3. Metodi di analisi circuitale - unibo.it...stema e trovate le correnti, dalle equazioni caratteristiche degli elementi si derivano le ten-sioni di ramo. Esempio 1 In figura è rappresentato

ElettrotecnicaT

DipartimentodiIngegneriadell’EnergiaElettricaedell’Informazione 1

3. MetodidianalisicircuitaleMetodogeneraledianalisicircuitale

Ilproblemadell’analisicircuitaleconsisteneldeterminarelostatodifunzionamentodelcir-cuito,cioètrovareletensionielecorrentidiramo,dallaconoscenzadicomeilcircuitoèfatto(elementicircuitalieloroconnessioni)ecomeèalimentato(tensioniecorrentideigeneratoriindipendenti).Ilmetodogeneraledianalisiutilizzaatalfineleequazionitopologiche(leggidiKirchhoffdelletensioniedellecorrenti)eleequazionidiramocaratteristichedeglielementicircuitali.Peruncircuitoinregimedicorrentecontinuadirrami,costituitodaresistoriegeneratoriindipen-dentiditensione,ilsistemarisolutoredescrittoèdin-1equazionidinodotrattedallaLKC,r-n+1equazionidimagliatrattedallaLKTedrequazionicaratteristichediramo:

∑ i!! =0 (n-1equazionitopologicheLKC) ∑ v"" =0 (r-n+1equazionitopologicheLKT) v#=V$# + R#i% (requazionicaratteristichediramo)doveVgkèlatensionedeigeneratoriindipendentiditensionedelramok-esimoedRkèlaresi-stenzadelramo.ikevksonolatensioneelacorrentedelramok-esimo,esonoleincognitedelproblema.Ilsistemaèdi2requazioniin2rincognite.Quindiammetteunaedunasolasolu-zione.Ilcircuitoconsideratoincorrentecontinuadisoligeneratoriindipendentiditensioneeresistorivienequiutilizzatopermotividisemplicità.Ilmetodocomunquerimanevalidoneicasipiùge-neralidivaliditàdell’approssimazionecircuitale.

MetododisostituzionedelletensioniIlmetododisostituzionedelletensioni(methodoftensionsubstitution)èbasatosullaso-stituzionedelletensioniconlecorrentinelleequazioniottenutedallaLKTnelmetodogenera-ledianalisi.Infattiletensionisonoespressepermezzodellecorrentidalleequazionicaratte-ristichediramo.Dalsistemarisolutoredelmetodogeneraled’analisisiottiene:

∑ i!! =0 (n-1equazioniLKCnelleincogniteik) ∑ R"i"" =−∑ V$"" (r-n+1equaz.LKT;vkespressedaiktramiteeq.diramo)Ilsistemasiriducearequazioniinrincognitecostituitedallecorrentidiramo.Risoltoilsi-stemae trovate lecorrenti,dalleequazionicaratteristichedeglielementisiderivano le ten-sionidiramo.

Esempio1Infiguraèrappresentatouncircuitocostitui-todaseiramiequattronodi.IpuntiH,G,EedF sono allo stessopotenziale ed in corto cir-cuito,quindipossonoessereconsideraticomeuniconodo.Lastessaconsiderazionevaleper

ElettrotecnicaT


ipuntiBeC,cherappresentanounsolonodo.Nelgrafodel circuito (rappresentato nella figura) sono rappre-sentatii6ramiedi4nodidelcircuito.Lefreccesuira-mi del grafo indicano il verso delle correnti di ramo.Come detto in precedenza le tensioni di ramo hannoversopositivooppostoaquellodellecorrenti.Infattilecorrentientranoinunramodalterminaleapotenzialemaggiore, lopercorronoandandodal terminaleapotenzialemaggioreaquelloapotenzialeminoreedesconodalramodaquest’ultimo.

Leincognitedelsistemasonoletensionielecorrentidiramo,essesono12.Leequazionidelmetodogeneraledianalisi,anch’esse12,sonoleequazionitopologicheeleequazionidiramo: i1+i3+i4–i6=0 (1-equazioneLKC:nodoHGEF) i2–i3–i4+i5=0 (2-equazioneLKC:nodoBC) i6-i5=0 (3-equazioneLKC:nodoD)

v1-v2-v3=0 (4-eq.LKT:magliaHGEF-A-BC-ramo3–HGEF,versoantiorario)v1–v2–v4=0 (5-equaz.LKT:magliaHGEF-A-BC-ramo4–HGEF,versoorario)v4+v5+v6=0 (6-equaz.LKT:magliaHGEF-BC-D-HGEF,versoorario)v1=V0 (7-equazionecaratteristicadelramo1)v2=R2i2 (8-equazionecaratteristicadelramo2)v3=R3i3 (9-equazionecaratteristicadelramo3)v4=R4i4+V1 (10-equazionecaratteristicadelramo4)

v5=R5i5 (11-equazionecaratteristicadelramo5) v6=R6i6 (12-equazionecaratteristicadelramo6)Leequazionitopologichesonolineariomogenee.Leequazionidiramosonolinearinonomo-genee.Quindiilsistemadiequazionièlinearenonomogeneoedammetteunaedunasolaso-luzione.IlsistemapuòessererisoltootramiteilmetododiCramerotramitesuccessivesosti-tuzioni.

