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Curso Matemáticas Especiales UNED
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CURSOS O
CURSOS O
Departamento de Matemáticas FundamentalesFacultad de Ciencias
M. Teresa Ulecia GarcíaRoberto Canogar McKenzie
Módulo III:Límites de funciones
MATEMÁTICAS ESPECIALES (CAD)
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
2
1. Introducción
Es muy habitual que, al reunir información acerca de cualquier fenómeno natural, se
observe una relación como mínimo entre dos elementos, como pueden ser la temperatura de
un cierto medio y el tiempo transcurrido.
Esta relación entre los valores de las distintas variables de un fenómeno puede
expresarse de manera algebraica mediante funciones. Más aún, el estudio de los elementos de
las funciones tiene gran aplicación en múltiples campos de las Matemáticas.
A pesar de que este concepto de función es fundamental en Matemáticas y en las
Ciencias Aplicadas, hasta principios del siglo IXX no se dio claridad a dicho concepto.
Se considera que Agustin Louis Cauchy, matemático francés nacido en Paris en 1789,
profesor en la prestigiosa Escuela Politécnica de París, fue el que sentó los fundamentos
rigurosos del Cálculo moderno.
Cauchy y sus contemporáneos fueron quienes comenzaron a tratar con rigor conceptos
como el de función y límite de función que hasta el momento habían sido utilizados sin un
sentido totalmente preciso por matemáticos anteriores.
Objetivos • Distinguir una relación funcional de una que no lo sea.
• Determinar el dominio y Recorrido de una función en casos sencillos.
• Determinar el límite de una función en un punto y sus límites laterales.
• Comprender e interpretar el límite de una función en un punto a través de su
representación gráfica y estudio analítico.
• Calcular el límite de la suma, producto y cociente de funciones polinómicas.
• Resolver indeterminaciones de distinto tipo en el cálculo de límites.
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3
2. Esquema
Función
Conceptos fundamentales de
Función
Gráfica Dominio y
Recorrido
Operaciones con
funciones
Límite de una función
Límites y operaciones
El esquema indica el orden en que vamos a estudiar los contenidos del tema. El núcleo
de éste es el concepto de límite de una función, uno de los más importantes de las
Matemáticas, en general, y del Análisis Matemático, en particular.
Al principio veremos los conceptos fundamentales de función: definición de aplicación
y función; algunas características, como el dominio y recorrido; para acabar con las
operaciones de las funciones reales.
Más tarde se introduce el concepto de límite de forma intuitiva y se estudian los límites
laterales y los límites de las operaciones con funciones.
El estudio de los límites infinitos y en el infinito da paso al análisis de los distintos
tipos de indeterminaciones:
0
l,
0
0,
∞∞
, ∞−∞ .
Límites
infinitos
Límites en el
infinito
Indeterminaciones
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4
3. Prueba de autoevaluación inicial
1.- Utilizando la gráfica de la función
Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) No existe límite en x = 1.
b) Existe límite en x = 3.
c) No existe límite en x = 4.
d) No existe límite en x = 0.
2.- A partir de la gráfica de la función
Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) +→+∞=
1
)(lim
x
xf.
b) −−→+∞=
5
)(lim
x
xf.
c) 4
3)(lim
→=
x
xf.
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5
d) 3
3)(lim
→=
x
xf.
3. – El 4
)(lim
−→x
xfde la función representada en la siguiente gráfica es:
a) ∞+ .
b) No existe.
c) 0.
d) 1.
4.- Señala la afirmación verdadera:
a) No existe −→+−
1
)13(lim 4
x
xx.
b) No existe 1
)13(lim 4
→+−
x
xx.
c) No existe +→+−
1
)13(lim 4
x
xx.
d) 1
1)13(lim 4
→−=+−
x
xx.
5.- Señala la afirmación verdadera:
a) 0
25)5(lim
2
→
+∞=−+
xx
x.
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6
b) 0
025)5(
lim2
→
=−+
xx
x.
c) 0
1025)5(
lim2
→
=−+
xx
x.
d) No existe
0
25)5(lim
2
→
−+
xx
x.
6.- Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) +∞→
=+−
+−+
xxx
xxx2
132
534lim
3
23
.
b) +∞→
+∞=+−
+−+
xxx
xxx
132
534lim
3
23
.
c) No existe
+∞→+−
+−+
xxx
xxx
132
534lim
3
23
.
d) +∞→
=+−
+−+
xxx
xxx0
132
534lim
3
23
.
7.- Señala la afirmación verdadera:
a) No existe
+∞→−
+
xx
x
12
2lim
2 .
b) +∞→
+∞=−
+
xx
x
12
2lim
2 .
c) +∞→
=−
+
xx
x0
12
2lim
2 .
d) +∞→
−∞=−
+
xx
x
12
2lim
2 .
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7
8.- Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) +∞→
−∞=++
xx
xx
4
22lim
2
.
b) +∞→
=++
xx
xx2
4
22lim
2
.
c) No existe
+∞→++
xx
xx
4
22lim
2
.
d) +∞→
+∞=++
xx
xx
4
22lim
2
.
9.- Señala la afirmación verdadera:
a)
0
1255
24lim
→
−=+−−+
xx
x.
b) 0
2
5
255
24lim
→
−=+−−+
xx
x
c)
0
0255
24lim
→
=+−−+
xx
x
d) No existe
0255
24lim
→+−−+
xx
x.
10.- Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) +∞→
=+−−x
xxx 2)54(lim 2
.
b) +∞→
−∞=+−−x
xxx )54(lim 2
.
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8
c) +∞→
+∞=+−−x
xxx )54(lim 2
.
d) No existe+∞→
+−−x
xxx )54(lim 2
.
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Soluciones a la Prueba de Autoevaluación inicial 1 → a
2 → c
3 → a
4 → d
5 → c
6 → a
7 → c
8 → d
9 → b
10 → a
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4. Contenidos conceptuales
Relación Una relación o correspondencia entre dos conjuntos A y B es una forma de asociar una serie
de elementos del primer conjunto A (conjunto inicial) con un grupo de elementos del segundo
conjunto B (conjunto final). Definimos entre los conjuntos A = {8,22,25,28,36} y B =
{7,12,18,25,32,42,50}, la siguiente relación: Un elemento de A está relacionado con uno de B
si tienen igual la cifra de las unidades.
Se puede escribir esta relación mediante pares de puntos de la siguiente manera:
R = {(8,18),(28,18), (25,25),(22,32),(22,42).
Es decir, cualquier relación puede ser mostrada como un conjunto de pares ordenados de
forma que el primer elemento pertenece a A y el segundo a B.
Y también podemos expresar esta relación mediante flechas entre los elementos que estén
relacionados:
Aplicación Una aplicación entre A y B es cualquier relación que cumpla dos condiciones:
• Cualquier elemento de A está relacionado con alguno de B.
• Cada elemento de A no está relacionado con más de un elemento de B.
Así pues, la relación anterior no es una aplicación pues no cumple ni la primera condición (el
35 no está relacionado con ninguno de B) ni la segunda (el 30 está relacionado cos dos
elementos de B).
8
28
25
22
36
7 12
18
25
33
42
52
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Sea A es el conjunto de los números enteros, es decir, A = Z y B el conjunto de los números
reales, B = R; entonces, la relación que hace corresponder a cada número su cuadrado es una
aplicación de Z en R:
Se comprueba que a cada número entero (variable independiente) le corresponde un único
número real (variable dependiente).
Si llamamos C a esta aplicación:
C = {(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),…}.
Tradicionalmente se presenta de la forma siguiente: C(1) = 1; C(2) = 4; C(3) = 9; …
En síntesis, las condiciones para que una relación sea aplicación hay que verificarlas en el
primer conjunto, el inicial; en este conjunto hay que comprobar si a cada uno de sus elementos
le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto final. Como sucede en el ejemplo anterior,
a los elementos del segundo conjunto les pueden corresponder más de un elemento del
primero o, incluso, ninguno.
Función Una función es una aplicación entre conjuntos numéricos {N, Z, Q, R, C, R
2,…}. Aunque si
es una aplicación entre subconjuntos numéricos, también suele denominarse función.
Cualquier función entre subconjuntos de R se denomina función real de variable real. Y suele
representarse de diferentes maneras:
• Mediante un texto: Una descripción verbal nos puede expresar, de manera cualitativa,
cómo se relacionan las dos variables.
-2
-1
0
1
2
3
4
5
4 0
1 9
16
-3
1/3
1,2
25
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• Mediante tablas: Apareciendo en una tabla una serie de pares, valores de la variable
independiente y sus correspondientes de la variable dependiente.
• Mediante gráficas: Nos dará una visión cualitativa, que puede ser cuantitativa y precisa
si la información se da mediante un sistema de coordenadas con la escala adecuada a
los valores de las variables.
