11

3) Αριθμητικές Μέθοδοι3) Αριθμητικές Μέθοδοι

Συστήματα μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους δεν Συστήματα μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους δεν μπορούν να λυθούν με τις γνωστές αναλυτικές μεθόδους. μπορούν να λυθούν με τις γνωστές αναλυτικές μεθόδους.

Για την επίλυσή τους χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε αριθμητικές μεθόδους.Για την επίλυσή τους χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε αριθμητικές μεθόδους.

Υπάρχουν διάφορες διαθέσιμες μέθοδοι, όπωςΥπάρχουν διάφορες διαθέσιμες μέθοδοι, όπως::

•Σχήματα πεπερασμένων διαφορών Σχήματα πεπερασμένων διαφορών (finite difference schemes)(finite difference schemes) τα οποία τα οποία χρησιμοποιούν αποκομμένες σειρές χρησιμοποιούν αποκομμένες σειρές TaylorTaylor

•Φασματικές μέθοδοιΦασματικές μέθοδοι (spectral techniques) (spectral techniques) στις οποίες οι μεταβολές των στις οποίες οι μεταβολές των μετεωρολογικών μεταβλητών (όπως π.χ. του γεωδυναμικού ύψους) μετεωρολογικών μεταβλητών (όπως π.χ. του γεωδυναμικού ύψους) αναπαριστάνονται σαν ένα πεπερασμένο πλήθος κυμάτων με διαφορετικά μήκη αναπαριστάνονται σαν ένα πεπερασμένο πλήθος κυμάτων με διαφορετικά μήκη κύματος.κύματος.

•Σχήματα πεπερασμένων στοιχείων Σχήματα πεπερασμένων στοιχείων (finite element schemes)(finite element schemes) τα οποία τα οποία προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν το σφάλμα ανάμεσα στις πραγματικές και τις προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν το σφάλμα ανάμεσα στις πραγματικές και τις προσεγγιστικές λύσειςπροσεγγιστικές λύσεις ( (χρήση αυτής της μεθόδου σε περίπλοκες περιοχές χρήση αυτής της μεθόδου σε περίπλοκες περιοχές ολοκλήρωσης, σε περιοχές ολοκλήρωσης που μεταβάλλονται, σε εφαρμογές ολοκλήρωσης, σε περιοχές ολοκλήρωσης που μεταβάλλονται, σε εφαρμογές που είναι αναγκαία μεταβλητή χωρική ανάλυση).που είναι αναγκαία μεταβλητή χωρική ανάλυση).

22

33

Πηγές λαθών που μπορούν να προκύψουν κατά τους αριθμητικούς υπολογισμούςΠηγές λαθών που μπορούν να προκύψουν κατά τους αριθμητικούς υπολογισμούς::

1)1) Σφάλματα που προκύπτουν κατά το σχηματισμό του μαθηματικού μοντέλουΣφάλματα που προκύπτουν κατά το σχηματισμό του μαθηματικού μοντέλου

π.χ. Υδροστατική προσέγγιση,π.χ. Υδροστατική προσέγγιση,

Αβαθής ατμόσφαιρα (Αβαθής ατμόσφαιρα (shallow atmosphere approximation)shallow atmosphere approximation)

2)2) Σφάλματα στα δεδομέναΣφάλματα στα δεδομένα

Προκύπτουν από τον παρατηρητή ή τα όργανα μέτρησης Προκύπτουν από τον παρατηρητή ή τα όργανα μέτρησης

3)3) Σφάλματα στρογγύλευσης Σφάλματα στρογγύλευσης (round-off error)(round-off error)

Είναι η διαφορά ανάμεσα στην υπολογισμένη στρογγύλευση ενός αριθμού και στην Είναι η διαφορά ανάμεσα στην υπολογισμένη στρογγύλευση ενός αριθμού και στην πραγματική του τιμή.πραγματική του τιμή.

Προκύπτουν λόγω του πεπερασμένου μεγέθους μνήμης που διατίθεται για την Προκύπτουν λόγω του πεπερασμένου μεγέθους μνήμης που διατίθεται για την αποθήκευση ενός αριθμού στον Η/Υ.αποθήκευση ενός αριθμού στον Η/Υ.

4)4) Σφάλματα αποκοπήςΣφάλματα αποκοπής (truncation error) (truncation error)

Προκύπτουν όταν συνεχείς συναρτήσεις αναπαριστάνονται από ένα πεπερασμένο Προκύπτουν όταν συνεχείς συναρτήσεις αναπαριστάνονται από ένα πεπερασμένο πλήθος σημειακών τιμών ή αλλιώς όταν για τον υπολογισμό της τιμής μιας πλήθος σημειακών τιμών ή αλλιώς όταν για τον υπολογισμό της τιμής μιας σειράς απείρων όρων διατηρούμε μόνο ένα συγκεκριμένο πλήθος όρων.σειράς απείρων όρων διατηρούμε μόνο ένα συγκεκριμένο πλήθος όρων.

44

3.1) Σφάλμα Στρογγύλευσης και Σφάλμα Αποκοπής3.1) Σφάλμα Στρογγύλευσης και Σφάλμα Αποκοπής

3.1.1 Σφάλμα στρογγύλευσης (3.1.1 Σφάλμα στρογγύλευσης (Round-off Error)Round-off Error)

Οι πραγματικοί αριθμοί αποθηκεύονται σε έναν υπολογιστή με περιορισμένη Οι πραγματικοί αριθμοί αποθηκεύονται σε έναν υπολογιστή με περιορισμένη ακρίβεια. ακρίβεια.

Όλοι οι αριθμοί κατά κάποιο τρόπο «στρογγυλεύονται» στον αριθμό των Όλοι οι αριθμοί κατά κάποιο τρόπο «στρογγυλεύονται» στον αριθμό των σημαντικών ψηφίων που μπορεί να αποθηκεύσει η συγκεκριμένη μηχανή. σημαντικών ψηφίων που μπορεί να αποθηκεύσει η συγκεκριμένη μηχανή.

Επίσης, επειδή οι περισσότεροι υπολογιστές χρησιμοποιούν το δυαδικό Επίσης, επειδή οι περισσότεροι υπολογιστές χρησιμοποιούν το δυαδικό σύστημα αρίθμησης ενώ η επικοινωνία του υπολογιστή με τον άνθρωπο σύστημα αρίθμησης ενώ η επικοινωνία του υπολογιστή με τον άνθρωπο γίνεται στο δεκαδικό σύστημα, υπεισέρχονται μικρά σφάλματα γίνεται στο δεκαδικό σύστημα, υπεισέρχονται μικρά σφάλματα στρογγύλευσης κατά τη διαδικασία της μετατροπής από το δεκαδικό στο στρογγύλευσης κατά τη διαδικασία της μετατροπής από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα και αντίστροφα.δυαδικό σύστημα και αντίστροφα.

(432.52)(432.52)1010= 4*10= 4*1022 + 3*10 + 3*1011 + 2*10 + 2*1000 + 5*10 + 5*10-1-1 + 2*10 + 2*10-2-2

(101.11)(101.11)22= 1*2= 1*22 2 + 0*2+ 0*211 + 1*2 + 1*200 + 1*2 + 1*2-1-1 + 1*2 + 1*2-2-2 = (5.75) = (5.75)1010

55

Στους υπολογιστές ένας πραγματικός αριθμός (κινητής υποδιαστολής) Στους υπολογιστές ένας πραγματικός αριθμός (κινητής υποδιαστολής) παριστάνεται με παριστάνεται με κανονικοποιημένη μορφήκανονικοποιημένη μορφή. .

Αυτό σημαίνει ότι η δεκαδική τελεία μετατοπίζεται έτσι ώστε όλα τα ψηφία Αυτό σημαίνει ότι η δεκαδική τελεία μετατοπίζεται έτσι ώστε όλα τα ψηφία του αριθμού να είναι στα δεξιά της δεκαδικής τελείας και το πρώτο ψηφίο του αριθμού να είναι στα δεξιά της δεκαδικής τελείας και το πρώτο ψηφίο μετά τη δεκαδική τελεία να είναι διάφορο του μηδενός. Αντιστοίχως μετά τη δεκαδική τελεία να είναι διάφορο του μηδενός. Αντιστοίχως ρυθμίζεται και η δύναμη της βάσης που εμφανίζεται ο αριθμός.ρυθμίζεται και η δύναμη της βάσης που εμφανίζεται ο αριθμός.

(15.546)(15.546)1010 = (0.155 = (0.1554646))1010*10*1022 (στο δεκαδικό σύστημα) (στο δεκαδικό σύστημα)

(16.5)(16.5)1010=(10000.1)=(10000.1)22=(0.100001)=(0.100001)22*2*255 (στο δυαδικό σύστημα) (στο δυαδικό σύστημα)

Γενικά ένας αριθμός Γενικά ένας αριθμός xx παριστάνεται ως παριστάνεται ως x = x = ± x’ * ± x’ * ββee

ΌπουΌπου::

x’x’ είναι το δεκαδικό μέρος του αριθμού και καλείται είναι το δεκαδικό μέρος του αριθμού και καλείται mantissamantissa. Στο δεκαδικό . Στο δεκαδικό σύστημα 0.1≤σύστημα 0.1≤x’<1x’<1 και β και β=10=10

e e είναι ένας ακέραιος αριθμός και καλείται είναι ένας ακέραιος αριθμός και καλείται εκθέτης (εκθέτης (exponent). exponent).

66

Η παράσταση ενός πραγματικού αριθμού στη μνήμη γίνεται ως Η παράσταση ενός πραγματικού αριθμού στη μνήμη γίνεται ως

11:: Το πρώτο δυαδικό ψηφίο ( Το πρώτο δυαδικό ψηφίο (bit) bit) διατίθεται για το πρόσημο και είναι 0 αν ο αριθμός είναι διατίθεται για το πρόσημο και είναι 0 αν ο αριθμός είναι θετικός και 1 αν είναι αρνητικός.θετικός και 1 αν είναι αρνητικός.

22:: Το αμέσως επόμενο τμήμα της λέξης, διατίθεται για την αποθήκευση του εκθέτη και είναι Το αμέσως επόμενο τμήμα της λέξης, διατίθεται για την αποθήκευση του εκθέτη και είναι ίσο με ίσο με e+ce+c όπου όπου e e είναι ο εκθέτης και είναι ο εκθέτης και cc είναι χαρακτηριστική του υπολογιστή. είναι χαρακτηριστική του υπολογιστή.

33:: Στο τελευταίο τμήμα γίνεται η αποθήκευση της Στο τελευταίο τμήμα γίνεται η αποθήκευση της mantissamantissa..

Επομένως το πλήθος των Επομένως το πλήθος των bits bits κατανέμεται με τον παρακάτω τρόπο σε υπολογιστέςκατανέμεται με τον παρακάτω τρόπο σε υπολογιστές

των 32-των 32-bitbit

και των 64και των 64-bit-bit

11 22 33

11 88 2323

11 1111 5252

77

Ο αριθμός των Ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων (σημαντικών ψηφίων (significant digits)significant digits) ενός πραγματικού αριθμού είναι ενός πραγματικού αριθμού είναι το πλήθος των ψηφίων της κανονικοποιημένης μορφής του αριθμού, μετρώντας από το το πλήθος των ψηφίων της κανονικοποιημένης μορφής του αριθμού, μετρώντας από το πρώτο μέχρι και το τελευταίο μη-μηδενικό ψηφίο.πρώτο μέχρι και το τελευταίο μη-μηδενικό ψηφίο.

