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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. ESTOS PROBLEMAS SE DEBEN RESOLVER
POR LOS TRES MÉTODOS, SI SU PLANTEMIETO DESEBOCA EN UN SSTEMA
2X2 Y ANALÍTICAMENTE Y POR MÉTODOS NUMÉRICOS SI ES UN SISTEMA
3X3.
1.-RESOLUCIÓN ANAÍTICA (IGUALACIÓN, REDUCCIÓN O SUSTITUCIÓN)
2.-RESOUCIÓN GRÁFICA (REALIZANDO LA GRÁFICA DEL SISTEMA)
3.-MÉTODOS NUMÉRICOS.
1.- Un joyero tiene dos tipos de mezclas originales como se deduce de la tabla que abajo
se indica: MEZCLA ORO(%) PLATA(%) IMPUREZAS(%)
A 85 10
B 96 2
Cuando recibe un pedido de un cliente lo que hace es coger la cantidad oportuna de cada
mezcla y fundirlas juntas para darle al cliente el producto con la pureza en oro pedida.
Si un día el joyero recibe un pedido de 80 kg con una pureza en oro de 93%, ¿Qué
cantidad de cada aleación A y B debería mezclar para fundirlas y darle al cliente su
pedido? En el pedido del cliente que cantidad de plata hay? ¿y de impurezas?
RESOLUCIÓN:
Este problema es una mezcla de dos componentes, definiremos las variables como
cantidad de cada mezcla que debemos coger para formar la mezcla pedida:
X(kg totales de la mezcla A)
Y(kg totales de la mezcla B)
Condiciones:
CI: la cantidad total de mezcla debe ser de 80kg
X(kg totales de la mezcla A)+ Y(kg totales de la mezcla B)=80kg
CII: la cantidad total de oro puro que debemos entregarle al consumidor es de 80kg al
93%.
Sabemos que para calcular la cantidad de un determinado material que hay en una
mezcla se debe multiplicar el porcentaje de pureza de la mezcla en ese material por la
cantidad total de mezcla.
X(kg totales de la mezcla A)*85/100(kg de oro puro)/kg de mezcla A+ Y(kg totales de
la mezcla B)*96/100(kg de oro puro)/kg de mezcla B=93/100(kg de oro puro en la
mezcla final)/kg de mezcla total*80 kg de mezcla final
Después de ver que el sistema es homogéneo pasamos a resolverlo. En este caso lo
vamos a resolver por los tres métodos para comparar las soluciones:
RESOLUCIÓN ANALÍTICA: VENTAJA QUE ES EXACTA.
kgBy
kgAxx
xxxx
xy
dosimplifica
yx
yx
181,58819,2180
819,2111/2402407680744011
74409676808580*93)80(9685
)80(
80*939685
80
COMPROBAMOS LA SOLUCIÓN.
Hemos realizado una aproximación por redondeo a la milésima para dar la solución por
lo tanto debemos determinar el error que tenemos en la misma:
%00012,0100*7440
991,74397440
7440991,7439181,58*96819,21*85
80*939685
80181,58819,21
80*939685
80
error
ok
yx
kgok
dosimplifica
yx
yx
Vemos que el error es muy pequeño por lo tanto damos por buena la solución obtenida.
Para acabar el problema vamos a determinar la cantidad de cada componente que tiene
la mezcla que le damos al cliente. Si nos fijamos en la mezcla A tiene de los tres
componentes, tiene oro, plata e impurezas en cantidad 100%-85%-10%=5% por lo tanto
si cogemos 21,819kg de mezcla A en ellos hay:
Oro:85/100*21,819=18,546kg
Plata:10/100*21,819=2,1819kg
Impurezas:5/100*21,819=1,091 kg
Lo mismo sucede con la mezcla B; total 58,181kg: 96%oro,2% plata y 2%impurezas.
Oro:96/100*58,181=55,854kg
Plata:2/100*58,181=1,164kg
Impurezas:2/100*58,181=1,164 kg
En total se le da:
Oro=18,5645 +55,854=74,4185kg
Plata=2,1819+1,164=3,3459kg
Impurezas=1,091+1,164=2,255kg
RESOLUCIÓN GRÁFICA: Muestra la solución de forma visual, pero a menudo es
difícil leer la solución de forma exacta.
Primero determinamos si el sistema tiene solución para ello determinamos la pendiente
de cada recta para ver si son secantes. Despejamos de cada una de ellas la “y”
885,02_
885,05,7796/8596/744085744096
7440968580*939685:2_
11_;80:1_
80*939685
80
m
xxyxy
yxyxrecta
mxyrecta
dosimplifica
yx
yx
Vemos que lo son, por lo tanto pasamos a realizar las tablas para la representación
gráfica:
x y_1 y_2
0 80 77,5 10 70 68,65
20 60 59,8
30 50 50,95 40 40 42,1
50 30 33,25 60 20 24,4
70 10 15,55 80 0 6,7
Podemos ver como debido a que las dos pendientes de las rectas son muy similares es
complicado ver el punto de corte, si recurrimos a la tabla de valores vemos que el punto
común es de x=20 kg de A y 60 kg de B, vemos que respecto a la solución analítica
tendríamos un error de:
%%126,3100*181,58
60181,58
%57,5100*181,21
20181,21
errorB
errorA
El resto del problema se resuelve de forma similar a lo realizado en el apartado anterior.
MÉTODOS NUMÉRICOS:Son aproximados pero fáciles de implementar en un
ordenador, para sistemas con más de tres ecuaciones son más ventajosos que los
analíticos.
Lo primero es realizar el diseño:
100*7440
)7440(
9685
80
80*939685
80
comperror
yxcomp
xy
x
dosimplifica
yx
yx
Series2; 0 Series3; 6,7
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 10 20 30 40 50 60 70 80
valo
res
de
la y
gráfica de la mezcla
Implementaremos este diseño en la Excel. Como el problema pregunta las cantidades de
cada componente en la mezcla final, vamos a utilizar la Excel para programar el cálculo
y así cuando obtengamos la solución tendremos la solución total.
