Limit dan Kontinuitas1.Pengertian Limit fungsi di suatu titik2. Sifat-sifat limit 3. Limit Sepihak (kiri & kanan)4. Hubungan limit dan limit sepihak5. Kekontinuan fungsi dan sketsa grafik6. Jenis-jenis kekontinuan fungsi7. Contoh / ilustrasi8. Latihan terbimbing dan diskusi9. Soal Bonus10. Latihan Mandiri

Saleh AF2010

Limit

Perhatikan bahwa jika x dekat dengan c, dan x≠ c , maka f(x) dekat dengan L

Definisi Limit

Dengan kata lain , Untuk sembarang >0 yang dipilih selalu terdapat >0 sedemikian sehingga f(x) mendekati L bila x dekat ke c, x ≠c

ekivalen dengan

ekivalen dengan

Perhatikan bahwa

f(x)

x

c

f(x)

xc C+C-

L+

L-

f(x)

xc

f(x)

xc

Ilustrasi Tunjukkan bahwa

Solusi :

Jawaban dari pertanyaan diatas adalah ya, kita dapat memilih

atau yang lebih kecil dari yang menjamin

Perhatikan bahwa

Apakah

Dalam hal ini, misalnya pilih =0.01, maka diperoleh =0.01/2=0.005

Contoh lain :

Solusi: Akan ditunjukkan bahwa >0, >0 sedmikian sehingga

Now

yang memenuhi kondisi diatas

Kembali contoh hal 35-36 or 51-52

Solusi:

x 0 0.5 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.5 2

1 1.75 2.70 2.97 2.997 3 3.003 3.03 3.31 4.75 6

Hal dapat pula dilakukan dengan membuat tabel untuk beberapa nilai x disekitar 1

Sifat-sifat Limit

Soal Bonus di kelas (a). Tentukan nilai limit dari

c). Tunjukkan bahwa Solusi

a)

c). Akan ditunjukkan bahwa >0, >0 sedmikian sehingga

(**)

(b). Tentukan nilai limit dari

b)

Sekarang , untuk x≠2

Maka dapat dipilih atau

yang memenuhi kondisi diatas.

Soal Mandiri

Tunjukkan bahwa

Petunjuk :

Pilih , maka , akibatnya

(a)

(b)

Limit Sepihak (Kiri dan Kanan)

Jika x mendekati c dari sebelah kanan, maka f(x) mendekati L

Jika x mendekati c dari sebelah kiri, maka f(x) mendekati L

Teoremac xx

Contoh 3, hal 38 or 60

karena

0

f(x)

x

Tentukan

Solusi

Contoh 2.14, hal 41 or 64

Solusi

Pembagian wilayah (domain) fungsi digambarkan sebagai berikut

x

Tentukan

x

di titik

di titik

b)

a)

Limit kanan ≠ limit kiri

-1 1

-1

3

1

x

f(x)

Baca penjelasan hal 41 or 64

Contoh 2.15, hal 44 or hal 87

Diketahui

Solusi

Sederhanakan f(x) menjadi

atau

(diketahui dari persamaan fungsi f)

Syarat (i) dipenuhi

(a) Kesimpulan : Fungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = 1

(b). Sketsa grafik f 1

1/2

10 x

y

Syarat (ii) dipenuhi

Syarat kekontiuan (ii) dilanggar (tidak terpenuhi)

Akibatnya, f kontinu dimana-mana (untuk semua bilangan riil x).

10 x

1

1/2

yDan Grafiknya menjadi

Soal Bonus : Perhatikan grafik fungsi f berikut:

f(x)

x

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Soal limit hal 42 ( Mandiri ) or hal 67

Nomor : 7 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13; 14; 16Lihat nomor urut soal

Jawaban Tugas mandiri hal 42 or 67

13)

16) 2 dan -2

14) a). 0 b). Tdk ada c). 1

1

1

2

0

Grafik soal NO.13

d). 1

Grafik

1 2

Kontinuitas (Kekontinuan fungsi)

Definisi: Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika

Jadi fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika memenuhi 3 syarat :

Jika salah satu syarat kekontinuan dilanggar, maka dikatakan fungsi f diskontinu di c

Perhatikan situasi Trio gambar berikut

c x

yc

c

y

x

a

cx

yb

Contoh (soal latihan hal.46 No.7 & 8) Matdas

Selidiki kekontinuan fungsi f di titik t=3

7).

(i)

(ii) (iii)

Kesimpulan: fungsi

Diskontinu (syarat (iii) tidak dipenuhi) 8)

Bagaimana dengan

x

y

0DefinisiFungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika fungsi f kontinu disetiap titik pada (a,b)

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a,b] jika fungsi f kontinu pada selang buka (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.

Berdasarkan definisi ini, Fungsi f(x)=√x kontinu pada Domainnya [0,) karena fungsi f kontinu pada selang buka (0,), dan f kontinu kanan di 0. Kekontinuan fungsi ini pada daerah asalnya diperoleh berdasarkan

Jenis-jenis Ketakkontinuan fungsi

Limit fungsi f di c ada, namun tidak sama dengan f(c) , kasusnya dinamakan “ketakkontinuan terhapuskan” atau ketakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dalam hal ini f dapat dibuat kontinu dengan cara mengganti f(c) oleh nilai fungsi di c. Lihat gambar Trio (b)

Limit kiri dan limit kanan fungsi f di c ada, namun tidak sama , kasusnya dinamakan “ketakkontinuan loncat” , Lihat gambar trio (a)

Soal Bonus Kakap

Tentukan nilai a dan b agar f kontinu dimana-mana, dan sketsa grafiknya

Jawaban

1-1

1

0

Selidiki kekontinuan fungsi f di titik c=1, dan sketsa grafiknya

a

b

c

Soal DiskusiDiberikan fungsi f dengan persamaan

(a) Tuliskan fungsi f tanpa mengandung tanda nilai mutlak

(b) Selidiki kekontinuan fungsi di titik x = 0, x = 2, dan sebutkan jenis kekontinuannya

(c) Sketsa grafik fungsi f

(d) Bagaimana memanipulasi fungsi bagian kedua (parabola) agar fungsi f kontinu dimana-mana

Solusi(a) Karena

Pembagian domain fungsi dapat digambarkan sebagai

0 2(b) di titik x = 0

Kesimpulan : (i). (ii) dan (iii) terpenuhi, maka

Fungsi f kontinu di titik x = o

Di titik x = 2

KesimpulanFungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = 2Jenisnya, disebut ketakkontinuan loncat, karena limit kiri ada dan limit kanan ada, tetapi nilainya tidak sama

(c) Sketsa grafik

2

2

00 2

(d). Agar f kontinu dimana-mana, maka limit f di x = 2 harus ada dan haruslah sama dengan 2, untuk memenuhi hal tersebut, salah satu cara adalah fungsi (parabola) haruslah ditambah 2, yaitu

, sehingga persamaan fungsi menjadi

dan f menjadi kontinu dimana-mana,dan grfiknya menjadi

2

2

0

KUNCI Soal latihan kontinuitas hal 46 Selidiki kekontinuan fungsi di x=3 dan jelaskan alasannya

Kontinu karena

Kontinu karena

Diskontinu, karena ( likir =1≠ likan =-1)

Diskontinu, karena limit fungsi ada tetapi nilai fungsi f(3) tidak ada

Diskontinu, karena limit fungsi ada tetapi nilai fungsi f(3) tidak ada

Kontinu, karena

Diskontinu karna