• Mediante una expresión analítica o fórmula: Con ella podemos calcular qué valor de la
variable dependiente corresponde a un cierto valor de la variable independiente, y
viceversa. Al valor de la variable independiente se le suele representar por x, y la letra
y representa el valor de la variable dependiente asociado a x. La relación o función que
existe entre ambos se suele representar por la letra f, de la siguiente forma:
)(
:
xfx
RRf
→→
y = f(x)
También se les llama al valor x el original y al valor y su imagen.
Veamos, con un ejemplo, estas formas de expresión. En el cine, el precio de una bolsa de
palomitas es de 2 euros: esta situación se puede expresar de las formas siguientes:
a) Mediante un texto: El importe a pagar en euros es el producto de 2 por el número de
bolsas compradas.
b) Mediante una tabla: El número de bolsas es la variable independiente y el importe es la
variable dependiente.
Número de bolsas 1 2 3 …
Importe (euros) 2 4 6 …
c) Mediante un gráfico:
�
�
�
�
1 2 3 4
Númerode bolsas
12345678
Importe �euros�
Original
1
2
3
Imagen
2
4
6
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d) Mediante una fórmula: Si llamamos P al importe (en euros) y N al número de bolsas
de palomitas, la fórmula será:
P = 2 . N
Dominio de una función Se llama dominio de una función al conjunto sobre el cual está definida esa función, es decir,
al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. También suele ser referido
como campo de existencia o campo de definición de la función.
Al definir una función ha de indicarse el dominio, aunque en el caso de funciones definidas
mediante una expresión analítica suele no indicarse. En tal caso, se considera como dominio
de la función al mayor conjunto de R para el cual la expresión analítica tiene sentido, es decir,
la expresión representa un número. Por ejemplo, x
xf1
)( = tiene como dominio R-{0}, puesto
que 0
1no existe, no es un número. En cambio, para la función 4+= xy el dominio de
definición es todos los números reales, porque la variable independiente x puede tomar
cualquier valor.
Recorrido de una función Se denomina recorrido de una función al conjunto de todos los valores que toma la variable
dependiente y. Para la función 23xy = el recorrido son los valores de y mayores o iguales que
cero, ya que el cuadrado de todo número es siempre así.
Gráfica de una función Cualquier función no es más que un conjunto de pares ordenados (x, f(x)), donde tanto x como
f(x) son números.
Para representar gráficamente una función, representamos los pares de valores en un plano
con un sistema de ejes coordenadas, con la variable independiente x en el eje horizontal (eje
de abcisas) y la dependiente en el vertical (eje de ordenadas) y, en consecuencia, toda función
puede representarse como los puntos de una curva en este plano. A esta curva, que es la
representación del conjunto de puntos que definen la función, se le llama gráfica de la
función.
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�
�
�
0 6 12
Edad�meses�20
40
60
80
100
120Peso �Kg�
Operaciones con funciones reales Sobre el conjunto de las funciones reales de variable real se pueden considerar las operaciones
o leyes de composición interna:
• Suma: Dadas las funciones f : R →R y g : R →R la función suma f+g : R →R es la
función definida por (f+g)(x) = f(x) + g(x), para todo ∈x R. Por ejemplo, la suma de
las funciones 12)( += xxf y 53)( 2 +−= xxxg es 6))(( 2 +−=+ xxxgf . Como al
final se reduce a sumar números reales, la suma de funciones reales tiene las mismas
propiedades que la suma de números reales, es decir, es conmutativa, asociativa, tiene
elemento neutro (la función nula: 0)(0 =x para todo ∈x R) y elemento opuesto (toda
función f tiene función opuesta )())(( xfxf −=− ∈x R).
• Producto: Para las funciones f : R →R y g : R →R la función producto :gf ⋅ R →R
es la función definida por ( gf ⋅ )(x) = )()( xgxf ⋅ , para todo ∈x R. Por ejemplo, el
producto de las funciones 12)( += xxf y 53)( 2 +−= xxxg es
5752))(( 23 ++−=⋅ xxxxgf . Como al final se reduce a multiplicar números reales,
el producto de funciones reales tiene las mismas propiedades que el producto de
números reales, es decir, es conmutativo, asociativo y tiene elemento unidad (la
función: 1)(1 =x para todo ∈x R).
• Composición: Para las funciones f: R →R y g : R →R la función composición :gf o
R →R es la función definida por ( gf o )(x) = ))(( xgf , para todo ∈x R. Por ejemplo,
la composición de las funciones 12)( += xxf y 53)( 2 +−= xxxg es
11621)53(2))(())(( 22 +−=++−== xxxxxgfxgf o . La composición de
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funciones reales es asociativa y tiene elemento unidad (la función identidad:
xx =)(1 para todo ∈x R) pero no es conmutativa:
5)12(3)12())(())((1)53(2))(())(( 22 ++−+==≠++−== xxxfgxfgxxxgfxgf oo
Se puede considerar también una ley de composición externa:
• Producto por un escalar: Para la función f : R →R y el número real o escalar ∈λ
R se define el producto :f⋅λ R →R es la función definida por ( f⋅λ )(x)
= )(xf⋅λ , para todo ∈x R. Por ejemplo, el producto de 7 y la función
12)( += xxf es 714)(7))(7( +==⋅ xxfxf . Esta ley cumple las propiedades:
distributivas ( gfgf λλλ +=+ )( , fff βλβλ +=+ )( , para todo ∈βλ, R y para
todas f y g funciones reales), asociativa mixta ( ff )()(( λββλ = para todo ∈βλ, R
y para toda f función real) y tiene elemento unidad (el número real 1).
Ha de tenerse especial cuidado al determinar el dominio de la función resultante de una
operación. Así pues, se destacan las siguientes consideraciones:
a) Los dominios de las funciones f + g y gf ⋅ coinciden y son la intersección
de los dominios de f y g.
b) La función f y su opuesta, -f, tienen el mismo dominio.
c) El dominio de la función inversa, respecto al producto, de la función f es el
dominio de f menos los valores donde f se anula.
d) El dominio de la función gf o es el de f menos los valores ∈0x dominio(f)
tales que ∉)( 0xf dominio(g).
Regla de Ruffini
Esta regla, cuyo autor es Paolo Ruffini, nos permite dividir un polinomio
01
1
1 ..`)( axaxaxaxP nn
nn ++++= −
− entre un binomio de la forma (x − a), donde a es un
número real cualquiera.
Para dividir P(x) entre x-a:
1. Se trazan dos líneas a manera de ejes. Se escriben los coeficientes de P(x) ordenados,
completando con ceros si falta alguno de los grados. A continuación se escribe a en la parte
inferior izquierda del eje, encima de la línea:
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| an an-1 ... a1 a0 | a | ----|--------------------------------------------------------- | |
2. El coeficiente del monomio de mayor grado, es decir, el más pegado a la izquierda (an), se
escribe abajo, justo debajo de la línea y así se obtiene el primero de los coeficientes del
cociente:
| an an-1 ... a1 a0 | a | ----|--------------------------------------------------------- | an |
3. Se multiplica el número más pegado a la derecha debajo de la línea por a y se escribe sobre
la línea en la primera posición de la derecha:
| an an-1 ... a1 a0 |
a | aan ⋅
----|--------------------------------------------------------- | an |
4. Se suman los dos valores que hemos puesto en la misma columna:
| an an-1 ... a1 a0 |
a | aan ⋅
----|---------------------------------------------------------
| an aaa nn ⋅+−1
|
5. Y sucesivamente se van repitiendo los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:
| an an-1 2−na a1 a0
|
a | aan ⋅ aaa nn ⋅+−1 ... ...
----|---------------------------------------------------------
| an aaa nn ⋅+−1 )( 12 aaaa nnn ⋅+−− ... R
|
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Los valores de debajo de la línea son los coeficientes del polinomio cociente (Q(x)), cuyo
grado será un grado menos que el grado de P(x). Por último, R es el resto que será un número
real.
Por ejemplo, si queremos dividir 32 34 −+ xx entre 1−x , aplicamos la regla de Ruffini para a
= 1:
| 1 2 0 0 -3 |
1 | 1 3 3 3 ----|---------------------------------------------------------
| 1 3 3 3 R = 0
El cociente resultante es: 333)( 23 +++= xxxxQ y el resto R = 0.
Esta regla también nos permite localizar raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de
la forma (x − a), siendo a un número real. Según la igualdad fundamental de la división, el
dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, por tanto si el resto es cero, como en
el ejemplo anterior, el dividendo se descompone como producto del divisor por el cociente:
)333)(1(1 234 +++−=− xxxxx .
Límite de una función en un punto En este módulo se estudia el concepto de límite de una función real de variable real de manera
intuitiva. Consideramos la definición rigurosa más adecuada para el nivel del Curso de
Acceso, no para el de este Curso de Nivelación.
