3. KINEMATIKA U DVIJE DIMENZIJE (pripremljeno prema poglavlju 3, Cutnell & Johnson: Physics, 9th edition, John Wiley and Sons, (2012), poveznica na knjigu: www.pdf-archive.com/2018/04/25/cutnell ) Pomak, brzina i ubrzanje. U prethodnoj smo lekciji raspravili koncepte pomaka, brzine i ubrzanja, a koristili smo ih za opisivanje predmeta koji se kreću u jednoj dimenziji. Postoje i situacije u kojima je gibanje duž zakrivljene putanje koja leži u ravnini. Na primjer, u utrkama Grand Prix-a staza slijedi zavojitom cestom, kako je prikazano na slici dolje. Na slici se vidi trkaći automobil na dva različita položaja duž njega. Tim su položajima pridruženi vektori u s obzirom na proizvoljno odabrano ishodišta, gdje je početni položaj automobila označen je vektorom 𝐫!, a konačni položaj vektorom 𝐫. Pomak koji je automobil napravio, označen je vektorom ∆𝐫, a povezuje početni položaj vektorom 𝐫! u vremenu 𝑡! i konačni položaj vektorom 𝐫 u vremenu 𝑡. To znači da je 𝐫! + ∆𝐫 = 𝐫 , odnosno da je pomak koji je automobli napravio iznosi:

Pomak = ∆𝐫 = 𝐫− 𝐫! Pomak je ovdje definiran isto kao i u prethodnoj lekciji. Sada, međutim, vektor pomaka može ležati bilo gdje u ravnini, a ne samo uzduž pravca. Prosječna brzina automobila na slici gore, a odnosi se na pomak između početnog i konačnog položaja, definirana je na način sličan onima u jednadžbi 2.2. Dakle prosječna brzina je omjer pomaka, koji iznosi ∆𝐫 = 𝐫− 𝐫!, i vremena u kojem se taj pomak dogodio ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡!:

𝐯 =𝐫− 𝐫!𝑡 − 𝑡!

=∆𝐫∆𝑡 3.1

S obzirom na to da se obje strane jednadžbe 3.1 moraju slagati u pravcu i smjeru, vektor srednje brzine ima isti smjer kao i pomak ∆𝐫. Slično kao i u slučaju jedne dimenzije, možemo definirati trenutno brzinu kao prosječnu u granici ∆𝑡 → 0,

𝐯 = lim∆!→!

∆𝐫∆𝑡 3.2

Na slici pored je prikazan iznos i smjer trenutne brzine. Uočite da je smjer brzine tangenta putanje automobila. Na crtežu su također prikazane vektorske komponente brzine koja je paralelna s osima x i y.

Prosječno ubrzanje definirano je baš kao i za jednodimenzionalno gibanje - kao promjena brzine, podijeljeno s vremenom u kojem se ta promjena dogodila:

𝐚 =𝐯− 𝐯!𝑡 − 𝑡!

=∆𝐯∆𝑡 3.3

Prosječno ubrzanje ima isti smjer kao i promjena brzine. U granici kad ∆𝑡 postaje beskonačno mali, prosječno ubrzanje postaje jednako trenutnom ubrzanju:

𝐚 = lim∆!→!

∆𝐯∆𝑡 3.4

Kinematičke jednadžbe u dvije dimenzije. Da biste razumjeli kako se pomak, brzina i ubrzanje računaju kod dvodimenzionalnog gibanja, razmotrite svemirsku letjelicu opremljenu s dva motora koji su montirani okomito jedni na druge. Ovi motori proizvode jedine sile koje djeluju na letjelicu. Pretpostavimo da je svemirska letjelica u početku, 𝑡! = 0 , nalazi u ishodištu koodrinatnog sustava, 𝐫! = 0 (vidi slike desno). U vremenu 𝑡 letjelica se pomaknula za ∆𝐫 = 𝐫− 𝐫! = 𝐫 . U prvoj slici vidimo da je pomak bio duž osi 𝑥 dok je u drugoj pomak bio duž osi 𝑦. To nam ujedno predstavlja komponente vektora 𝐫, koje su 𝐱 i 𝐲. Ukoliko je uključen samo motor koji je usmjeren duž x osi (gornja slika), letjelica se pomiče duž osi x. Uz pretpostavku da je brzina u smjeru osi y nula, ona ostaje jednaka nuli, jer je y motor isključen. U ovom slučaju, kretanje svemirske letjelice duž x smjera opisano je s pet kinematičkih varijabli 𝑥, 𝑎!, 𝑣! , 𝑣! i 𝑡. Primijetimo da su sve ove varijable skalarne komponente. Ukoliko je ubrzanje konstantno, možemo iskoristiti znanje iz lekcije o gibanju u jednoj dimenziji. Analogno se može napraviti za koordinate 𝑦, 𝑎!, 𝑣!, 𝑣! koje opisuju givbanje duž y osi. Dobiveni rezultati nalaze se u tablici (sljedeća stranica). Ukoliko oba motora svemirske letjelice rade istovremeno, rezultirajuće gibanje odvija se istovremeno duž osi x i duž osi y. Potisak svakog motora daje vozilu odgovarajuću komponentu ubrzanja. Motor x ubrzava plovilo u smjeru x i uzrokuje promjenu x komponente brzine. Isto tako, y motor uzrokuje promjenu y komponente brzine. Važno je uočiti da se gibanje duž x osi događa upravo onako kako bi se događalo da

