5

CAPITOLUL 1

FIZICA FLUIDELOR

1.1. CARACTERISTICILE GENERALE ALE FLUIDELOR

Prin fluid se nelege un mediu continuu, infinit divizibil, care i

modific foarte mult forma sub aciunea unor fore mici. Din punctul de

vedere al strilor de agregare ale substanelor, pot fi considerate fluide

lichidele i gazele.

Un fluid se caracterizeaz prin anumii parametri ce descriu starea lui n

fiecare moment i anume densitatea , presiunea p, cmpul de viteze v ale

diferitelor elemente de fluid, temperatura T. Un fluid este considerat un

mediu continuu dac aceti parametri au valori bine determinate n fiecare

punct al fluidului, la orice moment, fiind deci funcii continue de punct i

timp.

Densitatea unui fluid se definete prin masa de fluid raportat la

unitatea de volum. Dac fluidul considerat este omogen, avnd masa m i

volumul V, atunci prin definiie densitatea sa este dat de expresia:

Vm

= (1.1)

Unitatea de msur pentru densitate n Sistemul Internaional este

kgm-3.

Dac fluidul este neomogen, formula (1.1) definete densitatea medie a

acestuia.

Pentru a defini densitatea fluidului ntr-un punct dat, P, se consider un

element de volum infinitezimal dV, (fig. 1.1.), situat n jurul punctului

respectiv, a crui mas este dm. Densitatea n punctul P se va defini prin

expresia:

6

Figura 1.1

Vm

dd

= (1.2)

Densitatea fiind un concept statistic, volumul dV trebuie s fie suficient

de mare pentru a conine un numr mare de molecule (i deci a avea o

semnificaie fizic).

n general, densitatea unui fluid variaz de la punct la punct i de la un

moment la altul, adic:

),(),,,( trtzyx == (1.3)

Se spune n acest caz c funcia ),( tr descrie un cmp de densiti.

Deoarece densitatea este o mrime scalar, cmpul de densiti este un

cmp scalar.

Densitatea unui fluid depinde de temperatura i presiunea la care

acesta este supus. n cazul lichidelor, densitatea variaz foarte puin cu

presiunea i temperatura, astfel nct n multe situaii poate fi considerat

constant. n schimb, n cazul gazelor densitatea se modific foarte mult la

variaiile de presiune i temperatur.

Asupra unui fluid acioneaz fore ce pot fi exterioare sau interioare.

Forele exterioare se datoresc unor cauze exterioare fluidului i pot fi de

suprafa sau de volum.

Forele exterioare de suprafa se datoresc unor corpuri exterioare care

se afl n contact direct cu suprafaa fluidului. Trebuie precizat c exist o

deosebire ntre modul n care acestea acioneaz asupra unui lichid i asupra

unui solid. n cazul unui solid nu exist nici o restricie asupra direciei n

7

Figura 1.2

care acioneaz fora, n timp ce pentru un fluid n repaus fora de suprafa

trebuie s fie ntotdeauna orientat perpendicular pe suprafa.

Forele exterioare de volum sunt forele ce acioneaz asupra ntregului

volum de fluid prin intermediul unui cmp fizic. Exemple pot fi aciunea

cmpului gravitaional asupra unui fluid, sau aciunea unui cmp

electromagnetic asupra unui fluid ncrcat electric.

Forele interioare se datoresc interaciunilor dintre diferitele elemente

de volum din fluidul respectiv.

Dac aceste interaciuni se realizeaz prin contactul direct dintre

elementele de fluid atunci forele interioare respective se numesc de

suprafa, iar dac ele se realizeaz prin intermediul unui cmp fizic, forele

corespunztoare se numesc interioare de volum.

n cazul fluidelor aciunea unei fore exterioare este descris prin

presiunea p.

Prin definiie, presiunea reprezint mrimea fizic egal cu fora ce

acioneaz normal pe unitatea de suprafa a fluidului:

SFp = (1.4)

Unitatea de msur n S.I. este N/m2.

Dac fora F difer de la un punct la altul al suprafeei fluidului, atunci

formula (1.4) definete valoarea medie a presiunii.

8

Pentru a defini presiunea ntr-un punct P al suprafeei, vom considera o

suprafa nchis (S) ce conine un fluid i pe ea un element de suprafa dS,

centrat n punctul P. (fig.1.2).

Elementul de suprafa dS poate fi reprezentat printr-un vector S

d , de

mrime egal numeric cu aria sa i orientat dup normala exterioar la

suprafa n punctul P. Fie dF fora ce acioneaz normal la suprafa.

Presiunea n punctul P considerat, se definete prin relaia:

SFp

dd

= (1.5)

Deoarece presiunea p poate varia de la un punct la altul al fluidului

precum i de la un moment la altul, adic:

),(),,,( trptzyxpp == (1.6)

funcia ),( trp descrie un cmp de presiuni, care este un cmp scalar.

n cazul n care fluidul este n micare, este necesar s se introduc un

cmp de viteze corespunztor. Se definete viteza fluidului ntr-un punct P

(fig.1.1) ca fiind viteza momentan a centrului de mas al elementului de

volum dV ce nconjoar punctul P. Viteza fluidului poate, n general, s

difere de la punct la punct i de la un moment la altul, adic:

),(),,,( trvtzyxvv == (1.7)

Se spune c funcia ),( trv descrie cmpul de viteze al fluidului, care

este un cmp vectorial.

Dac un fluid are proprietatea c nu-i modific densitatea cnd este

supus aciunii unor fore exterioare atunci el se numete incompresibil.

Dac densitatea se modific sub aciunea forelor exterioare, atunci

fluidul se numete compresibil. Lichidele sunt incompresibile, pe cnd

gazele sunt foarte compresibile.

Compresibilitatea unui fluid la temperatur constant se caracterizeaz

prin coeficientul de compresibilitate, , sau prin inversul acestuia numit

modulul de compresibilitate.

Coeficientul de compresibilitate este definit ca variaia unitii de

volum de fluid pentru o cretere a presiunii egal cu unitatea.

9

pV

V dd1= (1.8)

unde V este volumul iniial, iar dV variaia de volum datorit creterii

presiunii cu dp. Semnul minus se datorete faptului c o cretere de presiune

conduce la o micorare de volum.

Unitatea de msur pentru coeficientul de compresibilitate n Sistemul

Internaional este N-1m2. este, practic, constant pentru lichide, n intervale

mari de variaie a presiunii.

La presiunea i temperatura obinuit =510-10N-1m2 pentru ap i

=410-11N-1m2 pentru mercur. Pentru majoritatea lichidelor, crete odat

cu temperatura, iar pentru ap scade cnd crete temperatura. Avnd

coeficieni de compresibilitate att de mici, lichidele pot fi considerate,

practic, incompresibile.

n cazul gazelor perfecte se poate determina coeficientul de compre-

sibilitate izoterm utiliznd legea lui Boyle i Mariotte,

.constpV = (1.9)

Difereniind relaia (1.9.) se obine:

0dd =+ pVVp (1.10)

adic

==pV

Vp dd11 (1.11)

Coeficientul de compresibilitate izoterm pentru un gaz perfect este,

deci, egal cu inversul presiunii gazului, iar modulul de compresibilitate

izoterm este egal cu presiunea. Pentru un gaz perfect la presiunea ordinar,

=10-5 N-1m2, deci un gaz perfect este de 20 000 de ori mai compresibil

dect apa.

O alt caracteristic important a fluidelor o constituie vscozitatea.

Aceasta reprezint proprietatea fluidului de a se opune la alunecarea

unui strat de fluid fa de straturile vecine. Vscozitatea este caracterizat

prin apariia n fluidul respectiv a unor fore tangeniale de interaciune ntre

straturile vecine, numite forte de frecare interne.

