3 - Exercices extraits de tableaux numériques

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ADJOINT ADMINISTRATIFTABLEAU NUMÉRIQUE 1Méthodologie et exercices d’application

Le tableau numérique 1 « Méthodologie et exercices d’application » s’adresse aux candidats qui souhaitent se préparer au concours d’adjoint administratif territorial.

Le manuel ambitionne d’accompagner le candidat à réussir l’épreuve de tableau numérique à travers la méthodologie expliquée, illustrée par des exercices d’application.

Chaque chapitre se construit par un rappel des connaissances mathématiques, des exemples suivis d’un corrigé détaillé, d’un questionnaire d’évaluation des connaissances et des exercices tirés de tableaux numériques.

Complémentaire du tableau numérique 2 « Enoncés et corrigés », cet ouvrage est le résultat de l’expérience et de la pratique pédagogique des auteurs Elisabeth Simonin et Marie-Hélène Stébé, formatrices au Centre national de la fonction publique territoriale (CNFPT), première couronne Ile-de-France.

Elisabeth SimoninMarie-Hélène Stébé

QUAND LES TALENTSGRANDISSENT,LES COLLECTIVITÉSPROGRESSENT

Catégorie

CADJOINT ADMINISTRATIF

TABLEAU NUMÉRIQUE 1

Méthodologie et exercices d’application

Préparation aux concours

3e édition

CENTRE NATIONAL DE LA FONCTION PUBLIQUE TERRITORIALE 80, RUE DE REUILLYCS 41232 - 75578 PARIS CEDEX 12TÉL. : 01 55 27 44 00 - FAX : 01 55 27 44 07WWW.CNFPT.FR

ISBN : 978-2-84143-299-8 - Les éditions du CNFPT, édition 2008 - Prix 16 €

Tableaunumérique 1

E. SimoninM.H. Stébé


Tableau numerique (001-082).qxd 12-03-2008 8:49 Pagina 1

– Philippe Defrance, service ingénierie pédagogique et développement des formations, CNFPT

– Pham Van Dat, responsable du service Édition, CNFPT

© éditions du CNFPT, 2008

Aucune partie de la présente publication ne peut être reproduite, mise en mémoire ou transmise sous

aucune forme ni aucun moyen électronique ou mécanique, par photocopie, enregistrement, ou toute autre

façon sans autorisation expresse du Centre national de la fonction publique territoriale.


Avant-propos

Cet ouvrage s’adresse aux personnes qui souhaitent se préparer à l’épreuve de Ta-bleau numérique du Concours d’Adjoint Administratif Territorial 1 ère classe (catégo-rie C de la Fonction Publique)

Cette épreuve est la seule désormais qui nécessite des connaissances mathématiques.

Ce n’est cependant pas un livre de mathématiques : nous l’avons conçu pour être unmanuel pratique qui soit accessible aux candidats de tous niveaux.

Il comprend deux parties :• Un exposé détaillé d’une méthode de confection d’un tableau numérique : même

si l’importance de la présentation tend à diminuer au niveau du barème, elle n’endemeure pas moins un élément déterminant.

• Une partie « Calculs » qui reprend l’essentiel des connaissances mathématiques is-sues du programme de « mathématiques traditionnelles » en vigueur auparavant etapplicables dans un tableau numérique.

Chaque chapitre regroupe :

– Un rappel des principales connaissances mathématiques requises : « Ce que vousdevez savoir »

– Des exemples suivis d’un corrigé détaillé : « applications résolues »

– Des exercices « A vous de jouer » repérés par un pictogramme dont la pro-gression guide votre démarche jusqu’à la réalisation proprement dite d’un tableau:

• des exercices d’ applicationde difficulté variable repérés par des étoiles : de 1 étoile(*) pour les plus simples à 3 étoiles (***) pour les plus ardus ;

• un QCM (Questionnaire à Choix Multiple) pour faire le point individuellement ; • des exercices tirés de tableaux numériques , proches des calculs que rencontreront

les candidats.

Tous ces exercices se trouvent corrigés à la fin du chapitre.

En complément de ce volume, nous avons conçu un recueil de sujets (TABLEAU NU-MERIQUE 2) issus d’annales récentes ou créés dans l’esprit du concours.

Tous ces sujets y sont intégralement corrigés, tant dans leur mise en œuvre que dansleur présentation et la réalisation de leurs calculs

Nous avons délibérément choisi un vocabulaire simple et concret au service d’un ac-compagnement que nous souhaitons efficace. Nous avons évité les résolutions algé-briques qui échapperaient au cadre du programme.

Nous remercions les collègues qui ont participé à la « banque de sujets » dont nousnous sommes inspirées, en totalité ou en partie.

Bon courage et bonne chance à tous ! E. SIMONINM.H. STE

-BE

-



SOMMAIRE

CHAPITRE 1 : MÉTHODOLOGIE

SAVOIR RÉALISER UN TABLEAU EN 1 HEURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

1 - PRÉPARATION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

1.1 - Comprendre l’énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

1.2 - Déterminer le nombre de colonnes et de lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

1.3 - Déterminer le titre principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

1.4 - Déterminer les titres des colonnes et des lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

1.5 - Utiliser des abréviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

2 - MISE EN FORME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.1 - Tracer le cadre du tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.2 - Choisir la taille des colonnes et des interlignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

2.3 - Installer le titre principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

2.4 - Installer les titres des lignes et des colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

2.5 - Utiliser l’extérieur du tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

3 - CALCULS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

3.1 - Consignes de présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

3.2 - Les calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

4 - VÉRIFICATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

CHAPITRE 2 : NUMÉRATION - RÈGLE D’ARRONDIS

CE QUE VOUS DEVEZ SAVOIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

APPLICATIONS RÉSOLUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

1 - Arrondir un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

5Sommaire


2 - Changer d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

3 - Déterminer un ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

À VOUS DE JOUER ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

1 - Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

2 - Faisons le point (QCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

3 - Exercices extraits de tableaux numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

1 - Corrigés des exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

2 - Solutions du QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

3 - Corrigés des extraits de tableaux numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

CHAPITRE 3 : RAISONNEMENTrappels utiles

I - CALCULS ARITHMÉTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

A - Règle de trois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

B - Moyenne arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

C - Calcul d’une valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

II - CALCULS GÉOMÉTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

AIRES : RAPPELS DE FORMULES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

À VOUS DE JOUER ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

1 - Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

A – Calculs arithmétiques : règle de trois – valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

B – Calculs géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

2 - Corrigés des exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

I - Calculs arithmétiques : règle de trois – valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

II- Calculs géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57

CHAPITRE 4 : POURCENTAGES (I)Calculer un pourcentage d’une grandeur - Pourcentages devariation


6 Tableau numérique



1 - Calculer un pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

2 - Application aux pourcentages de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62

3 - Valeur augmentée ou diminuée de X % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64

À VOUS DE JOUER ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66







CHAPITRE 5 : POURCENTAGES (II)Retrouver les 100 % à partir d’un pourcentage connu -Indices de variation



1 - On connaît l’évolution en nombre et en pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 85

2 - On connaît la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 85

3 - Les indices de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 87

À VOUS DE JOUER ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91





2 - Solutions du QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 104

3 - Corrigés des extraits de tableaux numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 104

7Sommaire


CHAPITRE 6 : LES FRACTIONS



1 - Opérations sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 113

2 - Retrouver une valeur à partir d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 114

À VOUS DE JOUER ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 116







CHAPITRE 7 : PARTAGES EN PARTS INÉGALES (I)Différence entre les parts - Fraction entre les parts



1 - Partage inégal connaissant une différence entre deux parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 139

2 - Partage inégal avec fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 140

À VOUS DE JOUER ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 143









CHAPITRE 8 : PARTAGES EN PARTS INÉGALES (II)Partages proportionnels



1 - On connaît la somme à partager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 161

2 - On connaît l’une des parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 162

3 - On connaît la différence entre deux parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 162

4 - Le partage est proportionnel à plusieurs quantités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 163

À VOUS DE JOUER ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 165







CHAPITRE 9 : PARTAGES EN PARTS INÉGALES (III)Partages inversement proportionnels



1 - La quantité totale à partager est connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 184

2 - L’une des parts est connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 185

3 - La différence entre deux parts est connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 186

4 - Partage à la fois proportionnel et inversement proportionnel . . . . . . . . . . . . . . . . p. 187

À VOUS DE JOUER ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 188





9Sommaire





CHAPITRE 10 : LECTURE DE GRAPHIQUES



1 - Graphiques s’inscrivant dans un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 205

2 - Graphiques circulaires (ou semi-circulaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 207

À VOUS DE JOUER ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 209








Méthodologie

Chapitre 1


Introduction à la méthodologie dutableau numérique

Réaliser un tableau numérique, c’est à la fois :

• créer complètement un cadre, disposer des lignes et des colonnes de manière claireet ordonnée ;

• proposer un titre principal et des titres pour chaque colonne et chaque ligne dansun style concis à partir des informations d’un texte ;

• utiliser des connaissances mathématiques pour réaliser les calculs demandés ou re-trouver des informations numériques suggérées dans le texte.

Dans le cadre de l’épreuve d’adjoint administratif :

– le temps imparti à cette épreuve est de 1 heure ;

– le support est souvent une feuille quadrillée de format 21 × 29,7 (tout autre formatou feuille blanche peut être proposé) ;

– l’usage d’une calculatrice non programmable est autorisé.

C’est en tenant compte de ces diverses conditions qu’un cheminement pour la réali-sation d’un tableau numérique va être proposé.

On distingue trois étapes dans cette réalisation :

1 - une étape de préparation basée sur la lecture et la compréhension du sujet pro-posé qui aboutit à une esquisse de tableau au brouillon ;

2 - une étape de mise en forme avec la réalisation du cadre, des lignes, des colonneset des titres directement sur la feuille fournie en respectant les consignes de soinet de présentation ;

3 - une dernière étape pour la réalisation des calculs demandés.

Et, bien sûr, une relecture avant de rendre le tableau est souhaitable !



Savoir réaliser un tableau en 1 heure

Procéder selon l’ordre proposé ci-dessous, en respectant les durées données à titre in-dicatif.

1 - PRÉPARATION : au brouillon 15 min

1.1 - Comprendre l’énoncé p. 14

1.2 - Déterminer le nombre de colonnes et de lignes p. 15

1.3 - Déterminer le titre principal p. 16

1.4 - Déterminer les titres des colonnes et des lignes p. 16

1.5 - Utiliser les abréviations p. 19

2 - MISE EN FORME : directement sur la feuille au propre 10 min

2.1 - Tracer le cadre p. 20

2.2 - Choisir la largeur des colonnes et la taille des interlignes p. 21

2.3 - Installer le titre principal p. 22

2.4 - Installer les titres des lignes et des colonnes p. 22

2.5 - Utiliser l’extérieur du tableau p. 23

3 - CALCULS : directement sur la feuille au propre 25 min

3.1 - Consignes de présentation p. 25

3.2 - Les calculs p. 25

4 - VÉRIFICATION des calculs et de la présentation 10 min

13Méthodologie


1 - Préparation

1.1 - Comprendre l’énoncé

• Effectuer une première lecture attentive pour comprendre le sens général.

• Ensuite, procéder à une relecture avec un crayon pour séparer les paragraphes d’in-formations du ou des paragraphes de questions :

– dans la partie groupant les informations, on souligne les expressions répondant auxquestions où ? quoi ? quand ? ;

– dans la partie groupant les questions, la première phrase indique souvent les si-tuations pour lesquelles les calculs sont demandés, chacune de ces situations im-plique une ligne de calculs ;

– les questions posées indiquent précisément le nombre de colonnes de calculs.

Voici un exemple d’énoncé de tableau avec une manière de partager le texte, de dé-compter les lignes et les colonnes.

La région X… est formée des départements A, B, C, D.En 1988, le nombre de lignes téléphoniques en service dansces quatre départements était respectivement de 88 800, 52 200, 39 200, 28 600.En 1989, dans le même ordre, il y avait : 108 300, 61 100, 45 100, 35 300 lignes téléphoniques installées et en, 1990 , ily eut une augmentation respective de 16 200, 13 %, 6 300et 19 % par rapport à 1989.

Faire apparaître dans un tableau, pour chaque département et pour la région :

– le nombre de lignes téléphoniques existant en 1989 et en1988 ainsi que la variation en nombre entre 1988 et 1989 ;

– le nombre de lignes en 1990 ainsi que la variation ennombre 1990/1989 ;

– le nombre de lignes téléphoniques pour 1 000 habitantsen 1989 sachant que la population de chaquedépartement était toujours dans le même ordre de488 000, 238 000, 223 000, 131 000 habitants (pour cettedernière question, arrondir à une unité près par excès).

CONSEIL

Pour éviter d’oublier des lignes ou des colonnes, entour er les prépositions oules expressions : et , ainsi que , chaque ,…

Où ? Région X(départements A, B, C, D)

Quoi ? le nombre de lignestéléphoniques

Quand ? 1988, 1989, 1990

4 lignes pour lesdépartements+ 1 ligne pour la région

5 lignes de calculs1 + 111 + 1

1

6 colonnes de calculs



1.2 - Déterminer le nombre de colonnes et de lignes

• Nombre de colonnes

– Une colonne pour écrire les titres des lignes (colonne A).

– Une colonne numérique pour répondre à chaque question posée.

Remarque : dans le tableau on ne fait figurer que les réponses aux questions posées,même si des réponses intermédiaires ont été nécessaires pour aboutir au résultat.

Exemple tableau (voir énoncé 1.1) 6 questions posées donc 6 colonnes comprenant des nombres 1 colonne (A) pour les titres

• Nombre de lignes

– Une ligne pour écrire les titres des colonnes (ligne 1).

– Une ligne numérique pour chacune des demandes formulées dans l’énoncé.

Exemple tableau (voir énoncé 1.1) 5 lignes correspondant aux 5 rubriques à étudier (4 départements et 1 région)1 ligne (1) pour les titres

Aperçu de présentation pour ce tableau

Remarque : la ligne 1 comporte les titres des colonnes : on la prévoit haute car elle

sera subdivisée.

Les autres lignes seront régulièrement espacées.

Les lignes des cellules comportant des nombres ne sont pas matérialisées, c’est-à-direqu’il n’y a pas de quadrillage .

La colonne A comporte les titres pour chaque ligne : on la prévoit large.

Les autres colonnes sont sensiblement de même taille.

15Méthodologie

A B C D E F G

1

2

3

4

5

6


La cellule A1 comporte le titre pour la colonne A.

Les cellules B2, B3…, C2, C3.., D2…, G6 ne comportent que des nombres (sans uni-tés).

1.3 - Déterminer le titre principal

Le titre principal doit renseigner sur le contenu du tableau dans un style concis.

Le titre doit répondre si possible aux questions où ? quoi ? et quand ?

Les réponses à ces questions seront de préférence sur des lignes indépendantes.

Le titre principal doit être écrit en majuscules et centré au-dessus du tableau.

Exemple tableau (voir énoncé 1.1)

On a souligné dans le texte plusieurs expressions répondant aux questions où? quoi ?et quand ?

Où ? Région X... formée des départements A, B, C, D

Quoi ? Le nombre des lignes téléphoniques en service

Quand ? 1988, 1989, 1990

Voici une proposition de titre pour tableau :

RÉGION X…

LIGNES TÉLÉPHONIQUES EN SERVICE

1988-1989-1990

Remarque : les noms des départements ne sont pas dans le titre principal mais on lestrouvera dans les titres des lignes de la colonne A.

1.4 - Déterminer les titres des colonnes et des lignes

• Titres des colonnes

Chaque colonne doit avoir un titre.

On privilégie les regroupements de colonnes en évitant les répétitions.

De gauche à droite, les colonnes de calculs s’ordonnent en respectant :

– l’ordre chronologique ;

– la logique de réalisation des calculs.



Exemple :


À la lecture des questions, on obtient cette liste :

– On vérifie l’ordre chronologique : B1 et C1 doivent être inversées.

– On vérifie l’ordre logique des calculs (le nombre de lignes puis les variations).

– On vérifie les répétitions : dans D1 et F1 on trouve variation en nombre

dans B1, C1, E1, G1 on trouve nombre de lignes.

On choisit de grouper les cellules qui ont le même titre. La ligne 1 est ainsi subdivi-sée.

Mais si l’on choisit dans le titre principal l’expression « nombre de lignes télépho-niques », il est inutile de la reprendre dans le titre des colonnes B, C, D, E et l’on ob-tient :

Il y a donc souvent plusieurs possibilités d’organisation des colonnes et des titres.

Colonne E Colonne F Opération entre E et F

17Méthodologie

A B C D E F G

1Départements 1988 1989 1990 Variation en nombre

nombre pour 1989/1988 1990/19891 000

habitants

A B C D E F G

1 Départements Nombre Nombre Variation Nombre Variation Nombrede de en de en de lignes

lignes lignes nombre lignes nombre pour 1 000en 1989 en 1988 1989/1988 en 1990 1990/1989 habitants

en 1989

A B C D E F G

1Départements Nombre de lignes téléphoniques Variation en nombre

1988 1989 1990nombre pour 1989/1988 1990/1989

1 000habitants


• Titres des lignes

– Les titres des lignes sont inscrits dans la colonne A.

– Le titre de la cellule A1 correspond à un unique titre, celui de la colonne 1.

– Les titres des lignes sont successivement écrits selon l’énoncé, aucun ordre n’est pri-vilégié. Seule la ligne de « total », si elle est demandée, apparaît systématiquementen bas de tableau. (le titre de cette ligne dépendant du contexte).

CONSEIL

Si un total est demandé, on se pose la question : « un total de quoi ? » et onretrouve alors facilement les lignes de calcul demandées.


Remarque : il n’y a pas de lignes horizontales tracées. Seuls seront tracés des traitspour matérialiser une addition dans les colonnes où ce sera nécessaire.

La ligne 6 porte le titre « région » qui correspond au texte du tableau (et non un titregénéral comme « total » ou « ensemble »).

L’interligne entre les lignes 5 et 6 est augmenté pour permettre de tracer un traitd’addition dans les colonnes qui le nécessiteront.


A B C D E F G

1

2

3

4

5

6

Départements Nombre de lignes téléphoniques Variation en nombre1988 1989 1990

nombre pour 1989/1988 1990/19891 000

habitants

A

B

C

D

région


1.5 - Utiliser des abréviations

TOUTES LES UNITÉS LÉGALES SONT AUTORISÉES

• Les abréviations du système métrique :unités de longueur : m, cm, km…unités de capacité : l, hl...unités de masse : g, kg, t…unités d’aire : cm2, m2, ha…unités de volume : m3…

• Les abréviations de la mesure du temps :heure : h jour : j minute : min ou mn seconde : s ou sec

• Les abréviations usuelles de la vie économique :toutes taxes comprises : TTC hors taxes : HT taxe : TVA

• Les abréviations des unités monétaires :euro : € dollar : $

• Les préfixes multiplicatifs utilisés couramment :kilo (qui signifie une multiplication par mille) : k ou Kexemples : kilowatt : kWméga (qui signifie un million) : Mexemple : millions d’euro M€ (pour 1 000 000 €)

TOUTE ABRÉVIATION UTILISÉE DANS L’ÉNONCÉ DU TABLEAU EST AUTORISÉE

Deux abréviations sont souvent utilisées dans les titres des colonnes du tableau nu-mérique :

« Par rapport à » : /« Pourcentage » : %

Remarques : Pour tout calcul de %, il faut préciser clairement dans le titre de la co-lonne par rapport à quelle information s’effectue le calcul.

exemples« la répartition en % » : %/total « le pourcentage par rapport au total » : % / total« la variation en pourcentage entre 1988 et 1989 » : variation en % 1989/1988 « la variation en nombre de juin par rapport à mars » : variation en nombrejuin/mars

Les années seront précisées avec 4 chiffres.

exemples : 1989 (et non 89 !), 2001 (et non 01 !).

ATTENTION

Il est préférable de ne pas inventer sa propre abréviation car l’on s’expose à desconfusions !exemple : remplacer habitant par « ha » n’est pas judicieux (« ha » signifie hectare ! !).

19Méthodologie


2 - Mise en forme

2.1 - Tracer le cadre du tableau

C’est tout d’abord savoir positionner le cadre dans la feuille fournie. En général, lenombre de colonnes est supérieur au nombre de lignes, il faut donc utiliser la feuilledans le sens horizontal (format « paysage »). Dans les autres cas, la feuille sera utili-sée verticalement (format « portrait »).

Consignes de présentation à respecter :

– Des marges latérales égales.

– Une marge supérieure de 2 à 3 fois plus grande que la marge inférieure (ce qui per-met de positionner le titre principal en majuscules sur plusieurs lignes).

Exemple de cadrage d’un tableau (en format « paysage »)

CONSEIL

S’entraîner à tracer un cadre comme celui-ci sur une feuille 21 × 29,7 repérer lesdimensions des marges : marges latérales de 2 cm, marge inférieure 2 cm,marge supérieure 7 cm.Cela fournit un canevas qui sera adapté ensuite au tableau à réaliser.


29,7

21

Cadre dutableau


2.2 - Choisir la taille des colonnes et des interlignes

• Largeur des colonnes

– Les colonnes n’ont pas systématiquement la même taille.

– Le tracé des colonnes se fait sur le quadrillage (s’il existe) de la feuille.

– La première colonne A du cadre renferme des informations écrites. Sa largeur dé-pend de la taille des mots utilisés.

– Les autres colonnes ne comportent que des nombres sans unité.

CONSEIL

On détermine la largeur de la colonne A en écrivant les titr es des lignes.L’espace restant jusqu’au bord droit du cadre est alors divisé par le nombre decolonnes de calculs. On obtient alors une largeur « standard » pour les colonnesde calculs susceptible d’être modifiée en fonction de la taille des nombr es à yinscrire.

Exemple tableau

• Hauteur des interlignes

– La ligne 1 du tableau comporte les titres des colonnes ; elle est subdivisée, donc elleest grande.

– Les autres lignes ne sont pas matérialisées par un trait horizontal.

– Il s’agit de répartir de façon égale l’espace restant jusqu’en bas du tableau.

– Si un total est demandé, il est souhaitable de prévoir un intervalle plus grand avantla dernière ligne afin de pouvoir tirer un trait d’addition dans les colonnes qui lenécessiteront.

21Méthodologie

A B C D E F G

1

2

3

4

5

6


nombre pour 1989/1988 1990/19891 000

habitantsA

B

C

D

région



Le trait d’addition est nécessaire pour les colonnes B, C, E, F, G. La hauteur de l’in-terligne entre 5 et 6 sera donc plus grande.

CONSEIL

S’entraîner à tracer la ligne 1 d’une hauteur standar d de 3,5 cm.Choisir de même une hauteur d’interligne de 1 à 1,5 cm (cet intervalle standardsera modifié selon le nombre de lignes).

2.3 - Installer le titre principal

Le titre principal renseigne sur le contenu du tableau et répond si possible aux ques-tions : Où ? Quoi ? et Quand ?

Il s’écrit en général sur trois lignes.

Il est en majuscules, centré au-dessus du tableau.

CONSEIL

Les lettres majuscules, ce sont des lettres « bâtons » dont la hauteur est celled’un carreau de la feuille quadrillée.Pour centrer le titre, il est utile de repérer avec un trait de crayon le milieu de lafeuille pour répartir les mots du titr e de part et d’autre.

2.4 - Installer les titres des lignes et des colonnes

On veille à la lisibilité mais aucun type de caractère d’écriture n’est imposé.

CONSEIL

Si un titre de colonne est très long, penser à utiliser des abréviations(autorisées !) mais aussi à utiliser des symboles de r envoi (*) : ainsi le titre estcomplété en bas à gauche du cadr e du tableau.




RÉGION X…LIGNES TÉLÉPHONIQUES EN SERVICE

1988-1989-1990

2.5 - Utiliser l’extérieur du tableau

1. Une unité valable pour tous les résultats peut être indiquée soit dans le titre prin-cipal, soit en haut et à droite du cadre.

2. Pour compléter le titre d’une colonne, utiliser un astérisque de renvoi dans la cel-lule et le même astérisque en bas à gauche du cadre.


Dans la phrase « le nombre de lignes téléphoniques pour 1000 habitants est demandéà l’unité près par excès », cette dernière précision sera avantageusement écrite à l’ex-térieur du tableau avec un astérisque ( *).

3. Plusieurs titres de colonnes peuvent nécessiter l’utilisation d’un même complément,donc d’un même symbole de renvoi.

Plusieurs symboles de renvoi peuvent aussi être utilisés pour compléter les titres descolonnes.

Exemples :

« les résultats arrondis au centième près » : * au centième près.

« la base100 de l’indice est la moyenne de 1989 » : ** base 100 = moyenne 1989.

23Méthodologie

* à une unité près par excès


nombre pour 1989/1988 1990/19891 000

habitants*

A

B

C

D

région


4. Pour indiquer une source officielle des informations données dans l’énoncé du ta-bleau, vous pouvez utiliser l’espace en bas à droite du cadre (à moins qu’elle ne soitindiquée dans le titre principal).

Où ?Quoi ?

Quand ?

unités


*complément Source des données

*


3 - Calculs

3.1 - Consignes de présentation

1. Les nombres seront écrits en veillant à la lisibilité de chaque chiffre.Un intervalle sépare les unités des milliers, ou les millions des milliers.

exemples : 12 568 ; 1 563 581

Les chiffres sont alignés verticalement.exemples : 12 568

5 36926

Pour des réponses à donner au centième (ou au dixième près), il est préférable defournir tous les résultats avec 2 décimales (ou avec 1 décimale).

exemples : 6,00 pour 6 (avec des réponses demandées au centième près)5,0 pour 5 (avec des réponses demandées au dixième près)

2. Dans un calcul de %/total, si en raison des arrondis demandés la somme de la co-lonne n’est pas exactement 100, on choisira d’écrire 100+ (pour un résultat supérieurcomme 100,01) ou 100 – (pour un résultat inférieur comme 99,9).

3. Les nombres figurant dans les colonnes ne sont suivis d’aucune unité.L’unité est précisée dans le titre de la colonne, ou en haut à droite à l’extérieur dutableau ou encore dans le titre principal.

4. Sauf précision, un calcul de % s’effectue au centième près (le chiffre des centièmesétant arrondi selon les règles habituelles).

3.2 - Les calculs

Tous les calculs demandés sont expliqués dans la partie « calculs » du livre chapitres2 à 10.

25Méthodologie


4 - Vérification

Avant de rendre le tableau numérique :

– on repasse au stylo ou feutre noir tous les résultats numériques, le cadre et les titresétant déjà prêts ;

– on vérifie les unités, les arrondis et les précisions à faire figurer à l’extérieur du cadredu tableau.


RÉGION X…LIGNES TÉLÉPHONIQUES EN SERVICE

1988-1989-1990


* à une unité près par excès.


nombre pour 1989/1988 1990/19891 000

habitants*

A 88 800 108 300 222 124 500 + 19 500 + 16 200

B 52 200 61 100 257 69 043 + 8 900 + 7 943

C 39 200 45 100 203 51 400 + 5 900 + 6 300

D 28 600 35 300 270 42 007 + 6 700 + 6 707

région 208 800 249 800 232 286 950 + 41 000 + 37 150


NumérationRègle d’arrondis

Chapitre 2


Ce que vous devez savoir

Tout nombre est composé de chiffres (de même qu’un mot est composé de lettres).

La valeur de chaque chiffre dépend de sa position.

On définit des classes à l’intérieur desquelles figurent 3 colonnes : unité (U) ; dizaine(D) ; centaine (C). Ainsi, le nombre « 1 milliard 15 millions 325 mille 118 » s’écrit1 015 325 118.

CONSEIL

Marquez un léger espacement entre les classes de chiffres afin de faciliter lalecture du nombre ; en revanche, ne mettez pas de point pour sépar er lesclasses !

Dans un nombre décimal, la virgule sépare la partie entière (à gauche de la virgule)de la partie décimale (à droite de la virgule). La valeur de chaque chiffre de la par-tie décimale dépend également de sa position : dixième, centième, millième, dix mil-lième, etc.

exemple : 815,704

Notez que tout nombre entier peut s’écrire sous forme décimale : ainsi 100 = 100,00.

• Application aux arrondis

Arrondir un nombre, c’est donner une valeur approchée de ce nombre.Arrondir au dixième, au centième ou au millième près , c’est donner le nombre déci-mal le plus proche affecté de 1, 2 ou 3 chiffres après la virgule.D’une manière générale, pour arrondir un nombre au centième près par exemple :on « coupe » le nombre au rang des centièmes ; puis on considère le chiffre qui suit(celui des millièmes donc) :


Classe Classe Classe Classedes milliards des millions des mille des unités

C D U C D U C D U C D U

1 0 1 5 3 2 5 1 1 8

Partie entière Partie décimale

C D U dixième centième millième

8 1 5 , 7 0 4


– s’il est strictement inférieur à 5, on conserve le chiffre des centièmes tel qu’il est ;

– s’il est supérieur ou égal à 5, on prend le chiffre des centièmes directement supé-rieur.

LA PUCE À L’OREILLE !

Notez que :• dans un tableau numérique, vous devez respecter les consignes d’arrondis qui sont

données. En l’absence de telles consignes, vous devez arrondir au centième près,c’est-à-dire donner les résultats avec 2 décimales.

• vous pourrez trouver plusieurs écritures équivalentes :« au dixième près » = au 1/10 près = à 0,1 près = à 10–1 près« au centième près » = au 1/100 près = à 0,01 près = à 10–2 près« au millième près » = au 1/1 000 près = à 0,001 près = à 10–3 près

29Numération - Règle d’arrondis


Applications résolues

1 - Arrondir un nombre

Exemple

Lecture de l’énoncé : Déduction :

Analysons ce nombre décimal : La partie entière de ce nombre est 14 ;sa partie décimale est 738.

Résolution :

Pour arrondir à l’unité près, Il faut donc considérer le chiffre qui(= donner le nombre entier le plus proche) suit, c’est-à-dire celui des dixièmes,

7 en l’occurrence.

7 est supérieur à 5 � on arrondit à 15.

Pour arrondir au dixième près, Il faut considérer le chiffre des(= donner le nombre le plus proche centièmes c’est-à-dire 3.avec 1 décimale ) 3 est inférieur à 5 � on arrondit à

14,7.

Pour arrondir au centième près, Il faut considérer le chiffre des(= donner le nombre le plus proche millièmes cette fois, soit 8.avec 2 décimales) 8 est supérieur à 5 � on arrondit à

14,74.

Pour arrondir par excès ou par défaut On donnera la valeur directement supérieure ou directement inférieure,quel que soit le chiffre qui suit.

Soit le nombre 14,738.L’exercice consiste à en donner les différentes valeurs arrondies (normal, par excèset par défaut), à l’unité près, au dixième et au centième près.


ARRONDI normal par excès par défaut

à l’unité près 15 15 14

au dixième 14,7 14,8 14,7

au centième 14,74 14,74 14,73


2 - Changer d’unités

Exemple 1

Méthode

On utilise le tableau de numération présenté plus haut qui présente les classes (uni-tés, milliers, millions, milliards).

Selon la consigne, on placera la virgule dans la colonne «unités » des milliers ou «uni-tés » des millions.

Ainsi, 15 735 800 € = 15 735,8 milliers d’€ = 15,7358 millions d’€.

IMPORTANT !

Vous rencontrerez souvent ce type de conversion dans un tableau numérique(appliquée à des données financières notamment, mais aussi dans bien d’autresdomaines).Il s’agit donc de bien maîtriser la numération dans son ensemble.

Exemple 2

Qu’il s’agisse de mesures de longueur (mètre...), de masse (gramme...) de capacité(litre...), les conversions obéissent aux mêmes règles que la numération ordinaire quel’on vient d’étudier : un chiffre par colonne, et on passe d’une unité à la suivante de10 en 10.

Les unités portent des noms différents que la connaissance des préfixes utilisés per-met d’identifier facilement.

Application « incontournable » : le système métrique.

Convertir 1 254,65 dam en mètres.

Convertir en milliers, puis en millions d’euros :15 735 800 €


Classe Classe Classe Classedes milliards des millions des mille des unités

C D U C D U C D U C D U

1 5 7 3 5, 8 0 0

1 5, 7 3 5 8 0 0


Préfixes utilisés pour les multiples de l’unité de base

10 fois plus grand : « déca »décamètre (dam), décagramme (dag), décalitre (dal) : 1 décamètre = 10 mètres, 1 dé-cagramme = 10 grammes, etc.

100 fois plus grand : « hecto »hectomètre (hm), hectogramme (hg), hectolitre (hl) : 1 hectomètre = 100 mètres, 1hectogramme = 100 grammes, 1 hectolitre = 100 litres.

1 000 fois plus grand : « kilo »kilomètre (km), kilogramme (kg)... et l’on s’arrêtera là car le « kilolitre » n’est pas usité !1 kilomètre = 1 000 mètres, 1 kilogramme = 1 000 grammes.

N.B. 1 000 litres = 1 mètre cube (1 m 3)

Préfixes utilisés pour les sous-multiples de l’unité de base

10 fois plus petit : « déci »décimètre (dm), décigramme (dg), décilitre (dl)1 décimètre vaut donc 0,1 mètre ; il en va de même pour les autres unités.

100 fois plus petit : « centi »centimètre (cm), centigramme (cg) centilitre (cl)1 centimètre vaut donc 0,01 mètre...

1 000 fois plus petit : « milli »millimètre (mm), milligramme (mg), millilitre (ml)1 millimètre vaut 0,001 mètre...

Un chiffre par colonne, 4 représentant l’unité de dam ; on place la virgule, commecela a été vu précédemment, dans la colonne de l’unité demandée.

Ainsi : 1 254,65 dam = 12 546,5 m (= 12,5465 km).

3 - Déterminer un ordre de grandeur

La calculatrice vous donne le résultat précis ; mais il est toujours important – et for-tement recommandé – de cerner l’ordre de grandeur du résultat que vous cherchez(une erreur de frappe est si vite arrivée !).

Travailler sur des données correctement arrondies facilite à l’évidence la tâche.


km hm dam m dm cm mm

1 2 5 4 6, 5


Exemple

Méthode

Chaque quantité sera convertie de kg en tonnes, puis le nombre obtenu sera arrondià l’unité près , comme nous l’avons vu précédemment.

15 825 kg = 15,825 t � 16 t

20 250 kg = 20,25 t � 20 t

31 600 kg = 31,6 t � 32 t

27 800 kg = 27,8 t � 28 t

18 200 kg = 18,2 t � 18 t

Total = 16 + 20 + 32 + 28 + 18

soit � 114 t

À la calculatrice : 113 675 kg, soit 113,675 t � 114 t

En une semaine, une usine fabrique quotidiennement respectivement 15 825 kg ;20 250 kg ; 31 600 kg ; 27 800 kg ; 18 200 kg d’un certain produit.Quelle est, à la tonne près, la production hebdomadaire de cette usine ?(Souvenez-vous qu’une tonne = 1 000 kg)



À vous de jouer !

1 - Exercices d’application

Exercice N° 1 (*)

Dans les nombres suivants, 754 – 18 046 – 45 – 156 347 – 3 961 425 placez la virgulepour que le chiffre « 4 » soit le chiffre des centièmes.

Exercice N° 2 (*)

Quel nombre obtient-on en ajoutant 2 dixièmes aux nombres suivants : 1 580 – 2,83– 12,92 – 0,08 – 18,006.

Exercice N° 3 (*)

Même exercice en retranchant 5 centièmes.

Exercice N° 4 (*)

Parmi les nombres suivants :3 683,257 ; 732,853 ; 1 284,69 ; 2 953,75 ; 605,372 ; 1 254 036,142

a) Quels sont le (ou les) nombre(s) dans lequel le chiffre des centièmes est strictementsupérieur au chiffre des centaines ?

b) Quels sont le (ou les) nombre(s) dans lequel le chiffre des dizaines est strictementinférieur au chiffre des dixièmes ?

Exercice N° 5 (**)

Donnez l’arrondi des nombres ci-dessous :a) à l’unité prèsb) à la dizaine prèsc) au centième près.

Exercice N° 6 (**)

Encadrez les nombres suivants et donnez leur arrondi.


504,382 12 716,238 78,702

1 019,589 18,096 202,996


Exercice N° 7 (*)

Convertissez dans l’unité demandée :

15 786 cm = ... m 2,8594 km = ... m

1 538 kg = ... t 0,049 t = ... kg

154,9 mg = ... g 2 538 dag = ... kg

14 275 cm = ... m 35 mm = ... m

578 dal = ... l 3 518 hl = ... l

15 432 l = ... hl 0,528 km = ... m


Attention ! Certaines calculatrices tronquent les résultats sans les arrondir correctement.Soyez vigilants ! Testez la vôtre avant qu’elle ne vous rende un mauvais service.

2 - Faisons le point (QCM)

1 - L’arrondi à l’unité de 62,734 est :

■ 62 ■ 62,7 ■ 63 ■ 6,3

2 - L’arrondi au dixième près de 86,794 est :

■ 87 ■ 9 ■ 86,79 ■ 86,8

3 - Pour arrondir un nombre au centième près, il suffit de le « couper » à 2 chiffresaprès la virgule et de laisser tomber les chiffres à droite de la coupure.