Cantidad de oro total= 0,85*x+0,96y
Cantidad de plata total=0,10*x+0,02*y
Cantidad de impurezas totales=0,05*x+0,02*y
Fíjate que estas expresiones son las que hemos utilizado al final del método analítico
para obtener la cantidad total de cada componente en la mezcal, la diferencia es que
ahora las hemos dejado en función de la cantidad de x e y de mezcla A y B para que
cuando en la Excel obtengamos la solución el propio ordenador nos haga el cálculo:
x(kg A) y(kg B) comp error(%) kgoro puro kg plata kg impu
0 80 7680 -
3,22580645 76,8 1,6 1,6
10 70 7580 -
1,88172043 75,7 2,4 1,9
15 65 7530 -
1,20967742 75,15 2,8 2,05
17 63 7510 -
0,94086022 74,93 2,96 2,11
18 62 7500 -
0,80645161 74,82 3,04 2,14
20 60 7480 -
0,53763441 74,6 3,2 2,2
21 59 7470 -
0,40322581 74,49 3,28 2,23
22 58 7460 -0,2688172 74,38 3,36 2,26 22,5 57,5 7455 -0,2016129 74,325 3,4 2,275
23 57 7450 -0,1344086 74,27 3,44 2,29
Vemos que aceptamos como solución la última columna con un error del -0,13%.
2.- Juan tiene dos hijos, queremos saber la edad de cada uno de ellos. Sabemos que
entre los tres suman 120 años. Cuando pasen 20 años si a la edad que tendrá el padre se
le sumasen 40 años más tendría la misma que la de sus dos hijos juntos. Y Hoy día, la
edad del hijo mayor es 10 años más grande que el pequeño. Determina el sistema de
ecuaciones que resuelve el problema. Resuélvelo por un método algebraico y después
usa la Excel para resolverlo mediante un método numérico.
En este caso tenemos tres incógnitas:
Edad de Juán: x años
Edad del primer hijo: y años
Edad del segundo hijo: z años
Buscamos las condiciones en el texto:
CI: entre los tres suman 120 años
x(años) + y(años) +z(años)=120 años
CII: Cuando pasen 20 años si a la edad que tendrá el padre se le sumasen 40 años más
tendría la misma que la de sus dos hijos juntos.
(x+20)+40=y+20 +z+20
CIII: Y Hoy día, la edad del hijo mayor es 10 años más grande que el pequeño.
y= z+10
Éste es el sistema que resuelve el problema:
10
4060
120
zy
zyx
zyx
Vemos en este caso que el sistema es 3x3 por lo tanto es posible resolverlo mediante
métodos analíticos y numéricos, en este caso el gráfico queda descartado.
MÉTODO ANALÍTICO:Como el sistema es 3x3 vamos primero a reducirlo a un 2x2
por sustitución y luego resolvemos:
Vamos a substituir la última ecuación en la primera y la segunda:
102
1102
401060
12010
10
4060
120
zx
zx
zzx
zzx
zy
zyx
zyx
Una vez reducido a un dos por dos lo resolvemos por el método que queramos, en este
caso reducción, porque vemos que sumando las dos ecuaciones la z se anula y podemos
calcular el valor de x:
2x=100
X=50 años, Juan tiene 50 años.
Volvemos al sistema para determinar la z, edad del pequeño:
X+2z=110
2z=110-50
2z=60
Z=30 años
Y al final la “y”
Y=z+10=30 +10 =40 años.
COMPROBAMOS LA SOLUCIÓN:
103040
4030406050
120304050
10
4060
120
zy
zyx
zyx
MÉTODO NUMÉRICO:
Variables: x, y, z
Elegimos x para iterar.
Necesitamos una ecuación para la y y otra para la z en en la que sólo aparezca la x. Para
ellos escogemos dos ecuaciones del sistema, las que queramos. Vamos a coger la
segunda y la tercera:
10
20
10
4060
10
4060
zy
zyx
zy
zyx
zy
zyx
Una vez que tenemos la segunda y la tercera ecuación simplificadas, por substitución
vamos a obtener las dos ecuaciones mencionadas. Vamos a substituir la z en la primera
a partir de la segunda:
zxx
zzxzxzzx
55,02
10210210201020
La ecuación de la z ya la tenemos, ahora vamos a buscar la y. Para ello substituimos en
la segunda, por ejemplo,
155,01055,0
10
xyxy
zy
3.-Como hemos utilizado la segunda y la primera de las ecuaciones del sistema para
buscar la expresiones para la y la z, la primera, la que no se ha utilizado todavía se coge
para la comprobación:
Comp=x+y+z
4.- El error:
100*120
)120( comperror
Programamos la Excel:
x(años) y(años) z(años) comp error(%) 0 15 5 20 83,3333333
2 16 6 24 80 4 17 7 28 76,6666667
6 18 8 32 73,3333333 8 19 9 36 70
10 20 10 40 66,6666667 12 21 11 44 63,3333333
14 22 12 48 60 16 23 13 52 56,6666667
18 24 14 56 53,3333333 20 25 15 60 50
24 27 17 68 43,3333333 28 29 19 76 36,6666667
30 30 20 80 33,3333333 35 32,5 22,5 90 25
40 35 25 100 16,6666667 45 37,5 27,5 110 8,33333333
50 40 30 120 0
3.- El dueño de una bodega tiene dos tipos de vinos, el primero de una calidad alta lo
vende a un precio de 10 euros el litro y el otro más malo a un precio de 4 euros el litro.
Si un día recibe a un cliente que le pide un vino mezclado y que pueda pagar a 6 euros
litros, ¿Cuántos litros de cada tipo de vino debería mezclar para darle al cliente lo que la
mezcla que pide sin perder dinero? Resuelve el problema algebraicamente y después
mediante un método numérico con la Excel.
ESTE PROBLEMA ES LO QUE SE ENTIENDE POR UNA MEZCLA
ECONÓMICA. Su resolución es la misma que la resolución para el problema primero
de la mezcla por componentes, la única diferencia es que en este se utiliza el precio en
vez de los porcentajes.