Π.χ. Ο αριθμός 0.1428071*10Π.χ. Ο αριθμός 0.1428071*1066 έχει 7 σημαντικά ψηφία, έχει 7 σημαντικά ψηφία,

ενώ ο αριθμός 0.0000237*10ενώ ο αριθμός 0.0000237*1066 = 0.2370000*10 = 0.2370000*1022 έχει μόνο 3 σημαντικά ψηφία. έχει μόνο 3 σημαντικά ψηφία.

Μία λέξη των 32-Μία λέξη των 32-bitbit (4 (4 bytes) bytes) έχει 7-8 σημαντικά ψηφία, ενώ μία λέξη των 64-έχει 7-8 σημαντικά ψηφία, ενώ μία λέξη των 64-bit bit (8 (8 bytes) bytes) έχει συνήθως περίπου 16 σημαντικά ψηφία.έχει συνήθως περίπου 16 σημαντικά ψηφία.

Έτσι αν έχουμε 7 σημαντικά ψηφία ο αριθμός 1428571 (του δεκαδικού συστήματος) θα Έτσι αν έχουμε 7 σημαντικά ψηφία ο αριθμός 1428571 (του δεκαδικού συστήματος) θα αναπαρασταθεί ως .1428571*10αναπαρασταθεί ως .1428571*1066

Από την άλλη, ο αριθμός 123558.4654 πρώτα θα κανονικοποιηθεί στον αριθμό Από την άλλη, ο αριθμός 123558.4654 πρώτα θα κανονικοποιηθεί στον αριθμό 0.1235584654*100.1235584654*1066. Όμως επειδή μπορούμε να κρατήσουμε μόνο 7 σημαντικά ψηφία ο . Όμως επειδή μπορούμε να κρατήσουμε μόνο 7 σημαντικά ψηφία ο αριθμός θα γίνει 0.1235585*10αριθμός θα γίνει 0.1235585*1066 (=123558.5) (=123558.5)

Επομένως σε αυτό το παράδειγμα βλέπουμε ότι εξαιτίας της στρογγύλευσης χάθηκε ένας Επομένως σε αυτό το παράδειγμα βλέπουμε ότι εξαιτίας της στρογγύλευσης χάθηκε ένας μέρος της ακρίβειας του αριθμού. μέρος της ακρίβειας του αριθμού.

88

123456.7123456.7

101.7654 +101.7654 +

0.1234567 *100.1234567 *1066

0.1017654 *100.1017654 *103 3 ++

0.1234567 *100.1234567 *1066

0.0001017654 * 100.0001017654 * 106 6 ++

----------------------------------------------------------------------------------------------

0.1235584654 *100.1235584654 *1066 (=123558.4654 Πραγματικό αποτέλεσμα) (=123558.4654 Πραγματικό αποτέλεσμα)

Όμως κρατώντας μόνο τα 7 σημαντικά ψηφία, το άθροισμα γίνεταιΌμως κρατώντας μόνο τα 7 σημαντικά ψηφία, το άθροισμα γίνεται

0.1235585 *100.1235585 *1066 (=123558.5 Τελικό αποτέλεσμα) (=123558.5 Τελικό αποτέλεσμα)

99

Γενικά ένας υπολογισμός δεν μπορεί να είναι πιο ακριβής από την ακρίβεια στην οποία Γενικά ένας υπολογισμός δεν μπορεί να είναι πιο ακριβής από την ακρίβεια στην οποία αποθηκεύονται οι αριθμοί στον υπολογιστή. αποθηκεύονται οι αριθμοί στον υπολογιστή.

Το σφάλμα στρογγύλευσης συνήθως περιορίζεται στα λίγα τελευταία ψηφία και είναι Το σφάλμα στρογγύλευσης συνήθως περιορίζεται στα λίγα τελευταία ψηφία και είναι συνήθως λιγότερο σημαντικό από άλλες πηγές λαθών. συνήθως λιγότερο σημαντικό από άλλες πηγές λαθών.

Όμως σε δύο περιπτώσεις το λάθος στρογγύλευσης μπορεί να γίνει σημαντικόΌμως σε δύο περιπτώσεις το λάθος στρογγύλευσης μπορεί να γίνει σημαντικό::

Α) Α) Όταν προσθέτουμε μικρούς αριθμούς σε μεγάλουςΌταν προσθέτουμε μικρούς αριθμούς σε μεγάλους. Ιδιαίτερα όταν υπολογίζουμε . Ιδιαίτερα όταν υπολογίζουμε αθροίσματα πάρα πολλών όρων.αθροίσματα πάρα πολλών όρων.

123456.7123456.7

0.009876543 +0.009876543 +

0.1234567 *100.1234567 *1066

0.000000009876543 *100.000000009876543 *1066 + +

------------------------------------------------------------------------------------

0.123456709876543 *100.123456709876543 *1066 (πραγματικό αποτέλεσμα) (πραγματικό αποτέλεσμα)

0.1234567 *100.1234567 *1066 (αποτέλεσμα μετά τη στρογγ./κανον. σε 7 σημ. ψηφία) (αποτέλεσμα μετά τη στρογγ./κανον. σε 7 σημ. ψηφία)

Δηλαδή το αποτέλεσμα είναι ίσο με 123456.7Δηλαδή το αποτέλεσμα είναι ίσο με 123456.7

1010

Β) Β) Όταν αφαιρούμε δύο παρόμοιους αριθμούςΌταν αφαιρούμε δύο παρόμοιους αριθμούς. .

1428.5541428.554

1428.553 -1428.553 -

0.1428554 *100.1428554 *1044

0.1428553 *100.1428553 *1044 - -

------------------------------------------------------------------------------------

0.0000001 *100.0000001 *1044 (πραγματικό αποτέλεσμα) (πραγματικό αποτέλεσμα)

0.1 *100.1 *10-2-2 (αποτέλεσμα μετά τη κανονικοποίηση) (αποτέλεσμα μετά τη κανονικοποίηση)

Το αποτέλεσμα φαίνεται να είναι σωστό και να μην υπάρχει κάποιο πρόβλημα.Το αποτέλεσμα φαίνεται να είναι σωστό και να μην υπάρχει κάποιο πρόβλημα.

Όμως ο υπολογιστής πρέπει να δώσει τιμές και στα υπόλοιπα 6 ψηφία της Όμως ο υπολογιστής πρέπει να δώσει τιμές και στα υπόλοιπα 6 ψηφία της mantissamantissa (αφού (αφού έχουμε ακρίβεια 7 σημαντικών ψηφίων).έχουμε ακρίβεια 7 σημαντικών ψηφίων).

Επειδή δεν υπάρχει ακριβής πληροφορία για τα υπόλοιπα 6 ψηφία της Επειδή δεν υπάρχει ακριβής πληροφορία για τα υπόλοιπα 6 ψηφία της mantissamantissa, μερικοί , μερικοί υπολογιστές μπορεί να δώσουν σε εκείνα τα ψηφία τυχαίες τιμές διαφορετικές από 0 υπολογιστές μπορεί να δώσουν σε εκείνα τα ψηφία τυχαίες τιμές διαφορετικές από 0

Οπότε το τελικό αποτέλεσμα γίνεται 0.1Οπότε το τελικό αποτέλεσμα γίνεται 0.1dddddddddddd*10*10-2-2 όπου όπου dd είναι τυχαία ψηφία. είναι τυχαία ψηφία.

1111

Μέθοδοι αποφυγής του σφάλματος στρογγύλευσηςΜέθοδοι αποφυγής του σφάλματος στρογγύλευσης::

- Προσεκτικότερη σχεδίαση της επίλυσης του προβλήματος - Προσεκτικότερη σχεδίαση της επίλυσης του προβλήματος

π.χ. χρησιμοποίηση διαφορετικών μονάδων (π.χ. χρησιμοποίηση διαφορετικών μονάδων (ngrngr αντί για αντί για gr)gr)

πρόσθεση των αριθμών κατά ομάδες σε αθροίσματα πάρα πολλών όρωνπρόσθεση των αριθμών κατά ομάδες σε αθροίσματα πάρα πολλών όρων

- Χρησιμοποίηση αριθμών διπλής ακρίβειας- Χρησιμοποίηση αριθμών διπλής ακρίβειας

Double Precision Double Precision ήή Real*8 Real*8 στην στην FORTRANFORTRAN

Όμως η χρήση αριθμών διπλής ακρίβειας μειώνει την ταχύτητα των υπολογισμώνΌμως η χρήση αριθμών διπλής ακρίβειας μειώνει την ταχύτητα των υπολογισμών

1212

3.1.2 Σφάλμα αποκοπής3.1.2 Σφάλμα αποκοπής (truncation error) (truncation error)

Ισούται με τη διαφορά μίας προσεγγιστικής λύσης από την πραγματική λύση.Ισούται με τη διαφορά μίας προσεγγιστικής λύσης από την πραγματική λύση.

Προκύπτουν όταν συνεχείς συναρτήσεις αναπαριστάνονται από ένα πεπερασμένο πλήθος Προκύπτουν όταν συνεχείς συναρτήσεις αναπαριστάνονται από ένα πεπερασμένο πλήθος σημειακών τιμών.σημειακών τιμών.

Όσο πιο πολλές τιμές χρησιμοποιούμε για να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση, τόσο πιο ακριβή Όσο πιο πολλές τιμές χρησιμοποιούμε για να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση, τόσο πιο ακριβή θα είναι τα αποτελέσματά μας. θα είναι τα αποτελέσματά μας.

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: Κανόνας τραπεζίου για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων Κανόνας τραπεζίου για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων

Η ανάλυση που χρειάζεται για να μειωθεί το σφάλμα αποκοπής σε ένα αποδεκτό επίπεδο Η ανάλυση που χρειάζεται για να μειωθεί το σφάλμα αποκοπής σε ένα αποδεκτό επίπεδο εξαρτάται από τη συνάρτηση που θέλουμε να προσεγγίσουμε. εξαρτάται από τη συνάρτηση που θέλουμε να προσεγγίσουμε.

Γενικά από τη στιγμή που υπάρχουν αρκετά σημεία έτσι ώστε να αναλυθεί η βασική δομή Γενικά από τη στιγμή που υπάρχουν αρκετά σημεία έτσι ώστε να αναλυθεί η βασική δομή της συνάρτησης, αναμένεται ότι το σφάλμα θα μειωθεί γρήγορα με την αύξηση των σημείων.της συνάρτησης, αναμένεται ότι το σφάλμα θα μειωθεί γρήγορα με την αύξηση των σημείων.

Ο ρυθμός σύγκλισης, δηλαδή ο ρυθμός μείωσης του σφάλματος με την αύξηση των σημείων, Ο ρυθμός σύγκλισης, δηλαδή ο ρυθμός μείωσης του σφάλματος με την αύξηση των σημείων, εξαρτάται από τη μέθοδο προσέγγισης.εξαρτάται από τη μέθοδο προσέγγισης.

b

a

N

i

Ni

o xfxf

xfxdxxf

1

1 2

)()(

2

)()(

1313

3.2) Πεπερασμένες Διαφορές3.2) Πεπερασμένες Διαφορές (finite differences) (finite differences)

Οι πεπερασμένες διαφορές βασίζονται σε αποκομμένες σειρές Οι πεπερασμένες διαφορές βασίζονται σε αποκομμένες σειρές Taylor.Taylor.

