3 - O modelo de crescimento ptimo de Ramsey-Cass-Koopmans ... · Regra geral, a elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo é variável, dependendo do nível de consumo

Teorias do Crescimento Licenciatura de Economia

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3 – O modelo de crescimento óptimo de Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) 3.1 – Introdução 3.2 – Crescimento óptimo 3.2.1 – Utilidade intertemporal 3.2.2 – Optimização dinâmica 3.2.3 – Análise da fórmula da taxa de crescimento óptimo do consumo per capita das famílias 3.2.4 – Função utilidade marginal instantânea com elasticidade constante 3.3 – Modelo RCK segundo Barro&XavierSala-i-Martin 3.3.1 – Hipóteses 3.3.2 – Comportamento optimizante das famílias 3.3.3 – Comportamento optimizante das empresas 3.3.4 – Condição fronteira 3.3.5 – Análise qualitativa da solução de SSG

3.3.5.1 – 0k⋅∧

=

3.3.5.2 – 0c⋅∧

=3.3.5.3 – Diagrama de fase 3.3.5.4 – Ponto de equilíbrio de SSG: ponto de sela 3.3.6 – Análise quantitativa de SSG 3.3.6.1 – Linearização do sistema 3.3.6.2 – Resolução do sistema 3.3.6.2 – Exemplificação numérica 3.3.7 – Dinâmica de ajustamento da taxa de poupança 3.3.7.1 – Poupança de SSG 3.3.7.2 – Função poupança 3.3.8 – Efeito de substituição intertemporal e efeito rendimento 3.3.9 – Exercícios de dinâmica comparada 3.3.9.1 – Variações de g 3.3.9.2 – Variações de ρ


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3.1 - Introdução Os modelos de crescimento estudados até agora são modelos de crescimento exógeno com taxa de poupança exógena. Esta última hipótese significa que as decisões das famílias sobre o emprego do seu rendimento para o seu horizonte temporal de vida não foi considerado nos modelos de crescimento até agora estudados. A consideração daquelas decisões no modelo de RCK implica, em primeiro lugar, que a racionalidade económica subjacente ao comportamento das famílias seja considerada explicitamente pelo modelo; em segundo lugar, a taxa de poupança passa a ser uma variável endógena do modelo. O modelo de RCK é um modelo canónico de crescimento óptimo, com um horizonte temporal de vida infinito, foi elaborado de forma independente por Ramsey (1928), Cass (1965) e Koopmans (1965). Ao contrário dos modelos estudados anteriormente, este modelo tem uma natureza normativa já que as trajectórias de equilíbrio das variáveis endógenas e o ponto de equilíbrio de SSG são o resultado de decisões óptimas das famílias e empresas. Foi por essa razão que no final da década de 60 e na década de 70 estes modelos fizeram parte da agenda de investigação de Economia do Crescimento. Com o ressurgimento da Economia do Crescimento na década de 80, o interesse renovado por este tipo de modelos é também normativo mas o quadro de análise alarga-se, já que o papel do Estado é estudado no seio de modelos de crescimento óptimo endógeno. No que se segue, iremos apresentar de forma resumida o modelo de RCK seguindo Barro&Sala-i-Martin(1965). 3.2 – Crescimento óptimo Iniciaremos a nossa análise pelo estudo do comportamento optimizante das famílias supondo que o seu horizonte de vida é infinito. Trata-se pois de estudar o problema da maximização da utilidade em dinâmica, supondo neste caso que o horizonte temporal é infinito. Em estática, a família maximiza a sua utilidade no período corrente, maximizando o consumo, tendo em conta a sua restrição orçamental. Sendo o horizonte temporal infinito, a família maximiza a sua utilidade para o conjunto de períodos considerados, ou seja, maximiza o consumo intertemporal tendo em conta a sua restrição orçamental intertemporal. Cada família possui indivíduos que trabalham e que maximizam a sua utilidade tendo em conta a geração actual mais nova e as gerações futuras de descendentes. A família tem assim uma vida infinita apesar dos seus membros terem uma vida finita. A consideração da família com um horizonte temporal infinito supõe que o comportamento dos pais seja em parte altruísta em relação aos seus descendentes:

“A família imortal corresponde a indivíduos com uma vida finita que estão ligados entre si através de uma estrutura operativa de transferências intergeracionais que se baseiam no altruismo” Barro&Sala-i-Martin, 1995, pp.60.


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3.2.1 – Utilidade intertemporal Cada indivíduo adulto, membro da família, procura maximizar o seu consumo ao longo do tempo, assim como o das gerações futuras, e valoriza em parte o consumo presente, é um pouco egoísta, por isso desconta à taxa ρ (taxa de preferência temporal pelo consumo presente), o consumo futuro. Consideremos que cada família cresce à taxa n e que a dimensão das famílias para t=0 é L(0)=1. Função utilidade instantânea A função utilidade instantânea é a função utilidade definida para uma data (período). A utilidade total instantânea é uma função bem comportada, a utilidade total instantânea cresce de forma decrescente. (3.1) ( ) ( ) ( )' ''>0 com U t 0 e U 0U C t t> <⎡ ⎤⎣ ⎦ A função pode ser rescrita considerando a utilidade total per capita.

(3.2) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )' ''

e u

u 0 , u 0 e u 0

U C tC tc t c t

L t L t

c t t t

⎡ ⎤⎣ ⎦= =⎡ ⎤⎣ ⎦

> >⎡ ⎤⎣ ⎦ <

A função utilidade total resulta da soma das utilidades totais instantâneas ao longo do horizonte temporal infinito. Sendo a taxa de preferência temporal pelo consumo presente positiva, a utilidade em t é actualizada à taxa ρ. Consideremos que o tempo é discreto e façamos a representação da função de utilidade total intertemporal.

(3.3) ( ) ( ) ( )( )

( )( )2

1 20

1 1 1 t

u c u c u c tU u c

ρ ρ ρ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣= + + + ⋅⋅⋅+⎡ ⎤⎣ ⎦ + + +

⎤⎦

Se ρ apresentar um valor reduzido então, (1 ) t te ρρ − −+ Podemos agora apresentar a função de utilidade intertemporal de cada família no tempo contínuo, para o efeito devemos definir o integral próprio, de zero a mais infinito, que corresponde à soma da utilidade total instantânea do período t actualizada à taxa ρ e considere-se por hipótese simplificada que a taxa de crescimento da família é zero. (3.4) ( )

0

tU u c t e ρ∞ −= ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ dt

dt

Se a taxa de crescimento da família for superior a zero, n>0, então a fórmula anterior é rescrita da seguinte forma. (3.5) ( ) ( )

0

n tU u c t e ρ∞ −= ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ 3.2.2 – Optimização dinâmica Na posse da função de utilidade intertemporal, vamos agora resolver o problema da optimização da utilidade intertemporal das famílias. Para o efeito,


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t

dt

vamos considerar uma economia de mercado muito simples, em que há famílias e empresas, não há estado e a economia é fechada. Cada família decide o que consumir a partir do produto corrente tendo em conta a sua restrição orçamental. Cada família recebe rendimentos no período corrente sob a forma de salários em troca dos serviços do trabalho e juros que correspondem à remuneração dos activos das famílias, numa economia fechada. A taxa de variação dos activos das famílias no período corrente é igual aos rendimentos da família menos o consumo. O que não é consumido é investido e a taxa de variação dos activos da família deve igualar a taxa de variação do stock de capital per capita da economia.

