Formules courantes de probabilités

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1 Définition

Après une épreuve d’univers Ω, on définit une probabilité de tout événement E, notée p(E), à

condition que les 3 propriétés suivantes sont vérifiées :

① p(E) soit un réel positif ou nul pour tout événement E.

② p(Ω) =1.

③ Si A et B sont 2 événements incompatibles, p(A∪B) = p(A) + p(B).

2 Conséquences

① Les 2 événements Ω et ∅ sont incompatibles et ont pour réunion Ω : Ω=Ω∪∅. Cela donne

p(Ω)= p(Ω∪∅) = p(Ω)+p(∅) d’où p(∅)= 0 .

La probabilité de l’événement impossible est ainsi nulle.

② Pour tout événement A, A est l’événement contraire de A :

Ω = A∪ A avec ∅=A∩ A d’où p(Ω) =p(A)+p( A ) soit 1= p(A)+p( A ) .

β Si A et B sont 2 événements tels que A entraîne B, on note A⊂B :

Ω Β Β=(Β\A)∪A où ∅=(Β\A)∩A alors :

A p(B)= p(Β\A)+p(A) où 0≤ p(B\A) et ainsi :

p(A)≤ p(B) .

④ Pour tout événement E, on a : E⊂ Ω donc p(E)≤ p(Ω) soit p(E)≤1. Finalement

0≤ p(E)≤1 .

La probabilité de tout événement est comprise entre 0 et 1.

⑤ En appliquant plusieurs fois la troisième propriété de la définition du paragraphe 1, on

démontre que :

Si A1, A2, …, An sont n événements incompatibles 2 à 2,

p(A1∪A2∪…∪An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An) .

3 Théorème des probabilités totales

Soit A et B 2 événements.

A A∩B B

A est la réunion des 2 événements incompatibles A\B et A∩B.

B est la réunion des 2 événements incompatibles A∩B et B\A.

Cela se traduit par les égalités : p(A)= p(A\B)+p(A∩B) et p(B)=p(B\A)+p(A∩B) et ainsi :

p(A)+p(B)= p(A\B)+p(A∩B) + p(B\A)+p(A∩B).

Les 3 événements A\B, A∩B et B\A sont incompatibles 2 à 2 et ont pour réunion A∪B d’où :

p(A\B)+p(A∩B) + p(B\A)= p(A∪B) et ainsi :

p(A)+p(B)= p(A∪B)+ p(A∩B) .

4 Exemple classique où les événements élémentaires sont équiprobables

On se place dans le cas où l’univers Ω est fini et comporte n éventualités (n∈*): Soient ω1,

ω2, …, ωn toutes les éventualités.

On peut montrer que l’on peut définir une probabilité p de la manière suivante :

Pour tout événement E comportant nE éventualités ( En ∈ ), on écrit p(E)= n

nE .

Conséquence immédiate : n

1= p(ω1)= p(ω2)=...= p(ωn).

Les événements élémentaires ont la même probabilité (égale à 1/n), on dit que, dans ce cas,

p est la probabilité telle que tous les événements élémentaires sont équiprobables.

5 Exercices

① On jette 3 dés parfaits donnant les résultats respectifs X, Y et Z : Cela fournit le triplet (X, Y,

Z).

1°) Quelle est la probabilité d’obtenir un triplet constitué des mêmes chiffres ?

2°) Quelle est la probabilité d’obtenir dans le triplet au moins une fois le chiffre 6 ?

3°) Quelle est la probabilité d’obtenir un triplet constitué des mêmes chiffres ou au moins une

fois le chiffre 6 dans le triplet.

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Résolution

Ω, l’univers est l’ensemble des triplets [suites de 3 éléments] (X, Y, Z) où chacun des éléments

X, Y, Z se trouvent parmi les 6 nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; le nombre des résultats possibles est

donc égal à 6×6×6=63=216.

Tous les événements élémentaires sont équiprobables.

