0

ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΑ

Φυλλάδιο Σημειώσεων Νο. 3

ΜΗΤΡΩΟ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΤΥΠΟΥ ΔΟΚΟΥ ΣΤΟ ΕΠIΠΕΔΟ

Ειδικά Θέματα

Μ. Γ. Σφακιανάκης Επίκ. Καθηγητής

Πάτρα, Μάϊος 2015

1

ΜΗΤΡΩΟ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΤΥΠΟΥ ΔΟΚΟΥ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Γενικά

Στο παρόν φυλλάδιο σημειώσεων παρουσιάζονται τα ακόλουθα ειδικά θέματα προς αντι-

μετώπιση με μητρωϊκή στατική.

• Αρθρώσεις στα άκρα γραμμικών στοιχείων

• Ακαμπτοι σύνδεσμοι άκρων γραμμικών στοιχείων

• Στατική συμπύκνωση - Υποκατασκευές

• Διαφράγματα - Δεσμεύσεις βαθμών ελευθερίας

Τα παραπάνω ειδικά θέματα, με εξαίρεση το τελευταίο, παρουσιάζονται για επίπεδα προβλή-

ματα. Οι διαδικασίες τροποποίησης του μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου ή του συστήμα-

τος των προς επίλυση εξισώσεων είναι πανομοιότυπες για προβλήματα του χώρου.

2. Αρθρώσεις άκρων γραμμικών στοιχείων

Σε ορισμένες περιπτώσεις απαιτείται το άκρο ενός γραμμικού στοιχείου να συνδέεται με

άρθρωση σε έναν κόμβο της κατασκευής, στον οποίο συμβάλλουν και άλλα γραμμικά

στοιχεία τα οποία συνδέονται μεταξύ τους μονολιθικά στον κοινό κόμβο, προκειμένου να μην

μεταβιβάζονται καμπτικές ροπές από το εν λόγω στοιχείο στον κόμβο. Επί παραδείγματι, ο

κόμβος 4 του επιπέδου πλαισίου του σχήματος 1 έχει κοινή άρθρωση για τα τρία γραμμικά

στοιχεία που συμβάλλουν σε αυτόν. Η θέση της άρθρωσης αυτής συμπίπτει με τον θεωρητικό

κόμβο 4. Ετσι, ο κόμβος αυτός κατασκευαστικά έχει υλοποιηθεί ως πλήρως αρθρωτός δηλα-

δή όπως σε ένα δικτύωμα. Αντίθετα, στον θεωρητικό κόμβο 3 τα δύο κατακόρυφα στοιχεία

συνδέονται μονολιθικά μεταξύ τους και μόνο η δοκός φέρει στο άκρο της αρθρωτή σύνδεση

με τα άλλα δύο στοιχεία, σε μικρή απόσταση d από τον κόμβο 3. Η αντίστοιχη απόσταση d

Σχ. 1. Διάκριση πλήρως αρθρωτού κόμβου από άρθρωση σε άκρο μέλους.

2

στην περιοχή του κόμβου 4 είναι μηδενική.

Διευκρινίζεται ότι η άρθρωση στην περιοχή του κόμβου 3 αφορά αποκλειστικά και μόνο το

άκρο της συγκεκριμένης δοκού και όχι τον κόμβο συνολικά. Δηλαδή στην περιοχή του

κόμβου 3 υπάρχουν δύο διαφορετικές στροφές:

(α) η θ3 του θεωρητικού κόμβου 3 στον οποίο συνδέονται τα δύο κατακόρυφα στοιχεία και το

μήκους d τμήμα της δοκού μεταξύ του εν λόγω κόμβου και της άρθρωσης, και

(β) η θr της άρθρωσης ως μηχανισμού, η οποία αφορά το άκρο του στοιχείου σε απειροστή α-

πόσταση αμέσως μετά την άρθρωση.

Ετσι, ο κόμβος 3 θα έχει καμπτικές ροπές προερχόμενες από τα δύο κατακόρυφα στοιχεία

που συμβάλλουν σε αυτόν, όχι όμως από τη δοκό. Συνήθως, οι αρθρώσεις του τύπου αυτού

απαντώνται σε μεταλλικές κατασκευές. Πρακτικά, κατασκευάζονται σε μικρή απόσταση d

από τον θεωρητικό κόμβο σύνδεσης του μέλους.

Από τα παραπάνω προκύπτει η υπολογιστική αναγκαιότητα του να συμπεριληφθούν οι αρ-

θρώσεις του είδους αυτού στην ανάλυση μίας κατασκευής στην οποία γίνεται χρήση τους.

Διακρίνονται οι ακόλουθες τρείς περιπτώσεις, κατά το σχήμα 2:

• Αρθρωση μόνο στον κόμβο αρχής του στοιχείου (Τύπος 1)

• Αρθρωση στον κόμβο τέλους του στοιχείου (Τύπος 2)

• Αρθρώσεις σε αμφότερα τα άκρα του στοιχείου (Τύπος 3)

Σχ. 2. Τύποι αρθρώσεων άκρων γραμμικού στοιχείου.

Για τους τύπους αυτούς ακολουθεί η επανασύνταξη του μητρώου δυσκαμψίας K του γραμ-

μικού στοιχείου τύπου δοκού σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων.

3

2.1 Αρθρωση Τύπου 1 – Τοπικό σύστημα συντεταγμένων

Στο σχήμα 3 φαίνεται η αρίθμηση των βαθμών ελευθερίας γραμμικού στοιχείου σε τοπικό

Σχ. 3. Τύπος άρθρωσης 1. Βαθμοί ελευθερίας σε τοπικό σύστημα.

σύστημα συντεταγμένων, φέροντος τύπο άρθρωσης 1. Χρησιμοποιείται το μητρώο K της

σχέσης (58) του 1ου φυλλαδίου σημειώσεων και αναπτύσσονται οι πράξεις της θεμελιώδους

σχέσης F= ⋅ +P K U P .

1

2

F 3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

PPPPPP

= ⋅ + ⇔

P K U P

3 2 3 2 1

22 2

3

4

5

63 2 2

2 2

3

1

2

3

4

5

6

0 0 0 0

6 12 60 0

6 6 20 0 =

0 0 0 0

12 6 60 0

6 2 60 0

12

4

1

4

11

2

EAL

EI EI EIuL L LuEI EI EIuL L L

EA uL u

EI EI EI uL L LEI EI EIL

EAL

L

EIL

EIL

EAL

EIL

EIL L

− −

− ⋅ − − − −

−

F1

F2F

3F

4F

5F

6

PPPPPP

+ ⇔

( )

( )

F1 1 4 1

F2 2 3 5 6 23 2 3 2

F3 2 3 5 6 32 2

F4 1 4 4

F5 2 3 5 6 53 2 3 2

F6 2 3 5 6 62 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

EAP u u PL

EI EI EI EIP u u u u PL L L LEI EI EI EIP u u u u PL L L LEAP u u PL

EI EI EI EIP u u u u PL L L L

EI EI EI EIP u u u u PL L L L

= − + = + − + + = + − + +⇔ = − − + = − − + − +

= + − + +

(1)

Καθ’ όσον υπάρχει άρθρωση στον κόμβο i θα είναι 3P = 0. Με αυτή την τιμή της 3P λύνεται

η τρίτη των σχέσεων (1) ως προς 3u . Ετσι προκύπτει:

4

( ) F3 3 2 5 6 3

3 102 2 4

LP u u u u PL EI

= ⇒ = − + − − (2)

Η αντικατάσταση της τιμής της 3u από την (2) στις (1) οδηγεί στην απαλοιφή της από το σύ-