Definimos dos incógnitas:
x( litros del primer vino)
y(litros del segundo vino)
Condiciones:
Necesitamos saber la cantidad total de mezcla que ha pedido el cliente, en este caso no
la dice, en estos casos se coge como base de cálculo 100 litros.
CI: Debemos entregarle 100 litros
x(l)+y(l)=100 litros
CII: El dinero que ganaría vendiendo los vinos por separado debe ser el mismo que
ganará con la mezcla:
10euros/l*x(l)+4euros/l*y(l)=100litros*6euros/l
SISTEMA:
600410
100
yx
yx
RESOLUCIÓN ANALÍTICA:
litrosy
litrosx
x
xx
xx
xyyx
yx
667,66333,33100
333,336/200
2006
600440010
600)100(410
)100(600410
100
Vemos que por cada 100 litros de mezcla si lo vendemos a 6 euros, hay coger 33,333
litros del primero y 66,667 litros del segundo.
MÉTODO NUMÉRICO:
Variables: x,y
1.-Escogemos para iterar x
2.- Expresión para la y
Y=100-x
3.-Comprobación=10x+4y
4.-error=(600-comp)/600*100
Excel:
x(litros) y(litros) comp error(%)
0 100 400 33,3333333 5 95 430 28,3333333
10 90 460 23,3333333 15 85 490 18,3333333
20 80 520 13,3333333 25 75 550 8,33333333
30 70 580 3,33333333 31 69 586 2,33333333
32 68 592 1,33333333 33 67 598 0,33333333
33,5 66,5 601 -
0,16666667
4.-Antonio ha salido para realizar una caminata hacia Montserrat. Hoy ha salido de un
hostal, a las seis de la mañana, a una velocidad de 10Km/h. Dos horas más tarde ha
salido a buscarlo su amigo Joan a una velocidad de 18 km/h. ¿A qué hora y a qué
distancia del hostal Joan se encontrará con Antonio?
Este problemas es de movimiento, las variables que intervienen son la distancia, el
tiempo y la velocidad. La forma de resolverlos es plantear cuál de las variables es la
misma para los dos objetos que se mueven. En este caso vemos que la velocidad no es
la misma, y el tiempo tampoco ya que uno sale más tarde que el otro por lo tanto se
deduce que la variable común es la distancia recorrida ya que nos pregunta dónde se
encuentran. Por lo tanto vamos a definir la ecuación que resuelve el problema:
Distancia recorrida por Antonio= distancia recorrida por Joan
Sabemos que la distancia recorrida es, d = velocidad*tiempo
Cambiamos a velocidades y tiempos porque estos son los datos del problema:
Velocidad Antonio*tiempo Antonio=velocidad Joan*tiempo de Joan
JJAA tvtv
Vemos que las velocidades son conocidas pero los tiempos no, como tenemos dos
tiempos diferentes debemos buscar otra ecuación, una relación entre estos dos tiempos.
En estos problemas los tiempos hacen referencia al tiempo no horario sino que ha
estados en movimiento. Según el enunciado Joan ha salido dos horas más tarde que
Antonio, eso significa que Antonio estará caminando dos horas más que Joan:
2JA
JJAA
tt
tvtv
Ya tenemos nuestro sistema: MÉTODO ANALÍTICO, en este caso la forma más rápida
de resolución:
horastttt
tttttt
tt
tt
tvtv
JJJJ
JJJJ
JA
JA
JA
JJAA
5,24/108/208101820
18201018)2(102
1810
2
Esto significa que Joan ha necesitado 2,5 horas para coger a Antonio lo que implica que
Antonio ha estado moviéndose 2,5+2=4,5 horas.
Calculemos la distancia que ha recorrido cada uno, que debe ser la misma:
kmhh
kmd
kmhh
kmd
J
A
455,2*18
455,4*10
Vemos que Joan coge a Antonio a 45 km del hostal, además nos sirve para comprobar
porque todo el problema ha girado en torno a la idea central de que Antonio es cogido
por Joan, por eso la distancia recorrida por ambos debe ser la misma.
5.-Un grifo, número 1, tarda en llenar un depósito en 3 horas más que otro que
llamaremos grifo 2. Si se ponen los dos grifos juntos se llena el depósito en 2 horas y
treinta minutos. ¿Cuánto tardarán en llenarlo cada uno por separado?
Parece que necesitamos saber qué volumen tiene el depósito, por lo tanto vamos a
suponer que el depósito tiene V(litros).
Vamos a definir las variables, para el grifo 1 vamos a decir que expulsa x(litros/minuto)
y el segundo y(litros/minuto).
Vamos a calcular el tiempo que tarda el primero en llenar solo el depósito:
minutosy
V
minutos
litrosy
litrosVt
minutosx
V
minutos
litrosx
litrosVt
)(
)(
)(
)(
2
1
Expresemos las primera condición:
CI: Un grifo, número 1, tarda en llenar un depósito en 3 horas más que otro que
llamaremos grifo 2.
18018021 minutosy
Vminutos
x
Vtt
CII: Si se ponen los dos grifos juntos se llena el depósito en 2 horas y treinta minutos.
minutosminutolyminutolx
litrosV1503060*2
)/()/(
)(
Vemos entonces, que no hay una tercera condición por lo tanto vamos a coger un
volumen de referencia, por ejemplo vamos a suponer que el depósito tiene 100 litros.
El sistema se convierte en:
150100
180100100
yx
yx
Vamos a quitar los denominadores haciendo el mcm de la primera ecuación que será x·y
minutolx
minutolxx
xx
xxxx
xxxx
xyyx
xyxy
yx
xyxy
yx
yxxy
yx
yxy
yx
x
yx
yx
yx
/241,0
/537,1360
268,23306,320
180·2
7,66·180·406,32006,320
07,6606,320180
18006,1201001007,66
)667,0(180100)667,0(100
667,0667,0
180100100
)(150100
180100100
150100
·180100100
150100
·180·100··100
150100
180100100
2
1
2
2
2
Vemos que el sistema es de segundo grado tenemos dos posibles valores de x y a cada
uno le corresponde un valor de la y:
X_1=1,537l/minuto; y_1=-0,87 l/minuto, vemos que esta solución queda descartada ya
que no puede ser negativa la cantidad de agua que da el grifo.