1°) Soit l’événement A(On a obtenu un triplet constitué des mêmes chiffres). A est l’ensemble

des triplets (X, X, X) où X est un des 6 nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; 6 est donc aussi le nombre

d’éventualités réalisant A. Ainsi p(A)= 36

1

6

1

6

623

== et p(A)≈ 0,028 .

2°) Soit l’événement B(On a obtenu au moins une fois le chiffre 6 dans le triplet). B est

l’événement contraire de l’événement C(On a obtenu aucun chiffre 6 dans le triplet).

C est l’ensemble des triplets (X, Y, Z) où chacun des éléments X, Y, Z se trouvent parmi les 5

nombres 1, 2, 3, 4, 5 ; le nombre des résultats possibles réalisant C est donc égal à

5×5×5=53=125 .

On a ainsi p(C)=216

125et p(B)=1–

216

125

216

216

216

125−= soit p(B)=

216

91≈0,421 .

3°) On veut calculer la probabilité de l’événement A∪B.

L’événement A∩B est l’événement (6, 6, 6) élémentaire, alors p(A∩B)=216

1.

D’après le théorème des probabilités totales,

p(A∪B)=p(A)+p(B)–p(A∩B) soit p(A∪B)= 216

1

216

91

216

6−+ d’où p(A∪B)=

924

424

216

96

×

×= ,

soit : p(A∪B)=9

4≈ 0,444 .

② Dans un lot de 20 produits,16 ont subi un 1er

contrôle, 14 ont subi un 2ème

contrôle et 10 on

subi les 2 contrôles.

On extrait du lot, au hasard, 3 produits simultanément.

1°) Quelle est la probabilité pour que ces 3 produits aient subi le 1er

contrôle ?

2°) Quelle est la probabilité pour que ces 3 produits aient subi le 2eme

contrôle ?

3°) Quelle est la probabilité pour que ces 3 produits aient subi le même contrôle ?

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Résolution

Après l’épreuve, Ω, l'univers des résultats possibles, est l’ensemble des 3

20C combinaisons

d’ordre 3 des 20 produits et tous les événements élémentaires sont équiprobables.

1°) Soit A l’événement (Les 3 produits obtenus ont subi le 1er

contrôle). Il s’agit de

l’ensemble des combinaisons d’ordre 3 parmi les 16 produits qui ont subi le 1er

contrôle. Il y

en a 3

16C .

On a ainsi p(A)= )233(19)54(

)27()35()44(

181920

!3

!3

14151613

20

3

163

20

3

16

×××××

×××××=

×××

××=×=

CC

C

C d’où

après simplification p(A)= 57

28

319

74=

×

×≈0,491 .

2°) Soit B l’événement (Les 3 produits obtenus ont subi le 2ème

contrôle). Il s’agit de

l’ensemble des combinaisons d’ordre 3 parmi les 14 produits qui ont subi le 2ème

contrôle. Il

y en a 3

14C .

On a ainsi p(B)= )233(19)54(

)34(13)27(

181920

!3

!3

12131413

20

3

143

20

3

14

×××××

××××=

×××

××=×=

CC

C

C d’où

après simplification p(B)= 285

91

3195

137=

××

×≈0,319 .

3°) Il s’agit de calculer la probabilité de l’événement A∪B qui s’intitule bien (Les 3 produits

ont subi le même contrôle).

L’événement A∩B s’intitule ( Les 3 produits obtenus ont subi les 2 contrôles), il s’agit de

l’ensemble des combinaisons d’ordre 3 parmi les 10 produits qui ont subit les 2 contrôles. Il y

en a 3

10C .

On a ainsi p(A∩B)=2919102

222910

181920

!3

!3

891013

20

3

103

20

3

10

××××

××××=

×××

××=×=

CC

C

C d’où après

simplification : p(A∩B)=19

2≈ 0,105 .

D’après le théorème des probabilités complètes, on a l’égalité :

p(A∪B)=p(A)+p(B)–p(A∩B) soit : p(A∪B)= 285

15291528

19

2

285

91

57

28 ×−+×=−+ et

finalement : p(A∪B)= 95

67≈0,705 .