(3.6) ( )

( )0

max

. :

t

t t t

U u c t e

s a k f k k c

ρ

δ

∞ −

⋅

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

= − −

∫

condição fronteira 1 condições iniciais. Para a resolução do problema de optimização dinâmica começa-se por construir a função valor actual do hamiltoniano. (3.7) ( ) ( ) ( ), , t

t t t t t t t tH c k u c e f k k cρλ λ δ−≡ + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ A função valor actualizado do hamiltoniano obtém-se adicionando à função valor actualizado da utilidade, o multiplicador de Lagrange (λt) vezes o membro esquerdo da equação dinâmica. (λt) representa o valor actualizado do rendimento (do capital). Representa o valor actualizado (t=0) de uma unidade adicional de rendimento de t expresso em unidades de utils, ou de forma equivalente, já que a variação dos activos das famílias é igual à variação do stock de capital per capita, representa o valor actualizado (para t=0) de uma unidade adicional de capital de t expresso em unidades de utils. Condições de 1ª ordem:

(3.8) 0Hc

∂=

∂

Deduz-se a expressão da derivada parcial da função valor actualizado do Hamiltoniano em ordem à variável de controlo c e iguala-se a zero.

(3.9) 0Hk

λ•∂

+ =∂

Deduz-se a expressão da derivada parcial da função valor actualizado do hamiltoniano em ordem à variável de estado e iguala-se ao negativo da derivada do multiplicador relativamente ao tempo.

(3.10) '0 ( ) tc t

HH u c ec

ρ λ−∂≡ = ⇒ − =

∂0t

1 A condição fronteira só será estudada mais tarde. Do ponto de vista económico garante um comportamento optimizante das famílias no final do horizonte temporal; do ponto de vista da resolução do modelo, a condição fronteira a par das condições iniciais permitem que o sistema de duas equações diferenciais seja determinado. Mais à frente, estudaremos a condição fronteira.


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⇒(3.11) ( ) ( )' 'tk t t t tH f k f kλ δ λ δ λ

⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ∧ − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.12) ( )'t t tf kλ λ δ

•⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

A equação (3.12) é denominada a regra de poupança óptima de Ramsey. Se logaritmizarmos e derivarmos em ordem ao tempo a equação (3.10), obtemos:

(3.13)

( )'

''

'

ln ( ) ln

( )( )

t t

t tt

t t

u c d tt dt

u c cu c

ρtλ

λρλ

• •

⎡ ⎤∂ ∂⎣ ⎦ − =∂ ∂

− =

A equação anterior é rescrita para obtermos no primeiro termo do membro esquerdo da equação (3.14), a expressão da elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo. Para o efeito multiplica-se e divide-se o primeiro termo pelo consumo per capita corrente e ambos os membros da equação por (-1).

(3.14) ''

'

( )( )

t tt t

t t

u c c cu c c t

λρλ

• •⎡ ⎤− −⎢ ⎥

⎣ ⎦=

Eliminando t

t

λλ

•⎛ ⎞⎜ −⎜⎝ ⎠

⎟⎟

das equações (3.11) e (3.13), obtemos a taxa de

crescimento óptimo do consumo per capita.

(3.15) ( )'

''

'( )( )

t t

t t t

t

f kcc u c c

u c

δ ρ•

− −=

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎣ ⎦

Podemos também considerar que n>0, neste caso as equações (3.6), (3.7), (3.10), (3.11), (3.13), (3.14) e (3.15) são rescritas:

(3.16) ( ) ( )

( ) ( )0

max

. :

n t

t t t

U u c t e dt

s a k f k n k c

ρ

δ

∞ −

•

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

= − + −

∫

t

Constrói-se a função valor actualizado do hamiltoniano. (3.17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , n t

t t t t t t t tH c k u c e f f n k cρλ λ δ−≡ + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦

(3.18) ( )'0 ( ) n tc t

HH u c ec

ρ λ−∂≡ = ⇒ − =

∂0t

(3.19) ( ) ( )' 'tk t t t tH f k n f k nλ δ λ δ λ

•⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − ∧ − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −

Se logaritmizarmos e derivarmos em ordem ao tempo a equação (3.18), obtemos:


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(3.20)

( )'

''

'

ln ( ) ln

( )( )

t t

t tt

t t

u c d n tt dt

u c c nu c

ρtλ

λρλ

• •

⎡ ⎤∂ − ∂⎣ ⎦ + =∂ ∂

+ − =

A equação anterior é rescrita para obtermos no primeiro termo do membro esquerdo da equação (3.21), a expressão do negativo da elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo. Para o efeito multiplica-se e divide-se o primeiro termo pelo consumo per capita corrente e multiplicam-se ambos os membros por (-1).

(3.21) ''

'

( )( )

t tt t

t t

u c c c nu c c t

λρλ

• •⎡ ⎤− − + =⎢ ⎥

⎣ ⎦−

Eliminando t

t

λλ

•

das equações (3.19) e (3.21), obtemos a taxa de crescimento

óptimo do consumo per capita.

(3.22)

( )

( ) ( )

( )

'''

'

' '

'' ''

' '

'

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

tt tt

t t

tt t

t t t t t

t t

t t

t t

u c c c n f k nu c c

f k n n f kcc u c c u c c

u c u c

f kcc c

ρ δ

δ ρ δ ρ

δ ρθ

•

•

•

⎡ ⎤⎡ ⎤− − + = − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎡ ⎤− − + − − −⎣ ⎦= =⎡ ⎤ ⎡− −

⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

− −=

⎦

Regra geral, a elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo é variável, dependendo do nível de consumo corrente. 3.2.3 – Análise da fórmula da taxa de crescimento óptimo do consumo per capita das famílias A taxa de crescimento óptimo do consumo per capita é igual ao rácio, taxa de rentabilidade líquida do investimento menos a taxa de preferência pelo consumo presente/o simétrico da elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo. O numerador da fracção exprime o incentivo ao consumo futuro, quanto mais elevada for a taxa de rentabilidade líquida do investimento relativamente à taxa de preferência temporal pelo consumo presente, maior será o incentivo a poupar no presente. O denominador representa o negativo da elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo. Quanto mais elevada for a elasticidade em valor absoluto, maior será o incentivo ao consumo presente


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porque à medida que o consumo aumenta, a utilidade marginal decresce rapidamente. A taxa de crescimento óptimo do consumo per capita é positiva, nula, negativa se a taxa de rentabilidade líquida do investimento per capita for superior, igual ou inferior à taxa de preferência temporal pelo consumo presente. Em equilíbrio de SSG aquela taxa deverá ser nula, na ausência de progresso técnico. 3.2.4 – Função utilidade marginal instantânea com elasticidade constante A especificação que utilizaremos para a função de utilidade total instantânea é a função utilidade com elasticidade constante. Trata-se de uma função muito simples cuja elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo não depende do nível de consumo.