στημα των εξισώσεων. Ετσι προκύπτει η ακόλουθη μορφή του συστήματος, ως:

( )

( )

F1 1 4 1

F F2 2 5 6 2 33 3 2

3

F4 1 4 4

F F5 2 5 6 5 33 3 2

F F6 2 5 6 6 32 2

3 3 3 32

0

3 3 3 32

3 3 3 12

EAP u u PLEI EI EIP u u u P PL L L L

PEAP u u PLEI EI EIP u u u P PL L L L

EI EI EIP u u u P PL L L

= − +

= − + + − =

= − − +

= − + − + + = − + + −

(3)

ή σε μητρωϊκή μορφή σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων ως:

1

2

F*

4

5

6

1 2 3 4 5 6

0

PP

PPP

= ⋅ + ⇔

P K U P

F1

F3 2 12

2

4

5

63 2

2 2

3

3

3

1

2

3

4

5

6

0

0

0

0 0 0

3 30 0 3

=0 0

0 0

0

3 30

11

3

0

3 30 0

0 0 0

30

3

0

0

EAL P

EI EIu

EAL

EIL

E

PL Lu

EA uL u

EI EI uL LEI EIL

uA

LEI

L

LEIL

− − −

⋅ +

−

− − −

K

F*

F3

F4

F F5 3

F F6 3

2

2

0

3

12

PL

P

P PL

P P

+

−

P

(4)

Διευκρινίζεται ότι στο προκύπτον μητρώο K θεωρείται ότι η θέση της άρθρωσης ταυτίζεται

με τον θεωρητικό κόμβο σύνδεσής του i, δηλ. d = 0 κατά το σχήμα 1. Είναι σαφές ότι λόγω

της απαλοιφής της στροφής 3u του άκρου i του στοιχείου, η 3η γραμμή και στήλη του μητρώ-

ου K του στοιχείου προκύπτουν μηδενικές. Θεωρώντας λοιπόν κατασκευή ενός μόνο στοι-

χείου, η επίλυση του συστήματος (4) με αναφορά το τοπικό σύστημα συντεταγμένων x y δεν

μπορεί να γίνει καθ’ όσον ο πίνακας K είναι ιδιάζων άρα δεν αντιστρέφεται. Ετσι, η επίλυση

του συστήματος της (4) γίνεται αγνοώντας την 3η εξίσωση που αποτελεί ταυτότητα (0 = 0),

5

άρα αγνοώντας την 3η γραμμή και στήλη του μητρώου K . Ετσι η διάσταση του προβλήματος

(αντίστοιχου συστήματος) από 6×6 γίνεται 5×5.

Ωστόσο, η στροφή 3u δεν είναι μηδενική. Υπενθυμίζεται ότι η στροφή αυτή αφορά αυστηρά

τη στροφή της άρθρωσης ως μηχανισμού και είναι διαφορετική από τη στροφή του θεωρητι-

κού κόμβου της κατασκευής στον οποίο ενδεχομένως να συμβάλλουν και άλλα γραμμικά

στοιχεία (βλ. σχ. 1). Το στοιχείο εν γένει κάμπτεται λόγω της τυχόν καμπτικής ροπής στο

άκρο j ή των τυχόν φορτίων που φέρει κατά μήκος του άξονα x . Λόγω της κάμψης αυτής

υφίσταται η στροφή 3u της άρθρωσης η οποία εφ’ όσον απαιτείται μπορεί να υπολογισθεί από

τη σχέση (2) αφού έχει προηγηθεί η επίλυση του συστήματος της σχέσης (4).

Σημειώνεται επίσης ότι λόγω της απαλοιφής της στροφής 3u έχει επέλθει και σχετική μεταβο-

λή του μητρώου FP των επικόμβιων φορτίων που αφορούν τις αντιδράσεις αμφίπακτου στοι-

χείου λόγω τυχόν φορτίων κατά μήκος του. Στο μεταβληθέν πλέον μητρώο, το F*P η συνι-

στώσα F*3P έχει μηδενική τιμή λόγω της απαλοιφής της στροφής 3u . Ουσιαστικά το μητρώο

F*P περιέχει τις αντιδράσεις μίας δοκού η οποία είναι πακτωμένη έναντι αξονικής και τέμ-

νουσας δύναμης στον κόμβο i και πλήρως πακτωμένη στον κόμβο j.

2.2 Αρθρωση Τύπου 2 – Τοπικό σύστημα συντεταγμένων

Στο σχήμα 4 φαίνεται η αρίθμηση των βαθμών ελευθερίας γραμμικού στοιχείου σε τοπικό

σύστημα συντεταγμένων, φέροντος τύπο άρθρωσης 2.

Σχ. 4. Τύπος άρθρωσης 2. Βαθμοί ελευθερίας σε τοπικό σύστημα.

Για τη σύνταξη του μητρώου K επαναλαμβάνεται η υπολογιστική διαδικασία που ακολου-

θήθηκε για την άρθρωση Τύπου 1. Ετσι, καθ’ όσον υπάρχει άρθρωση στον κόμβο j τίθεται

6P = 0 και λύνεται η έκτη των σχέσεων (1) ως προς 6u . Ετσι προκύπτει:

( ) F6 6 2 5 3 6

3 102 2 4

LP u u u u PL EI

= ⇒ = − + − − (5)

6

Αντικατάσταση της τιμής της 6u από την (5) στις (1) οδηγεί στην απαλοιφή της από το σύ-

στημα των εξισώσεων. Ετσι προκύπτει η ακόλουθη μορφή του συστήματος, ως:

( )

( )

F1 1 4 1

F F2 2 3 5 2 63 2 3

F F3 2 3 5 3 63 2

F4 1 4 4

F F5 2 3 5 5 63 2 3

6

3 3 3 32

3 3 3 12

3 3 3 32

0

EAP u u PLEI EI EIP u u u P PL L L LEI EI EIP u u u P PL L LEAP u u PLEI EI EIP u u u P PL L L L

P

= − +

= + − + − = + − + −

= − − +

= − − − + +

=

(6)

ή σε μητρωϊκή μορφή σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων ως:

1

2

F* 3

4

5

1 2 3 4 5 6

0

PPPPP

= ⋅ + ⇔

P K U P

F1

F2 3 12

22 2

3

4

5

3

3

3 62

1

2

3

4

5

6

0

0

0

0

0

0

0 0 0

3 30 0

3 30 0=

0 0 0

3 3

3

3

30

0 0 0

32

0

0

0

11

EAL P

EI EIu PL LuEI EIuL L

EA uL u

EI E

EAL

EIL

IL L

LEIL

L

u

EA

EIL

− −

− ⋅ +

−

− −

−

K

F*

F6

F F3 6

F4

F F5 6

12

3

02

P

P P

P

P PL

− +

P

(7)

Κατ’ αναλογία με την άρθρωση Τύπου 1, θεωρείται και πάλι κατασκευή ενός μόνο στοιχείου,

οπότε η επίλυση του συστήματος (7) με αναφορά το τοπικό σύστημα συντεταγμένων x y

γίνεται επιλύοντας ως προς τις μετακινήσεις 1 5u u÷ το 5×5 σύστημα που προκύπτει κατόπιν

αγνόησης της έκτης εξίσωσης. Ακολούθως υπολογίζεται η 6u από τη σχέση (5). Κατά τα

λοιπά ισχύουν τα αναφερόμενα στην § 2.1 με αναφορά όμως στην άρθρωση του κόμβου j.

2.3 Αρθρωση Τύπου 3 – Τοπικό σύστημα συντεταγμένων

Στο σχήμα 5 φαίνεται η αρίθμηση των βαθμών ελευθερίας γραμμικού στοιχείου σε τοπικό

σύστημα συντεταγμένων, φέροντος τύπο άρθρωσης 3.