■ Vrai ■ Faux

4 - Sans utiliser la calculatrice, estimez l’ordre de grandeur des produits suivants :

19,8 × 49,9 �■ 1 000 ■ 100 ■ 10 000 ■ 500


à la dizaine près à l’unité près au dixième près au centième près

348,59 128,920 1 349,756 938,759

1 082,18 39,570 948,920 13,234

3 549,50 3 499,755 12,798 4,726

4 696,00 10 499,500 8,750 0,985


50,2 × 998 �

■ 5 000 ■ 50 000 ■ 500 000 ■ 500

5 - L’arrondi de 43,257 à l’unité près par excès est :

■ 43 ■ 44 ■ 43,3 ■ 43,26

6 - L’arrondi de 18,859 au centième près par défaut est :

■ 18,8 ■ 19 ■ 18,85 ■ 18,86

7 - L’arrondi au mètre près de 15,786 328 km est :

■ 15,8 ■ 16 ■ 15,786 ■ 15,79

8 - Un budget s’élève à 85 658 900 €. Arrondi au million d’ € près, ce budget est de :

■ 86 M d’€ ■ 85,7 M d’€ ■ 85 659 M d’€ ■ 85 660 M d’€

9 - Sans faire le calcul, estimez la valeur approximative de la somme suivante :

15 898 + 7 995 + 3 200 + 2 995 �

■ 156 000 ■ 30 000 ■ 27 000 ■ 20 000

10 - Arrondir un nombre N à la centaine près, c’est donner le multiple de 100 le plusproche de N :

■ Vrai ■ Faux

3 - Exercices extraits de tableaux numériques

Exercice I

En 2000, le chiffre d’affaires dégagé par la consommation touristique intérieure a étéde 49,9 milliards d’euros pour un total de 179 905 établissements liés au tourisme dont:– Restaurants : 22,4 milliards d’euros pour 88 770 établissements– Cafés : 5 200 millions d’euros pour 50 740 établissements– Hôtels : 14,1 milliards d’euros pour 27 841 établissements– Autres : 8 200 millions d’euros pour 12 554 établissements.

Il vous est demandé de déterminer, pour chaque catégorie d’établissements et pourl’ensemble, le chiffre d’affaires moyen annuel dégagé par le tourisme intérieur en 2000

(exprimé en milliers d’euros, arrondi au dixième près)



Exercice II

De 2003 à 2005, la Banque X étudie l'évolution du nombre d'opérations bancaires ef-fectuées sur les comptes de ses clients.

Pour ces trois années, le nombre de comptes était, en milliers, respectivement de7 698, 7 720 et 7 850. L'analyse du nombre des opérations fournit les informationssuivantes :

2003 : DEBIT : 970,460 millions d'opérationsCREDIT : 1 009,240 millions d'opérations

2004 : DEBIT : 1 004,014 » »CREDIT : 1 046,886 » »

2005 : DEBIT : 1 039,584 » »CREDIT : 1 085,216 » »

Il vous est demandé d'établir pour chacune de ces trois années le nombre moyend'opérations par compte (nombre global, toutes opérations de débit et de créditconfondues).

Vous donnerez les résultats à l'unité près.

Exercice III

Le Ministère de l‘Education Nationale, dans ses « Repères et références statistiques »,fournit les indications suivantes relatives aux dépenses d’éducation engagées selonle niveau d’enseignement :

Il vous est demandé de compléter ce tableau ; la dépense globale sera calculée enmilliards d’euros (arrondie au dixième près) et la dépense moyenne par élève en eu-ros (arrondie à la dizaine d’euros près).


2003 2004

Dépense Dépense Dépense DépenseEnseignement

Effectifs moyenne globale Effectifs moyenne globalepar élève (milliards par élève (milliards

(€) d’€) (€) d’€)

Pré-élémentaire 2 583 669 4 240 2 613 601 11,5

Elémentaire 3 910 998 4 530 3 912 429 18,0

Second degré 5 659 344 8 290 5 637 782 48,5

Université(hors IUT) 1 247 401 6 820 1 247 401 8,3


Exercice IV

Dans une agglomération X, on étudie l’évolution de la collecte des déchets ménagersde 1994 à 2001. Cette collecte est répartie en 4 secteurs :– collecte sélective– déchèterie A– déchèterie B– Ramassage

En 2001, on a récolté 25 200 tonnes en ramassage, 3 550 tonnes sur la déchèterie B,4 770 sur la déchèterie A et 1 865 tonnes en collecte collective.

La production globale de déchets a augmenté de 385 tonnes de 2000 à 2001.

En 2000, la récolte en ramassage était 5 fois plus importante que la collecte de la dé-chèterie A.

La déchèterie B a collecté 3 708 tonnes, soit 1 199 tonnes de moins que la déchète-rie A.

Par rapport à 1994, on note, en 2000, les évolutions suivantes, en nombre de tonnes :– collecte sélective : + 1 838 – déchèterie A : + 1 790– déchèterie B : + 1 567– ramassage : + 7 677

Déterminer, pour chaque secteur de collecte et pour l’ensemble :– la production totale, en tonnes, pour chacune des années 1994, 2000, et 2001 ;– pour l’année 2000, la production en kg par habitant, à 0,1 près (population de l’ag-

glomération en 2000 : 72 395 habitants).

(d’après le sujet de concours d’adjoint administratif 2003 – Centre de Gestion de l’Ain)

Exercice V

Une analyse des habitudes alimentaires des Français au cours des dernières annéesmontre que ceux-ci ont bien évolué dans leur consommation d’aliments « de base ».

En 1970, on peut lire que les Français ont consommé 4 028,5 milliers de tonnes depain, 3 522 milliers de tonnes de légumes frais, 466,5 milliers de tonnes de poissonset 1 020,5 milliers de tonnes de sucre.

Au cours des quinze dernières années, on pourra apprécier cette évolution grâce auxinformations communiquées par le tableau suivant (données en kg/habitant)


Aliments 1990 2004

Pain 61,69 53,69

Légumes frais 86,00 90,22

Poissons, coquillages, crustacés 14,36 12,06

Sucre 10,06 7,27


Pour mesurer l’importance de cette évolution, il convient de préciser que la popula-tion française est passée de 50 millions d’habitants en 1970 à 56,577 millions en 1990et 60,702 millions en 2004

a) Déterminer la quantité totale de chacun de ces aliments consommée (en milliersde tonnes, au 1/10 ème près) en 1990 et 2004

b) A quelles valeurs (en kg/habitant, au 1/100 ème près) correspond la consommationde chacun de ces aliments en 1970 ?



1 - Corrigés des exercices d’application

Exercice 1

(le chiffre des centièmes se trouve au deuxième rang à droite de la virgule)7,54 – 18,046 – 0,045 – 156,347 – 396,1425

Exercice 2

1 580,2 – 3,03 – 13,12 – 0,28 – 18,206

Exercice 3

1 579,95 – 2,78 – 12,87 – 0,03 – 17,956

Exercice 4

Rappel : dans un nombre décimal, le chiffre des centièmes est le 2ème après la virgule,le chiffre des dixièmes est le 1 er à droite de la virgule.

a) Le chiffre des centièmes est strictement supérieur au chiffre des centaines dans :1 284,69 – 605,372 – 1 254 036,142

b) Le chiffre des dizaines est strictement inférieur au chiffre des dixièmes dans :732,853 – 2 9 53,75 – 605,372

Exercice 5

Rappel :

Quel que soit le rang demandé, il faut considérer le chiffre qui suit.

Si ce chiffre est inférieur à 5, on coupe le nombre au rang demandé sans rien changer.

Si ce chiffre est supérieur ou égal à 5, on arrondit au chiffre directement supérieur.

N.B. : pour arrondir à la dizaine près, il faut prendre le multiple de 10 le plus proche(= le nombre entier se terminant par un « 0 » le plus proche).


Arrondi de : à l’unité près à la dizaine près au centième près

504,382 504 500 504,38

1 019,589 1 020 1 020 1 019,59

12 716,238 12 716 12 720 12 716,24

18,096 18 20 18,10

78,702 79 80 78,70

202,996 203 200 203,00


Exercice 6

A la dizaine près

A l’unité près :

Au dixième près :

Au centième près :

Exercice 7

15 786 cm = 157,86 m 2,8594 km = 2 859,4 m

1 538 kg = 1,538 t 0,049 t = 49 kg

154,9 mg = 0,1549 g 2 538 dag = 25,38 kg

14 275 cm = 142,75 m 35 mm = 0,035 m

578 dal = 5 780 l 3 518 hl = 351 800 l

15 432 l = 154,32 hl 0,528 km = 528 m


Nombre Encadrement Arrondi

348,59 340 < 348,59 < 350 350

1 082,18 1 080 < 1082,18 < 1 090 1 080

3 549,50 3 540 < 3 549,5 < 3 550 3 550

4 696,00 4 690 < 4 696 < 4 700 4 700


938,759 938,75 < 938,759 < 938,76 938,76

13,234 13,23 < 13,234 < 13,24 13,23

4,726 4,72 < 4,726 < 4,73 4,73

0,985 0,98 < 0,985 < 0,99 0,99


1 349,756 1 349,7 < 1 349,756 < 1 349,8 1 349,8

948,920 948,9 < 948,92 < 949,0 948,9

12,798 12, 7 < 12,798 < 12,8 12,8

8,750 8,7 < 8,75 < 8,8 8,8


128,92 128 < 128,92 < 129 129

39,57 39 < 39,57 < 40 40

3 499,755 3 499 < 3 499,755 < 3 500 3 500

10 499,500 10 499 < 10 499,5 < 10 500 10 500


2 - Solutions du QCM

3 - Corrigés des extraits de tableauxnumériques

Exercice I

L’exercice consiste à diviser chacun des chiffres d’affaires par le nombre d’établisse-ments concernés ; la difficulté est dans la gestion des « grands nombres ».

Exemple :

Convertissons 22,4 milliards en milliers d’euros : 22,4 milliards = 22 400 millions =22 400 000 milliers d’euros

Même travail pour 5 200 millions d’euros = 5 200 000 milliers d’euros.

Chiffre d’affaires moyen par restaurant (en milliers d’ €) :22 400 000 ÷ 88 770 = 252,33… ≈ 252,3 milliers d’€ etc…


1 - 63 6 - 18,85

2 - 86,8 7 - 15,786

3 - Faux 8 - 86 M d’€

4 - 1 000 (� 20 × 50) 9 - 30 000 (� 16 000 + 8 000 + 3 000 +50 000 (� 50 × 1 000) 3 000)

5 - 44 10 - Vrai

Etablissements Chiffre d’affaires* Nombre Chiffre d’affairesd’établissements moyen**/établissement

Restaurants 22 400 000 88 770 252,3

Cafés 5 200 000 50 740 102,5

Hôtels 14 100 000 27 841 506,4

Autres 8 200 000 12 554 653,2

Ensemble 49 900 000 179 905 277,4 **

* en milliers d’euros, au dixième près.** N.B. : ces nombres moyens ne s’additionnent pas ; le seul calcul possible est la division du chiffre d’af-faires total par le nombre total d’établissements :49 900 000 ÷ 179 905 = 277,36… ≈ 277,4 milliers d’€


Exercice II

Total (en millions d’opérations) des opérations traitées (débit + crédit) en

2003 : 970,460 + 1 009,240 = 1 979,7

2004 : 1 004,014 + 1 046,886 = 2 050,9

2005 : 1 039,584 + 1 085,216 = 2 124,8

Transformons le nombre de comptes correspondant en millions également (souci decohérence toujours pour pouvoir ensuite calculer le nombre moyen) :

7 698 milliers = 7,698 millions ; 7 720 milliers = 7,72 millions ;

7 850 milliers = 7,85 millions.

Nombre moyen d’opérations par compte arrondi à l’unité près :

2003 :1 979,7 ÷ 7,698 = 257,2 ≈ 257

2004 : 2 050,9 ÷ 7,72 = 265,7 ≈ 266

2005 : 2 124,8 ÷ 7,85 = 270,7 ≈ 271

Exercice III

La difficulté sera la manipulation des grands nombres. Un conseil : transformez lesunités (d’élèves) en milliers d’élèves, les euros (dépense moyenne par élève) en mil-liers d’euros. Le résultat de la multiplication se lira en millions (1 000 × 1 000 = 1 mil-lion) ; on convertira de même les milliards d’euros (dépense globale 2004) en milliersd’euros, et les effectifs en milliers d’élèves : ainsi, le résultat de la division se lira di-rectement en euros/élève .

Rappel : « à la dizaine près » signifie qu’on donne le multiple de 10 le plus proche.

Exemple :

Enseignement pré-élémentaire :

Dépense globale en 2003 (en milliards d’ €)

2 583 669 élèves = 2 583,669 milliers d’élèves

4 240 € = 4,24 milliers d’ €

Dépense globale en millions d’ € : 2 583,669 × 4,24 = 10 954,756 millions d’ €

= 10,954…milliards € ≈ 11,0 milliards d’€

Dépense moyenne par élève en 2004 ( €) :

11,5 milliards = 11 500 000 milliers d’euros

2 613 601 élèves = 2 613,601 milliers d’élèves

Dépense moyenne (€) : 11 500 000 ÷ 2 613,601 = 4 400,059 € ≈ 4 400 (à la dizaine près)



Exercice IV

La présentation sous forme de tableau n’est pas obligatoire dans ces exercices, maiselle facilite la réponse au problème posé et constitue un entraînement supplémen-taire à l’épreuve.

Explication : sont soulignées les données fournies par le texte

Colonne (4) : tout est donné dans l’énoncé ; seul le total est à calculer.

Colonne (2) : dans l’ordre, il convient de commencer par ces calculs qui permettrontde remonter à la colonne (1) en dernier.Le total « a augmenté de 385 » de 2000 à 2001 : en 2000, il comptait donc 385 demoins qu’en 2001. Déchèterie A : 1 199 de plus que B (soit 4 907)Ramassage : 5 fois plus que A (4 907 × 5 = 24 535)Collecte sélective : résultat obtenu par soustraction (total – les 3 résultats connus)

Colonne (1) : aucune difficulté, chaque résultat s’obtient par soustraction, comptetenu des augmentations données dans le texte.

Colonne (3) :il faut diviser les tonnages collectés par le nombre d’habitants (72 395).Commençons par transformer les tonnes en kg : ainsi, le résultat se lira directementen kg / habitant .Exemple : 1 850 tonnes = 1 850 000 kgProduction en kg / habitant : 1 850 000 ÷ 72 395 = 25,55… ≈ 25,6 etc…


2003 2004

Dépense Dépense Dépense DépenseEnseignement moyenne globale moyenne globale

Effectifs par élève (milliards Effectifs par élève (milliards(€) d’€) (€) d’€)

Pré- 2 583 669 4 240 11,0 2 613 601 4 400 11,5élémentaire

Elémentaire 3 910 998 4 530 17,7 3 912 429 4 600 18,0

Second degré 5 659 344 8 290 46,9 5 637 782 8 600 48,5

Université 1 247 401 6 820 8,5 1 247 401 6 650 8,3(hors IUT)

Secteur 1994 (t)2000

2001 (t)En tonnes En kg/habitant

Collecte sélective 12 1 850 25,6 1 865

Déchèterie A 3 117 4 907 67,8 4 770

Déchèterie B 2 141 3 708 51,2 3 550

Ramassage 16 858 24 535 338,9 25 200

Total 22 128 35 000 483,5 35 385

(1) (2) (3) (4)



N.B. : on peut additionner ces quantités moyennes, puisqu’elles ont toutes été calcu-lées par rapport à un même nombre, la population totale de X.. ; on retrouve le ré-sultat en divisant également 35 000 000 par 72 395.

Exercice V

Il s’agit de « jongler » entre des milliers de tonnes, des millions d’habitants et uneconsommation moyenne en kg / habitant.

Exemple de calcul pour la consommation moyenne par habitant en 1970 :4 028,5 milliers de tonnes = 4 028 500 tonnes = 4 028 500 000 kg, soit 4 028,5 millionsde kg. Ce nombre (en millions de kg) divisé par la population exprimée en millionsd’habitants (50) donnera une valeur moyenne qui se lira directement en kg/habitant(après simplification)

Consommation moyenne de pain en 1970 (en kg/habitant) :4 028,5 ÷ 50 = 80,57

Pour déterminer les quantités totales consommées en milliers de tonnes :Prenons l’exemple du pain (en 1990 : 61,69 kg / habitant) ; population totale : 56,577millions d’habitants.

Rappel : 1 tonne = 1 000 kg ; 1 millier de tonnes = 1 000 000 kg = 1 million de kg .

Quantité totale de pain (en millions de kg) :61,69 × 56,577 (millions d’habitants) = 3 490,235 … millions de kg ou donc milliersde tonnes, soit, arrondi au 1/10ème près : 3 490,2 milliers de tonnes.Les autres calculs se feront de la même manière naturellement.Pour se résumer : il suffit de multiplier les quantités moyennes (en kg) par la popu-lation (exprimée en millions) : le résultat se lira en milliers de tonnes .

(les valeurs soulignées sont données dans le texte)

Aliments Consommation Consommation totalemoyenne / habitant (kg) (milliers de tonnes)

1970 1990 2004 1970 1990 2004

Pain 80,57 61,69 53,69 4 028,5 3 490,2 3 259,1

Légumes frais 70,44 86,00 90,22 3 522,0 4 865,6 5 476,5

Poissons… 9,33 14,36 12,06 466,5 812,4 732,1

Sucre 20,41 10,06 7,27 1 020,5 569,2 441,3



RaisonnementRappels utiles

Chapitre 3


I - Calculs arithmétiquesA - Règle de trois

Elle est à la base de tous les calculs de proportionnalité.

Sa maîtrise est indispensable avant d’aborder les différents chapitres du programme.

Une relation de proportionnalité entre 2 grandeurs se caractérise ainsi : si l’on faitvarier l’une des grandeurs, l’autre varie de la même manière (« dans les mêmes pro-portions » : si l’on double la première, la seconde est doublée également…).

Exemple : sur une facture, le prix total est proportionnel à la fois au prix unitaire età la quantité achetée.

Si vous payez 310 € pour 20 articles identiques, combien payerez-vous si vous n’enachetez que 12 ?

Le principe (de bon sens) de la règle de trois consiste à rechercher le prix d’un article(prix unitaire) et à le multiplier par le nouveau nombre d’articles.Prix pour 20 articles : 310 € (point de départ)Prix d’1 article : 20 fois moins (on divise par 20)Prix pour 12 articles : 12 fois plus (on multiplie par 12)

D’où l’opération :

Le prix de 12 articles sera donc de 186 €

Cette démarche s’inscrit facilement dans un « tableau de proportionnalité » :

(le coefficient qui permet de passer d’une ligne à l’autre est toujours le même, en l’occurrence c’est le prixunitaire)

On retrouve « la recette » qui permet de trouver la quatrième valeur dans une pro-portionnalité : « le produit en croix »

B - Moyenne arithmétique

On calcule la moyenne de plusieurs éléments (notes, températures, prix…) en divi-sant la somme de ces éléments par le nombre d’éléments pris en compte.

310 1220

186× =


Prix (€) 310 ?

Quantité 20 12

310 €

20

?(310 × 12) ÷ 20

12


Exemple : voici une série de 6 notes obtenues par un élève sur une période :

14 – 12 – 8 – 6 – 15 – 17. Quelle est sa moyenne ?

Réponse :

– somme des notes : 14 + 12 + 8 + 6 + 15 + 17 = 72

– moyenne des 6 notes : 72 ÷ 6 = 12

C - Calcul d’une valeur moyenne :

Les exemples ne manquent pas : nombre moyen d’habitants au km 2 (ou densité depopulation), coût moyen journalier, rendement moyen à l’hectare….

Exemple 1 :

Une région compte 1 785 000 habitants répartis sur une superficie de 8 280 km 2.Quelle est sa densité de population ?

Réponse :

On recherche le nombre d’habitants pour 1 km 2, donc il suffit de diviser la popula-tion (habitants) par la superficie (en km 2) :

1 785 000 ÷ 8 280 = 215,57 ≈ 216

Exemple 2 :

Un cabinet de formation a organisé 2 types de formation dans un service : bureau-tique et management. Le coût est de 990 € pour 18 journées en « bureautique », etde 2 750 € pour 25 journées en « management ».

Quel est le coût moyen journalier pour chaque type de formation et pour l’ensemblede ces prestations ?

Réponse :

Le coût moyen journalier s’obtient en divisant le coût total par le nombre de jours(on obtient le coût moyen par jour) :

Bureautique :

Coût moyen journalier ( €) : 990 ÷ 18 = 55

Management :

Coût moyen journalier ( €) : 2 750 ÷ 25 = 110

Pour l’ensemble, on applique la même démarche (attention, ces valeurs moyennes nes’additionnent pas entre elles !)

On divise le coût total (990 + 2 750 = 3 740) par le nombre total de jours (18 + 25 =43) : d’où le coût moyen global journalier (en €) : 3 740 ÷ 43 ≈ 87 €

49Raisonnement - Rappels utiles


II - Calculs géométriques– Les unités d’aire : (l’aire est la mesure d’une surface)

• l’unité de base est le mètre carré (m2).On passe d’une unité à la suivante de 100 en 100, que ce soit pour les multiples oules sous-multiples : 1 m2 = 100 dm2 1 dam2 = 100 m2

• les unités agraires : l’unité de base est l’are (a)

A retenir :

– Les unités de volume :

• l’unité de base est le mètre cube (m3) :(les multiples du m 3 sont peu usités)On passe d’une unité à la suivante de 1 000 en 1 000 : 1 m3 = 1 000 dm 3

1 m3 = 1 000 000 cm 3

– Correspondance entre les unités de volume et les unités de capacité :

A retenir :

A noter : Un volume droit (la hauteur est la même partout) se calcule toujours en applicationde la formule :

Volume = Surface de base x hauteur

Il importe donc de connaître les formules donnant les aires des principales figuresplanes (voir page suivante)

ATTENTION cependant à ce que les unités correspondent : un volume en m3 résulteradu produit d’une aire en m2 par une hauteur en m ; un volume en cm3 résultera duproduit d’une aire en cm2 par une hauteur en cm etc...

1 dm3 = 1 litre1 m3 = 1 000 litres

1 hectare (ha) = 100 ares = 10 000 m 2

1 a = 100 m 2




Largeurl

LLongueur

Aire = L � l

Côtéc

Aire = c � c = c2

Base

Hauteurh

b

Aire = b � h

Rectangle Carré Parallélogramme

Trapèze TriangleLosange

Petitediagonale

d

DGrande diagonale

Aire = D � d2

Aire = (B + b) �2

Grande baseB

Hauteurh

Petite base b

Base

Hauteurh

b

Aire = b � h2

Rayonr

Cercle et disque

×

Aire = π � r2

Périmètre = 2π � r

h

Aires : Rappels de formules


À vous de jouer !


A - Calculs arithmétiques : règle de trois – valeurs moyennes

Exercice 1 (*)

Voici des informations établies lors d’un voyage :

Quelle est la consommation de la voiture aux 100 km (au dixième près) ?Quelle est la vitesse moyenne en km/h (à l’unité près) ?

Exercice 2 (*)

Sur une photographie représentant un homme et son fils, le père mesure 12,74 cmet son fils 6,3 cm. Sachant que l’enfant mesure en réalité 0,90m, déterminer la tailleréelle du père (au cm près)

Exercice 3 (*)

Le nichrome est un alliage composé de 65 % de nickel, 12 % de chrome et de 23 % de fer.1) Calculer la masse de nickel contenu dans un échantillon de 430 g de nichrome2) Calculer la masse d’un autre échantillon de nichrome contenant 805 g de fer.

Exercice 4 (**)

Dans cette salle de spectacle on enregistre 450 entrées au tarif normal de 12 € et 350entrées au tarif réduit de 8 €.

Quel prix unique aurait-on pu appliquer pour obtenir la même recette ?

Exercice 5 (**)

Marc a 12 de moyenne. Son voisin Antoine a le même total de points mais avec 6notes seulement car il a été absent deux fois.


départ arrivée

Compteur kilométrique 11 825 12 038

Niveau d’essence 43 litres 26 litres

heure 11 h 15 14 h


Quelle est la moyenne d’Antoine ?

Exercice 6 (**)

• Voici ci-dessous le nombre de repas servis dans les 3 restaurants scolaires A, B et Cpendant les mois de septembre, octobre et novembre :

Retrouvez, pour l’ensemble de ce trimestre, la moyenne journalière du nombre de re-pas servis dans chaque restaurant puis pour l’ensemble des trois restaurants (arron-dir à l’unité près)

Exercice 7 (**)

Les 30 élèves d’une classe doivent faire un voyage. Au dernier moment, 4 élèves nepeuvent participer au voyage. Ceux qui partent payent 3 € de plus que le prix prévu.

Quelle était la part des frais revenant à chaque élève ?Quel était le coût total du voyage ?

Exercice 8 (**)

Quatre régions du quart Est de la France présentent les caractéristiques suivantes :

(données INSEE)

* estimations 2004

Déterminer, pour chacune de ces régions et pour leur ensemble, la densité moyennede population au km 2 (arrondie à l’unité près)


Septembre Octobre Novembre21 jours 20 jours 15 jours

Restaurant A 6 720 6 600 4 875

Restaurant B 5 040 4 960 3 630

Restaurant C 5 880 5 400 3 900

Région SUPERFICIE POPULATION(en km2) (en milliers d’habitants)*

ALSACE 8 280 1 794

CHAMPAGNE ARDENNE 25 606 1 336

FRANCHE-COMTE 16 202 1 139

LORRAINE 23 542 2 331


B – Calculs géométriques :

Exercice 1 (*)

Une municipalité hésite sur la forme à donner au futur jardin public. Elle vous com-munique les informations suivantes :

• Si la forme est rectangulaire, elle aura 180 m de long sur 85 m de large

• Si la forme est circulaire, le rayon mesurera 65 m

• Si la forme est triangulaire, la base aura 220 m et la hauteur 150 m.

Déterminez (en ares) les aires de ces différents terrains.

Exercice 2 (*)

Une municipalité décide de renouveler le sable du bac à sable du jardin d’enfants.

Ce bac est rectangulaire (Longueur = 12 m ; largeur = 8 m) et la hauteur de sable estde 50 cm.

Quelle est, en m 3, la quantité de sable à commander ?

Exercice 3 (*)

La ville de X... compte 15 640 habitants. En 2001, la consommation en eau de cettecommune a été de 685 032 m 3.

Quelle est, en litres, la consommation moyenne journalière par habitant ?

Exercice 4 (**)

Un terrain a été acheté 12 438,4 € TTC (TVA à 19,6 %).

Sachant que le prix hors taxes d’un hectare de ce terrain vaut 12 500 €, déterminezsa superficie en ha puis en m 2.

Exercice 5 (**)

(d’après le sujet de concours 2005 du centre de gestion du Calvados)

Trois communes en intercommunalité décident d’acheter 2 terrains pour y aménagerune piscine.

Le premier terrain est de forme trapézoïdale ; les bases mesurent 205 m et 180 m etla hauteur 210 m. Il a été acheté 300 000 euros l’hectare.

Le second est rectangulaire, de longueur 252 m et de largeur égale aux 2/3 de la lon-gueur. Il a été acheté 35 euros le m 2.

Déterminer le prix d’achat de chacun de ces deux terrains.




I - Calculs arithmétiques : règle de trois – valeurs moyennes

Exercice 1

a) Distance parcourue (km) : 12 038 – 11 825 = 213 km

b) Consommation (en litres) : 43 – 26 = 17 litres

c) Durée du trajet : 14h – 11h 15 min = 2h 45 min (= 165 min)

Consommation aux 100 km (en litres) : 7,98 ≈ 8,0 litres

Vitesse moyenne (en km/h) : 77,45 ≈ 77 km/h

(remarques :

– quand on cherche des litres, on part des litres ; quand on cherche des km, on partdes km ; ce principe simple permet, à celles et ceux qui auraient des difficultés à« poser » leur règle de trois, de bien démarrer leur raisonnement…

– pour la vitesse moyenne, on aurait pu également diviser 213 par 2,75 qui est

l’écriture décimale de 2h 45 min puisque 45 min = h = 0,75 h)

Exercice 2

Il y a proportionnalité entre les dimensions sur la photographie et les dimensionsréelles. Pour simplifier l’approche, toutes les données sont en cm :

d’où la taille du père (en cm) :

Le père mesure donc 1,82 m.

Exercice 3

1) Masse de nickel dans 430 g de nichrome (en g) : 430 × 65 % = 279,5 g

2) Masse d’un échantillon de nichrome contenant 805 g de fer (en g) :

3 500 g (ou : 805 ÷ 23 % = 3 500)

(ou, en utilisant le « produit en croix » :

100 805× =23

90 12 74× =,6,3

182906,3 12,74

= ?

34

213 × =60165

1 100213

7 × =


Pour 100 g (de nichrome),

?

23 g de fer (traduction de « 23 % »)

805 g de fer )


Exercice 4

Le prix unique aurait été celui qui aurait permis d’obtenir la même recette globale.

Recette globale réalisée ( €) : (450 × 12) + (350 × 8) = 8 200 €

Nombre total de billets vendus : 450 + 350 = 800

Prix unique (moyen) d’une entrée ( €) = 8 200 ÷ 800 = 10,25 €

Exercice 5

Marc a 12 de moyenne avec 8 notes (6 + 2 = 8) donc un total de points de 12 × 8 = 96points.

La moyenne d’Antoine est : 96 ÷ 6 = 16

Exercice 6

Les trois mois considérés représentent : 21 + 20 + 15 = 56 jours de restauration

Moyenne restaurant A : (6 720 + 6 600 + 4 875) ÷ 56 = 324,9 ≈ 325

Moyenne restaurant B : (5 040 + 4 960 + 3 630) ÷ 56 = 243,3 ≈ 243

Moyenne restaurant C : (5 880 + 5 400 + 3 900) ÷ 56 = 271,07 ≈ 271

Moyenne pour les trois restaurants :

Nombre total de repas servis : 6 720 + 6 600 + 4 875 + 5 040 + 4 960 + 3 630 + 5 880 +5 400 + 3 900 = 47 005

Nombre total de jours : (21 × 3) + (20 × 3) + (15 × 3) = 168

Moyenne de l’ensemble : 47 005 : 168 = 279,79 .. ≈ 280

Exercice 7

Seuls 26 élèves partent (30 – 4 = 26)

Les 26 élèves qui partent paient chacun 3 € supplémentaires. On en déduit :

Coût pour 4 élèves : 26 × 3 = 78 €

Coût pour un élève : 78 ÷ 4 =19,5 €

Coût total du voyage : 19,5 × 30 = 585 €

(pour résumer la situation, les 26 élèves qui partent paient en définitive 22,5 € aulieu des 19,5 € initialement prévus)

Exercice 8

Rappel : la densité de population représente le nombre d’habitants / km 2.

Il s’agit donc pour chaque région et pour leur ensemble de diviser la population parla superficie correspondante. Le résultat sera arrondi à l’unité près.



Exemple pour l’Alsace : Population : 1 794 milliers d’habitants = 1 794 000 habitantsSuperficie : 8 280 km2

Densité de population : 1 794 000 ÷ 8 280 = 216,66… ≈ 217

Champagne-Ardenne : 1 336 000 ÷ 25 606 = 52,17… ≈ 52Franche-Comté : 1 139 000 ÷ 16 202 = 70,299… ≈ 70Lorraine : 2 331 000 ÷ 23 542 = 99,01… ≈ 99

Ensemble : population totale : 6 600 000 habitants ; superficie totale : 73 630 km 2

Densité de population globale : 6 600 000 ÷ 73 630 = 89,6… ≈ 90 habitants/km2

II- Calculs géométriques

Exercice 1

Si la surface est :rectangulaire (L = 180 m ; l = 85 m) : l’aire sera de : 180 × 85 = 15 300 m 2 = 153 acirculaire : (rayon = 65 m) : 65 × 65 × 3,14 = 13 266,5 m 2 = 132,665 a

triangulaire (base = 220 m ; hauteur = 150 m) : 16 500 m2 = 165 a

Exercice 2

Aire de base du bac à sable (en m 2) : 12 × 8 = 96 m 2

Hauteur = 50 cm = 0,5 m

Volume de sable (en m 3) : 96 × 0,5 = 48 m3

Exercice 3

Consommation / habitant (en m 3): 685 032 : 15 640 = 43,8 m 3 = 43 800 litres

Consommation journalière / habitant : 43 800 : 365 = 120 litres

Exercice 4

Prix TTC d’1 ha (en €) : 12 500 + (19,6 % × 12 500) = 14 950 €

Aire du terrain (en ha) : 1 × = 0,832 ha = 8 320 m 2

Exercice 5

Rappel de la formule donnant l’aire du trapèze : (somme des bases) hauteur2

×

12 438 4,14 950

220 150× =2



Aire du premier terrain trapézoïdal (en m 2) : = 40 425 m 2 = 4,0425 ha

Prix de ce premier terrain ( €) : 300 000 × 4,0425 = 1 212 750 €

Aire du second terrain (rectangulaire : aire = longueur × largeur)

largeur = 2/3 de 252 = 168 m

Aire (en m2) : 252 × 168 = 42 336 m 2

Prix du second terrain ( €) : 35 × 42 336 = 1 481 760 €

(205+180)2

× 210



Pourcentages (I)Calculer un pourcentage

d’une grandeur Pourcentages de variation

Chapitre 4



Un pourcentage (%) est un coefficient qui exprime une proportionnalité.

Plusieurs écritures sont équivalentes. Ainsi : 5 %= 5/100 = 0,05

1) Prendre un pourcentage d’une grandeur, c’est multiplier cette grandeur par cecoefficient.

Ainsi, prendre 8 % de 450 par exemple, c’est multiplier 450 par 8 puis diviser par 100,ou c’est multiplier directement par 0,08.

450 × 8 % = = 450 × 0,08 = 36

2) Exprimer une grandeur en pourcentage d’une autre grandeur, c’est faire le rap-port de ces 2 grandeurs et :

– multiplier le résultat par 100 en application d’une règle de trois (résultat « pour100 »)

ou

– traduire le résultat en centièmes (puisque = x %).

• Ainsi, calculer le pourcentage de cadres dans une société qui compte 35 cadres sur uneffectif total de 140 salariés revient à établir le tableau de proportionnalité suivant :

CADRES 35 X

EFFECTIF TOTAL 140 100 d’où X = × 100 = 25

Ou : = 0,25 = = 25 %

Le pourcentage de cadres est donc de 25 % de l’effectif total.

3) Le pourcentage de variation ou d’évolution d’une grandeur X s’obtient de la ma-nière suivante :

× 100

• s’il y a eu augmentation de la grandeur, la valeur fin ale est donc supérieure à la valeurinitiale ; en conséquence, l’écart entre les deux valeurs sera affecté d’un signe « + »

• S’il y a eu diminution de la grandeur, la valeur finale est donc inférieure à la valeurinitiale ; en conséquence, l’écart entre les deux valeurs sera affecté d’un signe « – »

Dans un tableau numérique, n’oubliez pas d’indiquer les signes de variation de vosvaleurs.

écart en valeur valeur initiale

25100

35140

35140

x100

450 8 100

×




1 - Calculer un pourcentage

La notion de pourcentage implique une notion de rapport.

Dans un tableau numérique, il est impératif de préciser (dans le titre de la colonne)par rapport à quoi ce pourcentage est calculé.

Le signe « / » exprimera ce « par rapport à » et présente en plus l’avantage de vousindiquer ce par quoi il faut diviser . (Imaginez que ce « / » représente un trait de frac-tion : ce qui est sous le trait de fraction est ce par quoi il faut diviser.)

Exemple 1


1re méthode :1 - Que cherche-t-on à exprimer ? On cherche à exprimer la remise :

on part donc de la remise de 15 €.

2 - Par rapport à quoi exprime-t-on Par rapport au prix marqué :la remise ? c’est donc par le prix marqué de 90 €

que l’on divisera le montant de la remise.

Résolution :

3 - On veut exprimer cette remise en % : = 0,1667 = = 16,67 %

on traduit le coefficient en centièmes :

2e méthode : Résolution :

Par règle de trois, on détermine ce que serait cette remise pour un prix marqué de 100 Remise Prix marqué« pour 100 € ».

Que serait la remise pour un prix15 90

marqué de 1 € puis pour 100 € X ? 100 d’où :

La remise est donc de 16,67 %. X = = 16,666... soit 16,6715 10090×

1590

16 67100

,1590

Une remise de 15 euros est accordée sur un article valant 90 euros. Quel est le pour-centage de remise ?

61Pourcentages (I) - Calculer un pourcentage d’une grandeur - Pourcentages de variation



Vous rencontrerez fréquemment ce type de calcul dans les tableaux numériques.On demande couramment en effet d’exprimer certaines valeurs en pourcentage parrapport à leur total (qui représente alors évidemment 100 %)N’hésitez pas à utiliser la fonction « diviseur constant » de votre calculatrice : cela vousévitera bien des erreurs (de manipulation notamment !) et accélérera sensiblementvotre calcul !

Exemple 2 :

Application au calcul d’intérêt simple :


Le taux est un taux annuel ; la durée L’intérêt annuel produit par un capitaldu placement n’est que de 6 mois C placé à un taux t est : (rappelons que dans le cas d’intérêt IAnnuel = C × t %simple, le montant des intérêts Au bout de 6 mois, ce montant sera deproduits est proportionnel à la durée (C × t %) × (en l’occurrence, il seradu placement).

égal à la moitié de l’intérêt annuel)

Résolution :

L’intérêt sera de : 3 000 × 5,5 % ×ou

Au bout de 6 mois, l’intérêt sera 3 000 × × = 82,5de 82,5 €

2 - Application aux pourcentages de variation

Exemple 1

De 1990 à 2000, la population d’une commune est passée de 25 000 à 35 000 ha-bitants. Quel est le pourcentage de variation de cette population entre ces deuxannées ?

612

5 5100

,

612

612

Une somme de 3 000 € est placée pendant 6 mois à intérêt simple au taux annuelde 5,5 %. Quel est le montant des intérêts produits à l’issue du placement ?




1 - Que cherche-t-on à exprimer ? On part de cette variation qu’onla variation de la population calcule facilement :

35 000 – 25 000 = + 10 000(Il y a augmentation, donc signe « + »)

2 - La variation s’exprime en pourcentage,il y aura donc rapport de 2 grandeurs.