Un fluid care prezint proprietatea de vscozitate se numete fluid

10

vscos. Fluidele vscoase sunt gazele reale i lichidele. Vscozitatea lor este

determinat de micarea moleculelor componente. Astfel moleculele dintr-o

regiune aflat n micare cu o vitez mare se ciocnesc cu moleculele regiunii

vecine ce se mic cu o vitez mai mic, determinnd un transfer de impuls

de la prima regiune ctre cea de-a doua. Acest transfer de impuls st la

originea vscozitii fluidului. Micarea moleculelor fiind afectat de

temperatura mediului, rezult c i vscozitatea este, de asemenea,

dependent de temperatur.

Fluidele care nu prezint proprietatea de vscozitate se numesc ideale.

Sunt fluide ideale gazele foarte rarefiate i lichidele n micare cu vitez

foarte mic.

Astfel de fluide nu exist n natur, studiul lor este important din punct

de vedere teoretic, ca o prim aproximaie a fluidelor reale.

1.2 STATICA FLUIDELOR 1.2.1 LEGEA FUNDAMENTAL A STATICII

FLUIDELOR

n cadrul staticii fluidelor se studiaz proprietile fluidelor aflate n

stare de repaus. Un fluid se consider n stare de repaus dac orice element

de volum din structura sa are la orice moment o vitez nul, adic are un

cmp de viteze nul. Cmpul de presiune va fi n acest caz o funcie de

punctul considerat, adic )(rpp = .

Dac fluidul este ideal i se afl n repaus, atunci ntre diferitele sale

straturi nu pot apare fore tangeniale de interaciune. Prezena unor

asemenea fore ar contribui la deplasri ale straturilor de fluid, i deci fluidul

nu ar mai fi n repaus. Prin urmare, n cazul fluidelor ideale aflate n repaus

singurele fore care apar sunt cele normale numite fore de presiune.

Problema fundamental a staticii fluidelor o constituie obinerea unei

legi care s permit determinarea cmpului de presiune n interiorul unui

fluid aflat n repaus.

S considerm un element de volum infinitezimal n fluidul aflat n

11

Figura 1.3

echilibru, de mas dm i avnd forma unui paralelipiped cu laturile dx, dy,

dz (fig.1.3.).

Vom presupune c singura for exterioar de volum care acioneaz

asupra fluidului este determinat de cmpul gravitaional. Ea are expresia:

GmgFV ddd == (1.12)

unde g reprezint vectorul acceleraiei gravitaionale.

Deoarece:

Vm dd = (1.13)

i dV=dxdydz expresia (1.12) devine:

zyxgFV dddd

= (1.14)

unde (x,y,z) reprezint densitatea fluidului n centrul C al elementului de

volum dV.

Aciunea restului fluidului asupra acestui element de volum poate fi

nlocuit prin fore ''' d,d,d,d,d,d zzyyxx FFFFFF

, normale pe feele lui i

ndreptate spre interiorul lui.

La echilibru, putem scrie de exemplu pentru feele perpendiculare pe

Ox:

0dd'dddd ' == zypzypFF XX (1.15)

deci p = p

12

unde p este presiunea pe faa elementului de volum coninut n planul yOz

si p presiunea pe faa paralel cu ea.

Un rezultat asemntor se obine scriind condiia de echilibru pentru

feele perpendiculare pe axa Oy.

0dd'dddd ' == zxpzxpFF yy (1.16)

deci p = p

Valoarea presiunii este, deci, aceeai pentru o valoare dat a lui z,

oriunde s-ar afla suprafaa pe care ea se exercit, deci presiunea este aceeai

n toate punctele unui plan orizontal.

S scriem condiia de echilibru n cazul fetelor perpendiculare pe

direcia Oz:

0dddddddd '11' == VgyxpyxpGFF zz (1.17)

zyxgyxpp ddddd)( 1'1 = (1.18)

zgp dd = (1.19)

unde dp=p1-p1

Relaia (1.19.) se mai poate scrie sub forma:

gzp

=dd (1.20)

Expresia (1.20.) reprezint legea fundamental a staticii fluidelor scris

pentru cazul cnd singurele fore exterioare de volum ce acioneaz asupra

fluidului sunt cele determinate de cmpul gravitaional.

Dac se admite c asupra elementului de fluid considerat acioneaz i

alte fore exterioare de volum i se noteaz prin f

valoarea rezultant a

tuturor forelor exterioare de volum, raportat la unitatea de mas a

fluidului, atunci legea fundamental a staticii fluidelor se va scrie sub forma

general:

fpgrad

=1 (1.21)

13

1.2.2 PRESIUNEA HIDROSTATIC

S determinm distribuia presiunii ntr-un fluid incompresibil

(=const.), de exemplu un lichid aflat n repaus n cmpul gravitaional

(fig.1.4.).

Legea fundamental (1.20.) poate fi nlocuit n acest caz prin urmtoarele

trei ecuaii scalare:

gzp

yp

xp

=

=

= ,0,0 (1.22)

Gradientul presiunii care caracterizeaz variaia presiunii n spaiu i

este dat de derivatele pariale ale acesteia, este un vector perpendicular pe

suprafeele de presiune constant (n sensul creterii

presiunii), deci este perpendicular pe suprafeele de cmp gravitaional

constant n sensul acestui cmp. n cazul de mai sus aceste suprafee sunt

orizontale i cmpul este vertical n jos, de aceea gradientul presiunii s-a

redus numai la componenta vertical. Ultima ecuaie din (1.22) se poate

scrie atunci sub forma:

zgp dd = (1.23)

Fluidul fiind presupus incompresibil (=const), ecuaia (1.23.) poate fi

integrat ntre limitele ce corespund, de exemplu, punctelor A si B:

Figura 1.4

14

)(dd ABz

z

B

A

zzgzgpB

A

== sau

ghpp BA += (1.24)

unde h este diferena de nivel ntre punctele B si A.

Expresia gh este denumit presiune hidrostatic i reprezint presiunea

pe care o exercit n punctul A lichidul cuprins ntre nivelele ce trec prin A

i respectiv B.

Dac punctul B este chiar pe suprafaa lichidului, atunci se noteaz pB

cu p0, unde p0 reprezint presiunea atmosferic. Considernd punctul A

arbitrar ales ecuaia (1.24) devine:

ghpp += 0 (1.25)

unde h reprezint adncimea la care se afl punctul n care se calculeaz

presiunea p.

Dac cmpul de fore exterioare ce acioneaz asupra fluidului este

conservativ, atunci fora de volum deriv dintr-un potenial, n sensul c

poate fi scris sub forma =VF

U. Raportnd aceast for la unitatea de

mas se obine:

mm

Ff V 1==

U=-

mU = -V (1.26)

unde V = U/m reprezint potenialul cmpului exterior.

Din relaiile (1.21) si (1.26) rezult:

1p+V= 0=

+

Vp , adic

.constVp =+

(1.27)

Relaia (1.27) exprim faptul c ntr-un fluid incompresibil aflat n

repaus ntr-un cmp exterior de fore conservative, suprafeele de presiune

constant sunt n acelai timp i suprafee de potenial constant, adic sunt

15

suprafee echipoteniale.

n exemplul considerat suprafeele echipoteniale sunt plane orizontale.

Suprafaa lichidului, numit suprafaa liber, este de asemenea o

suprafa echipotenial. Pe aceast proprietate se bazeaz principiul vaselor

comunicante, conform cruia nivelul unui lichid turnat n dou vase ce

comunic ntre ele este acelai n ambele vase.