Σε ένα πλέγμα σημείων της μορφής Σε ένα πλέγμα σημείων της μορφής x xii==αα+i*+i*ΔΔx, i=0,1,….,Nx, i=0,1,….,N έχουμε αντίστοιχα έχουμε αντίστοιχα

Βασικές Προσεγγίσεις της πρώτης παραγώγουΒασικές Προσεγγίσεις της πρώτης παραγώγου

• Ανακατάταξη της (3.2.1) μας δίνει την Ανακατάταξη της (3.2.1) μας δίνει την προσέγγιση προς-τα-εμπρός διαφορών (προσέγγιση προς-τα-εμπρός διαφορών (forward difference approximation)forward difference approximation) της πρώτης της πρώτης παραγώγουπαραγώγου

)()(2

)()()( 3''2

' xOxfx

xfxxfxxf

)()(2

)()()( 3''2

' xOxfx

xfxxfxxf

(3.2.1)(3.2.1)

(3.2.2)(3.2.2)

)()(2

)()()( 3''2

'1 xOxf

xxfxxfxf iiii

)()(2

)()()( 3''2

'1 xOxf

xxfxxfxf iiii

)()()(

)( 1' xOx

xfxfxf ii

i

1i

)i(i

!i

)x(f)x()x(f)xx(f

1

1i

)i(ii

!i

)x(f)x()()x(f)xx(f

1414

• Ανακατάταξη της (3.2.Ανακατάταξη της (3.2.22) μας δίνει την ) μας δίνει την προσέγγισηπροσέγγιση προς-τα-πίσω διαφορών (προς-τα-πίσω διαφορών (backward difference approximation)backward difference approximation) της πρώτης της πρώτης παραγώγουπαραγώγου

Οι παραπάνω προσεγγίσεις της πρώτης παραγώγου είναι Οι παραπάνω προσεγγίσεις της πρώτης παραγώγου είναι προσεγγίσεις πρώτης τάξηςπροσεγγίσεις πρώτης τάξης, επειδή , επειδή οι όροι των σφαλμάτων [οι όροι των σφαλμάτων [ συμβολιζόμενοι με το Ο(Δσυμβολιζόμενοι με το Ο(Δxx)) ] είναι ανάλογοι του Δ] είναι ανάλογοι του Δx x στην πρώτη στην πρώτη δύναμη.δύναμη.

• Από (3.2.1)-(3.2.2) παίρνουμε την Από (3.2.1)-(3.2.2) παίρνουμε την δεύτερης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών δεύτερης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών ((second-order centered difference approximationsecond-order centered difference approximation)) της πρώτης παραγώγου της πρώτης παραγώγου::

Καθώς το ΔΚαθώς το Δxx→0, →0, ΔΔxx2 2 →0 →0 πιο γρήγορα από το Δπιο γρήγορα από το Δxx. Επομένως η προσέγγιση. Επομένως η προσέγγιση δεύτερης τάξης δεύτερης τάξης θα συγκλίνει πιο γρήγορα από την προσέγγιση πρώτης τάξης.θα συγκλίνει πιο γρήγορα από την προσέγγιση πρώτης τάξης.

)()()(

)( 1' xOx

xfxfxf ii

i

)(2

)()()( 211' xO

x

xfxfxf ii

i

1515

Άλλες προσεγγίσεις της πρώτης παραγώγουΆλλες προσεγγίσεις της πρώτης παραγώγου

• Δεύτερης τάξης προσέγγισηΔεύτερης τάξης προσέγγιση προς-τα-εμπρός διαφορών (προς-τα-εμπρός διαφορών (second-order forward difference second-order forward difference approximation)approximation) της πρώτης παραγώγουτης πρώτης παραγώγου

• Δεύτερης τάξης προσέγγισηΔεύτερης τάξης προσέγγιση προς-τα-πίσω διαφορών (προς-τα-πίσω διαφορών (second-order backward difference second-order backward difference approximation)approximation) της πρώτης παραγώγουτης πρώτης παραγώγου

• Τέταρτης τάξης προσέγγισηΤέταρτης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (κεντρικών διαφορών (fourth-order centered difference fourth-order centered difference approximation)approximation) της πρώτης παραγώγουτης πρώτης παραγώγου

)(2

)(3)(4)()( 212' xO

x

xfxfxfxf iii

i

)(2

)()(4)(3)( 221' xO

x

xfxfxfxf iii

i

)(4

)()()()(2

3

1)( 42211' xO

x

xfxf

x

xfxfxf iiii

i

1616

Προσεγγίσεις της δεύτερης παραγώγουΠροσεγγίσεις της δεύτερης παραγώγου

• Πρώτης τάξης προσέγγισηΠρώτης τάξης προσέγγιση προς-τα-εμπρός διαφορών (προς-τα-εμπρός διαφορών (first-order forward difference first-order forward difference approximation)approximation) της δεύτερης παραγώγουτης δεύτερης παραγώγου

• Από (3.2.1)+(3.2.2) παίρνουμε τη Από (3.2.1)+(3.2.2) παίρνουμε τη Δεύτερης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (Δεύτερης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (second-order centered difference second-order centered difference approximation)approximation) της δεύτερης παραγώγου της δεύτερης παραγώγου

• Τέταρτης τάξης προσέγγισηΤέταρτης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (κεντρικών διαφορών (fourth-order centered difference fourth-order centered difference approximation)approximation) της δεύτερης παραγώγουτης δεύτερης παραγώγου

)()()(2)(

)( 22

11'' xOx

xfxfxfxf iii

i

)()()(2)(

)(2

12'' xOx

xfxfxfxf iii

i

)(12

)()(16)(30)(16)()( 4

22112'' xO

x

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

1717

Οι προσεγγίσεις μεγαλύτερων παραγώγων είναι αρκετά πιο πολύπλοκες, ιδιαίτερα αν Οι προσεγγίσεις μεγαλύτερων παραγώγων είναι αρκετά πιο πολύπλοκες, ιδιαίτερα αν θέλουμε να είναι και μεγάλης τάξης. θέλουμε να είναι και μεγάλης τάξης.

• Έτσι η Έτσι η Τέταρτης τάξης προσέγγισηΤέταρτης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (κεντρικών διαφορών (fourth-order centered difference fourth-order centered difference approximation)approximation) της τρίτης παραγώγου είναιτης τρίτης παραγώγου είναι

• Και η Και η Τέταρτης τάξης προσέγγισηΤέταρτης τάξης προσέγγιση κεντρικών διαφορών (κεντρικών διαφορών (fourth-order centered difference fourth-order centered difference approximation)approximation) της τέταρτης παραγώγου είναιτης τέταρτης παραγώγου είναι

)(8

)()(8)(13)(13)(8)()( 4

3321123''' xO

x

xfxfxfxfxfxfxf iiiiii

i

)(6

)()(12)(39)(56)(39)(12)()( 4

4321123'''' xO

x

xfxfxfxfxfxfxfxf iiiiiii

i

1818

Ακρίβεια της προσέγγισης της πρώτης παραγώγουΑκρίβεια της προσέγγισης της πρώτης παραγώγου

Επειδή οι κυματοειδείς κινήσεις είναι χαρακτηριστικές στην ατμόσφαιρα, Επειδή οι κυματοειδείς κινήσεις είναι χαρακτηριστικές στην ατμόσφαιρα, είναι ενδιαφέρον να εφαρμόσουμε την προσέγγιση των κεντρικών διαφορών είναι ενδιαφέρον να εφαρμόσουμε την προσέγγιση των κεντρικών διαφορών (δεύτερης τάξης) για την 1(δεύτερης τάξης) για την 1ηη παράγωγο της συνάρτησης παράγωγο της συνάρτησης f(x)f(x)=Α=Α··sin(2sin(2ππx/L). x/L).

Ο λόγος της προσέγγισης της 1Ο λόγος της προσέγγισης της 1ηςης παραγώγου μέσω των πεπερασμένων παραγώγου μέσω των πεπερασμένων διαφορώνδιαφορών, f’, f’DD(x),(x), ως προς την πραγματική 1 ως προς την πραγματική 1ηη παράγωγο, παράγωγο, f’(x)f’(x), είναι, είναι

Επειδή , είναι εμφανές ότι η προσέγγιση μέσω των πεπερασμένων Επειδή , είναι εμφανές ότι η προσέγγιση μέσω των πεπερασμένων διαφορών θα τείνει στην πραγματική τιμή της παραγώγου όταν Δδιαφορών θα τείνει στην πραγματική τιμή της παραγώγου όταν Δx/Lx/L →→ 0. 0.

Έτσι το σφάλμα αποκοπής θα είναι μικρό όταν ΔΈτσι το σφάλμα αποκοπής θα είναι μικρό όταν Δxx<<<<L. L.

Από την άλλη, το σφάλμα αποκοπής μπορεί να γίνει εξαιρετικά μεγάλο για Από την άλλη, το σφάλμα αποκοπής μπορεί να γίνει εξαιρετικά μεγάλο για σχετικά μικρά σχετικά μικρά LL ή μεγάλα Δ ή μεγάλα Δx. x. Για παράδειγμα, για Για παράδειγμα, για L=2L=2ΔΔxx, , f’f’DD(x)=0 (x)=0 x x

Lx

Lx

xf

xfD

/2

)/2sin(

)(

)('

'

1sin

lim0

a

a

a

1919

nn ΛόγοςΛόγος

11 0,000000,00000

22 0,000000,00000

33 0,413500,41350

44 0,636620,63662

55 0,756830,75683

66 0,826990,82699

77 0,871030,87103

88 0,900320,90032

99 0,920730,92073

1010 0,935490,93549

1111 0,946500,94650

1212 0,954930,95493

1313 0,961520,96152

1414 0,966770,96677

1515 0,971010,97101

1616 0,974500,97450

1717 0,977390,97739

1818 0,979820,97982

1919 0,981870,98187

2020 0,983630,98363

2121 0,985150,98515

2222 0,986460,98646

2323 0,987610,98761

2424 0,988620,98862

2525 0,989510,98951

2626 0,990300,99030

2727 0,991000,99100

2828 0,991630,99163

2929 0,992190,99219

3030 0,992710,99271

3131 0,993170,99317

3232 0,993590,99359

3333 0,993970,99397

3434 0,994320,99432

3535 0,994640,99464

3636 0,994930,99493

3737 0,995200,99520

3838 0,995450,99545

3939 0,995680,99568

4040 0,995890,99589

L=nL=n··ΔΔxx

f'D(x)/f'(x) f(x)=A sin(2πx/L) L=nΔx

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 5 10 15 20 25 30

n

Ra

tio

Lx

Lx

xf

xfD

/2

)/2sin(

)(

)('

'

Συμπαιρένουμε λοιπόν ότι πρέπει να έχουμε Συμπαιρένουμε λοιπόν ότι πρέπει να έχουμε χωρική ανάλυση τουλάχιστον 4Δχωρική ανάλυση τουλάχιστον 4Δxx για να για να μπορέσουμε να αναλύσουμε σωστά μια μπορέσουμε να αναλύσουμε σωστά μια κυματοειδή κίνηση κυματοειδή κίνηση

2020

Bulletin of the American Bulletin of the American Meteorological Society (1991), Vol. Meteorological Society (1991), Vol. 72, p. 191472, p. 1914

2121

Προσεγγίσεις παραγώγων για συναρτήσεις πολλών μεταβλητώνΠροσεγγίσεις παραγώγων για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Για συναρτήσεις πολλών μεταβλητώνΓια συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, , π.χ. π.χ. f(x,y)f(x,y), οι μερικές παράγωγοι προσεγγίζονται ως, οι μερικές παράγωγοι προσεγγίζονται ως

x

yxfyxf

x

yxf jiji

2

),(),(),( 11

f(xf(xii,y,yjj))

xxoo x x1 1 xx2 2 xxi i xxNN

yyNN

yyjj

yy22yy1 1 yyoo

y

yxfyxf

y

yxf jiji

2

),(),(),( 11

2

11

2

2 ),(),(2),(),(

x

yxfyxfyxf

x

yxf jijiji

2

11

2

2 ),(),(2),(),(

y

yxfyxfyxf

y

yxf jijiji

Εδώ χρησιμοποιήθηκαν κεντρικές διαφορές για τον Εδώ χρησιμοποιήθηκαν κεντρικές διαφορές για τον υπολογισμό της πρώτης παραγώγου.υπολογισμό της πρώτης παραγώγου.