gibanja duž y osi uopće nema. Drugim riječima, gibanja duž x i y osi su neovisna jedna o drugom.

4. SILE I NEWTONOVI ZAKONI GIBANJA (pripremljeno prema poglavlju 4, Cutnell & Johnson: Physics, 9th edition, John Wiley and Sons, (2012), poveznica na knjigu: www.pdf-archive.com/2018/04/25/cutnell ) U svakodnevnom životu silu primjenjujemo kad guramo ili povlačimo neki objekt, kao što prikazuju primjeri na slici pored. U košarci igrač izbacuje šut pritiskom na loptu. Uže za vuču pričvršćeno za gliser vuče skijaša na vodi. Sile kao što su one koje pokreću košarku ili povlače skijaša nazivaju se kontaktnim silama, jer proizlaze iz fizičkog kontakta dva objekta. Međutim, postoje i slučajevi u kojima dva objekta djeluju na sile iako se ne dodiruju. Takve sile nazivaju se nekontaktnim silama odnosno silama koje djeluju na daljinu. Jedan primjer nekontaktne sile je kada sila gravitacije vuče skakača u vodu prema dolje. Zemlja djeluje silom premda nije u izravnom kontaktu sa sk akačem. Na slici se strelice koriste za predstavljanje sila. Strelice se koriste jer je sila vektorska količina tj. ima iznos i smjer. Smjer strelice daje smjer sile, a duljina je proporcionalna njenom iznosu. Riječ masa jednako je poznata kao i riječ sila. Na primjer, ogromni supertanker ima ogromnu masu. Kao što ćemo vidjeti u sljedećem odjeljku, teško je pokrenuti tako masivan objekt i teško ga zaustaviti ukoliko se kreće. Za usporedbu, kovanica ne sadrži veliku masu. Ovdje je naglasak na iznosu mase, a vidimo da nema smjer, pa je stoga masa skalarna količina. Prvi Newtonov zakon. Da bismo stekli neki uvid u Newtonov prvi zakon, promotrimo hokej na ledu (slika pored). Ukoliko igrač ne pogodi pak koji miruje, pak će ostat miran na ledu. S druge strane, nakon udaranja paka, on se giba preko leda, usporavajući tek neznatno zbog trenja. U stvari, kad bi bilo moguće u potpunosti ukloniti trenje i otpor zraka, pak bi se gibao po pravcu stalnom brzinom. Dakle, ukoliko na pak više ne djeluje nikakava sila, pak neće izgubiti brzinu koju je dobio u trenutku kad ga je hokejaš udario. To je suština Prvog Newtonovog zakona. Prvi Newtonov zakon. Objekt ostaje u stanju mirovanja ili se giba konstantnom brzinom ukoliko na njega ne djeluje sila. Ukoliko na tijelo istovremeno djeluje nekoliko sila tada kažamo da na tijelo djeluje sila koja je vektorski zbroj svih tih sila. Tromost i masa. Za promjenu brzine nekih objekata potrebna je veća neto sila nego kod drugih. Na primjer, neto sila koja je upravo dovoljna da ubrza bicikl uzrokovat će samo neprimjetnu promjenu u gibanju teretnog vlaka. Dakle, u odnosu na bicikl, vlak