7

Σχ. 5. Αρθρωση Τύπου 3. Βαθμοί ελευθερίας σε τοπικό σύστημα.

Για τη σύνταξη του μητρώου K επαναλαμβάνεται και πάλι η υπολογιστική διαδικασία που

ακολουθήθηκε για την άρθρωση Τύπου 1. Ετσι, καθ’ όσον υπάρχουν αρθρώσεις και στους

δύο κόμβους, i και j, τίθεται 3 6 0P P= = και λύνεται το σύστημα των (1γ) και (1στ) ως προς

3u και 6u . Ετσι προκύπτει:

( ) ( )

( ) ( )

F F3 2 5 3 6

3

F F66 2 5 3 6

1 20 610 2

6

Lu u u P PP L EILP u u u P P

L EI

= − + − − = ⇒ = = − + + −

(8)

Αντικατάσταση των τιμών των 3u και 6u από τις (8) στις (1) οδηγεί στην απαλοιφή τους από

το σύστημα των εξισώσεων. Ετσι προκύπτει η ακόλουθη μορφή του συστήματος, ως:

( )

( )

( )

( )

F1 1 4 1

F F F2 2 3 6

3

F4 1 4 4

F F F5 5 3 6

6

1

0

1

0

EAP u u PL

P P P PL

PEAP u u PL

P P P PL

P

= − + = − + = = − − + = + + =

(9)

ή σε μητρωϊκή μορφή σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων ως:

8

F

5

4

2

1

*

1 2 3 4 5 6

0

0

=0

0

P

P

EAL

P

P

−

= ⋅ + ⇔

P K U P

( )

( )

F*

F1

1 F F F2 3 6

F4 4

F F F5 3 6

3

6

2

5

1

2

3

4

5

6

0 01

0

0 0

0 0

0

0 0

0 0 0 0 0 00

0 0

0 00

0 0 0 0 0

10

1

0

0

1

0 0

EAL

Pu

P P PL

EA EA u PL L

P

u

uP P

u

uL

− + ⋅ + − + +

P

K

(10)

Παρατηρείται ότι το μητρώο K για την περίπτωση ύπαρξης αρθρώσεων σε αμφότερα τα

άκρα του στοιχείου, εκφυλίζεται σε αυτό της ράβδου δικτυώματος το οποίο είναι και εξ’ ορι-

σμού αναμενόμενο. Οι εγκάρσιες στο στοιχείο μεταθέσεις 2u και 5u είναι μηδενικές με ανα-

φορά το τοπικό σύστημα συντεταγμένων. Ετσι, και προκειμένου για κατασκευή ενός μόνο

στοιχείου και με αναφορά το τοπικό σύστημα συντεταγμένων x y μπορεί να επιλύεται το

προκύπτον 2×2 σύστημα της (10) ως προς τις μετακινήσεις 1u και 4u και κατόπιν να υπολο-

γίζονται οι στροφές 3u και 6u από τις σχέσεις (8). Κατά τα λοιπά ισχύουν τα αναφερόμενα

στην § 2.1 με αναφορά όμως στην ύπαρξη αρθρώσεων και στα δύο άκρα i και j του στοι-

χείου.

2.4 Επίλυση πλαισίων με γραμμικά στοιχεία φέροντα αρθρώσεις

Στο σχήμα 6 φαίνεται το πλαίσιο του σχ. 1 με έναν μή αρθρωτό κόμβο, τον 3, και έναν αρ-

θρωτό, τον 4. Τα μέλη 3, 4 και 5 (βλ. σχ. 6(β)) συνδέονται αρθρωτά στον κόμβο 4, ενώ τα

άλλα δύο άκρα τους δεν φέρουν αρθρώσεις, με εξαίρεση το μέλος 5. Το μέλος αυτό

συνδέεται αρθρωτά στον κόμβο 4 ενώ στο άλλο άκρο του φέρει άρθρωση σε απόσταση από

Σχ. 6. Προσομοίωση αρθρώσεων μελών και αρθρωτών κόμβων σε πλαίσιο.

9

τον κόμβο 3. Δηλαδή η άρθρωση αυτή αφορά αποκλειστικά το μέλος 5 και όχι τον κόμβο 3.

Ετσι, ο κόμβος 3 παραμένει συμπαγής, με μονολιθική σύνδεση σε αυτόν των μελών 1 και 2

και αρθρωτή σύνδεση σε αυτόν του μέλους 5. Ο κόμβος 4 είναι πλήρως αρθρωτός. Κατά

συνέπεια τα μέλη 3, 4 και 5 φέρουν τύπους αρθρώσεων 2, 1 και 3 αντίστοιχα.

Για μία κατασκευή αποτελούμενη από περισσότερα του ενός στοιχεία, τα μητρώα δυσκαμ-

ψίας K αυτών που φέρουν αρθρώσεις στα άκρα τους (οποιουδήποτε τύπου) θα λογίζονται

στην πλήρη τους μορφή, διαστάσεων 6×6, σε ότι αφορά:

(α) τη μετατροπή τους στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων της κατασκευής, και

(β) τη συνεισφορά τους στο γενικό μητρώο δυσκαμψίας Κ της τελευταίας.

Κατόπιν αυτού, και εφ’ όσον το γενικό μητρώο δυσκαμψίας Κ της κατασκευής προκύψει ι-

διάζον τότε υποβιβάζεται το προς επίλυση σύστημα από n×n σε (n-r)×(n-r), όπου r ο αριθμός

των τυχόν μηδενικών γραμμών και στηλών λόγω ύπαρξης αρθρώσεων. Δηλαδή θα επιλύεται

το εναπομένων (n-r)×(n-r) σύστημα μετά την αγνόηση των r μηδενικών γραμμών και

στηλών. Εφ’ όσον οι τιμές των r αγνώστων στροφών απαιτούνται, αυτές μπορούν να

υπολογίζονται ανά μέλος από τις σχέσεις (2) ή (5) ή (8), αναλόγως του τύπου άρθρωσης. Τα ανωτέρω αναλύονται με τη βοήθεια του παραδείγματος του σχήματος 6(β). Για το πλαίσιο

αυτό ο βαθμός ελευθερίας 18 αφορά τη στροφή του θεωρητικού κόμβου 4. Ομως, τα μέλη 3,

4 και 5 που συμβάλλουν στην κοινή άρθρωση του κόμβου αυτού θα προσδώσουν μηδενική

στροφική (καμπτική) δυσκαμψία λόγω των αρθρώσεών τους (βλ. μηδενικά στοιχεία 6ης

γραμμής και στήλης της (7) για το μέλος 3, της 3ης γραμμής και στήλης της (4) για το μέλος

4 και των γραμμών και στηλών 3 και 6 της (10) για το μέλος 5). Επομένως, το μητρώο Κ του

πλαισίου ως σύνολο θα είναι ιδιάζον. Η συνολική διάστασή του είναι 18×18 με τη 18η γραμ-

μή και στήλη μηδενικές, άρα r = 1. Υποβιβασμός του συστήματος κατά r = 1, δηλ. αγνόηση

της 18ης εξίσωσης, ισοδυναμεί με θεώρηση μίας πλασματικής πάκτωσης για τον εν λόγω

βαθμό ελευθερίας (βλ. σχ. 6(β)). Αυτή η θεώρηση της πλασματικής πάκτωσης βρίσκεται σε

συμφωνία με το γεγονός ότι ένας αρθρωτός κόμβος δεν μπορεί να αναλάβει καμπτικές ροπές,

άρα η στροφή του θα είναι μηδενική. Προσοχή: εννοείται η στροφή του θεωρητικού κόμβού 4

που τυγχάνει να είναι πλήρως αρθρωτός. Υπενθυμίζεται ότι τα άκρα των μελών 3, 4 και 5 στο

σημείο της κοινής άρθρωσης θα υφίστανται στροφές, εν γένει μή μηδενικές και διαφορετικές

μεταξύ τους, αυτές των επί μέρους αρθρώσεων ως μηχανισμών, και θα υπολογίζονται από τις

σχέσεις (5), (2) και (8), αντίστοιχα για κάθε μέλος. Οι βαθμοί ελευθερίας 12÷17 αντιστοιχούν

σε πραγματικές πακτώσεις. Τελικά επιλύεται το 11×11 σύστημα κατά τα γνωστά ως προς τις

άγνωστες μετακινήσεις u1÷u11 των πραγματικών μή μηδενικών βαθμών ελευθερίας.

