§3 分部积分法

1

§3 分部积分法定理定理 4.34.3 若 u x v x与可导，不定积分 u x v x dx存在，则也存在，并有 u x v x dx

,u x v x dx u x v x u x v x dx 证明： u x v x u x v x u x v x

u x v x v x u x u x v x

两边不定积分得 uv dx uv u vdx 或 udv uv vdu

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2

例 1 求积分 .cos xdxx

解（一）令 ,cos xu dvdxxdx 2

21

xdxxcos xdxx

xx

sin2

cos2

22

显然，选择不当，积分更难进行 .vu ,

解（二）令 ,xu dvxdxdx sincos

xdxxcos xxd sin xdxxx sinsin

.cossin Cxxx

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3

例 2 求积分 .2 dxex x

解 ,2xu ,dvdedxe xx

dxex x2 dxxeex xx 22

.)(22 Cexeex xxx

（再次使用分部积分法） ,xu dvdxe x

总结若被积函数是幂函数和正 ( 余 ) 弦函数或幂函数和指数函数的乘积 , 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次 ( 假定幂指数是正整数 )

u

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4

例 3 求积分 .arctan xdxx

解：令 ,arctan xu dvx

dxdx 2

2

xdxxarctan )(arctan2

arctan2

22

xdx

xx

dxx

xx

x2

22

11

2arctan

2

dxx

xx

)1

11(

21

arctan2 2

2

.)arctan(21

arctan2

2

Cxxxx

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5

例 4 求积分 .ln3 xdxx

解： ,ln xu ,4

43 dv

xddxx

xdxx ln3 dxxxx 34

41

ln41

.161

ln41 44 Cxxx

总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .u

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6

例 5 求积分 .)sin(ln dxx

解 dxx)sin(ln )][sin(ln)sin(ln xxdxx

dxx

xxxx1

)cos(ln)sin(ln

)][cos(ln)cos(ln)sin(ln xxdxxxx

dxxxxx )sin(ln)]cos(ln)[sin(ln

dxx)sin(ln .)]cos(ln)[sin(ln2

Cxxx

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7

例 6 求积分 .sin xdxe x

解： xdxe x sin xxdesin

)(sinsin xdexe xx

xdxexe xx cossin xx xdexe cossin

)coscos(sin xdexexe xxx

xdxexxe xx sin)cos(sin

xdxe x sin .)cos(sin2

Cxxe x

注意循环形式

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8

例 7 求积分 .

1

arctan2dx

x

xx

解： ,1

12

2

x

xx

dx

x

xx21

arctan 21arctan xxd

)(arctan1arctan1 22 xdxxx

dxx

xxx 222

11

1arctan1

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9

dxx

xx

2

2

1

1arctan1

令 tanx t

dxx 21

1

tdtt

2

2sec

tan1

1 tdtsec

Ctt )tanln(sec Cxx )1ln( 2

dx

x

xx21

arctan

xx arctan1 2 .)1ln( 2 Cxx

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10

例8 已知)(xf的一个原函数是2xe , 求dxxfx )( .

解： dxxfx )( )(xxdf ,)()( dxxfxxf

,)(2

Cedxxf x ),()( xfdxxf

两边同时对求导 , 得x ,2)(2xxexf

dxxfx )( dxxfxxf )()(

222 xex .2

Ce x

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11

例 93sec xdx求

解： 3sec xdx sec tanxd x 2sec tan sec tanx x x xdx 2sec tan sec (sec 1)x x x x dx

3sec tan sec secx x xdx xdx 3sec tan ln sec tan secx x x x xdx

移项 3 1sec sec tan ln sec tan

2xdx x x x x c

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§3 分部积分法