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Juan José Bravo B., M.Sc.Juan José Bravo B., M.Sc.
Modelos de Programación Lineal
Dualidad y Dualidad y SensibilidadSensibilidad
Juan José Bravo B, M.Sc. Juan José Bravo B, M.Sc. ©©
Juan José Bravo B., M.Sc.Juan José Bravo B., M.Sc.
Ejemplo Prototipo
Un fabricante tiene tres centros de distribución en: Bogotá, Medellín y Cali. Estos centros tienen disponibilidades de: 20, 50 y 40 unidades respectivamente. Sus detallistas requieren los siguientes cantidades: Pereira 25, Tulúa 10, Anserma 20, Ibagué 30 y Armenia 15. El costo de transporte por unidad en pesos entre cada centro de distribución y las localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla:
Cuantas unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribución a cada detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mínimos?
/1
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Ejemplo Prototipo /2
Xij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i al
detallista j. i = 1 = Bogotá j = 1 = Pereira j = 4 = Ibaguéi = 2 = Medellín j = 2 = Tulúa j = 5 = Armenia i = 3 = Cali j = 3 = Anserma
Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35 Sujeta a:
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 20X21 + X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 50 X31 +X32 + X33 + X34 + X35 ≤ 40 X11 + X21 + X31 ≥ 25 X12 + X22 + X32 ≥ 10 X13 + X23 + X33 ≥ 20 X14 + X24 + X34 ≥ 30 X15 + X25 + X35 ≥ 15 Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Disponibilidad máxima de los centros de distribución
Requerimientos mínimos de los Detallistas
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Tabla Final Simplex
WinQSB (fraccionada)
/3
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Su identificación en la Tabla Final Simplex
Precios Sombra y Costos Reducidos
Observe el renglón (Cj – Zj) de la Tabla Final arrojada por el WinQSB. (Verifique que se trata de una tabla optima de minimizacion)
Cada valor de este renglón tiene un importante significado y por ello estos valores se dividen en dos grupos:
a) Los llamados Precios Sombra (ó Precios Duales) Asociados a las Variables de Holgura y Exceso
b) Los Llamados Costos Reducidos Asociados a las variables originales (en este caso las Xij)
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Los Los Precios Precios SombraSombra
Los Los Precios Precios SombraSombra
ó
Precios Precios DualesDualesPrecios Precios DualesDuales
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Significado Económico de los Precios Sombra
Existe un Precio Sombra por cada restricción
Restricción 1
Restricción 2
Restricción 3
Restricción 4
Restricción 5
Restricción 6
Restricción 7
Restricción 8
Precio Sombra
Y1 = 0
Y2 = 0
Y3 = - 10
Y4 = 35
Y5 = 30
Y6 = 40
Y7 = 45
Y8 = 40
/1
Precio que estamos dispuestos a pagar por un recurso adicional en cada restricción “≤”. Tienen un efecto NULO ó FAVORABLE en el valor de la Funcion Objetivo.
Precio que estamos dispuestos a pagar por un recurso adicional en cada restricción “≥”. Tienen un efecto NULO ó DESFAVORABLE en el valor de la Funcion Objetivo.
¿Por qué Y3 = -10?
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Identifique los Precios Sombra (Shadow Prices) en la solución proporcionada por el software WinQSB, centrándose en la parte correspondiente al análisis de restricciones.
Significado Económico de los Precios Sombra
/2
Estos corresponden a los rangos de variación del Lado Derecho de las restricciones, en donde los Precios Sombra mostrados tienen vigencia. Es decir, cuando quiero hacer sensibilidad y cambio el lado derecho de las restricciones, al salirme de estos rangos el problema cambia, algunas variables que eran básicas ya no lo son (cambia el Basis Status que muestra la siguiente diapositiva), los precios sombra pueden cambiar y el análisis ya no lo puedo hacer con los precios sombra mostrados. Veremos luego qué análisis es al que nos referimos.
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Significado Económico de los Precios Sombra
/3
Detalle las Variables que actualmente son Básicas en la columna Basis Status
Cuando se modifica un modelo y se dice que “la Base no cambió” es porque las variables básicas continúan siéndolo según el Basis Status.
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Significado Económico de los Precios Sombra
/4
Observe en la Tabla Final Simplex que:
Zopt = $3.525
Variable Holgura/Exces
o
Holgura = 0
Holgura = 10
Holgura = 0
Exceso = 0
Exceso = 0
Exceso = 0
Exceso = 0
Exceso = 0
Disponibilidad del
Recurso
C1 20
C2 50
C3 40
C4 25
C5 10
C6 20
C7 30
C8 15
Note que:
20Y1 + 50Y2 + 40Y3 + 25Y4 + 10Y5 + 20Y6 +30Y7 + 15Y8 = $3.525
Precio Sombra
Y1 = 0
Y2 = 0
Y3 = - 10
Y4 = 35
Y5 = 30
Y6 = 40
Y7 = 45
Y8 = 40
Estado del Recurso
Escaso
Abundante
Escaso
Sin Exceso
Sin Exceso
Sin Exceso
Sin Exceso
Sin Exceso
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Maximizar D = 20Y1 + 50Y2 + 40Y3 + 25Y4 + 10Y5 + 20Y6 +30Y7 + 15Y8
Función Objetivo Dual
Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35
Función Objetivo Primal (Original)
Zopt = $3.525
Dopt = $3.525
Los cambios en el Zopt al variar los lados derechos de las restricciones, pueden estudiarse analizando la Función Objetivo Dual, y observando los cambios en Dopt.
