3. Deformierbare Medien

3.1. Eigenschaften deformierbarer fester Körper

3.1.1. Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz

Wesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene KörperAllgemeine Theorie: Landau, Liftschitz („Elastizitätstheorie”)

Def.: Zugspannung

Relative Dehnung

AFσ

LLΔε

A

Feste Wand

L F

A Querschnitt F

Hookesches Gesetz: εEσ E Elastizitätsmodul , Materialeigenschaft, E 1 N m2

... Druck, ,Temperaturε,EE unabhängig von Geometrie (A und L)

ε

σ

ProportionalitätsbereichProportionalitätsbereich

Nichtlinearer Bereich (fast elastisch)

Nichtlinearer Bereich (fast elastisch)

Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung)

Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung)

ReißenReißen

Hookesches Gesetz: εEσ gültig im elastischen Bereich

.constεE0ε Taylor-

Entwicklung Proportionalbereich

Beispiel: Kerbspannung

F

ΔL / L groß

Kerbspannung

Elastische Hysterese und elastische Nachwirkung:

ε

σ

elastische Nachwirkung dεσFläche dεσFläche

Plastische Verformungsarbeit ( Wärme) pro Volumen

Tafelrechnung

3.1.2. Querkontraktion

L

D

L dL

D dD

Def.: Poissonzahl

LLd

DDdμ

0,5μ0μ21εV

Vd

Volumenzunahme:D

Dd2

L

Ld

V

VdDLV 2

ε ε2μ

Zugspannung

3.1.3. Kompressionsmodul

F p dA

F p dA

F p dA

dANormalkraft

FlächeDef.: Druck p

Pascal1Pa1mN1p 2

Def.: Kompressibilität

Kompressionsmodul

pd

Vd

V

1 κ

κ

1K

Zusammenhang zwischen E, und K:

μ21E

3

K

1 κ

Beweis:

dFdF

A

μ21AE

Fdμ21

E

σμ21ε

V

dV

μ21E

pd3μ21

AE

Fd3

V

dV dFdF

dF

dFdF

dF pd AFd

μ21E

3

pd

Vd

V

1κ q.e.d.

3.1.4. Scherung und Torsionsmodul

Tangentialkräfte ScherungFFläche A

αDef.: Schub- / Scherspannung

AFτ

αGτ

Hookesches Gesetz:

(für hinreichend kleine )

G Schub- / Scher- / Torsionsmodul , G 1 N m2 rad1

EGEμ12

EG 3

121

Beweis: Bergmann Schaefer

L

r

Feste Einspannung

dünnes, langes Drahtseil

φ

dφ dr

α

Fd

3.1.5. Torsionsschwingung Messung von G(vgl. Tafelrechnung)

Rücktreibendes Drehmoment

DMel

Richtmoment

GL2

rπD

4

mit

FdrMd

Realisierung als Drehpendel:

ωJL ω

z

ωJL ω

z

Bewegungsgleichung der Drehbewegung: (vgl. Kap. 4.2.)

eltdLd Mz eltdLd Mz

Def.:

Tafelrechnung Schwingungperiode T

2r

π2GπLJ2T 2r

π2GπLJ2T

Draht

Trägheitsmoment J

φ

z

L

Beispiel: Einseitig eigespannter Balken Querschnitt A( unabhängig von s )

x

y

homogen

s

gedehntgedehnt

gestauchtgestaucht

yN

0

feste Einspannung

Neutrale Faser: f(s)

Neutrale Faser: f(s)

F

Steigung: a f ´(L)

0 L

b Biegepfeil

3.1.6. Biegung Messung von E

Näherung kleiner Biegung: sf,1sf sρ1

neutrale Faserneutrale Faser

s s Δs

ρ(s)

Δs

Δs Δℓ

gedehnte Faser

gedehnte Faser

y – yN

sρ

ΔsΔ sρ

ΔsΔ

dx·dy

elFd

elastische Gegenkraft

elastische Gegenkraft

zur Tafelrechnung:

feste Einspannung

Querschnitt A( unabhängig von s )

x

y

homogen

s

gedehntgedehnt

gestauchtgestaucht

yN

0

Neutrale Faser: f(s)

Neutrale Faser: f(s)

F

Steigung: a f ´(L)

0 L

b Biegepfeil

sδsγsβαsf0sf 324 sδsγsβαsf0sf 324

3

2

2

2

el

22

332

L

b3

L

ba3

L

aIE2V

s L

b3

L

as

L

b2

L

asf

3

2

2

2

el

22

332

L

b3

L

ba3

L

aIE2V

s L

b3

L

as

L

b2

L

asf

Randbedingungen Biegekurve:

3.2. Hydro- und Aerostatik

• Statik Gleichgewichtszustände, zeitunabhängig

• ideale Flüssigkeit ohne Arbeit verformbar bei Volumen const.