Si a y L son números reales y f es una función real de variable real, la expresión
ax
Lxf
→=)(lim
,
Se lee: el límite cuando x tiende hacia a de f(x) es L, o también f(x) tiende hacia L cuando x
tiende hacia a. Esto significa que f(x) puede hacerse tan próximo a L como queramos siempre
que se elija x suficientemente próximo al valor de a. También se representa por:
f (x) →L cuando x →a.
Veamos, como ejemplo, el límite de la función 3)( += xxf en 1=x . Para ello representamos
esta función
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18
Se observa en la gráfica que, cuando damos valores cercanos a 1=x , la función se acerca
todo lo que queramos a 4, de hecho llega a tomar ese valor que es, precisamente, )1(f . Por
tanto en este caso ax
afxf
→= )()(lim
. Esto ocurre con todas las funciones polinómicas, las
funciones racionales (cociente de polinomios) en los puntos ax = en los que no se anule el
denominador y con las funciones continuas (concepto que veremos en otro módulo posterior).
Sin embargo, en la definición de límite, la función no toma el valor ax = aunque, como
hemos visto, puede estar definida en dicho punto. Es decir, lo que interesa son los valores de x
cercanos al a, el propio a es indiferente.
La función 2
)2()(
2
−−=
x
xxxf no está definida en 2=x , pues se anula el denominador.
Cuando x se aproxima a 2, ¿qué ocurre con la función?
Para determinarlo, calculamos el valor de la función en puntos cada vez más cercanos a 2,
tanto superiores como inferiores a él:
x > 2 2,5 2,1 2,01 2,001
f(x) 6,25 4,04 4,04 4,0004
x < 2 1,5 1,9 1,99 1,999
f(x) 2,25 3,61 3,96 3,9996
Al aproximarse x a 2, tanto por la derecha ( x > 2) como por la izquierda (x < 2), los valores
correspondientes de la función tienden a 4. Por tanto, 4 es el límite de esta función cuando x
tiende a 2:
2
42
)2(lim
2
→
=−
−
xx
xx.
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19
Límites laterales En la función )()( xExf = (parte entera de x), cuando x tiende a 4, ¿hacia dónde tiende la
función?. En las tablas siguientes:
x > 4 4,5 4,1 4,001 4,0001
f(x) 4 4 4 4
x < 4 3,5 3,1 3,01 3,001
f(x) 3 3 3 3
se comprueba que la función cuando x tiende a 4, no tiende a un valor único determinado. Al
aproximarse por la derecha, f(x) tiende a 4, y cuando lo hace por la izquierda, f(x) tiende a 3.
En este caso la función no tiene límite en el punto x = 4.
Si hacemos tender solamente x por la derecha de 4 ( +→ 4x ), la función E(x) tiende a 4. Se
dice que el límite por la derecha de la función f es 4 y se representa por:
+→=
4
4)(lim
x
xE o 4)( →xE cundo +→ 4x .
En general, se dice que el límite por la derecha de la función f es 1L si f(x) puede hacerse tan
próximo a 1L como queramos siempre que se elija x suficientemente próximo al valor de a y
mayor que a. Se representa por:
+→=
ax
Lxf 1)(lim o 1)( Lxf → cundo +→ ax .
Análogamente, si hacemos tender solamente x por la izquierda de 4 ( −→ 4x ), la función
E(x) tiende a 3. Se dice que el límite por la izquierda de la función f es 3 y se representa por:
−→=
4
3)(lim
x
xE o 3)( →xE cuando −→ 4x .
Entonces, el límite por la izquierda de la función f es 2L si f(x) puede hacerse tan próximo a
2L como queramos siempre que se elija x suficientemente próximo al valor de a y menor que
a. Se representa por:
−→=
ax
Lxf 2)(lim o 2)( Lxf → cundo −→ ax .
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20
Los límites por la derecha y por la izquierda de una función reciben el nombre de límites
laterales. Para que una función tenga límite en un punto ax = , deben existir los dos límites
laterales y ser iguales.
Límites infinitos Una función f puede tener o no límite en un punto a. Si no lo tiene, puede ser por alguna de las
siguientes razones:
• No existir cerca de a.
• Los límites laterales no coinciden.
• No existir ningún número real que cumpla la definición de límite.
De la tercera razón se puede destacar un caso particular, que veremos con el siguiente
ejemplo:
La función 2
1)(
xxf = , cuando x tiende a 0, ¿tiene límite?. Calculamos el valor de la función
en puntos cercanos a 0.
x > 0 1 0,1 0,001 0,0001
f(x) 1 100 10000 1000000
x < 0 -1 -0,1 -0,01 -0,001
f(x) 1 100 10000 1000000
Se observa cómo, cuando x tiende a 0 tanto por la derecha como por la izquierda, los valores
de la función son cada vez mayores. La función crece tanto como se quiera, siempre que x
tome valores suficientemente próximos a 0. Cuando esto sucede, la función f(x) tiene por
límite ∞+ cuando x tiende a 0. Se simboliza por:
0
1lim
2
→
+∞=
xx .
En general, la función f(x) tiene por límite ∞+ en el punto ax = , cuando la función se hace
todo lo grande que se quiera para valores de x suficientemente próximos al valor a.
ax
xf
→+∞=)(lim
.
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21
Análogamente se define el límite ∞− : La función tiene por límite ∞− en el punto ax = ,
cuando la función se hace todo lo pequeña que se quiera para valores de x suficientemente
próximos al valor a.
ax
xf
→−∞=)(lim
.
Límites en el infinito Se generaliza la definición de límite de la siguiente forma.
Sea f una función cuyo dominio contiene una semirrecta ),( +∞p . El número real L es el límite
de f en el infinito cuando los valores de la función tienden a L conforme x tiende a ∞+ . Se
representa por:
+∞→=
x
Lxf )(lim.
Sea f una función cuyo dominio contiene una semirrecta ),( q−∞ . El número real L es el límite
de f en el menos infinito cuando los valores de la función tienden a L conforme x tiende a ∞− .
Se representa por:
−∞→=
x
Lxf )(lim.
Veamos un ejemplo de ambos límites con la función x
xf1
)( = :
Se observa en la gráfica anterior que si hacemos que la variable x de la función x
xf1
)( =
tome valores cada vez mayores (x tienda a ∞+ ) la función f(x) se aproxima cada vez más a 0,
tiende a 0. Por tanto,
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
22
+∞→
=
xx
01
lim.
También si hacemos que la variable x de la función x
xf1
)( = tome valores cada vez menores
(x tienda a ∞− ) la función f(x) se aproxima cada vez más a 0, tiende a 0. Por tanto,
−∞→
=
xx
01
lim.
Cálculo del límite de una función Ha de tenerse en cuenta el contexto donde aparece un límite para tratar adecuadamente de
calcularlo. Es decir, si es finito o no, en un punto o en el infinito, y lateral o no.
A continuación se enuncian diversos resultados sobre cálculo de límites.
• El límite de un polinomio, kcxbxxf nn +++= − ...)( 1 , para todo b, c,….,k reales, es el
valor de la función:
ax
kaxafkbx nn
→++==++ ...)()...(lim
.
• Sean f y g dos funciones tales que
ax
Lxf
→=)(lim
y ax
Kxg
→=)(lim
, con L y K números reales entonces
ax
xgxf
→+ ))()((lim
= ax
xf
→)(lim+
ax
xg
→)(lim= L + K
Es decir, si las funciones f(x) y g(x) tienen límite en el punto x = a, el límite de la suma es
igual a la suma de los límites de las dos funciones.
Las funciones =)(xf 4x-1 y 42)( += xxg (se puede comprobar fácilmente) tienen por
límite 7 y 8 respectivamente en el punto 2=x . El límite de la función suma de las
funciones f y g en el punto 2=x vale:
2
)4214(lim
→++−
x
xx=
2
)36(lim
→+
x
x
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23
Vemos en la grafica que 2
)36(lim
→+
x
x= 15.
Por otro lado 2
14lim
→−
x
x+
2
42lim
→+
x
x = 7 + 8 = 15.
.
• Sean f y g dos funciones tales que
ax
Lxf
→=)(lim
y ax
Kxg
→=)(lim
, con L y K números reales
entonces
ax
xgxf
→− ))()((lim
= ax
xf
→)(lim-
ax
xg
→)(lim= L – K.
Es decir, si las funciones f(x) y g(x) tienen límite en el punto x = a, el límite de la
diferencia es igual a la diferencia de los límites de las dos funciones.
Las funciones =)(xf x + 3 y 1)( 2 −−= xxg tienen por límite 1 y -5 respectivamente en el
punto -2. El límite de la función diferencia de las funciones f y g en el punto 2−=x vale:
2
)13(lim 2
−→+++
x
xx=
2
)4(lim 2
−→++
x
xx= 6 = 1 -(-5) .
