3 — Potencial electrostáticofabiancadiz.com/images/03Electro.pdf · 66 Potencial electrostático 3.1Introducción En este capítulo veremos que el campo electrostático es un campo

3 — Potencial electrostático

66 Potencial electrostático

3.1 IntroducciónEn este capítulo veremos que el campo electrostático es un campo conservativo, es decir, se lepuede asociar un potencial escalar φ (llamado potencial electrostático) tal que ~E(~x) =−~∇φ(~x).Esta identidad, junto a la ley de Gauss, completan la teoría electrostática. Esto significa que dadauna distribución de carga ρ , existe un único campo ~E que cumple la ley de Gauss y que provienede este potencial φ . Esto será formalizado en la sección 3.12.1.

3.2 Identidad preeliminarEn la sección 2.4, se demostró la ley de Gauss. Para ello se utilizó la siguiente identidad

~∇1

‖~x−~x′‖=− ~x−~x′

‖~x−~x′‖3 (3.1)

DemostraciónÉsta es sencilla considerando que

‖~x−~x′‖=(x− x′)2 +(y− y′)2 +(z− z′)21/2

y~∇

1‖~x−~x′‖

=∂

∂x

(1

‖~x−~x′‖

)i+

∂

∂y

(1

‖~x−~x′‖

)j+

∂

∂ z

(1

‖~x−~x′‖

)k

veamos que ocurre con la primera componente :

∂

∂x1

‖~x−~x′‖i =− 1

‖~x−~x′‖2∂

∂x‖~x−~x′‖i

=− 1‖~x−~x′‖2

12(x− x′)2 +(y− y′)2 +(z− z′)2−1/2

2(x− x′)i

∂

∂x1

‖~x−~x′‖i =− x− x′

‖~x−~x′‖3 i

El cálculo es análogo para las demás componentes, y se demuestra finalmente 3.1.

Esta identidad tiene una consecuencia directa sobre el campo electrostático, puesto que en suforma general puede ser escrito como la integral (1.3)

~E(~x) =1

4πε0

∫∫∫R3

d3x′ ρ(~x′)(~x−~x′)‖~x−~x′‖3

Utilizando la identidad (3.1) recién demostrada, esto se reescribe de la siguiente manera:

~E(~x) =− 14πε0

∫∫∫R3

d3x′ρ(~x′)~∇1

‖~x−~x′‖=−~∇

1

4πε0

∫∫∫R3

d3x′ ρ(~x′)1

‖~x−~x′‖

Se obtiene entonces que el campo eléctrico es proporcional al gradiente de un campo escalar.

3.3 El potencial electrostático 67

3.3 El potencial electrostáticoDefinición 3.3.1 — Potencial electrostático. Se define el potencial electrostático de unadistribución de carga mediante la integral:

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∫R3

d3x′ρ(~x

′)

‖~x−~x′‖+C (3.2)

donde C es una constante. El campo eléctrico cumple:

~E(~x) =−~∇φ(~x) (3.3)

Notar que el potencial de una carga puntual q ubicada en ~x0 (y entonces descrita por unadensidad de carga ρ(~x′) = qδ (~x′−~x0)) estará dado por

φ(~x) =1

4πε0

q‖~x−~x0‖

+C

NotaSi ρ ∈L 1(R3), entonces:

lim‖~x‖→∞

‖~x‖φ(~x)< ∞

y el potencial decae igual o más rápido que 1/‖~x‖ en el infinito.

3.3.1 Potencial absoluto y potencial de la tierraEl campo eléctrico es insensible a la elección de la constante C que aparece en la definicion delpotencial (3.2). En la práctica, dos elecciones naturales se escogen para esta constante:

• El potencial absoluto (respecto al infinito). Se puede tomar como cero el potencial deun punto situado en el infinito respecto a toda carga eléctrica. El potencial así definido,llamado potencial absoluto, está dado por:

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∫R3

d3x′ρ(~x

′)

‖~x−~x′‖

y verifica lim‖~x‖→∞ φ(~x) = 0 si ρ ∈ L1(R3).

