球心。在鑷子的兩側Q與Q' 兩點各施以水平力將玻璃珠夾住。已知OPOP'6.0公分，OQOQ'2.0公分，鑷子尖端與玻璃珠的靜摩擦係數為0.15，玻璃珠重100公克重。假設該鑷子使用時不會形變，則要將玻璃珠夾起來，所需最小的水平施力F約為多少牛頓？（重力加速度g10.0公尺 /秒 2）　A5　B10　C15　D20。

答：　B　 【92大考中心指考研究試題】

▲圖a ▲圖b

2 如圖所示的輪軸（左邊為側視圖，右邊為正視圖），外輪半徑R為內軸半徑 r的 2倍。當施定力F於外輪上的細繩時，可使質量為m的物體以加速度 0.2g向上運動，g為重力加速度。若空氣阻力、繩子的重量與摩擦力皆可忽略不計，則懸掛物體的繩子張力對軸心O點所產生的力矩之量值為下列何者？　A0　B0.6mgR 　C1.2mgR 　D1.6mgR 　E2.0mgR。答：　B　 【105指考，答對率52％】

概念

1 如圖所示&2FWsinθ，得 FWsinθ

2 。

Wsin θ 2

動態解題

1 1 設鑷子與玻璃珠間的正向力為N

如圖，平衡時mg2 f#2μsN&0 . 110 . 0#20 . 15N&N$ 1.000.30。

2 對OP而言，力矩平衡，以O為支點&F2 . 0N 6 . 0&F3N$31.000.30 10(N)。

2 由 Fma&Tmgm0 . 2g&T1 . 2mg，

其對O點所產生的力矩 τ1 . 2mgr1 . 2mg R2 0 . 6mgR。

134

影片

實驗3　靜力平衡

一、實驗目的

利用力桌觀察靜力平衡的兩個要件－移動平衡（力平衡）與轉動平衡（力矩平衡）。

二、實驗原理

1 平面上共點力的移動平衡

1 共平面的n個力作用於同一點時，各力達成平衡的關係式表為：n

Σi1

F i 0。

若以各力所在平面為 xy平面，則上式可改寫為：

n

Σi1

Fi x0

n

Σi1

Fi y0。

※為便於分析，可取其中一力為 x軸。 2 若以多邊形法來求合力，將各力的向量平移後，可得一封閉的多邊形。

2 平面上非共點力的轉動平衡

1 共平面的n個力作用於同一物體時，各力的力矩達成平衡的關係式表為n

Σi1τ i0。

2 任意靜止的物體必定同時符合合力為零且合力矩為零。對靜止的物體而言，計算力矩所取的參考點可以任選，因為不論取哪個參考點，合力矩均為零。

三、實驗裝置與步驟

1 平面上共點力的平移平衡

1 實驗裝置如圖3-21a所示，將水平儀擺在力桌上，調整力桌底座螺絲，當水平儀上的氣泡落於中央位置，便完成力桌的水平調整。

2 取適當大小的方格紙（最好裁剪成圓形）鋪於力桌上，並將中央插栓固定於力桌中央處。 3 將3個有槽滑輪平均分散固定在力桌圓周上。

a實驗裝置圖

b視線未垂直力桌時的情況