• reale Flüssigkeit Oberflächenkräfte und innere Reibung

• Gase Form- und Volumenänderung bei kleinem Energieaufwand

3.2.1. Oberfläche der idealen Flüssigkeit

Ideale Flüssigkeit

dV an Oberfläche

NF

TF

F

Tangentialkraft entlang der Oberfläche

VerschiebungTF

Statik 0F T

Beispiel: Rotationsparaboloid

z

ω

z0

r m

F

mω2r

mg

α

α

rd

zd

g

rω

gm

rωmαtan

22

22

0 rg2

ωzrz

3.2.2. Statischer Druck (ohne Schwerkraft) Äußere Kraft

A

F

A

Fp :Druck

Fd dV

dx

p(x) p(x dx)

dA

VdAdxd

AdxdxpAdxpFd

xp

xp

x

dVpgradFd

dVpgradFd

Druckkraft:

pgradf VdFd

pgradf VdFd

Kraftdichte:

Statik: 0f

.constp .constp

2s

Anwendung: Hydraulische Presse

1F

1A 1s2A

2F

Externe Kraft

Interne Kraft

11AA

2AF

AF FFFp

1

2

2

2

1

1 aber 11AA

2 sss2

1

3.2.3. Kompressibilität

pd

Vd

V

1 κ in Flüssigkeiten i.a. sehr klein:

Nm105 κ 1210OH2

Flüssigkeiten oft annähernd inkompressibel, d. h.

Dichte .constpρ Vdmd

Anwendung: Schweredruck

0

z

H

dA

F

ρ

dA HgρF dA HgρF 0dVpedVgρ z

ρg

0

zp

yp

xp

p const. bei konstanter Tauchtiefe

zHgρzp Tauchtiefe

Folgerung: Hydrostatisches Paradoxon

Identische Bodendrücke

ρρρ ρ

Anwendung: Kommunizierende Röhren Demo-Exp.

h1

h2

h~ρ1

ρ2

Anwendung: Dichtewaage

AF1 F2

F1 = F2F1 = F2

h~

hgρh~

gρhgρ 22111

h~

h

h~

h

ρ

ρ

1

2

2

1

h~

h

h~

h

ρ

ρ

1

2

2

1

3.2.4. Auftrieb

Archimedisches Prinzip:Die Auftriebskraft ist gleich

dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases

gmK

AFAuftriebskraft

ρFl

ρKmK

Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt

GF FlA

dA

Beweis: ( hier für kleinen Quader )( allgemein Gaußscher Integralsatz )

ze

dz

dV dmFl

p(zdz)

p(z)

zA edAdzzpzpFd

dzzρg Fl

zFl edVzρg

Fldm

.d.e.q,GdedmgFd FlzFlA

Folgerung:

K Fl Körper sinkt zu Boden

K Fl Körper schwimmt (partielles Eintauchen)

K Fl Körper schwebt

Beispiel: Eisberg

T = 0 ºC

Eisberg10 %

lkg1,05ρ

lkg0,95ρ

Salzwasser

Eis

lkg1,05ρ

lkg0,95ρ

Salzwasser

Eis

3.2.5. GasdruckGase sind komprimierbar p

(Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte

p V const. bei konstanter Temperatur T

x

Druck p Volumen V x

Experiment:

p x1

T.constVp Folgerungen:

• Kompressibilität

p

V

p

Vp

p

.const

dp

dV22

T

p

1

pd

Vd

V

1κ

• Dichte

pV

1

V

Mρ

TTT

ppρ bei T const.

• Barometrische Höhenformel ( Tafelrechnung )

zexp0pzp 0p

g0ρ zexp0ρzρ 0p

g0ρ

3.2.6. Luftdruck

ρ

Luftdruck p

Vakuum

gρ

pΔh

Messung mit Quecksilbersäule:

Def.: 1 Torr 1 mm Hg-Säule

Umrechnung: 1 Torr 133,3 Pa

Def.: Der Normaldruck von

wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet

Pa101325Torr760

3.2.7. Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit

0FR

EE InnenpotOberflächepot

Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt

spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit.