Par rapport à quoi s’exprime cette On évalue l’évolution de la populationvariation ? de 2000 par rapport à celle de 1990

(en abrégé : 2000/1990) ; Par quoi faut-il diviser la variation en c’est donc par la population de 1990nombre ? (= valeur initiale) que l’on divisera

+ 10 000.

Résolution :Le calcul se résume donc par le

rapport soit :

N.B. : imaginez que ce trait oblique « / » qui signifie « par rapport à » = + 0,40 = + = + 40 %représente un trait de fraction ; ce qui figure en dessous de ce trait est ce par ou, ce qui revient au même :quoi vous allez diviser .

× 100 = 40La population a donc augmenté de 40 %de 1990 à 2000.

Exemple 2


1 - Que cherche-t-on à exprimer ? il y a diminutionl’évolution de la subvention L’écart en valeur sera affecté du signe

« – ».(1 320 – 1 500 = valeur négative commevous l’indique votre calculatrice)On part donc de cette variation ennombre de – 180.

La subvention accordée à un club sportif est passée de 1 500 € en 2001 à 1 320 €

en 2002.Quel est le pourcentage d’évolution de cette subvention ?

+ 10 00025 000

40100

+ 10 00025 000

variation en nombre population de 1990



2 - La variation s’exprime en pourcentage : il y aura donc rapport de 2 grandeurs.

Par rapport à quoi s’exprime cette Par rapport à la situation initiale,variation ? c’est-à-dire à la subvention 2001

Par quoi faut-il diviser la variation C’est donc par la subvention 2001 queen nombre ? l’on divisera l’écart en valeur, d’où :

Résolution :

= – 0,12 = – = – 12 %

ou encore, par règle de trois :

× 100 = – 12

En 2002, la subvention a donc baissé de 12 % par rapport à ce qu’elle était en 2001.

3 - Valeur augmentée ou diminuée de X %

Exemple

Lecture de l’énoncé :

Action A :

1 - Par rapport à quoi évalue-t-on les 8 % d’augmentation ?

Par rapport à la situation initiale Déduction :C’est donc le prix d’achat de 150 € quireprésente les 100 %.

Résolution :

2 - Ecrivons l’égalité donnant la nouvelle valeur : Prix d’achat + gain = nouvelle valeur

En 2001, Arnaud décide d’acheter des actions à la Bourse. Il acquiert ainsi des ac-tions A au prix unitaire de 150€ et des actions B au prix unitaire de 240€. Quelquetemps après, les cours ont sensiblement évolué et les actions A ont gagné 8 %, parcontre les actions B ont perdu 20 %.Quelles sont les nouvelles valeurs unitaires de ces actions ?

− 1801500

12100

− 1801500



65

3 - Deux démarches sont possibles :

150 + (8 % × 150) = 150 + 12 = 162ou :(100 % + 8 %) du prix d’achat =nouvelle valeur

150 × 108 % = 162Les actions A valent désormais 162 €.


Action B :

1 - Par rapport à quoi évalue-t-on les 20 % de perte ?par rapport à la situation initiale Déduction :

le prix d’achat de 240 € représente les100 %

Résolution :

2 - Ecrivons l’égalité donnant la nouvelle valeur : Prix d’achat – perte = nouvelle valeur

3 - Deux démarches sont possibles :240 – (20 % × 240) = 240 – 48 = 192ou(100 % – 20 %) du prix d’achat =240 × 80 % = 192

Les actions B valent désormais 192 €.


N’hésitez pas à utiliser la touche « % » de votre calculatrice : pour calculer « 175 –(5 % × 175) » (un prix de 175 € bénéficiant d’une remise de 5 % par exemple) : il voussuffit de taper 175 – 5 % et le résultat s’affichera immédiatement 166,25.ou175 × 5 % –selon la calculatrice

Pourcentages (I) - Calculer un pourcentage d’une grandeur - Pourcentages de variation


À vous de jouer !


Exercice N° 1 (*)

Dans un collège de 540 élèves, 30 % apprennent l’allemand.

Combien d’élèves apprennent cette langue ?

Exercice N° 2 (*)

Une enquête socio-professionnelle menée auprès de 450 personnes donne les résul-tats suivants :

Salariés : 189 Agriculteurs : 72Professions libérales : 135 Demandeurs d’emplois : 54

Exprimer cette répartition en pourcentage par rapport au total des personnes interrogées.

Exercice N° 3 (*)

Quel est le plus fort pourcentage de hausse :– celui d’une hausse de 5,6 € sur 40 € ?– celui d’une hausse de 3,3 € sur 22 € ?– celui d’une hausse de 4,06 € sur 28 € ?

Exercice N° 4 (*)

On dispose de 5 000 euros d’économies.

Quel est le placement le plus avantageux sur une année :– placer 2 000 euros à 9 % et 3 000 euros à 11 % ?– placer les 5 000 euros à 10 % ?

Exercice N° 5 (*)

Un sondage indique que, sur 1 200 personnes, 72 % ont regardé la télévision, et,parmi elles, 25 % ont regardé la Cinq.

Combien de personnes ont regardé la Cinq ?

Exercice N° 6 (**)

Un marchand de meubles affiche « Cuisine intégrée en bois massif : 4 268 € soldée 3 627,8 € ».

Quel est le pourcentage de remise proposée ?



Exercice N° 7 (*)

Monsieur Pilot achète une voiture neuve valant 15 600 euros. La première année, onconsidère que les véhicules perdent 30 % de leur valeur.

Combien cette voiture vaut-elle au terme de cette première année ?

La deuxième année, et les suivantes, les modèles perdent 25% de leur valeur par rap-port à l’année précédente.

Combien vaut alors cette voiture au terme de la troisième année ?

Exercice N° 8 (**)

Le loyer mensuel d’un appartement était de 540 €. Au 1 er janvier, il subit une pre-mière augmentation de 6 %.

Quel est le nouveau montant du loyer ?

Quelque temps plus tard, il subit une nouvelle augmentation et atteint alors 615,33 €.

Quel est le pourcentage de cette seconde augmentation ?

Quel est le pourcentage d’augmentation globale qu’a subi ce loyer ?

Exercice N° 9 (*)

Le salaire d’un employé est de 1 145 €. On lui propose une augmentation de 4 %.

Quel sera son nouveau salaire ?

Exercice N° 10 (**)

Le tableau suivant présente l’évolution de la production de trois produits A, B et Csur les trois années 2003, 2004 et 2005.

Il vous est demandé de le compléter .

Exercice 11 (**)

En ce 6 novembre 2006, la Bourse affiche les cotations suivantes (en euros) pour lesactions de Monsieur Portefeuille. Déterminer, pour chacune d’elles, le pourcentaged’évolution entre le dernier cours et le cours précédent :


2003 2004 2005ARTICLES

nombre %/total nombre %/total Evolution nombre Evolution% / 2003 % / 2004

A 173 800 ? ? ? – 5,00 189 720 ?

B ? ? ? ? ? ? + 20,00

C 96 500 ? 128 000 25,00 ? ? – 15,00

TOTAL 456 300 ? ? ? ? ? ?


Exercice N° 12 (***)

Un devis de réfection d’installations sportives s’articule autour de quatre postes (ex-primés en pourcentages du devis total) :– plomberie-chauffage : 29,5 % – sonorisation : 23,5 %– peintures-carrelages : 28,6 %– isolation : 18,4 %

De ce devis, il ressort que le poste « Sonorisation » dépasse le poste « Isolation » de918 €.

Déterminez le montant du devis total et la part respective de chaque poste eneuros.


Un marchand de meubles accorde une remise de 20 % sur un canapé de 2 850 euroset une remise de 15 % sur une table basse de 560 euros.a) Quel est le prix finalement payé pour l’achat de ces deux articles ?b) Quel est le pourcentage de réduction globale consentie sur l’ensemble ?


Le 15 septembre, un jeu électronique est vendu 54 euros. En décembre, son prix aug-mente de 20 %. Au 15 février suivant, le jeu est soldé avec 20 % de réduction.

Roméo estime que le prix n’a finalement pas changé. Juliette, elle, se réjouit d’avoirattendu car elle pense que le prix a en fait diminué de 4 %.

Qui a raison ?


Au collège Albert Einstein, le nombre d’élèves a baissé de 10 % en un an. Par contre,la proportion de filles est passée de 50 % à 55 %.


Evolution en % duACTION Cours précédent Dernier cours dernier cours/

cours précédent

A… 9,76 10,12

H…. 3,78 3,90

V.... 30,33 30,00

S.... 86,40 84,70

B.... 74,20 77,25


Quelle est, en pourcentage, l’évolution du nombre de filles dans ce collège pendantcette année ?

(un conseil : partez de cette hypothèse

« si le nombre initial d’élèves de ce collège était de 100, quel serait le nombre defilles ? Que deviendrait-il, compte tenu des évolutions indiquées dans l’énoncé ?… »)


1 - On paie 67 109,9 € pour un investissement de 70 642 €. Le pourcentage de remiseest de :

■ 4 % ■ 5 % ■ 5,3 % ■ 6 %

2 - Un fût de vin de 220 litres contient 28,6 litres d’alcool pur. Quel pourcentage d’al-cool pur contient ce vin ?

■ 9,4 % ■ 12 % ■ 13 % ■ 12,5 %

3 - Le prix d’un article a subi une première hausse de 8 %, puis une nouvelle haussede 12 %.

a) Aurait-on obtenu une majoration identique avec une première hausse de 12 % etune seconde hausse de 8 % ?

■ Oui ■ Non

b) Dans le cas d’une hausse de 12 %, puis de 8 %, le pourcentage de hausse globaleest de :

■ 20 % ■ 22 % ■ 21,85 % ■ 20,96 %

4 - Un artisan orfèvre estime le prix de revient du bijou qu’il a façonné à 480 €. Queldoit être son prix de vente s’il veut réaliser un bénéfice de 60 % sur son prix de revient ?

■ 540 € ■ 288 € ■ 768 € ■ 640 €

5 - Les prélèvements sociaux sont estimés à 18 % du salaire brut d’un employé. Quelsera le salaire net d’un employé dont le salaire brut est de 1 350 €?

■ 1 107 € ■ 1 332 € ■ 243 € ■ 1 593 €

6 - Le bénéfice dégagé par une entreprise représente 12 % de son chiffre d’affaires.Monsieur A et Monsieur B se répartissent le bénéfice à hauteur respectivement de



48 % et 52 %. Sachant que le chiffre d’affaires est de 2 500 000 €, quelle est la partrevenant à Monsieur B ?

■ 300 000 € ■ 1 600 000 € ■ 144 000 € ■ 156 000 €

7 - Lors de l’achat d’une maison, les frais de notaire sont estimés à 12,5 % du prixd’achat. A combien reviendra une maison dont le prix d’achat est de 130 000 € ?

■ 16 250 € ■ 146 250 € ■ 113 750 € ■ 142 500 €

8 - 10 € d’augmentation sur un article qui valait 400 € correspond à une hausse de :

■ 2,5 % ■ 3 % ■ 25 % ■ 2,44 %

9 - A la Bourse de Paris, une action cotée 300 € a subi successivement une baisse de5 % puis une hausse de 5 %. Sa nouvelle valeur est de :

■ 300 € ■ 299,25 € ■ 315 € ■ 305 €

10 - Une société fournit des repas à trois cantines scolaires. La première totalise 27 %,la seconde 38 % des repas servis ; à la troisième revient le reste, soit 1 750 repas.

Le nombre total de repas servis par cette société est de :

■ 6 125 ■ 5 000 ■ 6 500 ■ 3 500


Exercice I

En 1982 et 1999 la population de la Ville de X… par tranche d’âge s’établissait ainsi :

En 2000, la population peut être estimée, par rapport à celle de 1999, en tenantcompte des variations par tranche d’âge suivantes :


Population1999

0-19 20-39 40-59 60-74 75 et +

Ville de X… 10 200 15 726 12 062 7 211 5 125

Population1982

0-19 20-39 40-59 60-74 75 et +

Ville de X… 12 404 16 212 11 726 6 485 3 149


A partir des données ci-dessus, présentez un tableau numérique faisant apparaître :• Pour les années 1982 et 1999 : le nombre d’habitants et le pourcentage correspon-

dant pour chacune des tranches d’âge ainsi que pour la population totale.• Pour l’année 2000, l’estimation du nombre d’habitants pour chacune des tranches

d’âge ainsi que pour la population totale.• L’évolution en pourcentage de la population par tranche d’âge et de la population

totale entre 1982 et 1999.

Les pourcentages seront arrondis au dixième, les nombres d’habitants seront arron-dis à l’unité.(d’après le sujet de concours de Haute-Savoie – 2005)

Exercice II

La résidence « Les Mimosas » est constituée de 8 appartements en copropriété.

En 2005, les charges de chauffage ont été les suivantes : il y a eu approvisionnement tri-mestriel de fioul au prix moyen (hors taxes) de 39 € l’hectolitre (TVA au taux de 19,6 %).Ainsi, successivement, 18 000 ; 12 000 ; 10 000 ; 2 000 litres de fioul ont été livrés.

L’année suivante, l’approvisionnement en fioul a globalement baissé de 12% par rap-port à l’année précédente, mais le prix moyen du litre a subi une augmentation de15 % !

Déterminez le montant TTC (arrondi à l’euro près) des charges de chauffage pour lesdeux années considérées ainsi que leur évolution en pourcentage d’une année à l’autre.

Exercice III

Un cabinet d’architectes a évalué les travaux de construction d’une salle polyvalentepour la commune de X.

Terrassement et maçonnerie sont évalués à 125 280 euros. Les autres lots sont expri-més en pourcentages de l’estimation totale :– charpente, menuiserie : 38 %– plomberie, électricité : 9 %– peinture, vitrages : 9,5 %

Après consultation des devis, une entreprise « A » a été retenue. Elle présentait le devissuivant (en euros), les lots étant dans le même ordre : 123 970 – 111 080 – 28 000 – 26 950.

Il vous est demandé de déterminer pour chaque lot et pour l’ensemble :– l’estimation en euros faite par le cabinet d’architectes ;– l’écart en pourcentage de l’entreprise A par rapport à cette estimation.


0-19 20-39 40-59 60-74 75 et +

Baisse de 0,24 % Baisse de 0,43 % Hausse de 0,82 % Baisse de 0,29 % Hausse de 1,75 %


Exercice IV

Les pouvoirs publics recommandant des économies d’énergie, il a été demandé auxchefs d’établissements scolaires du département X de prendre, au début de 2005, lesdispositions nécessaires afin que la consommation maximale de fioul ne dépasse pasen 2005 les 85 % de celle de 2004

Une enquête, effectuée dans plusieurs établissements à la fin de 2005, a fourni lesrenseignements suivants pour trois des lycées concernés (consommation de fioul in-diquée en hectolitres) :

Lycée MOZART : 2004 : consommation 2 7002005 : consommation effective : 2 160

Lycée BACH : 2005 : consommation effective 3 9502005 :consommation maximale autorisée 4 080

Lycée CHOPIN : 2004 : consommation 5 5502005 : économie effective réalisée 650

A partir de ces données, déterminer, pour chacun de ces trois établissements et pourleur ensemble :• la consommation en 2004 ainsi que la consommation maximale autorisée en 2005• la consommation effective en 2005• l’économie effectivement réalisée en 2005 par rapport à 2004, en hectolitres et en

pourcentage.

Exercice V

Le département de X compte quatre villes principales A, B, C et D.

Le nombre de téléviseurs déclarés en 2003 dans ces villes était respectivement de :

123 500 ; 75 450 ; 54 500 ; 24 620

En 2004, dans le même ordre, on notait les pourcentages de variation suivants :

+ 20 % ; + 6 % ; + 8 % ; + 15 %

Pour 2005 et par rapport à l’année précédente, les augmentations (en nombre)étaient les suivantes (toujours dans le même ordre) :

+ 13 400 ; + 5 800 ; + 11 300 ; 1 410.

Les populations des villes A, B, C et D étaient en 2004 de :

348 200 ; 225 600 ; 172 000 ; 98 000 habitants.

Faites figurer dans un tableau pour chaque ville et pour l’ensemble :• le nombre de postes déclarés pour chacune des trois années considérées, ainsi que

leur évolution en pourcentage de 2005 par rapport à 2003• le nombre de téléviseurs déclarés pour 1 000 habitants en 2004 (arrondir ce résul-

tat à l’unité près par excès)




En l’absence de précision particulière, les pourcentages seront donnés au centièmeprès (= avec 2 décimales).

Exercice 1

30 % de 540 élèves apprennent l’allemand, soit :

540 × 30 % ou 540 × = 162 élèves

Exercice 2

Faisons le rapport de chaque effectif sur le total de 450.

Salariés : = 0,42 = = 42 % Agriculteurs : = 0,16 = = 16 %

(ou × 100 = 42) (ou × 100 = 16)

Professions libérales : = 0,30 Demandeurs d’emplois : = 0,12

= = 30 % = = 12 %

(ou × 100 = 30) (ou × 100 = 12)

N.B. : utilisez la fonction Vérification (facultatif !) :« diviseur constant » de votre 42 % + 16 % + 30 % + 12 % = 100 %calculatrice, si elle l’a : vous devezen effet diviser 4 fois de suitepar le même nombre 450.

Exercice 3

Pourcentages de hausse proposés :

= 0,14 = = 14 % = 0,15 = = 15 % = 0,145 = = 14,5 %

C’est donc la seconde hausse qui est la plus forte en pourcentage.N.B. : Ces % peuvent être obtenus en multipliant directement chaque rapport par 100

( × 100 = 14 etc..)

Exercice 4 (*)

Intérêts produits au bout d’un an ( €)

– Première formule :(2 000 × 9 %) + (3 000 × 11 %) = 510 €

5 640,

14 5100

,4 0628,15

1003 322,14

1005 640,

54450

135450

12100

30100

54450

135450

72450

189450

16100

72450

42100

189450

30100



– Deuxième formule :5 000 × 10 % = 500 €

C’est donc la première formule qui est la plus avantageuse.

Exercice 5

Nombre de personnes qui ont regardé la télévision :

1 200 × 72 % = 1 200 × = 864

Nombre de personnes qui ont regardé la Cinq :

864 × 25 % = 864 × = 216

Exercice 6

Montant de la remise (en euros) : 4 268 – 3 627,8 = 640,2

La remise s’exprime par rapport au prix marqué (ou prix initial) ; c’est donc par ceprix marqué que se fera la division :

Pourcentage de remise = = 0,15 = = 15 %

Exercice 7 (**)

Valeur (en €) de la voiture au terme :– de la première année : 15 600 – (30 % × 15 600) = 10 920– de la seconde année : 10 920 – (25 % × 10 920) = 8 190– de la troisième année : 8 190 – (25 % × 8 190) = 6 142,5

Exercice 8

Le nouveau loyer sera (en euros) : 540 + (6 % × 540) = 540 + ( × 540) = 572,4

(ou encore 540 × 106 % = 540 × )

La seconde augmentation est, en euros, de : 615,33 – 572,4 = 42,93

Elle s’exprime en % par rapport au loyer de 572,4, soit de :

= 0,075 = = 7,5 %

L’augmentation globale est, en euros, de : 615,33 – 540 = 75,33

En %, elle s’exprime par rapport au loyer de départ de 540 euros, soit :

= 0,1395 = = 13,95 %

Exercice 9

L’augmentation se calcule par rapport au salaire de départ ; le nouveau salaire estdonc, en euros :

13,95100

75,33540

7,5100

42,93572,4

106100

6100

15100

640,24 268

25100

72100



1 145 + (1 145 × 4 %) = 1 145 + ( × 1 145) = 1 190,8

(ou encore 1 145 × 104 %= 1 145 × )

Exercice 10 (**)

Explications :(1) : (B) en 2003 s’obtient par soustraction.(2) : Les pourcentages par rapport au total se calculent en divisant chaque nombre

par le total de l’année, puis en multipliant le résultat obtenu par 100.

Exemple pour (A) : = 38,088 ≈ 38,09

Pour (B) : = 40,762.. ≈ 40,76 etc..

(3) : Pour 2004 : partant des 128 000 qui représentent le quart du total (= 25 %), il estfacile de retrouver ce total : 128 000 × 4 = 512 000

(A) : baisse de 5 % par rapport à 2003 (donnée du texte)173 800 – (5 % × 173 800) = 165 110

(B) se déduit par soustraction.(4) : % / total en 2004 : même démarche que pour 2003 voir col. (2)(5) Evolution en % / 2003 :– on commence par mettre les signes d’évolution, « + » pour les 3 calculs.– on calcule l’écart en nombre– on divise cet écart par la valeur correspondante de 2003, puis on multiplie par 100

pour exprimer le résultat « pour 100 »

Exemple pour (B) : + = + 17,682,……≈ + 17,68

Pour l’ensemble (rappelons que ces % de variation ne s’additionnent pas) :

512 000 – 456 300 = + 55 700 + = + 12,206……≈ + 12,21

(6) : Pour 2005 : on a les pourcentages d’évolution par rapport à 2004, il suffit de les appliquer aux valeurs respectives.

Exemple : pour (B) : 218 890 + (20 % × 218 890) = 262 668Pour (C) : 128 000 – (15 % × 128 000) = 108 800

55 700 100456 300

×

32 890 100186 000

×

186 000 100×456 300

173 800 100×456 300

104100

4100


ARTICLES

2003 2004 2005

nombre %/total nombre %/total Evolution nombre Evolution %/2003 %/2004

A 173 800 38,09 165 110 32,25 – 5,00 189 720 + 14,91

B 186 000 40,76 218 890 42,75 + 17,68 262 668 + 20,00

C 96 500 21,15 128 000 25,00 + 32,64 108 800 – 15,00

TOTAL 456 300 100,00 512 000 100,00 + 12,21 561 188 + 9,61

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)


(7) : % d’évolution 2005 / 2004– on commence par mettre les signes d’évolution, « + » dans les 2 cas.– on calcule l’écart en nombre– on divise cet écart par la valeur correspondante de 2004, puis on multiplie par 100

pour exprimer le résultat « pour 100 »

Exemple pour (A) : = + 14,905…≈ + 14,91

Pour l’ensemble (rappelons que ces % de variation ne s’additionnent pas) :

561 188 – 512 000 = + 49 188 = + 9,607…≈ + 9,61

Exercice 11

Pour chaque ligne : – commencer par mettre le signe d’évolution (on considère le dernier cours par rap-

port au cours précédent ). – calculer l’écart en valeur.– diviser cet écart en valeur par le cours précédent de l’action considérée, puis expri-

mer le tout « pour 100 » en multipliant par 100

Exemple pour l’action « A » : = + 3,688 ≈ + 3,69 etc..

Exercice 12

L’écart de 918 euros correspond à un écart de (23, 5 % – 18,4 %) du devis total, soit à5,1 % du devis total. Retrouvons le devis total par « règle de trois » (on connaît la va-leur de 5,1 %, cherchons la valeur de 100 %)

918 5,1(%)

X= = 18 000

X 100 (%)

(ou encore sur votre calculatrice : X = 918 � 5,1 %)

Le devis total est donc de 18 000 euros, se répartissant ainsi (en euros) :

– plomberie-chauffage : 18 000 × 29,5 % = 18 000 × = 5 31029 5,100

918 1005,1×

+ ×0 36 100,9,76

+ ×49188 100512 000

+ ×24 610 100165110


Evolution en %ACTION Cours précédent Dernier cours du dernier cours/

cours précédent

A… 9,76 10,12 + 3,69

H…. 3,78 3,90 + 3,17

V.... 30,33 30,00 – 1,09

S.... 86,40 84,70 – 1,97

B.... 74,20 77,25 + 4,11


77

– sonorisation : 18 000 × 23,5 % = 18 000 × = 4 230

– peinture-carrelage : 18 000 × 28,6 % = 18 000 × = 5 148

– isolation : 18 000 × 18,4 % = 18 000 × = 3 312

Exercice 13

Prix payé (€) :– pour le canapé : 2 850 – (20 % × 2 850) = 2 280– pour la table basse : 560 – (15 % × 560) = 476

Prix total payé ( €) : 2 280 + 476 = 2 756

Prix normal (sans réduction) : 2 850 + 560 = 3 410

Réduction totale accordée ( €) : 3 410 – 2 756 = 654

En % / prix normal : = 19,178… ≈ 19,18

Une réduction globale de 19,18 % a été accordée.

Exercice 14

– prix du jeu en décembre (en euros) : 54 +(20 % × 54) = 64,8

– prix du jeu au 15 février suivant (en euros) : 64,8 – (20 % × 64,8) = 51,84

– écart de prix (en euros) : 54 – 51,84 = 2,16 donc – 2,16 (puisqu’il y a baisse)

– % de baisse (par rapport au prix initial) : – = – 0,04 = – = – 4 %

Juliette a raison ; en fait, le prix a baissé de 4 %.

Exercice 15 (***)

Si l’effectif total de l’établissement était au départ de 100 : il y aurait donc eu 50filles et 50 garçons (la proportion de filles était de 50 « pour 100 »).

On a enregistré une baisse globale de 10 % en 1 an : de 100, on serait donc passé à90 (au total).

Sur ces 90 élèves, 55 % sont des filles : 90 × 55 % = 49,5

De 50, on baisse à 49,5 : % d’évolution de l’effectif « filles » :

= – 1 %

(il e st évident que ce calcul e st purement théorique, on n ’aurait pas un nombredécimal d ’élèves… ; m ais l a d émarche e st c orrecte : partir d e 100 facilite l e ra i-sonnement).

− ×0 5 100,50

4100

2,1654

654 100×3 410

18 4,100

28 6,100

23 5,100

Pourcentages (I) - Calculer un pourcentage d’une grandeur - Pourcentages de variation



3 - Corrigés des extraits de tableaux numériques

Exercice I

Pour 1982 et 1999, les populations par tranche d’âge sont données : il suffit de lessaisir dans les 2 tableaux fournis dans l’énoncé.

– Répartition en % / total :

C’est donc par le total de l’année concernée que sera divisé chaque nombre ; le ré-sultat sera multiplié par 100 pour l’exprimer « pour 100 ».

N.B. Les pourcentages sont demandés au dixième près (avec 1 décimale)

Exemple pour 1982 :

Le total de 1982 est de 49 976

Les « 0-19 ans » représentent 12 404 personnes, soit, en %/ total :

= 24,819…≈ 24,8

Les « 20-39 ans » représentent 16 212 personnes, soit, en %/total :

= 32,439…≈ 32,4 etc…

– Pour la population 2000 :

Ayant la population 1999, il suffit d’appliquer à chaque tranche d’âge le pourcentagede hausse ou de baisse (en + ou en –) indiqué dans le troisième tableau.

Exemple : pour les « 0-19 ans » :

En 1999 : 10 200 ; pour 2000 : on prévoit une baisse de 0,24 % par rapport à 1999.Effectif de 2000 : 10 200 – (0,24 % × 10 200) = 10 175,5 ≈ 10 176 (à l’unité près)

16 212 100×49 976

12 404 100×49 976


1 - 5 % 6 - 156 000 €

2 - 13 % 7 - 146 250 €

3 - a) oui b) 20,96 % 8 - 2,5 %

4 - 768 € 9 - 299,25 €

5 - 1107 € 10 - 5 000


– L’évolution en % entre 1982 et 1999 : traduisez toujours 1999 / 1982.

Démarche simple :– mettre le signe d’évolution (en + ou en –)– calculer l’écart en nombre– diviser cet écart par la valeur correspondante de 1982, puis multiplier par 100.

Exemple pour la tranche des « 0-19 ans » :on est passé de 12 404 à 10 200, soit une baisse de 2 204. En % :

= – 17,768…≈ – 17,8

et, pour le total : = + 0,69…≈ + 0,7

D’où le corrigé suivant :(que nous proposons sous forme de tableau, c’est un entraînement supplémentaire.Ce n’est à ce stade pas une obligation..)

Exercice II

Rappel : 1 hectolitre = 100 litres(N.B. : les sites officiels fournissent les prix du fioul domestique en € / hl)

1ère année :

Quantité de fioul (en litres) :18 000 + 12 000 + 10 000 + 2 000 = 42 000 litres = 420 hlMontant HT de cet approvisionnement (en €) = 39 × 420 = 16 380Montant TTC de cet approvisionnement = Montant HT + TVAMontant TTC (en €) = 16 380 + (19,6 % × 16 380) = 19 590,48 soit, à l’euro près,19 590 €

2ème année :

Quantité de fioul (en hectolitres) = 420 – (12 % × 420) = 369,6 hl

Prix de l’hl (en €): 39 + (15 % × 39) = 44,85

+ ×348 10097649

− ×2 204 10012 404


Tranches1982 1999 2000

d’âge population % / total population %/total Evolution Population% / 1982 (estimation)

0-19 12 404 24,8 10 200 20,3 – 17,8 10 176

20-39 16 212 32,4 15 726 31,2 – 3,0 15 658

40-59 11 726 23,5 12 062 24,0 + 2,9 12 161

60-74 6 485 13,0 7 211 14,3 + 11,2 7 190

75 et + 3 149 6,3 5 125 10,2 + 62,8 5 215

TOTAL 49 976 100,0 50 324 100,0 + 0,7 50 400


Montant HT de cet approvisionnement (en €) = 44,85 × 369,6 = 16 576,56

Montant TTC = 16 576,56 + (19,6 % × 16 576,56) = 19 825,56 soit, à l’euro près,19 826 €

Evolution de ces montants en % de la 2 ème année / 1ère année :• il y a hausse : l’écart sera donc affecté du signe « + »• écart en € = 19 826 – 19 590 = 236 ; la variation est donc de + 236• évolution en % :– l’écart en valeur sera divisé par la valeur de la 1 ère année, puisque c’est par rapport

à cette 1ère année que s’évalue cette variation.

D’où la variation en % :

= + 1,204…≈ + 1,20

Exercice III

Estimation :Notez que la seule donnée financière (en euros) concerne le lot « Terrassement etmaçonnerie ». Il faut donc partir de ce lot pour retrouver le montant total de l’esti-mation, soit les 100 %. Les autres lots s’évalueront en appliquant les différents pourcentages à ce montanttotal.

Les trois autres lots représentent : (38 % + 9 % + 9,5 %) de l’estimation totale =56,5 % du total

Le lot « Terrassement-maçonnerie » représente donc le complément à 100 %, soit

100 % – 56,5 % = 43,5 % du total = 125 280 €.

Résolution par règle de trois : 125 280 43,5 (%) (ou 125 280 � 43,5 %)

Total ? 100 (%)

D’où : Total de l’estimation : = 288 000 €

ATTENTION !

Les corrigés qui suivent présentent les calculs dans des tableaux par commodité ;rappelons que dans l’épreuve de tableau numérique, les calculs ne doivent pasapparaître dans le tableau. Rappelons également que, dans un tableau numérique, le signe « % » doit figurerdans le titre de la colonne, mais pas à côté des données numériques.

125 280 10043,5

×

+ ×236 10019 590



Exercice IV

Avant d’aborder les calculs, il importe de bien comprendre les données du problème.Faisons la part– de ce qui est effectif , à savoir :• la consommation en 2004 et en 2005 ;• l’économie réalisée (différence entre les consommations des deux années)– de ce qui est une recommandation (« ne pas dépasser, en 2005, 85 % de la consom-

mation 2004 »).

Autrement dit, l’économie doit être au minimum de 15 % par rapport à 2004.

Les calculs sont explicités dans le tableau de correction :


Lots Estimation Devis A Ecart en %(en €) (en €) Devis A/ estimation

Terrassement- 125 280 123 970 =maçonnerie

– 0,0105 = – 1,05 %

Charpente, 38 % × 288 000 = 109 440 111 080 =menuiserie

+ 0,0150 = + 1,50 %

Plomberie, 9 % × 288 000 = 25 920 28 000 = + 0,0802électricité

= + 8,02 %

Peintures, 9,5 % × 288 000 = 27 360 26 950 =vitrages

– 0,0150 = – 1,50 %

TOTAL 288 000 290 000 =

+ 0,0069 = + 0,69 %

+ 0002

288 000

– 410

27 360

+ 0802

25 920

+ 16 0

109 4 0

4

4

– 1310

125 280

20042005 Economie réalisée 2005 / 2004

Lycées réel Maximum réel en hl en %autorisé

Mozart 2 700 2 700 × 85 % 2 160 2 700 – 2 160

= 2 295 = 540 = 20,00

Bach 4 800* 4 080 3 950 4 800 – 3 950

= 850 = 17,71

Chopin 5 550 5 550 × 85 % 5 550 – 650 = 650

= 4 717,5 4 900 = 11,71

Total 13 050 11 092,5 11 010 2 040

= 15,63

2 100

1

040

3 050

×

650

550

× 100

5

850

800

× 100

4

5 100

2 7

40

00

×

* Détail du calcul de la consommation du lycée Bach en 2004 : 4 080 = 85 % de 2004 (selon l’énoncé) ; d’où

la consommation 2004 (= 100 %) : × 100 (ou 4 080 ÷ 85 %) = 4 8004 080

85



Exercice V

Commentaires :

– Les valeurs 2004 s’obtiennent en ajoutant « x % » aux valeurs données de 2003. Exemple pour A : 123 500 + (20 % × 123 500) = 123 500 + 24 700 = 148 200 (sur votrecalculatrice : 123 500 + 20 % = ).

– Pour 2005, il suffit d’additionner les valeurs indiquées en augmentation.

– Le pourcentage de variation 2005 / 2003 se calcule (méthode la plus sûre) :

Exemple pour le total (qui, rappelons-le, n’est en rien l’addition des différents pour-centages obtenus plus haut...) :347 260 – 278 070 = 69 190 = augmentation en nombre.

Augmentation en % :

= 24,88

– Nombre de téléviseurs pour 1 000 habitants :On divise le nombre de téléviseurs par la population respective de chaque ville pourobtenir le nombre de téléviseurs par habitant ; on multiplie ce résultat par 1 000 pourl’avoir « pour 1 000 habitants »).

N.B. : Arrondi à l’unité près par excès : nombre entier systématiquement supérieurquelle que soit la décimale qui suit (sauf si, bien sûr, le résultat est lui-même entier)

69 190 100278 070

×

évolution ennombrevaleur de

×1002003

VilleTéléviseurs déclarés en Augmentation 2004 *

2003 2004 20052005/2003 téléviseurs /

(%) 1 000 habitants

A 123 500 148 200 161 600

= 30,85 ≈ 426

B 75 450 79 977 85 777

= 13,69 ≈ 355

C 54 500 58 860 70 160

= 28,73 ≈ 343

D 24 620 28 313 29 723

= 20,73 ≈ 289Total 278 070 315 350 347 260

= 24,88 ≈ 374 **

315 350843 800

1000×69 190278 070

× 100

28 31398 000

1000×5 103

24 620× 100

58 860172 000

1000×15 660

54 500× 100

79 977225 600

1000×10 327

75 450× 100

148 200348 200

1000×38 100

123 500× 100

* Résultats arrondis à l’unité près par excès** Attention ! pour le total, pas d’addition des résultats trouvés pour chaque ville ; le seul calcul pos-sible est de diviser le nombre total de téléviseurs par la population totale (à calculer) et de multiplierpar 1 000 (comme on l’a fait pour chaque ville)


Pourcentages (II)Retrouver les 100 % à partir

d’un pourcentage connu Indices de variation

Chapitre 5



On trouvera également la dénomination de « pourcentages indirects » pour désignerce point de programme un peu « ardu » qui consiste à :

• retrouver la valeur de référence (= les 100 %) connaissant par exemple la valeur fi-nale après augmentation ou diminution de X % ;

• retrouver le prix hors taxes (= les 100 %) à partir du prix toutes taxes comprises,connaissant le taux de TVA, etc., (pour ne citer que quelques exemples).

Quelques conseils d’ordre général :

• dès qu’il est question de pourcentage, se poser toujours la question : « %... dequoi ? » ; la réponse à cette question donne la valeur des 100 %.

• partir de l’écriture de base établissant la relation entre les différents élémentsconcernés (même si cette relation paraît évidente !).

exemple Prix payé = prix marqué – remise

ou encore : Prix TTC = Prix HT + TVA

Prix de revient = Prix d’achat + frais...

Nouveau salaire = ancien salaire + augmentation

On introduit alors les données connues et la résolution du problème est ainsi acces-sible.

Ce chapitre, plus que les autres, sera traité à partir d’exemples concrets (dans la par-tie « Applications résolues ») qui en faciliteront la compréhension.

Les indices de variation sont des nombres qui permettent d’exprimer les variationsd’une grandeur par rapport à une valeur de référence définie comme la base 100.

Les indices et les valeurs qu’ils représentent sont proportionnels.

D’une manière générale, l’indice correspondant à une grandeur N se calcule ainsi :

Indice (N) = × grandeur (N)

Remarque :

La lecture de l’indice permet à elle seule d’exprimer l’évolution en pourcentage de lagrandeur représentée par rapport à la valeur de référence (= base 100).

Selon que l’indice est supérieur ou inférieur à 100, on en déduit que la valeur cor-respondante est supérieure ou inférieure à la base 100.

100valeur correspondant à l'indice 100




1 - On connaît l’évolution en nombre et enpourcentage

Exemple


« une progression de 9 % » 9 % de la production initiale.9 % de quoi ?

Déduction :

La production de 2000, production initiale, est la valeur de référence :100 %

Résolution :

si X est la production 2000, alors : 1 530 = 9 % de X

On connaît la valeur de 9 % de X,cherchons la valeur de 100 % de X 1 530 9 (%)par règle de trois (application du produit en croix). X ? 100 (%)

d’où X = = 17 000

La production 2000 est donc de 17 000 tonnes.

2 - On connaît la valeur finale

Exemple

Vous bénéficiez d’une augmentation de salaire de 5 %. Votre nouveau salaire (va-leur finale) est de 1 360,8 €. Quel était votre salaire initial ?