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24
• Sean f y g dos funciones tales que
ax
Lxf
→=)(lim
y ax
Kxg
→=)(lim
, con L y K números reales
entonces
ax
xgxf
→⋅ ))()((lim
= ax
xf
→)(lim.
ax
xg
→)(lim= L . K
Si las funciones f(x) y g(x) tienen límite en el punto x = a, el límite del producto es igual al
producto de los límites de las dos funciones.
Las funciones =)(xf 2x y 2)( += xxg tienen por límite -2 y 1 respectivamente en el
punto -1. El límite de la función producto de las funciones f y g en el punto1 2−=x es:
1
))2(2(lim
−→+⋅
x
xx=
1
)42(lim 2
−→+
x
xx= -2 = -2 .1 .
• Como consecuencia:
nn
ax
xf
ax
xf)
)(lim(
)((lim
→=
→, Nn∈∀ , 0≠n .
nn
ax
xf
ax
xf→
=→
)(lim)((lim. Si n es par, entonces debe ser 0≥L .
• Sean f y g dos funciones tales que
ax
Lxf
→=)(lim
y ax
Kxg
→≠= 0)(lim
, con L y K números reales
entonces
axxg
xf
→)(
)(lim
=
ax
xgax
xf
→
→)(lim
)(lim
= K
L.
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25
Por tanto, si las funciones f(x) y g(x) tienen límite en el punto x = a, el límite del cociente
es igual al cociente de los límites de las dos funciones siempre que no sea nulo el límite
del denominador
Las funciones =)(xf x y 2)( =xg tienen por límite 3 y 2 respectivamente en el punto 3.
El límite de la función cociente de las funciones f y g en el punto 3=x es:
32
3
2lim
→
=
x
x.
• La suma de una función que en x = a tiende a L con otra que en x = a tiende a + ∞ es
otra función que en dicho punto a también tiende a más infinito. Esto en forma
esquemática se representa así:
+∞=+∞+ )(L .
• Análogamente, para el menos infinito:
−∞=−∞+ )(L .
• Para el producto de funciones se sigue la regla de los signos, es decir:
+∞=+∞⋅ )(L si L > 0
−∞=−∞⋅ )(L si L > 0
−∞=+∞⋅ )(L si L < 0
+∞=−∞⋅ )(L si L < 0
• La suma de dos funciones que en x = a tienden a infinito es otra función que en dicho
punto a también tiende a infinito. Esquemáticamente se simboliza así:
+∞=+∞++∞ )()( .
• Análogamente, para el menos infinito:
−∞=−∞+−∞ )()( .
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26
• Para el producto de funciones se sigue la regla de los signos, es decir:
+∞=+∞⋅+∞ )()(
−∞=−∞⋅+∞ )()(
+∞=−∞⋅−∞ )()( .
Para el cálculo de límites de funciones, siempre que se pueda, se deben utilizar estos
resultados pues es más sencillo que hacerlo con la propia definición de límite o
representando la función.
Indeterminaciones En el cálculo de algunos límites hay veces en las que no se pueden aplicar directamente los
anteriores resultados. Aparecen indeterminaciones en los siguientes casos:
0
0,
∞∞
, ∞−∞ , ∞⋅0
• Indeterminación 0
0: Si
ax
xf
→= 0)(lim
y ax
xg
→= 0)(lim
no podemos determinar
directamente el límite del cociente. Para calcular este límite hay que factorizar y
simplificar el numerador y el denominador, es decir f(x) y g(x):
Si aplicamos la propiedad del límite del cociente al
24
44lim
2
2
→−
+−
xx
xx, obtenemos
0
0,
expresión que carece de sentido. Factorizando el numerador y el denominador con la regla
de Ruffini para a = 2, y simplificando:
2
04
0
2
2lim
2
)2)(2(
)2(lim
24
44lim
2
2
2
→
==+−
→
=−+
−
→
=−
+−
xx
x
xxx
x
xx
xx.
• Indeterminación ∞∞
: Si ax
xf
→∞=)(lim
y ax
xg
→∞=)(lim
tampoco se puede
calcular directamente el límite del cociente. Para hallar este límite hay que dividir
numerador y denominador x elevado a la máxima potencia. Para la función racional del
ejemplo anterior, si calculamos el límite en el infinito resulta, aplicando la propiedad del
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27
límite del cociente, ∞∞ expresión que carece de sentido. Dividiendo el numerador y el
denominador por 2x , potencia máxima se tiene:
+∞→
=−
+−
+∞→
=−
+−
+∞→
=−
+−
+∞→
=−
+−
xx
x
xx
xxx
xxx
x
x
x
xx
xx1
01
001lim
41
441
lim4
44
lim4
44lim
2
2
22
2
222
2
2
2
En general para los límites en el infinito de cociente de polinomios se obtienen los
siguientes resultados:
1. ±∞→
±∞=
xxQ
xP
)(
)(lim
si grado de P(x) > grado de Q(x). El signo del límite
depende del signo de los coeficientes de los términos de mayor grado,
considerando siempre la regla de los signos y de la paridad de dichos grados.
2. ±∞→
=
xxQ
xP0
)(
)(lim
si grado de P(x) < grado de Q(x).
3. ±∞→
=
xn
m
xQ
xP
)(
)(lim
si grado de P(x) = grado de Q(x) y m y n son los coeficientes
de los términos de mayor grado de P(x) y Q(x), respectivamente.
• Indeterminación ∞−∞ : Si ax
xf
→∞=)(lim
y ax
xg
→∞=)(lim
no podemos
determinar directamente el límite de la diferencia. Para calcular este límite hay que
efectuar la resta de las funciones. Cuando aparecen radicales, se multiplica y divide por la
expresión conjugada. Veamos un ejemplo de ambos casos.
Al calcular
+∞→
−−
+−
x
xx
xx)
7
26(lim
2
, se obtiene ∞−∞ , de nuevo una expresión que
carece de sentido. Efectuando la diferencia indicada y simplificando:
+∞→
==−+
+∞→
=−−
+−
xx
x
x
xx
xx1
1
1)
7
2(lim)
7
26(lim
2
.
Con radicales:
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28
+∞→
=+−+
+−+−−+
+∞→=−−+
xxxx
xxxxxx
x
xxx13
)13)(13(lim)13(lim
2
222
=
+∞→
=+
=+−+
−
+∞→
=+−+
−−+
xxxx
x
xxxx
xxx
2
3
11
3
13
13lim
13
)13(lim
22
22
.
• Indeterminación ∞⋅0 : Esta indeterminación se deshace operando. Por ejemplo:
+∞→
=+−
+
+∞→
=⋅+−
+
xxx
xx
x
xxx
x
3
1)
133
5(lim)
133
5(lim
3
3
3
2
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29
5. Resumen teórico
Relación o
correspondencia entre
dos conjuntos
• Una relación o correspondencia entre dos conjuntos A y B
es una forma de asociar una serie de elementos del primer
conjunto A (conjunto inicial) con un grupo de elementos del
segundo conjunto B (conjunto final).
Aplicación • Es una relación en la que a cada uno de los elementos del
conjunto inicial le corresponde uno y sólo un elemento del
conjunto final.
Función • Es una aplicación entre conjuntos numéricos.
Dominio de una función • Se llama dominio de una función al conjunto sobre el cual
está definida esa función, es decir, al conjunto de valores que
puede tomar la variable independiente x.
Recorrido de una
función
• Se denomina recorrido de una función al conjunto de todos
los valores que toma la variable dependiente y.
Gráfica de una función • A la representación del conjunto de puntos que definen la
función, se le llama gráfica de la función.
Operaciones con
funciones reales
• Dadas las funciones f : R →R y g : R →R la función suma
f+g : R →R es la función definida por (f+g)(x) = f(x) + g(x),
para todo ∈x R.
• Para las funciones f : R →R y g : R →R la función
producto :gf ⋅ R →R es la función definida por ( gf ⋅ )(x)
= )()( xgxf ⋅ , para todo ∈x R.
• Para las funciones f: R →R y g : R →R la función
composición :gf o R →R es la función definida por
( gf o )(x) = ))(( xgf , para todo ∈x R.
• Para la función f : R →R y el número real o escalar ∈λ R
se define el producto :f⋅λ R →R es la función definida
por ( f⋅λ )(x) = )(xf⋅λ , para todo ∈x R.
• Regla de Ruffini: Para dividir un polinomio
01
1
1 ..`)( axaxaxaxP nn
nn ++++= −
− entre un binomio de la
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30
forma (x − a), donde a es un número real cualquiera:
| an an-1 2−na a1 a0
|
a | aan ⋅ aaa nn ⋅+−1 ... ...
----|--------------------------------------------------
| an aaa nn ⋅+−1 )( 12 aaaa nnn ⋅+−− .. R
|
Cociente: ...)()( 2
1
1 +⋅++= −−
− nnn
nn xaaaxaxQ y resto: R.