(3.23) ( )

1' ''( ) ; ( ) e ( )

1t t tcu c u c c u c c

θ1θ θθ

θ

−− −= = = −

−−

E cuja elasticidade é constante e o seu simétrico é igual a θ .

(3.24) 1

'( ),t t

tu c c t

t

c cc

θ

θ

θε θ− −

−

⎡ ⎤−− = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

Tendo em conta esta função de utilidade, a fórmula da taxa de crescimento óptimo do consumo transforma-se em:

(3.25) ( )'t t

t

f kcc

δ ρθ

⋅− −

=

Se considerarmos agora que existe progresso técnico e que este é exógeno e cresce à taxa g, a fórmula da taxa de crescimento do consumo óptimo per capita é reescrita em termos do consumo em unidades de trabalho eficiente e obtemos:

(3.26) ' ( )t tt

tt

cc f kg

cc

gδ ρ θθ

••∧ ∧

∧

− − −= − =

3.3.3 – Comportamento optimizante das empresas As empresas produzem um único bem e utilizam os serviços do capital que é propriedade das famílias. Em troca, as empresas pagam às famílias uma renda pela remuneração dos serviços do capital. A taxa de rentabilidade líquida de uma unidade de capital será igual a R-δ; como as famílias podem fazer empréstimos entre elas, considerando o capital e os empréstimos substitutos perfeitos, a txa de rentabilidade líquida do capital será igual à taxa de juro r. (3.27) R r R r− δ = ⇒ = + δAs empresas maximizam os lucros:


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(3.28) ( )[ ]

( ){ }gt

max max F K,L, t (r )K wL

max AL f (k) (r )k we∧ ∧

−

Π = − + δ − ⇒

⇒ − + δ −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Condições de maximização de 1ª ordem:

'

' '

KY ALAL.f (k) AL.f (k)K K K

1AL.f (k) f (k)

AL

∧ ∧

∧ ∧

∂∂ ∂

= ⇒ ⇒∂ ∂ ∂

⇒ =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦(3.29)

(3.30) '

Y0 (r )

K K

f (k) r∧

∂Π ∂= ⇒ − + δ = ⇒

∂ ∂

⇒ = + δ

0

A produtividade marginal é igual à taxa de rentabilidade bruta do capital.

(3.31) 'f (k) r∧

= + δAnalisemos agora a condição de 1ª ordem relativamente ao factor trabalho e para o efeito, explicitemos a fórmula da produtividade marginal do trabalho.

(3.32)

'

' gt

0

YALf (k) f (k) f (k)k A

L LY

f (k) f (k)k e com A 1L

∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧

∂ ∂= = −

∂ ∂∂

= − =∂

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎤⎥⎦

ou ainda:

(3.33)

( ){ }gt

gt

'

AL f (k) (r )k we0 0

L L L

0 A f (k) (r )k weL

1 1 AL f (k) k (r )k 0

L L

∧ ∧−

∧ ∧−

∧ ∧ ∧

∂ − + δ −∂Π ∂Π= ⇒ = =

∂ ∂ ∂∂Π

= ⇒ − + δ − +∂

+ − + δ =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

E assim virá:

(3.34) t ' gw f (k) f (k)k e∧ ∧ ∧

= −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Tenhamos agora em conta a restrição orçamental das famílias:

(3.35) a w ra c na•

= + − −


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A taxa de variação instantânea dos activos das famílias é igual aos salários mais a remuneração dos activos menos o consumo menos o valor dos activos afectado aos que nascem. Tenhamos em conta as equações (3.31),(3.34) e (3.35) e ainda a equação de definição do stock de capital em unidades de eficiência em função do stock de capital per capita e iguale-se a taxa de variação dos activos à taxa de variação do stock de capital per capita.

(3.36) gta k k=ke∧

= ∧Derivando em ordem ao tempo (3.36) obtém-se:

(3.37) gt gta k e g k e•

• ∧ ∧

= +Iguala-se o 2º membro de (3.37) ao 2º membro de (3.35) e substitui-se r e w pelas suas respectivas expressões:

(3.38) gt gt ' gt gt gt gtk e g k e f (k) f (k)k e r k e n k e -ce •∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧⎡ ⎤+ = − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

Eliminando e resolvendo em ordem a gte k⋅∧

obtém-se:

(3.39) k f (k) (g n)-c

•⋅∧ ∧

= − + δ +∧

Trata-se da equação dinâmica do modelo de RCK relativa à variável de estado

. k⋅∧

3.3.4 – Condição fronteira Analisemos agora a condição fronteira. (3.40) t tt

lima 0→∞

λ =O valor dos activos das famílias deve tender para zero quando t diverge para infinito. Tal significa que um indivíduo que optimiza a sua utilidade não gostaria de ter activos com valor positivo no fim da sua vida porque isso significaria que se esses activos tivessem sido utilizados no passado, a sua utilidade teria aumentado. A partir da equação de Euler do modelo, resolve-se a equação diferencial em relação ao tempo. Trata-se de uma equação diferencial linear com coeficiente

variável . O factor de integração é neste caso r( )λ[ ]

tr ( ) n d

0eλ − λ∫ .

(3.41)

[ ]

[ ]

[ ]

t

tt

0

t

t0

d ln dt r( ) n ddt

d ln dt r( ) n ddt

ln r( ) n d const

λ= − λ − λ

λ= − λ − λ∫ ∫

λ = − λ − λ +∫


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E obtém-se:

(3.42) [ ]

tr ( ) n d

0t 0e

− λ − λ∫λ = λ

Substitua-se em (3.40) o preço sombra de t pela sua expressão:

[ ]

tr ( ) n d

0t 0t

lima e 0− λ − λ

→∞

∫λ =

Como o preço sombra em t=0 é positivo, podemos não considerá-lo na equação anterior e virá:

(3.43) [ ]

tr ( ) n d

0tt

lima e 0− λ − λ

→∞

∫=

Substituindo a(t) por k(t) obtemos uma nova expressão para a condição fronteira.