1.2.3. FORMULA BAROMETRIC

O aplicaie a legii fundamentale a staticii fluidelor o constituie deter-

minarea cmpului de presiune ntr-un fluid compresibil aflat n echilibru n

cmpul gravitaional al Pmntului, de exemplu atmosfera. Fluidul se

caracterizeaz prin proprietatea c densitatea sa ntr-un punct oarecare este

funcie numai de presiunea din acel punct: =(p). Astfel de fluide se

numesc barotrope. Exemple de astfel de fluide sunt gazele ideale, apa

mrilor i oceanelor, atmosfera Pmntului.

Legea fundamental a staticii fluidelor se scrie pentru fluidele

barotrope, astfel:

zgpp d

)(d

=

(1.28)

Prin integrare rezult:

+=

Cgzpp

)(d (1.29)

unde C este o constant de integrare ce se determin din condiii la limit.

Se alege o form particular pentru funcia (p) cu scopul de a evalua

analitic sau numeric integrala din membrul stng al relaiei (1.29). Se

consider ca fluid barotrop gazul ideal. Se utilizeaz ecuaia de stare a

gazului ideal:

RTMmpV = (1.30)

16

Figura 1.5

din care se poate exprima densitatea:

pRTM

Vm

== (1.31)

nlocuind (1.31) n (1.29) si integrnd rezult:

CgzpMRT

+=ln (1.32)

Dac se admite condiia la limita p=p0 pentru z=0, rezult 0ln pMRTC = .

Relaia (1.32) devine:

RTMgz

epp

= 0 (1.33)

Relaia (1.33) constituie formula barometric si arat c n cazul

fluidelor compresibile barotrope, aflate n cmp extern gravitaional i care

se supun legii gazelor perfecte, presiunea scade exponenial cu nlimea

(fig. 1.5.).

Cercetrile experimentale au pus n eviden faptul c atmosfera

Pmntului poate fi considerat ca un fluid barotropic pentru care este

valabil formula barometric. Pentru ea, nivelul z=0 se alege nivelul mrii.

17

1.3 DINAMICA FLUIDELOR 1.3.1 CURGEREA FLUIDELOR.

ECUAIA DE CONTINUITATE

Pentru descrierea micrii unui fluid se adopt metoda dezvoltat de L.

Euler, conform creia se cunosc n fiecare moment i n fiecare punct al

fluidului valorile urmtorilor parametri: viteza v , densitatea , presiunea p.

Curgerea unui fluid poate fi considerat:

- staionar, dac viteza v a fluidului n fiecare punct este constant.

Prin urmare, ntr-un punct dat al fluidului, viteza oricrui element de

fluid ce trece prin el este totdeauna aceeai.

- nestationar, dac viteza fluidului ntr-un punct dat depinde de timp.

Curgerea unui lichid printr-o conduct prezint dou tipuri limit de

regimuri de curgere:

- curgerea laminar n care elementele de volum de fluid se mic

regulat i paralel.

- turbulent, caracterizat printr-o variaie a vitezelor n mod neregulat

de la punct la punct i de la un moment la altul. Turbioanele sunt dispuse

dezordonat fat de direcia general de curgere i liniile de curent sunt

aezate neregulat unele fa de celelalte.

Curgerea unui fluid poate fi compresibil sau incompresibil dup cum

fluidul considerat este compresibil sau nu.

Analog, curgerea poate fi vscoas sau nevscoas dup cum fluidul

este vscos sau ideal.

Se definete linia de curent ca fiind traiectoria descris de un element de

fluid n micarea sa (Fig.1.6.).

O linie de curent se caracterizeaz prin aceea c vectorul vitez al

elementului de fluid este tangent la linie n fiecare punct al su.

n cazul unei curgeri staionare liniile de curent nu se pot intersecta ntre

ele.

Totalitatea liniilor de curent care trec printr-un contur nchis formeaz

un tub de curent (Fig.1.6.). ntr-o curgere staionar liniile de curent din

18

Figura 1.6

interiorul unui tub de curent nu pot prsi tubul.

Fluidul care intr la un capt al tubului trebuie s ias prin cellalt

capt.

O mrime caracteristic unui fluid aflat n micare o constituie debitul

volumic Qv, al acestuia.

Prin definiie, debitul volumic printr-o suprafa dat reprezint mri-

mea fizic numeric egal cu un volum de fluid ce trece n unitatea de timp

prin acea suprafa.

tVQV = (1.34)

Unitatea de msur n S. I. este m3/s.

Dac debitul volumic variaz de la un moment la altul prin suprafaa

considerat, relaia (1.34.) definete valoarea medie a debitului n timpul t.

Pentru a defini valoarea momentan a debitului volumic, se consider un

interval de timp infinitezimal dt i se noteaz cu dV volumul de fluid ce

trece n acest interval prin suprafaa considerat. Debitul volumic se poate

defini atunci prin relaia:

tVQV d

d= (1.35)

Se definete debitul masic Qm, al fluidului printr-o suprafa dat, ca

fiind mrimea fizic egal cu masa de fluid ce trece n unitatea de timp prin

suprafaa respectiv.

19

tmQm d

d= (1.36)

Unitatea de msur n S. I. este kg/s.

Aplicnd relaia de definiie a densitii

Vm

dd

= (1.37)

rezult urmtoarea relaie de legtura ntre cele dou mrimi Qv i Qm.

Vm QtVQ ==

dd (1.38)

Ecuaia de continuitate care constituie una dintre ecuaiile fundamentale

din dinamica fluidelor exprim de fapt legea conservrii masei de fluid.

Vectorul vj

= (1.39)

se numete vectorul densitii fluxului de mas. Direcia sa coincide cu cea a

micrii fluidului, iar mrimea sa determin cantitatea de fluid care trece n

unitatea de timp prin unitatea de suprafa dispus normal la direcia de

micare.

( ) 0div =+ v

t

1.3.2 ECUAIA DE MICARE A LUI EULER

Problema fundamental urmrit n curgerea fluidelor adic n dinamica

fluidelor o constituie determinarea cmpului de presiune i a cmpului de

viteze ale unui fluid aflat n micare.

Aceste mrimi sunt determinate de ecuaia lui Euler, care este ecuaia

de micare a unui fluid.

Pentru a deduce aceast ecuaie se va considera un element de volum

infinitezimal din fluidul aflat n micare, de mas dm i avnd forma unui

paralelipiped cu laturile dx, dy, dz. Asupra fluidului pot aciona fore de

suprafa i fore volumice.

Fora de suprafa rezultant, care acioneaz asupra ntregului element

de volum considerat, va fi deci:

zyxkzpj

ypi

xpFFFF zyxS ddddddd

+

+

=++=

20

sau

=SF

d zyxp ddd (1.40)

unde p este gradientul cmpului de presiune p(x,y,z), adic:

kzpj

ypi

xpp

+

+

= (1.41)

Asupra acestui element de fluid se exercit i o for volumic a crei

valoare raportat la unitatea de mas se noteaz cu f

. Fora de volum ce

acioneaz asupra elementului de fluid dV se va exprima prin relaia:

zyxfmfFd V dddd

== (1.42)

Fora rezultant ce acioneaz asupra elementului de fluid considerat are

expresia:

=+= (ddd VS FFF

zyxfp ddd)

+ (1.43)

Aceast for determin o micare accelerat a fluidului n conformitate

cu legea a doua a lui Newton:

zyxtvmaF ddd

dddd

== (1.44)

unde zyxVm ddddd == i tva

dd

=

Din expresiile (1.43.) i (1.44.) se obine:

= (ddddd zyx

tv

zyxfp ddd)

+ (1.45)

Deoarece elementul de volum dV = dxdydz este arbitrar ales:

=1

dd

tv

fp

+ (1.46)

Expresia (1.46) reprezint ecuaia de micare a lui Euler pentru un fluid

ideal, scris sub form vectorial.