1530 1009×

Entre 2000 et 2001, la production d’une usine a augmenté de 1 530 tonnes, soitune progression de 9 %. Quelle était la production de 2000 ?

85Pourcentages (II) - Retrouver les 100 % à partir d’un pourcentage connu - Indices de variation



« augmentation de 5 % » 5 % de quoi ? 5 % du salaire initial

Déduction :

Le salaire initial est donc la valeur deréférence = 100 %.

Résolution :

Écrire la relation de base , en l’occurrence : Nouveau salaire = salaireinitial + augmentationNouveau salaire = (100 % + 5 %) du salaire initial1 360,8 € = 105 % du salaire initial

Résolution par « règle de trois » Si « X » est la valeur recherchée, à(application du « produit en croix ») : savoir le salaire initial :

1 360,8 105

X 100

d’où :

Le salaire initial était donc de 1 296 €. = 1 296

Exemple 2


« déduction de 18 % »18 % de quoi ? 18 % du salaire Brut.(c’est dit expressément ici !)

Déduction :

La valeur de référence = le salaire brut= 100 %

Résolution :

Écrire la relation de base , Salaire Net= salaire Brut – déductionen l’occurrence : des charges sociales

= (100 % – 18 %) du salaire brut1 680 € = 82 % du salaire brut

Votre salaire net, après déduction des charges sociales évaluées à 18 % du brut, semonte à 1 680 €. Quel est votre salaire brut ?

1360,8 100105

×



Résolution finale par « règle de trois » Si « X » est la valeur recherchée,(application du « produit en croix ») : à savoir le salaire brut :

1 680 82 (%)

d’où :

X 100 (%)

X = = 2 048,78

Le salaire brut est donc de 2 048,78 €.


Si vous maîtrisez bien le raisonnement utilisé dans ce type d’exercices, vous pouveztaper directement sur votre calculatrice :• dans l’exemple 1 : 1 360,8 � 105 % = 1 296

(le résultat apparaît directement)• dans l’exemple 2 : 1 680 � 82 % = 2 048,78

3 - Les indices de variations

Exemple


La base 100 est connue Il y a proportionnalité entre les indices(chiffre d’affaires 2002), il s’agit et les valeurs qu’ils représententd’exprimer différentes valeurs sousforme d’indices.

Résolution :

• 1re méthode : Indice 100 144Le problème peut donc se traiterpar règle de trois : Indice (2003)? 160

Le chiffre d’affaires d’une société a évolué comme suit :2002 : 144 M €

2003 : 160 M €

2004 : 172 M €

En prenant comme base 100 (= valeur de référence, choisie arbitrairement ; ce choixvous sera toujours précisé, le cas échéant) le chiffre d’affaires 2002, définissez les in-dices correspondant à 2003 et 2004 (les indices seront arrondis à l’unité près)

1680 10082

×



On procèdera de la même d’où :

façon pour 2004. Indice (2003) = = 111

• 2e méthode :

Vous pouvez également appliquer la Indice (2003) = = 111formule (facile à mémoriser !) :

Indice (N) = (160 = chiffre d’affaires 2003)

de même pour 2004:

Indice (2004)= = 119

(172 = chiffre d’affaires 2004)

L’indice du chiffre d’affaires 2003 donc de 111, celui de 2004 est de 119.


• S’il y a, comme ici, plusieurs indices à calculer, vous pouvez remarquer que le calcul

est répétitif; n’hésitez pas à commencer par calculer ce quotient et à leconserver comme multiplicateur constant. Vous gagnerez un temps certain et

éviterez des erreurs de frappe !

• Observez que la seule lecture de ces indices vous indique que l’évolution des chiffresd’affaires 2003 et 2004 a été respectivement de + 11% et + 19% par rapport à lavaleur de référence, le chiffre d’affaires 2002.

Exemple 2 :


On connaît un indice et la valeur Si X est la valeur correspondant àqu’il représente ; il s’agit de retrouver l’indice 100 (donc ce que nousla valeur correspondant à l’indice 100 recherchons), il y a donc(= base 100). proportionnalité entre les indices et

les valeurs qu’ils représentent.

Résolution :

Ecrivons les égalités de rapports : =

X = = 618,84854 100138

×

854138

X100

Un loyer de 854 € est à l’indice 138. Quelle valeur a été prise comme base 100 ?

100

144

100 172144

×

100

valeur correspondantà l'indice 100

valeur (N)×

100 160144

×

100 160144

×



Ou par simple règle de trois : 854 138d’où :

X ? 100

X = = 618,84

Le loyer pris comme référence est donc de 618,84 €.

Exemple 3


L’indice ayant varié, il s’agit de retrouver Il y a donc proportionnalité entre lesla valeur correspondant indices et les valeurs qu’ilsau nouvel indice. représentent.

Résolution :

• 1re méthode :Ainsi, si X est la valeur recherchée = d’où X = = 675correspondant à l’indice 140 :

• 2e méthode : 540 112Ou par règle de trois(application du « produit en croix ») : X ? 140

d’où X = = 675

(N.B. Il n’est pas nécessaire de repasser par la base 100.)

La pension correspondant à l’indice 140 sera donc de 675 €.

Exemple 4

En 1990, année de référence considérée comme base 100, le déficit de l’économieaméricaine atteignait 220 milliards de $. En 1991, ce déficit s’exprimait par l’indice122, en 1992 par l’indice 151. Calculer le montant du déficit américain en 1991 eten 1992.

540 140112

×

540 140112

×540112

X140

Une personne touche une pension de 540 € à l’indice 112. Combien percevra-t-elleà l’indice 140 ?

854 100138

×




Connaissant l’indice de (N) et la base Les indices (122 et 151) sont100 (valeur de référence), retrouver proportionnels aux valeurs qu’ilsla grandeur (N). représentent (déficit 1991 et 1992)

Résolution :

• 1re méthode : On écrit la proportionnalité (la valeur recherchée =étant la « 4e proportionnelle »)

Si X est la valeur du déficit 1991 : d’où : X = = 268,4

De même, si Y est la valeur du déficit 1992 : =

d’où Y = = 332,2

• 2e méthode (plus simple !) :On interprète les indices des déficits 1991 et 1992 : Indice 122 : il y a donc une

augmentation de 22 % par rapport àla valeur de référence de 220.

Indice 151 : il y a donc une augmentation de 51 % par rapport àla valeur de référence de 220.

Déficit 1991 = 220 + (22 % × 220)

= 122 % × 220 = 268,4

Déficit 1992 = 220 + (51 % × 220)

= 151 % × 220 = 332,2

Le déficit de 1991 était donc de 268,4 milliards de $, celui de 1992 était de 332,2 milliards de $.

220 151100

×

220100

Y151

220 122100

×

220100

X122



À vous de jouer !


Exercice N° 1 (*)

Le chiffre d’affaires d’une entreprise a été en 2006 de 20 milliards d’ €. Cela corres-pond environ à 10 % du budget d’un pays industrialisé.

Quel est le montant du budget de ce pays exprimé en millions d’ € ?

Exercice N° 2 (**)

Un magasin fait une remise de 15 % sur tous ses articles.

a) Calculer le nouveau prix d’un article qui valait 40 €.

b) Quel était le prix initial d’un article qui vaut maintenant 25,5 € ?

Exercice N° 3 (**)

En 2007, la production d’une usine a dépassé de 15 000 t la production 2006 soit uneprogression de 12 % par rapport à 2006.

Quelle était cette production 2006 ?

Exercice N° 4 (*)

La collecte laitière de 2006 a diminué de 4,3% par rapport à la même période de l’an-née précédente. Ce déficit est de 441 000 tonnes.

Déterminer en milliers de tonnes le niveau de la collecte pour la période 2005.

Exercice N° 5 (**)

Un trajet SNCF coûte 56 € à une personne qui bénéficie d’une réduction famille nom-breuse de 30 %.

Quel est le coût de ce trajet plein tarif ?



Exercice N° 6 (**)

Le 1er octobre 1993, le débit de la Durance était de X m3 par seconde. Après une se-maine de pluie, ce débit augmentait de 30 %.a) Sachant que le débit était alors de 143 m 3 par seconde, calculer le débit initial X.b) Une semaine après, le débit baissait de 30 %. Calculer ce dernier débit.

Exercice N° 7 (**)

Une voiture est vendue 11 434 € TTC.

Combien la paiera M. Durand, sachant qu’il l’achètera détaxée (TVA : 19,6 %) ?

Exercice N° 8 (**)

Les droits de douane représentent 12 % du prix d’achat d’un objet.

Quel est le montant de ces droits, sachant que le prix payé (droits de douane inclus)est de 1 778 € ?


Un propriétaire a augmenté le loyer de 6% la première année et de 9% la deuxième.

Calculer l’augmentation globale de ce loyer en pourcentage sur ces 2 ans.

Quel était ce loyer avant ces deux augmentations s’il atteint à présent 751,01 €.


Un loyer est de 690 euros à l’indice 1 006.

Quel est le montant de ce loyer à l’indice 1 040 ?


Une personne achète des actions en Bourse. La première année, ses actions subissentune baisse de 5 % avant de gagner 8 % la seconde année. Au terme de la secondeannée, ces actions valent désormais 6 566,4 €.

Quelle était la valeur d’achat de ces actions ?


La région X... est formée de quatre départements A, B, C et D. De 1990 à 2000, la po-pulation de cette région a évolué comme l’indique ce tableau :



a) Exprimer la population de chaque département en pourcentage par rapport au to-tal de la région pour chacune des deux années considérées.

b) Exprimer l’évolution en pourcentage de cette population de 2000 par rapport à1990, pour chaque département et pour l’ensemble de la région.

c) Exprimer la population de chaque département en 2000 sous forme d’indice , enprenant comme base 100 la moyenne départementale de la population en 1990 (ar-rondir les indices à l’unité près.)


Compléter ce tableau, sachant que :– la rémunération des salariés concernés est proportionnelle à leur indice respectif ;– les retenues au titre des charges sociales représentent 18 % de la rémunération

brute ;– les primes octroyées sont estimées à 4 % de la rémunération brute.

(Arrondir les indices à l’unité près, les autres données au centième près.)


Le Club de loisirs de la commune de X. décide de construire un local pour accueillirles activités des jeunes. L’investissement s’articule autour de trois postes : l’achat duterrain, la construction et le matériel.

Après consultation de plusieurs devis, il opte pour la société Bricofuté qui proposel’acquisition d’un terrain pour un prix de 12 140 € représentant 16 % du total de sondevis. La construction est évaluée à 60 % du reste.

Etablir le devis détaillé de la société Bricofuté.


Départements 1990 2000

A 287 580 328 600B 542 750 518 000C 371 920 398 750D 845 370 792 600

Total Région 2 047 620 2 037 950

Indice de rémunération 425,00

Rémunération brute ( €) 1 325,50 1 347,33

Retenues ( €) 238,59 261,00

Primes ( €) 53,02

Rémunération nette ( €) 1 032,00



Une société de vente par correspondance analyse l’évolution de certains de ses prix« catalogue » sur une période de trois ans. Voici un extrait de cette analyse (les don-nées sont exprimées en euros) :

a) En prenant comme base 100 l’année 1, quel est l’indice des prix de chaque articlepour les années 2 et 3 ?

b) En gardant l’année 1 comme année de référence (base 100), établir les prix « ca-talogue » pour l’année 4 des articles A, B et C, sachant que leur indice de prix est fixérespectivement à 112, 105 et 118.

(Arrondir les indices à l’unité près, les montants en € au centième près.)


1 - Après une augmentation de 5 %, un prix vaut désormais 18,9 €. Son prix initialétait de :

■ 17,96 € ■ 18 € ■ 19,85 € ■ 18,4 €

2 - Une production agricole a augmenté de 2 500 tonnes de 1999 à 2000, ce qui re-présente une progression de 20 %. La production de 1999 était de :

■ 5 000 t ■ 12 000 t ■ 12 500 t ■ 15 500 t

3 - L’indice de prix d’un produit industriel est passé de 138 à 158,7. Son pourcentaged’augmentation est de :

■ 15 % ■ 20,7 % ■ 20 % ■ 18 %

4 - Une municipalité bénéficie d’un rabais de 8 % sur le devis établi pour la construc-tion d’une salle de conférence. Elle paie de ce fait 20 125 €.

Le devis initial était de :

■ 21 735 € ■ 21 875 € ■ 18 515 € ■ 28 125 €


Article Année 1 Année 2 Année 3

A 86,75 89,25 92,55B 19,60 15,75 16,85C 24,00 27,80 28,05


5 - En période de soldes, vous bénéficiez d’une remise de 15 % sur un chemisier.

Vous le payez 42,5 €. Son prix marqué était de :

■ 57,5 € ■ 48,88 € ■ 50 € ■ 42,65 €

6 - Un vêtement de cuir dont le prix initial est de 305€ subit une première démarquede 20 % puis une seconde, un mois plus tard, de 25 %. Après cette deuxième dé-marque, le prix du vêtement est de :

■ 183 € ■ 167,75 € ■ 219 € ■ 260 €

7 - A la suite d’une augmentation de salaire de 3 %, un salarié perçoit 45 € de plusqu’auparavant. Quel était son salaire initial ?

■ 4 635 € ■ 1 545 € ■ 1 500 € ■ 1 350 €

8 - Dans un magasin, le prix affiché sur une armoire est 914 €. Après remise, l’ar-moire est vendue 749,48 €. Le pourcentage de la réduction accordée est de :

■ 21,95 % ■ 17,50 % ■ 20 % ■ 18 %

9 - Le loyer d’un appartement subit une augmentation de 4 %. Il était de 518,50 €.Quel est le loyer actuel ?

■ 514,50 € ■ 497,76 € ■ 539,24 € ■ 414,80 €

10 - Dans un collège, il y a 10 classes de sixième, 9 classes de cinquième, 8 classes dequatrième et 9 classes de troisième. Quel pourcentage de l’ensemble du collège re-présentent les classes de cinquième ?

■ 25 % ■ 45 % ■ 27 % ■ 22 %


Exercice I

Les recensements de la population de 1980 et de 2000 ont fourni les renseignementsci-après pour la région X. Ces données concernaient l’activité professionnelle desfemmes des 3 tranches d’âges suivantes : 25 à 34 ans ; 35 à 49 ans et 50 à 60 ans.

En 1980 :– 1ère tranche : 141 510 femmes actives sur un total de 213 995– 2ème tranche : pour un total de 294 940 femmes, le taux d’activité est de 62,28 %



– 3ème tranche : le nombre de femmes actives correspond à 60 % du nombre total defemmes de cette tranche d’âge qui s’élève à 150 702.

en 2000 :

– 1ère tranche : le nombre de femmes actives a augmenté de 21 514 alors que lenombre total de femmes de cette tranche a diminué de 1,7 %

– 2ème tranche : le nombre de femmes actives est de 154 908 et le nombre total defemmes de cette tranche représente 96 % du nombre total des femmes de latranche précédente.

– 3ème tranche : le nombre total de femmes de cette tranche représente 12,5 % dunombre de personnes du sexe féminin vivant dans la région X cette année-là, soit1 168 480. De plus la proportion de femmes actives dans cette tranche n’a pas variépar rapport à 1980.

Déterminer pour chaque tranche d’âge et pour l’ensemble le nombre total defemmes, le nombre de femmes actives pour les deux années considérées ainsi que lavariation en % du nombre de femmes actives entre 1980 et 2000

– les effectifs en personnes seront arrondis à l’unité près

– les % seront arrondis au dixième près

(d’après le concours du CDG71 session 2006)

Exercice II

L’entreprise Prefer, spécialisée dans le négoce des métaux, dispose de trois chantierssitués à Marseille, à Nantes et en région parisienne.

En 2006, le chantier de Marseille a traité 7 224 tonnes, celui de Nantes 8 321 tonnes,soit 5 125 tonnes de moins que celui de la région parisienne.

Par rapport à 2005, ces tonnages traités étaient en augmentation respectivement de12 % pour Marseille, de 6 % pour Nantes et de 8 % pour la région parisienne.

En 2007, l’activité de la société se ralentit un peu avec, par rapport à 2006 une baissede tonnage de 8 % pour le chantier de la région parisienne et de 5 % pour celui deMarseille. Le chantier de Nantes arrivait à se maintenir avec une progression de 2,5%par rapport à l’année précédente.

Déterminer pour chaque chantier et pour l’ensemble, les tonnages traités en 2005,2006, 2007 ainsi que l’évolution en pourcentage entre 2005 et 2007.

(les tonnages seront arrondis à l’unité près, les pourcentages au centième près)

Exercice III

Le C.C.A.S de la commune de X. dispose d’un budget qui varie selon les années et lesbesoins.

En 2005 on a établi que :– le service des aides ménagères, avec 114 300 euros, utilisait 45 % du budget total ;



– les secours en nature représentaient 1/8 du budget total ;– les soins à domicile 30 % de ce même budget total ;– les foyers d’accueil recevaient une subvention correspondant au reste du budget total

En 2006, ces quatre postes ont été augmentés respectivement de 5 %, de 10 %, de8 % et de 6 %.

Pour 2007, la répartition budgétaire était donnée sous forme d’indices :– service des aides ménagères : 112– secours en nature : 140– soins à domicile : 120– foyers d’accueil : 116

La base 100 correspondant à la valeur respective de la subvention allouée à chaqueservice en 2005.

Evaluer, pour chaque service et pour l’ensemble du C.C.A.S, les montants des budgetsaccordés en 2005, 2006 et 2007 (en euros) ainsi que l’évolution en pourcentage dubudget du CCAS de 2007 par rapport à 2006.

Exercice IV

La société Gourmet assure la fourniture de repas à trois entreprises de la commune dePigne.

En 2005, elle a ainsi préparé 12 000 repas pour la société A, 7 500 pour la société B, et6 000 pour la société C.

En 2006, année difficile, le nombre de repas servis aux sociétés A, B et C a chuté res-pectivement de 6 %, de 8 % et de 4 %.

En 2007, la reprise s’annonçait, et une petite progression de 2,5 % pour la société A,de 5 % pour B et de 5 % pour C était enregistrée par rapport à 2006 au niveau dunombre de repas servis.

Le prix du repas quant à lui passait de 4,50 € en 2005 à 4,80 € en 2007.

Indiquez pour chacune des sociétés A, B et C et pour l’ensemble, le nombre de repasservis en 2007 ainsi que l’indice de la recette réalisée en 2007 en prenant comme base100 la recette correspondante de 2005 (les indices seront donnés à l’unité près)

Exercice V

Dans la ville de X…, on a relevé le nombre de photocopies produites par les diffé-rentes catégories de services de la municipalité ;

Au cours de l’année 2005, le total de 28 425 se répartissait ainsi :– services administratifs : 3 300– services techniques : 5 970– le service « loisirs et culture » en a produit le double de la dernière catégorie classée

« autres services »



Suite à des incitations aux économies, le total de photocopies effectuées en 2006 alégèrement baissé pour n’atteindre plus que 27 298, mais les restrictions n’ont pas étégénérales.

La production des services techniques a chuté d’un sixième par rapport à 2005, tandisque le service « loisirs et culture » accusait une augmentation de 20 % ; les servicesadministratifs quant à eux réalisaient une économie de 168 copies.

Représenter pour chacun des quatre services et pour l’ensemble :– pour 2005, le nombre total de copies ainsi que le pourcentage qu’il représente par

rapport au total de l’année ;– pour 2006, l’indice que représente le nombre de photocopies produites en prenant

comme base 100 le niveau respectif atteint en 2005



A partir de là, nous pouvons répondre aux deux questions :

a) Nouveau prix d’un article valant 40 €

40 × 85 % = 40 × = 34 (ou encore sur votre calculatrice : 40 – 15 % = 34)

Le nouveau prix est de 34 €.

b) Si le nouveau prix est de 25,5 €, l’ancien sera donc de :

25,5 � 85 % = = 30

L’ancien prix était de 30 €.

Exercice 3

Entre 2006 et 2007 l’évolution est exprimée en % et en tonnes d’où le tableau sui-vant :

25,5 10085×

85100


Exercice 1

Si X est le budget du pays, soit la valeur cherchée, on peut écrire :

20 milliards d’€ = 10 % de X d’où

X = = 200 milliards d’€ soit 200 000 millions d’€

Exercice 2

La remise s’exprime par 15 % du prix initial (ou ancien prix).

Partons de l’« égalité de base » :

20 10010×


Ancien prix – remise = nouveau prix

(100 % – 15 %) de l’ancien prix = nouveau prix85 % de l’ancien prix = nouveau prix

2006 évolution 2007

en % 100 % + 12 % 112 %

en tonnes X 15 000


les 100 % de la production 2006 se calculent avec le « produit en croix »

X = = 125 000 tonnes

(la production 2007 soit 140 000 tonnes pourrait aussi être trouvée avec le mêmeprincipe ou bien : 125 000 + 15 000 = 140 000)

Exercice 4

Il y a un déficit de 441 000 tonnes soit une baisse de 4,3% de 2006 par rapport à 2005.C’est donc la production 2005 (X) qui représente les 100 %

D’où: X = = 10 255 814 tonnes soit 10 256 milliers de tonnes

Exercice 5

La réduction s’exprime par rapport au plein tarif (= 100 % de lui-même). Partons del’égalité de base : plein tarif – réduction = tarif payé

(100 % – 30 %) du plein tarif = tarif payé

70 % du plein tarif = 56 €

D’où le plein tarif : = 80 (ou, sur votre calculatrice : 56 ÷ 70 % =)

Le billet plein tarif vaut donc 80 €.

Exercice 6

a) Le nouveau débit est en augmentation de 30 % par rapport à l’ancien débit Xqu’on recherche.

X + 30 % X = 143 m3 soit (100 % + 30 %) de X = 130 % de X = 143.

D’où :

X = = (143 ÷ 130 %) = 110

L’ancien débit était de 110 m3/s

b) Une semaine après, le débit baisse de 30 % par rapport à ce débit de 143.

Si Y est ce nouveau débit, on peut écrire :

Y = (100 % – 30 %) de 143 = 70 % de 143

D’où : Y = 143 × 70 % (ou sur votre calculatrice, 143 – 30 % = 100,1)

Une semaine après, le débit est de 100,1 m3/s

Exercice 7

11 434 = prix HT + TVA = (100 % + 19,6 %) du prix HT = 119,6 % du prix HT.

143 100130

×

56 10070×

441000 1004,3

×

15 000 10012

×



D’où :

Prix HT = (ou, sur votre calculatrice : 11 434 ÷ 119,6 %)

Prix HT = 9 560,2 €

Exercice 8

Prix payé = Prix d’achat + frais de douane = (100 % + 12 %) du prix d’achat = 112 %du prix d’achat = 1 778 €

Deux solutions possibles :

a) On calcule le prix d’achat et, par différence, on aura les frais de douane.

Prix d’achat = (ou, sur votre calculatrice : 1 778 ÷ 112 %)

Prix d’achat = 1 587,5 d’où

Frais de douane = 1 778 – 1 587,5 = 190,5 €

b) On calcule directement les frais : on connaît la valeur de 112 (%), on cherche la va-leur de 12 (%) du prix d’achat. Par règle de trois, on obtient les frais de douane :

Frais de douane = = 190,5 €

Exercice 9

Une méthode simple consiste à représenter le problème en partant d’une valeur hy-pothétique de 100 :– Si la valeur de départ était de 100 : au terme de la 1 re année, ce loyer serait de 106

(100 + 6 % de 100) ; au terme de la seconde année, il serait de (106 + 9 % de 106)autrement dit de 106 + 9,54 (ou, sur votre calculatrice : 106 + 9 %) = 115,54.

– Si une valeur initiale de 100 devient 115,54, cela exprime une augmentation de15,54 (soit : 115,54 – 100) « pour 100 ».

Le pourcentage d’augmentation sur les deux années est donc de 15,54 %.

Le loyer actuel étant de 751,01 € = 115,54 % du loyer initial. D’où :

Loyer initial = (ou, sur votre calculatrice : 751,01 ÷ 115,54 %) = 650 €

Exercice 10

Il y a proportionnalité entre les indices et les valeurs qu’ils représentent. D’où la ré-solution par règle de trois :

690 indice 1 006

X ? indice 1 040 d’où X = = 713,32

A l’indice 1 040, ce loyer sera de 713,32 €.

690 10401006

×

751,01 100115,54

×

1178 12112

×

1178 100112

×

11434 100119,6

×



Exercice 11

Procédons comme dans l’exercice 9 :

– Si les actions valaient au départ 100, au terme de la 1 re année elles vaudraient 95(100 – 5 % de 100) ; au terme de la seconde année, elles seraient évaluées à (95 + 8 %de 95), autrement dit à 95 + 7,6 (ou, sur votre calculatrice, 95 + 8 %) = 102,6.

– Si une valeur initiale de 100 devient 102,6, cela signifie que l’augmentation globaleest de 2,6 (102,6 – 100) « pour 100 ».

Le pourcentage d’augmentation globale est donc de 2,6 %.

Au terme de la seconde année, la valeur étant de 6 566,4 € = 102,6 % de la valeur

initiale. D’où la valeur initiale = (ou, sur votre calculatrice :

6 566,4 ÷ 102,6 %) = 6 400 €

Exercice 12

a) Exprimer le rapport en pourcentage.

N.B. : pour chaque année, vous avez à diviser par un même nombre, le total de l’an-née ; n’hésitez pas à utiliser la fonction « diviseur constant » de votre calculatrice sielle l’a.

b) On calcule l’évolution en nombre, que l’on divise par la valeur correspondante de1990 puisque c’est « par rapport à 1990 » que s’exprime ce pourcentage de variation.

c) Base 100 = moyenne départementale de population de 1990 = total ÷ 4 = 511 905

L’indice de chaque département s’obtient par ce calcul :

et sera arrondi à l’unité près comme c’est demandé.

*Base 100 = moyenne départementale de 1990

100 population 2000511 905

×

population du département Xtotal de la région

6 566,4 100102,6

×


Départements 1990 en 2000 en évolution en % Indice%/ total %/ total 2000 / 1990 population 2000*

A 14,04 16,12 + 14,26 64B 26,51 25,42 – 4,56 101C 18,16 19,57 + 7,21 78D 41,29 38,89 – 6,24 155

Total Région 100,00 100,00 – 0,47 –


Exercice 13

Explications :

Rémunération nette = brut – retenues + primes

(a), (c) et (e) : les indices s’obtiennent par règle de trois dès lors qu’on a la rémuné-ration brute :

indice X =

(b) : 261,00 (seule donnée) représente les retenues, soit 18 % de la rémunérationbrute.

Rémunération brute = (ou 261 ÷ 18 %) = 1 450

(d) 1 032,00 (seule donnée) est la rémunération nette = (100 % – 18 % + 4 %) du brut= 86 % du brut. On « remonte » à cette rémunération brute comme au (b) :

Rémunération brute = (ou 1 032 : 86 %) = 1 200

Exercice 14

Achat du terrain : 12 140 € = 16 % du total du devis

Total du devis (= 100 %) : (ou 12 140 ÷ 16 %) = 75 875 €

Reste : 75 875 – 12 140 = 63 735

Construction : 60 % du reste = 63 735 × 60 % = = 38 241 €

Matériel : le reste final = 63 735 – 38 241 = 25 494 euros

Exercice 15

60100

12140 10016

×

1032 10086

×

261 10018×

425 brut X1325,5

×


Indice de 425,00 432 (a) 465 (c) 385 (e)rémunération

Rémunération 1 325,50 1 347,33 1 450,00 (b) 1 200 (d)brute ( €)

Retenues ( €) 238,59 242,52 261,00 216,00

Primes ( €) 53,02 53,89 58,00 48,00

Rémunérationnette ( €) 1 139,93 1 158,70 1 247,00 1 032,00

Article Indice prix année 2 Indice prix année 3 Prix année 4 (en €)

A 103 107 97,16B 80 86 20,58C 116 117 28,32


Explications :

(a) Application de la formule Indice X =

(b) Le plus simple est de traduire ces nouveaux indices : indice 112 signifie « une aug-mentation de + 12 % par rapport à la valeur de l’indice 100 ».

Ainsi, pour l’article A (à titre d’exemple) :

Prix année 4 = 86,75 + (12 % × 86,75)= 86,75 + = 97,16

(ou, sur votre calculatrice 86,75 + 12 % =)

Il en sera de même pour les autres articles.



Exercice I

en 1980 :

– 1ère tranche les informations sont données

– 2ème tranche : total des femmes : 294 940

nombre de femmes actives : = 183 688,63

soit 183 689 à l’unité près

294 940 62 28× ,100

12 86,75100×

100 valeur Xvaleur correspondant à la base 100

×


1 - 18 € 6 - 183 €

2 - 12 500 t 7 - 1 500 €

3 - 15 % 8 - 18 %

4 - 21 875 € 9 - 539,24 €

5 - 50 € 10 - 25 %


– 3ème tranche : total des femmes : 150 702

nombre de femmes actives : = 90 421,2

soit 90 421 à l’unité près

en 2000 :

– 1ère tranche :

nombre de femmes actives : 141 510 + 21 514 = 163 024

nombre total de femmes : 213 995 – = 210 357,09

soit : 210 357

– 2ème tranche :

nombre total de femmes : = 201 942,72

soit : 201 943

3ème tranche : nombre total de femmes : = 146 060

nombre de femmes actives (elles représentent toujours 60 % du nombre total) :

= 87 636

variation en % du nombre de femmes actives entre 1980 et 2000 :

1ère tranche : 163 024 – 141 510 = + 21 514 soit en % = + 15,20

2ème tranche : 154 908 – 183 689 = – 28 781 soit en % = – 15,67

3ème tranche : 87 636 – 90 421 = – 2 785 soit en % = – 3,08

Ensemble : 405 568 – 415 620 = – 10 052 soit en % = – 2,42

Corrigé :

− ×10 052 10020415 6

− ×2 785 10090 421

− ×28 781 100183 689

+ ×21 514 100 141 510

146 060 60×100

1168 480 12 5× ,100

210 357 96×100

213 995 1 7× ,100

150 702 60×100


Tranches1980 2000 Evolution des

d’âge Effectif Femmes Effectif Femmes actives en %total actives total actives 2000/1980

1 213 995 141 510 210 357 163 024 + 15,20

2 294 940 183 689 201 943 154 908 – 15,67

3 150 702 90 421 146 060 87 636 – 3,08

ensemble 659 637 415 620 558 360 405 568 – 2,42


Exercice II

Partant des données de 2006, il ne manque que celle qui concerne la région parisien-ne. On l’obtiendra en ajoutant 5 125 à 8 321 (puisque 8 321 représente 5 125 de moinsque la valeur cherchée), ce qui donne 13 446 tonnes

2005 : les pourcentages d’augmentation fournis le sont par rapport à 2005 ; ce sontdonc les quantités traitées en 2005 qui représentent 100 %. ainsi :

– pour Marseille : 7 224 = production 2005 + 12 % de la production 2005

7 224 = (100 % + 12 %) de la production 2005 = 112 % de la production 2005

d’où la production 2005 = = 6 450 tonnes

– pour Nantes : = 7 850 tonnes

– pour la région parisienne : = 12 540 tonnes

2007

Les calculs sont plus simples : il s’agit de partir des données augmentées ou diminuéesde x % d’elles-mêmes

– Marseille : 7 224 – (5 % × 7 224) = 6 862,8 soit 6 863– Nantes : 8 321 + (2,5 % × 8 321) = 8 529,03 soit 8 529– région parisienne : 13 446 – (8 % × 13 446) = 12 370,32 soit 12 370

L’évolution en pourcentage 2007/2005 se fera toujours selon la méthode :

Cette évolution sera affectée du signe + pour une augmentation ou du signe – pourune diminution.

exemple :– Marseille : 6 863 – 6 450 = + 413 puis en % : = + 6,40 %

pour la région parisienne : 12 370 – 12 450 = – 80 = – 0,64 %

Mêmes calculs pour l’autre chantier et pour le total.

corrigé (données exprimées à la tonne près ; % au centième près)

− ×80 10012 450

+ ×413 1006 450

écart en valeur ×100donnée correspondante de 2005

13 446 100108

×

8 321 100106

×

7 224 100×112


Chantiers 2005 2006 2007 Evolution en %2007/2005

Marseille 6 450 7 224 6 863 + 6,40Nantes 7 850 8 321 8 529 + 8,65Région

parisienne 12 450 13 446 12 370 – 0,64

Total 26 750 28 991 27 762 + 3,78


Exercice III

2005 :

– Aides ménagères : 114 300 = 45 % du budget total (le budget total représente donc100 %)

budget total : = 254 000

– Secours en natures et soins à domicile : il suffit, connaissant maintenant le montanttotal du budget de prendre respectivement 1/8 et 30 % de ce montant

(soit 254 000 × 1/8 et 254 000 × 30 %)

– foyers d’accueil : ce poste s’évalue par différence (total – somme des trois autres postes)

2006 :

Pour chaque poste, on applique les % d’augmentation indiqués aux valeurs respec-tives trouvées pour 2005

aides ménagères : 114 300 + (5 % × 114 300) = 120 015

(sur certaines calculatrices 114 300 + 5 %)

de même pour les autres postes

Le total s’obtient par addition

2007 :

Le plus simple est d’interpréter les indices : la base 100 (= la référence) étant la valeurcorrespondante de 2005, un indice 112 signifie que, par rapport à cette valeur deréférence, il y a une augmentation de 12 % (112 – 100)

Ainsi pour les aides ménagères :

– valeur en 2005 : 114 300 = indice 100

– valeur 2007 : indice 112 = 114 300 + (12 % × 114 300) = 128 016

De même pour les autres postes et le total se trouve par addition.

– évolutions en pourcentage 2007/2006 (il s’agit dans tous les cas d’augmentation, lesigne + sera implicitement compris dans le titre « augmentation 2007/2006 »)

le calcul s’effectue :

Aides ménagères :

évolution en € : 128 016 – 120 015 = 8 001 en % = + 6,6666 soit + 6 67 %

Même calcul pour les autres postes et pour le total

Corrigé (données en €, pourcentages arrondis au centième près)

+ ×8 001 100120 015

écart en montant 2006

€ ×100

114 300 100×45



Exercice IV

Nombre de repas servis en 2006 :

Il suffit de diminuer chaque données de 2005 de x % d’elle-même.

Exemple : société A12 000 – (6 % × 12 000) = 11 280(sur certaines calculatrices 12 000 – 6 %)

On répète ce calcul pour les deux autres sociétés, le total est obtenu par addition.

nombre de repas servis en 2007 :

On applique de la même façon les pourcentages d’augmentation indiqués aux résul-tats obtenus pour 2006.

Exemple : société A

« En 2006, on relevait 11 280 repas, en 2007 on note une augmentation de 2,5 % parrapport à 2006 »

– nombre de repas en 2007 : 11 280 + (2,5 % × 11 280) = 11 562

Mêmes calculs pour B et C; le total s’obtient par addition

Indice de la recette 2007 :

A partir du nombre de repas servis en 2005, il est facile en multipliant chacun de cesnombres par le prix du repas (4,5 €) de déterminer pour chaque société et pour l’en-semble le total de la recette 2005.

Ces nombres constitueront l’indice 100 pour chacune des sociétés et pour le total.

Après avoir déterminé la recette correspondante 2007 (le prix du repas est de 4,80 €

cette fois) on exprimera chacune de ces recettes 2007 sous forme d’indice en appli-quant la formule :

indice pour A =

Exemple société A

recette 2005 : 12 000 × 4,5 = 54 000 (= base 100)

100 × recette de 2007 Arecette 2005 de A


Postes Augmentationbudgétaires 2005 2006 2007 en % 2007 / 2006

Aides ménagères 114 300 120 015 128 016 6,67Secours en nature 31 750 34 925 44 450 27,27Soins à domicile 76 200 82 296 91 440 11,11Foyers d’accueil 31 750 33 655 36 830 9,43

Total 254 000 270 891 300 736 11,02


recette 2007 : 11 562 × 4,8 = 55 497,60

indice de recette 2007 pour la société A : = 102,7

soit à l’unité près : 103

Même calcul pour les sociétés B et C

Au niveau du total :

– recette totale 2005 : 25 500 × 4,5 = 114 750 (= base 100)

– recette totale 2007 : 24 855 × 4,8 = 119 304

– Indice recette globale 2007 : = 103,96

soit à l’unité près : 104

corrigé :

ATTENTION !

Pour que le corrigé soit compréhensible, nous avons donné le détail des calculsintermédiaires (nombre de repas sur les trois années). Notez bien que seules devraientfigurer dans votre réponse les colonnes (3) et (4), seuls éléments expressémentdemandés.

Exercice V

• Nombre de copies effectuées en 2005 :

On déterminera le total (« loisirs/culture » + « autres services ») par différence :28 425 – (3 300 + 5 970) = 19 155

« Loisirs/culture » représente le double de « autres services » ; en conséquence :19 155 = 3 « autres services », d’où :– part des « autres services » : 19 155 : 3 = 6 385– part du service « Loisirs/culture » : 2 × 6 385 = 12 770

100 119 304×114 750

100 55 497 6× ,54 000


(1) (2) (3) (4)

* Base 100 = recette correspondante de 2005 ; indices arrondis à l’unité près

SociétéNombre de repas servis Indice de recette

2005 2006 2007 2007*

A 12 000 11 280 11 562 103B 7 500 6 900 7 245 103C 6 000 5 760 6 048 108

Total 25 500 23 940 24 855 104


• Part en pourcentage par rapport au total de l’année

Le nombre de copies de chaque service sera divisé par le total et exprimé en pour-centage arrondi au centième près (puisqu’il n’y a pas de consigne particulière)

exemple : services administratifs : = 11,609 soit 11,61 %

Même calcul pour les autres services. Le total fait logiquement 100,00 %

• Nombre de copies en 2006 :– administratifs : 3 300 – 168 = 3 132– techniques : 5 970 – × 5970 = 5 970 – 995 = 4 975

– loisirs/culture : 12 770 + 20 % x 12 770 = 12 770 + 2 554 = 15 324– autres services : 27 298 – (3 132 + 4 975 + 15 324) = 3 867

• Indice 2006

On appliquera la formule : indice X =

Exemples :

– pour les services administratifs : base 100 = nombre de copies en 2005 soit 3 300

en 2006, la valeur à représenter en indice est 3 132

indice = = 94,9

Pour le total :

total 2005 = base 100 = 28 425

total 2006 : la valeur à représenter en indice est 27 298

indice (total) = = 96,0

corrigé :

* base 100 = niveau correspondant de 2005 indices arrondis au dixième près

100 27 298×28 425

100 3 132×3 300

100 × valeur Xvaleur correspondant à la base 100

16

3 300 100×28 425


Services Copies en 2005 Indice 2006*en nombre en % / Total

Administratifs 3 300 11,61 94,9Techniques 5 970 21,00 83,3

Loisirs/culture 12 770 44,93 120,0Autres services 6 385 22,46 60,6

Total 28 425 100,00 96,0


Les fractions

Chapitre 6



■ Une fraction est l’expression d’un quotient de deux nombres entiers :

Propriété fondamentale des fractions :

On ne change pas la valeur d’une fraction si l’on multiplie ou si l’on divise numéra-teur et dénominateur par un même nombre.