2222

yx

yxfyxfyxfyxf

xy

yxf jijijiji

4

),(),(),(),(),( 111111112

Για τη προσέγγιση της παραγώγου της Για τη προσέγγιση της παραγώγου της f(x,y)f(x,y) ως προς ως προς xx και και yy, ,

πρώτα υπολογίζουμε την πρώτα υπολογίζουμε την και στη συνέχεια τηνκαι στη συνέχεια την

Επομένως καταλήγουμε στην προσεγγιστική σχέσηΕπομένως καταλήγουμε στην προσεγγιστική σχέση

x

f

xy

f

x

f

y

2

2323

3.33.3)) Η Εξίσωση της Γραμμικής Μεταφοράς (Η Εξίσωση της Γραμμικής Μεταφοράς (Linear Advection Equation)Linear Advection Equation)

όπου όπου cc=σταθερή ταχύτητα=σταθερή ταχύτητα. . Εδώ θεωρούμε ότι Εδώ θεωρούμε ότι c>0c>0

Πεδίο ορισμούΠεδίο ορισμού:: 0 0≤≤xx≤≤11

Αρχικές συνθήκες (Αρχικές συνθήκες (Initial conditions):Initial conditions): φ( φ(x,0)=F(x)x,0)=F(x)

Οριακές συνθήκεςΟριακές συνθήκες (Boundary conditions): (Boundary conditions): φ( φ(0,t)=0,t)=φ(1,φ(1,t)t)

Η αναλυτική λύση είναι της μορφής φΗ αναλυτική λύση είναι της μορφής φ(x,t)=F(x-ct)(x,t)=F(x-ct)

Δηλαδή η αρχική συνάρτηση μεταφέρεται με ταχύτητα Δηλαδή η αρχική συνάρτηση μεταφέρεται με ταχύτητα cc διατηρώντας το σχήμα της. διατηρώντας το σχήμα της.

0

xc

t

2424

Αριθμητική ΕπίλυσηΑριθμητική Επίλυση

Διαιρούμε το πεδίο ορισμού σε Ν ίσα τμήματαΔιαιρούμε το πεδίο ορισμού σε Ν ίσα τμήματα

xxjj=j*=j*ΔΔx x για για jj=0,1,2,....,Ν και =0,1,2,....,Ν και ΔΔx=x=1/Ν1/Ν

Οριακή συνθήκηΟριακή συνθήκη:: φ( φ(xx00,t)=,t)=φ(φ(xxNN,t),t)

Ορίζουμε ένα χρονικό βήμα ΔΟρίζουμε ένα χρονικό βήμα Δtt και θεωρούμε ότι και θεωρούμε ότι

ttnn=n*=n*ΔΔt t για για n=0,1,2,….n=0,1,2,….

Επίσης θεωρούμε ότι Επίσης θεωρούμε ότι

xxoo xx1 1 xx2 2 .................................. xxjj ................................ xxNN

njnj tx ),(

2525

ΑΑ) Forward Time – Centered Space (FTCS)) Forward Time – Centered Space (FTCS)

Με αυτή τη μέθοδο προσεγγίζουμε Με αυτή τη μέθοδο προσεγγίζουμε τη χρονική παράγωγο με τις προς-τα-εμπρός διαφορές τη χρονική παράγωγο με τις προς-τα-εμπρός διαφορές ((forward time) forward time) και και τη χωρική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές (τη χωρική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές (centered space)centered space)

02

111

xc

t

nj

nj

nj

nj n

jnj

nj

nj x

tc11

1

2

B) Centered Time – Centered Space (CTCS)B) Centered Time – Centered Space (CTCS)

Με αυτή τη μέθοδο προσεγγίζουμε Με αυτή τη μέθοδο προσεγγίζουμε τη χρονική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές τη χρονική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές ((centered time)centered time) και και τη χωρική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές (τη χωρική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές (centered space)centered space)

Αυτή είναι μία μέθοδος τριών χρονικών επιπέδων, καθώς περιλαμβάνει τιμές της Αυτή είναι μία μέθοδος τριών χρονικών επιπέδων, καθώς περιλαμβάνει τιμές της συνάρτησης στις χρονικές στιγμές συνάρτησης στις χρονικές στιγμές ttn+1n+1, t, tnn, t, tn-1n-1

Αυτή η μέθοδος συχνά καλείται και Αυτή η μέθοδος συχνά καλείται και leapfrogleapfrog γιατί περιλαμβάνει τιμές της συνάρτησης σε γιατί περιλαμβάνει τιμές της συνάρτησης σε τρεις χρονικές στιγμές (τρεις χρονικές στιγμές (n-1, n, n+1) n-1, n, n+1) και η τιμή δεν εμφανίζεται στην παραπάνω και η τιμή δεν εμφανίζεται στην παραπάνω σχέση.σχέση.

022

1111

xc

t

nj

nj

nj

nj n

jnj

nj

nj x

tc11

11

nj

2626

C) Forward Time – Backward Space (FTBS)C) Forward Time – Backward Space (FTBS)

Με αυτή τη μέθοδο προσεγγίζουμε Με αυτή τη μέθοδο προσεγγίζουμε τη χρονική παράγωγο με τις προς-τα-εμπρός διαφορές τη χρονική παράγωγο με τις προς-τα-εμπρός διαφορές ((forward time)forward time) και και τη χωρική παράγωγο με τις προς-τα-πίσω διαφορές ( τη χωρική παράγωγο με τις προς-τα-πίσω διαφορές (backward space)backward space)

Αυτή η μέθοδος καλείται και Αυτή η μέθοδος καλείται και “upstream scheme” “upstream scheme” γιατί η τιμή της φ στο σημείο γιατί η τιμή της φ στο σημείο xxjj

υπολογίζεται με χρήση πληροφοριών από προηγούμενο σημείο (δηλαδή από το υπολογίζεται με χρήση πληροφοριών από προηγούμενο σημείο (δηλαδή από το xxj-1j-1), ),

δεδομένου ότι δεδομένου ότι c>0c>0

011

xc

t

nj

nj

nj

nj n

jnj

nj

nj x

tc1

1

D) Backward Time – Centered Space (D) Backward Time – Centered Space (ΒΒTCS)TCS)

Με αυτή τη μέθοδο προσεγγίζουμε Με αυτή τη μέθοδο προσεγγίζουμε τη χρονική παράγωγο με τις προς-τα-πίσω διαφορές τη χρονική παράγωγο με τις προς-τα-πίσω διαφορές ((backward time)backward time) και και τη χωρική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές (τη χωρική παράγωγο με τις κεντρικές διαφορές (centered space)centered space)

Implicit schemeImplicit scheme. . Στα Στα “explicit schemes”“explicit schemes” (όπως είναι τα προηγούμενα) η τιμή του (όπως είναι τα προηγούμενα) η τιμή του για κάθε για κάθε jj μπορεί να υπολογιστεί άμεσα από τις ήδη γνωστές ποσότητες. μπορεί να υπολογιστεί άμεσα από τις ήδη γνωστές ποσότητες.

Στα Στα “implicit schemes” (“implicit schemes” (όπως το όπως το BTCS)BTCS) απαιτείται η λύση εξισώσεων που συνδυάζουν απαιτείται η λύση εξισώσεων που συνδυάζουν τις τιμές στη χρονική στιγμή τις τιμές στη χρονική στιγμή n+1 n+1 για διάφορα για διάφορα jj. .

02

11

11

1

xc

t

nj

nj

nj

nj

1nj

2727

3.4) Έλεγχος ευστάθειας των αριθμητικών μεθόδων3.4) Έλεγχος ευστάθειας των αριθμητικών μεθόδων

Γενικά για τον έλεγχο των αριθμητικών μεθόδωνΓενικά για τον έλεγχο των αριθμητικών μεθόδων

Πριν να χρησιμοποιήσουμε μία προσέγγιση για την αριθμητική επίλυση μιας διαφορικής Πριν να χρησιμοποιήσουμε μία προσέγγιση για την αριθμητική επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης, χρειάζεται να απαντήσουμε σε ορισμένες ερωτήσεις που αφορούν την ικανότητα εξίσωσης, χρειάζεται να απαντήσουμε σε ορισμένες ερωτήσεις που αφορούν την ικανότητα της προσέγγισης να αναπαριστάνει σωστά την πραγματική διαφ. εξίσωσητης προσέγγισης να αναπαριστάνει σωστά την πραγματική διαφ. εξίσωση, , όπωςόπως::

Η προσέγγιση Η προσέγγιση συγκλίνεισυγκλίνει στην πραγματική διαφορική εξίσωση όταν τα Δ στην πραγματική διαφορική εξίσωση όταν τα Δxx και Δ και Δtt τείνουν τείνουν στο μηδένστο μηδέν;;

Είναι η αριθμητική προσέγγιση Είναι η αριθμητική προσέγγιση γραμμικά ευσταθήςγραμμικά ευσταθής σε μικρές διαταραχές σε μικρές διαταραχές;;

Πόσο καλά αναπαριστάνονται το Πόσο καλά αναπαριστάνονται το πλάτος και η φάσηπλάτος και η φάση κυμάτων με διαφορετικά μήκη κυμάτων με διαφορετικά μήκη κύματος σε σχέση με την πραγματική λύση (όταν το αριθμητικό σχήμα είναι γραμμικά κύματος σε σχέση με την πραγματική λύση (όταν το αριθμητικό σχήμα είναι γραμμικά ευσταθές)ευσταθές);;

2828

Έλεγχος ευστάθειαςΈλεγχος ευστάθειας

•Κατά την επίλυση ενός προβλήματος αρχικών τιμών γίνεται ολοκλήρωση ως προς το Κατά την επίλυση ενός προβλήματος αρχικών τιμών γίνεται ολοκλήρωση ως προς το χρόνο από κάποιες αρχικές συνθήκες. χρόνο από κάποιες αρχικές συνθήκες.

•Τα σφάλματα στρογγύλευσης και αποκοπής θα συσσωρεύονται σε κάθε χρονικό βήμα Τα σφάλματα στρογγύλευσης και αποκοπής θα συσσωρεύονται σε κάθε χρονικό βήμα και η προσεγγιστική λύση θα αποκλίνει από την αναλυτική λύση.και η προσεγγιστική λύση θα αποκλίνει από την αναλυτική λύση.

•Αν το χρονικό βήμα ΔΑν το χρονικό βήμα Δtt είναι μικρό, τα σφάλματα σε κάθε χρονικό βήμα πρέπει να είναι μικρό, τα σφάλματα σε κάθε χρονικό βήμα πρέπει να είναι μικρά και να συσσωρεύονται αργά. είναι μικρά και να συσσωρεύονται αργά.