10

Ακολούθως, υπολογίζονται από τη σχέση F= ⋅ +P K U P οι αντιδράσεις P12÷P18. Λόγω των

μηδενικών στοιχείων της 18ης γραμμής του πίνακα Κ αλλά και της μηδενικής τιμής του

στοιχείου F18P του μητρώου PF, η αντίδραση P18 που αντιστοιχεί στη θεωρηθείσα πλασματική

πάκτωση θα προκύψει μηδενική, όπως και πρέπει. Μία ενναλακτική θεώρηση ενός πλήρως αρθρωτού κόμβου πλαισίου, βάσει της οποίας απο-

φεύγεται ο σχηματισμός ιδιάζοντος μητρώου Κ του συνολικού πλαισίου, είναι αυτή του σχή-

ματος 6(γ). Βάσει αυτής της θεώρησης στον πλήρως αρθρωτό κόμβο ενώνεται μονολιθικά

ένα και μόνο ένα μέλος από αυτά που συμβάλλουν σε αυτόν και τα υπόλοιπα με διακριτές

αρθρώσεις. Π.χ. στο πλαίσιο του σχήματος 6(γ) έχει επιλεγεί μονολιθική σύνδεση του μέλους

5 με τον κόμβο 4 και αρθρωτές συνδέσεις των μελών 3 και 4 με αυτόν. Η θεώρηση αυτή

βασίζεται στην ακόλουθη αρχή: καθ’ όσον δεν μπορεί να εφαρμοσθεί εξωτερική καμπτική

ροπή στον αρθρωτό κόμβο και λόγω του ότι οι ροπές των άκρων των στοιχείων είναι μηδε-

νικές λόγω των αρθρώσεων, η ροπή του ενός και μόνο στοιχείου που συνδέεται μονολιθικά

με τον κόμβο αυτόν πρέπει να είναι επίσης μηδενική προκειμένου να ικανοποιείται η ισορρο-

πία ροπών στον κόμβο (ΣM = 0). Ομως το μέλος 5 που επελέγη για μονολιθική σύνδεση στον

κόμβο 4 αρχικά είχε αρθρώσεις τύπου 3. Με την παρούσα εναλλακτική θεώρηση θα πρέπει

πλέον να χρησιμοποιηθεί άρθρωση τύπου 1. Ετσι το προς επίλυση σύστημα των άγνωστων

μετακινήσεων που αντιστοιχούν στους πραγματικούς μή μηδενικούς βαθμούς ελευθερίας θα

είναι διάστασης 12×12 αντί 11×11 της προηγούμενης θεώρησης.

3. Ακαμπτοι σύνδεσμοι άκρων γραμμικών στοιχείων

Στη μέχρι τώρα αντιμετώπιση πλαισιακών κατασκευών δεν έχουν ληφθεί υπ’ όψη οι διαστά-

σεις του πραγματικού κόμβου στον οποίο συνδέονται τα γραμμικά μέλη. Για την ακρίβεια,

υπολογιστικά έχουν θεωρηθεί μηδενικών διαστάσεων. Προκειμένου για μεταλλικά πλαίσια,

οι διαστάσεις των κόμβων είναι σχετικά μικρές, λόγω των μικρών διαστάσεων των διατομών,

σε σύγκριση με αυτές μελών οπλισμένου σκυροδέματος. Εν γένει, οι κόμβοι πλησιάζουν

αρκετά τη συμπεριφορά ενός θεωρητικά απαραμόρφωτου σώματος. Κατά συνέπεια, η συμπε-

ριφορά αυτή πρέπει να ληφθεί υπ’ όψη με κατάλληλο τρόπο έτσι ώστε να προκύπτουν τα ε-

ντατικά μεγέθη των μελών στις παρειές των κόμβων και όχι στο «εσωτερικό» τους. Αυτά τα

εντατικά μεγέθη είναι τα απαιτούμενα για το σχεδιασμό των μελών, είτε μεταλλικών είτε

οπλισμένου σκυροδέματος. Η έννοια της συμπεριφοράς ενός μέλους ως γραμμικού, κατά τα

εκτεθέντα μέχρι τώρα, αφορά το λεγόμενο «καθαρό» μήκος του που είναι αυτό μεταξύ των

παρειών των κόμβων στήριξης.

11

Στα σχήματα 7(α,β) φαίνεται η δοκός m ύψους διατομής hb η οποία συνδέεται στα δύο άκρα

της i και j (θέσεις θεωρητικών κόμβων) με υποστυλώματα πλάτους bc,i και bc,j. Οι διαστάσεις

των πραγματικών κόμβων i και j (γκρίζες περιοχές) είναι bc,i× hb και bc,j× hb, αντίστοιχα. Στο

σχήμα 7(α) οι θέσεις των θεωρητικών κόμβων i και j ορίζονται από τις τομές των κεντροβαρι-

κών αξόνων των διατομών δοκών και υποστυλωμάτων, ενώ στο σχήμα 7(β) ορίζονται από τις

τομές των κεντροβαρικών αξόνων των διατομών των υποστυλωμάτων και της ευθείας του

άνω πέλματος των δοκών. Συνήθως ακολουθείται η γεωμετρική πρακτική του σχήματος 7(β)

οποία πλεονεκτεί έναντι αυτής του σχήματος 7(α) στις περιπτώσεις όπου οι δοκοί που συμ-

βάλλουν σε έναν κόμβο έχουν διαφορετικά ύψη hb. Επί πλέον, είθισται οι κόμβοι ενός οριζο-

ντίου επιπέδου (π.χ. πλάκας ορόφου) να έχουν κοινή κατακόρυφη συντεταγμένη ως προς το

απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥΖ η οποία να ταυτίζεται με το άνω πέλμα της πλάκας

και των δοκών επί των οποίων εδράζεται αυτή.

Μία αντιμετώπιση του θέματος των «άκαμπτων» κόμβων θα ήταν η εισαγωγή πρόσθετων

κόμβων στα άκρα του καθαρού μήκους Lκαθ. = L και η ένωσή τους με τον θεωρητικό κόμβο

με πλασματικά απαραμόρφωτα γραμμικά στοιχεία (άκαμπτους συνδέσμους), δηλ. με μεγάλη

δυστένεια, δυσκαμψία και δυστμησία, και με μήκη di = bc,i/2 και dj = bc,j/2 αναφορικά με το

σχήμα 7(α). Ετσι όμως αυξάνεται σημαντικά ο συνολικός αριθμός των βαθμών ελευθερίας

της κατασκευής, επομένως και το προς επίλυση σύστημα. Παράλληλα, με αυτόν τον τρόπο

προσομοίωσης των άκαμπτων κόμβων πρέπει υπολογιστικά να χρησιμοποιείται η κατάλλη-

Σχ. 7. Προσομοίωση άκαμπτων συνδέσμων γραμμικών στοιχείων.

