3. Modelli di reti complesse

•Reti random (Erdos-Renyi)•Reti Scale Free•Costruire una ER, SF con Pajek e Octave

Degree distribution

Probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k

n

k gradocon nodi #)( kP

k

kP 1)(

Probability Distribution Function Funzione di distribuzionedensità di probabilitàDegree distribution

Cumulative Distribution Function Funzione di Ripartizione

k

h

hPkgradoP0

)()(

Funzione di sopravvivenza

max

)()()(k

kh

hPkgradoPkP

max

min 1minmin 1)()()(

k

kh

hPkgradoPkP

distribuzione

ripartizione

sopravvivenza

k

nmkkP /2)(kmedio grado

SopravvivenzaScala logaritmica

definizioni

Rete completamente connessa [Fully connected network]:Tutti i nodi son collegati gli uni con gli altri

Rete regolare: tutti i nodi hanno lo stesso grado

Lattice: ogni nodo è collegato con i suoi vicini a seconda della distanza euclidea fissata

Lattice ad anello [Ring lattice or regular ring]: i nodi sono disposti in cerchio e connessi con i k vicini più prossimi

Esempi di degree distribution

Rete completamente connessa, o completa o regolare o omogenea [fully connected]=> tutti i nodi hanno lo stesso grado

Rete random n=100, m=300 coppie estratte a caso i.e links.

Binomial/Poisson distribution

Per n≥100 e np≤10 oPer n ≥20 e p ≤1/20Binomiale Poisson

Binomiale <k>=pn p=0.06

m=300; link possibili 4950!2)!2100(

!100

2

100

Reti random

Una rete random è ottenuta a partire da n vertici ed aggiungendo spigoli tra essi in modo random. Diverse distribuzioni di probabilità dei gradi dei nodi corrispondono a diverse reti. Il tipo di reti random più studiato è quello in cui ogni spigolo è aggiunto con probabilità costante p. Il modello G(n,p) di Erdos-Renyi è di questo tipo. Si ottiene collegando i nodi con probabilità costante p.

Il numero medio di spigoli nel modello G(n,p) èSi ottiene una distribuzione Binomiale dei gradi

Nella figura seguente vediamo alcune reti Erdos-Renyi con p differenti.

pn

Np

2

Random networks (Erdös and Rényi, 1959)

Diversi tipi di grafi random con 10 nodi. Ogni coppia di nodi è connessa con probabilità a) p=0; b) p=0.1;c) p=0.15; d) p=0.25

Wang.X.F., 2002

1125.1125*100

45 25.0

775.615*100

45 15.0

55.410*100

45 0.1p

45!2)!210(

!10

2

10

2;10;!)!(

!

Npp

Npp

Np

N

rnrrn

n

r

nN

Proprietà reti random

Sopra un certo valore di p è ‘’praticamente certo’’ che il grafo sarà connesso

pc (ln n)/n= percolation treshold,

il grado medio corrispondente è: <kc> = 2m/n=pc(n-1) pc n

Effetto Small World: la distanza media lCresce lentamente co n.

Il coefficiente di Clustering Ctende a 0 per n∞ (fissato <k>)

Proprietà reti random

knl log/)log(

nkpC /

Small World model (Watts and Strogatz, 1998)Volevano costruire una rete con alto clustering and bassa distanza media

Si parte da un ‘’regular ring’’ con n nodi dove ogni nodo è connesso con i suoi M vicini a destra e M a sinistra e quindi ha grado k=2M.

M=2k=4

Una rete così fatta ha un alto clustering coefficient (tipico delle reti regolari)

E una distanza media alta (che cresce linearmente con n)

24

33

M

MC

M

nl

4

Rewiring: si fanno passare tutti i nodi da 1 a n. Si considerano tutti i link dal nodo i al suo nodo di destra j e, con probabilità p, si rompe la connessione con j e la si indirizza verso un altro nodo scelto a caso

Se p è piccolo, le proprietà locali non saranno modificate in modo significativo i.e 1)la degree distribution rimarrà concentrata intorno alla media <k>=2M2)Il clustering coefficient C non varierà in modo significativo

Ma si noterà una notevole diminuzione della distanza media che passa da anl )log(nl

n

ll=n

l=log(n)

