1

3. L’échantillonnage des signaux

C’est une nécessité pour le traitement numérique :On ne sait traiter que des données quantifiées

Comment reconstituer le signal à temps continu (« analogique ») à partir des échantillons ?

Les conditions de Nyquist/Shannon

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

quelques diapos d’illustration (mouvement stroboscopique)

temps

2image sous échantillonnée : ‘moiré’ image haute définition

illustration d’un échantillonnage insuffisamment dense en numérisation d’image

http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem

3

Représentation correcte du signal échantillonné(cohérence avec les formalismes mathématiques)

C’est une suite d’impulsions de Dirac modulées en amplitude

ATTENTION : Ne pas confondre avec la sortie d’un bloqueur d’ordre 0 (interprétation erronée courante en traitement d’images !)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

temps

temps

4

3.1 Interprétation de l’échantillonnage dans le domaine des fréquences

- Conditions pour que l’information contenue dans le signal ne soit pas perdue :

Théorème de Nyquist Shannon

- Méthode de reconstruction du signal à temps continu : Interpolation idéale à partir des échantillons

5

T période fixe d’échantillonnage

dtTnttxTnx ).()().(

Formalisation de l’opération d’échantillonnage en utilisant les impulsions de Dirac

).(.).()( TntTnxtyn

produit de x(t) et de s(t)

n

Tntts ).()(

)().()( tstxty

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5

0.5

1.5

.

s(t)

x(t)

y(t)x(t)

t

t

t

T

T

suite régulière d’impulsions de Dirac (‘peigne de Diracs’))(ts

6

n

Tntts ).()(

D’après la définition de l’impulsion de Dirac, la transformée S() de s(t) est une fonction périodique de la fréquence : harmoniques de même amplitude aux fréquences multiples de 2/T

k T

kS

..2)(

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5

0.5

1.5

.

s(t)

t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5

0.5

1.5

.

S()

2/T

T

dtT

tkt

T

kS

T

T)

...2exp()()

..2(

2/

2/

s(t) : séquence périodique d’impulsions de Dirac (‘peigne’) ;

Calcul de la transformée de Fourier du peigne d’impulsions

7

).()..()( TntTnxtyn

produit de x(t) et de s(t) n

Tntts ).()( )().()( tstxty

Dans le domaine temporel

dans le domaine des fréquences, le produit se traduit par une convolution

dSXY )()()(

k T

kS

..2)(

transformée de Fourier

Calcul de la transformée de Fourier du signal échantillonné

8

dans le domaine temporel : produit de x(t) par le peigne d’impulsions de Dirac s(t)

dans le domaine des fréquences : convolution de leurs transforméesde Fourier X() et de S()

la convolution de X() par une impulsion (-) décalée de est X(-)

la convolution par le peigne d’impulsions de Dirac (somme d’impulsions décalées) est la somme des répliques décalées : la T.F. du signal échantillonné est la périodisation de la T.F. X() du signal x(t)

X()

(-)

X(-)

X(-)

S()

9

La transformée de Fourier du produit est une convolution

dSXY )()()(

dT

kXY

k

..2)()(

on remplace S() par son expression

dT

kXY

k

..2)()(

d’après la définition de l’impulsion de Dirac

k T

kXY

..2)(

La transformée de Fourier d’un signal échantillonné est la sommedes répliques décalées de la transformée de Fourier du signal à temps continu

k T

kS

..2)(

Interprétation de l’échantillonnage dans le domaine des fréquences

X(-)

10

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

2

4

6

.

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

1.5

.

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

0.2

0.4

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5

0.5

1.5

.

temps fréquence

impulsions d’échantillonnage T.F. de l’opérateur d’échantillonnage

T.F. périodique du signal échantillonnésignal échantillonné

signal à temps continu T.F. du signal à temps continu

11

analyse de l’échantillonnage effet stroboscopique

comment observer un mouvement rapide périodique :en ne visualisant qu’une image sur N

12

fréquence faibleFréquence de la rotation

24 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2 24 Hz.

tempsfréquence

0 1 s

13

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

14

Changement de signe : fréquence négative

15

fréquence moitiéFréquence de la rotation 2 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2 12.

tempsfréquence

Le sens de rotation n’apparaît plus

0 1 s24 Hz

16Le sens de rotation n’apparaît plus

17

un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage

23

Fréquence de la rotation légèrement pluspetite que la fréquence d’échantillonnage :

le mouvement apparaît inversé

0 1 2-1

.

temps

fréquence

0 1 s

24 Hz

18

Au lieu de la fréquence ,

on observe la fréquence - ech

qui est négative

- ech

voir l’effet stroboscopiquecinema télévision

19

référencesEffet stroboscopique : Plateau, von Stampfer (1830)Analyse du mouvement, Chronophotographie : Muybridge, Marey (1870)Cinématographe : Edison, Lumière (1890)Théorie de l’échantillonnage pour les transmissions : Nyquist (1928), Shannon (1948)

Consultez les différents sites qui leur sont consacrés !

http://www.essi.fr/~leroux/listen_to_aliasingUne illustration sonore du repliement

20

Joseph Antoine Ferdinand Plateau Simon von Stampfer

persistance rétinienne

21

Jules Janssen, astronome, 1874Le revolver photographique

Etienne Jules Marey, 1881

Louis Aimée Augustin LE PRINCE 1888

Eadweard J. Muybridge, 1878

Roundhay Garden Scene

22

Reconstitution idéale du signal à temps continu

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

2

4

6

.