Ilsistemasipuòdirettamenteridurreadunsistemadi6equazioniin6incognitecolmetododisostruzionedelletensionipartendodalmetodogeneraledianalisi: i1+i3+i4–i6=0 (1-equazioneLKC) i2–i3–i4+i5=0 (2-equazionedLKC) i6-i5=0 (3-equazioneLKC) R2i2+R3i3=V0 (4-equazioneLKT:tensioniespressedaeq.i7,8e9) R2i2+R4i4=V0-V1(5-equazioneLKT:tensioniespressadaeq.i7,8e10) R5i5+R6i6–R5i4=V1(6-equazioneLKT:tensioniespressadaeq.i10,11e12)

Ancheinquestocasoilsistemaèlinearenonomogeneo.Sipuòottenereun’ulterioreriduzionedelleequazionidelsi-stemaconsiderandocomeunicoramoiramiinserieeconsi-derando tutti gli elementi circuitali presenti nel ramo nellastessaequazionediramo.Nell’esempioconsideratoquestoèil casodei rami1 e2, sostituiti dal ramo1nelnuovografodellafiguraafianco,edeirami5e6,sostituitidalramo5.Leequazioni dei rami 1 e 2 del precedente grafo divengonoun’unicaequazione:

v1=V0+R2i1eperilnuovoramo5checonglobail5edil6,l’equazionediramoè:

ElettrotecnicaT


v5=(R5+R6)i5Le rimanenti equazioni di ramo non cambiano. Cambiano invece le equazioni topologichepoichéinquestocasor=4edn=2.Ilsistemarisolventedelmetododisostituzionedelleten-sionidiviene: i1+i3+i4+i5=0 (1-equazioneLKC:nodoBC) R2i1–R3i3=–V0 (2-eq.LKT:magliaHGEF-ramo1-BC-ramo3-HGEF,v.or.) R2i1–R4i4=V1–V0 (3-eq.LKT:magliaHGEF-ramo1-BC-ramo5-HGEF,v.or.) R4i4–(R5+R6)i4=-V1(4-LKT:magliaHGEF-ramo4-BC-ramo5-HGEF,v.or.)LafunzioneditrasferimentoNeicircuitisidistinguefraingressiodeccitazioni(inputsorexcitations)edusciteorispo-ste(outputsorresponses).Gliingessisonoigeneratoriditensioneedicorrenteindipenden-ti.Leuscitesonolecorrentidiramo,letensionidiramooledifferenzedipotenzialefraduenodi.In un circuito di elementi lineari, tempoindipendenti, per ogni coppia ingresso-uscita si definisceuna funzioneditrasfe-rimento o funzione di rete (transferfunction or network function) data dalrapportofral’uscitael’ingresso,quandoglialtriingessieccettoquelloconsideratosonospen-ti.DefinitoconInuningressoeconOutun’uscita,lafunzioneditrasferimentoF,relativaallacoppiaIn-Out,èdatada:

F=!"#$%

LafunzioneditrasferimentopuòesseredefinitaneldominiodeltempoconFrealeoneldo-miniodellefrequenzeconḞcomplessa.Inuncircuito lineare, tempoindipendente(resistori, induttoriecondensatorisonoindipen-dentidaltemposeR,LeCsonocostantineltempo)lafunzioneditrasferimentonondipendedaiparticolarivaloricheassumonoingressoeduscita,masolodacomeilcircuitoècostituito.Quindiessanonvariaperunastessacoppia ingresso-uscitaalvariaredeivaloriassuntidaidueelementidellacoppia.Ciòderivadallaproprietàdiomogeneitàpossedutadaicircuiti li-neari.Inuncircuitolineare,tempoindipendentevalgonolaproprietàdiomogeneità(homogrnei-typroperty)elaproprietàdiadditività(additivityproperty),proprietàcaratteristichedellalinearitàdelcircuito.Perlaproprietàdiomogeneitàsel’ingressodiunelementocircuitalelineareocomunquediuncircuitolinearevienemoltiplicatoperunacostante,anchelasuauscitarisultamoltiplicataperlastessacostante.AdesempiolaleggediOhmdiunresistorelineareé:

v=RiSe la correnteèmoltiplicataperuna costantek, anche la tensionevienemoltiplicataper lastessacostante:

kiR=kv

ElettrotecnicaT


Perlaproprietàdiadditivitàlarispostaallasommadiduediversiingressirisultaugualeallasommadellerisposteaciascuningressoapplicatoseparatamente:

v1=Ri1;v2=Ri2Þapplicandol’ingressoi=i1+i2siha Þv=Ri=R(i1+i)=Ri1+Ri2=v1+v2Ledueproprietàdiomogeneitàediadditività riguardano tutte le funzionidi trasferimentochepossonoesseredefiniteinuncircuitolineare,tempoindipendente.Inparticolarequindisiha:

Out=FIn Þ kOut=kFIn Out1=FIn1;Out2=FIn2Þ

ÞOut=FIn=F(In1+In2)=FIn1+FIn2=Out1+Out2

SovrapposizionedeglieffettiIlprincipiodisovrapposizionedeglieffetti(superpositionprinciple)stabiliscecheogniten-sionediramoecorrentediramoinuncircuitolinearesonodatedallasommadeivalorichelastessa tensioneocorrenteassumonoperognisingolasorgenteoperantedasola.Ciòderivadalleproprietàdilinearitàpossedutedaicircuiticonsiderati.