12

λη τάξη μεγέθους για τη δυστένεια, τη δυσκαμψία και τη δυστμησία των απαραμόρφωτων

μελών.

Ο πλέον ενδεδειγμένος τρόπος για να συμπεριληφθεί η απαραμορφωσιμότητα του πραγματι-

κού κόμβου στη μητρωϊκή ανάλυση μίας πλαισιακής κατασκευής χωρίς την εισαγωγή πρόσ-

θετων κόμβων και απαραμόρφωτων μελών, είναι η εισαγωγή των μηκών di και dj ως άκαμ-

πτων συνδέσμων στο μητρώο δυσκαμψίας K του μέλους, αναφορικά με το σχήμα 7(α). Ανα-

φορικά με το σχήμα 7(β) επί πλέον των μηκών di και dj θα πρέπει να εισαχθεί στο εν λόγω

μητρώο και το μήκος-εκκεντρότητα e.

Στις παρούσες σημειώσεις αναφέρεται μόνο η απλούστερη περίπτωση του σχήματος 7(α) βά-

σει της οποίας οι θεωρητικοί κόμβοι i και j του γραμμικού μέλους ορίζονται επί του κεντρο-

βαρικού άξονά του, οπότε λαμβάνονται υπ’ όψη μόνο τα μήκη di και dj των άκρων του. Ορί-

ζεται έτσι το θεωρητικό μήκος του μέλους m ως Lθεωρ. = L + di + dj και το καθαρό μήκος του

ως Lκαθ. = L.

3.1 Μητρώο δυσκαμψίας γραμμικού στοιχείου με συγγραμικούς άκαμπτους συνδέσμους

άκρων σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων

Στο σχήμα 8 παρουσιάζονται τα εντατικά μεγέθη στα άκρα των άκαμπτων συνδέσμων γραμ-

μικού μέλους με θεωρητικό μήκος Lθεωρ. = L + di + dj και καθαρό μήκος Lκαθ. = L.

Σχ. 8. Εντατικά μεγέθη άκαμπτων συνδέσμων γραμμικών στοιχείων.

Από την ισορροπία των εντατικών μεγεθών των άκρων των συνδέσμων, οι οποίοι θεωρούνται

πλήρως απαραμόρφωτα σώματα, προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις.

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 2 3 3

44 4 4

5 55 5

6 66 6 5

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 1 0 0 0

ή 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 1

P

i i

jj

P P P PP P P PP P d P dP P

PP P PP PP P

dP PP P d P

= = = − ⋅ − ⇒ = ⋅ =

= = + ⋅

P PT

P

P= ⋅T P (11)

13

Αντίστοιχα θα είναι και:

F FP= ⋅P T P (12)

Το σχήμα 9 παρουσιάζει τις μετακινήσεις των άκρων των άκαμπτων συνδέσμων.

Σχ. 9. Μετακινήσεις άκρων άκαμπτων συνδέσμων γραμμικού στοιχείου.

Ο συσχετισμός των μετακινήσεων αυτών δίνει τις ακόλουθες σχέσεις.

3

3 3

6

6 6

0

1

1 1 3 1

1

2 2 3 2 3 2

3 3 30

4 1

54 4 6 4

6

5 5 6 5 6

6 6

1 cos

sin

1 cos

sin

u

i

u u

i i

u

j

u u

j j

u u d u u

uu u d u u d u uu u u

uu

u u d u uu

u u d u u d uu u

→

⇒ →

⇒ →

→

⇒ →

⇒ →

= − ⋅ −

= + ⋅ + ⋅

= ⇒

= + −

= − − ⋅ =

1

2

3

4

5

6

1 0 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0 0

ή 0 0 0 1 0 00 0 0 0 10 0 0 0 0 1

U

i

U

j

uuduuudu

= ⋅ = ⋅

−

U UT

U T U

(13)

Σημειώνεται ότι μεταξύ των πινάκων μετασχηματισμού TP και TU ισχύουν οι ακόλουθες

σχέσεις.

T -1 -1 T , P U P U= =T T T T (14) Κατόπιν αντικατάστασης των (11), 12) και (13) στη θεμελιώδη σχέση F= ⋅ +P K U P η οποία

συσχετίζει τις επικόμβιες εντάσεις και μετακινήσεις των άκρων του καθαρού μήκους L του

στοιχείου, λαμβάνοντας υπ’ όψη και τη δεύτερη των (14) προκύπτει:

14

T

F F -1 -1 -1 F

U

P U P P P P U P P

=

=

= ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒I IT

K

P K U P T P K T U T P T T P T K T U T T P

F= ⋅ +P K U P (15) όπου:

TU U= ⋅ ⋅K T K T (16)

Η σχέση (15) συσχετίζει τις επικόμβιες εντάσεις και μετακινήσεις των άκρων i και j του θεω-

ρητικού μήκους L + di + dj του στοιχείου. Η αντικατάσταση του ΤU από τη (13) και του K

από την (58) του φυλλαδίου Νο. 1 των σημειώσεων στη (16) δίνει την τελική μορφή του

μητρώου δυσκαμψίας K σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων ως:

1 2 3 4 5

( )3 3 3 3

2 2 2

3 3 3 3

3 3 3

6

0 0 0 0

6 (2 )6 (2 )12 120 0

4 3 3 2 3( ) 66 (2 ) 6 (2 )0 0

0 0 0 0

6 (2 )12 120 0

=

ji

i i i j i ji i

i

AE AEL L

EI d LEI d LEI EIL L L L

EI d Ld L EI L d d L d dEI d L EI d LL L L L

AE AEL L

EI d LEI EIL L L

−

++−

+ + + + ++ +−

−

+− −

K

( )

( )

3

2 22

3 3 3 3

31

2

3

4

5

6

6 (2 )

4 3 32 3( ) 66 (2 ) 6 (2 )0 0

j

j ji jj

j

i j j

EI d LL

EI d Ld

d

LEI L d d L d dEI d L EI d LL L

I

L L

+−

+ ++ + +

+ + −

(17)

Η σχέση (17) για di = dj = 0 δίνει το μητρώο της σχέσης (58) του φυλλαδίου Νο. 1 των σημει-

ώσεων, όπως και έπρεπε. Τέλος, το μητρώο FP , λαμβάνοντας υπ’ όψη τη σχέση (12), τη δεύ-

τερη των (14) και την (13), προκύπτει ως:

T

F1F

2F F

3 2F F F -1 F T F FF

4F

5F F

6 5

U

iP U

j

P

d

PP

Pd

P PPPP

=

+

= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ ⇒ =

−

T

P T P P T P T P P (18)

Αντίστοιχα, για di = dj = 0 προκύπτει ότι F=P P . Συνοψίζοντας, διευκρινίζεται ότι οι σχέσεις

F= ⋅ +P K U P και F= ⋅ +P K U P ισχύουν για τα μήκη Lθεωρ. = L + di + dj και Lκαθ. = L,

αντίστοιχα. Τα μήκη di και dj στις παραπάνω σχέσεις λογίζονται με θετικές τιμές μόνο.

15

4. Στατική συμπύκνωση - Yποκατασκευές

Στη μέχρι τώρα εφαρμογή της μεθόδου άμεσης δυσκαμψίας η γενικευμένη σχέση επίλυσης

ως προς τις άγνωστες μετακινήσεις Uf εφαρμόζεται επιλύοντας το πλήρες σύστημα γραμμι-

κών εξισώσεων (19) σε ότι αφορά το πλήθος των αγνώστων μετακινήσεων.