•Όμως μερικές φορές η προσεγγιστική λύση θα αποκλίνει γρήγορα από την αναλυτική Όμως μερικές φορές η προσεγγιστική λύση θα αποκλίνει γρήγορα από την αναλυτική και τότε λέμε ότι αυτή η προσεγγιστική λύση είναι και τότε λέμε ότι αυτή η προσεγγιστική λύση είναι ασταθήςασταθής..

•Αν η διαφορική εξίσωση που θέλουμε να λύσουμε είναι μη-γραμμική, τότε ο έλεγχος Αν η διαφορική εξίσωση που θέλουμε να λύσουμε είναι μη-γραμμική, τότε ο έλεγχος της ευστάθειας των αριθμητικών μεθόδων είναι δύσκολος.της ευστάθειας των αριθμητικών μεθόδων είναι δύσκολος.

•Μία αναγκαία συνθήκη για ευστάθεια μπορεί να βρεθεί ελέγχοντας την ευστάθεια μίας Μία αναγκαία συνθήκη για ευστάθεια μπορεί να βρεθεί ελέγχοντας την ευστάθεια μίας γραμμικής προσέγγισης του αρχικού προβλήματος (δηλαδή κάνοντας γραμμικοποίηση).γραμμικής προσέγγισης του αρχικού προβλήματος (δηλαδή κάνοντας γραμμικοποίηση).

•Αν ικανοποιείται η συνθήκη ευστάθειας του γραμμικού προβλήματος, τότε η λύση του Αν ικανοποιείται η συνθήκη ευστάθειας του γραμμικού προβλήματος, τότε η λύση του μη-γραμμικού προβλήματος θα παραμείνει περιορισμένη τουλάχιστον για μια μικρή μη-γραμμικού προβλήματος θα παραμείνει περιορισμένη τουλάχιστον για μια μικρή χρονική περίοδο (αλλά μετά μπορεί να γίνει ασταθής).χρονική περίοδο (αλλά μετά μπορεί να γίνει ασταθής).

•Επομένως, ευστάθεια των γραμμικοποιημένων εξισώσεων είναι μία αναγκαία, αλλά Επομένως, ευστάθεια των γραμμικοποιημένων εξισώσεων είναι μία αναγκαία, αλλά όχι ικανή, συνθήκη ευστάθειας του μη-γραμμικού προβλήματος.όχι ικανή, συνθήκη ευστάθειας του μη-γραμμικού προβλήματος.

2929

Έλεγχος ευστάθειας (μέθοδος Έλεγχος ευστάθειας (μέθοδος Von Neumann)Von Neumann)

•Μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε σειρά Μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε σειρά Fourier.Fourier.

•Αν η εξέλιξη της συνάρτησης διέπεται από μια γραμμική εξίσωση, τότε η Αν η εξέλιξη της συνάρτησης διέπεται από μια γραμμική εξίσωση, τότε η συμπεριφορά της μπορεί να καθοριστεί εξετάζοντας τη συμπεριφορά των ανεξάρτητων συμπεριφορά της μπορεί να καθοριστεί εξετάζοντας τη συμπεριφορά των ανεξάρτητων συνιστωσών της σειράς συνιστωσών της σειράς FourierFourier. .

•Επομένως, η ευστάθεια μιας αριθμητικής μεθόδου μπορεί να εξεταστεί υποθέτοντας Επομένως, η ευστάθεια μιας αριθμητικής μεθόδου μπορεί να εξεταστεί υποθέτοντας την αρχική κατάσταση να αποτελείται από ένα μήκος κύματος (συνιστώσα την αρχική κατάσταση να αποτελείται από ένα μήκος κύματος (συνιστώσα Fourier)Fourier) και και εξετάζοντας αν αναπτύσσεται με το χρόνο.εξετάζοντας αν αναπτύσσεται με το χρόνο.

•Γενικά, για μη-γραμμικές εξισώσεις με μη-περιοδικές οριακές συνθήκες αυτή η Γενικά, για μη-γραμμικές εξισώσεις με μη-περιοδικές οριακές συνθήκες αυτή η μέθοδος θα δώσει μία αναγκαία, αλλά όχι ικανή, συνθήκη ευστάθειας.μέθοδος θα δώσει μία αναγκαία, αλλά όχι ικανή, συνθήκη ευστάθειας.

Πιο συγκεκριμένα, τα βήματα που ακολουθούμε σε αυτή τη μέθοδο είναιΠιο συγκεκριμένα, τα βήματα που ακολουθούμε σε αυτή τη μέθοδο είναι::

1)1) Γραμμικοποίηση του προβλήματοςΓραμμικοποίηση του προβλήματος

2)2) Θεωρούμε κυματοειδείς λύσεις της μορφήςΘεωρούμε κυματοειδείς λύσεις της μορφής

3)3) Βρίσκουμε πότε ισχύει η σχέση Βρίσκουμε πότε ισχύει η σχέση Επειδή η λύση πολλαπλασιάζεται σε κάθε χρονικό βήμα με τον παράγοντα ΑΕπειδή η λύση πολλαπλασιάζεται σε κάθε χρονικό βήμα με τον παράγοντα ΑΔΔtt, θα είναι , θα είναι ευσταθής όταν ευσταθής όταν

ikxteAtx ),( xikjtnnj eA

1tA

1tA

3030

ΑΑ) ) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Forward Time – Centered Space (FTCS)Forward Time – Centered Space (FTCS)

Βρίσκουμε ότι , Βρίσκουμε ότι , Δ Δx, x, ΔΔtt

Επομένως αυτή η μέθοδος δίνει ασταθείς λύσειςΕπομένως αυτή η μέθοδος δίνει ασταθείς λύσεις. . Όμως αναγκαστικά χρησιμοποιείται για Όμως αναγκαστικά χρησιμοποιείται για το αρχικό βήμα καθώς συνδυάζει τις τιμές της συνάρτησης σε μόνο δύο χρονικά βήματα.το αρχικό βήμα καθώς συνδυάζει τις τιμές της συνάρτησης σε μόνο δύο χρονικά βήματα.

02

111

xc

t

nj

nj

nj

nj

B) B) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδοΑνάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Centered Time – Centered Space (CTCS)Centered Time – Centered Space (CTCS)

Η συνθήκη για ευστάθεια είναι η Η συνθήκη για ευστάθεια είναι η

που είναι γνωστή σαν συνθήκη που είναι γνωστή σαν συνθήκη Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Επίσης συχνά καλείται . Επίσης συχνά καλείται και συνθήκη και συνθήκη Courant.Courant.

Σαν ταχύτητα Σαν ταχύτητα c c μπορούμε να θεωρήσουμε και τη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης στο μπορούμε να θεωρήσουμε και τη μέγιστη ταχύτητα διάδοσης στο πρόβλημά μας.πρόβλημά μας.

022

1111

xc

t

nj

nj

nj

nj

1tA

1x

tc

3131

B) B) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδοΑνάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Centered Time – Centered Space (CTCS)Centered Time – Centered Space (CTCS) ( (Συνέχεια)Συνέχεια)

Σε προβλήματα Ν διαστάσεων με ΔΣε προβλήματα Ν διαστάσεων με Δx=x=ΔΔyy=.... η συνθήκη =.... η συνθήκη CFL CFL γίνεται γίνεται 1x

Ntc

Σε κάθε χρονικό βήμα, η λύση σε ένα σημείο Σε κάθε χρονικό βήμα, η λύση σε ένα σημείο xxjj υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τις τιμές υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τις τιμές

στα διπλανά σημεία στα διπλανά σημεία xxj+1j+1, x, xj-1j-1. . Η μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης της προσεγγιστικής Η μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης της προσεγγιστικής

λύσης είναι ένα σημείο πλέγματος ανά χρονικό βήμα (Δλύσης είναι ένα σημείο πλέγματος ανά χρονικό βήμα (Δx/x/ΔΔt)t).. Η συνθήκη Η συνθήκη CFLCFL απαιτεί απαιτεί ότι ότι cc≤≤ΔΔx/x/ΔΔtt,, δηλαδή ότι η ταχύτητα της πραγματικής λύσης δεν πρέπει να υπερβαίνει δηλαδή ότι η ταχύτητα της πραγματικής λύσης δεν πρέπει να υπερβαίνει αυτή που επιτρέπεται από τη μέθοδο προσέγγισης.αυτή που επιτρέπεται από τη μέθοδο προσέγγισης.

3232

BB11) ) Ακρίβεια Ακρίβεια της μεθόδουτης μεθόδου Centered Time – Centered Space (CTCS)Centered Time – Centered Space (CTCS) και έλεγχος της και έλεγχος της ταχύτητας φάσηςταχύτητας φάσης

Η γενική λύση της εξίσωσης γραμμικής μεταφοράς μέσω της μεθόδου Η γενική λύση της εξίσωσης γραμμικής μεταφοράς μέσω της μεθόδου CTCSCTCS όταν τα Δ όταν τα Δx x και και ΔΔtt τείνουν στο μηδέν είναι τείνουν στο μηδέν είναι

όπου Μ είναι μιγαδικός αριθμός.όπου Μ είναι μιγαδικός αριθμός.

Το πρώτο μέρος του αθροίσματος είναι ανάλογο της πραγματικής λύσης και ονομάζεται Το πρώτο μέρος του αθροίσματος είναι ανάλογο της πραγματικής λύσης και ονομάζεται «φυσικό τμήμα» («φυσικό τμήμα» (“physical mode”)“physical mode”)..

Το δεύτερο μέρος, οφείλεται στη χρήση των εξισώσεων διαφορών για την προσέγγιση της Το δεύτερο μέρος, οφείλεται στη χρήση των εξισώσεων διαφορών για την προσέγγιση της πρώτης παραγώγου και καλείται «υπολογιστικό τμήμα» πρώτης παραγώγου και καλείται «υπολογιστικό τμήμα» (“computational mode”) (“computational mode”) της λύσης. της λύσης. Το «υπολογιστικό τμήμα» είναι πηγή λάθους, η τιμή του αλλάζει πρόσημο σε κάθε χρονικό Το «υπολογιστικό τμήμα» είναι πηγή λάθους, η τιμή του αλλάζει πρόσημο σε κάθε χρονικό βήμα και η ταχύτητά του έχει ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά από την ταχύτητα του «φυσικού βήμα και η ταχύτητά του έχει ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά από την ταχύτητα του «φυσικού τμήματος». Για την διατήρηση της τιμής του σε χαμηλά επίπεδα μπορούν να τμήματος». Για την διατήρηση της τιμής του σε χαμηλά επίπεδα μπορούν να χρησιμοποιηθούν ειδικά φίλτρα. Γενικά, αν η τιμή του «υπολογιστικού τμήματος» είναι χρησιμοποιηθούν ειδικά φίλτρα. Γενικά, αν η τιμή του «υπολογιστικού τμήματος» είναι μικρή, τότε και το λάθος που γίνεται στο πλάτος του κύματος μέσω της χρήσης της μικρή, τότε και το λάθος που γίνεται στο πλάτος του κύματος μέσω της χρήσης της CTCSCTCS είναι μικρό.είναι μικρό.