Sihaperciòperlacorrenteireperlatensionevrdelramor-esimoquantosegue:

ir=Gr1V01+Gr2V02+...+GrmV0m+ar1I01+ar,2I02+...+arqI0q vr=Rr1I01+Rr2I02+...+RrqI0q+br1V01+br,2V02+...+brmV0m doveV01,V02,...,V0msonoletensionideimgeneratoriditensioneedI01,I02,...,I0qsonolecor-rentideiqgeneratoridicorrentepresentinelcircuito.IcoefficientiGrk,arh,Rrhebrksonolefunzioniditrasferimentofralecoppieir-V0k, ir-I0k,vr-I0kevr-V0krispettivamente.Grmèdettaconduttanzaoammettenzaditrasferimento (transferconductanceoradmittance)enelSIsimisurainsiemens(S).Rrqèdettaresistenzaoimpedenzaditrasferimento(transferre-sistanceorimpedance)enelSIsimisurainohm(Ω).arqèdettaguadagnodicorrente(cur-rent gain) ed è un numero puro. brm è detta guadagno di tensione (voltage gain) edanch’essoèunnumeropuro.Questoprincipioèutilequandouncircuitoèalimentatodapiùsorgenti indipendenti. In talcasosicalcolanolesoluzionidelcircuitotantevoltequantosonoigeneratoriindipendentila-sciandoaccesosoloungeneratorepervotaespegnendoglialtri.Spegnereungeneratoreditensionesignificaportarelatensionegenerataazeroequindisostituirloconuncortocircuito.Spegnereungeneratoredicorrentesignificaportarelacorrentegenerataazeroequindiso-stituirloconuncircuitoaperto.Igeneratoripilotatinonvannospentiinquantoessisonocon-trollatidavariabilidelcircuito.

L’applicazionedelprincipiodisovrapposizionesiesegueintrepassi:1. Spegneretuttiigeneratoriindipendentitranneuno.Trovarelerispostedelcircuito,e

cioèlecorrentieletensionidiramo.2. Ripeterel’operazionepertuttiglialtrigeneratoriindipendenti.3. Trovare la soluzione complessiva data per ogni corrente e tensione di ramo dalla

sommaalgebricadituttiicontributidovutiadognisingologeneratore.Èimportantenotarecheilprincipiodisovrapposizioneèbasatosullalinearitàdelproblemaequindi nonpuò essere applicato alla potenza. Poiché la potenza è una relazionequadratica

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dellacorrenteedellatensione,P=Ri2=v2/R,lerelazionidellapotenzaconcorrenteeten-sionenonsonolineari.Perlapotenzaquindilasovrapposizionedeglieffettinonèapplicabile.Perciò, se è necessario conoscere la potenza, si devono prima calcolare tensioni e correnticomplessiveequindisoloconessecalcolarelapotenzarichiesta.

Esempio2Ilcircuitodellaprimafiguraafiancoèalimentatodadue generatori indipendenti, uno di tensione V0 edunodicorrenteI0.Per il calcolodellostatodelcircuitocolprincipiodisovrapposizione,primasicalcolailcircuitospegnen-do il generatoredi corrente I0 sostituendolo conuncircuitoaperto(circuitodellasecondafiguraafianco).Poisispegneilgeneratoreditensionesostituendoloconuncircuitochiuso(circuitodellaterzafiguraafianco).Ognicorrenteeten-sioneèdatadallasommadeirisultatineiduecasi.Qualorasidesidericalcolarei3elapotenzap3assorbi-tadallaResistenzaR2siprocedecomesegue.-Calcolodii3’conV0accesoeI0spento:

Reqi1’+V0=0doveReq=BR! +"!(""$"#)"!$""$"#

D

Þi1’=- '$"%&ÞvBG’=V0+R1i1’=V0–R1'$"%&=E1 − "'

"%&GV0

ÞvBG’=R2i3’Þi3‘=-'()("! =!"!E "'"%&

− 1GV0

-Calcolodii3”conV0spentoeI0acceso:

R)*+ ="'"!"'$"!

;R)*, =R3+R4;R)*-.-="%&* "%&(

"%&* $"%&(

ÞvBG”=R)*-.-i4“=−R)*-.-I0Þ

Þi3”='()""! =−"%&+,+

"!I0

Infineperilprincipiodisovrapposizione:

i3=i3’+i3”= !"! E"'"%&

− 1GV0+"%&+,+

"!I0;vBG=vBG’+vBG”=E1 − "'"%&GV0+R)*

-.-I0

Quindi,solodopoaverottenutoi3sommadii3’ei3”,evBGdallasommadivBG’evBG”,sicalcolalapotenzap3:

p3=i3vBG=H !"! E"'"%&

− 1GV0 +"%&+,+

"! I0K HE1 −

"'"%&GV0 +R)*-.-I0K

MetododeipotenzialidinodoLeincognitedelproblemacircuitaledelmetododeipotenzialidinodo,oanalisinodale(no-dalanalysis)peruncircuitodirramiednnodi,sonoipotenzialidin-1nodidelcircuitouk(k