X_2=0,241 l/minuto, y_2=0,426 l/minuto.
6.-Un equipo de jugadores de fútbol está compuesto de 11 jugadores que son alumnos
de 1º,2º, y 3º de la ESO. El número de alumnos de segundo es el doble que el de
primero y el número de alumnos de tercero es un tercera parte de los de segundo.
¿cuántos alumnos de cada curso forman el equipo?
En principio vamos a definir tres variables, ya que queremos saber cuántos alumnos de
cada curso, y tenemos tres, hay en el equipo:
x(alumnos de 1º)
y(alumnos de 2º)
z(alumnos de 3º)
Tenemos que buscar tres condiciones para montar el sistema:
CI:En total los alumnos son 11
x(alumnos de 1º)+y(alumnos de 2º)+z(alumnos de 3º)=11
CII: El número de alumnos de segundo es el doble que el de primero
y(alumnos de 2º)=2· x(alumnos de 1º)
CIII: el número de alumnos de tercero es un tercera parte de los de segundo.
z(alumnos de 3º)=1/3· y(alumnos de 2º)
Una vez que tenemos el sistema y viendo que se trata de un 3x3 lo resolveremos de
forma ANALÍTICA y por MÉTODOS NUMÉRICOS.
FORMA ANALÍTICA:Por substitución vamos a reducir el sistema a un 2x2
º13261111º262·33
º3211/221122
38222·2
3411
23
114
23
1133
3
1
2
11
alumnoszyxalumnoszy
alumnoszz
zzmosmultiplicazzigualación
xz
zx
xz
zzxzy
yz
xy
zyx
COMPROBAMOS LA SOLUCIÓN:
26·3
12
63·26
1111263
3
1
2
11
yz
xy
zyx
VEMOS QUE LA SOLUCIÓN ES CORRECTA Y EXACTA.
2.-MÉTODOS NUMÉRICOS:
DISEÑO:
1.-variables: x,y,z
Escogemos para iterar la y
2.-Necesitamos dos ecuaciones una para la x y otra para la z en la que sólo aparezca la
y, para ello usaremos la sustitución. Cogemos dos ecuaciones del sistema para
obtenerlas, por ejemplo la segunda y la tercera.
yzyx
yz
xy3
1;
2
1
3
1
2
3.-usamos la primera para comprobar:
Comp=x+y+z
4.-Y el resultado de la primera para determinar el error:
100·11
)11((%)
compberror
EXCEL:
Y X Z COMP ERROR(%)
0 0 0 0 100 1 0,5 0,33333333 1,83333333 83,3333333
2 1 0,66666667 3,66666667 66,6666667 3 1,5 1 5,5 50
4 2 1,33333333 7,33333333 33,3333333 5 2,5 1,66666667 9,16666667 16,6666667
6 3 2 11 0
7.- La altura de un rectángulo es de 36 cm más pequeña que su base. Otro rectángulo
tiene una base que es 30 cm más pequeña la base del primer rectángulo y una altura que
es 20 cm más grande que la altura del primer rectángulo. Determina las dimensiones,
base y altura, del primer rectángulo si la diferencia entre las áreas es de 4320 cm
cuadrados.
Vamos a llamar rectángulo uno al rectángulo que nos interesa y que tiene una altura de
x(cm) y una base de y(cm). Estas son nuestras incógnitas. Busquemos dos ecuaciones
para relacionarlas:
CI: La altura de un rectángulo es de 36 cm más pequeña que su base
x(cm)=y(cm)-36cm
CII: la diferencia entre las áreas es de 4320 cm cuadrados.
Para expresar esta condición necesitamos conocer ambas áreas. Para ello sabemos que
el área del primer rectángulo será A_1=base·altura=y·x para el segundo tenemos que
expresar su base y su altura según los datos del problema:
X=altura del segundo rectángulo=x+20 cm
Y=base del segundo rectángulo=y-30 cm
Por lo tanto su área será X·Y
Ahora la CII: la diferencia entre las áreas es de 4320 cm cuadrados.
xy-XY=4320=xy-(x+20)(y-30)
si sustituimos las relaciones en función de la x y y minúsculas:
Así tenemos le sistema que nos da la solución del problema:
4320)30)(20(
36
yxxy
yx
El sistema es de segundo grado, debido a que a pesar de estar elevadas las incógnitas a
la primera entre ellas no sólo hay sumas y restas. Vamos a resolver el sistema de forma
analítica: Sustituyamos en la segunda el valor de x dado en la primera:
cmx
cmy
y
yy
yyyyy
yyyyy
yyyy
yyyy
yx
yxxy
yx
44436480
48010/4800
480010
48043203646
4320480163036
4320)4801630(36
4320)30)(16(36
4320)30)(2036()36(
36
4320)30)(20(
36
22
22
2
COMPROBACIÓN:
4320208800213120450·464213120
4320)30480)(2036480(480)36480(
44436480444
4320)30)(20(
36
yxxy
yx
VAMOS A RESOLVERLO DE FORMA NUMÉRICA.
Dada la forma del sistema vamos a escoger para iterar la x y calcularemos la y de la
primera. La segunda la vamos a dejar como comprobación así no es necesario tener que
simplificarla:
DISEÑO:
1.-Variables: x,y
Iteramos con la x
2.-De la segunda: y=x+36
3.-Comp= )30)(20( yxxy
4.-Error:
1004320
)4320((%)
compError
EXCEL:
X Y COMP ERROR(%) 0 36 -120 102,777778
10 46 -20 100,462963 20 56 80 98,1481481
30 66 180 95,8333333 50 86 380 91,2037037
60 96 480 88,8888889 100 136 880 79,6296296
150 186 1380 68,0555556 200 236 1880 56,4814815
250 286 2380 44,9074074 300 336 2880 33,3333333
350 386 3380 21,7592593 400 436 3880 10,1851852
440 476 4280 0,92592593 444 480 4320 0
8.- La diagonal de un rectángulo mide 10cm y uno de sus lados mide el 75% de la
distancia del otro. Con estos datos determina el área y el perímetro del rectángulo.