Límite de una función en
un punto
• L es el límite de f(x) cuando x tiende hacia a si f(x) puede
hacerse tan próximo a L como queramos siempre que se elija
x suficientemente próximo al valor de a. Se simboliza
por:ax
Lxf
→=)(lim
Límites laterales • El límite por la derecha de la función f es 1L si f(x) puede
hacerse tan próximo a 1L como queramos siempre que se
elija x suficientemente próximo al valor de a y mayor que a.
Se representa por:
+→=
ax
Lxf 1)(lim
• El límite por la izquierda de la función f es 2L si f(x) puede
hacerse tan próximo a 2L como queramos siempre que se
elija x suficientemente próximo al valor de a y menor que a.
Se representa por:
−→=
ax
Lxf 2)(lim
Límites infinitos • f(x) tiene por límite ∞+ en el punto ax = , cuando la
función se hace todo lo grande que se quiera para valores de
x suficientemente próximos al valor a.
ax
xf
→+∞=)(lim
.
• f(x) tiene por límite ∞− en el punto ax = , cuando la función
se hace todo lo pequeña que se quiera para valores de x
suficientemente próximos al valor a.
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
31
ax
xf
→−∞=)(lim
.
Límites en el infinito • El número real L es el límite de f en el infinito cuando los
valores de la función tienden a L conforme x tiende a ∞+ .
Se representa por:
+∞→=
x
Lxf )(lim.
• El número real L es el límite de f en el menos infinito cuando
los valores de la función tienden a L conforme x tiende a
∞− . Se representa por:
−∞→=
x
Lxf )(lim.
Cálculo de límites •
ax
kaxafkbx nn
→++==++ ...)()...(lim
Sean f y g dos funciones tales que
ax
Lxf
→=)(lim
y ax
Kxg
→=)(lim
, con L y K reales
• ax
xgxf
→+ ))()((lim
= ax
xf
→)(lim+
ax
xg
→)(lim= L + K.
• ax
xgxf
→− ))()((lim
= ax
xf
→)(lim-
ax
xg
→)(lim= L – K.
• ax
xgxf
→⋅ ))()((lim
= ax
xf
→)(lim.
ax
xg
→)(lim= L . K
• nnn
Lax
xf
ax
xf=
→=
→)
)(lim(
)((lim, Nn∈∀ , 0≠n .
• nn
n
Lax
xf
ax
xf =→
=→
)(lim)((lim. Si n es par, entonces
debe ser 0≥L .
•
• ax
xg
xf
→)(
)(lim
= K
L
ax
xgax
xf
=
→
→)(lim
)(lim
con ax
Kxg
→≠= 0)(lim
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
32
• +∞=+∞+ )(L
• −∞=−∞+ )(L
• +∞=+∞++∞ )()(
• +∞=+∞⋅ )(L si L > 0
• −∞=−∞⋅ )(L si L > 0
• −∞=+∞⋅ )(L si L < 0
• +∞=−∞⋅ )(L si L < 0
• −∞=−∞+−∞ )()(
• +∞=+∞⋅+∞ )()(
• −∞=−∞⋅+∞ )()(
• +∞=−∞⋅−∞ )()(
• ±∞→
±∞=
xxQ
xP
)(
)(lim
si grado de P(x) > grado de Q(x). El
signo del límite depende del signo de los coeficientes de los
términos de mayor grado, considerando siempre la regla de
los signos y de la paridad de dichos grados.
• ±∞→
=
xxQ
xP0
)(
)(lim
si grado de P(x) < grado de Q(x).
• ±∞→
=
xn
m
xQ
xP
)(
)(lim
si grado de P(x) = grado de Q(x) y m y
n son los coeficientes de los términos de mayor grado de
P(x) y Q(x), respectivamente.
Indeterminaciones • 0
0,
∞∞
, ∞−∞ , ∞⋅0
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33
6. Actividades resueltas
1.1 Dados los conjuntos A = {9, 12, 30} y B = {5, 6, 7, 8}, se establece la siguiente
relación entre ellos: un elemento de A está relacionado con un elemento de B si ambos
tienen algún divisor común distinto de la unidad. Establece la relación y represéntala
mediante pares de puntos y de forma gráfica mediante conjuntos.
Solución:
Para determinar los divisores comunes, previamente, descomponemos en factores los
elementos de A y B.
139 2 ⋅= ; 12312 2 ⋅⋅= ; 123530 ⋅⋅⋅=
155 ⋅= ; 1236 ⋅⋅= ; 177 ⋅= ; 128 3 ⋅=
Ya podemos establecer esta relación que consiste en tener algún divisor común
(distinto de 1): {(9,6), (12,6), (12,8), (30,5), (30,6), (30,8)}.
En forma de diagrama:
1.2 Expresa mediante una fórmula o expresión algebraica las siguientes relaciones:
a) La mitad de un número.
b) La raíz cuadrada de un número.
c) El 10% de una cantidad.
Solución:
a) x →2
x
b) x → x
c) x → x⋅10
1
2.3 De las siguientes relaciones, indica cuáles son las que son aplicaciones.
a) Ser padre.
b) Ser hijo biológico.
c) Ser hermano.
Solución:
A
9
12
30
B 5
6
7
8
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34
a) No es una aplicación pues no todas las personas son padres y muchas personas
tienen más de un hijo.
b) Es una aplicación pues toda persona tiene un solo padre.
c) No es una aplicación ya que no todas las personas tienen hermanos y muchas
personas tienen más de un hermano.
2.4 De las siguientes correspondencias, señala las que sean aplicaciones.
a)
b)
c)
Solución:
α
β
χ
δ
b
d
c
a
b
c
d
1
2
3 4
5
-3 -2
0
1
2
-1
3
2
0
1
3
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35
a) Es una aplicación porque todos los elementos del conjunto inicial tienen una sola
imagen en el conjunto final.
b) No es una aplicación pues el elemento d del conjunto inicial tiene dos imágenes.
c) No es una aplicación pues el elemento α del conjunto inicial no tiene imagen.
3.5 Averigua si las siguientes correspondencias son funciones reales de variable real:
a) A cada nº le hace corresponder sus factores primos.
b) A cada nº le hace corresponder el doble de su inverso.
c) A cada nº le hace corresponder su cubo.
Solución:
a) No es una función pues ningún número real, excepto el 1, tienen sólo un factor
primo.
b) No es una función ya que el 0 no tiene inverso.
c) Sí es una función pues todo número real tiene un único cubo.
3.6 Dada la función que asocia a cada nº real su doble más 4 unidades:
a) Halla su expresión algebraica.
b) Calcula f(2), f(-1) y f(3/4).
c) Determina el dominio y el recorrido.
Solución:
a) La expresión algebraica de esta función viene expresada por la fórmula:
42)( += xxf .
b) Para 2=x , resulta 8422)2( =+⋅=f . Análogamente, 24)1(2)1( =+−⋅=−f y,
por último, 2
114
2
34
4
32)
4
3( =+=+⋅=f .
c) Como todo nº real tiene imagen (su doble más cuatro), Dom(f) = R y como también
tiene origen o antiimagen (2
4−= yx ), Re(f) = R.
3.7 Considera la relación entre el nº de lados de un polígono y la suma de sus ángulos.
a) ¿Es una función?
b) Construye una tabla y representa gráficamente la función.
c) ¿Es posible establecer una expresión algebraica de esta función? Determínala.
Solución:
a) Es una función pues para cada polígono la suma de sus ángulos es siempre un
número fijo.
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36
b)
Nº de lados 3 4 5 6
Suma de ángulos 180º 360º 540º 720º
�
�
�
�
1 2 3 4 5 6Nº de Lados
180º
360º
540º
720ºSuma de ángulos
c) Para determinar la fórmula de esta función nos fijamos en que los valores son todos
múltiplos de 180º:
3 → 1º180 ⋅ ; 4 → 2º180 ⋅ ; 5 → 3º180 ⋅ ; 6 → 4º180 ⋅ ;…
Es decir,
x → )2(º180 −⋅ x
por tanto la expresión algebraica es
)2(180 −= xy .
3.8 Razona por qué la expresión y = xx −+− 24 no define ninguna función.
Solución: Esta función está definida por la suma de dos raíces cuadradas, por tanto es necesario
que existan ambas, es decir, que no sean negativos sus radicandos.
Por un lado, debería ser:
04 ≥−x ⇒ 4≥x .
Pero también se debe cumplir:
02 ≥− x ⇒ x≥2
lo cual es imposible.
4.9 Calcula el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
a) f(x) = 12 +x
b) g(x) =x
1
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
37
c) h(x) =4+x
x
d) i(x) = 5x-1
e) j(x) = 3−x
Solución:
a) La función f es un polinomio, por tanto para todo número real tiene sentido y es
otro número real. Así, Dom(f) = R.
b) La función g es un cociente de polinomios, por tanto no tiene sentido para los
valores de x que anulen el denominador. Entonces, Dom(g) = R - {0}.
c) La función h es de nuevo un cociente de polinomios, por tanto no pertenecen a su
dominio los valores de x que anulen x+4. Es decir, Dom(h) = R - {-4}.
d) La función i es otro polinomio, por tanto Dom(f) = R.
e) Como la función j es una raíz cuadrada de un polinomio, existe si el radicando no es
negativo. Así, 03 ≥−x ⇒ 3≥x ⇒Dom(j) = [ )+∞,3 .