ΔA

ΔWε mJ1ε 2

σL2

Fε

L

s

F

Flüssigkeitshaut

Messung der spezifischen Oberflächenenergie:

dAεdsFdW

dsL2dA

2 Oberflächen

εL2F

Def.: Oberflächenspannung tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche

F

Wasserhaut

hr

Beispiel: Messung der Zerreißfestigkeit einer Wasserhaut

σrπ22F (Gewicht der Haut vernachlässigt)

Minimalflächen:Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut die zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (relativ) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen.

http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf1.htm

http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf2.htm

Seifenblasen:

r

p p

p

Seifenblase

Aufblähen: rdrr

rdrπ16rπ42ddA 2

rdεrπ16AdεdWOb

rdrπ4pΔdW 2pΔ

dWp dWOb: Blase expandiert

dWp dWOb: Blase schrumpft

dWp dWOb: Blase stationär r

1

r

ε4pΔ

Experiment: Kleine Blase bläst große Blase auf

3.2.8. Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien

Medium i

Medium k

Kohäsionskräfte

Kohäsionskräfte

Adhäsionskräfte

Def.: Grenzflächenspannung

εσ kiki

ik Energieaufwand pro Grenzflächenvergrößerung

Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf

1Wand

2 Flüssigkeit

3 Dampf

σ13Achse

σ12Achse

σ23Achseφ

23 23 0 (sonst Verdampfung)12 0 Adhäsion12 Kohäsion2

12 0 Adhäsion12 Kohäsion2

• analog für 13

Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf

1Wand

2 Flüssigkeit

3 Dampf

σ13Achse

σ12Achse

σ23Achseφ

Grenzwinkel:

cosσσσ 231213

23

1213

σ

σσcos

23

1213

σ

σσcos

Def.: 13 12 Adhäsionsspannung 23 cos

13 12 0 90º

13 12 0 90º

13 12 23 vollständige Benetzung

3.2.9. Kapillaren

φ

benetzende Flüssigkeit

2r

Kapillareh

φ

dF = σ · dl

Kapillare enges Rohr ( Flüssigkeitsoberfläche hat nur Randbereich)

Kraft nach oben: cosσrπ2

Adhäsionsspannung

Kraft nach unten: hrπgρ 2

Gleichgewicht:

r

1

rgρ

cosσ2h

Kapillare Depression bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten:

nicht-benetzende Flüssigkeit

2r

Kapillare

h

r

1

rgρ

cosσ2h

0h90

h

Kapillarwirkung zwischen Platten (breit, parallel, kleiner Abstand)

L

d

hdLgρcosσL2

d

1

dgρ

cosσ2h

2α

Folgerung: Flüssigkeit im Keil

Platten

x0

tanα2xxd

dgρ

cosσ2h

x

1

αtangρ

cosσh

Hyperbel

3.3. Innere Reibung in Flüssigkeiten und Gasen

Bewegungslinien der Volumenelemente

Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung

Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung

Def.: Laminare (schlichte) Strömung

Gegensatz: Turbulente Strömung

dVdAdx

x

vηFdFdFd

2

2

12R

dAx

vηFd

1,2x1,2

rv

dV

1Fd

2Fd

xx1 x2 = x1+dx

dA

Def.: Innere Reibung im Strömungsfeld : rv

Reibungskräfte zwischen den Randschichten

1,2Fd

allgemein rvΔηf

dVrvΔηFd

R

R

Viskosität (Zähigkeit)

msN1η 2

Anwendung: Kapillarviskosimeter

Rp1

p2

L

rv

Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft

4η

rR

|p|

L

ppr v

2221

4η

rR

|p|

L

ppr v

2221

Parabel

Durchfluss: rdrπ2rvIR

0tdVd

Hagen-Poiseulle-Gesetz

ηR

η8Rπ 44

pI

ρfl η

Ruhende Flüssigkeitssäule

2rρK

v0

Gleichgewichts-Geschwindigkeit

Anwendung: Kugelfallviskosimeter

Schwerkraft: gρρπrF flK3

34

g

Auftrieb

Reibungskraft (kleine Kugeln):

0R vrηπ6F Stokessches Gesetz:

Kräfte-Gleichgewicht

ηr

flKηr

92

0

22

ρρgv

3.4. Strömungen in idealen und realen Flüssigkeiten(gilt auch für Gase)

3.4.1. Grundbegriffe

Stromröhre:

Stromlinie(Stromfaden)

t,rv

t,rv

Stomröhre: Gesamtheit der Stromlinien durch einen Querschnitt

Strömungsfeld:

Stationäres Strömungsfeld: (zeitlich konstant) Stromlinien entlang

rv

rv

Stromlinie(Stromfaden)

t,rv

Laminare Strömung: ist wirbelfrei. Stromfäden liegen nebeneinander.

