MATRIKS

Matriks 37

MATRIKS PENGERTIAN MATRIKSMatriks adalah beberapa elemen yang disajikan dalam bentuk jajaran segiempat yang terdiri dari m baris dan n kolom.

Misalkan matriks A =

REPRESENTASI MATRIKSSecara umum, suatu matriks dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :

A = Amxn = aij = elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A ; i = 1, 2, 3, , m j = 1, 2, 3, , n Jajaran mendatar disebut baris. Jajaran vertikal disebut kolomMatriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks mxn, ditulis AmxnNotasi Matriks :Suatu matriks bisa ditulis dengan notasi : Huruf besar : A, B, C, . Huruf besar dengan indeks ukuran matriks, misalnya : Amxn ; Bnxp ; .. Huruf besar dengan notasi elemen : A = [aij] , dengan i = 1, 2, , m j = 1, 2, , nMatriks baris (vektor baris) matriks yang hanya terdiri dari satu barisMatriks kolom (vektor kolom) matriks yang terdiri dari satu kolom.Notasi untuk matriks baris atau kolom biasanya ditulis dengan huruf kecil yang dicetak tebal.Misalnya :a = [ a1 a2 an ] matriks baris yang terdiri dari n kolom

b = matriks kolom yang terdiri dari m barisMatriks Bujur Sangkar matriks dengan banyak baris = banyak kolomMatriks bujur sangkar nxn dikatakan mempunyai orde atau ordo n.

Contoh : A2x2 = matriks bujur sangkar berordo 2

Jika diberikan matriks Amxn , maka sub-matriks dari Amxn adalah sembarang matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris atau kolom dari matriks AmxnMisal :

Matriks A2x3 = mempunyai 3 buah sub-matriks 2x2 sebagai berikut :

; ;

Matriks padat (fully populated) matriks yang semua elemennya tidak nolMatriks jarang (sparse matrix) matriks yang sebagian kecil elemennya tidak nol dan elemen lainnya nol.Matriks nol (null matrix) adalah matriks dengan semua elemen nol, dinotasikan dengan 0mxn

OPERASI ALJABAR DALAM MATRIKS1. Kesamaan Dua MatriksMatriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jikaordonya sama dan aij = bij , untuk i = 1, 2, 3, , m dan j = 1, 2, 3, , nA = B atau [aij] = [bij]

dan ditulis dengan

Contoh : A = dikatakan sama dengan B = Jika dan hanya jika : a11 = 4 ; a12 = 0 ; a21 = 3 . a22 = -1

2. Penjumlahan MatriksPenjumlahan 2 matriks hanya bisa dilakukan jika keduanya mempunyai ordo sama. Jika A = Amxn = [aij] dan B = Bmxn = [bij] ; maka A + B = [aij] + [bij] = [aij + bij]

i = 1, 2, , m j = 1, 2, , n

Contoh : A = ; B = ; maka : A + B =

3. Invers Terhadap Operasi Penjumlahan (additive inverse)Jika A = [aij] , maka A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks A dengan 1. A = [aij] = [aij]

Contoh : Jika A = ; maka A = 4. Pengurangan MatriksPengurangan dua matriks hanya bisa dilakukan jika kedua matriks mempunyai ordo yang sama. Jika A = Amxn = [aij] dan B = Bmxn = [bij] ; maka A - B = A + (-B) = [aij] + [-bij] = [aij - bij]

i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n

Contoh : A = ; B = ; maka : A B =

Sifat-sifat penjumlahan matriks :a. A + B = B + A ( sifat komutatif)b. (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (sifat asosiatif)c. A + 0 = A (mempunyai elemen netral terhadap jumlahan, yaitu matriks nol 0)d. A + ( A) = 0 (mempunyai elemen invers terhadap operasi penjumlahan)5. Perkalian Matriks Dengan SkalarHasil kali matriks Amxn = [aij] dengan skalar c , ditulis cA atau Ac adalah matriks mxn yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks Amxn dengan skalar c.

Jadi jika : A = Amxn = = [aij]

maka : cA = Ac = = c [aij] = [c aij]Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :a. c(A + B) = cA + cB ; c = sembarang skalarb. (c + k) A = cA + k A ; c dan k = sembarang skalarc. c(kA) = (ck) Ad. 1(A) = A 4. Perkalian Matriks Dengan MatriksMisalkan A = Amxn = [aij];B = Brxp = [bij]Perkalian antara matriks A dengan matriks B hanya bisa dilakukan jika r = n (banyaknya baris matriks B = banyaknya kolom matriks A), dan :A x B = Amxn x Brxp = Cmxp = [cij]

dengan cij = = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + .+ ainbnj ; i = 1, 2, , m j = 1, 2, , n

Contoh : x =

=

Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks :a. (kA)(B) = k(AB) = A (kB) = kAB ; k = sembarang skalarb. A(BC) = (AB)C = ABC c. A(B+C) = AB + ACd. C(A+B) = CA + CBe. AB BAf. Jika AB = 0 tidak selalu A = 0 atau B = 0

MATRIKS-MATRIKS KHUSUS Jika : A = Anxn = [aij] = adalah matriks bujur sangkar, maka elemen : a11 ; a22 ; a33 ; . ; ann dari matriks A disebut elemen diagonal utama matriks A

Matriks Segi TigaMatriks Segitiga Bawah adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di atas diagonal utama semuanya nol.