• El potencial respecto al suelo (o respecto a la tierra). El potencial absoluto φT del sueloposee dos propiedades notables.a) φT es el mismo en todo punto del suelo, ya que la tierra es conductora (como veremosen 4.1). Se puede mostrar que:

φT =1

4πε0

QT

RT

donde QT es la carga total de la tierra y RT su radio.

b) φT es independiente del tiempo, ya que la tierra está aislada, y es natural entoncesasumir que su carga QT es constante. Así, el potencial del suelo siendo invariante en el


espacio y en el tiempo, se suele tomar de forma habitual como potencial de referencia,atribuyéndole el valor 0. Es decir,

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∫R3

d3x′ρ(~x

′)

‖~x−~x′‖−φT

A menos que se indique lo contrario, en lo que sigue se utilizará siempre el potencial absoluto(respecto al infinito).

3.3.2 Potencial de una distribución discreta de carga.Supongamos que se tiene una distribución discreta de cargas q j, ubicadas en las posiciones~x j, conj ∈ 1,2, ...N. El potencial absoluto (respecto al infinito) de esta distribución se puede obtenerfácilmente a partir del potencial de una sola carga utilizando el principio de superposición:

φ(~x) =1

4πε0

N

∑i=1

q j

‖~x−~xi‖ (3.4)

por supuesto, esto es consistente con la densidad de carga en términos de la delta de Dirac

ρ(~x) =N

∑i=1

qiδ (~x−~xi)

en efecto, de la definición para el potencial a partir de la integral (3.2) :

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∫R3

d3x′ρ(~x′)‖~x−~x′‖

=1

4πε0

∫∫∫R3

d3x′1

‖~x−~x′‖

N

∑i=1

qiδ (~x′−~xi)

φ(~x) =1

4πε0

N

∑i=1

qi

∫∫∫R3

d3x′δ (~x′−~xi)

‖~x−~x′‖=

14πε0

N

∑i=1

qi

‖~x−~xi‖

3.4 Interpretación Física del PotencialEl potencial electrostático juega un rol análogo al potencial gravitacional. Supongamos que setiene un campo eléctrico ~E, y consideremos el trabajo efectuado por una fuerza de igual magnitudpero contraria a la fuerza electrostática, con el objetivo de trasladar cuasiestáticamente1 unacarga puntual q desde el punto~x1 hasta el punto~x2, siguiendo una trayectoria cualquiera Γ. Estoes:

W =∫ ~x2

~x1

d~x · (−q~E(~x)) (3.5)

Uno reconoce en la ecuación (3.5) una integral de línea del campo vectorial −q~E(~x), la cualen general depende de la trayectoria utilizada para ir desde~x1 hasta~x2. Sin embargo, como enparticular se cumple:

~E(~x) =−~∇φ(~x)

1La fuerza neta sobre la carga es nula, luego su velocidad permanece constante (teorema del trabajo)

3.4 Interpretación Física del Potencial 69

Figura 3.1: El objetivo es calcular el trabajo que se debe realizar sobre una carga para moverla(sin alterar su energía cinética) desde~x1 hasta~x2 en la presencia de un campo eléctrico ~E.

entonces

W =−∫ ~x2

~x1

d~x ·q~E(~x) = q∫ ~x2

~x1

d~x ·~∇φ(~x)

Y se obtiene la integral de un diferencial exacto d~x ·~∇φ(~x) = dφ , y entonces:

W = q∫ ~x2

~x1

dφ = q(φ(~x2)−φ(~x1))

Finalmente hemos obtenido

W =−q∫

Γ

d~x ·~E(~x) = q(φ(~x2)−φ(~x1)) (3.6)

Es decir, el trabajo efectuado depende exclusivamente de los extremos de la curva, y no en laforma de esta última.

