3 зудина е., алгебра и начала анализа

Журнал «Математика» № 1/2012

Е. Зудинаг. Москва

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА


БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

Текстовые задачи на применение навыков счета в повседневной жизни.

Задача В1

Задачи на интерпретацию графиков и диаграмм, на соотнесение текстового описания реального процесса с графиком динамической числовой характеристики этого процесса. Задачи представлены в виде графиков или диаграмм.

Задача В2


Задачи, в которых рассматриваются простые жизненные ситуации, связанные с выбором тарифных планов, заказом и доставкой товаров, выбором наиболее короткого пути.

Задача В4

Задачи на анализ явления, описываемого формулой функциональной зависимости.

Задача В12

Задача В10Практическое задание на использование вероятностных моделей.


Несложное показательное, логарифмическое или иррациональное уравнение (или неравенство).

Задача В5

Задачи относятся к разделу математического анализа.

Задача В8


Проверяемые уменияПроверяемые умения

Для решения требуетсяДля решения требуется

Задача В1

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Внимательно читать условие и аккуратно вычислять, тем самым укрепляя необходимую базу для решения более сложных задач (В13).

Невнимательное чтение условия задачи и неверные вычисления приводят к возникновению ошибок.


1. Сумка стоит 1450 рублей. Во время распродажи скидка на все товары составляет 20%. Сколько рублей стоит сумка во время распродажи?

Найдем, чему равны 20% от 1450 рублей:

р.

Цена понизилась на 290 рублей.

Новая цена равна:

1450 – 290 = 1160 р.

201450 290

100

Решение.

Ответ: 1160.


2. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 3 рубля 30 копеек. Счетчик электроэнергии 1 октября показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 ноября – 12 801 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию в октябре?

Решение.

Ответ: 580,8.

Найдем, сколько электроэнергии было использовано за октябрь: 12801 – 12625 = 176 кВт.ч.Так как 1 киловатт-час электроэнергии стоит 3 р. 30 к., то заплатить нужно 3,3 · 176 = 580,8 р.




Задача В2

Уметь интерпретировать графики, извлекать из них простейшую числовую информацию и делать необходимые выводы.

Уметь делать простейшие выводы на основании графика функциональной зависимости.

Уметь соотносить текстовое описание реального процесса с графиком динамической числовой характеристики этого процесса.

Уметь извлекать из графика качественную и количественную информацию о процессе.


1. На диаграмме показано количество людей, побывавших в космосе в течение каждого года с 1961 по 1982 год. По горизонтали указываются годы, по вертикали – количество людей, побывавших в космосе в данном году. Определите по диаграмме, сколько было таких лет, когда в космосе побывало ровно 6 человек.


Решение. Найдем на вертикальной оси число 6 и проведем горизонтальную прямую. Она «касается» четырех столбиков: 1972, 1974, 1976 и 1977 годы.

Ответ: 4.


2. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – давление в атмосферах. Когда давление достигает определённого значения, открывается клапан, выпускающий часть пара, и давление падает.

Затем клапан закрывается, и давление снова растет. Определите по графику, сколько минут прошло между первым и вторым открытием клапана


Между первым и вторым открытием клапана прошло 10 – 4 = 6 мин.

Решение.

Первый раз клапан открылся через 4 мин. после запуска. Давление стало падать, пар уже не так сильно давил на клапан, и он закрылся. Давление снова стало расти и через 10 мин. после запуска вновь достигло критического давления в 5 атмосфер. Клапан открылся во второй раз. Эти моменты отметим на графике.

Ответ: 6.




Задача В4

Уметь применять математические методы для решения задач из различных областей науки и практики.

Уметь выполнять преобразования выражений, включающих арифметические операции.

Уметь сравнивать числа и делать обоснованный выбор.



Компания-перевозчик

Стоимость перевозки одним автомобилем(р. за каждые 100 км)

Грузоподъемность одного автомобиля (тонн)

А 3200 3,5

Б 4100 5

В 9500 12

1. Для транспортировки 40 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех транспортных компаний. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждой компании указаны в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку груза?


Решение.

Вычислим число поездок для перевозки 40 тонн. Для этого разделим массу груза на грузоподъёмность каждого автомобиля и округлим полученный результат с избытком.

Например, . Округлив, получим 4 поездки.140 :12 3

3

Компания-перевозчик

Стоимость перевозки одним автомобилем(р. за каждые 100 км)

Грузоподъемность одного автомобиля (тонн)

А 3200 3,5

Б 4100 5

В 9500 12


Расчёты можно разместить в таблице:

Заказ получается дешевле всего, если выбрать перевозчика Б.

Ответ: 426 400.

Компания-перевозчик А Б В

Стоимость перевозки (р. за каждые 100 км)

3200 4100 9500

Стоимость одной поездки

3200 · 13 =

= 41 6004100 · 13 =

= 53 3009500 · 13 =

= 123 500

Грузоподъемность автомобиля (тонн) 3,5 5 12

Число поездок 12 8 4

Стоимость всей перевозки

12 · 41 600 =

= 499 2008 · 53 300 == 426 400

4 · 123 500 =

= 494 000




Задача В12


Уметь применять математические методы для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.

Уметь интерпретировать результат и учитывать реальные ограничения.


1. Если быстро вращать ведро с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведра сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная

в Ньютонах, равна , где m – масса воды (кг),

v – скорость движения ведра (м/с), g – ускорение

свободного падения (считайте g = 10 м/с2), L – длина веревки (м). С какой минимальной скоростью надо вращать ведро, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 0,784 м? Ответ выразите в м/с.