Aceast ecuaie, mpreun cu ecuaia de continuitate i condiiile iniiale

i de mrginire corespunztoare, determin complet cmpul de viteze

),( trv i cmpul de presiune p , dac se presupune c fluidul este

incompresibil ( =const.) i se cunoate fora de volum raportat la unitatea

21

de mas, f

.

n cazul unui fluid compresibil este util o relaie termodinamic pentru

densitate, de exemplu de forma =(p) ca n cazul fluidelor barotrope.

n cazul unui fluid n repaus 0=v , deci n absena oricrei fore

externe, rezult:

p=0 (1.47)

deci p = const. pentru orice punct din masa fluidului.

Dac asupra fluidului n repaus singura for exterioar de volum care

acioneaz este aceea determinat de cmpul gravitaional )( gf = , expresia

(1.46.) devine:

1 0=+ gp deci gp = (1.48)

adic regsim legea fundamental a staticii fluidelor.

n cazul unei curgeri staionare, deci cnd ntr-un punct din masa fluidu-

lui viteza nu depinde de timp , 0=

tv i ecuaia lui Euler (1.73.) devine:

v(

=1)v fp

+ (1.49)

1.3.3 ECUAIA LUI BERNOULLI

S considerm micarea unui fluid ideal i incompresibil printr-un tub

de curent (sau conduct), presupunnd c singura for exterioar de volum

ce acioneaz asupra sa este aceea datorat cmpului gravitaional.

Asupra unui element de volum acioneaz fora de volum de greutate

mgG dd = , care raportat la unitatea de mas are expresia:

gmGf

==

dd (1.50)

g are componentele gx=0, gy=0, gz=-g. Prin nlocuirea expresiei (1.50.) n

ecuaia de micare a lui Euler (1.46.), se obine pe componente:

22

xp

tvx

=

1d

d , yp

tvy

=

1d

d,

zpg

tvz

=

1d

d (1.51)

nmulind prima din ecuaiile (1.51.) cu dx, a doua cu dy i a treia cu dz

i nsumndu-le membru cu membru, rezult:

zgzzpy

ypx

xp

tzv

tyv

txv zyx dddd

1ddd

ddd

ddd

+

+

=++ sau

zgpvvvvvv zzyyxx dd1ddd

=++ (1.52)

Deoarece v2=vx2+vy2+vz2, prin difereniere se obine d(v2)=2(vxdvx+

+vydvy+vzdvz). Ecuaia (1.52.) se mai poate scrie sub forma:

zgpv dd1)(d21 2

= (1.53)

innd seama c fluidul este incompresibil (=const) i g=const, ecu-

aia (1.53.) se scrie:

021d 2 =

++ pgzv (1.54)

De aici, rezult:

.21 2 constpgzv =++ (1.55)

care exprim legea lui Daniel Bernoulli pentru un fluid ideal, incompresibil

care se mic n cmp gravitaional.

Termenul 1/2v2 se numete presiune dinamic a fluidului, termenul

gz este presiunea hidrostatic, iar p se numete presiune static. Legea lui

Bernoulli se poate enuna astfel:

ntr-o curgere staionar a unui fluid ideal, incompresibil, aflat n cmp

gravitaional, suma dintre presiunea dinamic, hidrostatic si static rmne

constant de-a lungul unei linii de curent.

23

Figura 1.7

1.4. FLUIDE VSCOASE 1.4.1. CARACTERISTICI GENERALE

n studiul efectuat anterior asupra micrii fluidelor nu s-au luat n

considerare interaciunile dintre elementele de fluid sau dintre fluid i pereii

tubului prin care acesta circul.

n realitate, aceste interaciuni exist i se manifest prin apariia unor

fore de frecare interne sau de vscozitate ntre diferitele straturi de fluid sau

ntre fluid i pereii vecini. Stratul cu vitez mai mic va frna stratul cu

vitez mai mare cu care este n contact, i invers, stratul cu vitez mai mare

va accelera stratul cu vitez mai mic peste care el alunec.

Apariia acestor fore, situate n planele de alunecare, se datoreaz

variaiei de impuls a straturilor datorit trecerii moleculelor dintr-un strat n

altul.

Fluidele la care apar astfel de forte se numesc fluide vscoase.

Vscozitatea unui fluid se caracterizeaz cu ajutorul coeficientului de

vscozitate dinamic: .

S considerm un fluid vscos situat ntre doi perei plani A i B,

dispui paralel ntre ei (Fig.1.7, a)

Se presupune c peretele A este fix, iar peretele B se afl ntr-o micare

de translaie, cu viteza v . Straturile de fluid dintre cei doi perei plani A si B

se pun n micare, datorit forelor de frecare. Stratul din vecintatea

suprafeei A este n repaus, cel din vecintatea suprafeei B se deplaseaz cu

viteza v , iar restul straturilor se deplaseaz cu viteze cuprinse ntre 0 i v .

24

O asemenea micare, n care straturile de fluid se menin paralele ntre

ele, este denumit curgere laminar.

ntr-o asemenea curgere liniile de curent sunt bine determinate i nu se

intersecteaz niciodat, iar fiecare element de fluid se menine n interiorul

unui acelai tub de curent. Din punct de vedere matematic aceasta se

exprim prin condiia ca funcia ),( trv s fie univoc (o singur vitez ntr-

un punct la un moment dat).

La viteze mari curgerea fluidului devine turbulent, neregulat, elemen-

tele de fluid se amestec i se formeaz vrtejuri.

n cazul n care micarea fluidului vscos are loc printr-un tub cu seci-

une circular, straturile de fluid au, n cazul curgerii laminare, forma unor

cilindri concentrici, viteza lor crescnd de la peretele tubului ctre axa sa

(Fig.1.7.b).

ntre diferitele straturi de fluid apare o variaie a vitezei, adic un

gradient de vitez dv/dr, n direcie perpendicular pe direcia de micare.

Fie S suprafaa comun a dou straturi vecine aflate n contact.

Experiena arat c fora de frecare intern dintre straturi este propor-

ional cu gradientul de vitez i suprafaa S-legea lui Newton:

SrvFr d

d= (1.56)

unde este coeficientul de vscozitate dinamic. Semnul - arat c fora

de frecare este de sens opus micrii fluidului.

Unitatea de msur S. I. este decapoise daP.

2mNs1

1m1skg11daP ==

Unitatea CGS este poise, P, mskg0,1

scm1g1P =

= . Se observ c

10Pcms

g10cm1s10

g101m1s1kg

2

3=== , ceea ce justific denumirea de decapoise

dat unitii de msur n SI.

Coeficientul de vscozitate dinamic este dependent de natura fluidului

i de temperatur.

Se definete coeficientul de vscozitate cinematic, , ca fiind raportul

25

dintre coeficientul de vscozitate dinamic i densitatea a fluidului

presupus omogen

= (1.57)

Unitatea de msur n S. I. este decakilostokesul, daKSt.

[ ] 1daKSts

mkg/mkg/ms

2

3SI ===

n sistemul CGS, unitatea de msur este stokesul (St):

1s

1cm1St2

=

Se observ c 1daKStSt1010s

cm10s

m1 32

42

=== ceea ce justific

denumirea dat anterior pentru unitatea de msur a lui n SI.

1.4.2. LEGEA HAGEN-POISEUILLE

S studiem curgerea laminar a unui fluid vscos printr-o conduct

cilindric, dispus orizontal, avnd seciune circular de raz R i lungime l

(Fig.1.8.)