( )1

Fff fsf fF Ff

f f ff f fs sFsf sss ss

Ff ff f f fs s

−

− = − = ⋅ ⇒ − = ⋅ + ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ − − ⋅

K KP UPP P P P K U K U

K KP UP

U K P P K U

(19)

Ετσι όμως στην περίπτωση κατασκευής με μεγάλο αριθμό κόμβων, και κατά συνέπεια βαθ-

μών ελευθερίας, η επίλυση οδηγείται σε σύστημα με μεγάλες διαστάσεις των πινάκων Κff και

Κfs. Ενδέχεται λοιπόν το μέγεθος των πινάκων αυτών να υπερβαίνει τη διαθέσιμη μνήμη

RAM του Η/Υ στον οποίο πρόκειται να επιλυθεί το εν λόγω σύστημα. Στην περίπτωση αυτή

επιλέγεται η επίλυση ενός μικρότερου συστήματος το οποίο περιλαμβάνει ένα υποσύνολο

των αγνώστων και κατά συνέπεια μικρότερους τους αντίστοιχους πίνακες των συντελεστών

τους. Το μικρότερο αυτό σύστημα προκύπτει κατόπιν απαλοιφής των λοιπών αγνώστων, οι

οποίοι θα υπολογισθούν σε επόμενη φάση. Η ιδέα βασίζεται στην απαλοιφή αγνώστων κατά

Gauss. Κατόπιν αυτού, το σύστημα των (19) μπορεί να γραφεί στην ακόλουθη μορφή,

διαμερισμένη σε υποπίνακες.

,

,

Ff f ff f fs s

E F E EE EI E EE EI Ef f ff ff f fs fs sI F I IE II I IE II If f ff ff f fs fs s

− = ⋅ + ⋅ ⇒

⇒ − = ⋅ + ⋅

P P K U K U

P P K K U K K UP P K K U K K U

(20)

Στη μορφή αυτή έχει επιλεγεί, κατ’ αρχήν αυθαίρετα, ένα πλήθος αγνώστων Ε για τους οποί-

ους θα ακολουθήσει επίλυση ενός μικρότερου συστήματος προς υπολογισμό τους. Στο εξής,

οι Ε άγνωστοι βαθμοί ελευθερίας θα αποτελούν τους λεγόμενους «Εξωτερικούς» άγνωστους

βαθμούς ελευθερίας (δείκτης Ε = External dofs). Oι λοιποί άγνωστοι βαθμοί ελευθερίας Ι θα

είναι οι απαλοιφόμενοι από το αρχικό σύστημα, προκειμένου να προκύψει ένα μικρότερο για

τον υπολογισμό των Ε. Προφανώς, οι τιμές τους θα προκύπτουν συναρτήσει αυτών των Ε. Οι προς απαλοιφή άγνωστοι Ι ορίζονται πλέον ως «εσωτερικοί» άγνωστοι βαθμοί ελευθερίας

(δείκτης Ι = Internal dofs). Ο διαχωρισμός του συνόλου των αγνώστων μετακινήσεων σε δύο

υποσύνολα, τα Ε και Ι, οδηγεί σε αντίστοιχο γεωμετρικό διαμερισμό της κατασκευής. Ετσι,

16

μολονότι όπως προαναφέρθηκε η επιλογή των αγνώστων Ε μπορεί από πλευράς μαθηματικής

υλοποίησης της μεθόδου της απαλοιφής να είναι τυχαία, είναι σκόπιμο αυτοί να αναφέρονται

σε ένα ενιαίο τμήμα της κατασκευής, οριζόμενο ως υποκατασκευή (substructure) κατά το

σχήμα που ακολουθεί.

Σχ. 10. Διαμερισμός κατασκευής σε υποκατασκευές.

Βάσει των παραπάνω, το πλαίσιο του σχήματος 10 διαμερίζεται σε δύο υποκατασκευές, Ε και

Ι, με δύο διαφορετικούς τρόπους, έτσι ώστε κάθε μία από αυτές να αποτελεί ένα ενιαίο τμήμα

της κατασκευής. Με αναφορά στο σχήμα 10(β) οι άγνωστοι βαθμοί ελευθερίας των κόμβων

9÷12, δηλ. οι 25÷36, επελέγη να ανήκουν στο υποσύστημα Ε. Θα μπορούσε όμως να επιλεγεί

,

,I F I II I II I

E F E EE E EE Ef f ff f fs

EI EIff sfs

IE IEff fsf f ff f fs s

− = ⋅ + ⋅

P P K UK KKP P K U UK

UK

K

17

να ανήκουν στο υποσύστημα Ι. Σε κάθε περίπτωση οι τιμές της δυστένειας ΕΑ, της δυσκαμ-

ψίας ΕΙ και της δυστρεψίας GJ που αντιστοιχούν σε κάθε κόμβο από αυτούς, προερχόμενες

από τη συνεισφορά του συνόλου των συμβαλλόμενων μελών, είναι αυτές που θα ίσχυαν και

στην περίπτωση επίλυσης της κατασκευής ως σύνολο. Δηλαδή, οι τομές των σχημάτων

10(β,γ) είναι νοητές και δεν αφορούν τα μέλη. Απλά, απομονώνονται οι άγνωστες μετακινή-

σεις των επιλεγόμενων βαθμών ελευθερίας. Υπενθυμίζεται άλλωστε, ότι η επίλυση του συ-

στήματος αφορά τον προσδιορισμό των μετακινήσεων των βαθμών ελευθερίας και όχι των

εντατικών μεγεθών των μελών.

Είναι προφανές ότι η διαμέριση της κατασκευής σε υποκατασκευές οδηγεί σε διαμερισμό των

μητρώων της πρώτης των σχέσεων (20) σε αντίστοιχα υπομητρώα. Η αντιστοίχιση των

υπομητρώων αυτών με τη γεωμετρική διαμέριση της κατασκευής φαίνεται στο σχήμα 10. Θα

πρέπει να αναφερθεί ότι σημαντικό ρόλο στη σύνταξη των υπομητρώων παίζει η αρίθμηση

των βαθμών ελευθερίας της κατασκευής. Θα πρέπει να γίνεται κατά τρόπο ώστε να ελαχιστο-

ποιούνται οι απαιτούμενες αντιμεταθέσεις γραμμών και στηλών του αρχικού πίνακα Κ. Υπό

αυτό το πρίσμα αυτό, η διαμέριση της κατασκευής κατά το σχήμα 10(γ) είναι μέν παραδεκτή,

αλλά μειονεκτεί στο ότι απαιτείται σαφώς μεγαλύτερος αριθμός αντιμεταθέσεων γραμμών

και στηλών προκειμένου να συνταχθούν τα εν λόγω υπομητρώα. Ο λόγος είναι ότι διατηρή-

θηκε η αρίθμηση των βαθμών ελευθερίας του σχήματος 10(β). Συνεχίζοντας με το υπολογιστικό μέρος της μεθόδου, αναπτύσσεται το σύστημα των (20) στις

ακόλουθες δύο εξισώσεις.

,

,

E F E EE E EI I EE E EI If f ff f ff f fs s fs s

I F I IE E II I IE E II If f ff f ff f fs s fs s

− = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

− = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

P P K U K U K U K U

P P K U K U K U K U (21)

Προς απαλοιφή των αγνώστων I

fU επιλύεται η δεύτερη των (21) ως προς το ομώνυμο υπομη-

τρώο. Ετσι προκύπτει:

( ) ( )1 ,I II I F I IE E IE E II I

f ff f f ff f fs s fs s

−= ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅U K P P K U K U K U (22)

Ακολούθως, αντικαθίστανται οι απαλοιφόμενοι άγνωστοι I

fU από την (22) στην (21). Μετά

από απλές μητρωϊκές πράξεις προκύπτει το ακόλουθο υποσύστημα Ε για τον προσδιορισμό

των αγνώστων EfU .