2vP m g

L


Задача сводится к решению неравенства P(v) ≥ 0.

Подставим в формулу давления данные задачи:

тогда необходимо решить неравенство

Учитывая, что m > 0, получим:

откуда

Учитывая, что v > 0, получим:

v ≥ 2,8 м/с.

2

10 ,0,784

vP m

2

10 0.0,784

vm

2

10 0,0,784

v 2 7,84.v

Решение.

Ответ: 2,8.




Задача В10

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели.

Знать основные понятия теории вероятностей и статистики.

Уметь проводить доказательные рассуждения при решении задач.


Решение. Вероятность события А, связанного с опытом с равновероятностными исходами, вычисляется по формуле

Возможны шесть исходов, то есть n = 6.

число исходов, благоприятствующих событию ( ) .

число всех исходов

A kP A

n

Благоприятствуют событию А = {выпало не менее 4 очков} три исхода, т.е. k = 3. Следовательно,

3 1( ) 0,5.

6 2P A

Ответ: 0,5.

1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков?


Броски Исходы Исход 1 Исход 2 Исход 3 Исход 4

Первый бросок

Второй бросок

Таким образом, n = 4. Благоприятствует событию А = {оба раза выпал орел} исход 3, т.е. k = 1.

Следовательно,

Решение. Возможны четыре исхода:

1( ) 0,25.

4P A

2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза выпадает орел?

Ответ: 0,25.




Задача В5

Уметь решать уравнения и неравенства.

Знать, что данное уравнение (неравенство) сводится к линейному.

Такие уравнения (неравенства) являются базовыми: без них невозможно продвинуться в решении более сложных задач.


Решение большинства показательных уравнений после преобразований сводится к решению простейших показательных уравнений вида:

1. откуда f(x) = b.

2. откуда f(x) = g(x) , где a > 0, a 1.

( ) ,f x bа а( ) ( ) ,f x g xа а


1. Решите уравнение

Решение. Перепишем данное уравнение в видеоткуда 5 – x = 3, значит, x = 2.

Ответ: 2.

54 64.x

5 34 4 ,x


Решение. Перепишем данное уравнение в виде –x – 4 = 2, значит, x = –6.

Ответ: –6.

41

25.5

x

( 4) 25 5 ,x


Решение многих логарифмических уравнений после преобразований сводится к решению логарифмических уравнений вида:

1. где a > 0, a 1.

Для решения такого уравнения достаточно знания определения логарифма, из которого вытекает, что f(x) = аb.

2. откуда f(x) = g(x), причем a > 0, a 1.

Решив такое уравнение, необходимо проверить корни полученного уравнения на выполнение одного из неравенств: f(x) > 0 либо g(x) > 0.

log ( ) ,а f x b

log ( ) log ( ),а аf x g x


3. Решите уравнение log6 (x + 1) = 2. Решение. Из определения логарифма следует, что x + 1 = 62, откуда х = 35.

Ответ: 35.


Для решения несложных иррациональных уравнений достаточно знать определение арифметического квадратного корня:

Арифметическим квадратным корнем из числа a называется такое неотрицательное число b, квадрат которого равен а.

Таким образом, если одновременно выполняются два условия:1. b ≥ 0. 2. a = b2.

,a b



Решение.

Из определения следует, что 1 – 3x = 42, откуда –3x = 15.

Следовательно, x = –5 .Ответ: –5.

1 3 4.x




Задача В8

Уметь выполнять действия с функциями.

Знать геометрический смысл производной.

Знать уравнение касательной к графику функции.

Знать производные основных элементарных функций.

Уметь читать график производной функции.

Уметь применять производную для исследования функции.


1. На рисунке изображен график функции y = f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке –4, проходит через начало координат. Найдите f '(–4).


O(0;0)

A(–4; –2)

Решение. Построим касательную, которая проходит через начало координат и указанную точку А с абсциссой x0 = –4. Значение производной функции f(x) в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в данной точке.

Если уравнение прямой имеет вид y = kx + b, то f '(x0) = k.


Найдём угловой коэффициент прямой y = kx + b, проходящей через точки А(–4; –2) и О(0; 0), составив систему:

4 2, 0,5,

0 0, 0 .

k b k

k b b

Следовательно, f '(–4) = 0,5.

Ответ: 0,5.


2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определённой на интервале (–6; 3). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = –2x + 17 или совпадает с ней.


–3

y = –2M –2

Решение. Если касательная к графику функции параллельна прямой y = –2x + 17 или совпадает с ней, то значение производной в точке касания равно –2, так как f '(x0) = k. Найдем искомую абсциссу. Для этого проведем горизонтальную прямую y = –2.

М – точка пересечения этой прямой с графиком производной. Абсцисса точки М равна –3.

–3 – искомая абсцисса точки касания.

Ответ: –3.


ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ

Уметь решать уравнения и неравенства.

Задача С1


1. Найдите все значения a, при каждом из которых

уравнение имеет хотя бы один

корень.

4 3 9 1x x x a x

Решение. Рассмотрим непрерывную функцию

1. При всех x ≥ 1

где

значит, f(x) возрастает.

9 1 3 4 .f x x x x a x

9 9 4 3 ,f x x x x x a kx m

9 4 4 0,k


3 1 4.a

Ответ: [–8; 6].

2. При всех x ≤ 1

где

значит, f(x) убывает.

3. Следовательно, х = 1 – точка минимума функции f (x), и область значений функции E(f) = [ f (1); ).

Уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда f (1) 0, то есть

9 4 4 0,k

9 9 4 3 ,f x x x x x a kx m

Documents

3 зудина е., алгебра и начала анализа