ElettrotecnicaT


=1,2,...,n-1).Talipotenzialisonoladifferenzadipotenzialefraognunodiquestin–1nodiedilpotenzialedell’n-esimonododelcircuitosceltocomenododiriferimento.lvantaggiodiquestasceltaèdovutoallariduzionedelnumerodiequazionidelsistemarisolu-tore.Permotividisemplificazionesiconsideranoperoracircuiticonconelementipassiviesologeneratoridicorrente.Perognunodeglin-1nodidinon-riferimentodallaLKCside-terminaun’equazionedinodo:

i1+i2+i3+....+ih=0Lecorrentidiramoirvengonoespresse interminideipoten-zialidinodotramiteleequazionidiramo.Perfareciòèneces-sarioesprimereletensionidiramovrinterminideipotenzialidinodouk.SiutilizzaaquestoscopolaLKT(dafigura:magliacompostadanodoh–nodok–nodo0–nodoh):

vr=uk–uh

ir=&"'"=(#)($'"

Il sistema risolutore è quindi formato dalle n-1 equazioni dinodonellen-1incognitedatedaipotenzialidinodo.Risoltoilsistemaetrovatiipotenzialidinodosideterminanolevreleirdalleloroespressioniinterminideipotenzialidinodo.Perrisolvere ilproblemasisonousateanche inquestocaso leequazioni topologiche,sia laLKCe laLKT,e leequazionicaratteristichedeglielementi.L’usoperòdeipotenzialidinodocomeincogniteriduceilnumerodiequazionidelsistemarisolutore.Ipassiperrisolvereilproblemacolmetododeipotenzialidinodosonoiseguenti:

1. Definire il nodo di riferimento ed assegnare i potenziali agli n-1 nodi di non-riferimentodefiniticomeladifferenzadipotenzialefraessiedilnododiriferimento.

2. ApplicarelaLKCaglin-1nododinon-riferimentoederivarelen-1equazionidinodo.3. ApplicarelaLKTpertrovarelarelazionepotenzialidinodoetensionidiramo.4. Esprimere le correnti incognite tramite le equazioni caratteristichedegli elementi in

funzionedelletensionidiramoequindideipotenzialidinodo.5. Esprimereleequazionidinododerivatealpasso2interminideipotenzialidinodoe

risolvereilsistemadellen-1equazionidinodonelleincognitepotenzialidinodo.6. Risoltoilsistemaedeterminatiipotenzialidinodo,trovarelealtreincognite.

Esempio3L’analisidelcircuitoinfiguravienefattautilizzandoipassiindicatialparagrafoprecedente.

1. Determinazionedelnododiriferimentoedassegna-zionedeipotenzialidei2nodidinonriferimento:-nododiriferimento:nodo0-potenzialideinodidinon-riferimento:u1,u2

2. DeterminazionedelleequazionidinododaLKC:i1+i2–i4+i5=0i3+i4–i5=0

ElettrotecnicaT


3. DeterminazionidellerelazionifravreukdaLKTdoveènecessario:v2=u1;v3=u2;v4=u2-u1i1=-I1;i5=I2

4. Determinarelecorrentidiramointerminideipotenzialidinodo:i1=-I1;i2=1!"! =

2'"!;i3=1""" =

2!""-;i4=1#"# =

2!32'"#

-;i5=I2

5. Esprimere il sistemadelleequazionidinodoottenutealpasso2nelle incogniteuk etrovareledueincogniteu1edu2:

6. Trovarelealtreincognitepermezzodelleloroespressioniottenuteaipassi3e4.Esempio4Nelcircuitoinfiguracompareunramoconungeneratoredi tensioneedun resistore,quindiancheperessosipuòdeterminare lacorrenteinfunzionedeipotenzialidinodo.

1. Determinazionedelnododiriferimentoedassegnazionedeipotenzialidei2no-didinonriferimento:-nododiriferimento:nodo0-potenzialideinodidinon-riferimento:u1,u2

2. DeterminazionedelleequazionidinododaLKC:i1+i3+i4-i5=0i5–i6=0

3. DeterminazionidellerelazionifravreukdaLKTdoveènecessario:v1=u1;v3=u1;v4=u1i4=-I0;v5=u2-u1;v6=-u2

4. Determinarelecorrentidiramointerminideipotenzialidinodo:i1=1'3'$"' =

2'3'$"'

;i3=1""! =2'"!;i4=-I0;i5=1."" =

2!32'""

-;i6=1/"" = −2!"#


6. Trovarelealtreincognitepermezzodelleloroespressioniottenuteaipassi3e4.SupernodoQuandonel circuitovi sono rami consologeneratoridi tensione indipendentio controllati,pertaliraminonèpossibileesprimerelacorrenteinterminideipotenzialideinodiacapodeiramisuddetti.

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Unramoconsoloungeneratoreditensionepuòessereincorporatoall’internodiunasuperfi-ciechiusadacuiemergonoiramidelcircuitoconnessicontaleramo.LaLKCquindipuòesse-reapplicataallasuperficiechiusa.Lasuperficiecheincorporailramovienedettasupernodo(supernode).DallaLKTsidetermina ladifferenzadeipotenzialiukeuhdeiduenodiacapodelramodelsupernodo.TaledifferenzadipotenzialeèdatadallatensioneV0delgeneratore:

uk–uh=V0L’equazioneottenutaèl’equazionedisupernododaaggiungereallealtreequazionidinodoottenutedallaLKC.