(3.44) [ ]

tr ( ) n g d

0t

tlimk e 0

− λ − − λ∧

→∞

∫=

(3.45) tt

limk k r( ) g n∗∧ ∧

→∞= ⇒ λ > +

Se substituirmos r(λ) pela sua expressão de equilíbrio, obtém-se

(3.46) 'f (k) g n∧

− δ > +A condição fronteira exige que a taxa de rentabilidade do investimento líquido seja superior à taxa de crescimento do stock de capital. 3.3.4 – Análise qualitativa da solução de SSG O estudo do equilíbrio de SSG através da análise qualitativa supõe a construção das curvas demarcadoras do plano de fase. Estas curvas são obtidas através das equações dinâmicas do modelo, igualando a zero as respectivas taxas de crescimento das variáveis capital e consumo medidas em unidades de trabalho eficiente. Apresenta-se também a relação de ordem entre a soma de parâmetros do modelo, deduzida a partir da condição fronteira e que permitirá, posteriormente, situar o ponto de equilíbrio de SSG relativamente ao ponto de equilíbrio da regra de ouro da acumulação de capital. As equações dinâmicas do modelo de RCK são as seguintes:

(3.47) ( ) ( )t t tk f k n g k cδ•∧ ∧ ∧

= − + + − t

∧

(3.48) '1tt

t

c f k gc

δ ρ θθ

•∧

∧

∧

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

3.3.4.1 – A função 0k⋅∧

=


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k(3.49) ( )0 ( )k c f k n g δ⋅∧ ∧ ∧

= ⇒ = − + +∧

A função acima dá-nos as combinações de ,k c∧ ∧⎛

⎜⎝ ⎠

⎞⎟ para as quais a taxa de

crescimento do stock de capital em unidades de trabalho eficiente é nula. Esta função resulta da diferença entre a função de produção e a recta que a intersecta no ponto (0,0) e no ponto para o qual o consumo em unidades de eficiência é nulo e o investimento em unidades de eficiência é máximo. A função apresenta um máximo. Façamos a representação gráfica.

k∧

( )f k∧ ( )n g kδ

∧

+ +

c∧

0k•∧

=

k∧

*m a x k k

∧ ∧

Gráfico 1 – Curva demarcadora 0k•∧

=

3.3.4.2 – A função 0c•∧

=

(3.50) c f '0 ( )k gδ ρ θ•∧ ∧

= ⇒ = + +

A função acima dá-nos as combinações de ,k c∧ ∧⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

para as quais a taxa de

crescimento do consumo em unidades de trabalho eficiente é nula. A produtividade marginal do capital é constante seja qual o valor do consumo em unidades de trabalho eficiente. Façamos a representação gráfica.


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c∧

Gráfico 2 – Linha demarcadora 0c•∧

= 3.3.4.3 – Diagrama de fase Analisemos agora a dinâmica de c

∧

.

Gráfico 3 – Dinâmica de c∧

A linha demarcadora divide o plano em duas regiões, na região da direita o consumo em unidades de trabalho eficiente diminui, na região da esquerda, o consumo em unidades de trabalho eficiente aumenta. Tomemos o ponto a para mostrarmos que na região da direita a taxa de crescimento do consumo em unidades de trabalho eficiente diminui e, para o efeito, tenhamos em conta a expressão da taxa de crescimento do consumo em unidades de trabalho eficiente:

(3.51) ( ) ( )

' ' '

' '10 0

0

a e a e a

a a

k k f k f k f k g

f k g f k g

c

c

δ ρ θ

δ ρ θ δ ρ θθ

•

∧ ∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧

∧

∧

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞> ⇒ < ⇒ < + + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ − + + < ⇒ − + + <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⇒ <

⇒

O estudante pode proceder de forma análoga relativamente ao ponto b.

Analisemos agora a dinâmica de k∧

.

c•∧

c∧

k∧

ab

e

*m a x k k

∧ ∧

0c•∧

=

0k•∧

=

k∧


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c∧

b

0k•∧

=

a

e

*k∧

k∧

Gráfico 4 – Dinâmica de k∧

A linha demarcadora divide o plano em duas regiões, na região interior à curva demarcadora, o stock de capital em unidades de trabalho eficiente aumenta; pelo contrário, na região exterior à curva de marcadora, o stock de capital em unidades de trabalho eficiente diminui. Tomemos o ponto a para mostrarmos que na região interior à curva, a taxa de crescimento do stock de capital em unidades de trabalho eficiente diminui e para o efeito comparemos com o ponto e e tenhamos em conta a expressão da taxa de crescimento do stock de capital em unidades de trabalho eficiente.

(3.52) ( )

( )

, ,

, ,

( )

( ) 0

a e a e a e

a e a

a b a

a e

c c c f k n g k k

f k c n g k k

δ

δ

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

⋅∧ ∧ ∧ ∧

< ⇒ < − + + ⇒

⇒ − − + + > ⇒

,

O estudante pode fazer um exercício análogo para o ponto b. Estamos agora em condições para construir o diagrama de fase do modelo de RCK. Para o efeito, apresentamos num mesmo gráfico as curvas

demarcadoras e as dinâmicas conjuntas de e c k∧ ∧

nas quatro regiões em que o plano foi divididdo.


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Gráfico 5 – Diagrama de fase do modelo de RCK

c∧

0c•∧

= II I

0k•∧

=

IV III

*k∧

k∧

3.3.4.4 – Ponto de equilíbrio de SSG: ponto de sela A dinâmica de expressa no gráfico 5, mostra que o ponto de equilíbrio de SSG é um ponto de sela. É um ponto de equilíbrio instável. Se a economia se encontrar em desequilíbrio na vizinhança do ponto de sela, só a ele retornará se se encontrar sobre o ramo estável. O ramo estável é a recta que se encontra nas regiões I e III do plano e que passa pelo ponto de equilíbrio de SSG, ver gráfico 6.

e c k∧ ∧

c∧

0c•∧

= II I

Gráfico 6 – Ponto de equilíbrio de sela Podemos agora analisar geometricamente o que acontecerá se a economia se encontrar numa das quatro sub-regiões.

0k•∧

=

III IV

*k∧

k∧


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Gráfico 7 – Trajectórias de desequilíbrio

c∧

0c⋅∧

= II I

0k⋅∧

=

III IV

oo

*k∧

k∧

Como mostra o gráfico 7, qualquer que seja a região em que se encontre a economia, esta afasta-se do ponto de equilíbrio de SSG, exceptuando se se encontrar sobre o ramo estável da economia. Podemos agora analisar com mais rigor o graf.1 e o graf. 2. O equilíbrio (descentralizado) de SSG está aquém do equilíbrio da Regra de Ouro, o stock de capital e o consumo per capita são menores. A linha demarcadora do consumo per capita em unidades de trabalho eficiente diz-nos que em situação de SSG, a taxa de juro é igual à taxa de desconto efectiva, (ver (3.50)). Aquela equação juntamente com a condição fronteira permitem que se chegue à conclusão que a taxa de desconto efectiva é superior à taxa de crescimento do stock de capital físico o que implica que o stock de capital em unidades de trabalho eficiente de SSG é inferior ao da regra de ouro.