Nota: il modello SW, seppure in grado di generare il fenomeno della distanza piccola, mostra una distribuzione dei gradi dei nodi ancora Poissoniana concentrata attorno ad un valore medio e che non assicura la disomogeneità della rete tipica delle reti naturali (pochi nodi con tanti collegamenti)

k

)(kP

k

)( kxP

log(k)

))(log( kxP

pdf, distribuzionesopravvivenza

1)( kkXP

Distribuzioni a legge di potenza, legge di Zipf= distribuzione ad invarianza di scala

distribuzione di Pareto

)log()log()1())(log( CkkP

L’economista Pareto la individuò nella distribuzione del reddito.Il linguista Zipf la individuò nella frequenza d’uso delle parole nei testi.Principio 80/20: il 20% della popolazione detiene l’80% della ricchezza.

La funzione di sopravvivenza ha la forma

Di solito sono rappresentate in un grafico log-log cioè:

1)( CkkgradoP

E la relazione diventa lineare

Nonostante siano molti i fenomeni che presentano distribuzioni ad invarianza di scala per alcuni intervalli, sono rari i casi in cui questo valga lungo tutto il supporto.

http://www.nexres.org/2009/04/27/distribuzione-a-legge-di-potenza/

http://www.cash-cow.it/2007/scienza-della-complessita/legge-di-potenza.htm

Commenti sulla legge di potenza

Reti ‘’scale free’’

n=200, m=199, ottenuta aggiungendo un nodo alla volta e connettendolo, in modo ‘’preferenziale’’ (con più alta probabilità) a nodi con grado più alto.

Piccardi ACN2010

Pochi nodi con grado molto alto

legge di Potenza

PP

P

P(x≥

k)

La particolarità di questi grafi è che il numero di link di un nodo è proporzionale al numero di link già esistenti.

Esempi di reti Scale Free (Barabasi e Albert, 1999)

Scala logaritmica

Compaiono gli hubs

E’ quasi una linea retta

)()( kxPkP

Costruire una scale-free network

Algoritmo di Barabasi and Albert (1999) ispirato alla crescita della rete WWW1.Si considerano m0 nodi connessi in modo arbitrario (ad esempio una random network)2.Ad ogni passo, si aggiunge un nuovo nodo i con m≤m0 links in modo che si attacchi ai nodi esistenti a seconda del loro grado.3.Preferential attachment: gli m links si legano con più alta probabilità a nodi con alto grado («rich get richer») La probabilità di collegare un nuovo nodo i ad uno esistente j è proporzionale a kj:

Alcune proprietà delle reti ad invarianza di scala [Scale free networks]

Per n∞

1)Il grado medio tende a <k>=2m e P(k)=k -3

2)La varianza <k2>= 2=<k2>-<k> 2 diverge (‘’heavy tail’’). la varianza continua ad aumentare se aumento il numero di nodi

3) La distanza media aumenta come (‘’ultra Small World’’)

4) Il clustering C0 ma meno velocemente rispetto alle reti E-R dove è molto piccolo per qualsiasi n

(n))(

nl

lnln

ln

Robustezza delle Scale-free networks

SF robuste ad attacchi random

Robustezza delle Scale-free networks

Proprietà reti scale Free

Legge di potenza disomogeneaAlto clusteringPresenza di HubRobustezza ad attacchi casualiVulnerabilità ad attacchi mirati

DescrivonoInternetWWWServizi urbaniTraffico aereoReti socialiLo shortest path dipende dalla distanza di un hub

Varie

Distribuzione di Poisson

Probabilità di avere k occorrenze di un evento in un certo intervallo di tempo sapendo che il n° medio nell’intervallo è

(x≥k)=1-P(x≤k)Funzione di sopravvivenza

P

P(X=k)

Distribuzione binomiale

E’ la probabilità di avere k successi in n prove indipendenti, ciascuna con probabilità p di successo. Per n=1 diventa la distribuzione di Bernoulli.

La probabilità di avere k successi (k link) in n esperimenti (link possibili) è:

media=npvarianza=np(1-p)

Distribuzione discreta priva di memoria

Distribuzione di Poisson

Distribuzione discreta priva di memoria

Esprime le probabilità che si verifichino n eventi indipendenti in un dato intervallo di tempo, sapendo che mediamente se ne verificano

Le distribuzioni binomiale e di Poisson convergono alla normale:La binomiale per n ∞Quella di Poisson quando la media è elevata (>6)