ima puno veću tendenciju da ostane u mirovanju. U skladu s tim, kažemo da vlak ima veću tromost (inerciju) od bicikla. Kvantitativno, tromost predmeta se mjeri njegovom masom. Definicija tromosti i mase. Tromost je svojstvo objekta da se opire promjeni brzine, tj. da ostane u mirovanju ili u gibanju konstantnom brzinom. Masa predmeta je kvantitativna mjera tromosti. SI jedinica za masu je kilogram (kg). Inercijalni referentni sustav. Prvi Newtonov zakon (pa i drugi zakon) može se činiti pogrešnim u određim slučajevima. Razmotrimo, na primjer, situaciju kad se kao putnici vozimo u vlaku. Dok se vlak giba konstantnom brzinom duž pravca, ne osjećamo da nas sjedalo gura u leđa. To je iskustvo u skladu s prvim zakonom, koji govori da se u nedostatku sile gibamo stalnom brzinom. Međutim, kad vlak počne ubrzavati osjeti se sila pritiska kojom sjedište djeluje naša leđa. Stoga, osjećamo djelovanje sile. Prema prvom Newtonovom zakonu, gibanje bi se trebalo promijeniti. Ukoliko promatrate gibanje u odnosu na zemlju, vidimo da se naša brzina mijenja. Međutim, ukoliko gledamo brzinu u odnosu na vlak, vidimo da sjedimo na istom mjestu, tj. da naša se brzina u odnosu na vlak ne mijenja iako na nas djeluje sila. Uočimo da prvi Newtonov zakon ne vrijedi za promatrače koji kao referentni sustav koriste koriste sustav vlaka koji ubrzava. Takvi se referentni sustavi zovu neinercijalni. Nasuprot tome, promatrači za koje vrijedi prvi Newtonov zakon zovemo inercijalni referentni sustav: Definicija inercijalnog referentnog sustava. Inercijalni referentni sustav je onaj u kojem vrijedi prvi Newtonov zakon. Svi Newtonovi zakoni vrijede u inercijalnim referentnim sustavima. Referentni sustav Zemlje je dobra aproksimacija inercijalnog referentnog sustava. Drugi Newtonov zakon. Prvi Newtonov zakon kaže da ako na tijelo ne djeluje sila, tada brzina tijelo ostaje nepromijenjena. Drugi zakon bavi se onim što se događa ako sila djeluje na tijelo. Prisjetimo se što se događa u hokeju. Kad igrač pogodi pak, on uzrokuje promjenu brzine paka. Drugim riječima, to dovodi do ubrzavanja paka. Uzrok ubrzanja je sila kojom djeluje hokejaški štap. Toliko dugo dok ova sila djeluje, brzina se povećava. Pretpostavimo da drugi igrač primjenjuje dvostruko veću silu od prvog igrača. U tom slučaju veća sila dovodi do većeg ubrzanja, odnosno dvaput veća sila proizvodi dvostruko ubrzanje. Ubrzanje, koje je vektorska veličina, ima isti smjer kao i sila. Često na objekt djeluje istovremeno nekoliko sila. U takvim je slučajevima važna ukupna sila, odnosno vektorski zbroj svih sila koje djeluju. Drugi Newtonov zakon. Kad ukupna sila, označena Σ𝐅, djeluje na tijelo mase 𝑚, on se ubrzava ubrzanjem 𝐚, pri čemu je ubrzanje proporcionalno ukupnoj sili i obrnuto proporcionalno masi. Smjer ubrzanja jednak je smjeru sile:

𝐚 =Σ𝐅𝑚 ili Σ𝐅 = 𝑚𝐚 4.1

SI jedinica za silu je: kg ∙m/s! = newton (N)

S obzirom na to da je Newtonova jednadžba (4.1) vrijedi za vektorske veličine, tu se jednadžbu može zapisati preko komponenti, slično kako je to napravljeno za gibanje u dvije dimenzije. Treći Newtonov zakon. Treći Newtonov zakon se često još naziva i zakon akcija i reakcije. Na slici je prikazano što se događa s astronautom koji lebdi izvan svemirskog broda i koji gura svemirsku letjelicu. Premda astronaut gura letjelicu, njegov će pomak biti veći od pomaka letjelice. Stoga možemo reći da istovremeno dok astronaut gurao letjelicu i letjelica gura astronauta. Treći Newtonov zakon. Kad god jedno tijelo na drugo djeluje silom, drugo tijelo na prvo djeluje silom koja ima jednaki iznos, ali suprotni smjer. Treći Newtonov zakon se ponekad citira na sljedeći način: Za svaku akciju (silu) postoji jednaka, ali suprotna reakcija.

Fizikazabiologe–vježbe

Kinematika1

Zadacisa(*)preuzetisuizudžbenikaYoung&Freedman(2011)Universityphysicswithmodern

physics(rješenjauprilogu).

Proučitepoglavlje3:Motionintwoorthreedimensions,izudžbenikaYoung&Freedman.

Zadatkepokušajteriješitisamostalno.Svapitanjašaljitenaemail:abosilj@phy.hr

• Kosihitacbezotporazraka,podkutem!!uodnosunahorizontalu(!! = 0,!! = −!):! = (!! cos!!)! ! = !! sin!! ! − 1/2 ∙ !!!!! = !! cos!! !! = !! sin!! − !"