18

( )

( ) ( )

( )

1

1, ,

1

E Ef f

E F E EI II I F I IE E II I EE E EI If f ff ff f f fs s fs s fs s fs s

EE EI II IEff ff ff ff

−

−

−

= ⋅ ⇒ = ⋅

= − − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

= − ⋅ ⋅

* * * *

*

*

P K U U K P

P P P K K P P K U K U K U K U

K K K K K

(23α)

Εφ’ όσον οι μετακινήσεις των στηριζόμενων κόμβων E

sU και IsU είναι μηδενικές (π.χ. δεν υ-

πάρχουν εξαναγκαζόμενες μετακινήσεις, διαφορικές καθιζήσεις, κ.λ.π.), η δεύτερη των σχέ-

σεων (23α) απλοποιείται στην ακόλουθη μορφή:

( ) ( )1, ,E F E EI II I F I

f f ff ff f f

−= − − ⋅ ⋅ −*P P P K K P P (23β)

Μετά τον υπολογισμό των μετακινήσεων E

fU της υποκατασκευής Ε, οι λοιπές IfU της Ι υπο-

λογίζονται από τη σχέση (22).

Ο όρος «στατική συμπύκνωση» (static condensation) αναφέρεται στη μείωση των διαστάσεων

τους προς επίλυση συστήματος η οποία αντιστοιχεί στη θεώρηση των υποσυνόλων Ε και Ι

των βαθμών ελευθερίας. Σε ότι αφορά το υπολογιστικό κόστος της εφαρμογής της μεθόδου άμεσης δυσκαμψίας

τονίζεται ότι το χρονοβόρο μέρος των υπολογισμών είναι αυτό που αφορά τον αλγόριθμο

αντιστροφής του μητρώου Κ. Εν γένει, οι απαιτούμενοι υπολογιστικοί χρόνοι αντιστροφής

ενός τετραγωνικού μητρώου αυξάνουν κατά πολύ δυσανάλογα σε σχέση με την αύξηση των

διαστάσεών του. Η παρατήρηση αυτή αφορά το σύνολο των γνωστών διαθέσιμων μαθηματι-

κών αλγορίθμων. Στα σύγχρονα λογισμικά ανάλυσης κατασκευών (π.χ. SAP2000, ANSYS,

κ.ά.) χρησιμοποιούνται σύγχρονοι αλγόριθμοι αντιστροφής οι οποίοι εκτός της δραστικότα-

της μείωσης του υπολογιστικού χρόνου πλεονεκτούν και στο ότι συνοδεύονται από αλγοριθ-

μικές διαδικασίες «έξυπνων» τρόπων αποθήκευσης των στοιχείων των πινάκων στη μνήμη

RAM του Η/Υ. Π.χ. αποθηκεύονται μόνο τα μή μηδενικά στοιχεία με παράλληλη πληροφόρι-

ση της θέσης που θα κατείχαν αυτά στην κλασσική τετραγωνική-μαθηματική έκφραση του

μητρώου. Ταυτόχρονα, είναι συνοδευμένα και με τους απαιτούμενους αλγόριθμους για τις

πράξεις των πινάκων, όταν αυτοί αποθηκεύονται με τον οικονομικότερο σε μνήμη τρόπο που

μνημονεύεται εδώ.

Η ιδέα λοιπόν του διαμερισμού μιάς κατασκευής σε υποκατασκευές είναι άκρως ελκυστική

για προβλήματα μεγάλων διαστάσεων. Λύνει με τον πλέον καλύτερο τρόπο το θέμα της πε-

19

ριορισμένης χωρητικότητας της μνήμης RAM του Η/Υ με ταυτόχρονη μείωση του υπολογι-

στικού χρόνου αντιστροφής, καθ’ όσον απαιτείται η αντιστροφή σαφώς μικρότερων μητρώ-

ων. Περαιτέρω, και σε συνδυασμό με το σύγχρονο τρόπο αποθήκευσης των μητρώων που

προαναφέρθηκε, ο τρόπος αρίθμησης κόμβων και βαθμών ελευθερίας δεν έχει τον βαρύνοντα

ρόλο που είχε σε παλαιότερες εποχές όπου έπρεπε να γίνεται βάσει συγκεκριμένων αλγορίθ-

μων προκειμένου να συγκεντρώνονται τα μή μηδενικά στοιχεία πλησίον και παράλληλα στην

κύρια διαγώνιο του μητρώου, συγκροτώντας έτσι μία «ταινία» η οποία τελικά μόνο αυτή α-

πoθηκευόταν στη μνήμη RAM του Η/Υ αντί του συνολικού μητρώου, προς οικονομία τηε

τελευταίας. Το σχήμα 11 αναπαριστά τα προαναφερόμενα για την περίπτωση ενός επιπέδου

δικτυώματος.

Σχ. 11. Ταινιωτή διάταξη μη μηδενικών στοιχείων μητρώου για αποθήκευση στη μνήμη Η/Υ. Γενικά, ιδέα της υποκατασκευής μπορεί εύκολα να επεκταθεί με την περαιτέρω διάσπαση της

βασικής υποκατασκευής Ε σε άλλες μικρότερες κ.ο.κ. Αυτό είναι που υλοποιούν τα σύγ-

χρονα λογισμικά.

Τέλος, αναφέρεται ότι για την υποπερίπτωση των κοινών (σε γεωμετρικά μεγέθη) κατασκευ-

ών που κατά κύριο λόγο απαρτίζονται από γραμμικά μέλη, και σε συνδυασμό με τις τεχνολο-

γικές δυνατότητες των σύγχρονων Η/Υ, τα παραπάνω αναφερόμενα για υποκατασκευές δεν

κρίνονται άκρως απαιτούμενα. Το ίδιο ισχύει και για τις μαθηματικές μεθόδους αντιστροφής

20

που χρησιμοποιούνται. Οταν όμως πρόκειται για κατασκευές όπου τα γραμμικά μέλη συν-

δυάζονται με επιφανειακά στοιχεία (π.χ. οι πλάκες ή τα τοιχώματα δυσκαμψίας μίας κατα-

σκευής), ή υψηλά κτίρια (π.χ. ουρανοξύστες), ή κατασκευές όπου όγκοι δομικού υλικού

διακριτοποιούνται σε μεγάλο αριθμό χωρικών στοιχείων (π.χ. φράγματα), κ.λ.π. περιπτώσεις,

τότε η ιδέα των υποκατασκευών με ταυτόχρονη χρήση εξελιγμένων αλγορίθμων αντιστροφής

αποκτά καθοριστικό ρόλο στους υπολογιστικούς χρόνους. Εννοείται ότι για τις περιπτώσεις

αυτές απαιτείται Η/Υ αυξημένων δυνατοτήτων σε σχέση με τους κοινούς Η/Υ που προορίζο-

νται για μέση-συνήθη χρήση.

5. Διαφράγματα - Δεσμεύσεις βαθμών ελευθερίας

Στις κτιριακές κατασκευές οι πλάκες λειτουργούν ως σχεδόν τέλεια απαραμόρφωτοι διαφρα-

γματικοί δίσκοι σε ότι αφορά ένταση εντός του επιπέδου τους. Ως τέτοια ένταση ορίζονται οι

δυνάμεις που λειτουργούν σε διευθύνσεις παράλληλες στο επίπεδο της πλάκας και οι ροπές

που δρούν περί άξονα κάθετο στο επίπεδό της. Από την εφαρμογή της εν λόγω έντασης η

πλάκα συνεχίζει να παραμένει επίπεδη και άνευ δημιουργίας γωνιακών παραμορφώσεων,

κατά άριστη προσέγγιση. Η μή παραμόρφωση των πλακών από τις εντάσεις αυτές οδηγεί

στην λειτουργία τους ως διαφραγματικών δίσκων.