)()( )1()1( tcnxjikntcnxjiknj MeeM

3333

BB11) ) Ακρίβεια Ακρίβεια της μεθόδουτης μεθόδου Centered Time – Centered Space (CTCS)Centered Time – Centered Space (CTCS) και έλεγχος της και έλεγχος της ταχύτητας φάσηςταχύτητας φάσης (Συνέχεια) (Συνέχεια)

Ταχύτητα φάσης του «φυσικού τμήματος»Ταχύτητα φάσης του «φυσικού τμήματος»

Με χρήση των κατάλληλων μαθηματικών υπολογίζεται ότι ο λόγος της ταχύτητας του Με χρήση των κατάλληλων μαθηματικών υπολογίζεται ότι ο λόγος της ταχύτητας του «φυσικού τμήματος» προς την πραγματική ταχύτητα του κύματος στη μέθοδο «φυσικού τμήματος» προς την πραγματική ταχύτητα του κύματος στη μέθοδο CTCS CTCS είναι είναι

...)(16

11 2

2.

xkx

tc

c

capprox

Πίνακας τιμών του λόγου Πίνακας τιμών του λόγου ccapprox.approx./c /c για δεύτερης και για δεύτερης και

τέταρτης τάξης προσεγγίσεις τέταρτης τάξης προσεγγίσεις της χωρικής παραγώγου, για της χωρικής παραγώγου, για διαφορετικές τιμές του διαφορετικές τιμές του ccΔΔt/t/ΔΔxx και για διαφορετικά μήκη και για διαφορετικά μήκη κύματος.κύματος.

Ενώ η ταχύτητα φάσης (Ενώ η ταχύτητα φάσης (c)c) της πραγματικής λύσης είναι σταθερή για κάθε μήκος κύματος, της πραγματικής λύσης είναι σταθερή για κάθε μήκος κύματος, η προσεγγιστική ταχύτητα φάσης μεταβάλλεται. Αυτό είναι πηγή λάθους και αναφέρεται η προσεγγιστική ταχύτητα φάσης μεταβάλλεται. Αυτό είναι πηγή λάθους και αναφέρεται ως «υπολογιστική διασπορά» ως «υπολογιστική διασπορά» (computational dispersion).(computational dispersion).

3434

C) C) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Forward Time – Backward Space (FTBS)Forward Time – Backward Space (FTBS)

Αυτή η μέθοδος είναι ευσταθής όταν και Αυτή η μέθοδος είναι ευσταθής όταν και

011

xc

t

nj

nj

nj

nj

D) D) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδοΑνάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο Backward Time – Centered Space (Backward Time – Centered Space (ΒΒTCS)TCS)

Αυτή η μέθοδος είναι ευσταθής για κάθε ΔΑυτή η μέθοδος είναι ευσταθής για κάθε Δxx, Δ, Δtt

1x

tc0c

02

11

11

1

xc

t

nj

nj

nj

nj

3535

3.3.5)5) Η Εξίσωση της Διάχυσης (Η Εξίσωση της Διάχυσης (Diffusion Equation)Diffusion Equation)

όπου όπου KK=σταθερός συντελεστής διάχυσης (Κ>0)=σταθερός συντελεστής διάχυσης (Κ>0)..

Θεωρούμε κυματοειδή αρχική συνθήκηΘεωρούμε κυματοειδή αρχική συνθήκη:: φ( φ(xx,0)=,0)=eeikxikx

Αν θεωρήσουμε φ(Αν θεωρήσουμε φ(x,t)=x,t)=Φ(Φ(t)et)eikxikx, , τότετότε η αναλυτική λύση είναι η η αναλυτική λύση είναι η

Δηλαδή η λύση είναι ένα στάσιμο κύμα του οποίου το πλάτος μειώνεται με το χρόνο.Δηλαδή η λύση είναι ένα στάσιμο κύμα του οποίου το πλάτος μειώνεται με το χρόνο.

Τα κύματα με μικρό μήκος κύματος θα αποσβεσθούν γρηγορότερα από κύματα Τα κύματα με μικρό μήκος κύματος θα αποσβεσθούν γρηγορότερα από κύματα μεγάλου μήκους κύματος.μεγάλου μήκους κύματος.

2

2

xK

t

ikxKtk eetx2

),(

3636

ΑΑ) ) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο επίλυσης με κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξηςΑνάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο επίλυσης με κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξης

Αυτή η μέθοδος είναι ασταθής γιατί υπάρχει πάντα ένα ΑΑυτή η μέθοδος είναι ασταθής γιατί υπάρχει πάντα ένα ΑΔΔtt με μέτρο μεγαλύτερο του 1. με μέτρο μεγαλύτερο του 1.

2

1111 2

2 xK

t

nj

nj

nj

nj

nj

ΒΒ) ) Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο επίλυσης με προς-τα-εμπρός διαφορές πρώτης Ανάλυση ευστάθειας για τη μέθοδο επίλυσης με προς-τα-εμπρός διαφορές πρώτης τάξης για τη χρονική παράγωγο και κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξης για τη χωρική τάξης για τη χρονική παράγωγο και κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξης για τη χωρική παράγωγοπαράγωγο

Αυτή η μέθοδος είναι ευσταθής όταν Αυτή η μέθοδος είναι ευσταθής όταν

ΠροσοχήΠροσοχή:: Το παραπάνω κριτήριο δηλώνει ότι ακόμα και μία μέτρια αύξηση στη χωρική Το παραπάνω κριτήριο δηλώνει ότι ακόμα και μία μέτρια αύξηση στη χωρική ανάλυση μπορεί να απαιτεί μία μεγάλη μείωση στο χρονικό βήμα για ευστάθεια.ανάλυση μπορεί να απαιτεί μία μεγάλη μείωση στο χρονικό βήμα για ευστάθεια.

2

111 2

xK

t

nj

nj

nj

nj

nj

12

2

x

tK

3737

C)C) Η μέθοδος Η μέθοδος Dufort-FrankelDufort-Frankel

Για την αποφυγή του παραπάνω κριτηρίου ευστάθειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί η Για την αποφυγή του παραπάνω κριτηρίου ευστάθειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος μέθοδος Dufort-Frankel Dufort-Frankel που είναι που είναι “pseudo-implicit”“pseudo-implicit”..

Σε αυτή τη μέθοδο ο όρος της μεθόδου επίλυσης με κεντρικές διαφορές δεύτερης Σε αυτή τη μέθοδο ο όρος της μεθόδου επίλυσης με κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξης αντικαθίσταται από το άθροισμα το οποίο προκαλεί μία τάξης αντικαθίσταται από το άθροισμα το οποίο προκαλεί μία εξομάλυνση ως προς το χρόνο.εξομάλυνση ως προς το χρόνο.

Αυτή η μέθοδος είναι δεύτερης τάξης και είναι ευσταθής για κάθε ΔΑυτή η μέθοδος είναι δεύτερης τάξης και είναι ευσταθής για κάθε Δtt..

Επιπλέον η συγκεκριμένη μορφή με την οποία είναι τώρα γραμμένη η εξίσωση της Επιπλέον η συγκεκριμένη μορφή με την οποία είναι τώρα γραμμένη η εξίσωση της διάχυσης επιτρέπει τον υπολογισμό του σε διάχυσης επιτρέπει τον υπολογισμό του σε “explicit”“explicit” μορφή μορφή::

2

111

111 )(

2 xK

t

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj2

11 nj

nj

1nj

2

11

121

1

21

)(2

xtK

xtK n

jnj

nj

nj

nj

3838

3.3.6)6) Η Εξίσωση της Μη-Γραμμικής Μεταφοράς (Η Εξίσωση της Μη-Γραμμικής Μεταφοράς (Non-Linear Advection Equation)Non-Linear Advection Equation)

Η εξίσωση της γραμμικής μεταφοράς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση της Η εξίσωση της γραμμικής μεταφοράς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση της μεταφοράς μίας ποσότητας, όπως π.χ. η θερμοκρασία και η υγρασία, από τον άνεμο.μεταφοράς μίας ποσότητας, όπως π.χ. η θερμοκρασία και η υγρασία, από τον άνεμο.

Όμως οι πραγματικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στην αριθμητική πρόγνωση είναι μη-Όμως οι πραγματικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στην αριθμητική πρόγνωση είναι μη-γραμμικές.γραμμικές.

Η μη-γραμμικότητα επιτρέπει την ύπαρξη ενδιαφέροντων δυναμικών διαδικασιών, αλλά Η μη-γραμμικότητα επιτρέπει την ύπαρξη ενδιαφέροντων δυναμικών διαδικασιών, αλλά μπορεί να προκαλέσει και αριθμητικά προβλήματα μέσω σφαλμάτων αποκοπής και μπορεί να προκαλέσει και αριθμητικά προβλήματα μέσω σφαλμάτων αποκοπής και αστάθειας.αστάθειας.

Πάντως η μη-γραμμικότητα δεν μειώνει την ισχύ των κριτηρίων γραμμικής ευστάθειας.Πάντως η μη-γραμμικότητα δεν μειώνει την ισχύ των κριτηρίων γραμμικής ευστάθειας.

0

x

uu

t

u

3939

3.3.7)7) Μη-Γραμμικές Αλληλεπιδράσεις ΚυμάτωνΜη-Γραμμικές Αλληλεπιδράσεις Κυμάτων

(§10.6 Pielke: Mesoscale Meteorological Modeling, 1(§10.6 Pielke: Mesoscale Meteorological Modeling, 1stst Edition) Edition)

Θεωρούμε το άθροισμα δύο κυμάτων με κυματαριθμούς Θεωρούμε το άθροισμα δύο κυμάτων με κυματαριθμούς kk11 και και kk22

Ο μη-γραμμικός όρος γίνεταιΟ μη-γραμμικός όρος γίνεται

Άρα το αποτέλεσμα είναι η δημιουργία κυμάτων με μεγαλύτερους κυματαριθμούς, δηλαδή Άρα το αποτέλεσμα είναι η δημιουργία κυμάτων με μεγαλύτερους κυματαριθμούς, δηλαδή με μικρότερα μήκη κύματος.με μικρότερα μήκη κύματος.

Γενικά, οι μη-γραμμικοί όροι μπορεί να δημιουργήσουν αθροίσματα και διαφορές Γενικά, οι μη-γραμμικοί όροι μπορεί να δημιουργήσουν αθροίσματα και διαφορές κυματαριθμών, όπως επίσης και να δώσουν τις αρχικές τιμές τους.κυματαριθμών, όπως επίσης και να δώσουν τις αρχικές τιμές τους.

Η μεταφορά της ενέργειας σε μικρότερες κλίμακες συμβαίνει στην πραγματικότητα.Η μεταφορά της ενέργειας σε μικρότερες κλίμακες συμβαίνει στην πραγματικότητα.

xikxik BeAeu 21

xkixkkixki eBikekkiABeAikx

uu 2211 22

2)(

2122

1 )(

4040

Aliasing Aliasing και μη-γραμμική αστάθειακαι μη-γραμμική αστάθεια

AliasingAliasing

Σε αντίθεση με την πραγματικότητα, σε ένα αριθμητικό μοντέλο η συνεχής μεταφορά της Σε αντίθεση με την πραγματικότητα, σε ένα αριθμητικό μοντέλο η συνεχής μεταφορά της ενέργειας σε μικρότερες κλίμακες δεν μπορεί να συμβεί γιατί το μικρότερο κύμα που μπορεί ενέργειας σε μικρότερες κλίμακες δεν μπορεί να συμβεί γιατί το μικρότερο κύμα που μπορεί να αναπαρασταθεί έχει μήκος κύματος 2Δνα αναπαρασταθεί έχει μήκος κύματος 2Δx.x.