Contoh : T1 = Matriks Segitiga Atas adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di bawah diagonal utama semuanya nol.

Contoh : T2 = Matriks DiagonalMatriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di bawah dan di atas diagonal utama semuanya nol. Atau aij = 0 untuk i j

Contoh : A = ; B = Matriks SkalarMatriks Skalar adalah matriks diagonal dengan elemen dalam diagonal utama semuanya sama.

Contoh : S = ; c = skalar

Matriks Satuan (Matriks Identitas) = InMatriks identitas adalah matriks skalar dengan c = 1

Contoh : In = Inxn = = matriks identitas berordo-n

Transpos Matriks (Matriks Transposisi)Transpos dari matriks A = Amxn = [aij] ; ditulis AT = ATnxm adalah matriks berordo nxm yang diperoleh dengan mengganti kolom dari matriks A menjadi baris matriks AT dan baris dari matriks A menjadi kolom matriks AT. Jadi jika,

A = Amxn = [aij] = , maka

AT = ATnxm = [aji] = Sifat Matriks Transpos :a. (A + B)T = AT + BT b. (AB)T = BT AT c. (AT)T = A

Matriks OrtogonalMatriks bujur sangkar A disebut matriks orthogonal jika memenuhi: A AT = AT A = I

Contoh : A = adalah matriks orthogonal, karena

A AT = =

Matriks Bujur Sangkar Anxn = [aij] dikatakan Simetris jika : AT = A atau [aij] = [aji]

untuk semua i = 1, 2, 3, .., n dan j = 1, 2, 3, .., n

Contoh : A =

Matriks Bujur Sangkar Anxn = [aij] dikatakan Skew Simetris jika : AT = A atau [aij] = [ aji]

untuk semua i = 1, 2, 3, .., n dan j = 1, 2, 3, .., nSehingga elemen diagonal utamanya pasti nol, karena : aii = aii ; i = 1, 2, 3, ., n ajj = ajj ; j = 1, 2, 3, ., n

Contoh : A =

Jika A adalah matriks dengan elemen bilangan kompleks dan jika semua elemen aij diganti dengan kompleks sekawannya , maka matriks yang diperoleh disebut matriks Kompleks Sekawan (Complex Conjugate) dari matriks A, ditulis

Contoh : Jika A = [aij] = ; maka

= []=

Jika A = [aij] adalah matriks dengan elemen bilangan kompleks, maka

AH = = [] disebut matriks Transpos Hermite (Hermitian Transpose) dari matriks A , yaitu transpos dari kompleks sekawan matriks A.

Contoh : Jika A = [aij] = maka :

AH = = [] =

Matriks Bujur Sangkar A disebut Matriks Hermit (Hermitian Matrix) jika :

AH = A atau [] = [aij]

Contoh : A =

=

AH = = = A Jika A = C + iD dengan C matriks simetris dan D matriks skew simetris maka A merupakan matriks Hermite.

Dari contoh di atas: + i= C + i D = A

Jika diberikan matriks kolom (vektor kolom) :

x = dan y = maka : xT y = [ x1 x2 .. xn ] = = yTx

xT x = [ x1 x2 .. xn ] = DETERMINAN MATRIKSSetiap matriks bujur sangkar Anxn mempunyai determinan, yaitu suatu nilai yang bisa dihitung dari elemen matriks Anxn yang dinotasikan dengan det A atau

; determinan dari matriks Anxn dengan aij = elemen baris ke-i dan kolom ke-j ; i = 1, 2, 3, ......, nj = 1, 2, 3, ......, n

DETERMINAN MINORMij = determinan minor dari elemen aij ; i = 1, 2, 3, ......, nj = 1, 2, 3, ......, n= determinan orde-(n-1) yang diperoleh dari suatu determinan orde-n dengan meng- hapus baris ke-i dan kolom ke-j.