Datorit frecrii dintre lichid i peretele conductei, stratul periferic al

fluidului ader la conduct, viteza de curgere crescnd spre axa conductei.

S delimitm un tub de curent de raz r. Asupra fluidului din acest tub

acioneaz forele de presiune de la cele dou seciuni extreme ale conductei

Figura 1.8

26

(p1 n sensul curgerii i p2 n sens opus) cu rezultanta:

222

1 rprp

i fora de frecare intern pe suprafaa lateral, exercitat de restul fluidului,

datorit vscozitii:

rvlr

dd2

Curgerea fiind staionar, se poate scrie urmtoarea relaie care exprim

c aceste fore sunt n echilibru:

rvlrrpp

dd2)( 221 = (1.58)

unde semnul - se datoreaz semnului negativ al gradientului vitezei

dv/dr

27

Figura 1.9

421

8)( R

lppQV

= (1.62)

Relaia (1.62.) este cunoscut sub denumirea de legea Hagen-Poiseuille.

Ea arat c n cazul unei curgeri laminare a unui fluid vscos printr-o

conduct cilindric, debitul volumic de fluid este proporional cu puterea a

patra a razei conductei i cu gradientul de presiune (p1-p2)/l.

1.4.3. LEGEA LUI STOKES

S considerm micarea ntr-un fluid a unei sfere cu diametru mic n

raport cu dimensiunile masei de fluid. Sfera sufer o rezisten dat de legea

lui Stokes:

F=6rv (1.63)

Ea arat c n cazul unei deplasri cu viteza mic a unei sfere ntr-un

fluid vscos, fora de frecare ce se exercit asupra acestuia este

proporional cu coeficientul de vscozitate al fluidului, cu raza sferei i cu

viteza cu care ea se deplaseaz n fluid.

Cu ajutorul formulei lui Stokes se poate determina, de exemplu, coefi-

cientul de vscozitate dinamic , a unui lichid. Pentru aceasta se las s

cad, sub aciunea forei de greutate, o sfer omogen, de densitate i raz

r, ntr-un lichid omogen de densitate (Fig. 1.9.).

Iniial viteza fiind mic, fora de frecare Stokes este mic i corpul cade

accelerat sub aciunea greutii aparente. Pe msur ce crete viteza, crete

i fora Stokes pn cnd devine egal cu greutatea aparent i sfera coboar

atunci uniform cu viteza limit.

grgrvr '3

43

4633

= (1.64)

Din relaia (1.64.) se poate calcula coeficientul

de vscozitate dinamic

2)'(92 rgv

= (1.65)

Cunoscnd , , g i r i msurnd

28

experimental viteza de cdere a sferei, se poate calcula cu formula (1.65).

Prin msurarea vitezei de cdere n aer a unor picturi de ulei ncrcate

electric, att sub aciunea cmpului gravitaional ct si sub aciunea

simultan a unui cmp electric, se poate determina sarcina electronului

(metoda lui Millikan).

1.4.4. TENSIUNEA SUPERFICIAL

Ptura periferic a oricrui lichid este alctuit din molecule, care se

atrag reciproc, iar n urma acestei atracii se produce o apropiere ntre

molecule ceea ce conduce la micorarea ct mai mult a suprafeei aparente a

lichidului respectiv.

Deci ptura periferic a lichidelor ar fi analoag cu o membrana elastic

n extensiune, avnd tendina s revin la forma iniial, de arie mai mic.

Orice cretere a suprafeei peste aria minim compatibil cu condiiile

date (la volum de lichid dat) necesit exercitarea unor fore exterioare care

s aduc molecule din volumul de lichid, mpotriva forelor ndreptate spre

interiorul lichidului, n stratul superficial, efectundu-se lucru mecanic

mpotriva acestor fore.

Se numete tensiune superficial a unui lichid o mrime egal cu

raportul dintre lucrul mecanic W necesar pentru a mri aria suprafeei libere

a lichidului cu A si creterea A a acestei arii.

A

W

= (1.66)

S producem o pelicul de lichid n interiorul unui cadru de srm

ABN1M1 (Fig.1.10.), care are o latur M1N1 (de greutate neglijabil)

mobil. Fie M1N1=l.

S aplicm peliculei de lichid o for F

, care se exercit pe mijlocul

laturii M1N1 deplasnd-o pn n M2N2 pe distana M1M2=x. n cursul

acestui proces pelicula de lichid avnd dou fee, aria suprafeei libere a

variat cu A=2lx, fora F

efectund lucrul mecanic W=F x.

Fie f=F/2 fora aplicat pe lungimea l pe fiecare dintre cele dou fee

29

Figura 1.10

ale peliculei de lichid.

Relaia (1.66.) devine:

2lx=2fx

sau lf

= (1.67)

Pentru l=1, =F. Deci, tensiunea superficial a unei membrane elastice

este numeric egal cu fora care se exercit asupra unitii de lungime de pe

suprafaa ei.

Formula dimensional i unitatea de msur n Sistemul Internaional

pentru tensiunea superficial sunt:

[ ] [ ][ ]2MT

LF

==mN

SI=

n sistemul CGScmdyn

CGS

=

Observaii cu privire la tensiunea superficial:

1. La suprafaa aparent a oricrui lichid exist o tensiune superficial

, care tinde s micoreze ct mai mult aria acestei suprafee. Acest fapt este

dovedit prin forma sferic a picturilor mici, deoarece sfera este corpul care,

pentru un volum dat, prezint o suprafa minim.

2. Tensiunea superficial exist att la lichide ct i la gaze.

30

Figura 1.11

1.4.5. TENSIUNEA INTERFACIAL

S considerm trei medii diferite: I, II si III (Fig.1.11.), separate ntre

ele prin suprafeele curbe OA, OB i OC, iar aceste suprafee se

intersecteaz dup o curb, a crei tangent n punctul O este perpendicular

pe planul figurii. La suprafaa de separaie OA dintre mediul I i mediul II

acioneaz tensiunea superficial 12, tangent n O la aceast interfa. n

mod asemntor, la suprafaa de separaie OB, dintre mediul II i mediul III

acioneaz tensiunea superficial 23, tangent n O la suprafaa respectiv,

iar la suprafaa de separaie OC dintre mediul I i mediul III acioneaz

tensiunea superficial 13, tangent i ea n O la interfaa respectiv.

Pentru ca aceast curb de separaie dintre cele trei medii s fie n

echilibru, trebuie ca fiecare din cele trei fore superficiale s fie egal i de

sens opus cu rezultanta celorlalte dou. Aceasta nseamn c ntre cele trei

fore 132312 ,, exist relaia vectorial:

0.. 132312 =++

(1.68)

Fie OR rezultanta forelor 12

i 23

. La echilibru, trebuie ca:

OR13 =

(1.69)

sau

++= cos2 2312223

212

213 (1.70)

31

Figura 1.12

S considerm o pictur de lichid, aflat n echilibru pe suprafaa altui

lichid, mediul III fiind aerul.

Tensiunile superficiale ale lichidelor nemiscibile, aflate n contact cu

aerul, sunt: 1(=13) pentru mediul I i 2(=23) pentru mediul II. Dac

pictura este foarte turtit, unghiul este foarte mic i se poate neglija.

Ecuaia de echilibru devine, n acest caz:

12=122+22+2122=(12+2)2

de unde:

12=1-2 (1.71)

Mrimea 12 se numete tensiune interfacial, iar relaia (1.71) este

cunoscut sub denumirea de relaia lui Dupre.

Tensiunea interfacial este tensiunea superficial care apare la suprafaa

de contact a dou medii i este egal cu diferena tensiunilor superficiale ale

lichidelor n contact.

