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RELACIONES TRIGONOMTRICAS
DE NGULOS EN POSICIN
NORMAL
1. Si: 2 1cos , IVC
16
Calcule: sec csc
M1 ctg
A) 15
4 B)
1
4 C)
15
4
D) 1
4 E) 4
RESOLUCIN
1
cos4
IVC
sec csc sec cscM M
1 ctg 1 ctg
4 4
1 15M1
115
14 1
5M
11
5
M 4
RPTA.: E
2. De la figura mostrada, determine: M tan tan
A) 1
3
B) 2
3
C) 1
D) 2
E) 3
RESOLUCIN
3
tan2
3 3
tan2 2
tan tan 3
RPTA.: E
3. Se tiene un ngulo en posicin normal que verifica las siguientes condiciones:
i) cos cos
ii) tg tg
iii) 5
sen3
determine el valor de:
M 5.csc 9cos
A) -11 B) -10 C) -9 D) -8 E) -6
RESOLUCIN i) cos 0
ii) tan 0
iii) 5 5
sen sen ; III3 3
y
x
(-3;2)
+ -
(-3;2)
2
3
(-2;-3)
IIIC
2
Luego: y 5 , r =3 x= -2
3 2
M 5 9 3 6 935
RPTA.: C
4. Si: ctg 2,4 csc 0; sabiendo
adems que " " es un ngulo en posicin normal halle:
1
P 2sen cos4
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2
RESOLUCIN * csc 0
* 24
ctg 2,4 10
2 2x 12 12
x y 13y 5 5
* 1
P 2sen cos ?4
y 1 x
P 2r 4 r
5 1 12
P13 4 13
P 1
RPTA.: A
5. Halle n del grfico, si ctg 0,333...
A) 1
B) 2
C) -2
D) 1
2
E) 1
2
RESOLUCIN Piden; n = ? Dato:
ctg 0,333...
x
0,3y
n 1 3
4n 1
9
3(n 1) 4n 1
3n 3 4n 1
n 2
RPTA.: C
6. Si el punto (2m;-3m) pertenece al lado
final de un ngulo en posicin normal. Calcule :
2 213 sen cos ;m 0
A) -5 B) 5 C) 1
5
D) 1
5 E) 0
RESOLUCIN
Sabemos:
2 2r x y r m 13
Piden:
2 213 Sen Cos ?
2 2y x
13r r
xO
y
P(n-1;4n-1)
(-)
(+)
" " IIIC
y=-5(x,y)
x= -12
o
r = 13
o L.I.x = 2m
y = -3m
rm
13
L.F.
(2m; -3m)x y
3
3m
13
m
2
2m
13
m
2
13
5
RPTA.: B
7. Si: 5
tg2
sen 0
Halle:
29E csc cos 29 ctg
4
A) 3 29
10 B)
7 29
10
C) 29
10 D)
11 29
10
E) 3 29
10
RESOLUCIN
5
tg2
3er. C.
5
sen29
2
cos29
Se pide:
29 29 2 2
E 295 4 529
11 29
E10
RPTA.: D
8. Si b es un ngulo de 4to cuadrante y
24cosb
25 , halle:
V 5senb 6tgb 12secb
A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35
RESOLUCIN
24
cosb ;25
b 4to C.
7
senb25
7
tgb24
Se pide:
7 7 25
V 5 6 1225 24 24
V 9,35
RPTA.: D
9. Si Ctg
Ctg 22 2
y III C
Halle: G 17 sen cos
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
RESOLUCIN
1Ctg
Ctg 2 22 2
1
ctg 2 ctg2
ctg 4 III C
E 17 sen cos
1 4
E 17 E 317 17
RPTA.: B
10. Si: cos
26 4 4sen sen
Adems IV cuadrante.
Halle: 1
A sec tg8
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIN
529
2
257
b
24
(-4;-1)
17
-1
-4
4
12 cos424sen sen
1
cos3
IVC
1
A sec tg2 2
3 1 2 2
A1 12 2
A = 3 - 1
A = 2 RPTA.: B
11. Si: 1
sen ; tg 02
Halle:
H csc 3 ctg
A) 1 B) 5 C) 4 D) -1 E) 3
RESOLUCIN
1
sen ;2
sen 0 II, I C
1
sen ;2
tg 0
II C
E csc 13 ctg
2 3
E 31 1
E 2 3 E= -1
RPTA.: D
12. Del grfico calcule cot
A) 3
7 B)
4
7 C)
5
7
D)3
7 E)
4
7
RESOLUCIN
ctg 90 ctg tg ctg
4ctg
7
RPTA.: E
y
x
53
1
3 2 2
21
3
3k
53
4k
5k
5k37
4k
3k53
4 7;
x y
5
13. Del grfico calcule:
E 25sen tg
A) 1 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
RESOLUCIN
E 257
25
8
4
E 7 2 9 RPTA.: E
14. Siendo y son las medidas de dos
ngulos en posicin normal, tal que:
360 , 90 180
Calcule: cos cos
Esen sen
Dado que: 1
tg2
A) 1
2 B)
1
2 C) 2
D) 2 E) -1
RESOLUCIN
f f
Si: tg = 1
2
ctg = 2
cos cos 2
E Esen sen
cos
2
sen
E ctg E 2
RPTA.: D
15. Si los puntos P (m, n + 1) y Q
(n, m + 1) pertenecen al lado final de
un ngulo en posicin normal: Adems: n = 2m Calcular:
2V ctg csc sen cos
A) 1
2 B) -1 C)
2
2
D) 2
2 E) -2
RESOLUCIN
P(m,n 1),Q n,m 1 Lf
n 1 m 1
n(n 1) (m 1)mm n
Como:
n 2m 2m 2m 1 m 1 m
1
4m 2 m 1 m3
2
n3
1 1
P( )3 3
II C
2V ctg csc sen cos
2V ctg csc sen cos
1 1
V 1 22 2
1
V 12
1
V2
RPTA.: A
y
x
(24; 7)
(-4; -8)
x
24
725
-4
-8
y
x
1
2
1
6
16. Siendo y " " dos ngulos positivos
del IC y menores de una vuelta para los cuales se cumple que:
Cos 2 0 Halle el valor de:
5sen 3cos
k5cos 3sen
A) sen B) 2 C) cos D) 4 E) 1
RESOLUCIN
cos 2 0 2 90
y IC
5sen 90 3cos
k5cos 3sen 90
5cos 3cos
k5cos 3cos
8cos
k k 42cos
RPTA.: D
17. Si: ABCD es un cuadrado, del grfico,
calcule: ctg AD OB
A) 2
2 B) 1 C)
1
2
D) 2 1 E) 2 1
RESOLUCIN
ctg ctg , 2 45 180
135
2
0135
ctg ctg2
045
ctg tg2
ctg 2 1
Si:
045
tg 2 12
RPTA.: E
18. En la figura AOB es un cuarto de circunferencia.
Halle: "tg "
A) 1 B) 7
24 C)
7
24
D) 24
7 E)
24
7
RESOLUCIN
CB
A D
xo
y
y
x
A
B o
53
x
y
a
a
a
45
a
y
x
A
3k o
53
a +
3k4k
a
y=4k
7kx=-a=-
6
5k
(x;y)
37
4k
7
Del grfico:
Rayado (T. de Pitgoras):
2 2 2
a 3k a 4k
2a 2 26ak 9k a 216k
6ak 27k
7k
a6
y 4k 24
tg7kx 7
6
RPTA.: E
19. Halle: Ctg
A) 1 3 B) 3 1
C) 2 1 D) 1
E) 1
3
RESOLUCIN
3 1
Ctg1
Ctg 3 1
RPTA.: A
20. Halle: ctg
A) 5
4 B)
5
4 C)
3
4
D) 7
4 E)
1
4
RESOLUCIN
x
Ctgy
7
Ctg4
RPTA.: D
21. Si: ABCD es un cuadrado. Halle: M=4ctg -tg
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIN
60
Y
Xo
37
x
C
BB
D
3760
22
2
30
3 1
1
(- 3 1; 1)
37
(-7;4)x y
4
4
4 3
4
x
y
BB
4 4
3 1
37
P(-1;4)
8
M 4ctg tg
M 41
4
4
1
M 1 4 M 3
RPTA.: C
22. Determinar el menor de dos ngulos
coterminales, si la suma de ellos es
1320 y el mayor est comprendido
entre 900 y 1200.
A) 100 B) 140 C) 240
D) 300 E) 420
RESOLUCIN Sean:
: Coterminales:
2n ,n ..(1)
360 n
Dato: 1320 (2)
900 1200 .. (3)
(1) + (2):
2 1320 360n
660 180n
En (3)
900 660 180n 1200
1, 3 < n ) las medidas de
los 2 ngulos coterminales, luego:
360 n .......(i); "n"
* 5
2
(ii)
(ii) en (i):
5k - 2k = 360 x n k = 120x n
k en (ii): ...(iii)
* 1000 < < 1700 1000
9
n en (iii) :
+ = 1680
RPTA.: C
25. Dada la ecuacin:
cos 1 1 cos 1 sen
Halle ; si cada uno de ellos es
un ngulo cuadrantal, positivo y menor a una vuelta.
A) 720 B) 90 C) 180 D) 270 E) 360
RESOLUCIN * y son ngulos cuadrantales
0 360 y0 360
90 ;180;270
90, 180 ; 270
Probando en la condicin:
cos 1 1 cos 1 sen
cos 1 0 cos 1 180 1 sen 0 sen 1 90
270
RPTA.: D
26. Si 1 1 1
sen ....3 15 35
ycos 0
n trminos Calcular el valor de:
n 1
M tan (sec )3n 1
A) -1 B) 1
2 C) 1
D) 2 E) 2
RESOLUCIN
1 1sen 1
2 3
1
3
1
5
1
5
1
7
1...
2n 1
1
2n 1
ESTE TRMINO NO SE ANULA
1 11
2 2n 1
1 2n n x
sen cos 02 2n 1 2n 1 r
IIIC
x n
y n 1 3n 1
r 2n 1
Luego:
10
2n 1n 1 n 1 3n 1M
n n3n 1
n 1 2n 1 n
M 1n n n
RPTA.: A
27. En la figura mostrada O es el centro de la circunferencia y adems:
OA AB BC , determine:
M cot 10tg
A) -1 B) 0 C) 1
2
D) 2 E) 3
RESOLUCIN
5rcot 5
5r
2 2r 2tg
4r 2
Luego:
2M 5 10 5 5
2
M 0 RPTA.: B
28. Si la expresin:
M 2 4 es real, Calcule:
R sen tg cos ; cuando es
un ngulo cuadrantal.
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
RESOLUCIN
Si M es real: 2 0 4 0 2 4
2 4
y como es cuadrantal: Luego: R sen tan cos
R 1 RPTA.: B
ABC
x
y
o
( 5; 5r)
r
3r
rr
2 2r
5r 3r
( 4r; 2 2r)
2
4
11
29. Sea un ngulo positivo menor que
una vuelta cuyo lado final no cae en el
IC, y otro ngulo 180,0 con el
cual se verifica:
21 cos tan
Determine el valor de:
tg sen
M2 sen
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
RESOLUCIN
Si: 21 cos tan cos 0
90 180;0
tan 1 225 IC
Luego:
tan 225 sen( 90) 1 1M 0
2 sen225 22
2
RPTA.: A