Reibungskräfte ≫ beschleunigende Kräfte.

Turbulente Strömung: ist nicht wirbelfrei.Große Reibung an Berandungen. Kleine innere Reibung.

v

v

3.4.2. Kontinuitätsgleichung

Annahme: Flüssigkeitsmasse wird weder erzeugt noch vernichtet

Massenbilanz während dt (nur x-Richtung):

x x dx

dV t,rρ

dA

tz,y,x,vx tz,y,dx,xvx

xxin dAdtvρdm dxxxaus dAdtvρdm

dt dV

dAdxvρx

dmdmdm xausinx

dt

dVdAdxvρ

xdmdmdm xausinx

dt dV

dAdxvρx

dmdmdm xausinx

dt

dVdAdxvρ

xdmdmdm xausinx

Gesamtmassenbilanz für dV während dt:

dt dVvρdmdmdmdm zyx

Folge:

tdvρtρVd

mdtρ tdtρtd

td

ρdtρ

0vρtd

ρd Kontinuitätsgleichung:

vρdivvρ

0vρtd

ρd

Kontinuitätsgleichung:

Def: Stromdichte t,rvt,rρj

Massenfluss durch Fläche v

0jtd

ρd

Kontinuitätsgleichung:

Folgerung:

Wenn die Masse in dV abnimmt, ... fließt Masse aus dV hinaus

Wasserrohre mit veränderlichem Querschnitt:

A1

A2

Strömung

ideale Flüssigkeit

1v

2v

Inkompressible Flüssigkeit: ρ = const. 0vdiv

Äquivalent: Während dt gilt dVein dVaus

dtvA 11 dtvA 22

A

A

v

v

1

2

2

1 A

A

v

v

1

2

2

1

Anders ausgedrückt: MtdMd

tdVd

tdd IρAρAvρ.const

Die Massenstromstärke IM ist konstant.

3.4.3. Die Bernoullische Gleichung

ρv

Lokaler Druck p(hydrodynamischer Druck)

Annahmen:

1. ideale Flüssigkeit η 0 v const. entlang Rohrquerschnitt

2. inkompressible Flüssigkeit ρ const.

3. Keine Schwerkraft ( kein Rohrgefälle )

Energiedichten: dV

dEε

dV

dEε

dxdA

dV dA·dx

F(x) F(xdx)v

dVdxdx

dp

dxdAxpdxxp

dxxFdxxFdVdεp

Potentielle Energiedichte: εp = p( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 )

Potentielle Energiedichte: εp = p( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 )

221

kin v

dm

dVρdVε Kinetische Energiedichte: Kinetische Energiedichte: 221

kin vρε

const.εε kinp

Bernoulli-Gleichung:

const.pvρp 02

21

Beispiel: Pitot-Rohr

p

p0

vρ

h p ρ g h

Statischer Druck

Statischer Druck

Gesamtdruck ( Staudruck )

Gesamtdruck ( Staudruck )

ρvpp 221

0 ρvpp 221

0

v

Erweiterung: Rohre mit Gefälle im Schwerefeld

z

x

g z(x)

const. xzgρρvp 221 const. xzgρρvp 221

Potentielle Energiedichte im Schwerefeld

Potentielle Energiedichte des hydrodynamischen Drucks

Kinetische Energiedichte der Strömung

Anwendung: Druckverteilung in Rohren

ρ

v

hhh Δh

221 vΔρΔhgρΔp

Reibung zusätzliches kontinuierliches Druckgefälle

Anwendung: Zerstäuber

Luft

Unterdruck

Anwendung: Wasserstrahlpumpe

Rohr

VakuumgefäßAnsaugstutzen

p0

Luft

0pp 0pp

Wasser, sehrlangsam bewegt

Wasser, sehrschnell bewegt Außenluftdruck p

Anwendung: Aero-/Hydrodynamisches Paradoxon

d

Luft, v1

v2

222

1 vρΔp

d 0 v2 Unterdruck überwiegt

Schwerkraft

Chladnische Pfeife

Anwendung: Aerodynamischer Auftrieb

Flügel

Zirkulationsströmung

Luftströmung (Fahrtwind)

v1 v2

v2

Auftrieb

Anwendung: Magnus-Effekt

Laminare Strömung Zirkulationsströmung durch Drehung

Auftrieb

v2

v1 v2

Anwendung: Prandtlsches Staurohr

Luftströmung (Fahrtwind)