Contoh :Jika diberikan determinan A seperti di atas, maka :

=

DETERMINAN KOFAKTORKij = determinan kofaktor dari elemen aij ; i = 1, 2, 3, ......, nj = 1, 2, 3, ......, n = (-1)i+j Mij

Contoh :

= MENGHITUNG NILAI DETERMINANNilai determinan matriks bujur sangkar Anxn dapat ditentukan dengan rumus berikut :

= det A = == ; untuk i tertentu diantara i = 1, 2, 3, , n

atau = = ; untuk j tertentu diantara j = 1, 2, 3, , n

dengan :Mij = determinan minor dari aij = determinan dari matriks (n1) x (n1) yang diperoleh dari matriks Anxn dengan menghilangkan baris i dan kolom j Kij = kofaktor dari aij = (1) i+j Mij

a. Determinan Orde-2 atau (2x2) :

= a11 a22 a12 a21 +Contoh :

1. = 2(-2) (3)(-1) = - 4 + 3 = -1

2. = -2(2) (-1)(3) = - 4 + 3 = -1

3. = -1(3) (-2)(2) = - 3 + 4 = 1

4. = 3(-1) (2)(-2) = - 3 + 4 = 1

b. Determinan Orde-3 atau (3x3) :Metoda Sarrus :

+ + + = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33)

Contoh :

= + + +

= [(3)(1)(2) + (-2)(-1)(-2) + (2)(6)(-3)] [(2)(1)(-2) + (3)(-1)(-3) + (-2)(6)(2)] = [ 6 4 36 ] [ - 4 + 9 24 ] = 34 + 19 = 15

c. Determinan Orde-n atau ( n x n ) :

= ; dengan mengambil salah satu baris i sembarang di antara i = 1, 2, 3, ........, n

= ; dengan mengambil salah satu kolom j sembarang di antara j = 1, 2, 3, ........, n

= Jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada salah satu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian dengan masing-masing elemen tersebut.

Contoh :1. Menghitung =

*) Misalkan dipilih elemen baris ke-3 i = 3 , maka :

= = = = (-1)3+1 a31 M31 + (-1)3+2 a32 M32 + (-1)3+3 a33 M33 + (-1)3+4 a34 M34

= +1 0 2 2 = [(-5+0+18)(-30+0+2)] 0 2[(4+0+18)(24+0+3)] 2[(12-20+6)(8-20+9)] = (13 + 28) 2(22 - 27) 2(-2 + 3) = 41 + 10 2 = 49

2.

= = = = (-1)1+2 0 M12 + (-1)2+2 1M22 + (-1)3+2 0 M32 + (-1)4+2 0 M42 + (-1)5+2 0 M52

= M22 = = = = (-1)1+2 (-1) M12 + (-1)2+2 0M22 + (-1)3+2 (2) M32 + (-1)4+2 0 M42 = M12 2 M32

= - 2 = [(27 + 2 + 8) (-3 12 + 12)] 2 [(6 -1 18) (3 + 4 + 9)] = 40 + 58 = 98

SIFAT-SIFAT DETERMINAN1. Jika setiap baris ditulis sebagai kolom dan setiap kolom ditulis sebagai baris, maka nilai determinan tidak akan berubah.

= Karena : = ( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) ( a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ) = ( a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a23 a12 ) ( a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a12 a21 ) Contoh :

== (-1)1+2 (-1)= (8+2+0) (06+6) = 10

== (-1)2+1(-1)= (8+0+2)(06+6) = 10

2. Jika setiap elemen dalam satu baris atau kolom dikalikan dengan faktor k, maka nilai determinan yang dihasilkan adalah k kali nilai determinan sebelumnya.Contoh :a.

= p b.

= kpm c.

= 2= 2. 3=2.3.2 = 12 [(1 - 1 + 0) (0 + 0 + 1)] = -12

3. Jika seluruh elemen dalam satu baris (atau kolom) adalah nol, maka nilai deter-minannya adalah nol.Contoh :

= - 0 + 0 - 0 = 0

4. Jika seluruh elemen dalam satu baris (atau kolom) merupakan jumlahan dari 2 suku atau lebih, maka determinan bisa ditulis dalam bentuk jumlahan 2 atau lebih determinan.Contoh :

= +

5. Jika 2 baris (atau kolom) ditukar, maka nilai determinan akan berubah tanda.

= ==

= = = 6. Jika elemen-elemen yang bersesuaian dalam 2 baris atau kolom sebanding, maka nilai determinannya adalah nol. Contoh :a. = (a1b2a3+ b1 a2 a3+ a1 b3 a2) (a1 b2 a3+ a2 b3 a1+ a3 a2 b1) = 0 b.

= k = k 0 = 0c.

= 2 = 2 . 0 = 0

7. Jika setiap elemen dalam satu baris (atau kolom) dari determinan ditambah dengan m kali elemen yang bersesuaian dari baris (atau kolom) lain, maka nilai determinan tidak berubah ( bilangan m boleh positif atau negatif).Contoh :a.

=+

=+ 0 = b.