'( )* '( )*

'( ) ''( ) 0 *ouro ouro

f k g f k g n g g n

f k n g f k g g n k k

δ ρ θ δ ρ θ

δ ρ θ

∧

∧ ∧

− = + ∧ − > + ⇒ + > +

− = + ∧ < ∧ + > + ⇒ <

3.3.6 – Análise quantitativa de SSG Apresenta-se de seguida a log-linearização do sistema de equações diferenciais do modelo de RCK o que nos vai permitir determinar a solução do sistema. 3.3.6.1 – Log-linearização do sistema Faz-se uma aproximação de primeira ordem de Taylor na vizinhança do equilíbrio de SSG e definem-se as variáveis em logaritmos no sistema de duas equações dinâmicas do modelo de RCK. A função de produção considerada é a Cobb-Douglas


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(3.53)

'

k f (k) c (n g )k k k

c 1 f (k) gc

⋅∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧

⋅∧

∧

∧

⎧⎪ = − − + +⎪⎪⎨⎪

δ

⎡ ⎤⎪ = − δ − ρ − θ⎢ ⎥⎣ ⎦θ⎪⎩

Ou ainda, tomando o logaritmo das variáveis, obtemos: (3.54)

( )t t

*t *

t t

t t

* * * *ln k ln k ln c ln c ln c ln c ln k ln kt tt t

d ln k d ln kdt dtd ln k ln k ln k ln c ln c

dt ln k ln c

∧ ∧

∧∧∧ ∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧= ∧ = = ∧ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎣ ⎦≅ − + ⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂

−

(3.55)

( )t t

*t *

t t

t t

* * * *ln k ln k ln c ln c ln c ln c ln k ln kt tt t

d ln c d ln cdt dtd ln c ln k ln k ln c ln c

dt ln k ln c

∧ ∧

∧∧∧ ∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧= ∧ = = ∧ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎣ ⎦≅ − + ⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂

−

Escreva-se agora as expressões das derivadas parciais das taxas de crescimento do stock de capital em unidades de trabalho eficiente e do consumo em unidades de trabalho eficiente em relação ao logaritmo do stock de capital em unidades de trabalho eficiente e em relação ao logaritmo do consumo em unidades de trabalho eficiente.

(3.56)

t t t

t t

t t t t

d ln k d ln k dln k dln kdt dt dt dt

k cln k k ln c c

∧ ∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧ ∧

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ∧ =∂ ∂ ∂

t

∧

∧

∂

(3.57)

t t t

t t

t t t t

d ln c d ln c d ln c d ln cdt dt dt dt

k cln k k ln c c

∧ ∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧ ∧

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ∧ =∂ ∂ ∂

t

∧

∧

∂

E tendo em conta a 1ª equação do sistema (3.53), obtemos:


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(3.58)

t

t'

t t

d ln kdt f (k) cf (k)

ln k k k

∧

∧ ∧∧

∧ ∧

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ = − +∂ t

∧

Determina-se depois a derivada no ponto de SSG.

(3.59)

t

t'

t tln k ln k * ln c c *t t

ln k ln k * ln c c *t t

d ln kdt f (k) cf (k)

ln k k k

∧

∧ ∧∧

∧ ∧ ∧

t ∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ = − +∂

(3.60)

t

'

ln k ln k * ln c ln c *t tt

ln k ln k * ln c ln c *t t

d ln kdt

f (k) (n g )ln k

∧

∧

∧ ∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ = − + + δ∂

(3.61)

t

t


d ln kdt

( g ) (n gln k

∧

∧

∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ )= ρ + θ + δ − + + δ∂

E finalmente obtém-se:

(3.62)

t

t


d ln kdt

n (1 )gln k

∧

∧

∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ = ρ − − − θ∂

Procede-se de forma análoga relativamente ao cálculo da derivada parcial da taxa de crescimento do stock de capital em unidades de trabalho eficiente relativamente ao logaritmo do consumo em unidades de trabalho eficiente.


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(3.63)

t

t

tt

d ln kdt c

ln c k

∧

∧

∧ ∧

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ = −∂

(3.64)

t

tt

ln c ln c * ln k ln k *tt

d ln cdt f (k) (n g )

ln c k

∧

∧

∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ = − + + +∂

δ

Tendo em conta a especificação da função de produção, obtemos: (3.65)

t

'

t

ln k ln k * ln c c *t t

d ln kdt f (k) ( g )(n g ) (n g )

ln c

∧

∧

∧

∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ρ + θ + δ⎣ ⎦ = − + + + δ = − + + + δα α∂

E a aproximação linear à taxa de crescimento do stock de capital em unidades de eficiência é dada por:

(3.66) [ ]( )

( )

t *t

*t

d ln k n (1 )g ln k ln kdt

( g ) (n g ) ln c ln c

∧∧∧

∧∧

≅ ρ − − − θ − +

ρ + θ + δ⎡ ⎤+ − + + + δ −⎢ ⎥α⎣ ⎦

Procedamos de forma análoga relativamente a td ln c

dt

∧

:

(3.67) }t

' 't t

t t

d ln cdt 1 1k f (k) g k f (k)

ln k k

∧

∧ ∧ ∧

∧ ∧

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ∂ ⎧⎣ ⎦ ⎡ ⎤= − δ − ρ − θ =⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦θ θ⎩∂ ∂'

∧

Tendo em conta a expressão da segunda derivada da função de produção obtemos:


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(3.68)

t

*'

t


d ln cdt 1 g( 1)f (k ) (1 )

ln k

∧

∧

∧

∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ρ + δ + θ⎣ ⎦ = α − = − − αθ θ∂

Deduza-se agora a expressão da derivada parcial da taxa de crescimento do consumo em unidades de trabalho eficiente relativamente ao logaritmo do consumo em unidades de trabalho eficiente.

(3.69) }t

't

t t

d ln cdt 1c f (k)

ln c c

∧

∧ ∧

∧ ∧

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ∂ ⎧⎣ ⎦ ⎡ ⎤g= − ρ + δ + θ⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦θ⎩∂ ∂

(3.70) * *

tt t

d ln c g(1 ) ln k ln k 0. ln c ln cdt

∧∧ ∧ ∧ ∧ρ + θ + δ ⎛ ⎞ ⎛≅ − − α − + −⎜ ⎟ ⎜θ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

As equações (3.66)e (3.68) formam o sistema de equações diferenciais log-linearizadas do modelo de RCK que pode ser escrito na forma matricial abreviada.

(3.71)

t

t

t

*

t

*

d ln kdt

d ln cdt

( g )n (1 )g n g

(1 )( g )0

klnk

clnc

∧

∧

∧

∧

∧

∧

ρ + θ + δρ − − − θ + + δ −

α− α ρ + θ + δ

−θ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Escreva-se a expressão do determinante da matriz característica (A), a matriz dos coeficientes de (3.71):

(3.72) ( g ) ( g )(1det A (n g )ρ + θ + δ ρ + θ + δ − α⎡ ⎤= − − + + δ⎢ ⎥α θ⎣ ⎦

)

(3.73) g n g <1 det A 0ρ + θ > + ∧ α ⇒ <O facto do determinante da matriz característica ser negativo, implica que a equação característica tenha duas raízes reais, uma positiva e outra negativa. Neste caso, o ponto de equilíbrio é um ponto de sela. Escreva-se a equação característica:

(3.74)

( g )n (1 )g n g0

(1 )( g )

ρ + θ + δρ − − − θ − ϕ + + δ −

α =− α ρ + θ + δ

− −ϕθ


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Façamos: (3.75) n (1 )gρ − − − θ = ξE resolva-se a equação (3.74), equação de 2º grau em ϕ:

(3.76) 2 ( g ) ( g )(1 )(n g ) 0

ρ + θ + δ ρ + θ + δ − αϕ − ξϕ − − + + δ =

α θ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Ε cujas soluções são:

(3.77)

2

i

( g ) ( g )(14 (n g )

2

ρ + θ + δ ρ + θ + δ − αξ ± ξ + − + + δ

α θϕ =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

)

Seja ϕ1 a raiz positiva e ϕ2 a raiz negativa.