Asemenea fenomene se ntlnesc cnd, pe suprafaa unui lichid se

depune o pictur dintr-un alt lichid. Astfel, n cazul unor perechi de lichide,

pictura rmne izolat, pe cnd n cazul altor perechi de lichide, pictura se

ntinde pe suprafaa lichidului-suport.

Fie o pictur dintr-un lichid B aezat pe suprafaa lichidului A

(Fig.1.12.).

Dac lichidul B nu se rspndete pe suprafaa lichidului A, cele trei

fore corespunztoare tensiunilor superficiale A, B i AB, aplicate n

punctul M, trebuie s verifice condiia B+AB>A. Dac A>B+AB

pictura nu este stabil i lichidul B se rspndete pe suprafaa lui A.

32

1.4.6. FORE DE COEZIUNE. FORE DE ADEZIUNE

Forma stratului superficial.

Forele de interaciune se manifest nu numai ntre molecule de acelai

tip, ci i ntre molecule de natur diferit.

Prin definiie, forele de atracie dintre moleculele aceluiai corp se

numesc forte de coeziune, iar forele de atracie dintre moleculele a dou

corpuri diferite se numesc fore de adeziune.

Ca urmare a existenei forelor de adeziune, atunci cnd un lichid i un

solid vin n contact, suprafeele lor care se ntlnesc se intersecteaz sub un

unghi determinat. Se numete unghi de racordare ntre un lichid i un solid,

unghiul dintre suprafaa solid (presupus plan) i planul tangent la

suprafaa lichidului, n punctul lor de intersecie, msurat spre interiorul

lichidului.

S analizm situaia unui lichid nchis ntr-un vas cu perei verticali,

(figura 1.13 a i b) unde suprafaa lichidului a fost figurat orizontal.

Unghiul de racord fiind diferit de zero, suprafaa lichidului nu este

plan. Fiind la echilibru, aceast suprafa este aezat perpendicular pe

fora care acioneaz asupra ei, F

, rezultanta forelor de adeziune i

coeziune care solicit moleculele de la suprafaa lichidului, n apropierea ei.

Cazul a corespunde meniscului concav format de toate lichidele care

ud pereii vasului. Pentru a explica formarea acestui menisc, se va

Figura 1.13

33

considera o molecul din stratul superficial, situat n imediata apropiere a

peretelui. Aceast molecul este atras de moleculele peretelui vasului cu o

for de adeziune aF

perpendicular pe peretele vasului. n acelai timp, ea

este supus i forelor de coeziune produse de moleculele cuprinse n sfertul

sferei de aciune molecular care se gsete in lichid. Din acest motiv, fora

de coeziune rezultant cF

este ndreptat spre interiorul lichidului sub un

unghi de aproximativ 450. Rezultanta forelor de adeziune i coeziune

perpendicular pe suprafaa liber a lichidului este ndreptat n afar i de

aceea meniscul este concav.

Cazul b corespunde meniscului convex format de lichidele care nu

ud pereii vasului, deci pentru un unghi de racord >900. Fora de adeziune

aF

este mai mic dect fora de coeziune cF

, rezultanta este orientat spre

interiorul lichidului, iar suprafaa liber perpendicular pe rezultant

formeaz n acest caz un menisc convex.

1.4.7. PRESIUNEA SUB SUPRAFEE LIBERE CURBE

Forele superficiale crora li se datoreaz formarea meniscurilor, cau-

zeaz o diferen de presiune ntre cele doua regiuni separate printr-o astfel

de suprafa.

Dac meniscul este convex, rezultanta forelor superficiale pe conturul

care mrginete elementul de arie este ndreptat spre interiorul lichidului,

prin urmare, n lichid presiunea este mai nalt dect n faza gazoas. n

schimb, dac meniscul este concav, din acelai motiv, presiunea din

interiorul lichidului este mai joas dect cea de deasupra lui.

Diferena de presiune dintre cele dou pri ale meniscului este dat de

formula lui Laplace

+=

21

11RR

p (1.72)

Dac inem seama de presiunea intern k, exercitat de ptura periferic

plan, formula lui Laplace se poate scrie: P = kp

34

Figura 1.14

sau

+=

21

11RR

kp (1.73)

Semnul + corespunde meniscului convex, iar semnul - meniscului

concav. Aadar, pentru un acelai fluid, i la aceeai temperatur, presiunea

intern este mai mare la meniscul convex dect la meniscul plan i mai mare

la meniscul plan dect la cel concav.

Dac meniscul fluidului este sferic: R1=R2=R, formula lui Laplace se

reduce la:

R

kp = 2 (1.74)

Deoarece din punct de vedere al existenei presiunii interne nu se

manifest nici o deosebire calitativ ntre lichide i gaze, se poate considera

c formula lui Laplace este valabil pentru toate fluidele, oricare ar fi starea

lor de agregare.

1.4.8. FENOMENE CAPILARE

Fenomenele de urcare sau coborre a lichidului n tuburile capilare

(tuburi foarte nguste cu diametre sub 1mm) se numesc fenomene de

capilaritate.

Ele sunt rezultatul forelor de interacie dintre un lichid i un corp solid

i care conduc la abaterea, de la

forma de plan orizontal, a suprafeei

libere a lichidului.

S considerm cazul unui tub

capilar scufundat ntr-un lichid care

ud pereii capilarului.

n acest caz lichidul se va ridica n

tubul capilar pn la o nlime h.

Fie r raza interioar a tubului i

unghiul de racord. Pentru simplificare s presupunem c meniscul are forma

unei calote sferice de raz R (Fig.1.14.). n acest caz se poate scrie:

35

r = R cos (1.75)

Forele de adeziune dintre lichid i peretele tubului, care se exercit pe

tot conturul meniscului, menin n interiorul tubului coloana de lichid de

nlime h. Condiia de echilibru se poate scrie astfel:

Fs=G

sau

2R=R2gh (1.76)

unde este densitatea lichidului, iar tensiunea superficial a lichidului.

Utiliznd relaia (1.75.), se obine nlimea h la care se ridic lichidul

n tubul capilar:

gdgrh

=

=

cos4cos2 (1.77)

Atunci cnd lichidul ud complet tubul capilar =0. Lichidul se va

ridica pn la nlimea:

gdgrh

=

=42 (1.78)

n acest caz meniscul este o emisfer de raz r.

Relaia (1.78.) este cunoscut sub numele de relaia lui Jurin. Ea arat

c nlimea la care se ridic un lichid ntr-un tub capilar este invers

proporional cu diametrul tubului.

1.5. GAZE REALE 1.5.1. IZOTERMELE LUI ANDREWS

Experiena arat c la presiuni care nu sunt foarte joase i la temperaturi

care nu sunt foarte nalte, gazele se abat de la starea de gaz ideal. Abaterile

fat de ecuaia de stare a gazelor ideale prezentate de gazele reale se

datoreaz faptului c un gaz real nu respect condiiile de gaz ideal. Astfel

moleculele unui gaz real nu pot fi considerate puncte materiale i ca atare

ocup un volum propriu care nu este neglijabil n raport cu volumul gazului.

De asemenea, energia intern a gazului real este egal cu suma energiei

36

Figura 1.15

cinetice de translaie, rotaie i vibraie i a energiei poteniale datorit

interaciunilor dintre molecule.

Un mod de prezentare a comportrii unui gaz, n care apar clar abaterile

de la starea de gaz ideal, const n trasarea izotermelor corespunztoare

gazului respectiv.

n figura 1.15. sunt prezentate cteva din izotermele determinate de

Thomas Andrews pentru CO2.