Icircuitidelleduefigureafiancopresentanoambedueunramoconunsologeneratoreditensioneindipendente.Nelcircuitodellaprimafiguravisonoquattronodi.Sceltoilno-dodiriferimentosidefinisconou1,u2edu3 ipotenzialidei trenodi di non-riferimento.Questi tre potenziali sono le tre inco-gnitedelproblema.Ilramocolgeneratoreèpostofrainodiconpotenzialeu2edu3.Talinodiquindisonosostituitidalsupernodoall’internodellasuperficiechiusa.LaLKCsiapplicaalnodorela-tivoadu1edalsupernodo.Siottengonodueequazioni.Laterzaequazioneèl’equazionedelsupernodoottenutadallaLKT:

i1+i4+i5=0i2+i3-i4-i5=0u2–u3=V0

Quandoun supernodo contiene il nododi riferimento comenelcircuitodellasecondafiguraafianco,ilpotenzialedell’altronodocontenutonelsupernodoèugualeallatensionedelgeneratore:

i1+i4+i5=0i2-i3+i4=0u2=V0

Ancheinquestocasoleincognitesonotre,u1,u2edu3,e leequazionidelsistemarisolutoresonotre.Esempio5Nelcasodifiguravisonodueramicongenerato-ri di tensione che individuano due super nodi.Perlasoluzionecolmetododeipotenzialidino-dosiprocedecomesegue:

1. Determinazione del nodo di riferimentoedassegnazionedeipotenzialidinodo:- nododiriferimento:nodo0- 2supernodi:u1-u2eu3-u4 u1-u2=20 u3-u4=3v5=9i5

2. DeterminazionedelleequazionidinododaLKCedalleequazionideisupernodi:i1+i2+i5–10=0i3+i4-i2-i5=0

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u1-u2=20u3-u4=9i5

3. DeterminazionidellerelazionifravreukdaLKTdoveènecessario:v1=u1;v2=u2–u3;v3=u3;v4=u4;v5=u1–u4

4. Determinarelecorrentidiramointerminideipotenzialidinodo:i1=&%+ =

(%+;i2=&&, =

(')(&,;i3=&'- =

('-;i4=&(. = u-;i5=

&)/= (%)((

/-;


6. Trovarelealtreincognitepermezzodelleloroespressioniottenuteaipunti3e4.Metododellecorrentid’anelloLeincognitedelproblemacircuitaledelmetododellecorrentiperuncircuitodirramiednnodi,sonolecorrentid’anelloikperikanelliconk=1,2,...,r-n+1.Anchequestometodoportaadunariduzionedelnumerodiequazionidelsistemarisolutorerispettoalmetodogeneraled’analisicircuitale.L’applicazionediquestometodoperòèsolopossibilepercircuitipiani.Peruncircuitopianoèsemprepossibiletrovareunoschemadelcircuitoedungrafoovenessunramosiinterseca.Ilvantaggiorispettoalmetododeipotenzia-lidinodoèlapossibilitàditrattaredirettamenteitransistori.Unanelloèunamagliachenoncontienealtremagliealpropriointerno.Aciòconseguecheglianellidiuncir-cuito sono r-n+1.Nel circuito a fianco si individuanotremaglie:lamagliaformatadairami1e2,lamagliaconirami2e3elamagliacon.1etre.Maduesonoglianelli:unoconirami1e2el’atrocon2e3.Lamagliaconirami1e3nonèunanellopoichéessacontieneglialtridueanelli.Perogni anello si definisceuna corrented’anello checircolaneiramidell’anelloinsensoorarioecostituisceuncontributoallacorrentedeirami.Seunramoècomuneadueanelliallarelativacorrentediramocontribuiscono lecorrentid’anellodeidueanelliconsegnougualeodoppostosecor-rentediramoecorrented’anellosonodiversoconcordeodiscorde(infigura:i2=i1+i2).Seilramoappareinunsoloanellocorrentediramoecorrented’anellohannolostessomoduloesegno dipendente dal verso (i1 = i1, i2 = – i2). Le relazioni fra correnti di ramo e correntid’anellotienecontodellaLKC.Perognunodeglir-n+1dallaLKTsideterminaun’equazioned’anellodeltipo:

v1+v2+v3+....+vh=0

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Peridueanellidelcircuitodifiguracondueanellietreramisiha:

-v1-v2=0v2-v3=0

Letensionidiramosonopoiespressedallecorrentid’anellopermezzodelleequazionideglielementi.Perilcircuitodifiguracondueanellietreramisiha:

v1=R1i1–Vs1=v1=R1i1–Vs1 v2=R2i2+Vs1=v1=R2(i1–i2)+Vs2 v3=R3i3=R3i2equindiperilcircuitodifigurasisiottiene:

-R1i1+Vs1-R2(i1–i2)-Vs2=0R2(i1–i2)+Vs2-R3i2=0

Ilsistemarisolutoreèquindiformatodaller-n+1equazionid’anelloneller-n+1incognitedatedallecorrentid’anello.Risoltoilsistemaetrovatelecorrentid’anellosideterminanolevreleirdalleloroespressioniinterminidellecorrentid’anello.Ipassiperrisolvereilproblemacolmetododellecorrentid’anellosonoiseguenti:

1. Si assegnano le r-n+1 correnti d’anello e loro orientamento in senso orario negli r-n+1 anelli del circuito.

2. Si esprimono le correnti di ramo in funzione delle correnti d’anello (nei rami comuni a due anelli adiacenti la relazione ottenuta è espressione la LKC) .