A solução log-linearizada para tln k∧

toma a forma:

(3.78) *

t t1 2t 1 2ln k ln k a e a e

∧ ∧ϕ ϕ= + +

(3.79) *

t 1tlimln k ln k a 0

∧ ∧

→∞= ⇒ =

A constante a2 é determinada pela condição inicial e a1 pela condição fronteira.

(3.80) *

01 2Para t 0 a 0 a ln k ln k∧ ∧

= ∧ = ⇒ = − E substituindo em (3.78) obtém-se:

(3.81) * *

t2t 0ln k ln k ln k ln k e

∧ ∧ ∧ ∧ϕ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

Ou ainda:

(3.82) ( )*

t tt 0ln k ln k 1 e ln k e

∧ ∧ ∧−β −β= − +

Onde β representa a velocidade de convergência e é o simétrico da raiz negativa. Tendo em conta (3.77) e (3.81), obtém-se:

(3.83)

2( g ) ( g )(1 )

4 (n g )

2

ρ + θ + δ ρ + θ + δ − αξ + − + + δ ξ

α θβ =

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Podemos também obter a solução para tln y∧

tendo em conta a especificação da FP em logaritmos:

(3.84) ( )

( )

*t t

0t

*t t

t 0

ln y ln k 1 e ln k e

ln y ln y 1 e ln y e

∧ ∧ ∧−β −β

∧ ∧ ∧−β −β

= α − + α

= − +

E para T=t-t0, virá:

(3.85) ( ) ( )t t*

t 00

1 e 1 eln y ln y ln y ln yT T

∧ ∧−β −β

∧ ∧− −−= −

T


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3.3.6.3 - Exemplificação numérica Vamos agora apresentar o exemplo numérico relativo modelo de RCK de Barro &Sala-i-Martin e para o efeito a linearização não tomará as variáveis em logaritmos. O sistema de equações é então o seguinte:

(3.86)

0.3

-0-7

0

0.06

(0.3 0.06)

1

lim 0tt

t

k k c

c c k

k

e k

⋅∧ ∧ ∧

⋅∧ ∧ ∧

∧

∧−

→∞

⎧⎪ = −⎪⎪⎪ = −⎨⎪

=⎪⎪

=⎪⎩Tomemos as duas primeiras equações do sistema, igualemos a zero as taxas de crescimento instantâneas e determinemos a solução de SSG.

(3.87)

0.3*

*0.7

100 0

20 (0.3 0.06) 0

kk k c

cc c k

⋅∧∧ ∧ ∧

⋅ ∧−∧ ∧ ∧

⎧ ⎧⎪ == ⇒ − =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨⎪ ⎪ =⎩= ⇒ − =⎪⎩

Linearização do sistema:

(3.88)

* *

* *

* *

( ) (

t tk k c ct t

t t

tt t

t t

k k c c

d k d kdt dtd k k k c c

dt k c

∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

∧ ∧

∧∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧

= ∧ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦≅ − +∂ ∂

)−

(3.89) * *

* * * *

( ) (

t t t t

t t

tt t

t t

k k c c k k c c

d c d cdt dtd c k k c c

dt k c

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧

∧∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧

= ∧ = = ∧ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦≅ − +∂ ∂

)−

(3.90) 0.7 *

* *

0.3 ( 10) ( )t t

tt t t

k k c c

d k k k cdt ∧ ∧ ∧ ∧

∧−∧ ∧

= ∧ =

≅ − c∧ ∧

− −


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(3.91)

* *

1.7 0.7

* *

0.21 ( 10) (0.3 0.06) ( 2)t t

k k c ct t

tt tt t

k k c c

d c c k k k cdt ∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧= ∧ =

∧− −∧ ∧ ∧ ∧ ∧

= ∧ =

≅ − − + − −

E finalmente obtemos o sistema de RCK linearizado:

(3.92) 0.06 1.4

0.008 0.08

tt t

tt

d k k cdt

d c kdt

∧∧ ∧

∧∧

⎧⎪ = − +⎪⎨⎪

= − +⎪⎩

A solução geral é do tipo:

(3.93) 1

1

*2

1 11 2 12*

21 21 2 22

t tt

t tt

k k b v e b v e

c c b v e b v e

ϕ ϕ

ϕ ϕ

∧ ∧

∧ ∧

⎧= + +⎪

⎨⎪ = + +⎩

Para obtermos a solução exacta, temos em primeiro lugar que determinar os valores próprios da matriz dos coeficientes (A); em segundo lugar temos que determinar os vectores próprios à direita da matriz dos coeficientes (v(i)) e finalmente determinamos os valores das constantes (b1 e b2). Determinação dos valores próprios da matriz A:

(3.94) 0.06 1 0.06 1

A- I=0.008 0 0.008

Aϕ

ϕϕ

− −⎡ ⎤ ⎡= ∧⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣

− ⎤⎥− ⎦

(3.95) 2det(A- I) 0 0.06 0.008 0ϕ ϕ ϕ= ⇒ − − = Determinação das raízes:

(3.96) 2

1,20.06 (0.06) 0.032

2ϕ

± +=

Seja ϕ1 a raiz positiva e ϕ2 a raiz negativa: (3.97) 1 20.064 0.124ϕ ϕ= − ∧ = Determinação do vectores próprios à direita da matriz A: Determine-se em primeiro lugar o vector próprio à direita da matriz A associado ao valor próprio negativo:

(3.98) 11(1)

21

0.06 0.064 10.064 v

0.008 0.064v

A Iv

+ − ⎡ ⎤⎡ ⎤− = ∧ = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦


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⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

O sistema de equações é o seguinte:

(3.99) 11

21

0.06 0.064 1 00.008 0.064 0

vv

+ − ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Resolvendo o sistema obtém-se:

(3.100) 11

21

10.12

vv

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ Determinemos agora o vector próprio à direita da matriz A associado ao valor próprio positivo:

(3.101) 12(2)

22

0.06 0.124 10.124 v

0.008 0.124v

A Iv

− − ⎡ ⎤⎡ ⎤+ = ∧ = ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

O sistema de equações é o seguinte:

(3.102) 12 12

22 22

0.06 0.124 1

0.008 0.124v vv v

− − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Resolvendo o sistema obtém-se:

(3.103) 12

22

10.06

vv

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦

Formemos a matriz dos vectores próprios à direita de A, V:

(3.104) 11 12

21 22

1 10.12 0.06

v vV

v v⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦Formemos a matriz diagonal cujo elemento genérico da matriz diagonal é iteϕ :

(3.105) 1

2

00

t

t

eE

e

ϕ

ϕ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

E seja b o vector coluna das constantes: 1

2

bb

b⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Solução do sistema:

(3.106) 1

2

*

11 12 1*

21 22 2

00

tt

t

t

v v bk k ev v bec c

ϕ

ϕ

∧ ∧

∧ ∧

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎤⎥⎦

E substituindo as variáveis pelos seus respectivos valores obtemos:

(3.107) 0.064

10.124

2

10 1 1 02 0.12 0.06 0

tt

t

t

bk ebec

∧−

∧

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦


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Determinação das constantes: Façamos t=0 e obtemos:

(3.108) 1

2

10 1 12 0.12 0.06

o

o

bkbc

∧

∧

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Ou ainda:

(3.109) 0 0

0

1 2 1 2

1 2

10 1 9

2 0.12 0.06

k b b k b b

c b b

∧ ∧

∧

=

= + + ∧ = ⇒ + = −

+ −Tendo em conta a condição fronteira, podemos determinar b2: (3.110) 1 20.06

1 2 2 2lim 10 0 como 0 0t tt

te b e b e bϕ ϕ ϕ−

→∞⎡ ⎤+ + = > ⇒ =⎣ ⎦

E tendo em conta a 3ª equação de (3.86) determinamos b1: (3.111) 1 9b = −A solução exacta é assim a seguinte:

(3.112) 0.06410 9 ttk e

∧−= −

(3.113) 0.0642 1.08 ttc e

∧−= −

Representação gráfica de tk∧

e tc∧

:

10

tk∧

1

t

Gráfico 8 – Função tk∧

O stock de capital em unidades de trabalho eficiente tende assimptoticamente para o seu valor de SSG (=10, no exemplo numérico), crescendo de forma desacelerada.

Representação gráfica de c∧

:


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____________________________________________Adelaide Duarte

2 ∧

0.92

t

Gráfico 8 – Função c∧

O consumo em unidades de trabalho eficiente teseu valor de SSG (=2, no nosso exemplo nudesacelerada.

10 20 30 40t

2

4

6

8

10

kfl

1.2

1.4

1.6

1.8

2

cfl

Gráf. 8 – Trajectória de k^ para k^*

3.3.7 –Dinâmica de ajustamento da taxa dVamos agora deduzir a função poupança a paexpressão da poupança de SSG a partir das expe do stock de capital em unidades de trabalhoanalisar a trajectória de ajustamento da taxa de SSG. As deduções acima referidas tomaespecificação da função de produção. Queremosda taxa de poupança quando a economia se capital em unidade de eficiência inicial que é inunidades de eficiência de SSG. Esta questão dmodelos de RCK, a taxa de poupança é determgeral, deveremos ter variações da taxa de poupasituação de SSG. Por outro lado, mesmo quconstante é necessário determinar o correcto vaparâmetros do modelo. 3.3.7.1 – Poupança de SSG Tendo em conta a especificação da FP, podempoupança:

_______________________ 75

tc

t nde assimptoticamente para o mérico), crescendo de forma

10 20 30 40t

Gráf. 9 Trajectória de c^ para c^*

e poupança de SSG rtir da função consumo e a ressões de SSG do consumo eficiente a fim de podermos poupança a uma situação de m a Cobb-Douglas como saber qual vai ser a dinâmica caracteriza por um stock de ferior ao stock de capital em eve ser colocada já que no inada endogenamente, e em nça na fase de ajustamento à e a taxa de poupança seja lor que está dependente dos

os definir a função taxa de


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(3.114) ( )( )( )

t tt t t

t

f k cf k Ak sf k

α

∧ ∧∧∧

∧

−= ⇒ =

Em situação de SSG virá:

(3.115)

*

**1

( )

csf k

∧

∧= −

Tenhamos em conta o sistema (3.53) e façamos a substituição de

pelas expressões respectivas de SSG: e ( ) t tc f k∧ ∧

(3.116)

*

**

( ) ( )1 1 ( )( ) ( )( )

c f k n g ks n kgf k ff k

δ δ∧ ∧ ∧

k

∧

∧ ∧∧

− + += − = − = − + +

Com a Cobb-Douglas, virá:

(3.117) '( ) ( )

k

f k f k

α∧

∧ ∧=

E substituindo na equação acima obtemos:

(3.118)

* '

'

*

( ) ; como ( )( )

( )

s n g f k gf k

n gsg

αδ ρ

α δρ δ θ

∧

∧= + + = + + ⇒

+ +⇒ =

+ +

δ θ

Tendo em conta a condição fronteira, a taxa de poupança de SSG é inferior à participação do capital físico no produto. (3.119) *g n g sρ δ θ δ α+ + > + + ⇒ < Analisemos agora a evolução da taxa de poupança.

(3.120)

.

'

.

' '

.

( )1 ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

t t tt t tt t t t

t tt t t

t t t t tt tt

t tt t

tt tt

tt t

c z c

t

f k k ks z zf k z c f k

z cf k k f k k k

f k z c f k k

z c k

z c k

γ

α γ

γ α

⋅

k

⋅∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧

⋅ ⋅∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧ ∧

⋅ ⋅∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧

≡ − ∧ ≡ ⇒ = = −

= ⇒ = = − ⇒

⇒ = = −

∧

Substituindo a taxa de crescimento do consumo em unidades de trabalho eficiente e a taxa de crescimento do stock de capital em unidades de trabalho eficiente pelas respectivas expressões, obtemos:


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(3.121) '1 ( )( )

tt

t

z k cf k g n gz f k k

γ δ ρ θ α α α δθ

⋅∧ ∧ ∧

∧

∧ ∧

⎡ ⎤⎛ ⎞= = − − − − + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ∧

ou ainda:

(3.122)

' ''

' ' '

1 ( ) ( ) ( )( )

1 ( ) ( ) ( )

tt

t

tt t

t

z f k c f kf k g n gz f k

z f k g f k z f k n gz

γ δ ρ θ α α α δθ α α

γ δ ρ θ α δθ

⋅∧ ∧ ∧ ∧

∧

∧ ∧

⋅∧

∧ ∧ ∧

∧

⎡ ⎤⎛ ⎞= = − − − − + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= = − − − − + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

e virá:

(3.123) [ ]' 1 11 (tt t

t

z f k z g n gz

)γ δ ρ θ α δθ θ

⋅∧

∧

∧⎡ ⎤⎛ ⎞= = + − − + + + + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

E a expressão da taxa de poupança de SSG é a seguinte:

(3.124) * '( ) 1 ( )(tt t

t

zn gs f k zg z

α δ θγ δ ρ * 1 )g sθδ ρ θ θ θ

⋅∧

∧

∧

+ + −⎡ ⎤⎛ ⎞= ⇒ = = − + + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ + ⎝ ⎠ ⎣ ⎦−

O comportamento de zt vai depender da relação de ordem entre a taxa de poupança de SSG e o inverso do negativo da elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo. Tendo em conta a equação anterior três casos se podem dar:

(3.125) t

t

1 11) 0 0, t

1 12) 0 0, t

1 13) s 0 0, t

t t t

t t

t t

s z s

s z s

z s

θ γθ θ

θ γθ θ

θ γθ θ

⋅

⋅

⋅

−⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∀⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞> ⇒ < ⇒ < ⇒ > ∀⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞< ⇒ > ⇒ > ⇒ < ∀⎜ ⎟⎝ ⎠

A equação de definição de z explica a relação de ordem entre zt e [θ-1)/θ] tendo em conta a relação de ordem entre s e (1/θ). A relação de ordem entre s e (1/θ) e a existência de uma solução de SSG explica o valor nulo ou negativo ou positivo de g associado a um valor nulo ou positivo ou negativo da taxa de poupança. Basta derivar a (3.123) em ordem ao tempo para que a proposição anterior possa ser facilmente provada.