Vamos a definir dos variables:
Base=x(cm)
Altura=y(cm)
Necesitamos dos condiciones:
CI: uno de sus lados mide el 75% de la distancia del otro.
x(cm)=75/100·y(cm)
Hemos supuesto que la altura es mayor que la base, esto es indiferente porque la
definición de altura y base son intercambiables, podemos girar el rectángulo y las
definiciones serían las contrarias.
CII: La diagonal de un rectángulo mide 10cm
Esta condición nos habla de la diagonal. Si en un rectángulo cortamos el mismo por su
diagonal nos queda un triángulo rectángulo y loa diagonal es su hipotenusa por lo tanto
debemos aplicar esta segunda condición que no es otra cosa que el teorema de
Pitágoras: 222 10 yx
Ahora tenemos el sistema.
RESOLUCIÓN ANALÍTICA:Debido a que es de segundo grado lo resolvemos por
sustitución:
100
100
75
22 yx
yx
cmy
yyyy
yyyyyy
yx
yx
864
64625
40000
3125
200000
15625
10000001000000156251000000100005625
10000·10010000·10000·10000
5625100
10000
5625100
100
75
100
100
75
2222
22222
2
22
Aquí tenemos que hacer la aclaración de que a pesar de ser ambas soluciones correctas
para nuestro sistema, al tener sentido físico la variable una distancias, debemos escoger
el valor positivo.
Y=8 cm y x=75/100·8=6 cm
COMPROBACIÓN:
100643686100 2222 yx MÉTODO NUMÉRICO:
DISEÑO:
1,.Variables: x,y
2.-Se elige para iterar la y
3.-la x=0,75*y
4.-comp=x^2+y^2
5.-error(%)=(100-comp)/100*100
EXCEL:
Y(cm) X(cm) comp error(%)
0 0 0 100 1 0,75 1,5625 98,4375
2 1,5 6,25 93,75 3 2,25 14,0625 85,9375
4 3 25 75 5 3,75 39,0625 60,9375
6 4,5 56,25 43,75 7 5,25 76,5625 23,4375
8 6 100 0
FORMA GRÁFICA:
En este caso la segunda de las ecuaciones es una parábola, el método es el mismo pero
no tiene sentido hablar de la pendiente de la segunda. Por lo tanto prescindimos de
buscar las pendientes.
1.-Despejemos de ambas ecuaciones la “y”.
22222 100100100
75
1001_
xyxyyx
xy
En la segunda, debido a que tiene sentido físico la variable y ya que es una distancia,
nos quedaremos con el valor positivo.
2.-Tablas de valores: En Excel para escribir una raíz se usa el comando “raíz”
x y_1 y_2
0 0 10 1 1,33333333 9,94987437
2 2,66666667 9,79795897 3 4 9,53939201
4 5,33333333 9,16515139 5 6,66666667 8,66025404
6 8 8 7 9,33333333 7,14142843
8 10,6666667 6 9 12 4,35889894
10 13,3333333 0 11 14,6666667 #¡NUM!
12 16 #¡NUM! 13 17,3333333 #¡NUM!
Fíjate como para los valores de 11,12 y 13 la Excel no los puede graficar ya que el
resultado dentro de la raíz es negativa y por lo tanto no la puede calcular, estos valores
no se han cogido para realizar la gráfica:
Vemos como el punto de corte es el x=6 cm y =8 cm el mismo resultado.
9.- PROBLEMA DE LAS DOS TORRES: LEONARDO DE PISA
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
gráfica de las ecuaciones
y_1 y_2
Dos torres, una de 30 pasos de altura y otra de 40 pasos de altura, están separadas por
50 pasos. Entre las dos hay una fuente. Si desde la parte superior de cada torre bajan
dos pájaros a la misma velocidad y tardan el mismo tiempo en llegar a la fuente, ¿a qué
distancia se encuentra la fuente de cada torre?
Definiremos dos variables, la distancia de la torre superior a la fuente la denominaremos
x(pasos) y la distancia de la fuente a torre inferior y (pasos) medidas en horizontal
ambas. Necesitamos dos condiciones:
1.-Nos dice que los dos pájaros volando a la misma velocidad tardan el mismo tiempo
en llegar a la fuente, esto significa que las distancias medidas de la parte superior de
ambas torres a la fuente son iguales. Estas distancias son las hipotenusas de los dos
triángulos rectángulos que podemos ver en la figura, vamos a determinarlas en función
de los datos y la CI es que deben ser iguales:
CIyxhy
hx:3040
30
402222
222
222
2.-La segunda condición la obtenemos de que la distancia de la torre mayor a la fuente
es de x y de la fuente a la menor es y pero sabemos que la distancia total es de 50 pasos
por lo tanto:
50 yx
Ya tenemos nuestro sistema:
2222 3040
50
yx
yx
Vemos como en la segunda la x y la y están al cuadrado por lo tanto es un sistema de
segundo grado, lo resolveremos por sustitución. Despejemos de la primera “y” y la
sustituimos en la segunda:
2222
2222
2222
2222
222
222
30)50(40
30)50(40503040
50
:304030
40
xx
xxxyyx
yx
CIyxhy
hx
Cuidado al desarrollar el término del paréntesis que es una identidad notable:
Torre1
Torre2
Fuente
50 pasos
40 pasos
30 pasos
pasosy
pasosx
x
xxx
xxx
xxx
xx
321850
18100/1800
1800100
403050100
301005040
30·50·25040
30)50(40
22222
22222
22222
2222
COMPROBEMOS LA SOLUCIÓN:
19241924
30324018
50503218
3040
502222
2222 yx
yx
10.- Un joyero funde una cadena de oro de pureza 80% y un anillo de oro de pureza
64%. Y ha obtenido 12 gramos de una mezcla de pureza 76%. ¿Cuántos gramos pesaba
cada una las dos joyas fundidas?