Κύματα μικρότερα από 2ΔΚύματα μικρότερα από 2Δx x δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με τις αριθμητικές μεθόδους δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με τις αριθμητικές μεθόδους και αναπαριστάνονται (λανθασμένα) σαν μεγαλύτερα κύματα (δηλαδή με μήκος κύματος και αναπαριστάνονται (λανθασμένα) σαν μεγαλύτερα κύματα (δηλαδή με μήκος κύματος που μπορεί να αναλυθεί). Αυτό το πρόβλημα λέγεται που μπορεί να αναλυθεί). Αυτό το πρόβλημα λέγεται ““aliasingaliasing””..

ΟρισμόςΟρισμός: Aliasing : Aliasing είναι ένα φαινόμενο δια του οποίου ένα κύμα που δημιουργείται από μη-είναι ένα φαινόμενο δια του οποίου ένα κύμα που δημιουργείται από μη-γραμμικές διεργασίες (από τους όρους της μεταφοράς) και το οποίο είναι πολύ μικρό (<2Δγραμμικές διεργασίες (από τους όρους της μεταφοράς) και το οποίο είναι πολύ μικρό (<2Δx) x) για να αναπαρασταθεί στο πλέγμα, αναπαριστάνεται λανθασμένα σαν ένα μεγαλύτερο κύμα για να αναπαρασταθεί στο πλέγμα, αναπαριστάνεται λανθασμένα σαν ένα μεγαλύτερο κύμα (με μήκος κύματος (με μήκος κύματος ≥2Δ≥2Δxx).).

Αν στο προηγούμενο παράδειγμα θεωρήσουμε ότι αρχικά έχουμε δύο κύματα με μήκηΑν στο προηγούμενο παράδειγμα θεωρήσουμε ότι αρχικά έχουμε δύο κύματα με μήκη

λλ11=2Δ=2Δx x δηλαδή δηλαδή kk11=2=2π/2Δπ/2Δx x και και λλ22=4Δ=4Δx x δηλαδή δηλαδή kk22=2=2π/4Δπ/4Δxx

τότε προκύπτουν τα κύματα με κυματαριθμούςτότε προκύπτουν τα κύματα με κυματαριθμούς

22kk11=2=2π/Δπ/Δx, 2kx, 2k22=2=2π/2Δπ/2Δx, kx, k11+k+k22=2=2π/1.333Δπ/1.333Δxx

άρα με μήκη κύματοςάρα με μήκη κύματος

λλ11=Δ=Δx,x, λ λ22=2Δ=2Δx, x, λλ33=1.333Δ=1.333Δxx

4141

AliasingAliasing

Η ενέργεια του κύματος με λΗ ενέργεια του κύματος με λ11=Δ=Δx x θα προστεθεί λανθασμένα στην ενέργεια του μοντέλου θα προστεθεί λανθασμένα στην ενέργεια του μοντέλου

σαν μια σταθερή τιμή.σαν μια σταθερή τιμή.

TTο κύμα με λο κύμα με λ33=1.333Δ=1.333Δx x θα εμφανιστεί σαν ένα κύμα με μήκος κύματος 4Δθα εμφανιστεί σαν ένα κύμα με μήκος κύματος 4Δx. x. Δηλαδή θα Δηλαδή θα

εμφανιστεί σαν το μικρότερο ακέραιο πολλαπλάσιο μήκος κύματος που είναι εμφανιστεί σαν το μικρότερο ακέραιο πολλαπλάσιο μήκος κύματος που είναι ≥2Δ≥2Δxx

4242

MMη-γραμμική αστάθειαη-γραμμική αστάθεια (non-linear instability) (non-linear instability)

Ακόμα και αν μία υπολογιστική μέθοδος είναι γραμμικά ευσταθής, τα αποτελέσματά της Ακόμα και αν μία υπολογιστική μέθοδος είναι γραμμικά ευσταθής, τα αποτελέσματά της μπορεί να καταλήξουν σε ασήμαντης φυσικής σημασίας υπολογιστικό θόρυβο. μπορεί να καταλήξουν σε ασήμαντης φυσικής σημασίας υπολογιστικό θόρυβο.

Πραγματικά, το Πραγματικά, το aliasingaliasing που επαναλαμβάνεται σε πολλά χρονικά βήματα μπορεί να που επαναλαμβάνεται σε πολλά χρονικά βήματα μπορεί να οδηγήσει σε γρήγορη αύξηση της ενέργειας (αστάθεια), η οποία καταστρέφει την εγκυρότητα οδηγήσει σε γρήγορη αύξηση της ενέργειας (αστάθεια), η οποία καταστρέφει την εγκυρότητα της αριθμητικής πρόγνωσης ή προσομοίωσης. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται της αριθμητικής πρόγνωσης ή προσομοίωσης. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται μη-γραμμική μη-γραμμική αστάθειααστάθεια..

Για να υπάρξει Για να υπάρξει aliasingaliasing,, και κατά συνέπεια και μη-γραμμική αστάθεια, απαιτείται η ύπαρξη και κατά συνέπεια και μη-γραμμική αστάθεια, απαιτείται η ύπαρξη κυμάτων με μήκος κύματος μικρότερο από 4Δκυμάτων με μήκος κύματος μικρότερο από 4Δx.x.

ΠαραδείγματαΠαραδείγματα:: λλ11=3Δ=3Δx, x, λ λ22=5Δ=5Δx x → → λλ11==1.51.5ΔΔx, x, λ λ22==2.52.5ΔΔxx, λ, λ33==1.8751.875ΔΔxx

λλ11=4Δ=4Δx, x, λ λ22=5Δ=5Δx x → λ→ λ11=2Δ=2Δx, x, λ λ22==2.52.5ΔΔxx, λ, λ33=2.222Δ=2.222Δxx

λλ11=6Δ=6Δx, x, λ λ22=5Δ=5Δx x → λ→ λ11=2=2.5.5ΔΔx, x, λ λ22=2.727Δ=2.727Δxx, λ, λ33=3Δ=3Δxx

4343

MMη-γραμμική αστάθειαη-γραμμική αστάθεια (non-linear instability) (non-linear instability)

Τρόποι αντιμετώπισης του προβλήματοςΤρόποι αντιμετώπισης του προβλήματος::

•Φιλτράρισμα των λύσεων έτσι ώστε να απομακρυνθούν μήκη κύματος μικρότερα από 4ΔΦιλτράρισμα των λύσεων έτσι ώστε να απομακρυνθούν μήκη κύματος μικρότερα από 4Δxx..

Όμως ένα φίλτρο Όμως ένα φίλτρο FourierFourier που απομακρύνει μόνο τα μήκη κύματος 2Δ που απομακρύνει μόνο τα μήκη κύματος 2Δx x και 3Δκαι 3Δxx είναι είναι υπολογιστικά ακριβό.υπολογιστικά ακριβό.

Άλλα φίλτρα που είναι ευκολότερα στη χρήση, όπως , μπορεί να ελέγχουν τη μη-Άλλα φίλτρα που είναι ευκολότερα στη χρήση, όπως , μπορεί να ελέγχουν τη μη-γραμμική αστάθεια αλλά επηρεάζουν και τα μεγάλα μήκη κύματος.γραμμική αστάθεια αλλά επηρεάζουν και τα μεγάλα μήκη κύματος.

•Χρήση σχήματος πεπερασμένων διαφορών που διατηρεί την ενέργεια.Χρήση σχήματος πεπερασμένων διαφορών που διατηρεί την ενέργεια.

•Χρήση παραμετροποίησης για την τυρβώδη διάχυση η οποία θα αποτρέπει τη συσσώρευση Χρήση παραμετροποίησης για την τυρβώδη διάχυση η οποία θα αποτρέπει τη συσσώρευση της ενέργειας.της ενέργειας.

n2

4444

3.8) Φασματικές μέθοδοι3.8) Φασματικές μέθοδοι ((δείτε σελίδες 450-461 από δείτε σελίδες 450-461 από Holton 1992:Holton 1992: An Introduction to Dynamic Meteorology, An Introduction to Dynamic Meteorology, Third Edition)Third Edition)

Με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών αναπαραστούσαμε μία συνεχή συνάρτηση Με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών αναπαραστούσαμε μία συνεχή συνάρτηση μέσω ενός πεπερασμένου πλήθους σημειακών τιμών. μέσω ενός πεπερασμένου πλήθους σημειακών τιμών.

Εναλλακτικά μπορούν να χρησιμοιηθούν οι φασματικές μέθοδοι.Εναλλακτικά μπορούν να χρησιμοιηθούν οι φασματικές μέθοδοι. Τα φασματικά μοντέλα αναπαριστούν τις μετεωρολογικές παραμέτρους (όπως το Τα φασματικά μοντέλα αναπαριστούν τις μετεωρολογικές παραμέτρους (όπως το

γεωδυναμικό ύψος) σαν ένα πεπερασμένο πλήθος κυμάτων με διαφορετικά μήκη κύματος.γεωδυναμικό ύψος) σαν ένα πεπερασμένο πλήθος κυμάτων με διαφορετικά μήκη κύματος.

Βασικά πλεονεκτήματα των φασματικών μεθόδωνΒασικά πλεονεκτήματα των φασματικών μεθόδων::• Η φασματική μέθοδος είναι γενικά πιο ακριβής από τη μέθοδο των πεπερασμένων Η φασματική μέθοδος είναι γενικά πιο ακριβής από τη μέθοδο των πεπερασμένων

διαφορών όταν χρησιμοποιείται χαμηλή χωρική ανάλυση. Όμωςδιαφορών όταν χρησιμοποιείται χαμηλή χωρική ανάλυση. Όμως,, οι δύο προσεγγίσεις οι δύο προσεγγίσεις έχουν συγκρίσιμη ακρίβεια στο εύρος των χωρικών αναλύσεων που χρησιμοποιούνται τα έχουν συγκρίσιμη ακρίβεια στο εύρος των χωρικών αναλύσεων που χρησιμοποιούνται τα τελευταία χρόνια.τελευταία χρόνια.

• Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει “aliasing” “aliasing” γιατί οι αλληλεπιδράσεις με μικρά μήκη κύματος αποκλείονται.γιατί οι αλληλεπιδράσεις με μικρά μήκη κύματος αποκλείονται.• Οι φασματικές μέθοδοι συγκλίνουν πολύ γρήγορα.Οι φασματικές μέθοδοι συγκλίνουν πολύ γρήγορα. Βασικά μειονεκτήματαΒασικά μειονεκτήματα::• Είναι δύσκολες στον προγραμματισμό.Είναι δύσκολες στον προγραμματισμό.• Έχουν μεγάλο κόστος στον υπολογισμό των μη-γραμμικών όρων αν όλοι οι υπολογισμοί Έχουν μεγάλο κόστος στον υπολογισμό των μη-γραμμικών όρων αν όλοι οι υπολογισμοί

γίνουν στο φασματικό χώρο και γι’αυτό χρησιμοποιούνται εναλλακτικοί τρόποι γίνουν στο φασματικό χώρο και γι’αυτό χρησιμοποιούνται εναλλακτικοί τρόποι (φασματικοί μετασχηματισμοί – (φασματικοί μετασχηματισμοί – spectral transform method)spectral transform method)..

• Απαιτούν ειδικό χειρισμό των οριακών συνθηκώνΑπαιτούν ειδικό χειρισμό των οριακών συνθηκών ( (χρήση κυρίως σε παγκόσμια μοντέλα).χρήση κυρίως σε παγκόσμια μοντέλα).• Μπορεί να εμφανίσουν μεγάλα λάθη σε περιοχές ασυνεχειών.Μπορεί να εμφανίσουν μεγάλα λάθη σε περιοχές ασυνεχειών.