■ Opérations sur des fractions

• Addition-soustraction :

On ne peut additionner ou soustraire des fractions que si elles ont le même déno-minateur (dans ce cas, on additionne ou on soustrait simplement les numérateurs ;le dénominateur est le même).

Si ce n’est pas le cas, il faut réduire ces fractions au même dénominateur : ce dé-nominateur commun sera un multiple commun aux différents dénominateurs :

Exemple

– = – = =

• Multiplication de plusieurs fractions :Il suffit de multiplier les numérateurs entre eux, les dénominateurs entre eux.

Exemple :

× = =

• Division par une fraction :On multiplie le dividende par l’inverse de la fraction par laquelle on veut diviser.

Exemple :

÷ = × = = =

(après simplification que l’on peut faire – c’est mieux – avant d’effectuer le produit)

■ Prendre une fraction d’une grandeur, c’est multiplier cette grandeur par la frac-tion, ce qui revient à multiplier par le numérateur et à diviser par le dénominateur.

■ L’unité (= 1) est toujours représentée par une fraction dont le numérateur et le

dénominateur sont égaux ( ou etc.) 1515

77

35

610

2 35 2

××

32

25

23

25

635

2 37 5

××

35

27

715

10 3–15

1 5

××

33

2 3

××

55

15

23

a (= numérateur)b (= dénominateur)




1 - Opérations sur les fractions

Exemple


Les parts des deux premiers héritiers La part du troisième sera lesont données sous forme de fractions complément à l’unité ; il s’agit doncde la fortune qui constitue l’unité. d’additionner les parts des deux

premiers (somme de deux fractions dedénominateurs différents). La part dutroisième se déterminera par différence par rapport à l’unité.

Résolution : Traduction de l’énoncé :

Si A est la part du premier héritier, A = de la fortuneB la part du second et C celle du troisième :Comme A et B sont des fractions B = de la fortuned’une même grandeur , on peut les additionner.Dénominateur commun à 3 et 5 : A + B = � + � de la fortuneon prendra tout simplement le produit 3 × 5 = 15 A + B = +(multiple de 5 et de 3).La totalité de la fortune (= l’unité)

représente en l’occurrence A + B = =

La part de C sera donc C = 1 – (A + B)

C = – =

Le troisième héritier perçoit donc

de la fortune.

115

115

1415

1515

1415

9 515+15

15

1 3

××

55

3 5

××

33

13

35

13

35

Une personne laisse sa fortune à trois héritiers. Elle en laisse les au premier, le

au second.

Quelle fraction de sa fortune laisse-t-elle au troisième ?

113Les fractions

351

3


2 - Retrouver une valeur à partir d’une fraction

Exemple

Lecture de l’énoncé Déduction :

Les fractions ne sont pas des fractions Il faut transformer la part de Nicolasd’une même grandeur (fraction de la pour l’exprimer par rapport à S :somme, fraction du reste) on ne peut Rappel :donc pas les additionner telles Prendre une fraction d’une grandeur,qu’elles sont. même fractionnaire, c’est multiplier

cette grandeur par la fraction.

Résolution :

La seule donnée en euros est la part Part de Pierre = de Sde Xavier; il faut donc arriver à évaluer

cette part sous forme de fraction de la Part de Nicolas = du restesomme S.

Pour cela, on reprendra la démarche Exprimons ce reste par rapport à S :appliquée dans l’exemple résolu plus haut (A). Reste = S – de S = ( – ) de S

= de S

Part de Nicolas = de de S

Soit × de S = de S

(Dénominateur commun : multiple Part de Pierre + part de Nicolas =commun à 5 et 45 ; 45 est multiple de 5, on peut donc le garder comme ( + ) de S =dénominateur commun).

( + ) de S = de S2545

1645

945

1645

15

1645

45

49

45

49

45

15

55

15

49

15

Un oncle partage une somme d’argent entre ses trois neveux. Le plus âgé,

Pierre, reçoit de la somme totale ; le second, Nicolas reçoit les du reste

et le plus jeune, Xavier, le reste final qui s’élève à 240 €. Quelle était la sommeà partager?

Quelles sont les parts de Pierre et de Nicolas ?


49

15


Soit de S (après simplification)

S = l’unité = de S

En conséquence la part de Xavier serale complément à l’unité, soit :

Dès lors que l’on connaît la valeur – = de S

de de S, on peut retrouver la 240 4

valeur de de S par règle de trois. S ? 9

(En considérant que la somme est D’où :partagée en 9 parts égales ; on connaît la valeur de 4 de ces parts ; on cherche S = = 540la valeur de 9 de ces parts.)

Part de Pierre= × 540 = 108

La somme à partager est donc de 540 € Part de Nicolas = × 540 = 192La part de Pierre est de 108 €

celle de Nicolas de 192 €

1645

15

240 9×4

99

49

49

59

99

99

59

115Les fractions


À vous de jouer !


Exercice n° 1 (*)

Une cuve A de 290 litres est remplie aux . Une cuve B remplie aux contient 224litres.

Pour chacune des deux cuves A et B, comparez les contenances totales et les quanti-tés contenues

Exercice n° 2 (*)

Une voiture payée 9 600 € perd la 1ère année le de sa valeur. Puis ensuite chaque

année elle perd de sa valeur en début d’année.

Quelle est sa valeur à la fin de la 3 ème année ?

A-t-elle déjà perdu la moitié de sa valeur ?

Exercice n° 3 (*)

Les honoraires du syndic d’une copropriété s’élevaient à 4 116 € en 2006, représentant

les du montant de ses honoraires en 2005.

Quels étaient les honoraires de ce syndic en 2005 ?

Exercice n° 4 (*)

Trois frères se partagent 4 600 €. L’aîné en reçoit les , le second les et le 3 ème

le reste.

Retrouvez la part de chacun

Exercice n° 5 (*)

Trois amis se partagent une somme de 672 €. Le premier en prend le quart, le second

prend du reste, le troisième prend ce qui reste.

a) Quelle fraction de la somme initiale revient au troisième ?

b) Quelle est en € la part de chacun ?

57

25

38

87

15

14

45

45



Exercice n° 6 (*)

Enquêtant sur une affaire criminelle, un commissaire de police interroge un certain

nombre de suspects. d’entre eux ont un alibi irréfutable et sont immédiatement

relâchés.

Après interrogatoire, des suspects restants sont libérés.

Quelle fraction du nombre initial de suspects reste-t-il au commissariat ?

Exercice n° 7 (**)

Une somme est partagée entre trois personnes A, B, et C. Sachant que A reçoit les

de la somme, B les de la somme et C : 4 250 €.

Calculer le montant de la somme partagée, puis les parts respectives de A et B

Exercice n° 8 (**)

Un fût est plein de vin. Après en avoir retiré les , les puis le du contenu, il

reste encore 12,5 litres de vin dans le fût.

Quelle est la capacité totale du fût ?

Exercice n° 9 (**)

Les effectifs d’une école atteignent cette année 324 élèves, soit une progression de

par rapport à l’année dernière.

Quel était le nombre d’élèves de cette école l’an passé ?

Exercice n° 10 (**)

Une boulangère a un certain nombre de croissants.

Le matin, elle en vend les ; l’après-midi, elle vend les du reste.

Il lui reste alors 18 croissants.

Combien en avait-elle le matin ?


Un journal mensuel comprenant constamment 198 pages traite les rubriques relativesà la politique, l’économie, les sciences, les arts, les sports, et consacre quelques pagesà la publicité qui, chaque mois, représentent le onzième du nombre total de pages.

25

47

18

14

29

37

27

49

13

14

117Les fractions


En septembre 2006 :

– le nombre de pages consacrées à la politique représentait le cinquième du nombretotal de pages relatives aux cinq rubriques.

– celui de l’économie représentait les des pages consacrées à la politique ;

– celui des sciences représentait les des pages consacrées à l’économie ;

– celui des sports représentait le des pages consacrées aux arts ;

Déterminer le nombre de pages consacrées à chaque rubrique pour ce mois de sep-tembre 2006


Un père partage une certaine somme entre ses trois enfants. L’aîné reçoit les 3/8 dela somme, le cadet les 4/11. Le troisième reçoit 270 € de moins que le cadet.

Calculer la part de chacun.


Sur le devis de travaux effectués par une entreprise de construction, le terrassement

représente les du montant du devis, la maçonnerie du devis et la plomberie le

tiers du reste.

Finalement, la dernière part du devis, la menuiserie, s’élève à 12 000 €.

Quel est le montant total du devis ?

Exercice n° 14 (***)

Une prime est partagée entre trois employés.

Le premier reçoit 35 % de la prime.

Le second reçoit de la prime.

A eux deux, ils perçoivent 580 €. Le troisième reçoit ce qui reste.

Quelle fraction de la prime représente la part du troisième ?

Quelle est, en €, la part de chacun des employés ?


Une association sportive regroupe quatre sections : ping-pong, natation, rugby etjudo.

38

38

25

13

23

43



La section « ping-pong » compte 150 adhérents, soit les des adhérents de la sec-tion « natation ».

Le rugby totalise du total des adhérents et le judo rassemble les 200 adhérents

restants.

Déterminer le nombre total d’adhérents de cette association sportive et faire la répar-tition entre les quatre sections.


1 - Un avion décolle de Paris ; les des sièges sont occupés. Après une escale, il y a

21 passagers supplémentaires et l’avion est alors rempli aux .

Combien y a-t-il de places au total dans cet avion ?

■ 21 ■ 280 ■ 3500 ■ 252

2 - Après lavage, une pièce d’étoffe a rétréci et ne mesure plus que les de sa lon-

gueur initiale. Elle mesure à présent 30 m de long. Quelle était sa longueur initiale ?

■ 36m ■ 35m ■ 25m ■ 42m

3 - Les des candidats à un examen sont admissibles, et d’entre eux sont défini-

tivement reçus. Sachant qu’il y a eu 28 reçus, combien y avait-il de candidats à cetexamen ?

■ 84 ■ 112 ■ 49 ■ 120

4 - Lors d’un concert, on constate que 40 personnes ont payé leur billet d’entrée pleintarif, soit 15 €, un quart a payé demi-tarif, un tiers a payé 30 % du tarif normal.Quelle a été la recette totale ?

■ 600 € ■ 924 € ■ 939 € ■ 750 €

5 - Le directeur d’un camping observe que, sur le nombre de campeurs présents, 50ont plus de 35 ans, un sixième a moins de 20 ans, deux tiers ont entre 20 et 35 ans.Quel est le nombre de campeurs présents ?

■ 210 ■ 150 ■ 300 ■ 255

13

34

56

34

23

25

38

119Les fractions


6 - Un commerçant vend les des 630 paires de chaussures qu’il a en stock. Parmi

les invendus, sont des chaussures de femmes.

Le nombre de paires chaussures de femmes invendues est de :

■ 210 ■ 300 ■ 150 ■ 420

7 - Après avoir dépensé le puis les de ce que je possédais, il me reste 12 euros.

La somme que je possédais était de :

■ 45 € ■ 90 € ■ 72 € ■ 88 €

8 - Lors d’un examen, les des candidats ont été reçus ; parmi les reçus, les sont

des garçons.

La fraction que représentent les garçons reçus par rapport au total des candidats est de :

■ ■ ■ ■

9 - Si vous ajoutez à , le résultat est :

■ supérieur à 1 ■ inférieur à 1 ■ égal à 1

10 - Si vous prenez de , le résultat est :

■ supérieur à 1 ■ inférieur à 1 ■ égal à 1


Exercice I

Dans le département de X..., à forte concentration urbaine, les problèmes des orduresménagères font l’objet d’une étude approfondie. Il s’avère en effet qu’une très gran-de partie des déchets n’est pas récupérée.

Pour 2006, on prévoyait que seuls seraient recyclés :

– du verre

– des éléments divers ainsi que des papiers38

38

25

54

34

45

13

34

815

715

34

23

45

25

13

57

23



– 2 % des plastiques

– 45 % des métaux.

Pour cette même année 2006, on prévoyait une collecte de 570 kg d’ordures ména-gères par habitant se répartissant ainsi :

– 220 kg de papier

– 85 kg de plastique

– 45 kg de verre

– 24 kg de métaux

– le reste de déchets divers.

Pour 2006 et par habitant, faites apparaître, pour chaque catégorie de déchets etpour leur total :

• la quantité (en kg) de déchets produite

• la quantité, en kg et en pourcentage par rapport au total, des déchets recyclés.

Exercice II

Le conseil général a fait effectuer une étude sur l’évolution globale des effectifs desélèves des collèges de la ville de X.: Robert Doisneau, Anne Frank, La Fontaine et Eva-riste Gallois.

Voici les résultats qui lui ont été transmis :

Rentrée 2003-2004 :

– Les classes de 3 ème comptaient pour Robert Doisneau 120 élèves, pour Anne Frank150 élèves, pour La Fontaine le double de Robert Doisneau et pour Evariste Galloisles 3/5 d’Anne Frank.

– les classes de 4ème représentaient les 11/12 des classes de 3ème et les 5/6 des classes de5ème

– les classes de 6ème comptaient 60 élèves de plus que les classes de 5 ème

Rentrée 2004-2005 :

– l’effectif des classes de 6ème a diminué de 5 %

– les classes de 4ème représentent 4/5 de l’effectif des 5 ème de l’année précédente

– L’effectif des classes de 5ème a augmenté de 40.

– Les classes de 3 ème ont enregistré une baisse de 2/25 de l’effectif de l’année précé-dente

Retrouvez pour les classes de 6ème, 5ème, 4ème, 3ème et pour l’ensemble de ces classes leseffectifs des années 2003-2004 et 2004-2005 ainsi que la variation en nombre et en %entre ces deux années.

(les pourcentages seront arrondis au 1/10 près)

(d’après le concours 2005 Petite Couronne d’Ile-de-France)

121Les fractions


Exercice III

En 2006, quatre communes A, B, C et D, regroupées en syndicat intercommunal, achè-tent un terrain pour y construire une station d’épuration.

Le prix d’achat du terrain a été réparti proportionnellement au nombre d’habitantsde chaque commune, la commune C devant payer la somme de 6 960 €.

La population de la commune A représente 42 % de la population des quatre com-munes réunies, la commune B compte trois fois plus d’habitants que la commune Cqui en compte deux fois moins que la commune D.

La population totale s’élève à 36 000 habitants.

La construction de la station d’épuration coûtera à la commune D du coût total.

la commune A paiera les du reste, soit une somme de 118 500 €.

La commune C paiera quant à elle 9 320 € de moins que la commune B

Etablir un tableau numérique faisant apparaître, pour chaque commune et pour lesyndicat intercommunal :

• le nombre d’habitants

• les dépenses d’investissement ventilées par nature (l’achat du terrain et la construction).

Exercice IV

La commune de X. a acheté un terrain qui est partagé en quatre parcelles A, B, C etD destinées à accueillir sur chacune d’elles des lotissements.

Le nombre d’habitants du lot A représente de la population totale des quatre par-

celles ; celui du lot B est le de la population totale, celui du lot C correspond aux

de celui de B, et enfin la population du lot D est de 1 320 habitants.

Déterminer la population de chaque parcelle et la part en pourcentage de chacuned’elles par rapport à la population totale occupant ce terrain.

Exercice V

Le compte administratif du Centre Communal d’Action Sociale (C.C.A.S.) d’une ville de8 500 habitants s’établit, en 2006, de la façon suivante :– Vie scolaire : 51 750 euros– Activités péri-scolaires : 36 250 euros– Revenus étudiants et Allocations jeunes : 105 000 euros– Aides sociales : 457 500 euros.

53

17

13

25

14



Par rapport à 2006, le budget prévisionnel de 2007 prévoit une augmentation globale

de 7 %. Le budget de la « Vie scolaire » augmente des ; celui des « Activités

péri-sclolaires » s’élève à 39 150 euros et celui des « Revenus étudiants et Allocations

jeunes » de 2006 est les de celui prévu en 2007.

A partir de ces données, faire ressortir le montant des aides octroyées en 2006 ainsique le budget prévisionnel 2007; déterminer en outre le pourcentage d’évolution dechaque rubrique et du total en 2007 par rapport à 2006.

67

225

123Les fractions



N.B. : la plupart des exercices proposés admettent également une solution algébrique.Par choix, nous n’en ferons pas mention ; elle est naturellement tout aussi valable,dès lors qu’elle est correctement traitée (ne pas oublier de définir clairement ce quedésigne l’inconnue choisie notamment !).

Exercice n° 1

La cuve A a une contenance totale de 290 litres.

Elle contient : 290 × = 232 litres

La cuve B contient 224 litres.

Elle est remplie aux 4/5 donc sur les 5 « parts » de la cuve, seules 4 « parts » sontpleines, on résout par « règle de trois »

La contenance totale est : = 280 litres

Exercice n° 2

Au bout d’un an : – la perte est de 9 600 : 4 = 2 400 la nouvelle valeur est : 9 600 – 2 400 = 7 200

Au bout de la 2 ème année :– la perte est de : 7 200 : 5 = 1 440 la nouvelle valeur est : 7 200 – 1 440 = 5 760

Au bout de 3 ans :– la perte est de : 5 760 : 5 = 1 152 la nouvelle valeur est de : 5 760 – 1 152 = 4 608

Au bout de 3 ans la valeur de la voiture est inférieure à la moitié de sa valeur initiale

Exercice n° 3

L’énoncé parle de du montant des honoraires 2005

Ces derniers représentent donc l’unité de référence, soit les .

On retrouve les honoraires 2005 par « règle de trois » : = 3 601,5 €

Exercice n° 4

L’aîné reçoit les 3/8 de 4 600 € soit : = 1 725 €4 600 3×

8

4 116 7×8

77

87

224 54

×

45



Le second reçoit les 2/5 de 4 600 € soit : = 1 840 €

Le 3ème reçoit le reste soit : 4 600 – 1 725 – 1 840 = 1 035 €

Exercice n° 5

Appelons S la somme initiale : S = 672 €

Le premier perçoit S il reste : S

(Attention : on ne peut additionner plusieurs fractions que si ce sont des fractionsd’une même grandeur)

Le deuxième perçoit du reste : de S = de S soit de S

Le dénominateur commun est 28 (multiple de 4 et de lui-même)

Les deux premiers reçoivent ensemble : de S soit de S

La part du troisième est le « complément à l’unité » 28 – 22 = 6

Le troisième reçoit ou de S

Part de chacun :– le premier aura : × 672 = 168 euros

– le second aura : × 672 = 360 euros

– le troisième aura : × 672 = 144 euros

(vérification : 168 + 360 + 144 = 672)

Exercice n° 6

Si N est le nombre total de suspects interrogés :

Suspects immédiatement relâchés = N. Il reste donc N

Suspects libérés après interrogatoire = des suspects restants, donc × N = N

Au total, sont relâchés ( + ) N = N

Il reste donc N au commissariat.

Exercice n° 7

Si S est la somme partagée, on peut écrire :

12

12

14

14

14

34

13

13

34

14

314

1528

14

314

628

728

1528

2228

+

=14

1528

+

1528

5 34

××7

5 37 4

×57

34

14

4 600 2×5

125Les fractions


part de A = et part de B =

Ensemble, A et B possèdent :

soit :

a) La part de C = = 4 250 euros

S = donc par « règle de trois » S = = 15 750 euros

b) La part de A = × 15 750 = 7 000 euros

La part de B = × 15 750 = 4 500 euros

Exercice n° 8

Appelons T la capacité totale du fût.

Additionnons les retraits successifs : T

le dénominateur commun est : 7 × 9 × 4 = 252

L’addition = T

Le reste de 12,5 litres sera le « complément à l’unité » soit ici :

T

La capacité totale du fût par « règle de trois » est : = 126 litres

Exercice n° 9

L’accroissement de s’exprime par rapport à l’effectif de l’an passé qui représente

donc l’unité de référence (les )

On peut donc écrire que 324 = de l’effectif de l’an passé.

324 = de cet effectif.

Effectif de l’an passé : = 288

Il y avait 288 élèves dans cette école l’an passé.

324 89

×

98

88

18

+

88

18

12 5 25225

, ×

252 227252

25252

−

=

227252

14

63252

=29

56252

=37

108252

=

37

29

14

+ +

27

49

4250 6317

×6363

S

63 4663

1763

−

=S S

28 1863

4663

+

=S S

49

27

4 79 7

2 97 9

+

= ××

+ ××

S S

27

S49

S



Exercice n° 10

Appelons N le nombre initial de croissants.

Vente du matin : de N. Il reste donc de N.

Vente de l’après-midi : du reste = ( × ) de N = de N

Ventes de la journée : ( + ) de N = de N = de N

Il reste maintenant ( – ) de N = de N = 18 croissants.

D’où la détermination de N (par règle de trois) : N = = 70 croissants.

Exercice n° 11

Il s’agit d’un exercice « à tiroir » simple, dans lequel chaque résultat découle du ré-sultat précédent.

Résumons l’énoncé : il y a chaque mois 198 pages dont sont consacrées à la

publicité. Le reste se partage entre 5 rubriques : politique, économie, sciences, arts etsports. Soyez toujours vigilants : « fraction » « de quoi ? » pour savoir à quelle gran-deur il faut appliquer chaque fraction.

Nombre de pages consacrées :

– à la publicité : × 198 = 18 pages.

Il reste pour les 5 rubriques : 198 – 18 = 180 pages

– à la politique : × 180 = 36 pages

– à l’économie : × 36 = 48 pages

– aux sciences : × 48 = 32 pages

Au total on obtient déjà : 36 + 48 + 32 = 116 pages

Il reste 180 – 116 = 64 pages à répartir entre les arts et les sports.

Si les arts représentent 3 fois les sports, les 64 pages sont équivalentes à 4 fois lespages de la rubrique sport (voir chapitre sur les partages inégaux)

D’où : le nombre de pages consacrées :

– aux sports : 64 : 4 = 16 pages

– aux arts : 16 × 3 = 48 pages

(vérification : 18 + 36 + 48 + 32 + 16 + 48 = 198)

23

43

15

111

111

18 35×9

935

2635

3535

2635

20 635

+635

47

635

37

25

25

37

47

127Les fractions


Exercice n° 12

Appelons S la somme à partager ; désignons par A, B et C les parts des trois enfants.

A + B = ( + ) S

= ( + ) S = S Dénominateur commun = 8 × 11 = 88

C = ( – ) S = S La part de C sera le « complément àl’unité ».

Traduisons maintenant l’énoncé :

B – C = 270 euros Remplaçons B et C par leur expression

( ) S = S = 270 en fractions de S.

D’où :

A = S = = 990 euros Connaissant la valeur de de S,

B = S = = 960 eurosdéterminons par règle de trois la va-leur de chaque part.

C = 960 – 270 = 690 euros.

Exercice n° 13

Appelons D le montant du devis total

Terrassement + maçonnerie représentent : de D soit D

Il reste : D

La plomberie représente :

Dès lors que les trois postes sont exprimés en fonction d’une même grandeur D, onpeut les additionner.

Terrassement + maçonnerie + plomberie =

La menuiserie avec 12 000 € représente le reste final soit

D’où la valeur du devis total D :

Le devis total est de : 80 000 €

Exercice n° 14

Appelons A, B et C les parts des trois employés.

12 000 203

80 000× =

40 3440

640

320

− = =D D D

31 340

3440

+ =D D

13

940

340

× =D D

4040

3140

940

− =

1640

1540

3140

+ =25

38

+

270 329×32

88

988

270 339×33

88

988

32 2388−

2388

6588

8888

6588

3288

3388

411

38



A + B = (35 % + ) de la prime A + B = de la prime

A + B = de la prime

C reçoit une fraction de la prime représentant le « complément à l’unité » soit :

de la prime.

580 € représentent de la prime.

On détermine par « règle de trois », la valeur de la prime : €

Part de chacun :

A = 800 × 35 % = 280 €

B : 800 × = 300 €

C = 800 – (280 + 300) = 220 €

Exercice n° 15

Les adhérents « natation » =

Si le « rugby » totalise du total des adhérents, cela signifie que les trois autres

sections rassemblent le reste soit du total (c’est le complément à l’unité)

Les trois autres sections totalisent : 400 + 150 + 200 = 750 adhérents

ainsi le total des adhérents par « règle de trois » = = 1 250

La section « rugby » compte donc : × 1 250 = 500 adhérents


25

750 53

×

35

25

150 83

400× =

38

580 4029

800× =

2940

4040

2940

1140

−

=

720

38

14 1540

2940

+

= + =

35100

38

+38

129Les fractions

*Rappelons que « prendre une fraction d’une grandeur », c’est multiplier cette grandeur par la fraction.

1 - 252 6 - 150

2 - 36 m 7 - 45 €

3 - 112 8 -

4 - 924 € 9 - supérieur à 1

5 - 300 10 - inférieur à 1*

8

15



Exercice I

Cet exercice ne présente pas de difficulté majeure de calcul. Il faut cependant êtrevigilant dans l’organisation des données.

Colonne (A) : tous ces résultats sont obtenus en prenant une fraction ou un pour-centage d’une grandeur.

Exemple : Verre : × 45 = = 18

Plastiques : 2 % × 85 = = 1,7 (sur votre calculatrice : 85 × 2 % =)

Colonne (B) : les pourcentages par rapport au total s’obtiennent en faisant le rapportde chacune des grandeurs sur le total. le résultat est transformé en centièmes puis enpourcentages.

Exemple : Papier : = 0,44236 = � 44,24 %

N’hésitez pas à utiliser la fonction « diviseur constant » de votre calculatrice !

Sans précision particulière, donnez les pourcentages au centième près.

Exercice II

Rentrée 2003-2004

Classes de 3ème :

L’effectif des classes : c’est l’ensemble des élèves de 3 ème

Pour deux collèges l’effectif est donné : R. Doisneau : 120 Anne Frank : 150

Pour les deux autres collèges on calcule :

44,236100

82,5186,5

85 2100

×

2 455×2

5


(A) (B)

* 196 s’obtient par différence (le total et tous les autres termes de l’addition étant connus).

Catégorie de déchets Quantité produite Quantité recycléeen kg /habitant en kg en % / total

Verre 45* 18,5 9,65Papier 220* 82,5 44,24

Plastique 85* 1,7 0,91Métaux 24* 10,8 5,79Divers 196* 73,5 39,41

Total 570* 186,5 100,00


La Fontaine : 2 × 120 = 240 Evariste Gallois : = 90

D’où un effectif pour les classes de 3 ème de : 120 + 150 + 240 + 90 = 600

Classes de 4ème :

L’effectif est les 11/12 de celui des 3 ème soit les 11/12 de 600

L’effectif est de : = 550

Classes de 5ème :

Les 550 élèves de 4ème représentent les 5/6 des classes de 5 ème

On utilise la règle de trois en établissant un tableau :

donc l’effectif des 5 ème est : = 660

Classes de 6ème :

L’effectif est de : 660 + 60 = 720

Ensemble :

On effectue l’addition : 720 + 660 + 550 + 600 = 2 530

Rentrée 2004-2005 :

classes de 6ème :

L’effectif a diminué de 5 % par rapport à l’année précédente où il était de 720 élèves

L’effectif de la rentrée 2004-2005 est de : 720 – = 684

Classes de 4ème :

L’année précédente l’effectif des 5 ème était de 660

L’effectif de la rentrée 2004-2005 est : = 528

Classes de 5ème :

L’année précédente l’effectif était de 660

L’effectif de la rentrée 2004-2005 est de : 660 + 40 = 700

660 45

×

5 720100×

550 65

×

600 1112

×

3 1505

×

131Les fractions

effectifs parts

classes de 4ème 550 5

classes de 5ème ? 6


Classes de 3ème :

L’effectif de l’année précédente était de 600.

L’effectif de la rentrée 2004-2005 est de : 600 – = 552

Ensemble

On effectue l’addition :684 + 528 + 700 + 552 = 2 464

Calcul de la variation des effectifs :

– La variation en nombre ,

C’est la différence des effectifs entre les deux années

Soit : effectif 2004-2005 – effectif 2003-2004

On précise le signe + ou – (+ pour une augmentation et – pour une baisse des ef-fectifs)classes de 6ème : 684 – 720 = – 36classes de 5ème : 700 – 660 = + 40classes de 4ème : 528 – 550 = – 22classes de 3ème : 552 – 600 = – 48ensemble : 2 464 – 2 530 = – 66

– La variation en % arrondis au dixième près

La variation en % s’obtient en appliquant cette formule :

variation en nombre × 100effectif en 2003-2004

Le résultat sera arrondi pour conserver 1 chiffre derrière la virgule selon les règles

Le résultat conserve le signe + ou – de la variation en nombre

classes de 6ème : = – 5,0

classes de 5ème : = 6,06 soit 6,1

classes de 4ème : = 4,0

classes de 3ème : = – 8,0

ensemble : = – 2,60 soit – 2,6

Attention : dans le tableau, il n’y aura pas de trait d’addition dans cette colonne devariation en % puisque le % pour l’ensemble (ici – 2,6) n’est pas l’addition des % devariation

− ×66 1002530

− ×48 100600

− ×22 100550

+ ×40 100660

− ×36 100720

2 60025

×



Exercice III

• Le nombre d’habitants :

On a le total : 36 000, la population de A est donnée sous forme d’un % de 36 000

Population de A : 36 000 × 42 % = 15 120

Le reste est : 36 000 – 15 120 = 20 880 il est partagé de façon inégale

La commune la moins peuplée est C, la population de B = 3 × C et celle de D = 2 × C

La population de B + C + D soit 20 880 correspond à 3C + 2C + C = 6C

D’où la population de C : 20 880 : 6 = 3 480

B : 3 × 3 480 = 10 440

D : 2 × 3 480 = 6 960

• dépenses d’investissement :

– Achat du terrain : Comme ce poste est déterminé proportionnellement au nombred’habitants, il suffit de trouver la part pour 1 habitant.

la part de C est 6 960 € pour une population de 3 480 habitants

La part pour 1 habitant est : 6 960 : 3 480 = 2 €

(exemple pour A : 2 × 15 120 = 30 240 €)

– Construction :

C’est un véritable problème de fractions. Soit T le coût total :

D paie : T il reste : T

A paie : T A paie : 118 500 €

Déterminons T par règle de trois : T = = 395 000 €118 500 10

3×

25

34

310

× =T

34

14

133Les fractions

classes effectifs variation 2004-2005/2003-2004

2003-2004 2004-2005 en nombre en %*

6ème 720 684 – 36 – 5,05ème 660 700 + 40 + 6,14ème 550 528 – 22 – 4,03ème 600 552 – 48 – 8,0

ensemble 2 530 2 464 – 66 – 2,6

* au dixième près


On peut maintenant définir la part de D : D = × 395 000 = 98 750 €

Parts de B + C = 395 000 – (98 750 + 118 500) = 177 750 €

Pour partager entre B et C: on peut utiliser la représentation graphique des segments

CB + C = 177 750

B

(ou une méthode plus algébrique : B = C + 9 320

d’où B + C = (C + 9 320) + C = 2C + 9 320 = 177 750

Part de C : = 84 215 €

Part de B = 84 215 + 9 320 = 93 535 €

Exercice IV

Population de chaque parcelle :

Appelons T la population totale occupant ce terrain.

Population du lot A = T B = T

C = de B = ( × ) T = T

On peut donc totaliser les populations des lots A+ B + C (dès lors que ce sont des frac-tions d’une même grandeur T) :

A + B + C = ( + + ) T = T = T = T

La population du lot D sera le « complément à l’unité », soit T = 1 320 habitants.

D’où le calcul de T :

T = = 4 620 habitants13 72

20 ×

27

57

1521

7 3 521

+ +521

17

13

521

17

53

53

17

13

177 750 – 9 3202

14


commune populationdépenses d’investissement (en €)

achat du terrain construction

A 15 120 30 240 118 500B 10 440 20 880 93 535C 3 480 6 960 84 215D 6 960 13 920 98 750

total syndicat 36 000 72 000 395 000

�9 320


On en déduit sans difficulté les populations respectives :

– du lot A = × 4 620 = 1 540 habitants

– du lot B = × 4 620 = 660 habitants

– du lot C = × 4 620 = 1 100 habitants

• Part en pourcentage par rapport au total :

Pour chaque parcelle, on fera le rapport exprimé en centièmes puis

en pourcentages (arrondis au centième près, à défaut de consigne particulière).

Exercice V

Le total du budget 2006 se détermine par l’addition des différents postes = 650 500 €

Le total du budget prévu en 2007= 650 000 + (7 % × 650 000) = 696 035€

« vie scolaire » : 51 750 + ( × 51 750) = 51 750 + 4 140 = 55 890 €

« revenu étudiants et allocations jeunes » : 105 000 = du montant prévu en 2007

le montant 2007 représente les de lui-même d’où son calcul par « règle de trois »

= 122 500 €

Pourcentages d’évolution 2007/2006 :

Ils se déterminent, pour chaque poste et pour le total par le rapport :

Pour le total on sait déjà que ce pourcentage est de + 7 %

NB : comme les calculs nous indiquent que tous les postes sont en augmentation,l’usage de ce terme dans le titre de la colonne dispense de mettre les signes « + »

écart en euros 100valeur du poste en 2006

×

105 000 76

×

77

67

225

Population du lotTotal

521

17

13

135Les fractions

LotPopulation

Nombre d’habitants % / total

A 1 540 33,33B 660 14,29C 1 100 23,81D 1 320 28,57

Total 4 620 100,00


Corrigé (données financières en euros; pourcentages arrondis au centième près) :


Catégories d’aides Montant 2006 Budget 2007 Augmentation en %budget 2007/2006

Vie scolaire 51 750 55 890 8,00Activités périscolaires 36 250 39 150 8,00

Revenus étudiants 105 000 122 500 16,67Aides sociales 457 500 478 495 4,59

Total 650 500 696 035 7,00


Partages en partsinégales (I)

Différence entre les partsFraction entre les parts

Chapitre 7



On distinguera, dans ce chapitre, les partages inégaux faisant intervenir :

– une somme ou une différence entre les parts ;

– une fraction entre les parts.

L’objectif est toujours de déterminer une part de référence et, pour ce faire, on uti-lisera systématiquement une méthode arithmétique avec un schéma aussi bien dansles applications résolues que dans les corrections des exercices.

■ Méthode arithmétique :

– ranger si possible en ordre croissant les parts à déterminer

– traduire l’énoncé en schéma

– trouver la plus petite des parts (avec une division) puis en déduire les autres (il esttoujours souhaitable de vérifier les résultats en relisant l’énoncé !)

■ Bien entendu, une résolution algébrique est toujours possible en suivant la dé-marche suivante :

– choisir l’inconnue x ;

– interpréter les diverses parts en fonction de x ;

– traduire l’énoncé en équation ;

– résoudre l’équation ;

– en déduire les valeurs des différentes parts ;

– vérifier.




1 - Partage inégal connaissant une différence entredeux parts

Exemple

Lecture de l’énoncé : Déductions :

« Dans le village A, on recense 350 habitants de moins que dans le A est moins peuplé que B, on peutvillage B… » écrire : A < B

« … le village B qui a lui-même 600 habitants de moins que le village C » B est moins peuplé que C, on peut

écrire : B < C

Conclusion

Donc A < B < C

Résolution

On représente les parts par des segments ; le plus petit représente la plus petite partici : A.

A

B 6 100

C

Pour trouver la petite part A :

– on soustrait de la somme totale les quantités qui dépassent A ;

– puis on divise par le nombre de parts égales à A.

600350

350

Trois villages A, B, C ont ensemble 6 100 habitants. Dans le village A, on recense 350 habitants de moins que dans le village B, qui alui-même 600 habitants de moins que le village C.

Combien y a-t-il d’habitants dans le village A ?

139Partages en parts inégales (I) - Différence entre les parts - Fraction entre les parts

�


Soit : 6 100 – (600 + 350 + 350) = 4 800

4 800 : 3 = 1 600

donc A = 1 600 B = 1 600 + 350 = 1 950 C = 1 950 + 600 = 2 550

Vérification : 1 600 + 1950 + 2 550 = 6 100

A titre indicatif, voici une autre méthode : la résolution algébrique.

Soit « x » la part de A

On en déduit que la part de B est : x + 350 et celle de C : x + (350 + 600)

On résout l’équation : x + (x + 350) + (x + (350 + 600)) = 6 100

On obtient : 3 x = 4 800 d’où x = 1 600

La part de A est : 1 600

Celle de B est : 1 600 + 350 = 1 950

Celle de C est : 1 950 + 600 = 2 550

2 - Partage inégal avec fraction

Exemple n° 1

Lecture de l’énoncé Déduction

« A reçoit la moitié de la subventionattribuée à B… » La part de A est inférieure à celle de B :

A<B

« … et le double de celle de C » La part de C est inférieure à celle de A :C<A

Conclusion

Donc C < A < B

Une subvention de 245 000 € est partagée entre trois associations A, B, C.A reçoit la moitié de la subvention attribuée à B et le double de celle attribuée àC.