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t(3.126) [ ]'' '( ) ( 1) / ( )t t tt t tf k k z f k zγ θ θ γ• ∧ ∧ ∧

= − − + Consideremos o caso 1) de (3.125), se a taxa de poupança de SSG é igual a θ , a proporção do consumo no produto é constante, qualquer que seja t e a taxa de crescimento da proporção do consumo no rendimento é constante, logo a taxa de poupança manter-se-á constante. Consideremos agora o caso 2) de (3.125), se a taxa de poupança de SSG é superior a θ , a proporção do consumo no produto é inferior a θ qualquer que seja t, e a taxa de crescimento da proporção do consumo no rendimento é negativa, qualquer que seja t, logo a taxa de poupança crescerá. Consideremos agora o caso 3) de (3.125), se a taxa de poupança de SSG é inferior a θ , a proporção do consumo no produto é superior a θ qualquer que seja t, a taxa de crescimento da proporção do consumo no rendimento é positiva, qualquer que seja t, logo a taxa de poupança diminuirá. Podemos assim resumir os três casos descritos:

(3.127)

* *

*

*

11) 0 t

1 12) , 0 t

1 13) , 0 t

tt

tt

tt

s s s s

s s s

s s s

θ

θ θ

θ θ

⋅

⋅

⋅

= ⇒ = ⇒ = ∨

> ⇒ > ⇒ > ∨

< ⇒ < ⇒ < ∨

Podemos representar graficamente a função poupança para cada um dos três casos e virá:

1

θ

s*

s*

s*

t t t

Gráfico – 9 Possíveis dinâmicas de ajustamento de s para s* quando *

tk k∧ ∧

<

3.3.8 - Efeito de substituição intertemporal e efeito rendimento Que significado atribuir ao caso em que a taxa de poupança decresce (cresce) quando a economia se encontra numa fase de transição como a descrita na secção anterior? A evolução da taxa de poupança vai depender da importância


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conjugada de dois efeitos: o efeito de substituição intertemporal e o efeito rendimento. Defina-se o efeito de substituição intertemporal de uma descida da taxa de rentabilidade do capital para riqueza dada. A descida do custo do consumo corrente relativamente ao consumo futuro leva as famílias a aumentarem o seu consumo corrente. É o tipo de efeito de substituição intertemporal que se adequa ao caso que tem vindo a ser tratado. Com efeito, à medida que o stock de capital em unidades de eficiência aumenta, a produtividade marginal diminui, o que leva a uma diminuição da taxa de rentabilidade do capital é o que constitui um desincentivo à poupança. Se mais nenhum efeito se fizesse sentir, poderíamos afirmar que a evolução da poupança seria negativa. Mas devemos ter em conta um outro tipo de efeito, o efeito rendimento. Defina-se o efeito rendimento. O efeito rendimento de uma descida da taxa de rentabilidade do capital é uma diminuição do consumo das famílias em todos os períodos. A evolução da taxa de poupança vai depender do peso respectivo dos dois efeitos. Assim, se θ <1 o efeito de substituição intertemporal é forte, se θ >1 o efeito de substituição intertemporal é fraco, domina o efeito rendimento e finalmente se θ =1, os dois efeitos cancelam-se. Podemos agora ilustrar a análise anterior considerando os seguintes valores para os parâmetros: ρ=0.02; δ=0.05; n=0.01; g=0.02 Barro&Sala-i-Martin mostram que o modelo não conduz a bons resultados quando se considera que α=0.3, mas se considerarmos um conceito de capital mais alargado, então os resultados são aceitáveis, k representará o capital físico e humano, logo α=0.75. Determinemos θ tal que o inverso seja igual à taxa de poupança de SSG e virá θ=1,75. Se a taxa de poupança for superior/igual/inferior a 1,75, então a taxa de poupança corrente aumentará, manter-se-á constante, diminuirá, respectivamente. A análise empírica mostra que em geral a taxa de poupança aumenta de forma moderada com o rendimento per capita, durante a transição para a situação de SSG. Os valores dos parâmetros acima referidos são compatíveis com este comportamento da taxa de poupança na fase da transição, sendo que α deverá ser igual a 0,75 e θ deve ser superior a 2 mas não muito superior a 2 e porquê? Porque um valor muito superior a 2 implica uma taxa de poupança de SSG muito baixa, o que é incompatível com o conceito lato de capital que foi adoptado. 3.3.9 – Exercícios de Dinâmica Comparada No que se segue, chamamos a atenção do estudante para o estudo dos efeitos permanentes e transitórios de uma alteração da taxa de progresso técnico ou da taxa de preferência temporal pelo consumo presente. Tal análise pode ser


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levada a cabo tendo em conta as equações dinâmicas do modelo RCK e ou tendo em conta o diagrama de fase. 3.3.9.1 – Variações de g O estudante pode supor uma variação positiva de g e analisar o tipo de deslocamento que cada uma das funções dinâmicas do modelo experimentará em consequência. Em seguida, pode determinar a nova situação de equilíbrio de SSG e compará-la com a situação anterior. E finalmente pode comparar as trajectórias das variáveis per capita, para saber se ocorreram efeitos permanentes de nível e/ou de crescimento. A análise pode ser feita a partir do modelo de RCK linearizado ou a partir do diagrama de fase. 3.3.9.2 – Variações de ρ O estudante pode supor uma variação negativa de ρ e analisar o tipo de deslocamento que cada uma das funções dinâmicas do modelo experimentará em consequência. Em seguida, pode determinar a nova situação de equilíbrio de SSG e compará-la com a situação anterior. E finalmente pode comparar as trajectórias das variáveis per capita, para saber se ocorreram efeitos permanentes de nível e/ou de crescimento. A análise pode ser feita a partir do modelo de RCK linearizado ou a partir do diagrama de fase. Bibliografia Barro, R e Sala-i-Martin, X., Economic Growth, McGraw-Hill, 1995, Cap. 2, 59-95. Chiang, Alpha., Elements of Dynamic Optimization, New-York, International Studente Edition, McGraw-Hill, 1992, Caps. 7 a 9 e 9:9.3.

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3 - O modelo de crescimento ptimo de Ramsey-Cass-Koopmans ... · Regra geral, a elasticidade da utilidade marginal relativamente ao consumo é variável, dependendo do nível de consumo