Proposición 3.4.1 — Relación entre trabajo y potencial. El trabajo necesario para moveruna carga q cuasiestáticamente desde el punto~x1 hasta el punto~x2, en la prescencia de un campoeléctrico ~E, es igual a la diferencia de potencial entre~x2 y~x1. Esto es

−∫ ~x2

~x1

d~x ·q~E(~x) = q(φ(~x2)−φ(~x1)) (3.7)

Corolario 3.4.2 — El campo electrostático es conservativo. Sobre toda trayectoria cer-rada Γ, la circulación del campo eléctrico es nula∮

Γ

d~x ·~E(~x) = 0 (3.8)

es decir, el campo eléctrico es conservativo.

A partir de la ecuación (3.7), vemos que qφ tiene unidades de energía, y corresponde a la energíapotencial de la carga q en la prescencia de un potencial electrostático φ . La unidad del potencialφ es el Volt, 1 Volt = 1 Joule/1 Coulomb.


Definición 3.4.1 — Energía potencial. La cantidad U(~x) = qφ(~x) es la energía potencialde una carga q ubicada en la posicion~x. En efecto, la fuerza asociada a este potencial es:

~F(~x) =−~∇U(~x) = q~E(~x)

la cual es conservativa. Utilizando el teorema del trabajo, se obtiene que para una partículasituada en un potencial electrostático φ , la energía total:

E =12

m(

d~xdt

)2

+qφ(~x)

es constante en el tiempo.

NotaSe debe notar que en esta última parte hemos considerado el movimiento de una partícula enprescencia de un campo eléctrico. Sin embargo, la ley de Coulomb enunciada en el capítulo 1es rigurosamente válida sólo cuando las cargas están en reposo relativo. El movimiento de unapartícula cargada en un campo eléctrico puede ser tratado utilizando la ley de Coulomb, siemprey cuando la velocidad de la partícula sea suficientemente pequeña respecto a la velocidad de laluz. Más adelante veremos que cuando una carga se mueve, ésta genera un campo magnético, elcual ejercerá una fuerza sobre las demás cargas en movimiento presentes.

Ejemplo 3.1 — Energía de un electrón en el átomo de hidrógeno. En 1.1 vimos que elelectrón se mantiene unido al protón gracias a la interacción électrostática (la gravedad no jueganingún rol en la escala atómica). Supongamos que el electrón describe una órbita circular entorno al núcleo, de radio r = a0 ≈ 5.29×10−11 m (radio de Bohr).

El potencial electrostático generado por el protón a distancia a0 de éste es:

φ(a0) =e

4πε0a0= 27.25 V

donde e = +1.602× 10−19 C es la carga del protón. La energía potencial del electrón es,entonces:

U = qeφ(a0) =−eφ(a0) =−4.36×10−18 J

En física atómica se suele utilizar una unidad de energía diferente al Joule, el electronvolt (eV),definido como la energía (en valor absoluto) de un electrón en un potencial de 1 Volt (1 eV =1.6×10−19 J). Con esta definición, la energía potencial del electrón en el átomo de hidrógenoes, simplemente:


U =−27.25 eV

La energía cinética del electrón en la órbita está dada por K = 1/2mev2, con me = 9.1×10−31

kg la masa del electrón, y v el módulo de su velocidad. Por equilibrio de fuerzas en la direcciónradial, se tiene:

mev2

a0=

q2e

4πε0a20

Luego

K =12

mev2 =12

q2e

4πε0a0=−1

2U

Finalmente, la energía total del electrón en el átomo es:

E = K +U =12

U =−13.6 eV

Esta es, en efecto, la energía de ionización del átomo de hidrógeno.

Ejemplo 3.2 — Potencial en el centro de una esfera conductora. Consideremos unaesfera conductora de radio R, que posee una cierta densidad de carga σ en su superficie. Es claroque dada la simetría del conductor, σ es una constante. Se tiene entonces, por definición:

φ(~x) =σ

4πε0

∫∫ dS(~x′)1

‖~x−~x′‖

Si consideramos~x =~0, se tiene

φ =σ

4πε0

∫∫ dS(~x′)1‖~x′‖

=σ

4πε0

∫ 2π

0dϕ

∫π

0sinϑdϑR2 1

R=

σ

ε0R

La carga total es Q = 4πR2σ , y entonces:

φ(0) =Q

4πε0R

Ejemplo 3.3 — Ionización del aire. El aire en condiciones normales es un buen aislante. Sinembargo, cuando el campo eléctrico es suficientemente elevado, las moléculas del aire se ionizany se producen arcos eléctricos. Cual es el orden de magnitud del máximo campo electrico queel aire puede soportar antes de esta ruptura?. Considere que un electrón en el aire recorre una


distancia λ = 5 µm antes de impactar un átomo. La energía de ionización del nitrógeno es de14.53 eV.