c視線與力桌垂直時的情況

▲圖3-21

135

靜力學3 4 金屬環套在中央插栓處，3條細線一端緊繫金屬環，另一端跨過滑輪溝槽而與槽碼掛鉤連接

（細線長度約使槽碼掛鉤高度在力桌高度一半處）。

5 改變 1個槽碼掛鉤上的位置或槽碼數量，使金屬環保持靜止。注意金屬環不可碰觸中央插栓，且每條細線方向都必須順著滑輪溝槽方向，不能歪斜。

6 將平面鏡擺在細線下方，以單眼從上方向下看，當細線與鏡中的像重合時，以鉛筆標出像在平面鏡中的兩端點P、Q，以此定出細線張力的方向，如圖3-21bc所示。

7 取下方格紙，以直尺畫出各力方向的延長線，並以量角器測量任兩力間的夾角，並畫出合力向量圖。

8 取三力其中一力的方向為 x軸，其垂直方向為 y軸，計算另外兩個力在 x軸與 y軸上的分量。

2 平面上非共點力的轉動平衡

1 在水平的力桌面上，平均分散放置4∼6個鋼珠，將圓盤壓在鋼珠上，並在圓盤上鋪方格紙（最好裁剪成圓盤大小）。

2 將4個有槽滑輪分散固定於力桌圓周上。 3 在圓盤上不同位置插上 4個圓盤插栓，每個插栓都以細線連接，且跨過有槽滑輪與槽碼掛鉤連

接。

4 調整 1個槽碼掛鉤上的位置或槽碼數量，使圓盤呈現靜止（注意不要讓圓盤傾斜而碰觸力桌面）。

a實驗裝置圖

b放置鋼珠

c將圓盤壓在鋼珠上

▲圖3-22

5 按照上述「平面上共點力的移動平衡」的實驗步驟6的

方法，標出各力方向，並記錄力的大小。

6 取下方格紙，以其中 1個圓盤插栓處為參考點，測量該點與其他三力作用線間的垂直距離 ri（即力臂），算出

其他三力力矩與合力矩大小，如圖3-22d所示。

d以D點為參考點所得的力臂

136

四、實驗問題與討論

1 在三力平衡的實驗中，任兩力間的夾角是否可由力桌圓周上的刻度盤直接讀出？

答：1 在進行實驗操作時，可輕易調整至銅環不與插栓接觸而平衡，此時雖然已達三力平衡，三力的延長線並未通過中央插栓（大部分的情況均屬此類），故作用力間的夾角不可以由刻

度盤讀出，夾角的測量必須依照實驗步驟所言進行。

2 若操作者可確實調整至使銅環位於力桌正中心（但不易精確判斷），此時三力的延長線會通過中央插栓，則作用力間的夾角才可以由刻度盤讀出。

2 「平面上共點力的平移平衡」的實驗步驟6中，以平面鏡來定出細線方向的原因是什麼？

答： 平面鏡成像時，像與物的連線必垂直於鏡面，因此當我們由細線上方俯瞰力桌時，若細線完全遮住鏡中的像時，表示我們的視線垂直於力桌，如此才能避免視差現象，而使誤差擴大。

3 在三力平衡的實驗中，要使實驗誤差減少，金屬環的重量有何限制？

答： 由於金屬環的重力方向垂直力桌，因此若金屬環重量不可忽略時，此時的平衡狀態為四力平衡，而其中三個張力並不在同一平面上。倘若金屬環重量可忽略（指其重量遠小於張力），這