5.10 Calcula f(0), f(-1), f(1), )2(1−f y )2(1 −−f , para las siguientes funciones:
a)
b)
c)
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38
Solución:
a) 3)0( −=f ; 5)1( −=−f ; 1)1( −=f ; 2
5)2(1 =−f ;
2
1)2(1 =−−f .
b) 1)0( −=f ; 2)1( −=−f ; 2)1( =f ;
−=−
3
1)2(1f ; 1)2(1 −=−−f .
c) 1)0( −=f ; 2)1( −=−f ; 2)1( =f ; 1)2(1 =−f ; 1)2(1 −=−−f .
5.11 Determina la ecuación y la gráfica de la recta que tiene asociada la tabla:
x 0 -2 2 4
fx) 2 1 3 4
Solución:
La expresión de una recta es:
nmxy +=
Donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.
Entonces, según la tabla, n = 2 (la imagen de x = 0) ⇒ 2+= mxy .
Como la imagen de x = -2 es y = 1, resulta:
2)2(1 +−= m ⇒2
1
2
1 =−−=m .
La ecuación de la recta pedida es:
22
1 += xy .
La gráfica:
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39
5.12 Determina la ecuación y la gráfica de la parábola que tiene asociada la tabla:
x 0 -1 1 2 -2
fx) 3 4 4 7 7
Solución:
La expresión de una parábola es:
cbxaxxf ++= 2)(
Donde c es la ordenada en el origen.
Entonces, según la tabla, c = 3 (la imagen de x = 0) ⇒ 32 ++= bxaxy .
Al ser )1()1( ff =− y )2()2( −= ff el eje de simetría es la recta 0=x , el eje OY, por
tanto el vértice está en dicho eje ⇒ .0=b
Por último, como la imagen de x = -1 es y = 4, resulta:
3)1(4 2 +−= a ⇒ 1=a .
.
La ecuación de la parábola es:
32 += xy .
La gráfica:
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40
6.13 Dadas las funciones reales de variable real
12)( 3 +−= xxxf ; xxxg += 22)(
Determina las funciones:
a) .gf +
b) gf 32 −
c) gf o
Solución:
a) La función suma de f y g es otra función real de variable real cuya expresión es:
12))(( 23 +−+=+ xxxxgf .
b) Análogamente, la función gf 32 − es otra función real de variable real cuya
expresión es:
2762)2(3)12(2)(3)(2))(32( 2323 +−−=+−+−=−=− xxxxxxxxgxfxgf .
c) La función gf o , g compuesta con f , está también definida en todo R y tiene de
expresión algebraica:
=++−+=+== 1)2(2)2()2())(())(( 2322 xxxxxxfxgfxgf o
= 1246128 23456 +−−+++ xxxxxx .
6.14 Dadas las funciones reales de variable real
xx
xf 21
)( += ; 2
1)(
+−=
x
xxg
Determina las funciones:
a) (f+g)(0).
b) )0()2(3 gf − .
c) )1)(( −gf o .
d) )1)(( gf o .
Solución:
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41
a) (f+g)(0) no existe pues no existe f(0) ya que la expresión 0
1no tiene sentido, no es
un número real.
b)
14)2
1()4
2
1(3)0()2(3 =−−+=− gf .
c)
2
9)2())1(()1)(( −=−=−=− fgfgf o .
d)
)0())1(()1)(( fgfgf ==o
Al no existir )0(f tampoco existe )1)(( gf o .
7.15 Determina si existen o no el límite de la función siguiente:
f(x) = 3x-4 en x = 1.
Solución:
Para determinarlo, calculamos el valor de la función en puntos cada vez más cercanos a
1, tanto superiores como inferiores a él:
x > 1 1,5 1,1 1,01 1,001
f(x) 0,5 -0,7 -0,97 -0,997
x < 1 0,5 0,9 0,99 0,999
f(x) -2,5 -1,3 -1,03 -1,003
Al aproximarse x a 1, tanto por la derecha ( x > 1) como por la izquierda (x < 1), los valores
correspondientes de la función tienden a -1. Por tanto, -1 es el límite de esta función cuando x
tiende a 1:
1
143lim
→−=−
x
x.
7.16 Determina si existen o no el límite de la función siguiente:
f(x) = x
1 en x = 0.
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
42
Solución:
Para determinarlo, calculamos el valor de la función en puntos cada vez más
cercanos a 0, tanto superiores como inferiores a él:
x > 0 0,5 0,1 0,01 0,001
f(x) 2 10 100 1000
x < 0 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001
f(x) -2 -10 -100 -1000
Al aproximarse x a 0 por la derecha los valores correspondientes de la función se hacen cada
vez mayores. Análogamente, al aproximarse x a 0 por la izquierda los valores
correspondientes de la función se hacen cada vez menores Por tanto, esta función no tiene
límite cuando x tiende a 0.
7.17 Halla a partir de la gráfica los siguientes límites:
a) 0
)(lim
→x
xf
b) 2
)(lim
→x
xf
c) 2
)(lim
−→x
xf
Solución:
a) 0
)(lim
→x
xf= 4.
b) 2
)(lim
→x
xf= 8.
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43
c) 2
)(lim
−→x
xf= -2
7.18 Halla a partir de la gráfica los siguientes límites:
a) 0
)(lim
→x
xf
b) 2
)(lim
→x
xf
Solución:
a) No existe el límite.
b) 2
)(lim
→x
xf= 26.
7.19 Halla a partir de la gráfica los siguientes límites:
a) 4
)(lim
→x
xf
b) 2
)(lim
→x
xf
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
44
Solución:
a) 4
)(lim
→x
xf= -10.
b) 2
)(lim
→x
xf= 0.
8.20 Halla a partir de la gráfica los siguientes límites
a) +−→ 1
)(lim
x
xf
b) −−→ 1
)(lim
x
xf
c) +→ 2
)(lim
x
xf
d) −→ 2
)(lim
x
xf
Solución:
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45
a) +−→ 1
)(lim
x
xf= 5.
b) −−→ 1
)(lim
x
xf= -3.
c) +→ 2
)(lim
x
xf= 10.
d) −→ 2
)(lim
x
xf= -4.
9.21 Observando la gráfica de la función y = f(x) calcula el valor de los siguientes
límites:
a) +→ 1
)(lim
x
xf
b) −→ 1
)(lim
x
xf
c) −→ 0
)(lim
x
xf
d) +→ 0
)(lim
x
xf
e) +−→ 1
)(lim
x
xf
f) −−→ 1
)(lim
x
xf
g) +∞→x
xf )(lim
h) −∞→x
xf )(lim
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46
Solución:
a) +→ 1
)(lim
x
xf= ∞+
b) −→ 1
)(lim
x
xf= ∞−
c) −→ 0
)(lim
x
xf= 0
d) +→ 0
)(lim
x
xf= 0
e) +−→ 1
)(lim
x
xf= ∞−
f) −−→ 1
)(lim
x
xf= ∞+
g) +∞→x
xf )(lim= 0
h) −∞→x
xf )(lim= 0
9.22 Calcula el valor de los siguientes límites:
a) +∞→
+x
x )2(lim 2
b) +∞→
+−x
x )3(lim
c) −∞→
+x
x )2(lim
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47
d) −∞→
+x
x )2(lim 2
Solución:
a) Dando valores a x muy grandes, la función se hace todo lo grande que queramos, es
decir, el límite es ∞+ . En la gráfica se ve muy bien:
b) Análogamente, dando valores a x muy grandes, la función se hace todo lo pequeña
que queramos, es decir, el límite es ∞− . Gráficamente:
c) De nuevo, dando valores a x muy pequeños, la función se hace todo lo pequeña que
queramos, es decir, el límite es ∞− .
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
48
d) Por último, dando valores a x muy pequeños, la función se hace todo lo grande que
queramos, es decir, el límite es ∞+ .
10.23 Sabiendo que 2
4)(lim
→=
x
xf y
2
3)(lim
→=
x
xg, hallar:
a) 2
))()((lim
→−
x
xgxf.
b) 2
))(3)(2(lim
→+
x
xgxf.
Solución:
a) Como el límite de una diferencia de funciones es igual a la resta de los límites, resulta:
2
))()((lim
→−
x
xgxf=
2
)(lim
→x
xf+
2
)(lim
→x
xg= 4 - 3 = 1.
b) Análogamente,
2
))(3)(2(lim
→+
x
xgxf=
2
))(2(lim
→x
xf+
2
))(3(lim
→x
xg=
= 2 2
)(lim
→x
xf+ 3
2
)(lim
→x
xg= 173342 =⋅+⋅ .