Hay que recordar que: Dopt = Zopt
Significado Económico de los Precios Sombra /5
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Significado Económico de los Precios Sombra
/6
Disponibilidad del
Recurso
C1 20
C2 50
C3 40
Precio Sombra
Y1 = 0
Y2 = 0
Y3 = - 10
Estado del Recurso
Escaso
Abundante
Escaso
Precio Sombra
Interpretación Básica
Y1 = 0 A pesar de que el recurso es escaso, estamos dispuestos a pagar $0 por una unidad adicional de este recurso (capacidad de Centro de Distribucion 1). Observando los rangos de variación, vemos que si la capacidad del Centro de Distribución 1 se incrementa unitariamente hasta 25, la Base no cambia y además el Zopt tampoco según lo indica la Función Obj. Dual. Efecto NULO en el Valor Objetivo.
Y2 = 0 Recurso abundante, y por lo tanto es razonable estar dispuestos a pagar $0 por una unidad adicional de capacidad en el C. de D. 2. Efecto NULO en el Valor Objetivo.
Y3 = - 10
Recurso escaso, y estoy dispuesto a pagar $10 por cada unidad adicional de capacidad en el C.de.D 3. Según la Función Obj. Dual y los rangos de variación R.H.S., por cada incremento unitario de capacidad hasta 45, la función objetivo disminuirá en $10. Efecto FAVORABLE en el Valor Objetivo.
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Significado Económico de los Precios Sombra
/7
Disponibilidad del
Recurso
C4 25
C5 10
C6 20
C7 30
C8 15
Precio Sombra
Y4 = 35
Y5 = 30
Y6 = 40
Y7 = 45
Y8 = 40
Estado del
Recurso
Sin Exceso
Sin Exceso
Sin Exceso
Sin Exceso
Sin Exceso
Precio Sombra
Interpretación Básica
Y4 = 35 No hay excesos, y es debido a que cada incremento unitario en la demanda del detallista 1 (restricción C4) por encima de 25 y hasta 35 según los rangos de variación, ocasionará, de acuerdo a la Función Objetivo Dual, un incremento del Zopt en $35. Efecto DESFAVORABLE en el Valor Objetivo.
Similar interpretación tienen los precios sombra Y5, Y6, Y7, Y8
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Significado Económico de los Precios Sombra
/8
Ejemplo: Suponga que la capacidad del Centro de Distribución 3 pasa de 40 a 44 unidades. Como este cambio está dentro del rango permisible, el precio sombra Y3=-10 rige para este caso y decimos que la función objetivo mejorará en $40 según lo indica la Función Objetivo Dual, es decir, el nuevo Zopt = $3.485. La Base no cambiará pero las variables básicas tomarán nuevos valores que el WinQSB muestra:
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Significado Económico de los Precios Sombra
/9
El Problema Dual
Todo modelo de programación lineal tiene un modelo hermano que se llama el modelo dual. Suele llamarse al problema original “Problema Primal (PP)” y al otro “Problema Dual (PD)”.
Las variables del PD son los Precios Sombra del PP.
Supóngase que el PP tiene n variables y m restricciones. Puesto que por cada restriccion existe un precio sombra, entonces el PD tendrá m variables y n restricciones
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X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 20X21 + X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 50 X31 +X32 + X33 + X34 + X35 ≤ 40 X11 + X21 + X31 ≥ 25 X12 + X22 + X32 ≥ 10 X13 + X23 + X33 ≥ 20 X14 + X24 + X34 ≥ 30 X15 + X25 + X35 ≥ 15 Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Xij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i al
detallista j. i = 1 = Bogotá j = 1 = Pereira j = 4 = Ibaguéi = 2 = Medellín j = 2 = Tulúa j = 5 = Armenia i = 3 = Cali j = 3 = Anserma
Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35 Sujeta a:
El Problema Primal
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X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 20 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 50 X31 +X32 + X33 + X34 + X35 ≤ 40 X11 + X21 + X31 ≥ 25 X12 + X22 + X32 ≥ 10 X13 + X23 + X33 ≥ 20 X14 + X24 + X34 ≥ 30 X15 + X25 + X35 ≥ 15 Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35 Sujeta a:
Reordenando los términos
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-X11 - X12 - X13 - X14 - X15 ≥ -20
- X21 - X22 - X23 - X24 - X25 ≥ -50
- X31 -X32 - X33 - X34 - X35 ≥ -40 X11 + X21 + X31
≥ 25 X12 + X22 + X32 ≥ 10
X13 + X23 + X33 ≥ 20
X14 + X24 + X34 ≥ 30
X15 + X25 + X35 ≥ 15 Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35 Sujeta a:
Convirtiendo las restricciones a
“≥”
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-Y1 + Y4 ≤ 55 -Y2 + Y4 ≤ 35 -Y3 + Y4 ≤ 40-Y1 + Y5 ≤ 30 -Y2 + Y5 ≤ 30 -Y3 + Y5 ≤ 60-Y1 + Y6 ≤ 40 -Y2 + Y6 ≤ 100 -Y3 + Y6 ≤ 95-Y1 + Y7 ≤ 50 -Y2 + Y7 ≤ 45 -Y3 + Y7 ≤ 35-Y1 + Y8 ≤ 40 -Y2 + Y8 ≤ 60 -Y3 + Y8 ≤ 30
Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6, Y7, Y8 ≥ 0
Maximizar D = -20Y1 – 50Y2 – 40Y3 + 25Y4 + 10Y5 + 20Y6 + 30Y7 + 15Y8
Sujeta a:
Obtenemos el Problema Dual