3. Si applicano la LKT a ciascuno degli r-n+1 anelli. 4. Si utilizzano le equazioni di ramo per esprimere le tensioni di ramo tramite le correnti di ra-

mo e quindi le correnti d’anello. 5. Si risolvono le r-n+1 equazioni ottenute nelle r-n+1 correnti d’anello incognite. 6. Si ricavano le rimanenti variabili (correnti e tensioni di ramo).

Esempio6Ilcircuitodellafiguraafiancoèformatodar=5ramien=3 nodi.Gli anelli sonor-n+1=3, comeanchesiosserva dalla figura. L’analisi del circuito, tramite ilmetodidelle correntid’anello,viene fattautilizzando ipassiindicatialparagrafoprecedente.

1. Sideterminanoglianelliedi loroorientamentoinsensoorario:- anelo1formatodairami1e2;- anelo2formatodairami2,3e4;- anelo3formatodairami4e5.

2. Sideterminanolerelazioni fracorrentidiramoecorrentid’anello:

i1=-i1i2=i1–i2i3=i2i4=i3–i2

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i5=i3

3. SiapplicalaLKTaitreanelliv1–v2=0v2–v3+v4=0–v4–v5=0

4. Le tensioni di ramo sono espresse in funzione delle correnti di ramo, e quindi delle correnti d’anello, tramite le equazioni di ramo:

v1=V1v2=R2(i1–i2)v3=R3i2v4=R4(i3–i2)v5=-V2

5. Le 3 equazioni derivate dalla LKT vengono espresse nelle tre incognite correntid’anello:

V1–R2(i1–i2)=0R2(i1–i2)–R3i2+R4(i3–i2)=0–R4(i3–i2)+V2=0

6. Sitrovarelealtreincognitepermezzodelleloroespressioniottenuteaipassi2e4.SuperanelloSe ionunramoèpresenteungeneratoredicorrente latensionediramoèindipendentedallacorrentegenerata.Sipresentanoduecasi. 1. Il generatore di corrente fa parte di un solo anello

(vedifiguraalato).Perciòsiha:

I1=i1 (a) LaLKTdell’anello1è sostituitadall’eq.a. Il sistemarisolventeèformatodall’eq.aedallaLKTall’anello2.

2. Ilgeneratoredicorrentefapartediunramocomuneadueanelli (figuraa lato). Sihaperciòunsupera-nello(figurainbasso)dove:

I2=i2–i1 (b)i1=i1,i3=i3

Il superanello comprende l’anello 1 e l’anello 2. Le dueequazionideglianelli1e2sonosostituitedall’equazionedelsuperanelloedall’eq.b:

R1i1+R3i2=V1 i2–i1I=I2

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Esempio7Nelcasodifiguravièungeneratoredicorrenteco-muneaglianelli1e3.Sidefinisceperciòilsupera-nello formatodaquesti due anelli. Il sistema risol-venteèdatodall’equazionedefinitadallarelazionedatadalgeneratoredicorrenteedallaLKTapplica-taalsuperanelloeall’anello2.

I3–i1=I0R1i1-R5(i1–i2)–R2(i3–i2)–R3i3=0-R4i2+R5(i1–i2)+R2(i3–i2)=0

Trovatelertreincognitei1,i1ei1sideterminanolecorrentieletensionidirasmo.TeoremadiTellegenPerilteoremadiTellegenuncircuitoisolato(nonconnessoadaltricircuitioretielettriche)lasommaalgebricadellepotenzediramo,calcolatecomeprodottodelle tensioniecorrentidiramo,ènulla:

∑ v#i#0#1. = 0Alternativamente il teoremastabilisce che lapotenza totale erogatadai generatori indipen-dentièugualeallapotenzaassorbitadaicarichi.

IlteoremadiTellegenèconseguenzadelprincipiodiconservazionedell’energia.Essosoddi-sfaalleequazionitopologiche(LKTeLKC).Unesempioèdatodal circuitodi figuraconsei ramiedodicivariabilidatedalle correntietensionidiramo.Supponendodiconoscerelecorrentiditreramieletensionidialtritrera-mi:

i1=1;i2=2;i3=3; v4=4;v5=5;v6=6.Permezzodelletreequazionidinodoedelletreequazionidimaglia linearmente indipendenti ottenute dalla LKC e dallaLKTsiottengonolealtreseivariabili

i1+i2+i4=0Þi4=-3i2–i3–i5=0Þi5=-1i1+i3–i6=0Þi6=4v1–v4+v6=0Þv1=-2v2–v4+v5=0Þv2=-1v3–v5+v6=0Þv3=-1

I valori ottenuti per le correnti e le tensioni di ramo che soddisfano alle leggi diKirchhoff,soddisfanoanchealteoremadiTellegen.Infattidaivaloriottenutisiha:

v1i1+v2i2+v3i3+v4i4+v5i5+v6i6=0

ElettrotecnicaT


CircuitiequivalentiSi consideri il circuito N, chepuòessereconnessoattraversoadunaportaABadunaltrocir-cuitoN1. Il circuitoNè lineare,tempo indipendente e con sor-genti stazionarie. Ad una ten-sionev fornitadaN1 allaportaAB,ilcircuitoNreagisceconlarispostai.LarelazionefraievdipendeesclusivamentedaN.Esisteperciòun’equazionecaratteristicadellareteN.Ladeterminazionediquestaequazioneè ilproblema fondamentalechesi traducenellaricercadiuncircuitoequivalente(equiva-lentcircuit).UncircuitoequivalenteèuncircuitoelementarechesimulailfunzionamentodelcircuitoN.Inparticolare, ilcircuitoequivalentealimentatodaunadatatensionev,richiamalastessacor-renteichesarebberichiamatadalcircuitoNqualorasottopostoallamedesimatensionev.