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

0.2

0.4

.

éliminer les répliques par filtrage passe bas

condition : elles ne doivent pas se chevaucher

X()=0 pour ||> fréquence d’échantillonnage (signaux réels)

plus généralement largeur du support inférieure à la fréquenced’échantillonnage (signaux complexes)

Théorème de Nyquist Shannon (whittaker, kotelnikov)

remarque : phénomène de Gibbs si le filtrage crée une discontinuité dans la T.F du signal

fréquence

23

La fréquence d’échantillonnage est insuffisanteles répliques de X() se chevauchent

X()

Y()

l’augmentation de la fréquence d’échantillonnage va supprimerce chevauchement des répliques et permettre la reconstructiondu signal à temps continu

Y()

ech

ech

transformée de Fourierdu signal échantillonné

24

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

2

4

6

.

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

0.2

0.4

.

réalisation du filtre passe bas dans le domaine temporel

sa réponse impulsionnelle est la transformée de Fourier inversedu créneau

t

tdtjth

.

.sin)..exp(.1

2

1)(

(cas où la période ‘échantillonnage vaut 1)

fréquence

25

Réponse impulsionnelle du filtre : transformée inverse du créneau

ech

ech

Tt

Ttth

/.

)/.sin()(

n

echechech

echech nTxTTnt

TTnttx )(.

/)..(

/).(sin)(

16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 160.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

.

reconstitution du signalà temps continu

le résultat du filtrage est une somme de fonctions h(t) décalées de nTech

et modulées en amplitude par les valeurs des échantillons x(nTech)

temps

26

n

echechech

echech nTxTTnt

TTnttx )(.

/)..(

/).(sin)(

Aux instants d’échantillonnage nTech

toutes les composantes de la somme sont nulles sauf une qui a pour valeur celle de l’échantillon x(nTech)

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 80.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

.

reconstitution du signalà temps continu

temps

27

En pratique

bloqueur d’ordre zéro, interpolation linéaireinterpolation plus élaborée (splines, courbes de Bézier, etc ...)

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 80.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

.

Inconvénients : Coût, convergence lente

temps

28

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.2

0

0.2

0.4

0.6

DISTORSION APPORTEE PAR DIFFERENTES INTERPOLATIONS

RECONSTRUCTION EXACTE (SINC)

BLOQUEUR (CRENEAU)

INTERPOLATION LINEAIRE (TRIANGLE)

temps

fréquence

½ fréquence d’échantillonnage

période d’échantillonnage

29

8 6 4 2 0 2 4 6 81

0

1.5

sinct

echt

trit

t 12816

.

Trois formes de fonctions d’interpolation créneau, triangle, sinc (interpolation idéale Nyquist/Shannon)

Leurs réponses en fréquence indique la distorsion

25.13 21.99 18.85 15.71 12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71 18.85 21.99 25.130

0.5

1

1.5

SINCmod t 128 256( )

ECHmod t 128 256( )

TRI mod t 128 256( )

t 128

8

.

30

1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 42

0

3

signalecht

echt

valinputt

t 12816

.

1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 42

0

3

signaltrit

trit

valinputt

t 12816

.

1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 42

0

3

signalsinct

sinct

valinputt

t 12816

.

Interpolation linéaire

Bloqueur

Interpolation idéale (sinc)

Reconstruction du signal analogique à partir des échantillons

31

Echantillonnage d’un signal sinusoïdal

difficulté à interpréter l’allure temporelle d’un signal échantillonné « complexe » sauf parfois dans le domaine des basses fréquences (variations très lentes)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501

0

1

.

Ceci est une sinusoïde de fréquence 0.97(les conditions de Shannon sont vérifiées)

on y voit plutôt le battement avec la 1/2 fréquenced’échantillonnage et guère la forme originale

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.93

0

.

temps

temps

32

Quantification (p. ex. complément à 2), précision

128 bits (jeux video) permettent de mesurer (en angströms =10-10 m) le diamètre de l’univers visible (13,7×109 x 2 années-lumière (1,3×1026 m) )

écart type de l’erreur de quantification pour une précision q : 0.29xq

100

101

110

111

000

001

010

011

offset qerreur de quantificationaprès soustraction del’offset

valeurs quantifiées

diamètre de l'univers visible en angstrom

30 109 3 10

8 365 24 3600 1010 2.838 10

36 . 2128

3.403 1038 .

donnée analogique

33

codage en virgule fixe

entiers ? fractionnaires ?

multiplication de 2 nombres de N bits : résultats sur 2.N bits

On n’en conserve que N

poids fort : fractionnaires (entre -1 et +1)

poids faibles : entiers

x

xx

,,

,

,,

,

34

codage en « double » IEEE

64 bits

mantisse m 53 bits (avec signe) exposant E 11 bits

x=m*2E

permet d’éviter les débordements au détriment de la précision

attention à l’addition de deux nombres d’ordres de grandeur très différents et à la soustraction de deux nombres très proches

précision 10-15 dynamique 10 300