4545

Στα φασματικά μοντέλα η χωρική αναπαράσταση των δυναμικών και Στα φασματικά μοντέλα η χωρική αναπαράσταση των δυναμικών και θερμοδυναμικών μεταβλητών βασίζεται σε αποκομμένες σειρές συναρτήσεων θερμοδυναμικών μεταβλητών βασίζεται σε αποκομμένες σειρές συναρτήσεων βάσης. Στη σφαιρική γη, οι κατάλληλες συναρτήσεις βάσης είναι οι σφαιρικές βάσης. Στη σφαιρική γη, οι κατάλληλες συναρτήσεις βάσης είναι οι σφαιρικές αρμονικές.αρμονικές.

Μία πραγματική μεταβλητή μπορεί να αναπτυχθεί σε σφαιρικές αρμονικές σαν Μία πραγματική μεταβλητή μπορεί να αναπτυχθεί σε σφαιρικές αρμονικές σαν ένα διπλό άθροισμαένα διπλό άθροισμα::

mm είναι είναι ο ζωνικός κυματαριθμόςο ζωνικός κυματαριθμός

nn-|-|m|m| είναι ο αριθμός των μηδενικών της σφαιρικής αρμονικής είναι ο αριθμός των μηδενικών της σφαιρικής αρμονικής συνάρτησης μεταξύ των πόλων. Μπορεί να συνάρτησης μεταξύ των πόλων. Μπορεί να θεωρηθείθεωρηθεί σαν ένας τύπος σαν ένας τύπος μεσημβρινού κυματαριθμού.μεσημβρινού κυματαριθμού.

λλ = γεωγραφικό μήκος = γεωγραφικό μήκος

μ μ = = sinsinφ (όπου φ το γεωγραφικό πλάτος)φ (όπου φ το γεωγραφικό πλάτος)

tt = = χρόνοςχρόνος

Σφαιρική αρμονική Σφαιρική αρμονική συνάρτησησυνάρτηση

Μιγαδικός Μιγαδικός συντελεστήςσυντελεστής

4646

ΤριγωνικήΤριγωνική αποκοπήαποκοπή ΤΤΜΜ: : N(m)=MN(m)=M

Η οριζόντια ανάλυση στη ζωνική και Η οριζόντια ανάλυση στη ζωνική και τη μεσημβρινή διεύθυνση είναι σχεδόν τη μεσημβρινή διεύθυνση είναι σχεδόν η ίδια. η ίδια.

Είδη αποκοπήςΕίδη αποκοπής

Ο τύπος της αποκοπής που χρησιμοποιεί το κάθε φασματικό μοντέλο Ο τύπος της αποκοπής που χρησιμοποιεί το κάθε φασματικό μοντέλο καθορίζεται από τη μορφή των αποκομμένων κυματαριθμών, και κατ’ επέκταση καθορίζεται από τη μορφή των αποκομμένων κυματαριθμών, και κατ’ επέκταση από τον αριθμό από τον αριθμό NN((mm)) στη συνάρτησηστη συνάρτηση

Ρομβοειδής αποκοπή Ρομβοειδής αποκοπή RRMM:: N(m)=|m|+MN(m)=|m|+M

Η μεσημβρινή ανάλυση είναι η ίδια για Η μεσημβρινή ανάλυση είναι η ίδια για κάθε ζωνικό κυματαριθμό.κάθε ζωνικό κυματαριθμό.

Μ

4747

Επιχειρησιακό (ντετερμινιστικό)

Σύστημα Στοχαστικής Πρόγνωσης (EPS)

Μέχρι 1/2/2006

Από 1/2/2006

Μέχρι 1/2/2006

Από 1/2/2006

Φασματικό T511 Τ799 Τ255 Τ399

Γκαουσιανό N256 Ν400 Ν128 Ν200

Κατακόρυφα Επίπεδα του μοντέλου

60 91 40 62

Νέα έκδοσηΝέα έκδοση:: IFS cIFS c3030rr1 1

Παρομοίως με τα μοντέλα που βασίζονται αποκλειστικά σε σημεία Παρομοίως με τα μοντέλα που βασίζονται αποκλειστικά σε σημεία πλέγματος, στα φασματικά μοντέλα οι υπολογισμοί των διαφόρων πλέγματος, στα φασματικά μοντέλα οι υπολογισμοί των διαφόρων φυσικών διεργασιών και των μη-γραμμικών όρων γίνονται σε σημεία φυσικών διεργασιών και των μη-γραμμικών όρων γίνονται σε σημεία πλέγματος. πλέγματος.

Με αυτό τον τρόπο διατηρείται η απλότητα της αναπαράστασης των Με αυτό τον τρόπο διατηρείται η απλότητα της αναπαράστασης των φυσικών διεργασιών σε σημεία πλέγματος, ενώ γίνεται εκμετάλλευση της φυσικών διεργασιών σε σημεία πλέγματος, ενώ γίνεται εκμετάλλευση της ακρίβειας των φασματικών μεθόδων στους υπολογισμούς των δυναμικών ακρίβειας των φασματικών μεθόδων στους υπολογισμούς των δυναμικών μεταβλητών.μεταβλητών.

4848

3.9) Χρονική Διαφόριση3.9) Χρονική Διαφόριση(§10.5 Pielke: Mesoscale Meteorological Modeling, 1(§10.5 Pielke: Mesoscale Meteorological Modeling, 1stst Edition) Edition)

Τα Τα “explicit”“explicit” σχήματα χρονικής διαφόρισης (π.χ. το σχήματα χρονικής διαφόρισης (π.χ. το leapfrog leapfrog σχήμα κεντρικών διαφορών σχήμα κεντρικών διαφορών ως προς το χρόνο) είναι εύκολα στον προγραμματισμό και συνήθως επαρκώς ακριβή. ως προς το χρόνο) είναι εύκολα στον προγραμματισμό και συνήθως επαρκώς ακριβή.

Όμως, οι πολύ γρήγορες κινήσεις μπορεί να απαιτούν ένα πολύ μικρό χρονικό βήμα.Όμως, οι πολύ γρήγορες κινήσεις μπορεί να απαιτούν ένα πολύ μικρό χρονικό βήμα.

Ένα πλήρως Ένα πλήρως “implicit”“implicit” σχήμα μπορεί να είναι ευσταθές για μεγάλα χρονικά βήματα, αλλά σχήμα μπορεί να είναι ευσταθές για μεγάλα χρονικά βήματα, αλλά είναι συνήθως δύσκολο στον προγραμματισμό και έχει μεγάλο υπολογιστικό κόστος, αφού είναι συνήθως δύσκολο στον προγραμματισμό και έχει μεγάλο υπολογιστικό κόστος, αφού σε κάθε χρονικό βήμα πρέπει να λυθεί ένα μεγάλο σύστημα γραμμικών εξισώσεων (ίσο με σε κάθε χρονικό βήμα πρέπει να λυθεί ένα μεγάλο σύστημα γραμμικών εξισώσεων (ίσο με τον αριθμό των μεταβλητών επί το πλήθος των σημείων πλέγματος). τον αριθμό των μεταβλητών επί το πλήθος των σημείων πλέγματος).

4949

Μέθοδος Μέθοδος “semi-implicit”“semi-implicit” Μία τεχνική που συχνά εφαρμόζεται στα υδροστατικά μοντέλα είναι να χειριζόμαστε με Μία τεχνική που συχνά εφαρμόζεται στα υδροστατικά μοντέλα είναι να χειριζόμαστε με “implicit” “implicit” μεθόδους μόνο τους όρους των εξισώσεων που σχετίζονται με βαρυτηκά κύματα. μεθόδους μόνο τους όρους των εξισώσεων που σχετίζονται με βαρυτηκά κύματα. Οι όροι που σχετίζονται με μεταφορά και κύματα Οι όροι που σχετίζονται με μεταφορά και κύματα RossbyRossby χειρίζονται με χειρίζονται με “explicit”“explicit” μεθόδους. μεθόδους.

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα:: Αν γραμμικοποιήσουμε την προγνωστική εξίσωση της Αν γραμμικοποιήσουμε την προγνωστική εξίσωση της U U συνιστώσας του συνιστώσας του ανέμου (σε ισοβαρικές συντεταγμένες) παίρνουμεανέμου (σε ισοβαρικές συντεταγμένες) παίρνουμε

→→Το χρονικό βήμα τώρα περιορίζεται από το κριτήριο Το χρονικό βήμα τώρα περιορίζεται από το κριτήριο CFLCFL για τα κύματα για τα κύματα Rossby (Rossby (όρος όρος fv) fv) και τη μεταφορά (όρος και τη μεταφορά (όρος u/u/t).t).

Για τη λύση φαίνεται να απαιτείται ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων για όλες τις Για τη λύση φαίνεται να απαιτείται ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων για όλες τις μεταβλητές (όπως και στα πλήρως μεταβλητές (όπως και στα πλήρως “implicit” “implicit” σχήματα). Στην πραγματικότητα οι εξισώσεις σχήματα). Στην πραγματικότητα οι εξισώσεις για τη για τη UU και τη και τη V V συνιστώσα μπορούν να συνδυαστούν αναλυτικά και να καταλήξουμε συνιστώσα μπορούν να συνδυαστούν αναλυτικά και να καταλήξουμε στην επίλυση ενός συστήματος με μόνο άγνωστο το στην επίλυση ενός συστήματος με μόνο άγνωστο το z.z.

0

x

zgfv

t

u0

2

1

2

11

,

1,

1,

x

z

x

zgfv

t

uu nnn

ji

nji

nji

5050

Μέθοδος χρονικού διαχωρισμού Μέθοδος χρονικού διαχωρισμού “time-splitting”“time-splitting”

Για να αποφευχθεί το όριο του χρονικού βήματος που επιβάλλεται στις μη-υδροστατικές Για να αποφευχθεί το όριο του χρονικού βήματος που επιβάλλεται στις μη-υδροστατικές εξισώσειςεξισώσεις από τα ηχητικά κύματα, μερικά μοντέλα διαχωρίζουν τους όρους που σχετίζονται από τα ηχητικά κύματα, μερικά μοντέλα διαχωρίζουν τους όρους που σχετίζονται με ηχητικά κύματα και τους ολοκληρώνουν με ένα μικρότερο χρονικό βήμα.με ηχητικά κύματα και τους ολοκληρώνουν με ένα μικρότερο χρονικό βήμα.

Οι σχετικοί όροι ολοκληρώνονται με ένα μικρό χρονικό βήμα (ΔΟι σχετικοί όροι ολοκληρώνονται με ένα μικρό χρονικό βήμα (Δttss) ) κρατώντας τους κρατώντας τους

υπόλοιπους όρους αμετάβλητους. Αυτοί οι υπόλοιποι όροι ενημερώνονται μόνο μετά από υπόλοιπους όρους αμετάβλητους. Αυτοί οι υπόλοιποι όροι ενημερώνονται μόνο μετά από μερικά χρονικά βήματα (π.χ. Δμερικά χρονικά βήματα (π.χ. Δtt≈≈1010ΔΔttss).).

Επίσης, αν χειριστούμε τις κατακόρυφες παραγώγους με Επίσης, αν χειριστούμε τις κατακόρυφες παραγώγους με “implicit”“implicit” μεθόδους, τότε το μεθόδους, τότε το μέγεθος του Δμέγεθος του Δttss περιορίζεται μόνο από την ταχύτητα φάσης των ηχητικών κυμάτων που περιορίζεται μόνο από την ταχύτητα φάσης των ηχητικών κυμάτων που

κινούνται οριζοντίως. κινούνται οριζοντίως.