Vamos a definir dos variables en función de las preguntas que nos hace el problema,
vamos a decir que la cadena pesaba x(gramos) y el anillo y(gramos). Es una mezcla por
componentes por lo tanto sabemos que las condiciones son:
CI: Y ha obtenido 12 gramos de una mezcla=x(gr)+y(gr)=12 gr
CII: Y ha obtenido 12 gramos de una mezcla de pureza 76%.
x(gr)*0,8(gr oro/gr totales)+ y(gr)*0,64(gr oro/gr totales)=0,76(gr oro/gr totales)*12 gr
El sistema es entonces:
76,0·1264,08,0
12
yx
yx
FORMA ANALÍTICA:
12,976,0·1212,93·64,09·8,0
121239
76,0·1264,08,0
12
:
3912
916,0/44,1
44,116,0
68,712,916,0
12,964,068,78,0
76,0·12)12(64,08,0
1276,0·1264,08,0
12
yx
yx
óncomprobaci
gry
grx
x
x
xx
xx
xyyx
yx
METODO GRÁFICO:
1.-Determinemos las pendientes para cerciorarnos de que el sistema tiene solución y ver
que son los suficientemente diferentes como para, cuando tengamos la gráfica, podamos
leer la solución con una precisión adecuada:
25,1
25,125,1464,0
8,0
64,0
12,98,012,964,076,0·1264,08,0
11276,0·1264,08,0
12
2
1
m
xxyxyyx
mxyyx
yx
Vemos como las pendientes son diferentes por lo tanto son secantes y el sistema tiene
solución pero las pendientes no son muy diferentes los que nos dificultará un poco la
lectura de la gráfica cuando la tengamos hecha.
Tablas:
x y_1 y_2 0 12 14,25
1 11 13 2 10 11,75
3 9 10,5 4 8 9,25
5 7 8 6 6 6,75
7 5 5,5 8 4 4,25
9 3 3 10 2 1,75
11 1 0,5 12 0 -0,75
Gráfica:
Vemos como el punto de corte es x=9 gr e y=3 gr.
MÉTODO NUMÉRICO:
DISEÑO:
1.- Variables: x,y
2.-Iteramos con la x
3.-y=12-x
4.-comp=0,8x+0,64y
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
gráfica de corte
y_1 y_2
5.-error(%)=(9,12-comp)/9,12*100
EXCEL:
X(GR) Y(GR) COMP ERROR(%) 0 12 7,68 15,7894737
1 11 7,84 14,0350877 2 10 8 12,2807018
3 9 8,16 10,5263158 4 8 8,32 8,77192982
5 7 8,48 7,01754386 6 6 8,64 5,26315789
7 5 8,8 3,50877193 8 4 8,96 1,75438596
9 3 9,12 -1,9478E-
14
VEMOS COMO LA ÚLTIMA FILA NOS DA LA RESPUESTA CON UN ERROR
DE -0,00000000000019478% PRÁCTICAMENTE CERO.
11.-La suma de las dos cifras de un número es 12. Si lo invertimos obtenemos otro
número igual al anterior menos 12 unidades.¿Cuál es el primer número?
Definiremos dos variables que serán las cifras que componen el número, así si el
número es xy, diremos que la primera cifra la de las unidades es y y la segunda la de las
decenas es x. Busquemos dos condiciones:
CI: La suma de las dos cifras de un número es 12
x+y=12
Vamos a la segunda que es la que tiene más dificultad. El primer número es el xy la
pregunta es ¿cuánto vale? Fíjate que al tener y unidades su valor es y·1 y al tener x
decenas vales 10x en total el número xy vale 10x+y hablando en unidades. Si lo
invertimos yx valdrá x+10y, siguiendo el mismo razonamiento, y ahora sabemos que el
valor del segundo es 12 unidades menos que el primero, ésta es la CII:
10x+y=10y+x+12
Ya tenemos nuestro sistema:
18/12012018129108912)12(99
121299
12
121010
12
xxxxxx
xyyx
yx
xyyx
yx
Vemos que el valor de la x no es entero, lo cuál no tiene sentido porque estamos
hablando de cifras por lo tanto debemos concluir que no existe un número que satisface
las condiciones impuestas por este problema.
12.-Un número de tres cifras es capicúa. La cifra de las centenas es tres unidades menor
que la de las decenas. La suma de las tres cifras es 12. ¿Cuál es el número?
Supongamos que el número es el xyx vemos que tiene dos cifras diferentes por lo tanto
éstas serán nuestras variables: la cifra de las unidades x y la de las decenas y.
Condiciones:
CI: La cifra de las centenas es tres unidades menor que la de las decenas.
x=y-3
CII: La suma de las tres cifras es 12=x+y+x=12
Sistema:
336
63/181831262
12)3(2122
3
12
3
x
yyyy
yyyx
yx
xyx
yx
El número buscado es el 363.
13.- Dos ciudades A y B distan 350 km. En un momento determinado un coche inicia el
viaje de A hacia B y al mismo tiempo un camión sale de B hacia A. Queremos
determinar la velocidad de cada uno si sabemos que tardan 1 hora y 45 minutos en
cruzarse y que el coche viaja a 2o km/h más que el camión.
Es un problema de movimiento, por lo tanto razonaremos como en el otro que se ha
resulto anteriormente. Las variables son distancia, velocidad y tiempo. ¿Cuál de ellas es
igual para ambos vehículos? La velocidad dice que el problema que no, si van a
velocidades diferentes, habiendo salido simultáneamente, no pueden recorrer distancias
iguales, por lo tanto concluimos que el tiempo que se están moviendo ambos vehículos
es el mismo. Éste será el planteamiento :
Tiempo moviéndose el camión= tiempo moviéndose el coche
Pero como los datos son de distancia y velocidades por lo tanto cambiamos el
planteamiento general a estos datos con la ecuación d=v·t por lo tanto diremos que la
distancia que ha recorrido el coche más la recorrida por el camión debe ser la total:
Distancia recorrida por el coche+distancia recorrida camión=360 km
Ahora usamos que la distancia es la velocidad por el tiempo:
360 cacacoco tvtv
Pero sabemos del enunciado que el tiempo de cada uno de ellos es el mismo e igual a 1h
y 45 minutos que son 1,75 horas por lo tanto en la ecuación anterior dividimos por 1,75
714,20575,1/360
360
caco
cacacoco
vv
tvtv
Vemos que tenemos dos incógnitas necesitamos otra condición, del problema vemos
que el coche tiene una velocidad que es 20 km/h superior al camión:
20
714,205
caco
caco
vv
vv
Éste es nuestro sistema: MÉTODO ANALÍTICO:
Coche
Camión
350km
km
tvtv
comp
hkmhkmvv
hkmvvv
vvvvv
vv
tvtv
cacacoco
caco
cacaca
cacaca
caco
caco
cacacoco
9995,35975,1*857,9275,1*857,112
360
:
/857,11220/857,9220
/857,922/714,185714,185220714,2052
20714,2052714,2052020
714,205
360
14.- Un cilindro tiene un radio R y un cubo tiene una arista A, donde el valor de A es el
mismo que R. Demuestra si es cierto que para que tengan la misma área la altura del
cilindro debe ser:
AH
2
)26(
¿Es posible que matemáticamente tengan exactamente el mismo área?