種平衡情況才接近三力平衡狀態。由此可知，金屬環重量愈小時，實驗誤差會減少。

4 在三力平衡的實驗中，所得之合力向量圖無法構成三角形，其原因何在？

答：三力平衡的向量圖無法形成三角形時，其可能原因如下：

1 桌面不水平或三個滑輪不等高，使得細線與水平面之夾角各有不同，故實際的平衡力量值不等於槽碼重。

2 細線與定滑輪之摩擦力，使得平衡力不等於槽碼重量。

3 各力夾角的測量誤差。

5 在三力平衡的實驗中，你由什麼現象可以判斷摩擦力是不能忽略的？

答：1 在三個槽碼重量不變的情況下，金屬環可以維持平衡位置並不只一處，這表示滑輪與細繩

間的摩擦力是不可忽略的。

2 若三力的向量圖無法形成封閉的三角形，也可能是沒有考慮摩擦力造成的。

6 為何互不平行的三力達成靜力平衡時，三力必須共平面且共點（延長線交於同一點）？

答：1 若互不平行的三力不共平面，則以其中兩力所在平面來考慮時，第三力在垂直此面的方向必定具有無法抵消的分量，因此不可能達成力平衡。

2 若互不平行的三力不共點，則以其中兩力的延長線交會點為參考點時，第三力相對此參考點的力矩必定不為零，因此不可能達成力矩平衡。

由以上論述可知，不平行的三力達成靜力平衡時，此三力不只要共平面，且其延長線也要交於同一點。

7 在力矩平衡的實驗中，互不平行之四力的延長線是否交於同一點？

答：互不平行的四力延長線不一定會交於同一點。

【註】 平面上互不平行的四個力達成靜力平衡時，一般而言，四力的延長線不必然要共點，因為以其中兩力的交點為參考點時，尚有另外兩力的力矩可以彼此相消。

137

靜力學3

綜 合 演 練

1 在「靜力平衡」實驗中，下列敘述何者正確？（多選）　A水平儀放在力桌時，如圖a所示，則必須將力桌右邊稍微

調低，以保持水平　B作三力平衡實驗，銅環、插栓及細繩

A、B、C如圖b所示，欲調整角度使三力平衡，則B、C兩細繩的夾角需調整變大　C承B，若A、B、C三細繩懸掛的槽碼分別為 40公克、50公克、100公克，則不管如何調整角度，銅環始終和插栓接觸　D將實驗結果作成力的向量圖時，是以掛鉤上槽碼的總重量大小為力

的大小　E在達到平衡時，施於金屬環上的諸力，以實際量得所作之向量圖有可能不封閉。

答：　ABCDE　

2 在「靜力平衡」實驗中，若忽略摩擦力的影響，下列敘述何者正確？（多選）　A力桌如果不水平，應調整桌腳的螺絲　B三個滑輪的溝槽都要一樣高　C在調整平衡的過程中，細線的方向要

順著滑輪溝槽方向，不可卡住　D銅環平衡時，三條細繩的延長線交點可能不在力桌中心　E實

驗時不需使用量角器，以力桌刻度讀取角度即可。答：　ABCD　

3 在「靜力平衡」實驗中，若忽略摩擦力及其他誤差的影響，下列敘述何者正確？（多選）　A在圓盤達到平衡時，作用於圓盤上之諸力對於任何軸之力矩和，理論上均應為零　B若有三個不互

相平行的共平面力作用於圓盤上，在圓盤達平衡時，理論上這三個力一定交於一點　C承B，

若為四力，理論上這四個力亦一定交於一點　D在達到平衡時，施於銅環上之諸力的向量和，必

為封閉的多邊形　E作三力平衡時，三個滑輪可任意固定在力桌圓周上，利用調整槽碼來達到平

衡。答：　ABD　

▲圖a ▲圖b

1 A 對：氣泡較靠右邊，表示右邊稍高，所以必須將右邊調低。 B 對：因銅環偏向 B、C這邊，故 B、C之合力較 A大，所以需調整 B、C間夾角變大，使 B、C合力減小。 C 對：三力平衡時，任兩力之合力應與第三力大小相等、方向相反，而兩力之合力的最大值為 ;F1F2;（同方向時），最

小值為 ;F1F2;（反方向時）。故第三力之量值應符合下列條件：;F 1F2;$F3$;F1F2;。今4050＜100，故三力不可能平衡。

D 對：本實驗是以掛鉤上的槽碼之總重量作為施力的大小。 E 對：承D，實際上會受到摩擦力的影響而產生誤差，故實驗畫出的合力向量圖有可能不是封閉的多邊形。

2 E 錯：若三力延長線通過力桌中心，則作用力間的夾角可以由力桌刻度盤直接讀出，但當三力延長線未通過力桌中心時（大部分的情況均屬此類），則不可以由力桌刻度直接讀出。

3 C 錯：不平行的四力延長線未必交於同一點。 E 錯：不可將三力同時放在同一個半圓內。

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4 小因在「靜力平衡」的實驗中，若忽略摩擦力及其他誤差的影響，平衡時得到圓盤受三力作用的力圖如圖a所示，圖中方格紙每1單位格的邊長為1公分：

▲圖a ▲圖b

1 若以O點為參考點，以順時針方向的力矩為負，則 F 1的力矩　1600　公克重．公分；F 2

的力矩　900　公克重．公分。

2 承1，利用力矩平衡，可得 | F 3 |　500　公克重。

3 試將 F 1、 F 2、 F 3平移，以 F 2的方向為x軸方向，完成圖b，並利用此圖算出 | F 3| 　500　公克重。其結果是否與 2的結果相同？　是　。