10.24 Sean 13)( 2 −= xxf y g 2)( += axx . Halla a, sabiendo que
1
2)()(lim
→=⋅
x
xgxf.
Solución:
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49
Como el límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites, resulta:
2 =1
))()((lim
→⋅
x
xgxf=
1
)(lim
→x
xf.
1
)(lim
→x
xg= 42)2)1(()1)1(3( 2 +=+⋅− aa ⇒
a242 =− ⇒ 1−=a .
10. 25 Sean 12)( 2 −+= xxxf y g2
4)(
+−=
x
xx .Calcula los siguientes límites:
a) 1
))(4)((lim
→−
x
xgxf.
b) 2
))()(2(lim
→⋅
x
xgxf.
Solución:
a) La función f es un polinomio, por tanto 1
2)1()(lim
→==
x
fxf. La función g es un
cociente de polinomios, como 1
032lim
→≠=+
x
x, resulta
1
13
3
2
4lim
→
−=−=+−
xx
x. Así,
1
6)1(42))(4)((lim
→=−−=−
x
xgxf.
b) Análogamente, 2
4)1(22))()(2(lim
→−=−⋅⋅=⋅
x
xgxf.
10. 26 Determina los siguientes límites:
a) +∞→
+−+−
xxx
xxx
13
354lim
23
23
.
b) +∞→
−++−+
xxx
xxx
422
25lim
2
25
.
c) +∞→
++−−
xx
xxx
28
635lim
23
.
Solución:
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
50
a) Como es un cociente de polinomios, el límite depende de los grados del numerador y
del denominador. En nuestro caso son de igual grado, por tanto el límite es el cociente de los
coeficientes de los términos de grado 3 (mayor grado):
+∞→
==+−+−
xxx
xxx4
1
4
13
354lim
23
23
.
b) De nuevo es un cociente de polinomios, el límite depende de los grados del numerador
y del denominador. En este ejercicio es mayor el grado del numerador, entonces el límite es
infinito. Como los coeficientes de mayor grado son de igual signo,
+∞→
+∞=−+
+−+
xxx
xxx
422
25lim
2
25
.
c) En esta función racional es otra vez es mayor el grado del numerador, entonces el
límite es infinito. Al ser los coeficientes de mayor grado de distinto signo,
+∞→
−∞=+
+−−
xx
xxx
28
635lim
23
.
10. 27 Calcula el valor de los siguientes límites:
a) 0
2lim
2
→xx .
b) 3
9
3lim
2
→−−
xx
x.
c) 0
11lim
→
−−
xx
x.
d) 0
1lim
3
→xx .
Solución:
a) Aunque esta función es un cociente de polinomios, no podemos hallar directamente el
límite pues el límite del denominador es nulo. Entonces, para determinar este límite, no
utilizaremos propiedades e iremos a la propia definición de límite.
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
51
Para ello calculamos el valor de la función en puntos cada vez más cercanos a 0, tanto
superiores como inferiores a él:
x > 0 0,5 0,1 0,01 0,001
f(x) 8 200 20000 2000000
x < 1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001
f(x) 8 200 20000 2000000
Al aproximarse x a 0, tanto por la derecha ( x > 0) como por la izquierda (x < 0), los valores
correspondientes de la función se hacen todo lo grande que se quiera. Por tanto, ∞+ es el
límite de esta función cuando x tiende a 0:
0
2lim
2
→
+∞=
xx .
b) Si aplicamos la propiedad del límite del cociente al
39
3lim
2
→−−
xx
x, obtenemos
0
0,
expresión que carece de sentido. Factorizando el denominador y simplificando:
26
1
3
1lim
3
)3)(3(
3lim
39
3lim
2
→
=+
→
=−+
−
→
=−−
xx
xxx
x
xx
x.
c) Si aplicamos la propiedad del límite del cociente al
0
11lim
→
−−
xx
x, obtenemos
0
0, expresión que carece de sentido. Como aparece un radical, multiplicamos y dividimos
por la expresión conjugada:
( )=
→−+
−−=
→−+
−+−−=
→
−−
0
)11(
)11(lim
0
)11(
)11)(11(lim
0
11lim
21
xxx
x
xxx
xx
xx
x
02
1
11
1lim
0
)11(lim
→
=−+=
→−+=
xx
xxx
x.
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
52
d) Calculamos el valor de la función en puntos cada vez más cercanos a 0, tanto superiores
como inferiores a él:
x > 0 0,5 0,1 0,01 0,001
f(x) 8 1000 1000000 1000000000
x < 1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001
f(x) -8 -1000 -1000000 -1000000000
Al aproximarse x a 0, por la derecha ( x > 0) los valores correspondientes de la función se
hacen todo lo grande que se quiera. Por tanto, ∞+ es el límite de esta función cuando x tiende
a 0 por la derecha es:
+→
+∞=
0
1lim
3
xx .
En cambio, al acercarse x a 0, por la izquierda ( x < 0) los valores correspondientes de la
función se hacen todo lo pequeño que se quiera. Por tanto, ∞− es el límite de esta función
cuando x tiende a 0 por la izquierda es:
−→
−∞=
0
1lim
3
xx .
Como los límites laterales no coinciden esta función no tiene límite en cero.
10. 28 Halla los siguientes límites:
a) 0
4)2(lim
2
→
−+
xx
x.
b)
2
4
8lim
2
3
−→−+
xx
x.
c)
1
1lim
2
2
→−−
xx
xx.
Solución:
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
53
a) Si aplicamos la propiedad del límite del cociente al
0
4)2(lim
2
→
−+
xx
x, obtenemos
0
0, expresión que carece de sentido. Operando, factorizando y simplificando resulta:
0
4lim
0
444lim
0
4)2(lim
222
→
=+
→
=−++
→
=−+
xx
xx
xx
xx
xx
x.
= 0
4)4(lim
0
)4(lim
→=+
→
=+
x
x
xx
xx.
b) Análogamente, factorizando y simplificando:
2
34
12
2
42lim
0)2)(2(
)42)(2(lim
24
8lim
22
2
3
−→
−=−
=−
+−
→
=−+
+−+
−→
=−+
xx
xx
xxx
xxx
xx
x.
c) De nuevo, factorizando y simplificando:
12
1
1lim
1
)1)(1(
)1(lim
11
lim2
2
→
=+
→
=−+
−
→
=−−
xx
x
xxx
xx
xx
xx.
10. 29 Calcula los siguientes límites de funciones racionales cuando existan:
a) −∞→
+
xx
x2
45lim
.
b) +∞→
++
xx
x
4
3lim
2
3
.
c) −∞→
++−+−
xxx
xx
24
13lim
2
2
.
Solución:
a) Si calculamos el límite en el infinito resulta, aplicando la propiedad del límite del
cociente, ∞∞ expresión que carece de sentido. Dividiendo el numerador y el
denominador por 2x , potencia máxima se tiene:
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
54
−∞→
=+
−∞→
=+
−∞→
=+
−∞→
=+
xx
xx
xx
xxx
x
xx
x0
1
00lim
1
44
lim
45
lim45
lim 2
2
2
22
2 .
b) Análogamente, dividiendo por la potencia mayor, en este caso 3x :
+∞→
+∞=++
+∞→
=+
+
+∞→
=+
+
+∞→
=++
xx
xx
x
xxx
xxx
x
xx
x00
01lim
41
31
lim4
3
lim4
3lim
3
3
33
2
33
3
2
3
.
c) De la misma forma, dividiendo numerador y denominador por 2x resulta:
−∞→
=++
−+−
−∞→
=++
−+−
xxx
x
x
xxx
x
x
x
xxx
xx
222
2
222
2
2
2
24
13
lim24
13lim
−∞→
−=++−+−
−∞→
=++
−+−
=x
xxx
xx1
001
001lim
241
131
lim
2
2
.
10. 30 Halla los siguientes límites de funciones irracionales:
a)
22
86lim 3
2
2
→−−+−
xxx
xx.
b)
2
53
4lim
2
2
→+−
−
xx
x.
Solución:
a) Como es una raíz de orden impar, no es necesario que el radicando sea positivo.
Aplicando la propiedad nn
ax
xf
ax
xf→
=→
)(lim)((limresulta:
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55
33 2
2
32
2
0
0
22
86lim
22
86lim =
→−−+−
=→
−−+−
xxx
xx
xxx
xx.