Quelle part de subvention perçoit chaque association ?



Résolution

On représente le segment pour C puis on en déduit les longueurs des segments pourA et B.

C

A 245 000

B

A + B + C représentent ensemble 7 fois la part de C.

La part C représente : 245 000 : 7 = 35 000 €

A représente 35 000 × 2 = 70 000 €

B représente 70 000 × 2 = 140 000 €

Vérification : 35 000 + 70 000 + 140 000 = 245 000

Exemple n° 2


« A reçoit les 2/5 de ce que reçoit B » La prime de B se partage en 5 parts. Celle de A représente 2 de ces parts

Résolution

On représente les primes de A et B en fonction du nombre de parts.

A

B

Une prime de 3 500 € est répartie entre deux agents A et B, A recevant les 2/5 dece que reçoit B.

Quelle part de la prime reçoivent respectivement A et B ?


�


A + B (soit 3 500 €) représentent ensemble 5 + 2 = 7 parts égales

La valeur d’une part : 3 500 : 7 = 500

La prime de A est : 500 × 2 = 1 000 €

Celle de B est : 500 × 5 = 2 500 €



À vous de jouer !


Exercice N° 1 (*)

Pour vérifier la compréhension des énoncés suivant, ranger en ordre croissant les partsA, B, C ou faire un schéma :

Exercice N° 2 (*)

Une commande de 1500 € est réalisée par trois personnes. La commande de B est lamoitié de celle de A et le triple de celle de C.

Quel est le montant de chaque commande ?

Exercice N° 3 (*)

Pour une somme de 68€, on a deux articles dont l’un est 7 fois moins cher que l’autre.

Quels sont les prix de chaque article ?

Exercice N° 4 (*)

Un complexe de trois salles de cinéma, soit 1 000 places, va être construit. La secondesalle contiendra 160 places de plus que la première mais 50 de moins que la troisième.

Quelle sera la capacité de chaque salle ?


Sur une cassette de 180 minutes, on enregistre trois émissions. La première dure 12 mi-nutes de moins que la deuxième qui elle-même dure 21minutes de plus que la troisième.

Quelle est la durée de chaque émission ?


B est supérieure à A mais inférieure à C

A représente le tiers de B et le triple de C

B représente la moitié de A et le quadruple de C

A compte 1 000 € de moins que B qui compte elle-même 500 €

de plus que C

A compte 600 € de moins que C mais 300 € de plus que B

C compte 800 € de moins que A et représente les 5/3 de B


Exercice N° 6 (**)

Pour la construction d’un bâtiment dont le prix est 200 000 €, cette commune reçoit

une subvention de l’État égale aux de celle de la région et la commune donne

2 000 € de plus que la région.

Retrouver les parts versées par l’État, la région et la commune.

Exercice N° 7 (**)

Trois associés F, G et H ont participé au financement d’une entreprise en apportantensemble un capital de 270 000 €. F a versé deux fois moins que G et H a fourni lamême somme que F et G réunis.

Retrouvez la somme apportée par chaque associé.

Exercice N° 8 (*)

Un musée a reçu 1 560 visiteurs le samedi, soit 320 de plus que le vendredi et 250 demoins que le dimanche. Pendant la semaine on a enregistré 6 010 visiteurs, le jeudi40 visiteurs de moins que le mercredi, et le musée est fermé le lundi et le mardi.

Retrouvez le nombre des entrées chaque jour et la moyenne des entrées pour la semaine.

Exercice n° 9 (**)

Lors de cette élection au conseil d’administration, quatre candidats A, B, C et D seprésentent. Sur les 360 suffrages exprimés, 78 voix se portent sur le candidat A. C ob-tient alors le tiers du reste des suffrages soit 32 voix de plus que le candidat B.

Combien de voix a reçu le candidat D ?


La recette d’un concert est de 4340 € avec des billets «orchestre » à 18 € et des billets« balcon ».

Sachant qu’il a été vendu 350 billets en tout dont 4 fois plus de billets « balcon » quede billets « orchestre », retrouvez le nombre de billets de chaque sorte qui ont étévendus et le prix du billet « balcon ».

Exercice n° 11(**)

Le nombre d’employés dans les 4 filiales A, B, C et D d’une entreprise s’élève à 3 500.

Sur le site A on dénombre 1 200 employés. Le site B a 50 employés de moins que lesite C et le site D en a la moitié du site B.

Retrouvez le nombre d’employés de chaque site

34



Exercice 12(***)

Voici 5 sites de production de minerai A, B, C, D et E rangés selon l’ordre croissant deleur production. La production totale est de 105 000 tonnes.

Le site E a produit 7 fois plus que le site A

Les sites B, C et D ont produit 56 000 tonnes. La différence entre C et D est de 3 000tonnes celle entre B et C est de 2 500 tonnes.

Retrouvez les productions de chaque site


1 - Si la part A est le tiers de la part B et le triple de la part C, le nombre total departs est :

■ 12 ■ 13 ■ 9 ■ 5

2 - Si la part B est la moitié de la part A et le double de la part C, alors :

■ A est 4 fois plus grand que C ■ C est la moitié de A■ B est le triple de C ■ C est le tiers de A

3 - Si la part A est le quart de la part B et la moitié de la part C alors :

■ C est le tiers de B ■ C est la moitié de B■ A est le tiers de C ■ C est le tiers de B

4 - Deux objets A et B valent ensemble 50 € et A est de 5 € plus cher que B, alors :

■ A = 27,5 € ■ A = 30 € ■ B = 30 € ■ B = 20 €

5 - A, B et C sont trois coureurs. A est arrivé 30 min après B et 40 min après C, donc :

■ A est arrivé 70 min après C ■ C est arrivé 10 min avant B■ B est arrivé 10 min avant C ■ B est arrivé 20 min avant A

6 - Si 2 cahiers et 1 carnet coûtent ensemble 6 € et si le cahier coûte 0,6 € de moinsque le carnet, le prix du carnet est :

■ 4,2 € ■ 2,4 € ■ 1,8 € ■ 1,6 €



7 - On partage 400 € entre A et B afin que B reçoive 4 fois plus que A, donc :

■ A reçoit 100 € ■ A reçoit 240 € de moins que B■ B reçoit 300 € ■ B reçoit 360 €

8 - Le périmètre d’un rectangle est de 3 000 m et la longueur est de 50 m plus grandeque la largeur ; la largeur mesure :

■ 1 475 m ■ 775 m ■ 1450 m ■ 725 m

9 - Si A reçoit 50 € de moins que B et si C avec 150 € reçoit le tiers de la somme,quelle est la part reçue par B ?

■ 125 € ■ 150 € ■ 175 € ■ 200 €

10 - On achète 1 livre, 1 dictionnaire et 1 revue pour 30,5 €. Le livre coûte 6 € deplus que la revue et le dictionnaire 5 fois plus que la revue. Le prix de la revue est :

■ 1 € ■ 3,5 € ■ 6 € ■ 4,36 €


Exercice I

Quatre communes A, B, C et D se sont regroupées pour construire un gymnase.

Les frais de construction et d’aménagement, d’un montant de 368 940 € sont sup-portés aux 2/3 par A, qui est le principal utilisateur et qui a le privilège d’avoir le gym-nase dans sa commune. Le tiers restant est pris en charge à 19 % par B, à 27 % parC et à 54 % par D.

Les frais de fonctionnement de la première année s’élèvent à 71 203 euros.

A en supporte les 3/5, B la moitié du reste et D finance la moitié de la part de C

Estimez pour chaque commune et pour l’ensemble :

Les frais de construction et d’aménagement ainsi que ceux de fonctionnement

Les réponses seront arrondies au centième près

(d’après un concours Oise 2006)

Exercice II

En 2006 le total des charges de fonctionnement dans quatre centres d’hébergementdestinés à accueillir les enfants en colonies de vacances se montait à 58 000 € quel’on pouvait ventiler ainsi : 21 600 € pour les « Gentianes » ; les charges pour les



« Ajoncs » représentant la moitié de celles des « Myrtilles » et le double de celles des« Mimosas ».

Etablissez les charges de fonctionnement de chaque centre en 2006 et la répartitionen %.

Exercice III

Pour la construction d’une salle de spectacle, la ville de X a fait établir un devis pour5 lots de travaux : maçonnerie, charpente, électricité, plomberie et peinture.

La maçonnerie s’élève à 147 000 €, soit 42 % du coût total du devis.

La charpente est facturée 83 400 €

Le coût de l’électricité est égal au tiers de celui de la charpente.

Le coût de la peinture est 5 200 € moins cher que celui de la plomberie

Retrouvez pour chaque lot et pour le total, les coûts en € ainsi que le % des coûtsde chaque lot par rapport au total du devis.

(d’après un concours CDG Landes 2006)

Exercice IV

L’entreprise Placôt dispose de trois chantiers à Lyon, Toulouse et en Région Parisienne.En 2006 le chantier de Lyon a traité 650 tonnes de plus que celui de Toulouse et 7,02milliers de tonnes de moins que la Région Parisienne, la production totale étant de35,26 milliers de tonnes.

Retrouvez la production exprimée en tonnes en 2006 de chacun des 3 chantiers et larépartition en %

Exercice V

La commune X a acheté un terrain de 15,32 hectares qui a été partagé en quatre par-celles A, B, C et D. La parcelle A est deux fois plus grande que celle du lot C, la par-celle B représente 455 ares de plus que le lot C, et la parcelle D représente 3,77hectares.

Retrouvez les superficies en ares des quatre parcelles.




Exercice n° 1

A < B < C

C < A < B

C < B < A

A < C < B

B < A < C

B < C < A

Exercice n° 2

La plus petite commande est celle de C.

C

B Il y a en tout 10 parts égales qui

Areprésentent 1 500 €.

Valeur de la part unitaire : 1 500 : 10 = 150

Commande A : 150 × 6 = 900 €

Commande B : 150 × 3 = 450 €

Commande C : 150 € vérification : 900 + 450 + 150 = 1 500

Exercice n° 3

Une part Il y a 8 parts égales en tout

Autre part qui représentent 68 €.

Valeur de la part unitaire : 68 : 8 = 8,5 €

Valeur de la petite part : 8,5 €

Valeur de l’autre part : 8,5 × 7 = 59,5 €


�

�


Exercice n° 4

La première salle est la plus petite

1re

2e 1 000 places en tout

3e

Nombre de places dans la petite salle : 1000 – (160 + 160 + 50) = 630

630 : 3 = 210

Nombre de places dans la 2 e salle : 210 + 160 = 370

Nombre de places dans la 3 e salle : 370 + 50 = 420

Exercice n° 5

C’est la troisième émission qui est la plus courte.

Entre la 1 re et la 3e il y a 21 – 12 = 9 min

3e

1re180 min

2e

Durée de la troisième émission : 180 – (9 + 9 + 12) = 150

150 : 3 = 50 min

Durée de la deuxième émission : 50 + 21 = 71 min

Durée de la première émission : 71 – 12 = 59 min

9

50160

160


129

21

�

�


Exercice n° 6

État

Région 200 000 €

Commune

Ensemble, les 11 parts égales représentent : 200 000 – 2 000 = 198 000

Valeur de la part unitaire : 198 000 : 11 = 18 000

Part de l’État : 18 000 × 3 = 54 000 €

Part de la Région : 18 000 × 4 = 72 000 €

Part de la Commune : 72 000 + 2 000 = 74 000 €

Exercice n° 7

F

G 270 000 € et 6 parts égales

H

Valeur de la part unitaire : 270 000 : 6 = 45 000

F reçoit : 45 000 €

G reçoit : 45 000 × 2 = 90 000 €

H reçoit : 45 000 + 90 000 = 135 000 €

Exercice n° 8

Entrées samedi : 1 560

Entrées vendredi : 1 560 – 320 = 1 240

Entrées le dimanche : 1 560 + 250 = 1 810

Entrées mercredi et jeudi : 6 010 – (1 560 + 1 240 + 1 810) = 1 400

Jeudi

1 400 visiteurs

Mercredi40

2000


�

�

�


Entrées jeudi : 1 400 – 40 = 1 360

1 360 : 2 = 680

Entrées mercredi : 680 + 40 = 720

Moyenne de la semaine (elle comporte 5 jours ouvrables) : 6 010 : 5 = 1 202

Exercice n° 9

A reçoit 78 voix, il reste donc 360 – 78 = 282 voix à répartir entre les candidats B, C etD

C reçoit le tiers du reste, il reçoit : 282 : 3 = 94 voix

C a ainsi 32 voix de plus que B donc B obtient : 94 – 32 = 62 voix

Le nombre de voix obtenues par D s’obtient par la différence entre le total des suf-frages et ceux reçus par A B, et C

360 – (78 + 94 + 62) = 126

Exercice n° 10

« Orchestre »350 billets

« Balcon »

Nombre de billets « orchestre » 350 : 5 = 70

Nombre de billets « balcon » 70 × 4 = 280

Prix du billet « balcon » : 4 340 – (18 × 70) = 3 080 €

3 080 : 280 = 11 €


Puisque le site A a 1 200 employés il reste 3 500 – 1 200 = 2 300 employés à répartirentre les 3 sites B, C et D.

Le site ayant le moins d’employés est D

D

B 2 300

C

On résout le partage ainsi : 2 300 – 50 = 2 250

2 250 représente 5 parts égales valeur unitaire : 2 250 : 3 = 450

50


�

�


En D il y a 450 employés

En B il y a 450 × 2 = 900 employés

En C il y a 900 + 50 = 950 employés


Les sites sont rangés en ordre croissant de la production donc A < B < C < D < E

Les sites A et E ensemble ont produit : 105 000 – 56 000 = 49 000 tonnes

A49 000

E

49 000 tonnes est représenté par 8 parts égales, valeur unitaire : 49 000 : 8 = 6 125A a produit : 6 125 tonnes et E a produit 6 125 × 7 = 42 875 tonnes

La répartition de 56 000 tonnes entre B, C et D peut s’exprimer avec un schéma :

La plus petite production est celle de B :

B

C B + C + D = 56 000

D

Résolution : 56 000 – (2 500 + 2 500 + 3 000) = 48 000

Recherche de la plus petite production : 48 000 : 3 = 16 000

Le site B a produit : 16 000 tonnes

Le site C a produit : 16 000 + 2 500 = 18 500 tonnes

Le site D a produit : 18 500 + 3 000 = 21 500 tonnes


2 500 3 000

2 500


1 - 13 6 - 2,4 €

2 - A est 4 fois plus grand que C 7 - A reçoit 240 € de moins que B

3 - C est la moitié de B 8 - 725 m

4 - 27,5 € 9 - 175 €

5 - C est arrivé 10 min avant B 10 - 3,5 €

�

�



Exercice I

Les frais de construction s’élèvent à 368 940 €

La commune A finance : 245 960 €

Il reste : 368 940 – 245 960 = 122 980 €

B finance : 23 366,20 €

C finance : 33 204,60 €

D finance : 66 409,20 €

La répartition des frais de fonctionnement :

A finance : 42 721,80 €

Il reste : 71 203 – 42 721,80 = 28 481,20 €

B finance : 28 481,20 : 2 = 14 240,60 €

Pour C et D il reste aussi : 14 240,60 avec la répartition schématisée ainsi :

D

C14 240,60

D : 14 240,6 : 3 = 4 746,87 € et C : 4 746,87 × 2 = 9 493,73 €

Exercice II

Les charges pour « Ajoncs », « Myrtilles » et « Mimosas » s’élevaient ensemble à :58 000 – 21 600 = 36 400 €

71 203 3× =5

122 980 5× =4100

122 980 27× =100

122 980 19× =100

368 940 2× =3


communes frais de construction frais de fonctionnement

A 245 960,00 42 721,80B 23 366,20 14 240,60C 33 204,60 9 493,73D 66 409,20 4 746,87

ensemble 368 940,00 71 203,00

�


Répartition : « Mimosas »

« Ajoncs » 36 400« Myrtilles »

Charges « Mimosas » 36 400 : 7 = 5 200 €

Charges « Ajoncs » : 5 200 × 2 = 10 400 €

Charges « Myrtilles » 10 400 × 2 = 20 800 €

Charges « Gentianes » 21 600 €

Vérification : 21 600 + 20 800 + 10 400 + 5 200 = 58 000 €

Le % de chaque centre est obtenu ainsi : (il est arrondi au centième)

Exercice III

La maçonnerie avec 147 000 € représente 42 % du devis total (qui représente donc100 %).

Le devis total est de : 350 000 €

L’électricité représente le tiers de la charpente soit : 83 400 : 3 = 27 800 €

La plomberie et la peinture se partagent donc :

350 000 – (147 000 + 83 400 + 27 800) = 91 800 €

Répartition : peinture91 800

plomberie

Coût de la peinture : 91 800 – 5 200 = 86 600

86 600 : 2 = 43 300 €

Coût de la plomberie : 43 300 + 5 200 = 48 500 €

5 200

147 000 100× =42

valeur 100total

×


centres 2006 %/total

Mimosas 5 200 8,97Ajoncs 10 400 17,93Myrtilles 20 800 35,86Gentianes 21 600 37,24

Total 58 000 100,00

�

�


Le %/ total des coûts de chaque lot de travaux est obtenu par : (il est arron-di au centième)

Exercice IV

7,02 milliers de tonnes = 7 020 tonnes 35,26 milliers de tonnes = 35 260 tonnes

Répartition : Toulouse

Lyon 35 260

Région parisienne

Tonnage à Toulouse : 35 260 – (7 020 + 650 + 650) = 26 94026 940 : 3 = 8 980 tonnes

Tonnage à Lyon : 8 980 + 650 = 9 630 tonnes

Tonnage en Région Parisienne : 9 630 + 7 020 = 16 650 tonnes

Vérification : 8 980 + 9 630 + 16 650 = 35 260 tonnes ou 35,26milliers de tonnes

Le %/total est obtenu par :

Exercice V

15,32 ha = 1 532 ares 3,77 ha = 377 ares

tonnage 100total

×

7 020650

650

coût 100total

×


travaux coût en € %/total

maçonnerie 147 000 42,00charpente 83 400 23,83électricité 27 800 7,94plomberie 48 500 13,86peinture 43 300 12,37

total 350 000 100,00

�

Chantiers Tonnage 2006 Répartition en %/total

Toulouse 8 980 25,47

Lyon 9 630 27,31

Région Parisienne 16 650 47,22

Total 35 260 100,00



Les trois parcelles A, B, C représentent : 1532 – 377 = 1 155 ares

Répartition :

C

A 1 155

B

Parcelle C : 1 155 – 455 = 700 et 700 : 4 = 175 ares

Parcelle A : 175 × 2 = 350 ares

Parcelle B 175 + 455 = 630 ares

Vérification : 175 + 350 + 630 + 377 = 1 532 ares

455 �


Partages en partsinégales (II)

Partages proportionnels

Chapitre 8



La proportionnalité caractérise des suites de grandeurs liées par l’existence d’un mul-tiplicateur constant appelé : coefficient de proportionnalité .

Exemple n° 1

On observe que : 120 : 4 = 30

240 : 8 = 30 le coefficient de proportionnalité est 30

1 020 : 34 = 30

Les nombres 120, 240, 1 020 sont donc respectivement proportionnels aux nombres4, 8 et 34.

Remarque :

– Le coefficient de proportionnalité est indépendant des unités des éléments dessuites.

– Les éléments des deux suites progressent selon le même rapport.

■ Propriétés des suites de nombres proportionnels

1. La somme des éléments de la suite A est proportionnelle à la somme des élémentsde la suite B.

Vérification avec l’exemple n° 1 :

somme des éléments de la suite A : 120 + 240 + 1 020 = 1 380

somme des éléments de la suite B : 4 + 8 + 34 = 46

donc : = = = = 30

1 380 est proportionnel à 46 car 1 380 : 46 = 30

2. La différence entre 2 éléments de la suite A est proportionnelle à la différenceentre les 2 éléments respectifs de la suite B.

Vérification avec l’exemple n° 1 :

différence entre le 3 e et le 2e éléments de la suite A : 1 020 – 240 = 780

1 380 46

1 020 34

2408

1204


× 30Suite A 120 240 1 020

Suite B 4 8 34

�×


différence entre le 3 e et le 2e éléments de la suite B : 34 – 8 = 26

donc : = = = 30

780 est proportionnel à 26 car 780 : 26 = 30

Une partage proportionnel, c’est donc un partage en parts inégales, chacune mul-tiple d’un élément unitaire commun : le coefficient de proportionnalité.

Exemple n° 2

Si la part A est proportionnelle à 4 A

Si la part B est proportionnelle à 3 B

Si la part C est proportionnelle à 5 C

La somme A + B + C correspond à 4 + 3 + 5 soit 12 éléments unitaires égaux.

Le coefficient de proportionnalité peut se calculer ainsi : somme (A + B + C) : 12.

Il correspond à la valeur de l’élément unitaire qui compose les parts A, B et C.

■ Autres propriétés utiles pour effectuer les partages proportionnels

1. Simplification par division

Si l’on doit partager proportionnellement à : 1 600 000, 3 200 000, 600 000

on peut effectuer le partage proportionnellement à 16 32 6

(on a divisé chaque terme par 100 000)

ou même par 8 16 3

(on a alors divisé chacun des termes précédents par 2)

2. Simplification par multiplication

Si l’on doit partager proportionnellement à : , ,

on peut effectuer le partage proportionnellement à 15 6 20

(on a alors multiplié chaque terme par 7)

3. Si l’on doit partager proportionnellement à deux ou plusieurs grandeurs , ilconvient d’effectuer le partage proportionnellement au produit de ces autres gran-deurs.

207

67

157

78026

2408

1 020 34

159Partages en parts inégales (II) - Partages proportionnels



Exemple n° 3

Partager une somme entre A, B et C proportionnellement à 3, 5, 7 et proportionnel-lement à 10, 5, 8, c’est effectuer le partage proportionnellement à

3 × 10 = 30, 5 × 5 = 25 et 7 × 8 = 56

Les parts A, B et C sont donc proportionnelles respectivement à 30, 25 et 56.



1 - On connaît la somme à partager


Respectivement A correspond à 3, B correspond à 2 et« proportionnellement » C correspond à 5.

Plus la personne à d’enfants, plus saprime sera importante.

Interprétation graphique :

A reçoit 3 parts :

B reçoit 2 parts : 10 parts égales

C reçoit 5 parts :

Résolution :

La prime totale de 1 600 € est proportionnelle au nombre total d’enfants : 3 + 2 + 5= 10 enfants

Le coefficient de proportionnalité est de 1 600 : 10 = 160

Il correspond au montant de la prime reçue pour un enfant.

A reçoit : 160 × 3 = 480 €

B reçoit : 160 × 2 = 320 €

C reçoit : 160 × 5 = 800 € (vérification : 480 + 320 + 800 = 1 600)

Autre méthode pour trouver le coefficient de proportionnalité :

En utilisant la propriété n° 1 des suites de nombres proportionnels, on peut écrire :

= = = = = 160160010

A B + C+3 + 2 + 5

C5

B2

A3

Une prime de 1 600 € est partagée entre 3 employés A, B, C respectivement pro-portionnellement à leur nombre d’enfants, soit 3, 2 et 5.

Quelle est la valeur de la part reçue par chaque employé ?


�


2 - On connaît l’une des parts


« Proportionnellement » C reçoit 87,5 € et cette somme correspond à 7 « parts ».

Résolution :

Calcul du coefficient de proportionnalité : 87,5 : 7 = 12,5

Le montant total de la prime est proportionnel au total des parts, soit 4 + 5+ 7 = 16

Calcul du montant total : 12,5 × 16 = 200 €

Part de la prime pour A : 12,5 × 4 = 50 €

Part de la prime pour B : 12,5 × 5 = 62,5 €

C reçoit 87,5 €

(vérification : 50 + 62,5 + 87,5 = 200)

3 - On connaît la différence entre deux parts


« Au prorata » = « proportionnellement » Plus la commune est peuplée, plus elleverse pour la construction.

« Respective » A a 1 500 habitants, B a 800 habitantset C a 700 habitants.

Trois communes A, B, C participent à la construction d’une décharge au prorata deleur population respective, soit 1 500, 800 et 700 habitants. La commune B verseainsi 300 € de plus que la commune C.

Retrouvez les parts versées par chaque commune et le coût total.

On partage une prime entre trois personnes A, B et C proportionnellement à 4, 5,7 et la personne C reçoit 87,5 €.

Retrouvez le montant total de la prime et sa répartition.



Résolution :

La commune B verse 300 € de plus que la commune C car la commune B a 100 ha-bitants de plus que la commune C.

Calcul du coefficient de proportionnalité : 300 : 100 = 3

La valeur du coefficient de proportionnalité, c’est le montant versé par chaquecommune pour 1 habitant.

Part versée par la commune A : 3 × 1 500 = 4 500 €

Part versée par la commune B : 3 × 800 = 2 400 €

Part versée par la commune C : 3 × 700 = 2 100 €

Le coût total est proportionnel au nombre total des habitants

Nombre total d’habitants : 1 500 + 800 + 700 = 3 000

Coût total : 3 × 3 000 = 9 000 €

(vérification : 4 500 + 2 400 + 2 100 = 9 000)


En utilisant la propriété n° 2 des suites de nombres proportionnels, on peut écrire :

= = = = 3

4 - Le partage est proportionnel à plusieurs quantités

Lecture de l’énoncé : Déduction

« Proportionnellement à l’ancienneté La part du premier est proportionnelleet au nombre d’enfants » à 3 × 5 = 15

La part du deuxième est proportion-nelle à 1 × 2 = 2

La part du troisième est proportionnelleà 2 × 6 = 12

Une prime est répartie entre trois employés proportionnellement à l’ancienneté etau nombre d’enfants. Le premier a 3 enfants et 5 ans d’ancienneté, le deuxième a1 enfant et 2 ans d’ancienneté, le troisième a 2 enfants et 6 ans d’ancienneté. Ce-lui qui a le plus d’ancienneté reçoit 960 €.

Retrouvez le montant total de la prime.

300100

B – C800 – 700

C700

B800




Résolution :

Celui qui a le plus d’ancienneté est le troisième, et sa prime de 960 € est propor-tionnelle à 12.

Calcul du coefficient de proportionnalité : 960 : 12 = 80

Le montant total de la prime est proportionnel au nombre total de parts.

Le nombre total de parts est : 15 + 2 + 12 = 29

La valeur de la prime est : 80 × 29 = 2 320 €


À vous de jouer !


Exercice N° 1 (*)

Trois étudiants se partagent le loyer d’un appartement proportionnellement à la sur-face de leur chambre, respectivement 12 m 2, 20 m2 et 32 m2.

Quelle est la part versée par chacun d’entre eux sachant que le loyer est de 760 € ?

Exercice N° 2 (*)

Répartir une subvention de 8 000 € entre quatre associations selon leur nombre d’ad-hérents, soit respectivement 50, 100, 150 et 200.

Exercice N° 3 (*)

Retrouver la prime partagée entre deux employés A et B proportionnellement à 8 età 7, sachant que A reçoit 30 € de plus que B.

Exercice N° 4 (**)

Retrouver la superficie du lotissement qui a été partagé en trois lots A, B, C respec-tivement proportionnellement à 9, 7 et 5, sachant que le plus petit lot a une super-ficie de 300 m2.

Exercice N° 5 (**)

Une somme a été partagée entre trois personnes A, B et C proportionnellement à 20,60 et 80.

Quelle est cette somme si A et B ensemble ont reçu 56 € ? Retrouvez sa répartition.

Exercice N° 6 (*)

Partager un gain de 11 400 € entre A, B et C proportionnellement aux mises de cha-cun, soit 45 €, 20 € et 30 €.

Exercice N° 7 (**)

Une gratification est répartie entre trois employés A, B et C proportionnellement àleurs années d’ancienneté et à leur salaire :



Sachant que A reçoit 7800 €, calculez les parts de B et de C et le montant total de lagratification.

Exercice N° 8 (**)

Quatre communes A, B, C et D se partagent la construction d’un bâtiment intercommu-nal proportionnellement à leur population respective (840, 1 250, 730 et 460 habitants).

La commune la plus peuplée prend ainsi en charge 31 250 €.

Quel est le coût total du bâtiment ?

Quelle est la participation des trois autres communes ?


Trois associations culturelles ont, en 2004, respectivement 540, 350 et 180 adhérents.

En 2005, leur nombre d’adhérents est passé à 567, 371 et 207.

Pour 2006, la municipalité décide de répartir une subvention de 13 000 € propor-tionnellement à l’augmentation en pourcentage du nombre de leurs adhérents entre2004 et 2005.

Faire le partage de cette subvention.

Exercice N° 10 (*)

Trois familles ont acquis un studio en multipropriété et se partagent les frais qui s’élè-vent à 7 776 € proportionnellement au temps d’occupation et au nombre d’occupantsétabli selon le tableau suivant :

Retrouvez le coût pour chaque famille.

Exercice n° 11 (*)

Trois amis Fred, Bob et Marc ont gagné 16 500 € à une loterie en ayant acheté à euxtrois pour 27,5 € de billets à 2,5 € l’unité. Fred a acheté deux fois plus de billets queBob et Marc a versé 5 €.

Répartir le gain proportionnellement au nombre de billets achetés.


A B C

Ancienneté 12 ans 8 ans 5 ansSalaire 1 300 € 1 036 € 860 €

Durée du séjour Nombre d’occupants

Famille A 1 mois 6Famille B 2 mois 4Famille C 2 mois 2



Une personne est endettée auprès de quatre organismes A, B, C et D, à raison res-pectivement de 760, 840, 420 et 780 €.

Elle ne dispose que de 700 €.

Après avoir réparti cette somme entre chaque organisme proportionnellement auxmontant dus, déterminer la somme qu’elle doit encore à chacun d’eux.


Une prime exceptionnelle est partagée entre trois services proportionnellement àleurs effectifs respectifs (18, 7 et 15 personnes).

De cette manière, le second service reçoit 825 € de moins que le premier.

Quel est le montant de la prime ?

Faire le partage.


1 - Pour avantager les familles nombreuses, le coût d’inscription à l’école de musiquedoit être proportionnel au nombre d’enfants.

■ vrai ■ faux

2 - Partager proportionnellement à 800, 500 et 300, c’est comme partager propor-tionnellement à 8, 5 et 3.

■ vrai ■ faux

3 - Partager proportionnellement à 3/20, 5/20 et 7/20, c’est comme partager propor-tionnellement à 7, 5 et 3.

■ vrai ■ faux

4 - Dans un partage de 500 € entre A et B proportionnellement à 3 et à 2 :

■ B reçoit les 2/3 de A ■ B reçoit 300 €

■ A reçoit 150 € de plus que B ■ A reçoit les 2/5 de 500 €

5 - Dans un partage entre G et H proportionnel à 5 et à 3, si G reçoit 50 € de plusque H, la somme totale est de :

■ 400 € ■ 450 € ■ 200 € ■ 175 €



6 - Si on partage 450 € entre A et B proportionnellement à la fois à 5 et 7 et à 1/10et 1/14, la part de A est de :

■ 16,07 € ■ 187,5 € ■ 225 € ■ 150 €

7 - Si on partage 11 600 € entre trois personnes F, G, et H proportionnellement à 2,1 et 5, alors H reçoit la somme de :

■ 8 285,71 € ■ 2 900 € ■ 7 250 € ■ 6 960 €

8 - Une somme est partagée entre trois personnes A, B et C proportionnellement à18, 14, et 24 et A reçoit 60 € de plus que B. La somme à partager est de :

■ 3 360 € ■ 240 € ■ 840 € ■ 360 €

9 - Un partage entre A, B et C proportionnel à 3/20, 6/40 et 12/80 est effectué. Sa-chant que B reçoit 26 €, la somme totale à partager est de :

■ 91 € ■ 156 € ■ 78 € ■ 39 €

10 - Un partage entre A, B et C proportionnel à 3, 5 et 7 est réalisé. Sachant que Aet C reçoivent ensemble 160 €, la part de B est de :

■ 20 € ■ 100 € ■ 80 € ■ 53,33 €


Exercice I

Le coût total des accidents du travail en 2005 était de 612 millions d’euros, répartisessentiellement entre quatre secteurs d’activité : métallurgie, textile, commerce ettransport de manière directement proportionnelle à 21, 5, 14 et 11.

Retrouver la répartition par secteur en millions d’euros ainsi que le pourcentage quereprésentent ces coûts par rapport au total.

Exercice II

La commune de X souhaite dresser un bilan des dépenses d’entretien de ses trois caté-gories de routes et chemins. On nous communique les informations suivantes : les56 km de routes communales constituent 70 % de l’ensemble des routes, le resteétant constitué de routes cantonales 3 fois plus longues que les chemins vicinaux.



169

En 2005, les dépenses ont atteint un montant total de 12 000 € dont 72 % ont étéaffectés aux routes communales alors que les routes cantonales ont reçu 5/7 du reste.

Pour 2006, on prévoit d’augmenter le montant total des dépenses de 2005 de 13 %et de répartir la somme ainsi obtenue proportionnellement aux kilométrages respec-tifs des 3 catégories de routes.

On vous demande de déterminer pour chacune des catégories de routes et pour l’en-semble :– le kilométrage – le montant des dépenses en 2005 et des prévisions 2006, ainsi que leur évolution en

pourcentage entre ces 2 années.

(d’après le sujet de concours 2006 du Centre de Gestion de l’Isère)

Exercice III

Le compte administratif d’un établissement public fait apparaître au chapitre 63« Impôts, taxes et versements assimilés » les résultats suivants pour l’exercice 2005 :– Article 6351 – Taxes foncières 39 600 €– Article 6355 – Taxes et impôts sur les véhicules 18 500 €– Article 6358 – Autres droits 16 100 €– Article 6370 – Autres impôts, taxes et versements assimilés 9 800 €

Pour cette même année, les prévisions budgétaires prévoyaient un total de 85 500 €

pour l’ensemble du chapitre 63.

Pour 2006, les prévisions budgétaires sont calculées de sorte que le total de l’annéereprésente les 102,5 % du total de l’année précédente. Il est réparti de la manière sui-vante : la somme budgétaire pour le premier article « Taxes foncières » sera d’unmontant de 34 357,50 € ; le reste de la somme budgétée sera réparti entre les troisautres articles proportionnellement à leurs résultats respectifs de 2005.

Il vous est demandé de déterminer, pour chaque article budgétaire et pour l’en-semble du chapitre 63, le montant des sommes budgétisées en 2006, ainsi que leurévolution en pourcentage par rapport aux résultats de 2005 .

(d’après le sujet de concours 2005 du Centre de Gestion de Seine-et-Marne)

Exercice IV

Un syndicat intercommunal constitué de 4 communes A, B, C et D achète un terrainpour y aménager un complexe sportif.

La population de chaque commune est la suivante :– Commune A : 16 490 habitants– Commune B : 4 203 habitants– Commune C : 1 903 habitants– Commune D : 2 930 habitants.

Partages en parts inégales (II) - Partages proportionnels


Le prix du terrain, d’un montant de 62 264 €, a été réparti au prorata du nombred’habitants de chaque commune.

Les dépenses d’investissement, d’un montant de 661 214 €, ont été supportées pourmoitié par la commune A, principale utilisatrice, l’autre moitié étant répartie entre lestrois autres communes proportionnellement à leur population.

Calculer, pour chaque commune et pour l’ensemble du syndicat intercommunal :– la répartition du prix du terrain et des dépenses d’investissement ;– le total des dépenses ainsi prises en charge, en € et en pourcentage par rapport à

l’ensemble du syndicat.(Toutes les dépenses seront arrondies à l’unité près)(d’après le sujet de concours 2006 du Centre de Gestion du Bas-Rhin)

Exercice V

La ville de X… a dépensé en investissement dans les domaine de la Culture, du Sco-laire, de Parascolaire et des Sports, en 2005, les sommes suivantes :– Culture : 1 304 616 €

– Scolaire : 1 630 770 € soit 30 % de l’ensemble– Parascolaire : les 2/3 de la somme attribuée au Scolaire– Sports et Jeunesse : ?

Pour 2006, la commune de X… a décidé d’accorder une augmentation globale de 9 %du montant total des sommes allouées en 2005 ; le domaine « Sports et Jeunesse »sera augmenté de 130 405 € et, pour les autres domaines, les augmentations serontproportionnelles aux montants des investissements de 2005.

Déterminer, pour chaque domaine et pour l’ensemble, le montant des investisse-ments prévus en 2006.(N.B. les sommes seront arrondies à l’unité près).(d’après le sujet de l’examen professionnel de 2006 du Centre de gestion de la Gran-de Couronne d’Ile-de-France)




Exercice n° 1

« Proportionnellement à la superficie de chaque chambre » : pour chaque m 2, lavaleur du loyer sera la même.

Loyer total : 760 €

Superficie totale (12 + 20 + 32) : 64 m2 (ou 64 « parts »)

Valeur pour 1 m2 (pour 1 « part ») : 760 ÷ 64

Participation du locataire A (12 m 2) : = 142,5 €

Vérification :142,5 + 237,5 + 380 = 760Participation du locataire B (20 m2) : = 237,5 €

Participation du locataire C (32 m2) : = 380 €

Exercice n° 2

La subvention totale de 8 000 € correspond à (50 + 100 + 150 + 200) = 500 le nombred’adhérents au total.

Le coefficient de proportionnalité est : 8 000 : 500 = 16

C’est le montant de la subvention pour 1 adhérent.

Les montants des quatre subventions seront respectivement de :50 × 16 = 800 €

100 × 16 = 1 600 €

150 × 16 = 2 400 €

200 × 16 = 3 200 €

(vérification : 800 + 1 600 + 2 400 + 3 200 = 8 000)

Exercice n° 3

A est proportionnelle à 8 et B à 7.