Vamos a trabajar con las fórmulas del área de un cilindro y de un cubo: Si no nos
acordamos los consultamos en cualquier libro de matemáticas.
2
2
6
22
AS
RHRS
cubo
cilindro
La condición es que las áreas sean iguales, por lo tanto igualemos ambas ecuaciones:
22 622 ARHR
SS cubocilindro
Vamos sustituir R por A según el problema: 22 622 AAHA
Como los tres términos tienen un A podemos dividirlos por A y quitar de los tres una:
AHA 622
Ahora despejemos H:
AAH
AHA
262
622
Sacamos factor común A del miembro derecho y dividimos por 2pi
2
)26(
AH
Vemos que la afirmación es cierta. Nunca podrán tener exactamente el mismo área ya
que aparece en la expresión el número pi que es un decimal no periódico infinito por lo
tanto matemáticamente nunca podrán tener el mismo área, podrán tener un área tan
similar como queramos cogiendo muchos decimales de pi pero nunca exactamente la
misma.
15.- SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO. FÍJATE EN LA RESOLUCIÓN:
SEA EL SISTEMA:
162
242
xy
yx
Este sistema es de segundo grado, lo que significa que tiene dos soluciones. Cada
solución constituye un valor de la x y un valor de la y. Recordemos que un sistema es
de primer grado cuando cumple que sus variables tienen potencias unitarias y entre ellas
las únicas operaciones son sumas y restas. En este caso es de segundo grado y la
resolución más sencilla es aislar una variable de una de ellas y sustituirla en la otra:
)8,4(),(2816)4·(24
)20,2(),(120162·22
42
62;2
2
62
2
62
2
362
1·2
3242
1·2
)8·(1·422
2
4
0822416224
162162
24
11
11
21
22
222
2
yxsoluciónyx
yxsoluciónyx
xx
a
acbbx
xxxxyx
xyxy
yx
Comprobemos las soluciones:
Solución primera: (x,y)=(2,20)
20162·220
2424204202
162
24 22
xy
yx
Solución segunda: (x,y)=(-4,8)
816816)4·(28
24248168)4(
162
24 22
xy
yx
16.- La diferencia de dos números es 6 y la de sus cuadrados es de 144 ¿cuáles son los
números?
Definimos las variables: Llamaremos al primer número x y al segundo y.
Condiciones:
CI: La diferencia de dos números es 6
x-y=6
CII: y la diferencia de sus cuadrados es de 144
14422 yx
El sistema finalmente es el siguiente:
6
14422
yx
yx
RESOLUCIÓN ANALÍTICA:
6915
14414481225915
6
144
:
1596
912/108
10812
3614412
1441236
1446636
144)6)(6(
144)6(66
144
2222
22
2
22
22
yx
yx
comp
x
y
y
y
y
yyyy
yyy
yyyxyx
yx
RESOLUCIÓN GRÁFICA:
En este caso tenemos un sistema de segundo grado, en principio esto es lo que parece ya
que la segunda ecuación contiene a las variables elevadas al cuadrado. Por lo tanto en
principio cabe esperar que tenga dos soluciones, por lo tanto en las tablas de valores
vamos a incluir valores negativos y positivos para representar las funciones.
1.-Despejamos las y de ambas ecuaciones:
144144
6
6
144
222
22
xyxy
xy
yx
yx
Para hacerlo con la Excel vamos a considerar que tenemos dos sistemas uno en el que la
segunda ecuación sea positiva y el otro con la ecuación negativa. Ojo que no podemos
sacar fuera la x de la raíz ya que no está multiplicando ni dividiendo al 144, al estar
sumando o restándolo no la podemos sacar fuera!!!!!!!!!
SOLUCIÓN 1: ECUACIÓN SEGUNDA POSITIVA (X VALORES NEGATIVOS).
X Y_1 Y_2 -12 -18 0
-13 -19 5 -14 -20 7,21110255
-15 -21 9 -16 -22 10,5830052
-17 -23 12,0415946 -18 -24 13,4164079
-19 -25 14,7309199 -20 -26 16
-21 -27 17,2336879 -22 -28 18,4390889
-23 -29 19,6214169 -24 -30 20,7846097
-25 -31 21,9317122 -26 -32 23,0651252
-27 -33 24,1867732 -28 -34 25,2982213
-29 -35 26,4007576 -30 -36 27,4954542
-31 -37 28,5832119 -32 -38 29,6647939
Indicación: ¿Por qué en la tabla para la raíz hemos representado sólo valores menores o
iguales a -12? Fíjate que el radicando debe ser positivo ya que la raíz es par, cuadrada
en este caso, el número más pequeño que iguala a 144 cuando se le eleva al cuadrado es
-12 o 12, si usamos valores más grandes por ejemplo -11 al cuadrado es 121 y al restarle
144 el radicando sería negativo y la raíz no tendría una solución real, que son las que
buscamos. Observemos la gráfica, vamos que a medida que x se hace más negativa
fíjate como la parábola crece y la recta decrece por lo tanto no tendrán un punto en
común, por el otro lado parece que si el valor de x estuviese a la izquierda de -12 se
cortarían pero esto no es cierto ya que a pesar de que la recta crece la parábola no existe
según lo argumentado al inicio del párrafo, por lo tanto se concluye no tenemos
solución para esta primera condición.