= = 2 = 2 [(300 48 180) - (-576 37,5 + 120)] = 2 ( 72 + 493,5) = 2 (565,5) = 1131

SOAL-SOAL LATIHAN : Hitung nilai determinan-determinan berikut :1.

2.

3.

4.

5.

6.

INVERS MATRIKSInvers suatu matriks hanya bisa ditentukan pada matriks bujur sangkar.Definisi : Invers dari matriks A = Anxn = [aij] , ditulis dengan A-1 adalah matriks nxn yang memenuhi : A A-1 = A-1 A = Inxn = I ( I adalah matriks identitas nxn).

Jika matriks A mempunyai invers maka A disebut matriks Non Singular, jika tidak disebut matriks Singular. Jika A mempunyai invers maka inversnya pasti tunggal

Menentukan Invers Matriks :

Jika A = Anxn = [aij] =

Invers dari matriks A = A-1 ditentukan dengan : A-1 = =

det A = = determinan matriks A

= Adjoint A = adjoint dari matriks A = [Kij]T = [ (-1)i+j Mij]T

= =

= Atau :

A-1 =

=

Contoh : 1. Jika A = maka

= (0 2 4) (0 12 + 1) = 6 + 11 = 5

M11 = = 4 ; M12 = = 3 ; M13 = = 2

M21 = = 5 ; M22 = = 5 ; M23 = = 5

M31 = = 2 ; M32 = = 4 ; M33 = = 1

A-1 == =

AA-1 = = = I

2. B =det B = 32 2 = 30M11 = 8; M12 = 1 ; M21 = 2 ; M22 = 4

==

B-1 =

SISTEM PERSAMAAN LINIER PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIERSistem persamaan linier (SPL) adalah sekumpulan m persamaan linier yang simultan dengan n buah variabel ( x1 , x2 , .., xn) yang berbentuk : a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2a31 x1 + a32 x2 + + a3n xn = b3 : : : : : : : :am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm

Sistem Persamaan Linier yang terdiri dari m persamaan dan n besaran yang tidak diketahui (variabel) : x1 , x2 , x3, ., xn. bisa ditulis dalam bentuk perkalian matriks :

= atau : A X = BPenyelesaian dari SPL yaitu nilai dari semua xi harus memenuhi seluruh persamaan (m persamaan) secara simultan atau serentak, sehingga sering disebut dengan penyelesaian simultan dari SPL.Apabila semua bi untuk i = 1, 2, 3, .., m bernilai nol, maka SPL nya disebut HomogenApabila terdapat nilai bi yang tidak nol, maka SPL nya disebut Non Homogen.

SPL NON HOMOGEN DENGAN n PERSAMAAN dan n VARIABELa11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2a31 x1 + a32 x2 + + a3n xn = b3 : : : : : : : :an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bn

= = determinan koefisien = det AJika dikalikan dengan salah satu variable , misalkan x1 , maka :

. x1 = x1 = Nilai determinan ini tidak akan berubah jika elemen kolom 1 ditambah dengan x2 kali elemen kolom 2, x3 kali elemen kolom 3, , xn kali elemen kolom n, sebagai berikut :

. x1 =

. x1 = = 1

Sehingga : . x1 = 1 x1 = ; dengan syarat 0Dengan cara yang sama akan diperoleh :

x2 =

x3 = :

xn = Atau :xi = ; dengan syarat 0

dengan : = determinan koefisien. i = determinan orde-n yang diperoleh dari determinan koefisien dengan meng-ganti elemen kolom ke-i dengan elemen ruas kanan atau suku konstan bi.

Metoda penyelesaian SPL seperti ini disebut Metoda Cramer.Contoh : Selesaikan SPL :2 x + 3 y = 283 y + 4 z = 46 4 z + 5 x = 53Atau :

= Penyelesaian :

= = 3. 4 . = 12 (2 + 5 + 0 0 0 0 ) = 84

x = = 12 = 12 (28 + 53 46) = 420

y = = 4 = 4.2. = 8 (46 + 70 53) = 504

z = = 3 = 3 (106 + 230 140) = 588Sehingga :

x = = = 5

y = = = 6

z = = = 7

Untuk SPL Non-Homogen dengan n persamaan dengan n variabel , berlaku :a. Jika 0 , maka SPL mempunyai penyelesaian tunggal.b. Jika 0 dan semua i = 0 , maka SPL mempunyai penyelesaian nol (trivial), yaitu xi = 0 untuk semua i.c. Jika = 0 dan terdapat i 0 , maka SPL tidak mempunyai penyelesaian (inconsistent).d. Jika SPL mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak berhingga (tidak tunggal), maka = 0 dengan semua i = 0, untuk sebaliknya belum tentu berlaku.Contoh : 1. SPL : x 3y + 2z = 4 2x + y 3z = -2 4x 5y + z = 5

= = (1 + 36 20) (8 + 15 6) = 17 17 = 0

x = = (4 + 45 + 20) (10 + 60 + 6) = 69 76 = -17 Karena = 0 dan terdapat x = -17 0 maka SPL tidak mempunyai penyelesaian.Atau :(i) x 3y + 2z = 4 (*2) 2x 6y + 4z = 8 (ii) 2x + y 3z = -2 2x + y 3z = -2 + 4x 5y + z = 6Sementara dari persamaan (iii) : 4x 5y + z = 5, berarti inconsistent

2. SPL :

= = 2.3.(-1) = 0

x = = -1. 3 = 0

y = = 2. 3 = 0

z = = -1. 2 = 0SPL tidak mempunyai penyelesaian, karena persamaan (ii) dan (iii) inconsistent.