Considerm un volum de bioxid de carbon, aflat la o presiune i

temperatur cunoscut. Fie I0 punctul figurativ de stare. Comprimnd gazul

n mod izoterm, volumul su se reduce din ce n ce mai mult, pn se ajunge

la starea reprezentat de punctul A1 de pe izoterm. De la aceast stare

comportarea gazului se modific i anume: continund s micorm

volumul gazului, presiunea rmne constant, situaie caracteristic

vaporilor saturani (la care presiunea este independent de volum).

Aceast comportare a gazului se datorete faptului c, de la starea

corespunztoare punctului A1 de pe izoterm, gazul ncepe s se lichefieze

37

parial, de aceea el capt acum proprietile vaporilor saturani. Micornd

tot mai mult volumul gazului, sub presiune constant, crete cantitatea de

gaz lichefiat, dar presiunea gazului de deasupra fazei lichide se menine

aceeai. n consecin, de la punctul A1 izoterma bioxidului de carbon

devine un segment de dreapt pn la punctul B1, corespunztor strii n

care tot gazul s-a lichefiat. Comprimarea se exercit n continuare numai

asupra lichidului respectiv. Deoarece lichidele sunt foarte puin

compresibile, izoterma care pornete din punctul B1 este o dreapt aproape

paralel cu axa presiunilor.

Repetndu-se experiena la o temperatur mai nalt, se obine un

rezultat asemntor, cu deosebirea c segmentul liniar A2B2 este mai mic

dect segmentul A1B1. Cu ct temperatura la care se efectueaz

comprimarea este mai ridicat, cu att este mai mic segmentul liniar, de pe

izoterma respectiv.

Pentru o anumit temperatur, care la bioxidul de carbon este de 304K,

segmentul liniar al izotermei se reduce la un singur punct.

Izoterma corespunztoare se numete izoterm critic, volumul specific,

corespunztor acestui punct se numete volum critic, iar presiunea

respectiv este presiunea critic.

Dac se continu experiena comprimnd bioxidul de carbon la o

temperatur superioar temperaturii critice, izotermele capt aspectul unor

hiperbole echilatere, deci se aseamn cu izotermele gazelor ideale.

Aceste rezultate au fost obinute i cu alte gaze, putndu-se trage

urmtoarea concluzie: un gaz se poate lichefia prin comprimare, numai dac

temperatura lui este inferioar temperaturii critice, sau cel puin egal cu ea.

Izotermele lui Andrews arat c orice gaz se poate afla n stri

lichefiabile i n stri permanente (cnd gazul nu se poate lichefia).

Strile lichefiabile corespund izotermelor care au un segment liniar.

Punctele extreme ale acestor segmente se atern pe o curb, numit

curb de saturaie, care este tangent la izoterma critic, avnd maximul pe

aceast izoterm.

Toate punctele din interiorul curbei de saturaie reprezint stri de

38

echilibru dintre lichid i vaporii respectivi, deci stri neomogene.

Regiunea exterioar curbei de saturaie corespunde strilor omogene, n

care exist o singur faz.

Din analiza izotermelor lui Andrews, se observ c ntre lichide i gaze

nu exist o diferen esenial. Pe baza principiului continuitii strilor,

formulat de Andrews, starea lichid i starea gazoas nu sunt dect doi

termeni deprtai ai unei serii continui de stri.

Se poate trece de la starea gazoas la starea lichid n mod continuu,

sistemul meninndu-se tot timpul omogen. S considerm gazul n starea

reprezentat de punctul I0 aflat pe o izoterm inferioar celei critice

(Fig.1.15.). Printr-o nclzire izocor gazul trece n starea reprezentat prin

punctul M aflat pe o izoterm superioar celei critice. Comprimnd apoi

gazul n mod izoterm, se atinge starea reprezentat de punctul Q, a crui

ordonat este mai mare dect cea corespunztoare punctului critic. De aici,

prin rcire izobar, ajungem la starea reprezentat de punctul R, care este o

stare lichid, de pe o izoterm cu temperatura inferioar celei critice. Prin

urmare fluidul care sufer transformarea descris mai sus rmne tot timpul

omogen, deoarece s-a evitat trecerea prin strile corespunztoare

segmentelor liniare ale izotermelor, care reprezint stri lichefiabile. Invers

pornind de la starea lichid reprezentat de punctul R, se poate trece printr-o

nclzire izobar la starea gazoas reprezentat de punctul Q, realizndu-se

o succesiune de stri omogene. Fluidul trece astfel de la starea lichid la cea

gazoas, rarefiindu-se n mod continuu, obinndu-se astfel un lichid

rarefiat.

1.5.2. ECUAIA DE STARE A GAZELOR REALE

Ecuaia de stare a gazelor reale trebuie s fie dedus din ecuaia de stare

a gazelor ideale, n care se introduc dou corecii i anume corecia de

volum, datorit volumului propriu al moleculelor i corecia de presiune

datorit coeziunii moleculelor.

Necesitatea unei corecii de volum apare i din urmtoarele consideraii:

din ecuaia gazelor ideale scris, de exemplu, pentru un mol de gaz, se

39

deduce:

pRTV = (1.79)

ceea ce arat c, mrind presiunea suficient de mult, volumul gazului poate

fi redus orict. Dat fiind, ns, faptul c moleculele gazului au un volum

propriu, aceasta este evident imposibil. Volumul nu poate s scad sub o

anumit limit i ca atare, trebuie s avem:

bp

RTV += (1.80)

unde b constituie o corecie de volum, numit covolumul gazului.

Necesitatea coreciei b rezult i din liniaritatea ramurii din dreapta

a curbelor din figura 1.37.b, ceea ce conduce pentru aceast poriune de

curb la o ecuaie de forma:

pV=bp+c (1.81)

(b i c sunt constante) sau

p(V-b)=c (1.82)

Deoarece la presiuni mici i volume mari ecuaia trebuie s reprezinte

ecuaia unui gaz ideal, c=RT.

n acelai timp, prin comprimarea gazului, moleculele se apropie iar

forele de atracie intermoleculare cresc tinznd s micoreze i mai mult

volumul, de unde apare i necesitatea unei corecii de presiune. Ecuaia unei

astfel de poriuni de curb se poate scrie sub forma:

pV=C1-C2 p (1.83)

Deoarece la presiuni joase, deci cnd termenul b este neglijabil, gazul

se comport ca un gaz ideal, rezult c C1=RT. Relaia 1.83. devine:

pV=RT-C2p (1.84)

sau, cum n condiii apropiate de cele de gaz ideal, putem scrie:

=VRTp

rezult:

40

== V

aRTVRTCRTpV 2 (1.85)

cu a=C2RT.

Expresia (1.85.) se poate scrie:

RTVapV =+

sau

RTVVap =

+

2 (1.86)

Termenul 2'

=Vap joac rolul unei presiuni interne.

Combinnd cele dou corecii, de volum i de presiune, obinem ecuaia

de stare a gazelor reale pentru un volum de gaz sub forma:

RTbVVap

+

)(2 (1.87)

numit ecuaia lui Van der Waals. Ea nu are o valabilitate general, pentru

orice domeniu de temperatur i presiune, dar este cu mult mai exact dect

ecuaia gazelor ideale, pentru domenii de temperatur i presiune nu prea

ntinse.

Pentru moli de gaz ecuaia (1.87.) devine:

RTbVV

ap =

+ )(2

2 (1.88)

unde V=V/

Se observ c ecuaia gazelor ideale reprezint un caz limit ctre care

tinde ecuaia lui Van der Waals pentru presiuni joase deci pentru valori mari

ale volumului. n acest caz, poate fi neglijat termenul a/V2 fat de p si b

fa de V obinndu-se ecuaia de stare a gazului ideal.