La différence entre A et B est de 8 – 7 = 1 « part » unitaire.

A reçoit 30 € de plus que B car A reçoit une « part » de plus que B.

Le coefficient de proportionnalité est donc de 30.

La valeur de A est : 30 × 8 = 240 €

La valeur de B est de : 30 × 7 = 210 €

760 32×64

760 20×64

760 12×64


�


La valeur totale de la somme à partager est de 240 + 210 = 450 €

(Vérification : la valeur totale est proportionnelle au nombre total de « parts », soit :8 + 7 = 15 et 30 × 15 = 450)

Exercice n° 4

Le plus petit lot est celui qui est proportionnel à 5, c’est donc le lot C.

Le coefficient de proportionnalité est de : 300 : 5 = 60

La superficie de A est : 60 × 9= 540 m2, celle de B est : 60 × 7 = 420 m2,celle de C est de : 300 m2

La superficie totale est de 540 + 420 + 300 = 1 260 m2

(Vérification : la superficie totale est proportionnelle au total des « parts » : 9 + 7 + 5 = 21

Superficie totale : 60 × 21 = 1 260 m2)

Exercice n° 5

A et B ont reçu l’équivalent de 20 + 60 = 80 « parts »

Le coefficient de proportionnalité est : 56 : 80 = 0,7 ; c’est la somme reçue pour 1 « part ».

Valeur de la part A : 0,7 × 20 = 14 €

Valeur de la part B : 0,7 × 60 = 42 €

Valeur de la part C : 0,7 × 80 = 56 €

La valeur de la somme totale : 14 + 42 + 56 = 112 € ou 0,7 × (20 + 60 + 80) = 112 €

(Vérification : la somme totale est proportionnelle au nombre total de « parts » : 20 + 60 + 80 = 160

Somme totale : 0,7 × 160 = 112 €)

Exercice n° 6

Le gain reçu est proportionnel au total de la mise, soit : 45 + 20 + 30 = 95

Le coefficient de proportionnalité est : 11 400 : 95 = 120 ;c’est le gain reçu pour une mise de 1 €

Gain reçu par A : 45 × 120 = 5 400 €

Gain reçu par B : 20 × 120 = 2 400 €

Gain reçu par C : 30 × 120 = 3 600 €

(Vérification : 5 400 + 2 400 + 3 600 = 11 400)



Exercice n° 7

La part de A est proportionnelle à : 12 × 1 300 = 15 600

La part de B est proportionnelle à : 8 × 1 036 = 8 288

La part de C est proportionnelle à : 5 × 860 = 4 300

La part de A, soit 7 800 €, est proportionnelle à 15 600.

Le coefficient de proportionnalité est : 7800 : 15 600 = 0,5

La valeur de la part B est : 8 288 × 0,5 = 4 144 €

La valeur de la part de C est : 4 300 × 0,5 = 2 150 €

La valeur totale est : 7 800 + 4 144 + 2 150 = 14 094 €

Exercice n° 8

« Proportionnellement à leur population » : par habitant, la part sera la même.

La commune la plus peuplée est B avec 1 250 habitants ; si elle prend en charge

31 250 €, on peut en déduire la part par habitant :

31 250 ÷ 1 250 = 25.(= coefficient de proportionnalité)

Population totale des 4 communes : 840 + 1 250 + 730 + 460 = 3 280

Coût total du bâtiment (€) : 25 × 3 280 = 82 000 €

Part de A (840 hab.) : 25 × 840 = 21 000 €

Part de C (730 hab.) : 25 × 730 = 18 250 €

Part de D (460 hab.) : 25 × 460 = 11 500 €

(vérification : 31 250 + 21 000 + 18 250 + 11 500 = 82 000)

Exercice n° 9

« Proportionnellement à l’augmentation en pourcentage » : pour chaque point depourcentage, la valeur affectée sera la même.

Il faut donc commencer par calculer ces variations 2005 / 2004 en % (voir Chap. 4 – %directs) ; appelons les 3 associations A, B et C.


associations 2004 2005 Evolution en %2005 / 2004

A 540 567 + 5 %

B 350 371 + 6 %

C 180 207 + 15 %


Total de « parts » : 5 + 6 + 15 = 26 (est considéré comme « part » chaque point depourcentage)

Valeur d’1 « part » : 13 000 ÷ 26 = 500

Répartition de la subvention 2006 ( €) :

A : 500 × 5 = 2 500 €

B : 500 × 6 = 3 000 €

C : 500 × 15 = 7 500 €

Exercice n° 10

Le coût pour A est proportionnel à : 1 × 6 = 6

Le coût pour B est proportionnel à : 2 × 4 = 8

Le coût pour C est proportionnel à : 2 × 2 = 4

Le coût total 7 776 correspond au total des « parts » à 6 + 8 + 4 = 18 «parts »

Le coefficient de proportionnalité est : 7 776 : 18 = 432 ; c’est le coût pour 1 « part ».

La famille A paie : 432 × 6 = 2 592 €

La famille B paie : 432 × 8 = 3 456 €

La famille C paie : 432 × 4 = 1 728 €

(Vérification : 2 592 + 3 456 + 1 728 = 7 776)

Exercice n° 11

Marc a acheté : 5 : 2,5 = 2 billets

Nombre total de billets achetés : 27,5 : 2,5 = 11 billets

Ensemble, Fred et Bob ont donc acheté 11 – 2 = 9 billets

Si Fred en a acheté 2 fois plus que Bob, il en acheté 6 et Bob 3.

Le coefficient de proportionnalité est : 16 500 : 11 = 1 500 (c’est le gain pour 1 billetacheté).

Fred reçoit : 1 500 × 6 = 9 000 € Bob reçoit : 1 500 × 3 = 4 500 €

Marc reçoit : 1 500 × 2 = 3 000 € (vérification : 9 000 + 4 500 + 3 000 = 16 500)

Exercice n° 12

Pour chaque euro emprunté, la valeur affectée au remboursement sera la même .

Total emprunté (€) : 760 + 840 + 420 + 780 = 2 800



Remboursement « par euro emprunté » : = 0,25 (= coefficient de proportion-nalité)

Remboursement (en €) à :

A : 0,25 × 760 = 190 C : 0,25 × 420 = 105

B : 0,25 × 840 = 210 D : 0,25 × 780 = 195

(vérification : 190 + 210 + 105 + 195 = 700)

Somme encore due à chaque organisme : la différence entre ce qu’elle devait et cequ’elle a remboursé (respectivement 570, 630, 315 et 585 euros)

Exercice n° 13

Partage proportionnel aux effectifs : par personne employée, la part de la prime dis-tribuée sera la même.

Soit A, B et C les 3 services concernés. B (7 personnes) reçoit 825 € de moins que A (18personnes) : cet écart se justifie par la différence entre les effectifs (18 et 7).

Donc 825 représente la part de 11 personnes (18 – 7)

Valeur attribuée à 1 personne : 825 ÷ 11 = 75

Valeur de la prime (€) : 75 × 40 = 3 000 (au total, il y a 40 personnes dans ces services).

Part de A (€) : 18 × 75 = 1 350

Part de B (€) : 7 × 75 = 525

Part de C (€) : 15 × 75 = 1 125


7002 800


1 - Faux 6 - 225 €

2 - Vrai 7 - 7 250 €

3 - Faux 8 - 840 €

4 - B reçoit les 2/3 de A 9 - 78 €

5 - 200 € 10 - 80 €



Exercice I

Total de « part » 21 + 5 + 14 + 11 = 51

Total à répartir : 612 millions d’euros

Valeur d’1 « part » : 612 ÷ 51 = 12

Coût des accidents dans le secteur :

Métallurgie (en millions d’euros) : 12 × 21 = 252 millions €

Textile : 12 × 5 = 60 millions € etc…

(Pour les % / total, voir chap. 4 Pourcentages directs.)

Exercice II

Calcul du kilométrage :

56 km (routes communales) = 70 % de l ‘ensemble

d’où le total (en km) : = 80

Il reste (80 – 56) (ou 30 % × 80). = 24 km

Chemins vicinauxsoit 4 parts égales

Routes cantonales pour 24 km.

Chemins vicinaux : 24 ÷ 4 = 6

Routes cantonales : 3 × 6 = 18

Dépenses 2005 (€) :

Routes communales : 12 000 × 72 % = 8 640 € Reste : 3 360 € à répartir.

Routes cantonales : × 3 360 = 2 400 €

et le reste final (ou × 3 360) pour les chemins vicinaux, soit 960 €.27

57

56 100×70


Secteurs Coût en millions d’euros % / Total

Métallurgie 252 41,18Textile 60 9,80

Commerce 168 27,45Transport 132 21,57

Total 612 100,00

�


Prévisions de dépenses 2006 :

Total prévu (€) : 12 000 + (13 % × 12 000) = 13 560

A répartir proportionnellement aux kilométrages respectifs entre :

Routes communales routes cantonales chemins vicinaux56 18 6

Total de km : 80

Valeur d’1 « part » (ou : pour 1 km) : 13 560 ÷ 80 = 169,5

Routes communales : 169,5 × 56 = 9 492

Routes cantonales : 169,5 × 18 = 3 051

Chemins vicinaux : 169,5 × 6 = 1 017

(Pour les évolutions en pourcentage : voir chap. 4 – Pourcentages directs)

(sont soulignées les valeurs données dans le texte)

Exercice III

Distinguer le « compte administratif », qui consigne les résultats effectifs d’uneannée, des sommes budgétisées.

Pour chaque article : à chaque euro de résultat 2005, on attribuera la même valeur aubudget 2006 (« partage proportionnellement à leurs résultats respectifs »).

Budget total 2005 : 85 500 €

Budget total 2006 : 85 500 × 102,5 % = 87 637,5 €

Si l’on retire les 34 357,5 € affectés à l’article « taxes foncières », il reste pour les 3derniers articles 87 637,5 – 34 357,5 = 53 280


Catégories dekilométrage

Dépenses 2005Dépenses 2006 (prévisions)

voies (€) €Evolution en

% / 2005

Routes 56 8 640 9 492 + 9,86communales

Routes 18 2 400 3 051 + 27,13cantonalesChemins 6 960 1 017 + 5,94vicinaux

Total 80 12 000 13 560 + 13,00



Total des résultats 2005 (€) :18 500 + 16 100 + 9 800 = 44 400 €

Valeur budgétée pour 1 euro de résultat : 53 280 ÷ 44 400 = 1,2 (= coefficient de pro-portionnalité)

Budget 2006 (€) :Article 6355 : 1,2 × 18 500 = 22 200 Article 6358 : 1,2 × 16 100 = 19 320Article 6370 : 1,2 × 9 800 = 11 760

(autrement dit, ce coefficient de 1,2 appliqué aux résultats respectifs de 2005 expri-me que chaque article se voit augmenté de 20 % par rapport aux résultats 2005, ceque le tableau suivant met en évidence :

Exercice IV

Terrain :

Répartition du prix (62 264 €) entre les communes proportionnellement à la popula-tion des communes, soit :

A B C D16 490 hab. 4 203 hab. 1 903 hab. 2 930 hab.

Nombre total de « parts » (ou population totale) : 25 526 (habitants)

Valeur pour 1 « part » (ou par habitant) : (= coefficient de proportionnalité)

Valeur attribuée à :

A : × 16 490 = 40 223,04…≈ 40 223

B : × 4 203 = 10 252,118 ≈ 10 252 etc….

(N.B. : lorsque le coefficient de proportionnalité n’est pas un quotient simple, il estconseillé de le garder sous forme fractionnaire, et de n’arrondir le résultat qu’à la findes calculs, après la multiplication par le nombre de parts)

62 26425 526

62 26425 526

62 26425 526

articles Résultats 2005Budget 2006

(€) En € Evolution % /résultats 2005

6351 39 600 34 357,5 – 13,246355 18 500 22 200 + 20,006358 16 100 19 320 + 20,006370 9 800 11 760 + 20,00

Total chapitre 63 84 000 87 637,5 + 4,33


Les dépenses d’investissement :

« L’autre moitié » (soit 661 214 ÷ 2 = 330 607) est répartie entre B, C et D propor-tionnellement à leur population respective (voir ci-dessus).

Population concernée : 4 203 + 1 903 + 2 930 = 9 036 habitants

Valeur d’1 « part » : = (coefficient de proportionnalité)

Valeur attribuée à :

B : × 4 203 = 153 778,35 ≈ 153 778 etc….

(même démarche que précédemment)

Total des dépenses : il suffit de faire les additions ligne par ligne.

Répartition des dépenses totales en % / ensemble (voir Chap. 4 – Pourcentages directs)

(€)

Exercice V

Investissement 2005 (€) :

Parascolaire : × 1 630 770 = 1 087 180

Total : = 5 435 900 (1 630 770 = 30 % du total, on recherche la valeur

de 100 % du total ; on peut aussi directement diviser 1 630 770 par 30 %)

Sports et Jeunesse : ce montant s’obtient par différence.

Augmentation prévue en 2006 (€) :

Augmentation totale (€) : 5 435 900 × 9 % = 489 231

« Sports et Jeunesse » en prend 130 405 ;il reste donc (489 231 – 130 405) = 358 826 € à répartir entre les 3 autres domainesproportionnellement « aux montants des investissements de 2005 », soit :

Culture Scolaire Parascolaire1 304 616 1 630 770 1 087 180

1630 770 100×30

23

330 6079 036

330 6079 036


communes Prix du terrainDépenses Dépenses totales

d’investissement € % / Ensemble

A 40 223 330 607 370 830 51,26B 10 252 153 778 164 030 22,67C 4 642 69 627 74 269 10,27D 7 147 107 202 114 349 15,81

Ensemble 62 264 661 214 723 478 100 +


Total à répartir : 358 826

Nombre total de « parts » (= total investi en 2005 pour les 3 domaines) : 4 022 566

Valeur d’1 « part » (ou par euro investi en 2005) : (= coefficient de pro-portionnalité)

Augmentation attribuée à :

Culture : × 1 304 616 = 116 376

Scolaire : × 1 630 770 = 145 470

Parascolaire : × 1 087 180 = 96 980

Pour déterminer les montants des investissements prévus en 2006, il suffit d’ajouteraux montants 2005 les augmentations respectives ainsi calculées.

(€)

(sont soulignées les données fournies dans le texte)

358 8264 022 566

358 8264 022 566

358 8264 022 566

358 8264 022 566


Domaines Investissements Augmentation Investissements2005 prévue en 2006 prévus en 2006

Culture 1 304 616 116 376 1 420 992Scolaire 1 630 770 145 470 1 776 240

Parascolaire 1 087 180 96 980 1 184 160Sports et Jeunesse 1 413 334 130 405 1 543 739

Ensemble 5 435 900 489 231 5 925 131


Partages en partsinégales (III)

Partages inversementproportionnels

Chapitre 9



Des suites de nombres sont inversement proportionnelles quand elles progressentdans des rapports inverses.

Exemple

Remarque :

– 1200 est le double de 600 dans la suite A – 3 000 = 600 × 5 dans la suite A

– 5 est la moitié de 10 dans la suite B – 2 = 10 : 5 dans la suite B

Cas pratiques :

– Un coût d’inscription inversement proportionnel au nombre d’enfants avantagerales familles nombreuses : plus la famille aura d’enfants, moins le coût sera élevé.

– Une prime répartie inversement proportionnellement aux jours d’absence avanta-gera le personnel le moins absent : plus les jours d’absence seront nombreux, moinsla prime sera élevée.

Pour préciser le sens mathématique du mot « inverse », utilisons un exemple :

L’inverse du nombre entier 3, c’est la fraction

(et réciproquement, l’inverse de la fraction c’est le nombre entier 5)

On peut alors interpréter l’expression :« partage inversement proportionnel » par « partage proportionnel à l’inverse ».

Exemple

Un partage entre A, B et C inversement proportionnel à 3, 4, et 5, c’est un partage

entre A, B et C proportionnel à , et .

Comme il est plus simple d’utiliser des nombres entiers que des fractions pour effec-tuer un partage, on transforme la proportionnalité :

15

14

13

15

13


Suite A 1 200 600 3 000

Suite B 5 10 2


1) on choisit un dénominateur commun ;

2) on met les fractions au même dénominateur ;

3) on utilise la propriété de simplification par multiplication d’un partage pro-portionnel afin de faire disparaître le dénominateur.

Reprenons l’exemple ci-dessus : A, B et C sont proportionnels à , et .

1) choix d’un dénominateur commun : 3 × 4 × 5 = 60

2) mise au même dénominateur : = , = , =

3) simplification d’écriture : un partage proportionnel à , , , c’est unpartage proportionnel à 20, 15, 12.

Un partage entre A, B et C inversement proportionnel à 3, 4 et 5, c’est donc un par-tage entre A, B, et C proportionnel à 20, 15 et 12.

On est ainsi ramené aux exercices du chapitre précédent sur les partages propor-tionnels.

ATTENTION !

À bien respecter l’ordre respectif des informations au cours des transformations !

1260

1560

2060

1260

15

1560

14

2060

13

15

14

13

183Partages en parts inégales (III) - Partages inversement proportionnels



1 - La quantité totale à partager est connue


Partager inversement proportionnellement c’est partager proportionnellement à

à 3, 4, 5 ,

La part de A sera supérieure à celle deB et celle de B supérieure à celle de C.

Résolution (méthode arithmétique)

Transformation de la proportionnalité :

Pour , , on choisit un dénominateur commun : 3 × 4 × 5 = 60

Mise au même dénominateur : = = =

Simplification d’écriture : le partage est proportionnel à 20, 15, 12.

L’énoncé devient : Partager une prime de 1 410 € entre trois personnes A, B et C pro-portionnellement à 20, 15 et 12.

La prime totale est proportionnelle au total des parts, soit : 20 + 15 + 12 = 47

Le coefficient de proportionnalité est de : 1 410 : 47 = 30

A reçoit 30 × 20= 600 €

B reçoit 30 × 15 = 450 €

C reçoit 30 × 12 = 360 €

(vérification : 600 + 450 + 360 = 1 410)

1260

15

1560

14

2060

13

15

14

13

15

14

13

Partager une prime de 1 410 € entre trois personnes A, B et C inversement pro-portionnellement à 3, 4 et 5.




Pour partager une prime de 1 410 € entre trois personnes A, B et C proportionnelle-ment à 20, 15 et 12.

On peut utiliser la propriété n° 1 des suites de nombres proportionnels et écrire :

= = = = = 30

2 - L’une des parts est connue


Partage inversement proportionnel – Le partage est proportionnel à ,

à 20, 40 et 120 et

La 2e part est de 270 €. – La 2e part de 270 € est proportion-

nelle à

Résolution :


– un dénominateur commun est : 120 (car 20 × 6 = 120 et 40 × 3 = 120)

– la mise au dénominateur commun des fractions est = = et

– simplification d’écriture : le partage est proportionnel à 6, 3 et 1.

L’énoncé devient : Partager une somme en trois parties proportionnellement à 6, 3et 1, sachant que la deuxième part est de 270 €.

La 2e part de 270 € est proportionnelle à 3, le coefficient de proportionnalité est de :270 : 3 = 90

La 1re part est de : 90 × 6 = 540 €

La 3e part est de 90 × 1 = 90 €

1120

3120

140

6120

120

140

1120

140

120

Partager une somme en trois parties inversement proportionnellement à 20, 40 et120 sachant que la deuxième part est de 270 €.

141047

A+ B +C20 15 12+ +

C12

B15

A20



3 - La différence entre deux parts est connue


« inversement proportionnelle au temps : Proportionnellement à , , 15 min, 10 min et 30 min »

Résolution :


– un dénominateur commun est 30 (car 15 × 2 = 30 et 10 × 3 = 30)

– la mise au même dénominateur est : = = et

– simplification d’écriture : le partage est réalisé proportionnellement à 2, 3 et 1.

La part de B est proportionnelle à 3, celle de C est proportionnelle à 1.

B reçoit 150 € de plus que C car B bénéficie de 3 – 1 = 2 « parts » de plus que C

Le coefficient de proportionnalité est : 150 : 2 = 75 (c’est la prime reçue pour 1« part »).

A reçoit : 75 × 2 = 150 €

B reçoit : 75 × 3 = 225 €

C reçoit : 75 × 1 = 75 €

Nombre total de parts : 2 + 3 + 1 = 6

Montant total de la prime 75 × 6 = 450 €

(vérification : 150 + 225 + 75 = 450)

Autre méthode pour calculer le coefficient de proportionnalité :

Sachant que B est proportionnelle à 3 et C proportionnelle à 1, on peut écrire d’aprèsla propriété n° 2 des suites de nombres proportionnels :

= = = = 751502

B – C3 1–

C1

B3

130

330

110

230

115

130

110

115

Une prime entre trois coureurs A, B et C est répartie de façon inversement pro-portionnelle au temps réalisé par chacun soit : 15 min, 10 min et 30 min. B reçoit150 € de plus que C. Retrouver les primes reçues par chaque coureur et le mon-tant total de la prime.



4 - Partage à la fois proportionnel et inversementproportionnel


« proportionnellement à 5, 3 et 2 et Proportionnellement à 5, 3, 2 et à ,

inversement proportionnellement à , 3, 6, 4 »

Résolution :

La part de A est proportionnelle à 5 × =

La part de B est proportionnelle à 3 × = ou en simplifiant :

La part de C est proportionnelle à 2 × = ou en simplifiant :


– dénominateur commun : 3 × 2 = 6

– mise au même dénominateur : = , =

– simplification d’écriture : le partage est réalisé proportionnellement à 10, 3et 3.

L’énoncé devient : Une gratification de 512 € est répartie entre trois employés A, Bet C proportionnellement à 10, 3 et 3.

La gratification totale de 512 € correspond à 10 + 3 + 3 = 16 «parts »

Coefficient de proportionnalité : 512 : 16 = 32

A reçoit : 32 × 10 = 320 €

B reçoit : 32 × 3 = 96 €

C reçoit : 32 × 3 = 96 €

(vérification : 320 + 96 + 96 = 512)

36

12

106

53

12

24

14

12

36

16

53

13

14

16

13

Une gratification de 512 € est répartie entre trois employés A, B et C proportion-nellement à leurs années d’ancienneté, soit respectivement 5, 3, 2, et inversementproportionnellement à leurs jours d’absence, soit respectivement : 3, 6 et 4. Re-trouver la part de la gratification reçue par chaque employé.



À vous de jouer !


Exercice N° 1 (*)

Une prime d’assiduité de 1 200 € est accordée à A, B, C et répartie inversement pro-portionnellement aux jours respectifs d’absences : 28, 7, 4.

Effectuez la répartition de la prime entre A, B et C.

Exercice n° 2 (**)

La longueur et la largeur d’un terrain sont respectivement inversement proportion-nelles aux nombres 2 et 3 et la largeur mesure 20 m de moins que la longueur.

Quelle est l’aire de ce terrain ?

Exercice n° 3 (**)

Une prime est partagée entre trois coureurs A, B et C respectivement de façon in-versement proportionnelle au temps de parcours, soit 3 min, 4 min, 5 min.

Retrouver la prime totale et sa répartition sachant que le plus rapide reçoit 50 € deplus que son suivant immédiat.

Exercice n° 4 (*)

Une commune prévoit d’attribuer 27 600 € de subvention à trois clubs sportifs : tir,tennis et judo, inversement proportionnellement à leur ancienneté 21 mois, 14 mois,6 mois.

Retrouvez le montant des trois subventions.

Exercice n° 5 (**)

Une quantité de marchandise est partagée inversement proportionnellement à 4 età 5 ; la différence entre les deux parts étant de 600 tonnes.

Retrouvez la quantité totale.



Exercice n° 6 (**)

On partage une certaine somme entre trois personnes A, B et C inversement propor-tionnellement à 5, 9, et 15.

Sachant que B reçoit 250 €, retrouvez cette somme et sa répartition.

Exercice n° 7 (**)

Un terrain est partagé entre trois clubs de façon inversement proportionnelle à leursanciennetés respectives 15, 8 et 10 ans. Le club existant depuis 8 ans reçoit 1 400 m2

de plus que le club existant depuis 15 ans.

Retrouvez la superficie du terrain et celle attribuée à chaque club.

Exercice n° 8 (*)

La participation de trois villes F, G et H au coût d’un centre sportif commun est éta-blie inversement proportionnellement à la distance séparant chaque ville de cecentre, soit respectivement : 5,10 et 6 km

Si le coût total est de 7 700 milliers d’ €, retrouver la répartition entre les villes

Exercice n° 9 (*)

On partage une somme entre 3 personnes A, B et C de façon inversement propor-tionnelle à 3, 5, 8 sachant que A a reçu 832 € de plus que B.

Retrouvez la somme totale.


Un candidat a gagné 18 000 € à un jeu. Il place les de cette somme,en donne

à trois associations et s’achète du matériel HiFi avec le reste.

Chaque association reçoit une somme proportionnelle au nombre de ses adhérents,soit respectivement : 40, 80, 100, et inversement proportionnelle à la cotisation : 12 €, 8 € et 15 €.

Retrouver la répartition complète de ce gain.

15

23




1 - Lors d’une épreuve de vitesse, pour récompenser le plus rapide, le partage de laprime doit être fait de façon inversement proportionnelle au temps mis par chaquecoureur.

■ vrai ■ faux

2 - Pour avantager les familles nombreuses, le coût de l’inscription à l’école de mu-sique doit être fait inversement proportionnellement au nombre d’enfants.

■ vrai ■ faux

3 - Un partage proportionnel à 3 et à 4, c’est comme un partage inversement

proportionnel à et .

■ vrai ■ faux

4 - Une pochette de 6 feutres coûte 1,44 €. Si le prix est inversement proportionnelau nombre de feutres, le prix de 18 feutres sera de :

■ 4,32 € ■ 0,48 € ■ 0,72 € ■ 2,88 €

5 - Une même somme peut être répartie entre A et B de deux manières :

1ère répartition: le partage est proportionnel à 3 et à 2

2ème répartition: le partage est inversement proportionnel à 2 et à 3

■ La 1ère répartition avantage A ■ La 1ère répartition avantage B

■ les répartitions sont équivalentes ■ La 2ème répartition avantage A

6 - On partage 360 € entre A, B et C inversement proportionnellement à 3, 6, 2. A reçoit :

■ 98,18 € ■ 180 € ■ 144 € ■ 120 €

7 - On effectue un partage entre J, K, et L inversement proportionnellement à 2, 4et 8. L reçoit 20 €. La somme à partager est de :

■ 280 € ■ 37,5 € ■ 180 € ■ 140 €

13

14



8 - Une somme est partagée entre A, B et C inversement proportionnellement à 1,3 et 5 et la différence entre les parts reçues par A et C est de 48 €. La somme totaleest de :

■ 216 € ■ 192 € ■ 92 € ■ 552 €

9 - Une somme est partagée entre A, B et C inversement proportionnellement à 1/3,1/5 et 1/7 et la part reçue par A est de 60 €. La somme totale est de :

■ 99,4 € ■ 300 € ■ 2 100 € ■ 180 €

10 - On partage 4 680 € entre A, B et C à la fois proportionnellement à 2,3,5 et in-versement proportionnellement à 5, 3,2. La part reçue par B est de :

■ 1 560 € ■ 140,4 € ■ 1 200 € ■ 46,8 €


Exercice I

En 2006, pour le service dentaire, la pédiatrie et la gériatrie, les 273 600 € d’une sub-vention communale pour le dispensaire ont été respectivement répartis de façoninversement proportionnelle à 4, 3 et 6. En 2007 la répartition est donnée sous formed’indice, service dentaire : 110, pédiatrie 130, gériatrie : 90

La base 100 correspondant à la moyenne des subventions réparties en 2006

Retrouver cette répartition pour les deux années étudiées et son évolution en % entre2006 et 2007

Exercice II

En 1991, la fréquentation cinématographique totale de l’Île-de-France était de 39,885millions de spectateurs. Elle se répartissait entre Paris, la grande et la petite couronnede manière respectivement inversement proportionnelle à 5, 10 et 15.

Retrouvez la répartition de la fréquentation en milliers de spectateurs et son pour-centage par rapport au total (à l’unité près).

Exercice III

Pour financer la construction d’un centre sportif dont le coût s’élève à 362608 €, troiscommunes A, B et C reçoivent une subvention de l’Etat d’un montant de 30 % ducoût total et une subvention de la région d’un montant de 1/5 du total.



Le reste du coût sera réparti inversement proportionnellement à la distance séparantchaque commune du centre sportif, soit respectivement : 1,4 km, 2,1 km et 0,5 km, etproportionnellement au nombre d’adhérents, soit respectivement : 140, 147 et 46.

Retrouvez la répartition de ce financement, le coût pour chaque commune et lepour-centage de chaque participation par rapport au total.

Exercice IV

En mars 2006, différentes entreprises présentent des devis HT pour la rénovationd’une salle des fêtes pour un montant total de 14 800 €. Le devis plomberie s’élève à4 340 €, celui de la sonorisation à 3 430 €, celui du carrelage à 2 700 €, l’isolation etla peinture se partagent le reste en raison inverse du nombre de jours de travail, soitrespectivement 4 et 6 jours.

En juin 2006, le coût total HT doit être réduit de 2 220 €, cette réduction se répartis-sant proportionnellement au devis HT.

Retrouvez les montants des devis en mars puis ceux des nouveaux montants proposésen juin ainsi que leur répartition en %

Les devis seront exprimés au centième près (si besoin)

Les % à l’unité près

Exercice V

Le club de loisirs de la commune de X. décide la construction d’un local.

L’investissement s’articule autour de trois postes : achat du terrain, construction etmatériel.

Le devis total est de 70 272 €, comprenant le prix du terrain pour 12 966 €, laconstruction et le matériel qui sont respectivement inversement proportionnels auxnombres 5 et 7.

L’investissement sera financé par autofinancement et par un emprunt de 38 115 € ré-parti entre les trois postes (dans l’ordre précédemment adopté) inversement propor-tionnellement à 9, 3 et 4.

Retrouvez pour chaque poste et pour l’ensemble du projet le montant de l’investis-sement puis, la répartition entre les deux modes de financement envisagés (empruntet autofinancement).




Exercice n° 1

Le partage se fait proportionnellement aux 3 fractions : , , Un dénomina-teur commun est 28.

Le partage se fait respectivement proportionnellement à : , , soit à 1, 4, et7.

La prime de 1 200 correspond à 1 + 4 + 7 = 12 «parts »

Le coefficient de proportionnalité, soit la valeur d’une « part », est : 1 200 : 12 = 100

La part A est : 100 × 1 = 100 €

La part B est : 100 × 4 = 400 €

La part C est : 100 × 7 = 700 €

Exercice n° 2

La longueur est proportionnelle à , la largeur à .

Un dénominateur commun est 6, la longueur est proportionnelle à , la largeur à

.

En simplifiant : la longueur est proportionnelle à 3 et la largeur à 2.

La différence entre longueur et largeur est de 3 – 2 = 120 m représente la valeur pour une « part »

Le coefficient de proportionnalité est : 20

La longueur mesure : 20 × 3 = 60 m.

La largeur mesure 20 × 2 = 40 m

L’aire de ce terrain est : 60 × 40 =2 400 m2

Exercice n° 3

Les primes de A, B, C sont proportionnelles respectivement à : , ,

Un dénominateur commun à ces fractions est : 3 × 4 × 5 = 60 Les fractions deviennent

, , 1260

1560

2060

15

14

13

26

36

13

12

728

428

128

14

17

128



En simplifiant la proportionnalité, les primes de A, B et C sont donc proportionnellesà 20, 15, 12.

Le plus rapide est A, le suivant est B.

La différence entre A et B représente 20 – 15 = 5 « parts » pour un montant de 50 €.

Le coefficient de proportionnalité soit la valeur d’une « part », est : 50 : 5 = 10

La prime de A est : 10 × 20 = 200 € la prime de B est : 10 × 15 = 150 €

celle de C est : 10 × 12 = 120 €

Exercice n° 4

Les subventions attribuées aux tir, tennis et judo sont proportionnelles à : , ,

Un dénominateur commun est 42. Les fractions deviennent : , ,

En simplifiant, les subventions attribuées aux tir, tennis et judo sont proportionnellesà 2, 3, 7.

La subvention totale de 27 600 € correspond à 2 + 3 + 7 = 12 « parts ».

Le coefficient de proportionnalité, soit la valeur d’une « part », est : 27 600 : 12 =2 300

Subvention tir : 2 300 × 2 = 4 600 € Subvention tennis : 2 300 × 3 = 6 900 €

Subvention judo : 2 300 × 7 = 16 100 €

(vérification : 4 600 + 6 900 + 16 100 = 27 600)

Exercice n° 5

La quantité totale est partagée proportionnellement à et .

Un dénominateur commun est 4 × 5 = 20 Les fractions deviennent et

Donc en simplifiant, la quantité totale est partagée proportionnellement à 5 et à 4.

la différence 5 – 4 = 1 « part » représente 600 tonnes.

Le coefficient de proportionnalité est de 600

Les deux quantités sont de 600 × 5 = 3 000 tonnes et 600 × 4 = 2 400 tonnes

420

520

15

14

742

342

242

16

114

121



Exercice n° 6

Les parts de A, B et C sont proportionnelles à , , . Un dénominateur com-mun est 45.

Les parts de A, B et C sont proportionnelles à , , , donc respectivement à 9,5, 3

La part de B, soit 250, correspond à 5 « éléments ».

Le coefficient de proportionnalité, soit la valeur d’1 « élément », est : 250 : 5 = 50.

La part de A est : 50 × 9 = 450 € Celle de B est : 50 × 5 = 250 €

Celle de C est : 50 × 3 = 150 €

La somme totale est de : 450 + 250 + 150 = 850 €

(vérification : le nombre total d ’« éléments » est de 9 + 5 + 3 = 17 ; la somme totaleest de : 50 × 17 = 850)

Exercice n° 7

Les clubs reçoivent respectivement un terrain proportionnellement à , ,

Un dénominateur commun est 120

Les fractions deviennent , ,

En simplifiant, les clubs reçoivent un terrain respectivement proportionnellement à8, 15 et 12.

Le club existant depuis 8 ans est respectivement le deuxième de la série, le club exis-tant depuis 15 ans est le premier de la série.

La différence entre ces deux clubs correspond à 15 – 8 = 7 « parts », elle représente1 400 m2.

Le coefficient de proportionnalité, soit la valeur pour 1 « part», est : 1 400 : 7 = 200

Terrain A : 200 × 8 = 1 600 m2 Terrain B : 200 × 15 = 3 000 m2 Terrain C : 200 × 12 =2 400 m2

Exercice n° 8 (*)

La participation des villes est proportionnelle à : , , et

Un dénominateur commun est : 30

Les fractions deviennent : , et 530

330

630

16

110

15

12120

15120

8120

110

18

115

345

545

945

115

19

15



La participation des villes F, G et H est proportionnelle à 6, 3, 5

Le coût total de 7 700 milliers d’ € est proportionnel à 6 + 3 + 5 = 14 «parts »

La valeur d’une « part » est de : 7 700 : 14 = 550 milliers d’€

La participation de F est de : 6 × 550 = 3 300 milliers d’€

La participation de G est de : 3 × 550 = 1 650 milliers d’€

La participation de H est de : 5 × 550 = 2 750 milliers d’€

Exercice n° 9 (*)

Les parts de A, B et C sont proportionnelles à , ,

un dénominateur commun à ces fractions est : 3 × 5 × 8 = 120

Les fractions deviennent : , ,

On simplifie la proportionnalité, A, B et c reçoivent respectivement des sommes pro-portionnelles à : 40, 24 et 15

La différence entre A et B représente : 40 – 24 = 16 « part » pour une valeur de 832 €

La valeur d’une « part » est de 832 : 16 = 52 €

Le nombre total de « parts » est de : 40 + 24 + 15 = 79

La somme à partager est de : 79 × 52 = 4 108 €

Exercice N° 10

Placement : 18 000 × = 12 000 €

Associations : 18 000 × = 3 600 €

Matériel HiFi : 18 000 – (12 000 + 3 600) = 2 400 €

Répartition entre les associations :

La 1re reçoit une somme proportionnelle à 40 × = =

La 2e reçoit une somme proportionnelle à 80 × = 10

La 3e reçoit une somme proportionnelle à 100 × = =

Le dénominateur commun est 3 et la répartition est donc proportionnelle à : 10, 30, 20.

La somme de 3 600 correspond à 10 + 30 + 20 = 60 parts

203

10015

115

18

103

4012

112

15

23

15120

24120

40120

18

15

13



La valeur de la part unitaire est : 3 600 : 60 = 60

La 1re reçoit : 60 × 10 = 600 €, la 2e reçoit : 60 × 30 = 1 800 €, la 3e reçoit : 60 × 20 = 1 200 €



Exercice I

En 2006 :

La répartition se fait proportionnellement à , ,

Un dénominateur commun est 12 d’où une répartition proportionnelle à : ; ;

et en simplifiant une répartition proportionnelle à 3, 4, et 2.

La valeur de la part unitaire est : 273 600 : 9 = 30 400

– le service dentaire reçoit : 30 400 × 3 = 91 200 €

– la pédiatrie reçoit : 30 400 × 4 = 121 600 €

– la gériatrie reçoit : 30 400 × 2 = 60 800 €

(vérification: 91 200 + 121 600 + 60 800 = 273 600)

En 2007

La base 100 correspond à la moyenne de 2006 soit à : 273 600 : 3 = 91 200 €

service dentaire : = 100 320 € pédiatrie : = 118 560 €91 200 130100

×91 200 110100

×

212

412

312

16

13

14


1 - Vrai 6 - 120 €

2 - Vrai 7 - 140 €

3 - Faux 8 - 92 €

4 - 0,48 € 9 - 300 €

5 - Les deux partages sont égaux 10 - 1 200 €


gériatrie : = 82 080 €

L’évolution en % entre 2006 et 2007, c’est l’évolution en ayant pour référence l’an-née 2006.