Para deshacer la indeterminación 0
0, factorizamos numerador y denominador,
utilizando la regla de Ruffini para a = 2, y simplificamos:
33333 2
2
3
2
3
2
2
)1(
)4(lim
2
)1)(2(
)4)(2(lim
22
86lim −=−=
→+−
=→
+−−−
=→
−−+−
xx
x
xxx
xx
xxx
xx.
b) Al sustituir x por 2 en la expresión 53
4
2
2
+−−x
xse obtiene de nuevo una
indeterminación del tipo 0
0. Como aparece un radical (no es posible utilizar la regla de
Ruffini para factorizar) hay que multiplicar y dividir por la expresión conjugada para poder
simplificar:
2
)53)(53(
)53)(4(lim
2
53
4lim
22
22
2
2
→
=+++−
++−=
→+−
−
x
xx
xx
xx
x
2
6)53(lim
24
)53)(4(lim
2
)5(3
)53)(4(lim 2
2
22
222
22
→=++
→
=−
++−
→
=+−
++−=
x
x
xx
xx
xx
xx.
10. 31 Calcula los siguientes límites de funciones irracionales cuando existan:
a) +∞→
−−x
xx 5lim 2
.
b)
+∞→
+−+
xx
xx 75lim
.
Solución:
a) Es una indeterminación del tipo ∞−∞ . Se resuelve multiplicando y dividiendo por
la expresión conjugada:
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56
=+∞→
−+
−−=
+∞→−+
−+−−=
+∞→−−
xxx
xx
xxx
xxxx
x
xx5
)5(lim
5
)5)(5(lim5lim
2
222
2
222
05
5
5lim
5
5lim
22
22
=∞+
=+∞→
−+=+∞→
−+
+−=
xxx
xxx
xx.
b) Es una indeterminación del tipo 0
0, que, como tiene radicales, se resuelve
multiplicando y dividiendo de nuevo por la expresión conjugada:
( )( )( )
+∞→
=+++
++++−+
+∞→
=+−+
xxxx
xxxx
xx
xx
75
7575lim
75lim
( ) ( )( ) ( ) 0
2lim
75
2lim
75
75lim
22
+∞→
=∞+
−
+∞→
=+++
−
+∞→
=+++
+−+=
xxxxx
xxxx
xx
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57
7. Actividades propuestas
1. Expresa, mediante una fórmula, la relación que existe entre las magnitudes:
a) El radio de una circunferencia y su longitud.
b) El lado de un cuadrado y su área.
c) El radio de una esfera y su volumen.
2. La tarifa para mandar un telegrama es la siguiente: 80 céntimos de cuota fija y 5
céntimos por palabra.
a) Expresa la relación entre tarifa y número de palabras mediante una tabla.
b) Exprésala también mediante una gráfica.
c) Determina la fórmula que relaciona ambas.
3. Dada la función f que asocia a cada número real su tercera parte más 5 unidades
Halla su expresión algebraica
a) Calcula f(6), f(-1) y f(1/4).
b) Determina el dominio y el recorrido de f.
4. Señala si la relación que asocia a cada número real su raíz cuadrada es una función.
a) Calcula el valor de la variable dependiente para los valores de x = 0, x = 1, x = 3 y
x = -4
b) Halla el dominio y el recorrido.
5. Dadas las funciones reales de variable real
1
23)(
−+=x
xxf ;
3
2)(
+=x
xxg
Determina las funciones:
a) (f+g)(1).
b) )2()1(2 gf −− .
c) )3)(( −gf o .
d) )1)(( gf o .
6. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son indeterminaciones?
a) )()( −∞−+∞
b) )()( +∞−+∞
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
58
c) ∞0
d) 0
∞
e) )()( −∞+−∞
7. Determina, utilizando la gráfica de f(x), los puntos de R donde no existe límite de la
función.
8. Utilizando la gráfica de f(x), calcula los puntos de R en donde la función tiene por
límite ∞+ o ∞− .
9. Dada la gráfica de la función f(x), calcula los siguientes límites:
a) +∞→x
xf )(lim.
b) 2
)(lim
→x
xf.
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59
c) 0
)(lim
→x
xf.
d) +−→ 4
)(lim
x
xf.
e) 6
)(lim
−→x
xf.
f) −∞→x
xf )(lim.
10. Calcula +∞→x
xf )(limpara las funciones:
a) 57
43)(
−+=
x
xxf .
b) 12
3)(
2 +−+=xx
xxf .
11. Determina el valor de −∞→
+−x
xx 4lim 2
.
12. Calcula los siguientes límites de funciones:
a) 2
53lim 3
→−+
x
xx.
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
60
b) 3
9
27lim
2
3
−→−
+
xx
x.
13. Calcula los siguientes límites de funciones racionales:
a) +∞→
+−+−+
xxx
xxx
19
273lim
3
23
.
b) +∞→
++−+−
xxx
xx
16
4lim
2
3
.
c)
+∞→++−
xx
x
3
5lim
2 .
14. Calcula los siguientes límites de funciones irracionales:
a) +∞→
−−+x
xxx 14lim 2
.
b) 1
1
2312lim
→−
−−−
xx
xx.
c) ( )
+∞→−−+
x
xx 22lim 22
.
15. ¿Existe el límite de la función 4
1)(
2 −=x
xf en 2=x ?
16. Estudia el límite de 1
1)(
3
2
−−=
x
xxf en 1=x .
17. Calcula:
416
422lim
2
→−
−−
xx
x.
18. Calcula: ( )
+∞→−+
x
xxx 1lim 2
.
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8. Bibliografía
“Matemáticas. Álgebra-Cálculo-Geometría-Probabilidad” Serie Schaum. ED.
McGrauw-Hill.
“Matemáticas. 1ºBachillerato.” Ed. Edelvives.
“Matemáticas. 2ºBachillerato.” Ed. MCGraw-Hill.
“Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales. 2ºBachillerato.” Ed. SM.
“Problemas de Matemáticas Especiales”(1989) Cuadernos de la UNED, nº 80.
“Problemas de Matemáticas Especiales”(1995). Mª E. Ballvé y otros. Ed. Sanz y
Torres. Madrid
http://www.vadenumeros.es/tercero/indice-tercero-de-eso.htm
www.juntadeandalucia.es/averroes/iesbajoguadalquivir/mat/cuartob/mates4esob.htm
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9. Prueba de autoevaluación final
1.- Utilizando la gráfica de la función
Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) Existe límite en x = 0.
b) Existe límite en x = 1.
c) No existe límite en x = 4.
d) No existe límite en x = 0.
2.- A partir de la gráfica de la función
Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) +→−=
0
1)(lim
x
xf.
b) −→=
2
4)(lim
x
xf.
c) 2
4)(lim
→=
x
xf.
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63
d) 0
0)(lim
→=
x
xf.
3. – El 2
)(lim
−→xxf
de la función representada en la siguiente gráfica es:
a) ∞+ .
b) 2.
c) 0.
d) No existe.
4.- Señala la afirmación verdadera:
a) −→
∞−=+−1
)12(lim 2
x
xx.
b) No existe −→
+−1
)12(lim 2
x
xx.
c) No existe +→
+−1
)12(lim 2
x
xx.
d) −→
=+−1
0)12(lim 2
x
xx.
5.- Señala la afirmación verdadera:
a) 0
1)1)(1(lim
→
+∞=++−
xx
xx.
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64
b) 0
1)1)(1(lim
→
−∞=++−
xx
xx.
c) 0
01)1)(1(
lim
→
=++−
xx
xx.
d) No existe
0
1)1)(1(lim
→
++−
xx
xx.
6.- Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) +∞→
=+−
−−
xxx
xxx2
132
3lim
3
23
.
b) +∞→
=+−
−−
xxx
xxx2/1
132
3lim
3
23
.
c) No existe
+∞→+−
−−
xxx
xxx
132
3lim
3
23
.
d) +∞→
=+−
−−
xxx
xxx0
132
3lim
3
23
.
7.- Señala la afirmación verdadera:
a) No existe
+∞→++
xx
x
1
1lim
2 .
b) +∞→
=++
xx
x0
1
1lim
2 .
c) +∞→
=++
xx
x1
1
1lim
2 .
d) +∞→
−=++
xx
x1
1
1lim
2 .
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8.- Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) +∞→
−∞=++−
xx
xx
4
2lim
2
3
.
b) +∞→
+∞=++−
xx
xx
4
2lim
2
3
.
c) No existe
+∞→++−
xx
xx
4
2lim
2
3
.
d) +∞→
=++−
xx
xx0
4
2lim
2
3
.
9.- Señala la afirmación verdadera:
a)
0
1164
39lim
→
−=+−−+
xx
x.
b)
0
3/4164
39lim
→
−=+−−+
xx
x
c)
0
0164
39lim
→
=+−−+
xx
x
d) No existe
0164
39lim
→+−−+
xx
x.
10.- Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) +∞→
=+−x
xx 0)1(lim 2
.
b) +∞→
−∞=+−x
xx )1(lim 2
.
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c) +∞→
+∞=+−x
xx )1(lim 2
.
d) No existe+∞→
+−x
xx )1(lim 2
.
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67
Soluciones a la Prueba de Autoevaluación final 1 → a
2 → b
3 → d
4 → d
5 → c
6 → b
7 → b
8 → a
9 → b
10 → a