ρ

v

p

p0

Flüssigkeit

221

0 vρpp

3.4.4. Die reale viskose Flüssigkeit

Navier-Stokes-Gleichung

vΔηgρpvvρ t

Änderung der Impulsdichte Druck-kraftdichte

Schwerkraft-dichte

Reibungs-kraftdichte

Spezialfall 0 Euler-Gleichung

Interessanter Term: vvvvv 221

Geschwindig-keitsänderung

Wirbelbildung und Dynamik

Wirbelfreie (laminare) Strömung 0v

Wirbelbildung: Wände/Kanten mit großer Haftreibung großvΔ

v kleinkeine Reibung

laminar

v großOberflächenreibung

turbulent

S1 S2

QS1 S2

W Δp

S1: v 0 p(S1) = p0

Q: v max p(Q) = min p0

S2: v 0 p(S2) = p0

• Reibung v(W) 0

• Vakuum bei S2 Wirbel

• v groß in Wirbeln p bei S2 p bei S1 „Druckwiderstand“

Beispiel: Umströmter Kreiszylinder

Beispiel: Kantenwirbel

Rohr Kantenwirbel

Membran

runde, scharfkantige Öffnung

Wirbelring

Wirbelstärke:Wirbelfläche A

Winkelgeschwindigkeit

Definition: Die Größe

Ω·A bzw.

heißt Wirbelstärke

A

AdΩ

Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen.Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper.

3.4.5. Turbulente Strömung und StrömungswiderstandLuftströmung (Fahrtwind)

ρ

v

A

Wirbelstraße

Reibung Wirbel reißen ab Wirbelstraße

Druckwiderstand Reibungswiderstand

Bernoulli-Gleichung 2

2ρ vΔp

AvcF 22ρ

WW ParametrisierungFW Widerstandskraft

cW Widerstandsbeiwert

3.4.6. Ähnlichkeitsgesetze

Längenskala L , Zeitskala T

dimensionslose Größen:

ppLvvt 2

LT

ρ1

LT

Tt

Navier-Stokes-Gleichung: vRe

1pvv

t

v

Tη

LρRe

2

mit Reynoldsche Zahl

Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions-verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind.

Anwendung: Modelltests im Windkanal

3.5. Reibung zwischen festen Körpern3.5.1. Haftreibung reale, rauhe

OberflächeF

NF

Normalkraft

F FH Körper haftet

F FH Körper gleitet

Empirisch: FμF NHH H HaftreibungskoeffizientExperimenteller Test:

HFF

NF

HFF

NF

NF2

HF2F

Messung von μH :

αH

m

gm

HF

NF

αH

αH Winkel beim

Losrutschen

NHHNH FμαtanFF !

HH αtanμ

BF

Bremskraft ( Seilspannung )

Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils

Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner, ...

n Windungen

Seil

F

Kraft durch Last am Stab

Stabquerschnitt

Infinitesimales Seilstück

F(φ) F(φ)Spannung

φ

dφ

Nachbarseilstück:

F(φ dφ) F(φ) dF

Nachbarseilstück:

F(φ dφ) F(φ) dF

φ dφ

Tafelrechnung Hμnπ2

B eFF

3.5.2. Gleitreibung

Empirisch: FμF NGG

G Gleitreibungskoeffizient

reale, rauhe Oberflächev

NF

Normalkraft

GF

vμμ GG HG μμ

•Stokes-Reibung: G v (für kleine, langsame Körper)

•Newton-Reibung: G v2 (für große, schnelle Körper)

bzgl. Drehung um Finger 1

Experiment: Stock auf zwei Fingern

Stockm S

Finger 1 Finger 2

a b

F mg M a·F

F1

F2 M2 ( a b )·F2

Gleichgewicht:gmF,gmF ba

b1ba

a2

a b ① rutschtb a ② rutscht

Treffpunkt im Schwerpunkt

3.5.3. Rollreibung

Empirisch: FμM NRR

R Rollreibungskoeffizient

Deformation (übertrieben) bremsendes Drehmoment

NF

αR Winkel beim

Losrollen

αR

m

gm

RF

NF

αR

r

i) Haftung:

RRNR

RR

RR

αcosgmμFμαsinrgmM

αsingmF

RR αtanrμ

Beobachtung: R ≪ H

ii) Rollvorgang: vμμ RR Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen:

1rμ

μ

rM

F

F

F

R

G

R

G

R

G

Große technische Bedeutung: Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen,

GF

m

r

Gleiten

m

r

Rollen

RF