3. SPL : 2x + y 2z = 4(i) x 2y + z = -2(ii) 5x 5y + z = -2(iii)

= = (- 4 + 5 + 10) (20 -10 + 1) = 11 11 = 0

x = = (-8 2 20 ) (-8 20 2) = 0

y = = (-4 + 20 + 4) ( 20 4 + 4) = 0

z = = (8 10 20) (- 40 + 20 2) = 0Tetapi : (i) : 2x + y 2z = 4(ii)*2 : 2x 4y + 2z = - 4 5y 4z = 8 5 y = 4z + 8

y =

Dari persamaan (ii) : x = 2y z 2 = = Persamaan (iii) : 5x 5y + z = -2

5() 5. + z = - 2 3z + 6 4z 8 + z = - 2 - 2 = - 2 ( memenuhi / consistent )Sehingga penyelesaiannya :

x =

y = z = z

Jadi terdapat banyak sekali penyelesaian (banyaknya penyelesaian tak terhingga), tergantung dari nilai z yang diberikan.Misalnya :

Untuk z = 0 x = ; y = Untuk z = 3 x = 3 ; y = 4 dan seterusnya.

SPL NON-HOMOGEN DENGAN m PERSAMAAN, n VARIABEL a. SPL dengan (n +1) persamaan dan n variabelMisalkan SPL : a1 x + b1 y = c1(i) a2 x + b2 y = c2 (ii)a3 x + b3 y = c3(iii)Umumnya SPL semacam ini inconsistent (tidak punya penyelesaian).Tetapi, jika 2 dari 3 persamaan tersebut consistent (punya penyelesaian) dan penyelesaiannya memenuhi 1 persamaan yang lain, maka SPL akan consistent.Jadi misalkan persamaan (i) dan (ii) independent dan consistent , berarti :

= 0

x = ; y = Agar SPL mempunyai penyelesaian (consistent), maka x dan y harus memenuhi (iii), sehingga :

a3 + b3 = c3 atau

a3 + b3 c3 = 0atau

det K = = 0

Jadi syarat perlu dan cukup agar SPL dengan (n+1) persamaan dan n variabel akan mempunyai penyelesaian adalah : 1. Determinan orde-(n+1) yang dibentuk dari determinan koefisien dan suku konstan (elemen ruas kanan) harus = 0 atau det K = 02. Determinan orde-n yang elemen-elemennya terdiri dari koefisien sembarang n persamaan harus 0 atau 0.

b. SPL dengan m persamaan dan n variabel (m >n).Jika diantara n persamaan dari SPL tersebut consistent dan penyelesaian xi ; untuk i = 1, 2, 3, .., n memenuhi (m-n) persamaan sisanya maka SPL akan consistent ; jika tidak maka SPL inconsistent.c. SPL dengan m persamaan dan n variabel (m < n).SPL ini akan mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak terhingga. Dalam hal ini, m variabel bisa dinyatakan dalam bentuk (n-m) variabel sisanya.

Contoh :1. SPL : x + y + z = 0 x + y + 3z = 22x 3y 5z = 83x 2y 8z = 4 SPL dengan 4 persamaan dan 3 variabel

det K = = = 1

= -5(2) = -10 = - 10 = -10 (4 4) = 0Jadi SPL mempunyai penyelesaian.Ambil 3 persamaan pertama : x + y + z = 0 x + y + 3z = 2 2x 3y 5z = 8

= = (- 5 + 6 3) (2 9 5) = - 2 + 12 = 10

x = = (0 + 24 6) (8 + 0 10) = 20

y = = (-10 + 0 + 8) ( 4 0 + 24) = -30

z = = (8 + 4 + 0) ( 0 6 + 8) = 10Jadi :

x = = = 2 masuk persamaan (iv) : 3(2) -2(-3) 8(1) = 4

y = = = - 3 6 + 6 8 = 4

z = = = 1 4 = 4 (consistent)2. SPL : x1 + x2 + x3 = 3 SPL dengan 2 persamaan, 3 variabel 3 x1 + 4 x2 + 5 x3 = 13 x1 + x2 = 3 - x3 x1 dan x2 dinyatakan dalam bentuk x3 3 x1 + 4 x2 = 13 - 5 x3

= = 4 3 = 1

1 = = 4(3 x3) (13 5 x3) = x3 1

2 = = (13 5 x3) 3 (3 x3) = - 2 x3 + 4Jadi :

x1 = = = x3 1

x2 = = = - 2x3 + 4 x3 = x3 (bisa diberi harga sembarang)

Misalkan : x3 = 0 maka x1 = -1 ; x2 = 4 x3 = 2 maka x1 = 1 ; x2 = 0 x3 = 1 maka x1 = 0 ; x2 = 2 dan seterusnya.

SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGENa11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0a31 x1 + a32 x2 + + a3n xn = 0 : : : :am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = 0 SPL Homogen paling tidak pasti mempunyai penyelesaian trivial ( xi = 0 untuk semua i )

a. SPL Homogen dengan n persamaan dan n variabela11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0 : : : :an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = 0 Atau :a11 x1 + a12 x2 + + a1 n-1 xn-1 = - a1n xn a21 x1 + a22 x2 + + a1 n-1 xn-1 = - a2n xn SPL dengan n persamaan : : : dan (n -1) variabelan1 x1 + an2 x2 + + a1 n-1 xn-1 = - ann xn

Syarat SPL ini punya penyelesaian, jika dipenuhi :

Det K = = 0Jika det K 0 , maka SPL tidak mempunyai penyelesaian non-trivial ( hanya mempunyai penyelesaian trivial)Penyelesaian selanjutnya, pilih (n -1) persamaan sembarang dengan (determinan koefisien) 0. Jika nilai xn diberi harga tertentu, maka x1, x2, .., xn-1 dapat ditentukan, sehingga SPL akan mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak terhingga.

Contoh :SPL Homogen : x y 3z = 0 2x 2y 6z = 0 2x + 3y z = 0

Det K = = (2 + 12 18) (12 18 + 2) = 0 SPL mempunai penyelesaian non-trivialSelanjutnya : Ambil 2 persamaan sembarang, misalnya 2 persamaan pertama : x y 3z = 0 x y = 3z2x 2y 6z = 0 2x 2y = 6z

= = -2 + 2 = 0, karena = 0 berarti kedua persamaan dependen linier.Sehingga kedua persamaan tersebut tidak bisa digunakan untuk menentukan penyelesaian SPL.Ambil 2 persamaan yang lain, misalnya 2 persamaan terakhir : 2x 2y 6z = 0 2x 2y = 6z 2x + 3y z = 0 2x + 3y = z

= = 6 + 4 = 10 0

x = = 18z + 2z = 20z

y = = 2z 12z = -10z

Jadi : x = = = 2z Misal : z = 1, maka : x = 2 dan y = -1

y = = = -z Misal : z = -1 , maka : x = -2 dan y = 1 z = z dan seterusnya. b. SPL Homogen dengan n persamaan dan (n + 1) variabela11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + a1 n+1 xn+1 = 0a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + a2 n+1 xn+1 = 0 : : : : :an1 x1 + an2 x2 + + ann xn + an n+1 xn+1 = 0 Atau :a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = a1 n+1 xn+1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = a2 n+1 xn+1 : : : : an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = an n+1 xn+1 Syarat SPL ini punya penyelesaian, jika dipenuhi :

= 0 dengan

1 = xn+1 x1 =

2 = xn+1 x2 = : : : :

dan seterusnya xn = Harga x1, x2, , xn dapat ditentukan dengan memberi nilai sembarang pada xn+1.

Contoh :SPL : x + y + z + w = 0 x 7y + z w = 0 x + y 7z w = 0 ; SPL homogen dengan 3 persamaan dan 4 variabelx + y + z = - w x 7y + z = w x + y 7z = w

= = = 64 0

x = w = w = (16 48) w = -32 w

y = w = w = 16 w

z = w = w = 16 w

x = = =

y = = =

z = = = w = w

Misal : w = 1 , maka : x = ; y = dan z =

Misal : w = 4 , maka : x = ; y = dan z = Misal : w = -4 , maka : x = 2 ; y = 1 dan z = 1 dan seterusnya.