SOLUCIÓN 2: LA PARÁBOLA NEGATIVA (VALORES DE X POSITIVOS A
PARTIR DE 12):
X Y_1 Y_2 12 6 0
13 7 -5
14 8 -
7,21110255 15 9 -9
16 10 -
10,5830052
17 11 -
12,0415946
18 12 -
13,4164079
19 13 -
14,7309199
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -24 -25 -26 -27 -28 -29 -30 -31 -32
GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN
Series2 Series3
20 14 -16
21 15 -
17,2336879
22 16 -
18,4390889
23 17 -
19,6214169
24 18 -
20,7846097
25 19 -
21,9317122
26 20 -
23,0651252
27 21 -
24,1867732
28 22 -
25,2982213
29 23 -
26,4007576
30 24 -
27,4954542
31 25 -
28,5832119
32 26 -
29,6647939
Vemos que sucede exactamente lo mismo que se ha comentado en la anterior solución.
SOLUCIÓN 3: ECUACIÓN SEGUNDA NEGATIVA (VALORES DE X
NEGATIVOS)
X Y_1 Y_2 -12 -18 0
-13 -19 -5
-14 -20 -
7,21110255
Y_1; 26
Y_2; -29,66479395
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Títu
lo d
el e
je
GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN
-15 -21 -9
-16 -22 -
10,5830052
-17 -23 -
12,0415946
-18 -24 -
13,4164079
-19 -25 -
14,7309199
-20 -26 -16
-21 -27 -
17,2336879
-22 -28 -
18,4390889
-23 -29 -
19,6214169
-24 -30 -
20,7846097
-25 -31 -
21,9317122
-26 -32 -
23,0651252
-27 -33 -
24,1867732
-28 -34 -
25,2982213
-29 -35 -
26,4007576
-30 -36 -
27,4954542
-31 -37 -
28,5832119
-32 -38 -
29,6647939
Series2; -38
Series3; -29,66479395
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32
Títu
lo d
el e
je
GRÁFICA SOL 3
Tampoco tiene solución.
SOLUCIÓN 4: LA SEGUNDA ECUACIÓN POSITIVA( VALORES DE X
POSITIVOS MAYORES QUE 12)
X Y_1 Y_2 12 6 0
13 7 5 14 8 7,21110255
15 9 9 16 10 10,5830052
17 11 12,0415946 18 12 13,4164079
19 13 14,7309199 20 14 16
21 15 17,2336879 22 16 18,4390889
23 17 19,6214169 24 18 20,7846097
25 19 21,9317122 26 20 23,0651252
27 21 24,1867732 28 22 25,2982213
29 23 26,4007576 30 24 27,4954542
31 25 28,5832119 32 26 29,6647939
VEMOS COMO CON ESTA COMBINACIÓN SÍ OBTENEMOS LA SOLUCIÓN
x=15 y =9.
MÉTODO NUMÉRICO:
DISEÑO:
1.-Variables: x,y
2.-Iteraremos con la x
0
5
10
15
20
25
30
35
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Series2
Series3
3.-y=x-6
4.-Comp=x^2-y^2
5.-error(%)=(144-comp)/144*100
Excel:
x y comp error -12 -18 -180 225
-13 -19 -192 233,333333 -14 -20 -204 241,666667
-15 -21 -216 250 -16 -22 -228 258,333333
-17 -23 -240 266,666667 -18 -24 -252 275
Fíjate que si la x se hace más negativa que -12 el error va creciendo por lo tanto no
puede haber una solución inferior a -12.
x y comp error -12 -18 -180 225
-13 -19 -192 233,333333 -14 -20 -204 241,666667
-15 -21 -216 250 -16 -22 -228 258,333333
-17 -23 -240 266,666667 -18 -24 -252 275
-11 -17 -168 216,666667 -10 -16 -156 208,333333
-9 -15 -144 200 -8 -14 -132 191,666667
-7 -13 -120 183,333333 -6 -12 -108 175
-4 -10 -84 158,333333 -3 -9 -72 150
2 -4 -12 108,333333 4 -2 12 91,6666667
6 0 36 75 8 2 60 58,3333333
9 3 72 50 10 4 84 41,6666667
12 6 108 25 14 8 132 8,33333333
15 9 144 0
17 11 168 -
16,6666667 18 12 180 -25
De la misma manera que si la x aumenta por encima de 15 el error también, en valor
absoluto, crece por lo tanto se concluye que sólo existe una solución que es x=15 e y=9
que además es exacta.
17.-La diagonal de un rectángulo mide 26 metros y su perímetro 68. Calcula la medida
de sus lados.
Definamos dos variables: base, x (m) y la altura y(m).
Condiciones:
CI: su perímetro 68
x+x+y+y=68
2x+2y=68
x+y=34
Para la segunda, nos fijamos que nos habla de su diagonal, como vemos en el dibujo la
diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos y como el dato es la
diagonal debemos pensar en el teorema de Pitágoras.
CII: La diagonal de un rectángulo mide 26 metros
676
26
22
222
yx
yx
SISTEMA:
34
67622
yx
yx
En este caso tengamos en cuenta que las variables tienen sentido físico, son distancias,
por lo tanto los valores de nuestras variables, a diferencia del problema anterior, no
pueden ser negativas.
SOLUCIÓN ANALÍTICA:
Base
Altura
mxymsix
mxymsix
mx
mxx
xx
xx
xxx
xxxy
yx
yx
2410343410
1024343424
104
2868
244
2868
4
2868
4
78468
2·2
480·2·46868
0480682
6762681156
676681156
676)34(34
34
676
12
11
2
1
2
2
2
22
2222
Estas son las dos soluciones, fíjate que aunque formalmente existen dos soluciones
desde el punto de vista físico realmente es sólo una ya que la definición de base y altura
es intercambiable ya que el rectángulo se puede girar, por lo tanto la conclusión es que
el rectángulo debe tener dos dimensiones de longitud 10 m y 24m.