5 小張在「靜力平衡」的實驗中，以力桌之金屬圓盤作四非共點力之平衡實驗，測得F1150公克重，F3250公克重，F450公克重，各力方向及作用點如圖所示，以O點為轉軸，F1與F4通過O點，且圖中OA3公分。若忽略摩擦力及其他誤差的影響，則：

1 F2的大小為　150　公克重。 2 圖中OB 　5　公分。

4 1 如圖a 所示，可得 * F 1 的力矩40041600(gw．cm)

F2 的力矩3003900(gw．cm) 2 由力矩平衡，可得 F 35( 1600)( 900)0&F3500(gw)。

3 作圖如圖b 所示，由力平衡，可得 x方向：F 3 cos 53°300y方向：F 3 sin 53°400(

&F 3500(gw)，與2的結果相同。

▲圖b▲圖a

3cm4cm

5cm

37°

5 1 將各力分解如圖所示，由 y方向的力平衡， 可得 F 29020040&F2150(gw)。 2 由力矩平衡，可得150OB2503 &OB5(cm)。

139

靜力學3

大 考 試 題 精 選

1 在「靜力平衡」的實驗中，下列敘述何者正確？（多選）　A力桌是否水平不會影響實驗結果　B在實驗的整個過程中，銅環或圓盤應一直保持與力桌中心的插栓接觸，以防止其滑動　C在達

到平衡時，施於銅環上之諸力，以實際量得所作之向量圖有可能不封閉　D在圓盤達到平衡時，

作用於圓盤上之諸力對於任何軸之力矩和，理論上均應為零　E若有三個不互相平行的共平面力

作用於圓盤上，在圓盤達平衡時，理論上這三個力一定交於一點。答：　CDE　 【78日大】

2 關於「靜力平衡」實驗，下列敘述中，哪些是正確的 ?（多選）　A力桌不成水平時，作用於圓環或圓盤的力，除了細線上張力之外，均垂直於細線　B本實驗的目的之一，是驗證平衡的條件　

C圓盤上各力平衡時，只有對力桌中心的力矩和為零；對圓盤上其他點則否　D本實驗的結果顯

示，力須按向量加法合成。答：　BD　 【79夜大】

3 在靜力平衡實驗中，甲、乙、丙三力與一輕圓環以及一個插栓，在力桌上達成平衡時，小圓環緊靠著插栓，如圖所示。圓環與插栓間的摩

擦力可忽略，若只調整其中兩力的量值，欲移動圓環使插栓位於圓環

正中央，則下列有關施力過程的敘述何者正確？　A增加甲、乙兩力

的量值，且甲力的量值增加較多　B增加甲、丙兩力的量值，且甲力

的量值增加較多　C增加乙、丙兩力的量值，且乙力的量值增加較多　 D增加乙、丙兩力的量值，且丙力的量值增加較多　E增加甲、丙兩

力的量值，且丙力的量值增加較多。答：　B　 【102指考，答對率78％】

動態解題

1 A 錯：力桌需水平，力桌若不是水平，則銅環或圓盤的重力在力桌平面上有分力，會影響實驗結果。 B 錯：本實驗是以掛鉤上的槽碼之總重量作為施力的大小，若銅環或金屬圓盤與插栓接觸，則會多出一個接觸力，會影響

實驗結果。

2 A 錯：力桌不成水平時，作用於銅環或圓盤的力（重力）便不會垂直於細線。 C 錯：無論取哪個參考點，合力矩均為零。

3 1 若增加乙力，插栓會卡更緊，故不可增加乙力。 2 欲移動圓環使插栓位於圓環正中央，可增加甲力，但若僅增加甲力，圓環同時也會往左邊移動，

故還需增加丙力。如圖所示，設甲、丙所增加的力分別為TF甲與TF丙，欲使圓環僅往上移動，

需TF甲 xTF丙&TF甲 TF甲 x2TF甲 y

2 TF丙2TF甲 y

2＞TF丙，故選B。