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN ELIMINASI

Diketahui sistem persamaan linier (SPL) dengan m persamaan linier yang simultan dengan n buah variabel ( x1 , x2 , .., xn) yang berbentuk : a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 : : : :am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm

Atau :

= atau : (Amxn) x (Xnx1)= (bmx1) dengan : Amxn = matriks koefisienXnx1 = matriks variabelbmx1 = matriks ruas kananJika : bi = 0 untuk semua i SPL Homogenbi 0 untuk semua i SPL Non-Homogen

Penyelesaian atau solusi SPL adalah nilai x1 , x2 , .., xn yang memenuhi SPL. Untuk SPL homogen paling tidak pasti mempunyai satu penyelesaian trivial, yaitu : xi = 0 untuk semua i

MATRIKS PERLUASAN (AUGMENTED MATRIX)Dari SPL di atas bisa dirumuskan matriks perluasan dari matriks koefisien A menjadi :

=

Jadi = m x (n+1)

PENYELESAIAN SPL DENGAN METODA ELIMINASI GAUSS

Metoda eliminasi Gauss metoda penyelesaian SPL yang dimulai dengan membentuk matriks perluasan , kemudian dilakukan operasi baris elementer sampai diperoleh bentuk matriks echelon, yaitu matriks segitiga atas yang berbentuk sebagai berikut :

=

dengan : r m dan a11 0 ; c22 0 ; ; krr 0

; .............. ; boleh nol , boleh tidakSelanjutnya dilakukan substitusi mundur (back substitution) untuk menentukan nilai variabel x1 ; x2 ; ; xn CONTOH :1. Selesaikan SPL : x1 + x2 + 2 x3 = 23 x1 x2 + x3 = 6 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 4

Bentuk dan lakukan operasi baris elementer sampai diperoleh bentuk mariks echelon

=

=

= Substitusi mundur : 5x3 = 10 x3 = 22x2 + 7x3 = 12 2x2 + 14 = 12 x2 = 1 x1 + x2 + 2x3 = 2 x1 1 + 4 = 2 x1 = 1

2. Selesaikan SPL : 3 x1 + 2 x2 + x3 = 22 x1 + x2 + x3 = 06 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 0

== Substitusi mundur : 0 x3 = - 4 0 = 4 (tidak mungkin) tidak ada solusi 1/3 x2 + 1/3 x3 = 4/3 3 x1 + 2 x2 + x3 = 2

3. Selesaikan SPL : 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 5 x-4 = 80,6 x1 + 1,5 x2 + 1,5 x3 5,4 x-4 = 2,71,2 x1 0,3 x2 0,3 x3 + 2,4 x-4 = 2,1

= Atau:

=

=

= Substitusi mundur : 0 = 0 1,1 x2 + 1,1 x3 4,4 x4 = 1,1 x2 = 1 x3 4 x4 3,0 x1 + 2,0 x2 + 2,0 x3 5,0 x4 = 8,0 x1 = 2 x4 Nilai x3 dan x4 bisa dipilih sembarang, misalnya x3 = 4 dan x4 = 1 sehingga : x1 = 2 1 = 1 dan x2 = 1 4 4(1) = 7Dalam hal ini dikatakan SPLnya mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak terhingga (tidak tunggal).

x2x1Kemungkinan Solusi Dari SPL : a. SPL tidak mempunyai solusi x1 + x2 = 1x1 + x2 = 0

Misal :

b. x2x1SPL mempunyai solusi tunggal x1 + x2 = 1x1 x2 = 0

Misal :

c. x2x1SPL mempunyai solusi tidak tunggal x1 + x2 = 12x1 + 2 x2 = 2

Misal :

Kemungkinan solusi dari SPL bisa diketahui dari bentuk matriks echelon :

= a.

Jika r < m dan salah satu dari ; .............. ; 0 SPL tidak mempunyai solusib.

Jika r = n dan ; ......; jika ada semua = 0 SPL mempunyai solusi tunggalc.

Jika r < n dan ; ......; jika ada semua = 0 SPL mempunyai solusi yang banyaknya tidak berhingga (tidak tunggal).

MENENTUKAN INVERS MATRIKS DENGAN ELIMINASI GAUSS-JORDANBentuk SPL : Anxn Xnxn = Inxn (Inxn = matriks identitas berordo n) A-1 A X = A-1I I X = A-1 X = A-1

Selanjutnya penyelesaian X = A-1 bisa diperoleh dengan menyelesaikan SPL : AX = I dengan metoda eliminasi Gauss. Dalam hal ini, augmented matrix = [ A I ] dengan Anxn dan Inxn

Contoh :

Tentukan invers matriks A = dengan eliminasi Gauss-Jordan

Bentuk augmented matrix = [ A I ] =

Lakukan operasi baris elementer pada sehingga elemen dari matriks A dalam membentuk matriks identitas.

= =

= =

=

Jadi invers dari matriks A adalah A-1 =

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKSPENGERTIAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGENNilai Eigen (Eigen value) dan vektor Eigen (Eigen vector) suatu matriks memenuhi sifat bahwa jika vektor Eigen dikalikan dengan matriksnya akan menghasilkan vektor yang proporsional dengan vektor Eigennya. Nilai proporsionalitasnya disebut nilai Eigen atau nilai karakteristik dari matriks tersebut.Contoh :

A = Jika untuk matriks A dipenuhi persamaan :

= = 4

maka dikatakan bahwa 4 adalah nilai Eigen dari matriks A yang berkaitan dengan vektor Eigen

Secara umum :Jika diberikan matriks Anxn = [aij] ; maka persamaan untuk nilai Eigen dan vektor Eigen x dari matriks A adalah : Ax = x .