On écrit dans le titre de la colonne du tableau : évolution en % 2007/2006

– service dentaire : = + 10

– pédiatrie : = – 2,5

– gériatrie : = + 35

– ensemble : = + 10

Exercice II

La fréquentation Paris, grande couronne, petite couronne est proportionnelle à : 1/5,1/10 et 1/15.

Un dénominateur commun est 150, d’où une répartition proportionnelle à 30/150,15/150 et 10/150.

En simplifiant l’écriture, la répartition est donc proportionnelle à : 30, 15 et 10.

La fréquentation totale de 39 885 milliers correspond à un total de 30 + 15 + 10 = 55« parts ».

Le coefficient de proportionnalité est : 39 885 : 55 = 725,18181818…

Remarque :

– la division ne tombe pas juste, mais il faut conserver le maximum de décimales.

– On peut utiliser la touche « mémoire » de la calculatrice ; ou interpréter en « règlede trois » chacune des répartitions suivantes :

– fréquentation de Paris : 725,1818181… × 30 = 21 755,4 soit 21 755 milliers– fréquentation de la grande couronne : 725,1818181… × 15 = 10 877,7 soit

10 878 milliers– fréquentation de la petite couronne ; 725,181818… × 10 = 7 251,8

soit 7 252 milliers

(vérification : 21 755 + 10 878 + 7 252 = 39 885 milliers)

(300 960 – 273 600) 100273 600

×

(82 080 – 60 800 ) 100121 600

×

(118 560 – 121 600) 100121 600

×

(100 320 – 91 200) 10091 200

×

91 200 9100

× 0


Services 2006 2007évolution en %

2007/2006

service dentaire 91 200 100 320 + 10pédiatrie 121 600 118 560 – 2,5gériatrie 60 800 82 080 + 35

Ensemble 273 600 300 960 + 10


calcul de %/total : Paris : 21 755 × 100 : 39 885 = 54,5 soit 55

grande couronne : 18 878 × 100 : 39 885 = 27,2 soit 27

petite couronne : 7 252 × 100 : 39 885 = 18,1 soit 18

(vérification : 55 + 27 + 18 = 100)

Exercice III

Subvention de l’Etat : 362 608 × 30 % = 108 782,4 €

Subvention de la région : 362 608 × 1/5 = 72 521,6 €

Coût restant aux trois communes : 362 608 – (108 782,4 + 72 521,6) = 181 304 €

La répartition est inversement proportionnelle à 1,4 ; 2,1 et 0,5, soit proportionnelle

à ; ; et .

La répartition est aussi proportionnelle à 140, 147 et 46.

Donc la répartition entre les communes A, B et C est proportionnelle à:

En effectuant les quotients en obtient : 100, 70, 92

Le coût de 181 304 correspond à un total de 100 + 70 + 92 = 262 « parts ».

Le coefficient de proportionnalité est : 181 304 : 262 = 692 (c’est le coût pour une« part »).

Coût pour A : 692 × 100 = 69 200 €

Coût pour B : 692 × 70 = 48 440 €

Coût pour C : 692 × 92 = 63 664 €

(vérification : 69 200 + 48 440 + 63 664 = 181 304)

460,5

1472,1

1401,4

10,5

12,1

11,4


Ile-de-France Fréquentation en milliers %/total (à l’unité près)

Paris 21 755 55Grande couronne 10 878 27Petite couronne 7 252 18

Total 39 885 100

Participants au financement Coût en € %/total

Etat 108 782,4 30,00Région 72 521,6 20,00

Commune A 69 200,0 19,08Commune B 48 440,0 13,36Commune C 63 664,0 17,56

Total 362 608,0 100,00


Exercice IV

en mars 2006

Les devis isolation et peinture représentent :

14 800 – (4 340 + 3 430 + 2 700) = 4 330 €

L’isolation et la peinture sont proportionnelles à et

On met les fractions sur un dénominateur commun : 4 × 6 = 24

les fractions deviennent : et l’isolation et la peinture sont proportionnelles à

6 et 4

le devis de 4 330 € représente 6 + 4 = 10 « parts »

le coefficient de proportionnalité est donc de : 4 330 : 10 = 433

Le devis de l’isolation est de : 433 × 6 = 2 598 €

Le devis de la peinture est de : 433 × 4 = 1 732 €

en juin 2006

La réduction totale est de 2 220 € pour un coût total de 14 800 €

Le montant de la réduction pour un coût unitaire de 1 € est : 2 220 : 14 800 = 0,15

Réduction pour la plomberie : 0,15 × 4 340 = 651nouveau coût : 4 340 – 651 = 3 689 €

réduction pour la sonorisation : 0,15 × 3 430 = 514,5nouveau coût : 3 430 – 514,5 = 2 915,5 €

réduction pour le carrelage : 0,15 × 2 700 = 405 nouveau coût : 2 700 – 405 = 2 295 €

réduction pour l’isolation : 0,15 × 2 598 = 389,7nouveau coût : 2 598 – 389,7 = 2 208,3 €

réduction pour les peintures : 0,15 × 1 732 = 259,8 nouveau coût : 1 732 – 259,8 = 1 472,20 €

Le %/total se calcule ainsi :

ainsi pour la plomberie : = 29,3 soit 29

remarque : le %/ total est semblable en mars et en juin

3 689 10012580

×

devis 100total des devis

×

424

624

16

14



Exercice V

Montant et répartition de l’investissement :

Achat du terrain : 12 966 €

Construction et matériel représentent : 70 272 – 12 966 = 57 306 €

La construction et le matériel sont proportionnels à 1/5 et à 1/7

Un dénominateur commun est : 5 × 7 = 35

La construction et le matériel sont proportionnels à 7/35 et à 5/35 soit en simplifiantà 7 et à 5

57 306 correspond à un total de 7 + 5 = 12 « parts »

Le coefficient de proportionnalité est : 57 306 : 12 = 4 775,50

Coût de la construction : 4 775,50 × 7 = 33 428,50 €

Coût du matériel : 4 775,50 × 5 = 23 877,50 €

(vérification : 33 428,50 + 23 877,50 = 57 306)

Répartition de l’emprunt :

Achat du terrain, construction et matériel sont respectivement proportionnels à : ,

, .

Un dénominateur commun est 4 × 9 = 36

les fractions deviennent : = ; = ; =

Achat du terrain, construction et matériel sont respectivement proportionnels à 4, 12et 9.

L’emprunt total de 38 115 € correspond à un nombre total de parts de : 4 + 12 + 9 = 25

Le coefficient de proportionnalité est de 38 115 : 25 = 1 524,6

936

14

1236

13

436

19

14

13

19


devis mars 2006 juin 2006 %/total*

Plomberie 4 340,00 3 689,00 29Sonorisation 3 430,00 2 915,50 23Carrelages 2 700,00 2 295,00 18Isolation 2 598,00 2 208,30 18Peinture 1 732,00 1 472,20 12

Total 14 800,00 12 580,00 100

* arrondi à l’unité près


– emprunt pour l’achat du terrain : 1 524,6 × 4 = 6 098,4 €

– emprunt pour la construction : 1 524,6 × 12 = 18 295,2 €

– emprunt pour le matériel : 1 524,6 × 9 = 13 721,4 €

(vérification : 6 098,4 + 18 295,2 + 13 721,4 = 38 115)

Répartition de l’autofinancement :

– achat du terrain : 12 966 – 6 098,4 = 6 867,6 €

– construction : 33 428,50 – 18 295,20 = 15 133,30 €

– matériel : 23 877,50 – 13 721,40 = 10 156,10 €


Postes Montant de Modes de financement en €

d’investissement l’investissement en € emprunt autofinancement

Achat du terrain 12 966,00 6 098,40 6 867,60Construction 33 428,50 18 295,20 15 133,30

Matériel 23 877,50 13 721,40 10 156,10

total 70 272,00 38 115,00 32 157,00


Lecture de graphiques

Chapitre 10




Les informations numériques nécessaires à l’élaboration du tableau peuvent être four-nies par un graphique, celui-ci remplaçant avantageusement un long texte.

On distingue deux types de graphiques : ceux qui s’inscrivent dans un « repère » etles graphiques circulaires ou semi-circulaires.

■ Les graphiques dans un « repère »

Ce qu’on appelle « repère », c’est l’ensemble des deux axes perpendiculaires graduésrégulièrement aux extrémités desquelles sont précisées des unités.

L’axe horizontal est l’axe des abscisses, l’axe vertical est l’axe des ordonnées .

Les informations numériques à exploiter sont présentées :

– en points successifs (reliés ou non par des segments) ;

– en bâtons ou colonnes accolées ou non, les hauteurs des bâtons ou colonnes étantproportionnelles aux quantités qu’elles représentent.

Il est essentiel de bien lire les titres correspondant à chacun des deux axes et les uni-tés qui y sont précisées (en millions, en €, …). Les exercices des applications résoluesqui suivent présentent un éventail des difficultés de lecture.

■ Les graphiques circulaires (ou semi-circulaires)

Ils permettent surtout de visualiser une comparaison de chaque élément avec le to-tal et sont souvent utilisés pour représenter des %.

Le cercle entier (ou le demi-cercle) représente la somme totale des éléments ou les100 %.

Les angles mesurés au centre sont proportionnels aux quantités qu’ils représentent(pour un cercle la somme des angles = 360° et pour un demi-cercle la somme desangles = 180°).

Les informations numériques avec un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) sontnotées soit dans les tranches du diagramme, soit dans des étiquettes associées à cestranches, il convient là encore de vérifier l’unité choisie ; les exercices des applicationsrésolues qui suivent mettent en évidence ces différents cas.



1 - Graphiques s’inscrivant dans un repèreExemple n° 1 : graphique en barres

Voici le tableau d’un budget et sa traduction en graphique :

Remarque : les valeurs précises sont écrites clairement au-dessus des barres verticales.

Exemple n° 2 : graphique en courbe

Voici le tableau de valeurs d’un relevé de températures et son graphique :

205Lecture de graphiques

Année 1999 2000 2001 2002

Budget (€) 15 000 € 20 000 € 22 000 € 18 000 €

lundi mardi mercredi jeudi vendredi samedi

37,4 38 37,2 38,2 37 36,8

Budget (€)

15 000

20 00022 000

18 000

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

1999 2001 2002

Euro

s

Années

2000


Remarque : la graduation de l’axe vertical ne commence pas à 0.

Exemple n° 3 : graphique avec deux courbes

Voici les cours de deux actions : BOF et GAF, exprimés en € et le tableau associé pourles 12 mois de l’année :

Remarque : plusieurs informations figurent sur un même graphique ; bien lire la lé-gende qui l’accompagne !


Températures

36

36,5

37

37,5

38

38,5

lundi mardi mercredi jeudi vendredi samedi

Jours

Deg

rés

cen

tig

rad

es

Cours d'actions

0

10

20

30

40

50

60

70

80

jan mars avr mai juin jui août sep oct nov

Val

ori

sati

on

en

Eu

ros

(€)

BOF

GAF

fév dèc

jan fév mars avr mai juin jui août sep oct nov déc

BOF 60 70 63 50 48 47 42 40 43 45 47 50GAF 20 23 26 30 32 35 35 40 38 35 32 40


2 - Graphiques circulaires (ou semi-circulaires)Exemple n° 1 :

Voici la répartition par tranche d’âge d’un groupe de 85 personnes et sa traductionen tableau de valeurs :

Remarque : le nombre d’individus de 30 à 40 ans n’est pas fourni par le graphiquemais on le trouve par différence avec le nombre total.

Exemple n° 2 :

Voici le tableau de valeurs représentant les résultats de trois candidats A, B, C à uneélection et leur traduction en graphiques circulaires ou semi-circulaires :


Répartition par âge

de 10 à 20 ans

de 20 à 30 ans

de 30 à 40 ans

22

38

?

De 10 à 20 ans De 20 à 30 ans De 30 à 40 ans

22 38 25

Nombre de voix % de voix / total

A 600 50B 450 37,5C 150 12,5

Total 1 200 100



Nombre de voix

600

450

150

A

B

C

Répartition des voix en %

50,0 %

37,5 %

12,5 %

A

B

C

Représentation en graphiques circulaires

Nombre de voix

600 450

150

A

B

C

Répartition des voix en %

12,5 %

37,5 %50 % A

B

C

Représentation en graphiques semi-circulaires


À vous de jouer !


Exercice N° 1 (*)

Voici la répartition de la population d’une commune par classe d’âge :

Quel est le % de la population active (entre 20 et 60 ans) par rapport à la populationtotale ?

Exercice N° 2 (*)

Voici le résultat de la collecte du verre en milliers de tonnes dans une région euro-péenne :

Calculer l’évolution en % d’une année sur l’autre.


Population par classe d’âge

180

230

170160

362

0 50

100 150 200 250 300 350 400

de 0

à10

de 1

0 à 20

de 2

0 à 40

de 4

0 à 60

de 6

0 à 80

Ages en années

No

mb

re d

’ind

ivid

us

Collecte de verre

1500 15501700

1900 1920

0

500

1 000

1 500

2 000

2 500

1995 1996 1997 1998 1999 2000

Années

Mill

iers

de

ton

nes 2000


Exercice N° 3 (*)

Le diagramme circulaire suivant illustre la répartition des ventes d’une entreprise à l’ex-portation vers quatre pays principaux : la Chine, les Etats-Unis, le Brésil et l’Europe.

Sachant que le chiffre d’affaires réalisé avec la Chine est inférieur de 144 000 € à celuique l’entreprise fait avec l’Europe, déterminer le chiffre d’affaires total et sa réparti-tion entre les quatre secteurs.


Voici un graphique établissant le nombre d’enfants pour chacune des 25 familles d’unlotissement.

Rétablir un tableau récapitulant les données fournies par ce graphique.

Quel est le nombre moyen d’enfants par famille (en arrondissant au centième près) ?


Chine12 %

Etats-Unis40 %

Europe20 %

Brésil28 %

Enfants par famille

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 5 6 8

Nombre de familles

No

mb

re d

’en

fan

ts


Exercice N° 5 (**)

Un club de retraités effectue un sondage à propos du lieu de séjour souhaité pourles vacances : mer, campagne, montagne.On distingue les 60-70 ans et les 70 ans etplus.

Combien de personnes ont entre 60 et 70 ans ? Parmi elles, quel % choisit les vacancesà la campagne ?

Etablir la répartition en % pour chaque destination et ce pour l’ensemble des per-sonnes interrogées.

Exercice N° 6 (*)

La production moyenne de vin de « Médoc » appellation d’origine contrôlée s’établità 30 500 000 bouteilles, se répartissant entre 172 crus bourgeois, 113 crus divers et 5caves coopératives selon les % exprimés par le graphique ci-contre :

Retrouver le nombre moyen de bouteilles pour chaque type de production, puis lenombre moyen de bouteilles pour 1 cave coopérative et pour 1 cru bourgeois (àl’unité près).


Souhaits de séjours

62 62

176

62

103

341

279

155

0

50

100

150

200

250

300

350

400

mer campagne montagne total

Lieux

60-70 ans

plus de 70 ans

Vins du Médoc

53 %15 %

32 %

crus bourgeois

crus divers

caves coopératives



Exercice N° 7 (**)

Voici un aperçu de l’évolution de la population française, féminine et masculine, surla période de 1985 à 2005.

a) A partir de ces informations, déterminer la proportion d’hommes et de femmesdans la population totale de chaque année.

b) Déterminer le pourcentage d’évolution de la population féminine d’une part, mas-culine d’autre part, sur ces vingt années .


Voici deux graphiques circulaires illustrant la répartition des 320 membres du per-sonnel d’un hôpital selon trois catégories : médecins, personnel soignant, personneladministratif, et ceci pour les hommes et pour les femmes.

Sachant qu’il y a 80 hommes en tout dans cet hôpital, retrouver le % de chaque ca-tégorie d’emploi par rapport au total des employés (à l’unité près).

Population française de 1985 à 2005 (estimation)

29 594

30 327

31 385

28 445

27 026

27 99228 464

29 659

24 000

25 000

26 000

27 000

28 000

29 000

30 000

31 000

32 000

1985 1995 2000 2005

en m

illie

rs

femmes

hommes

Hommes

médecins

personnel administratif

personnel soignant

Femmes

personnel soignant (68,33 %)

personnel administratif

(25 %)

médecins (6,67 %)

(22,5 %)

(37,5 %)

(40 %)


Exercice n° 9 (**)

Source : INSEE – Ministère de la Santé et des solidarités.Note : les « soins ambulatoires » désignent les médecins et auxiliaires médicaux, les dentistes, les analysesmédicales et les cures thermales.

Ce graphique représente l’évolution, sur une période de 10 ans, des dépenses médi-cales des Français.

A partir des informations qui sont fournies, déterminer :– La part, en pourcentage de la dépense totale, des différents postes de consomma-

tion en 1995, 2000 et 2005 ;– L‘évolution de chacun de ces postes et de l’ensemble, en pourcentage, de 1995 à 2005.


Dans la ville de X…, on a relevé le nombre de photocopies produites dans quatre ca-tégories de services. En 1999 ce nombre était de 15 000 et en 2001 de 15 500 photo-copies, la répartition s’effectuant selon les deux graphiques ci-joints :

Retrouvez le % d’évolution pour chaque service entre les deux années considérées.


Année 2001

11 %

15 %

48 %

26 %

Année 1999

18,5 %

47,5 %

11 %23 % services

administratifsservices techniques

services culturels

autres services

Consommation médicale des Français

150,6

47,6

26,818,5

98

5,1

115,1

7,6

23,631,2

52,7

11,4

31,340,967

soin

sh

osp

ital

iers

soin

sam

bu

lato

ires

méd

icam

ents

Au

tres

Tota

l

mill

iard

s d

'€

1995

2000

2005

020406080

100120140160



1 - Si A = 250, B = 125, C = 25, le graphique qui représente cette répartition est :

■ n° 1 ■ n° 2 ■ n° 3 ■ n° 4

2 - Voici les notes obtenues par trois élèves pendant 4 mois

La moyenne de A est :

■ 7 ■ 10 ■ 8 ■ 8,5

3 - La moyenne de B est :

■ 10 ■ 8 ■ 10,5 ■ 11

4 - Le nombre total des notes supérieures ou égales à 10 obtenues par les trois élèvesest :

■ 10 ■ 9 ■ 6 ■ 8

5 - Une somme de 3 000 € est répartie entre quatre personnes selon le diagrammesuivant :


02468

101214161820

janvier février mars avril

A

B

C


La part de D représente :

■ 2 520 € ■ 630 € ■ 480 € ■ 520 €

6 - Voici un graphique représentant les ventes d’un produit :

Le % d’évolution entre 1999 et 2001 est de :

■ + 4,76 % ■ + 10 % ■ + 70 % ■ + 46,67 %

7 - Voici la répartition par tranche d’âge des jeunes enfants d’une commune :

Le % des 4/6 ans par rapport au total des enfants est de :

■ 24,48 % ■ 32,43 % ■ 24,49 % ■ 38,89 %


A : 25 %

B : 37 %

C : 22 %

D : ?

163150

210 220

0

50

100

150

200

250

année 1998 année 1999 année 2000 année 2001

en milliers d’unités

120

210

0

50

100

150

200

250

de 0 à 3 ans de 4 à 6 ans de 7 à 11 ans

160


8 - Voici l’évolution, en millions d’habitants, de la population urbaine et rurale :

A partir de quelle année la démographie urbaine représente-t-elle 70 % de la popu-lation totale ?

■ 1900 ■ 1950 ■ 1970 ■ 1980

9 - D’après le graphique précédent, l’évolution de la population entre 1950 et 2000par rapport à l’évolution entre 1900 et 1950 est :

■ égale ■ supérieure ■ inférieure

10 - Voici un graphique sur la répartition des 1 096,7 millions de m 3 de feuillus dansune forêt.

(les quantités sont exprimées en millions de m 3)

Le pourcentage de chênes par rapport au total des feuillus est de :

■ 51,65 % ■ 48 % ■ 47,1 % ■ 50 %


20 18 18 15 11

5 12

27 35 44

0

10

20

30

40

50

60

année1900

année1920

année1950

année1970

année2000

pop. urbaine

pop. rurale

chênes : ?

hêtres : 218,5

chataigniers : 87,3

autres feuillus : 274,4



Exercice I

En 2004, le coût moyen d’un accident du travail était estimé à 2 850 €.

Le nombre des accidents dans quatre grands secteurs d’activité, est représenté par legraphique suivant :

Déterminer le coût, en millions d’euros (arrondi au dixième près) des accidents du tra-vail dans chaque secteur et pour l’ensemble, ainsi que sa répartition en pourcentagedu total.

Exercice II

Dans la commune de X., on a recensé les élèves scolarisés en classe de 6e dans les troiscollèges A, B et C :


Accidents du travail par secteur

84 284

118 913

92 521

121 266

0

20 000

40 000

60 000

80 000

100 000

120 000

140 000

Métallurgie Bâtiment TP Transports Services

224

189210

222

180

0

50

100

150

200

250

1998/1999 1999/2000

No

mb

re d

’élè

ves

collège A

collège B

collège C

160


Nombre de classes de 6 e :

Retrouvez l’effectif des classes de 6e ainsi que la moyenne par classe pour les trois col-lèges et leur ensemble, et ce pour les deux années considérées (arrondir à l’unité prèspar excès), puis l’évolution en % des effectifs.

Exercice III

En 2005, une communauté de quatre communes envisage de répartir le coût de la col-lecte et du traitement des ordures ménagères de la manière suivante :– le coût global de collecte et de traitement des déchets recyclables sera réparti pro-

portionnellement au nombre d’habitants des communes ;– le coût global de collecte et de traitement des déchets non recyclables est réparti, à

hauteur de 60 %, proportionnellement au nombre de kilomètres de voirie, et, pourle reste, à parts égales entre les 4 communes.

Le coût de « collecte et traitement » pour les déchets recyclables est de 120 € / tonne,pour les non recyclables de 180 € / tonne. En 2005, on a dénombré 2 481 tonnes dedéchets recyclables et 6 750 tonnes de non recyclables.

Il vous est demandé de déterminer pour chaque commune et pour l’ensemble :– la population– la participation détaillée (recyclables et non recyclables) et totale au financement de

la collecte et du traitement des ordures ménagères.(d’après le sujet du concours 2006 du centre de gestion des Vosges)


Collège A Collège B Collège C

Année 1998-1999 5 7 6Année 1999-2000 8 6 5

Kilométrage de voirie Répartition de la population

A20 % du total

B1/3 du total

C2/5 du total

D1 654 habitants

92

5460

64

0

20

40

60

80

100

A C D

En k

m

B


219

Exercice IV

On a établi pour les 19 589 000 ménages de cette région un recensement sur le modede logement en distinguant : les propriétaires, les locataires, les locataires en « meu-blés » et les ménages logés gratuitement :

Sachant que les locataires de « meublés » représentent 3,5 % des locataires, retrou-vez le nombre de ménages pour chacune des catégories de logements(à l’unité près)ainsi que le % par rapport au total.

Exercice V

La région de X… est formée de cinq départements A, B, C, D, E. En 1998 la popula-tion et la superficie de la région se répartissaient selon les graphiques ci-joints :

La population rurale de C représentait 89 200 habitants, soit les 4/7 de sa populationtotale.

Faites apparaître : la population, la superficie et la densité de la population pour 1998(c’est-à-dire le nombre d’habitants au km 2) pour chaque département et pour la ré-gion à l’unité près par excès.


Superficie en km2Population

B : 135

C : ?

D : 130

E : 152A : 150

020406080

100120140160180

en milliersE = 60 %

de A

D = 3 927,5

C = 4 895,2 B = 3/4de A

A = 8 600

Occupation des habitations

propriétaires(50,6 %)

meublésgratuit

locataires(40,5 %)



Exercice n° 1 :

Lecture du graphique : entre 20 et 60 ans il y a : 230 + 362 = 592 personnes.

La population totale est de : 180 + 160 + 230 + 362 + 170 = 1 102

%/total : = 53,72 %

Exercice n° 2 :

Lecture du graphique :

1996/1995 : évolution en nombre 1 550 – 1 500 = + 50

évolution en % : = + 3,33

1997/1996 : évolution en nombre 1 700 – 1 550 = + 150


1998/1997 : évolution en nombre : 1 900 – 1 700 = + 200


1999/1998 : évolution en nombre : 1 920 – 1 900 = + 20


2000/1999 : évolution en nombre : 2 000 – 1920 = + 80


Exercice n° 3 :

L’écart de 144 000 € correspond à une différence de (20 % – 12 %) du total, soit à 8 %du total.

Chiffre d’affaires total (€) : = 1 800 000 € (ou : 144 000 ÷ 8 %)

Répartition selon les secteurs géographiques (€) :– Chine : 1 800 000 × 12 % = 216 000– Etats-Unis : 1 800 000 × 40 % = 720 000

1 1008

44 000 ×

80 01 920

× 1 0

20 01 900

× 1 0

200 01 700

× 1 0

150 01 550

× 1 0

50 01 500

× 1 0

592 01 102

× 1 0


1995 1996 1997 1998 1999 2000

En milliers de tonnes 1 500 1 550 1 700 1 900 1 920 2 000


221

– Brésil : 1 800 000 × 28 % = 504 000– Europe : 1 800 000 × 20 % = 360 000

Exercice n° 4 :

Le nombre total de familles est de : 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 25

Le nombre total d’enfants est de : 6 + 5 × 2 + 4 × 3 + 3 × 5 + 2 × 6 + 1 × 8 = 63

Le nombre moyen d’enfants par famille est de : 63 : 25 = 2,52

Exercice n° 5 :

Lecture de graphique : entre 60 et 70 ans, il y a 279 personnes.

% vacances à la campagne : = 22,22 %

nombre total de personnes interrogées : 155 + 176 + 62 + 62 + 103 = 620

nombre total de personnes pour la destination mer : 155 + 176 = 331

destination campagne : 62 + 62 = 124

destination montagne : 62 + 103 = 165

répartition en % destination mer : × 100 = 53,39

répartition en % destination campagne : × 100 = 20

répartition en % destination montagne : × 100 = 26,61

Exercice n° 6 :

Crus bourgeois : 30 500 000 × 53 % = 16 165 000 bouteilles

Crus divers : 30 500 000 × 15 % = 4 575 000 bouteilles

Caves coopératives : 30 500 000 × 32 % = 9 760 000 bouteilles

Nombre moyen de bouteilles :

Pour une cave coopérative : 9 760 000 : 5 = 1 952 000 bouteilles

Pour un cru bourgeois : 16 165 000 : 172 = 93 982,5 soit 93 983 bouteilles

Exercice n° 7 :

a) en milliers d’individus

165620

124620

331620

62 0279× 1 0


Nombre de famille 1 2 3 5 6 8

Nombre d’enfants 6 5 4 3 2 1



b) Evolution en % 2005 / 1985 :

– des hommes : évolution en nombre : 29 659 – 27 026 = + 2 633

En % : + = + 9,74

– des femmes : évolution en nombre : 31 385 – 28 445 = + 2 940

En % : + = + 10,34

Exercice n° 8 :

Il y a 80 hommes.

Répartition hommes : personnel administratif : 80 × 22,5 % = 18

personnel soignant : 80 × 37,5 = 30

médecins : 80 × 40 % = 32

Il y a 320 – 80 = 240 femmes.

Répartition femmes : personnel administratif : 240 × 25 % = 60

personnel soignant : 240 × 68,33 % = 164

médecins : 240 × 6,67 % = 16

Total des employés : 320

Total du personnel administratif : 18 + 60 = 78

%/total : = 24,38 soit 24 %

Total du personnel soignant : 30 + 164 = 194

%/total : = 60,63 soit 61 %

Total des médecins : 32 + 16 = 48 %/total : = 15 soit 15 %

(vérification : 24 + 61 + 15 = 100)

48 0320× 1 0

194 0320

× 1 0

78 0320× 1 0

2 940 ×10028 445

2 633 ×10027 026

Français1985 1995 2000 2005 (estimation)

nombre %/total nombre %/total nombre %/total nombre %/total

Hommes 27 026 48,72 27 992 48,61 28 464 48,42 29 659 48,59Femmes 28 445 51,28 29 594 51,39 30 327 51,58 31 385 51,41

total 55 471 100,00 57 586 100,00 58 791 100,00 61 044 100,00


223

Exercice n° 9 :

Exercice n° 10 :

Année 1999 Année 2001

Autres services : Autres services :

15 000 × 23 % = 3 450 15 500 × 26 % = 4 030

Services administratifs : Services administratifs :

15 000 × 11 % = 1 650 15 500 × 11 % = 1 705

Services techniques : Services techniques :

15 000 × 18,5 % = 2 775 15 500 × 15 % = 2 325

Services culturels : Services culturels :

15 000 × 47,5 % = 7 125 15 500 × 48 % = 7 440

% d’évolution 2001/1999 :

Autres services : = + 16,81

Services administratifs : = + 3,33

Services techniques : = – 16,22

Autres culturels : = + 4,42(7 440 – 7 125) 07 125

× 1 0

(2 325 – 2 775) 02 775

× 1 0

(1 705 – 1 650) 016 500

× 1 0

(4 030 – 3 450) 03 450

× 1 0


(en milliards d’€)

* % / total (rappel) : = 48,571 ≈ 48,57 etc…

** évolution en % 2005 / 1995 : écart en valeur (67,0 – 47,6 = 19,4) divisé par la valeur correspondante de

1995 (47,6) ; le résultat multiplié par 100 pour l’exprimer « pour 100 » : + = 40,756…≈ 40,76etc…

19, 4 100

47,6

×

47,6 100

98,0

×

Poste de1995 2000 2005

dépenses valeur %/total valeur %/total valeur %/total évolution% /1995

Soins 47,6 48,57* 52,7 45,79 67,0 44,49 + 40,76**hospitaliers

Soins 26,8 27,35 31,2 27,11 40,9 27,16 + 52,61ambulatoiresMédicaments 18,5 18,88 23,6 20,50 31,3 20,78 + 69,19

Autres 5,1 5,20 7,6 6,60 11,4 7,57 + 123,53

Total 98,0 100,00 115,1 100,00 150,6 100,00 + 53,67





Exercice I

(voir Chap. 2 – Numération)

Pour chaque secteur, on sera amené à multiplier le coût moyen (2 850) par le nombred’accidents. Il se peut que votre calculatrice n’absorbe pas de si grands nombres.

Conseil : en transformant chaque donnée (coût moyen et nombre d’accidents) en mil-liers d’unités, le résultat apparaîtra directement en millions d’euros.

(Rappel : 1 000 × 1 000 = 1 000 000 = 1 million)

Exemple : Métallurgie :84 284 accidents = 84,284 milliers d’accidents2 850 € = 2,85 milliers d’€Coût total (en millions d’€) : 2,85 × 84,284 = 240,2 millions d’€ etc…

Exercice II

Année 1998-1999 effectifs des 6 e et moyenne par classe :Collège A : 160 Moyenne par classe : 160 : 5 = 32Collège B : 189 Moyenne par classe : 189 : 7 = 27

1 - n° 1 6 - 46,67 %

2 - 7 7 - 24,49 %

3 - 10,5 8 - 1970

4 - 8 9 - inférieure

5 - 480 € 10 - 47,1 %

Secteurs Coût total (millions d’€) % / Ensemble

Métallurgie 240,2 20,21Bâtiment TP 338,9 28,52Transports 263,7 22,19Services 345,6 29,08

Ensemble 1 188,4 100,00


225

Collège C : 222 Moyenne par classe : 222 : 6 = 37Ensemble : 571 Moyenne : 571 : (5 + 7 + 6) = 31,72, soit 32

Année 1999-2000 : effectifs des 6 e et moyenne par classe :Collège A : 224 Moyenne par classe : 224 : 8 = 28Collège B : 210 Moyenne par classe : 210 : 6 = 35Collège C : 180 Moyenne par classe : 180 : 5 = 36Ensemble : 614 Moyenne : 614 : (8 + 6 + 5) = 32,31, soit 33

Exercice III

Récapitulons ces répartitions de coûts :– Déchets recyclables : proportionnellement à la population– Déchets non recyclables : à hauteur de 60 %, proportionnellement au kilométrage ;

le reste (40 %) en part égales.

Détermination de la population respective (diagramme circulaire) :

20 % =

A + B + C = ( + + ) du total = ( ) du total = du total

D = 1 654 = ( ) du total = du total d’où le total : 1 654 × 15 = 24 810

Les populations respectives se calculent sans difficulté en appliquant les différentes

fractions à 24 810 (exemple population de A : × 24 810 = 4 962 hab.)

Répartition du coût des recyclables : 2 481 tonnes à 120 € / tonne

Coût total (€) : 120 × 2 481 = 297 720 € à répartir entre 24 810 habitants.

Part par habitant (coefficient de proportionnalité) : 297 720 ÷ 24 810 = 12

Part de A : 12 × 4 962 = 59 544 etc…

Répartition du coût des non recyclables : 6 750 tonnes à 180 € / tonne :

Coût total (€) : 6 750 × 180 = 1 215 000 €60 % × 1 215 000 = 729 000(le reste : 40 % × 1 215 000 = 486 000 à répartir en 4 parts égales)

15

115

15 141515

−

1415

3 5 6+ +15

25

13

15

15


1998-1999 1999-2000 Evolution desEtablissements effectifs en %

effectifs moyenne effectifs moyenne 1999-2000/1998-1999

Collège A 160 32 224 28 + 40,00Collège B 189 27 210 35 + 11,11Collège C 222 37 180 36 – 18,92

Ensemble 571 32 614 33 + 7,53



729 000 € à répartir proportionnellement au kilométrage (voir histogramme) :

Nombre total de km : 92 + 54 + 60 + 64 = 270

Part par km (= coefficient de proportionnalité) : 729 000 ÷ 270 = 2 700

Prise en charge de A : 2 700 × 92 = 248 400

Prise en charge de B : 2 700 × 54 = 145 800 etc…

A chacun de ces montants il faut ajouter la part égale de 121 500 (= 486 000 ÷ 4)

Le coût total résulte de l’addition en ligne des coûts relatifs aux déchets recyclableset non recyclables.

Le corrigé s’inscrit donc dans ce tableau :

Exercice IV

Nombre de propriétaires (à l’unité près) : 19 589 000 × 50,6 % = 9 912 034

Nombre de locataires (à l’unité près) : 19 589 000 × 40,5 % = 7 933 545

Nombre de locataires de « meublés » (à l’unité près) : 7 933 545 × 3,5 % = 277 674

Nombre d’occupants « gratuits » : 19 589 000 – (9 912 034 + 7 933 545 + 277 674) =1 465 757

%/total pour les propriétaires : 50,6 % %/total pour les locataires : 40,5 %

%/total pour les « meublés » : = 1,417 soit 1,42 %

%/total pour les « gratuits » : = 7,482 soit 7,48 %1 465 747 019 589 000

× 1 0

277 674 019 589 000

× 1 0

Catégories Nombre %/total

Propriétaires 9 912 034 50,60Locataires 7 933 545 40,50

Locataires de « meublés » 277 674 1,42Logés « gratuit » 1 465 747 7,48

Ensemble 19 589 000 100,00

Communes PopulationCoût de ramassage et traitement des déchets ( €)

recyclables Non recyclables total

A 4 962 59 544 369 900 429 444B 8 270 99 240 267 300 366 540C 9 924 119 088 283 500 402 588D 1 654 19 848 294 300 314 148

Ensemble 24 810 297 720 1 215 000 1 512 720


Exercice V

Interprétation du graphique « en bâtons » :

Population A : 150 000 habitants Population B : 135 000 habitants ;

Population D : 130 000 habitants Population E : 152 000 habitants.

89 200 habitants (la population rurale de C) représente les 4/7 de la population totale.

Population totale de C : = 156 100 habitants

Population de la région : 150 000 + 135 000 + 156 100 + 130 000 + 152 000 = 723 100habitants

Interprétation du graphique circulaire :

Superficie de A : 8 600 km2 Superficie de B : 8 600 × = 6 450 km 2

Superficie de C : 4 895,2 km2 Superficie de D : 3 927,5 km2

Superficie de E : 8 600 × 60 % = 5 160 km2

Superficie de la région : 8 600 + 6 450 + 4 895,2 + 3 927,5 + 5 160 = 29 032,7 km2

Densité de la population (à l’unité près par excès)Département A : 150 000 : 8 600 = 17,44 soit 18 habitants /km2

Département B : 135 000 : 6 450 = 20,93 soit 21 habitants /km2

Département C : 156 100 : 4 895,2 = 31,88 soit 32 habitants /km2

Département D : 130 000 : 3 927,5 = 33,09 soir 34 habitants/km2

Département E : 152 000 : 5 160 = 29,45 soit 30 habitants /km2

Région : 723 100 : 29 032,7 = 24,9 soit 25 habitants /km2

Remarque : la densité de la région n’est pas la somme des densités des cinq dépar-tements, ce n’est pas non plus leur moyenne arithmétique !

34

89 200 4

× 7


Région Population Superficie en km2 Densité à l’unitéprès par excès

Département A 150 000 8 600,0 18Département B 135 000 6 450,0 21Département C 156 100 4 895,2 32Département D 130 000 3 927,5 34Département E 152 000 5 160,0 30

Ensemble 723 100 29 032,7 25



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ADJOINT ADMINISTRATIFTABLEAU NUMÉRIQUE 1Méthodologie et exercices d’application

Le tableau numérique 1 « Méthodologie et exercices d’application » s’adresse aux candidats qui souhaitent se préparer au concours d’adjoint administratif territorial.

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Catégorie

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ISBN : 978-2-84143-299-8 - Les éditions du CNFPT, édition 2008 - Prix 16 €

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3 - Exercices extraits de tableaux numériques