Τα κατακόρυφα γραμμικά στοιχεία ενός ενδιάμεσου ορόφου μίας κατασκευής που συνδέο-

νται με τις πλάκες του δαπέδου και της οροφής του ορόφου (υποστυλώματα, τοιχώματα

δυσκαμψίας) αλλά και οι δοκοί που συνδέονται μονολιθικά με τις πλάκες, κατ’ αρχήν έχουν

έξι βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο. Τρείς μεταθετικούς και τρείς στροφικούς, αναφορικά με

τρισδιάστατη ανάλυση. Προκειμένου για μία κατασκευή οπλισμένου σκυροδέματος, οι

κόμβοι των άκρων των στοιχείων αυτών ανήκουν και στην πλάκα λόγω της μονολιθικής

σύνδεσής τους με αυτή. Επομένως, οι οριζόντιες μεταθέσεις τους (παράλληλα δηλ. στο

επίπεδο της πλάκας) και οι στροφές τους περί κατακόρυφο άξονα θα είναι κοινές με αυτές

των εν λόγω σημείων της πλάκας. Λόγω όμως της διαφραγματικής λειτουργίας της τελευταί-

ας, όπως ορίσθηκε παραπάνω, οι οριζόντιες μεταθέσεις των κόμβων-σημείων της και οι στρο-

φές τους περί κατακόρυφο άξονα συγκροτούν κίνηση στερεού σώματος. Ως εκ τούτου, μπο-

ρούν να εκφρασθούν συναρτήσει οποιουδήποτε σημείου αναφοράς του επιπέδου της, οριζό-

μενου ως «κύριου» κόβου (master joint). Προκειμένου για στατική ανάλυση, ως κύριος

κόμβος αναφοράς m μπορεί να επιλεγεί οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειάς της. Για

δυναμική ανάλυση όμως, και εφ’ όσον πρόκειται να χρησιμοποιηθεί διαγώνιο μητρώο μάζας,

ο κύριος κόμβος m απαιτείται να ορισθεί στο σημείο του κέντρου μάζας του διαφράγματος.

21

Κατόπιν των αναφερομένων, οι δύο οριζόντιες μετακινήσεις και η στροφή περί κατακόρυφο

άξονα ενός τυχαίου σημείου i γνωστών αποστάσεων x(i) και y(i) από τον κύριο κόμβο m ενός

διαφράγματος, μπορούν να συσχετισθούν γεωμετρικά με τις ακόλουθες γνωστές σχέσεις, α-

ναφορικά με το σχήμα 12.

Σχ. 12. Μεταθέσεις και στροφές κόμβου διαφράγματος πρίν και μετά τη δέσμευσή τους.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 1

0 0 1( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

i m i m i i mu u y ux x u y uz x xi m i m i i m i i mu u x u u x uy y y yz

i mi m u uu u z zz zii m

θ

θ

θ θθ θ

= − ⋅ − = + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ =

U T U

TU U

) (24)

Η τρίτη των (24) ισχύει για ολόσωμες κατασκευές από σκυρόδεμα. Για μεταλλικές κατασκευ-

ές θα πρέπει να χρησιμοποιείται κατά την κρίση του μηχανικού αναλόγως του τρόπου σύνδε-

σης των πλακών με τα λοιπά γραμμικά στοιχεία.

Βάσει λοιπόν των σχέσεων (24) διατηρούνται μόνο οι τρείς από τους έξι βαθμούς ελευθερίας

του κόμβου-σημείου i. Οι άλλοι τρείς απαλοίφονται από το πρός επίλυση σύστημα F= ⋅ +P K U P καθ’ όσον οι τιμές τους μπορούν να προκύπτουν απ’ ευθείας από τις (24)

συναρτήσει των τιμών του κύριου κόμβου m. Είναι προφανές ότι το προς επίλυση σύστημα

πρέπει μητρωϊκά να τροποποιηθεί κατάλληλα έτσι ώστε να εισαχθούν ως άγνωστοι οι τιμές

( )mux , ( )muy και ( )mu zθ των αντίστοιχων βαθμών ελευθερίας του κύριου κόμβου m. Εφ’ όσον

γίνει αυτό θα πρέπει τα επικόμβια φορτία των κόμβων i που αντιστοιχούν στους απαλοιφόμε-

νους βαθμούς ελευθερίας να μεταφερθούν στον κύριο κόμβο m. Αυτό γίνεται με τις ακόλου-

θες γνωστές σχέσεις μεταφοράς δυνάμεων και ροπών.

) ( i y u ) ( i

z u

) ( i x u θ ) ( i

x u

) ( i z u θ ) ( i

y u θ

) ( m y u

) ( i z u

) ( i x u θ

) ( m x u

) ( m z u θ

) ( i y u θ

) ( i z u θ

m

i

22

T( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )1 0 0

( ) ( )( ) ( ) 0 1 0( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

iimi

m mii i iP P Px x Px xm mi ii iP P P Py y y y

i im m ii i i i i y xi i PP P y P x P P zx yz z z θθ θ θ

= = ⇒ = ⋅ ⇒

− = − ⋅ + ⋅

TPP

T( ) ( ) ( ) m i ii⇒ = ⋅P T P

(25)

Το συνολικό φορτίο P(m) που εφαρμόζεται στον κύριο κόμβο m προκύπτει ως άθροισμα των

φορτίων των επί μέρους κόμβων i που βρίσκονται σε συσχετισμό με τον m, βάσει της σχέσης

(24). Η σχέση του συνολικού φορτίου θα είναι η ακόλουθη.

( )T( )( )( ) ( )imm ii= = ⋅∑ ∑R R T R (26)

Με την υλοποίηση της υπολογιστικής διαδικασίας της απαλοιφής των τριών βαθμών

ελευθερίας του συνόλου των κόμβων που ανήκουν σε μία πλάκα και της συσχέτισης-

δέσμευσής τους με τους αντίστοιχους τρείς του κύριου κόμβου, επιτυγχάνεται σημαντική

μείωση της διάστασης του προς επίλυση συστήματος.

Σημειώνεται ξανά ότι η εφαρμογή της τρίτης δέσμευσης των σχέσεων (24), που αφορά τη

στροφή περί κατακόρυφο άξονα, θα πρέπει να γίνεται τεκμηριωμένα, προκειμένου για κατα-

σκευές διαφορετικές των συνήθων από οπλισμένο σκυρόδεμα.

Τέλος, σημειώνεται ότι στο επίπεδο του δαπέδου ενός ορόφου ενδέχεται να υφίστανται πε-

ρισσότερα του ενός διαφράγματα. Πρόκειται για την περίπτωση ασυνέχειας των πλακών, ο-

πότε δημιουργούνται κενά τα οποία σχεδιάστηκαν για ποικίλους λόγους (π.χ. εσωτερικά αί-

θρια, ή κενά εν γένει μεγάλων διαστάσεων σε κάτοψη). Μία άλλη περίπτωση είναι αυτή κτι-

ρίων με σχήμα Γ ή Π σε κάτοψη, αλλά με αρκετά επιμήκη σκέλη. Σε κάθε περίπτωση, και

ανεξαρτήτως του αριθμού των διαφραγμάτων ανά όροφο, κόμβοι μελών οι οποίοι κατασκευ-

αστικά δεν ανήκουν σε κάποιο διάφραγμα θα πρέπει να θεωρούνται ως έχοντες έξι βαθμούς

ελευθερίας ανά κόμβο, αδέσμευτους.