Himpunan nilai Eigen dari matriks A disebut spectrum dari matriks A.Nilai terbesar dari harga mutlak nilai Eigen A disebut radius spektral dari matriks A.

CARA MENENTUKAN NILAI EIGENDari persamaan Ax = x dengan A = Anxn a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = x1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = x2 : : : :an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = xn

Dibawa ke bentuk SPL homogen : (a11 ) x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0 a21 x1 + (a22 ) x2 + + a2n xn = 0 : : : : an1 x1 + an2 x2 + + (ann ) xn = 0

Atau :

SPL homogen akan mempunyai solusi non-trivial jika nilai determinan koefisien = 0

Atau : det[A I] = 0 atau : = 0det[A I] = f() = 0 polynomial atau persamaan karakteristik Akar-akar dari f() = 0 merupakan nilai Eigen dari matriks A.

Dari masing-masing nilai Eigen bisa ditentukan vektor Eigen dari matriks AVektor Eigen satuan : vektor Eigen dengan jumlah kuadrat komponen-komponennya = 1Vektor Eigen satuan diperoleh dengan membagi vektor Eigen dengan akar dari jumlah kuadrat komponen-komponennya.

CONTOH :1. Tentukan nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks A = Dari Ax = x diperoleh SPL homogen [AI]x = 0 ;

dengan matriks [AI] =

Det [AI] = = [(-2-)(1-)(-)+12+12] - [(3(1-)-12(2+)-4] = 3 2 + 21 + 45Agar SPL homogen [AI]x = 0 mempunyai penyelesaian non-trivial, maka det [AI] = 0Sehingga diperoleh polynomial atau persamaan karakteristik : 3 2 + 21 + 45 = 0 3 + 2 21 45 = 0 ( 5)( + 3)2 = 0Jadi nilai Eigen matriks A adalah : 1 = 5 dan 2;3 = 3

Menentukan vektor eigen: Untuk nilai eigen 1 = 5 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :

SPL ini diselesaikan dengan eliminasi Gauss :

=

= =Substitusi mundur : 24/7 x2 48/7 x3 = 0 x2 + 2x3 = 0 x2 = 2x3 7x1 + 2 x2 3 x3 = 0 7x1 = 7 x3 x1 = x3

Jadi vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = 5 adalah :

x == = x3 x3 bisa ditentukan secara sembarang

Misalkan x3 diambil = 1 maka x = adalah salah satu vektor Eigen matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = 5

Untuk nilai eigen 2;3 = 3 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :

SPL ini diselesaikan dengan eliminasi Gauss :

= = Substitusi mundur : x1 + 2 x2 3 x3 = 0 x1 = 2x2 + 3x3 x2 = x2 ditentukan sembarang x3 = x3 ditentukan sembarangVektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = 3 adalah :

x == ; misalkan x2 diambil = 1 dan x3 = 0; maka : x =

2. Tentukan nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks A = Dari Ax = x diperoleh SPL homogen [AI]x = 0 ;

dengan matriks [AI] =

Det [AI] = = 2 1 + 3 = 2 + 2Agar SPL homogen [AI]x = 0 mempunyai penyelesaian non-trivial, maka det [AI] = 0Sehingga diperoleh polynomial atau persamaan karakteristik : 2 + 2 = 0 1;2 = i2Jadi nilai Eigen matriks A adalah : 1 = i2 dan 2 = i2

Menentukan vektor eigen: Untuk nilai eigen 1 = i2 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :

SPL ini diselesaikan dengan eliminasi Gauss :

=

= Substitusi mundur : (1-i2) x1 x2 = 0 x2 = (1-i2) x1 x1 = x1

Jadi vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2 adalah :

x = = x1 x1 bisa ditentukan secara sembarang

Misalkan x1 diambil = 1 maka x = adalah salah satu vektor Eigen matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2

Untuk nilai eigen 2 = i2 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :

SPL ini diselesaikan dengan eliminasi Gauss :

=

= Substitusi mundur : (1+ i2) x1 x2 = 0 x2 = (1+ i2) x1 x1 = x1

Jadi vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2 adalah :

x = = x1 x1 bisa ditentukan secara sembarang

Misalkan x1 diambil = 1 maka x = adalah salah satu vektor Eigen matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2

SOAL-SOAL:

1.Tentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang bersesuaian dari matriks A =

2.Tentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang bersesuaian dari matriks A =

3. Tentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang bersesuaian dari matriks A = @by:MurtiAstuti