IteoremidiThéveninediNorton(ThéveninandiNortontheorems)dannounasoluzionealproblema:- IlcircuitodiThéveninècostituitodaunresistore(odunaimpedenza)inserieconungene-ratoreditensioneindipendente.

- IlcircuitodiNortonècostituitodaunresistore(odunaimpedenza)inparalleloconunge-neratoredicorrenteindipendente.

TeoremadiThéveninSiconsideriilcircuitoN,lineare,tempoindipendenteeconsorgentistazionariealproprioin-terno.SiconsideriinoltreungeneratoredicorrenteindipendentecollegatoallaportaAB.PerlalinearitàdelcircuitoNlatensionevfraAeBèdatadaunacombinazionelinearedelleri-spostevdovuteaglimgeneratoriditensione,aiqgeneratoridicorrenteinterniadNedalge-neratore di corrente indipendente, collegati uno per volta alla porta AB. I coefficienti dellacombinazione linearesono le funzionidi trasferimentorelativeallecoppie ingressi,datidaigeneratoriindipendentidelcircuito,erisposta,datadav.Sihaquindi: v=Reqi+∑ 𝛼2V32421. + ∑ R5I35

651.

Þ v=Reqi+Veq

dove: Veq =∑ 𝛼2V32421. + ∑ R5I35651. . Inoltre

dall’espressionedivsiha:

Veq=vquandoi=0,ovveroquandolaportaABèpostaincircuitoaperto. Req=v/iquandoigeneratoriditensioneedicorrenteindi-pendentiinterniadN

sonospenti.Larelazionetrovatafravadidescriveunresistoreinserieconunge-

ElettrotecnicaT


neratoreditensioneindipendente.Laseriefralaresistenzaequivalenteeilgeneratorediten-sioneindipendenteequivalentecostituisceilcircuitoequivalentediThévenin.Talecircuitoèmostratonellafiguraafianco.L’equazionecaratteristicadelcircuitodiThévenin,equivalentealcircuitoN,è: v=Reqi+VeqdoveVeqdelgeneratoreditensioneèlatensioneallaportaABdelcircuitoNlasciataincircui-toapertoeReqèdatadalrapportov/iallaportaABquandotuttiigeneratoriindipendentiin-ternialcircuitoNsonospenti.

TeoremadiNortonAllaportaABdelcircuitoNsicolleghioraungene-ratoredi tensione indipendente.Per la linearitàdelcircuitoN lacorrente ièdataanche inquestocasoda una combinazione lineare deglimgeneratori ditensioneedeiqgeneratoridicorrenteinterniadNedal generatore di tensione indipendente collegatoallaportaAB.Inquestocasoicoefficientidellacom-binazione lineare sono le funzioni di trasferimentorelativeallecoppieingressi,datidaigeneratoriindipendentidelcircuito,erisposta,datadai.Sihaquindi:

i=Geqv+∑ G2V32421. +∑ 𝛽5I35651.

Þ i=Geqv+Ieq

dove: Ieq=∑ G2V32421. ∑ 𝛽5I35651. .Inoltredall’espressionediisiha:

Ieq=iquandov=0,ovveroquandolaportaABèincortocircuito. Geq=i/vquandoigeneratoriditensioneedicorrenteindipendentiinterniadN

sonospenti.SinoticheGeq=1/Req.Larelazionetrovatafravadidescriveunresistoreinparalleloconungeneratoreditensioneindipendente.IdueramiinparallelocostituisconoilcircuitoequivalentediNorton.Talecircuitoèmostratonellafiguraafianco.L’equazionecaratteristicadelcircuitodiNorton,equi-valentealcircuitoN,è:

i=Geqv+IeqdoveIeqdelgeneratoredicorrenteèlacorrenteallaportaABdelcircuitoNmessaincortocircuitoeGeq=1/Reqèdatadalrapportov/iquandotuttiigeneratoriindipendentiinternialcircuitoNsonospenti.

Calcolo della resistenza equivalente dei circuiti di Thévenin e di Nortoncongeneratoripilotati

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Quandoall’internodelcircuitoNnonvisonogeneratoripilotatimasologeneratoriindipen-denti,ilcalcolodiReqpuòesserefattospegnendotuttiigeneratoriindipendentiecalcolandolaresistenzaequivalentevistadallaportaABdelcircuitoNconleregoledellaserie,delparal-leloedellatrasformazionestella-triangolo.Quando inNvi sonoanchegeneratoripilotatiperilcalcolodiReqsispengonoall’internodiNtutti i generatori indipendenti ma si lascianoattivi igeneratoripilotati.Si collegaallaportaABungeneratoreditensioneV0notaesicalco-la la corrente i0 richiesta dal circuito. La resi-stenzaequivalenteè:

Req=&!'!