• Jednoliko kružno gibanje (čestica se giba po kružnoj putanji radijusa!s konstantnombrzinom!; akceleracija čestice!je usmjerena prema središtu kruga te je okomita na!);iznosradijalnekomponenteakceleracije:!!"# =

!!! =

!!!!!!

• Relativno gibanje u prostoru (A, sustav stacionarnog promatrača; O, sustav objekta; B,pokretnisustav):!!/! = !!/! + !!/!

1. (*3.42) Model rakete se giba u!" -ravnini (pozitivan smjer! -osi je vertikalno gore).Akceleracija rakete ima komponente!! ! = !!! i!! ! = ! − !" , gdje je! = 2.5 !/!! ,! = 9 !/!!i! = 1.4 !/!!.Utrenutku! = 0raketasenalaziuishodištuiimapočetnubrzinu!! = !!!! + !!!!,gdjeje!!! = 1 !/!i!!! = 7 !/!.Izračunajtevektorebrzineipoložajakaofunkcijevremena.Kojumaksimalnuvisinumožepostićiraketa?Kolikijehorizontalnipomak

raketekadaseponovnonađena! = 0?Skicirajteputanjurakete.(Rj.80 !usmjeruzapada,480 !,4.36 !/!)

2. (*3.14)VrstaPhilaenusspumariusdržirekorduvisiniskokameđuinsektima.Priskokupodkutemod58∘uodnosunahorizontalumožepostićivisinuod58.7 !"(vidiNature,Vol.424,July31,2003,p.509).Kolika jepočetnabrzinapotrebnaza takavskok?Kolikuhorizontalnuudaljenostprijeđeskakačpriskoku?

3. (*3.10)Plivačskačesliticeizzaletakaonaslici1.Kolikamorabitinjegovaminimalnabrzinapriodrazutakodapreskočiležištenadnuliticeširoko1.75 !?

Slika1

Slika2

4. (*3.27)Mlazniavionopisujeputanjuprikazanunaslici2.Donjidioputanjeječetvrtkružniceradijusa350 ! . Prema medicinskim istraživanjima, pilot aviona će izgubiti svijest priakceleracijiod5.5!.Prikojojbrzini(u!/!)ćepilotizgubitisvijest?

5. (*3.39)Kanadskaguskaprilikomseobeputujedužsmjerasjever-jugnatisućekilometarapribrzinamaod100 !"/ℎ.Ako jedna takvapticaputujebrzinom100 !"/ℎrelativnouodnosunazrakipritomjeizloženavjetrubrzine40 !"/ℎkojipušeizzapadapremaistoku,prikojemkutuuodnosunasmjersjever-jugtrebapticaputovatikakobinjenarezultantnaputanjabila

u smjeru sjever-jugoodnosuna tlo?Koliko je vremenapotrebnoptici daprijeđe500 !"usmjerusjever-jug?

6. (*3.77)Prisnimanjuakcijskogfilma,kaskadertrebaizbacitigranatuizsvojegautomobilakojise kreće sa90 !"/ℎ u automobil neprijatelja koji se kreće s110 !"/ℎ . Neprijateljskiautomobilsenalazi15.8 !ispredkaskaderautrenutkukadaonizbacujegranatu.Kolikimorabiti iznos brzine izbačaja u odnosu na kaskadera i u odnosu na tlo, ako kaskader izbacuje

granatupodkutemod45∘uodnosunahorizontalu?Automobilisekrećuu istomsmjeruporavnojcesti.Zanemariteotporzraka.

7. (*3.50) Ptice grabljivice opisuju gotovo spiralne putanje pri letu. Takvo gibanje možemomodeliratikao jednolikokružnogibanjeukombinaciji sgibanjekonstantnebrzineokomito

premagore.Akopticaopišekrugradijusa6 !svakih5 !teseuzdiževertikalnokonstantnombrzinomod3 !/!,odreditebrzinupticerelativnouodnosunatlo;brzinuismjerakceleracijeptice;kutvektorabrzinepticeuodnosunahorizontalu!

8. Lopta je izbačena okomito u odnosu na tlo brzinom!!. U istom trenutku, druga lopta jeispuštena izmirovanjasvisine!, smještena točno iznadprve lopte.Nepostojiotporzraka.Pronađiteizrazzatrenutakukojemsedvijeloptesudare.Pronađitevrijednostvisine!preko!!i!,takodautrenutkusudaradvijuloptiprvaloptabudenanajvišojtočkisvojeputanje.

34_kinematika_dinamika_predavanje3_vjezbe