Constantele a i b din ecuaia lui Van der Waals se pot determina cu

ajutorul valorilor critice Tc, pc i Vc.

41

Pentru a stabili relaiile dintre aceste mrimi, vom ordona termenii din

ecuaia lui Van der Waals pentru un mol de gaz, (eliminnd indicele ) dup

puterile descresctoare ale lui V. Obinem:

023 =+

+

pabV

paV

pRTbV (1.89)

care este o ecuaie de gradul al treilea n V.

Pentru o anumit temperatur i presiune, aceast ecuaie n V are trei

rdcini. Ele pot fi, fie toate reale i distincte, fie toate reale i confundate,

fie una real i dou complexe conjugate.

S aplicm aceast ecuaie strii critice, definit prin temperatura Tc i

presiunea critic pc. Deoarece pentru starea critic ecuaia are trei rdcini

reale i confundate, ea se mai poate pune i sub forma:

(V-Vc)3=0

aa nct:

3223

23

33 ccc

ccc

c

VVVVVV

pabV

paV

pRT

bV

+

+

+

(1.90)

de unde deducem:

cc

c Vp

RTb 3=+

23 cc

Vpa

= (1.91)

3c

cV

pab

=

Putem rezolva ecuaiile (1.91.) n raport cu a, b i R i obinem:

23 ccVpa = , 3cVb = ,

c

cc

TVpR

38

= (1.92)

Din ultima formul a grupului de relaii (1.92.) rezult:

ccc RTVp 83

= (1.93)

42

care reprezint ecuaia lui Van der Waals n punctul critic, pentru un kmol

de gaz real. n cazul unei mase m de gaz real, ecuaia (1.93.) devine:

ccc RTmVp

=83 (1.94)

1.5.3. IZOTERMELE LUI VAN DER WAALS

S discutm, pentru nceput, cazul unei izoterme Van der Waals

(teoretic) pentru o temperatur T1 mai mic dect Tc i s o comparm cu

izoterma experimental obinut de Andrews. Curba plin la T1 (Fig.1.16.)

reprezint izoterma experimental, iar curba punctat izoterma teoretic Van

der Waals.

Dup cum rezult din figura 1.16. n cazul izotermei Van der Waals

unei valori a presiunii p1 i corespund trei valori ale volumului V1, V2, V3

care reprezint cele trei rdcini reale ale ecuaiei lui Van der Waals.

Comparnd izoterma Van der Waals cu izoterma Andrews, rezult

urmtoarele:

- poriunile ab -stare lichid i fg - stare gazoas a celor dou izoterme

coincid;

-diferena se constat pe poriunea bf care descrie condensarea, deci n

sistemul neomogen bifazic i anume bf pentru izoterma Andrews (cea

experimental) i bcdef pentru izoterma Van der Waals, de altfel apariia n

aceast regiune a neconcordanei ntre cele dou izoterme nu trebuie s

surprind, deoarece prima (cea experimental) descrie stri neomogene

bifazice, n timp ce a doua numai sisteme omogene monofazice;

- punctele de pe poriunea cde a izotermei sunt puncte aparinnd unei

faze ce nu se realizeaz n natur, deoarece pentru sistemul aflat n aceast

faz, unei creteri a presiunii trebuie s-i corespund o cretere a volumului

sistemului i nu o micorare aa cum se ntmpl pentru toate sistemele

cunoscute experimental. Cu toate c un astfel de sistem nu a fost observat

experimental, el poate fi considerat ca o stare instabil a sistemelor reale;

43

Figura 1.16

- strile reprezentate prin poriunile bc i ef ale izotermei Van der

Waals sunt stri care se realizeaz experimental numai cu anumite precauii

i le vom numi metastabile, ntruct o variaie foarte mic a condiiilor lor

de realizare conduce la stri ale sistemului aflate pe dreapta de condensare

bf.

Strile de pe curba ef sunt cele n care sistemul rmne n stare gazoas

la presiuni mai mari dect cele necesare pentru apariia condensrii.

n aceste stri, vaporii saturani se afl la presiuni mai mari dect aa

numita tensiune maxim de vaporizare i vaporii n acest caz se numesc

suprasaturani.

Strile de pe curba bc sunt cele pentru care sistemul rmne sub form

de lichid, cu toate c presiunea la care se afl este mai sczut dect cea

necesar pentru ca lichidul s-i nceap fierberea i de aceea strile de pe

curba bc se numesc stri de supranclzire. Aceste stri n care se constat

existenta lichidului la presiuni mai mici dect cele la echilibru poart

numele de lichid rarefiat.

Din cele discutate rezult c izoterma Van der Waals reprezint strile

44

stabile, metastabile i instabile prin care trece un sistem fizic omogen la

variaia presiunii i volumului su.

Pentru o temperatur T2Tc suficient de nalt unei anumite presiuni pc

i corespunde o singur valoare Vc a volumului, rezultat din contopirea

celor trei valori V1, V2, V3. n cazul temperaturilor T3>Tc curba tinde s

devin o hiperbol echilater, ca n cazul izotermelor gazului ideal, acest

gaz corespunznd ultimei posibiliti a soluiilor ecuaiei (1.89) i anume o

soluie real i dou imaginare.

Aplicaii

1. Un vas cilindric deschis are diametrul cm10=D . La fundul vasului n

mijloc se practic un orificiu de arie 2cm1=s . Se toarn ap n vas cu un

debit constant sm104,1 34v=Q .

a). La ce nlime se va stabili nivelul apei n vas?

b). Odat atins nlimea stabilit la punctul anterior se oprete turnarea

apei. n ct timp se va goli vasul?

Re z o l v are : a) ghssQQ 2=== 1vv v1 (1)

m1,0108,92

1096,12 8

8

2

2v =

==

gsQ

h

b). 1v vdd

=

= st

hSQ

ghst

hS 2d

d=

tS

gshh d

2d-=

=t

h

tgSs

hh

0

0

d2d

tgSsh = 22

45

s118921021010143

2224

2

22

2

84

4

=

====

,,,

gshD

gs

hD

gstSt

2. Pe o suprafa orizontal se afl un vas cilindric cu lichid de densitate 3mKg900= i viscozitate 23 msN105,1 = .

Nivelul lichidului este meninut constant la nlimea cm55=h . Pe

suprafaa lateral este ,montat un tub orizontal de lungime cm10=l i raz

interioar mm1=r , la nlimea cm51 =h de la baz. S se afle distana pe

orizontal d msurat de la captul capilarului pn la punctul n care lichidul cade pe plan.

Rezolvare:

Se aplic legea Hagen-Poisenille

lprQ

=8

4

v (1)

( )l

hhgrQ

=

81

4

v (2)

Din ecuaia de continuitate rezult:

vvv ==2rsQ (3)

( )

lhhgr

8v 1

2 = (4)

tvd = (5)

21 21 gth = (6)

h h1

d

46

( )m37,0

8,91052

1010105,1810508,9900102

8d

2

23

2611

2

=

=

=

gh

lhhgr

3. S se calculeze presiunea datorat forelor de interaciune dintre mole-

culele de azot n condiiile n care densitatea azotului este 3mKg28= .

Se cunosc K126=cT , 25 mN106,33 =cp , KmolKg282 =N ,

KKmolJ8310 =R .

Rezolvare:

Expresia presiunii interne este:

2Vapi = (1)

Constanta a se exprim n funcie de parametrii punctului critic:

23 ccVpa = (2)

ccc RTVp 83

= (3)

222

6427

c

c

pTRa = (4)

=V (5)

21022

222

22

222

mN04,0106,3328

2812683106427

6427

=

=

=

c

ci p

TRp