ReciprocitàdeicircuitiequivalentidiTheveninediNortonDallaconoscenzadiVeqdelcircuitodiThéveninèpossibileottenereIeqdelcircuitodiNortoneviceversa:

v=Reqi+Veq(C.Thévenin) i=Geqv+Ieq(C.Norton)ÞReqi=v+ReqIeqÞv=Reqi-ReqIeq

Þ Veq=-ReqIeq; Ieq=-Veq/Req; Req=-Veq/IeqEsempio6SivoglionodeterminareicircuitiequivalentidiThévenine di Norton del circuito della figura a fianco visto dallaportaAB.Nelcircuitosonopresentiungeneratoredicor-renteindipendenteedungeneratoreditensionepilotato.Per il calcolo di Veq del circuito di Thévenin si lascia laportaABincircuitoaperto.VeqèdatadallatensionefraAeB.Al finedicalcolaretale tensionesirisolve ilcircuitocolmetododeipotenzialidinodo.Scelto ilnodo0comenododiriferimento. Iduenodidinonriferimento fannopartedelsupernodou1-u2. Il sistemarisolventeèdatodall’equazione trattadallaLKCper ilsupernodoedallatensionedelramocompresoall’internodelsupernodo,datadallatensionedelgeneratorepilotato:

i2+i3=10 dove:i2=u2/4ei3=u1/6 u2–u1=-2vxdove:vx=u2

Þ 3u2+2u1=120 u2–u1=-2u2Quindirisulta:Veq=VAB=u1=40V.PerilcalcolodiIeqdelcircuitoequivalentediNortonsicortocircuita la porta AB. La corrente Ieq è la correntechefluiscenelramoABdicortocircuito.Perilcalcolodi

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dettacorrentesiutilizzaancheinquestocasoilmetododeipotenzialidinodo.Ilsistemari-solventeèdatodall’equazioneottenutadallaLKCapplicataalsupernodoedallatensionedelramoall’internodelsupernodo.Taletensioneèdatadatadallatensionedelgeneratorepilota-to:

i2+i3-Ieq=1dove:i2=u2/4;i3=u1/6;Ieq=-u1/2 u2–u1=-2vxdove:vx=u2

Þ 6u2+16u1=240 u2–u1=-2u2Quindirisulta:Ieq=-u1/2=-6.67A.Per il calcolo della resistenza equivalente Req dei circuiti diThéveninediNortonsispegneall’internodelcircuitoilgene-ratoredicorrenteindipendentesostituendoloconuncircuitoaperto.NonèpossibileperòspegnereilgeneratorepilotatoequindinonèpossibilecalcolareRequtilizzandoleregoledellaseri e del parallelo. In questo caso è necessario collegare laportaABadungeneratoreindipendente,utilizzandounaten-sionegenerataapiacere.NelcasoinesamesiimponeV0=1V.Sicalcolaquindii0esiottieneReq=V0/i0.Perilcalcolodii0siutilizzaancheinquestocasoilmetododeipotenzialidinodo.Ilsistemarisolventeèdatodall’equazionedelsupernodoedallatensionedelramoall’internodelsupernododatadallatensionedelgeneratorepilotato:

i2+i3–i0=0 dove:i2=u2/4;i3=u1/6;i0=(V0–u1)/2=(1–u1)/2 u2–u1=-2vxdove:vx=u2

Þ 3u2+8u1=6 u2–u1=-2u2Quindirisultai0=(1-u1)/2=1/6eReq=V0/i0=6W.I circuiti di Thévenen e diNorton, equivalentialcircuitoesaminatonell’esempioinesamevi-stodallaportaAB,sonorappresentatirispetti-vamentenelle figurea fianco.Per ilcircuitodiThéveninVeq=40V.Per il circuitodiNorton:Ieq=-6.67A.PerentrambiicircuitiReq=6W.SinotiinioltrechelarelazionedireciprocitàReq=-Veq/Ieqèrispettata.

Massimotrasferimentodipotenza

Ognicircuitotrasmetteaduneventualecaricocollegatoadunasuaportaunapotenzachedipendedallaresistenzadelcarico.Épossibiletrovareilmassimotrasferimentodipotenzaadunca-ricoutilizzandouncircuitoequivalentealcircuitodato.Ilcircuitodella figuraa fiancorappresenta ilcircuitodiThéve-

ElettrotecnicaT


nin, equivalente al circuito oggetto dell’indagine, collegato tramite la portaAB ad una resi-stenzadicaricovariabileRL.Lapotenzaassorbitadalcaricoè:

P=vABi=RLi2=RL!&"#

($)("#"*

PerundeterminatocircuitoVeqeReqsonofissati.Lapoten-zaassorbitadalcaricovariaalvariaredellasuaresistenza.Comeindicailteoremadelmassimotrasferimentodipo-tenza (maximalpowertransfer) lapotenzaassorbitadalcaricoèmassimaquando la resistenzadelcaricoèugualeallaresistenzaequivalentedelcircuito.Ilmassimodellapotenzaalvariaredellaresistenzadicari-cocorrispondeall’annullarsididP/dRL:

787'*

=V9:+'*)+'*;'+,

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3. Metodi di analisi circuitale - unibo.it...stema e trovate le correnti, dalle equazioni caratteristiche degli elementi si derivano le ten-sioni di ramo. Esempio 1 In figura è rappresentato