SoluciónSuponiendo que un electrón recorre una distancia λ entre dos colisiones con una molécula deN2, la energía cinética que gana entre 2 impactos es de ∆K = q∆φ , donde ∆φ es la diferencia depotencial entre dos puntos separados por una distancia λ . Si el campo eléctrico es constante,∆φ = Eλ , luego:

∆K = q∆φ = qEλ

para que el electrón ionize un átomo de nitrógeno durante la colisión, se requiere entonces

∆K = qEλ = 14.53 eV

Luego

E =14.53

λ= 2.9×106 V/m

Ejemplo 3.4 — Esfera conductora e ionización del aire. Se tiene una esfera conductorade radio R = 30 cm. Cuál es la máxima carga que se puede colocar en la esfera antes de que estaionize el aire a su alrededor?. Cual es entonces la máxima diferencia de potencial (respecto a latierra) que se puede aplicar a la esfera?.

SoluciónUna esfera conductora de carga total Q, genera un campo eléctrico dado por ~E = Q/(4πε0r2)r auna distancia r del centro de la esfera (ver ejemplo 2.3). El potencial en su superficie estará dadopor la integral (3.7):

φ(R) =∫ R

∞

~E ·d~x =∫ R

∞

E(r)dr =Q

4πε0R

donde hemos escogido una trayectoria radial, de forma que d~x = drr. Notar que el valor delpotencial en la superficie de la esfera es igual al valor en su centro (ejemplo 3.2). La máximacarga posible es aquella que genera un campo eléctrico en la superficie de la esfera cuya magnitudes igual al campo de ruptura del aire (E = 3×106 V/m, ver ejemplo 3.3):

| Qmax |4πε0R2 = 3×106 V/m

Se obtiene| Qmax |= 30 µC


Y el potencial asociado a esta carga es:

φmax =| Qmax |4πε0R

= 89900 V = 89.9kV

Ejemplo 3.5 — Diferencia de potencial entre 2 planos cargados. Un pequeño objeto demasa m tiene una carga q y está suspendido por un hilo entre dos planos infinitos verticales dedensidad σ y −σ . La separación entre planos es d. Si el hilo forma un ángulo ϑ con la vertical.a) ¿Cuánto vale σ?b) ¿Cuál será la diferencia de potencial entre los planos?. No considere la contribucion de lacarga q.

Solucióna) Como se tienen 2 planos inifnitos de carga, con densidad σ y −σ respectivamente, se tendráque el campo eléctrico es nulo fuera de la región entre planos y será uniforme en la regiónlimitada por ambos. Esto es fácil de ver utilizando el principio de superposición. Si elegimos uneje horizontal, digamos, x,y el origen sobre el plano de la izquierda, tendremos que el campodebido al plano cargado positivamente es (Ver ejemplo 2.4):

~E1(~x) =

σ

2ε0i si x > 0

− σ

2ε0i si x < 0

Ahora, para el plano cargado negativamente:

~E2(~x) =

− σ

2ε0i si x > d

σ

2ε0i si x < d

El campo eléctrico total se obtiene a partir de la superposición de ambos campos, luego:

~E =σ

ε0i

para la región entre planos, y es nulo fuera de ella. Ahora, la esfera está en equilibrio, por lo que

Fx =−T sinϑ +Fe = 0

Donde Fe es la fuerza eléctrostática que actúa sobre la esfera. El balance de fuerzas en el ejevertical entrega Fy = T cosϑ −mg = 0 . Así

−mg tanϑ +qE = 0


De esta forma:

~E =mg tanϑ

qi

Igualando, se obtiene:σ

ε0=

mg tanϑ

q

de donde la densidad superficial de carga está dada por

σ =mgε0 tanϑ

q

b) La diferencia de potencial entre los planos se puede obtener integrando el campo eléctricogenerado por éstos sobre una trayectoria cualquiera entre la placa izquierda y la placa derecha.Si elegimos una trayectoria horizontal, de manera que el campo es paralelo en todo instante a lacurva:

φ(0)−φ(d) =−∫ 0

dd~x ·~E =

∫ d

0

mg tanϑ

qdx =

mg tanϑdq

Notemos que en este ejemplo, hemos supuesto que la densidad de carga es uniforme en ambosplanos, incluso en la prescencia de una carga q entre ambos. Esta es solo una aproximación,válida cuando la carga q es suficientemente débil como para despreciar su efecto sobre las cargasen ambos planos. Veremos más adelante que, en general, la distribución de cargas en la superficiede un conductor se modifica en la prescencia de otras cargas en su cercanía.

Ejemplo 3.6 — Potencial en el eje de un anillo de carga. Considere un anillo de radioR uniformemente cargado con densidad λ . ¿Cuál es el potencial electostático a una distancia zsobre el eje del anillo?. En seguida, calcule el potencial en el eje de un disco de radio interior a,radio exterior b y densidad σ . ¿Cuál es el potencial de un plano infinito?

SoluciónTomemos un elemento infinitesimal de longitud en el anillo dl = Rdφ ′. Este elemento posee unacarga diferencial dq = dφ ′Rλ . Su contribución al potencial en P es:

dφ(P) =1

4πε0

dqr

=1

4πε0

dφ ′Rλ√R2 + z2

Luego, el potencial debido al anillo completo está dado por:


φ(P) =∫ 2π

0

dφ ′

4πε0

Rλ√R2 + z2

=1

4πε0

2πRλ√R2 + z2

Notar que Q = 2πRλ es la carga total del anillo, luego:

φ(P) =1

4πε0

Q√R2 + z2

Es fácil ver que si z >> R, se tiene el potencial de una carga puntual:

φ(P) =1

4πε0

Q| z |

El campo eléctrico en el punto P se puede obtener a partir del potencial como:

~E(P) =−~∇φ(P) =1

4πε0

2zπRλ

(R2 + z2)3/2 k

Obteniendo el mismo resultado que en 1.6.

Ahora, para obtener el potencial de un disco de radios a y b, simplemente se considera lasuperposición de anillos inifintesimales. Tomando un anillo de radio r y ancho infinitesimal dr,sabemos que el potencial en el eje está dado por

dφ(P) =1

4πε0

dQ√r2 + z2

donde dQ = σ2πrdr es la carga que contiene ese anillo. Luego

dφ(P) =2πσ

4πε0

drr√r2 + z2


y el potencial es

φ(P) =σ

2ε0

∫ b

a

drr√r2 + z2

Sea u = r2 + z2, con esto du = 2rdr , y por lo tanto:∫ drr√r2 + z2

=12

∫ duu1/2 =

√u =

√r2 + z2

Finalmente:

φ(P) =σ

2ε0

(√b2 + z2−

√a2 + z2

)Notar que el caso de un plano infinito de carga se obtiene al tomar el limite a = 0, b→ ∞. Elpotencial de un plano infinito diverge. Esto se debe a que la densidad de carga no es módulointegrable, en cuyo caso la integral 3.2 no esta definida.

Ejemplo 3.7 — Potencial de un anillo fuera del eje. Exprese el potencial electroestático encualquier punto del espacio que es generado por un anillo circular de radio R homogéneamentecargado con carga total Q, en términos de la integral elíptica completa de la primera especie,definida por

K(λ ) =∫

π/2

0dθ

1√1−λ 2 sin2

θ

,√

2λK(λ ) =∫

π

0

dθ√b− cosθ

, λ =2

1+b

SoluciónEl potencial en un punto~x ∈ R3 está dado por la integral de Coulomb 3.2:

φ(~x) =1

4πε0

∮Γ

dlλ (~x′)‖~x−~x′‖

donde la densidad de carga en el anillo es homogénea:

λ =Q

2πRAdemás, el problema posee una clara simetría azimutal (una rotación del anillo deja invarianteel valor del potencial), por lo que basta con calcular el potencial en el plano x− z en un punto~x = xi+ zk. La distribución de carga está parametrizada según ~x′ = Rcosϑ i+Rsinϑ j, con loque:

φ(~x)=Q

8π2ε0R

∫ 2π

0dϑ

1‖(x−Rcosϑ)i−Rsinϑ j+ zk‖

=Q

8π2ε0R

∫ 2π

0dϑ

1√(Rcosϑ − x)2 +R2 sin2

ϑ + z2

Ahora, sea la integral:

I =∫ 2π

0dϑ

1√(Rcosϑ − x)2 +R2 sin2

ϑ + z2=∫ 2π

0dθ

1√R2 + x2 + z2−2xRcosθ


I =∫ 2π

0dθ

1√

2xR√

R2+x2+z2

2xR − cosθ

Llamemos ahora b = R2+x2+z2

2xR , y entonces:

I =1√2xR

∫ 2π

0dθ

1√b− cosθ

=2√2xR

∫π

0dθ

1√b− cosθ

=

√2

xR

√2λK(λ )

Finalmente, el potencial en términos de una integral elíptica de primera especie es:

φ =Q

4π2ε0R

√λ

xRK(λ )

Con:λ =

2

1+ R2+x2+z2

2xR

Ejemplo 3.8 — Potencial de una esfera cargada. Encuentre el potencial dentro y fuerade una esfera sólida cargada uniformemente cuyo radio es R y su carga total es Q.

SoluciónPara encontrar el potencial en todo el espacio, se puede determinar primeramente el campoeléctrico debido a la distribución esférica de carga (ejemplo 2.3), y luego utilizar la ecuacion 3.7:

φ(r) =−∫ r

∞

~E · ~dr

a lo largo de una trayectoria radial. Luego ~dr = drr, así, para r > R:

φ(r) =−∫ r

∞

E(r)dr =−∫ r

∞

drQ

4πε0r2 =− Q4πε0

∫ r

∞

dr1r2 =

Q4πε0r

Ahora, para r < R, tenemos:

φ(r) =−∫ R

∞

drE(r)−∫ r

RdrE(r)

φ(r) =−∫ R

∞

drQ

4πε0r2 −∫ r

Rdr

Qr4πε0R3

φ(r) =Q

4πε0R− Q

4πε0R3

∫ r

Rdrr

φ(r) =Q

4πε0R+

Q(R2− r2)

8πε0R3 =Q(3R2− r2)

8πε0R3

Finalmente:

φ(r) =

Q(3R2−r2)

8πε0R3 si r ≤ RQ

4πε0r si r > R


Ejemplo 3.9 — Ión entre 2 electrodos. Iones de carga q son acelerados desde el reposo hastauna diferencial de potencial φ0, para luego entrar a una región entre dos electrodos cilíndricosmuy largos A y B, de radios a y b respectivamente (a < b). El ión recorre media circunferenciade radio r0 describiendo una trayectoria circular. Despreciando los efectos de borde y asumiendoque los cilindros son muy largos en comparación al espacio que los separa, encuentre la diferenciade potencial φb−φa.

SoluciónPrimero debemos encontrar la velocidad con la que los iones ingresan a la región entre cilindros.Éstos son acelerados a partir del reposo desde una región a potencial φ0 hasta una región apotencial φ = 0. La energía inicial está dada por

E1 = qφ0

la energía final (justo antes de ingresar entre los electrodos):

E2 =12

mv2

Por conservación de la energía

E1 = E2→ v2 =2qφ0

mAhora, dentro de la región entre cilindros existe un campo eléctrico radial (ver por ejemplo 2.7)

~E(r) =σaε0r

r

donde σ es la densidad de carga en la superficie del cilindro de radio a. En particular:

~E(r0) =σaε0r0

r


Este campo es por supuesto el responsable de la fuerza que siente un ión (en dirección radial), yque permite la trayectoria circular. El equilibrio de fuerzas en la dirección radial sobre un Ión decarga q es:

q~E(r0) = qσaε0r0

r =−mv2

r0r

de donde:

qσaε0r0

=−m2qφ0

mr0

la densidad superficial de carga sobre el cilindro A resulta ser:

σ =−2ε0φ0

a

y el campo eléctrico queda, para r tal que a < r < b

~E(r) =σaε0r

r =−2ε0φ0

aa

ε0rr =−2

φ0

rr

La diferencia de potencial entre los cilindros es:

∆φ = φ(b)−φ(a) =−∫ b

ad~x ·~E(~x)

tomando un camino radial:

∆φ =−∫ b

ad~r ·~E(r) =−

∫ b

adr(−2φ0

r

)= 2φ0

∫ b

a

drr

∆φ = φ(b)−φ(a) = 2φ0 ln(b/a)

Ejemplo 3.10 — Plano y carga puntual. Un plano infinito y uniforme con densidad σ > 0pasa por un punto O. Por O hay una recta OX que es perpendicular al plano. A distancia a de Ose encuentra una carga eléctrica puntual - q.a) Calcule el potencial eléctrico respecto a x = 0 en un punto P(x) con 0 < x < a.b) Una partícula de masa m y carga eléctrica -e se libera desde el punto medio entre el plano y lacarga. ¿Con qué velocidad choca contra el plano de carga?.


SoluciónPara calcular el potencial en el eje x podemos primero calcular el campo eléctrico. Naturalmente,éste se puede obtener fácilmente por superposición. Sea ~E1 el campo eléctrico debido al planoinfinito (ver 2.4), sabemos que éste es uniforme y no depende de la distancia al plano. Para x > 0es:

~E1(x) =σ

2ε0i

Podemos obtener el potencial asociado al plano integrando el campo eléctrico sobre una trayec-toria horizontal que pasa por O, entre~x1 = xi y~x2 = 0:

φ1(x)−φ1(0) =∫ ~x2

~x1

d~x′ ·~E(~x′) =∫ 0

xdx′

σ

2ε0

φ1(x)−φ1(0) =−σ

2ε0x

De igual forma, el potencial en un punto x debido a la carga puntual −q está dado por:

φ2(x)−φ2(x) =−∫ 0

x

q4πε0(a− x)2 dx′ =

q4πε0

(1a− 1

a− x

)por el principio de superposición:

φ(x)−φ(0) =− q4πε0(a− x)

+φ1(R)+q

4πε0a− σ

2ε0x

b) Si colocamos una partícula de masa m y carga -e, ésta sentirá una fuerza que la acelerará en ladirección -i. Como la energía debe conservarse:

U(a/2) =U(0)+12

mv2f

−eφ(a/2) =−eφ(0)+12

mv2f

v2f =

2em

(φ(0)−φ(a/2)) =2em

(1

4πε0

−qa− 1

4πε0

−2qa

+σ

4ε0a)=

2em

(q

4πε0a+

σa4ε0

)

3.5 Superficies equipotencialesUna superficie equipotencial es un conjunto de puntos para los cuales el potencial posee unmismo valor φ = φ0. Esto quiere decir que si~x pertenece a una equipotencial, y si d~x correspondea un desplazamiento tangente a la superficie,

dφ = ~∇φ(~x) ·d~x = 0

es decir~E(~x) ·d~x = 0

Las equipotenciales son entonces perpendiculares a las líneas de campo. En la figura siguiente semuestran las equipotenciales de dos cargas puntuales, que corresponden en cada caso a esferasconcéntricas centradas en la carga. También se ilustran las líneas de campo, perpendiculares alas equipotenciales.El potencial siempre decrece en el sentido de las líneas de campo. Así, en la figura 3.5, se tienepara la carga positiva φ1 > φ2 > φ3, mientras que para la carga negativa φ1 < φ2 < φ3.

3.5 Superficies equipotenciales 81

Ejemplo 3.11 — Potencial de una línea de carga. El campo de una línea infinitamentelarga, calculado en 1.9 y 2.5 está dado por

~E(r) =λ

2πrε0r

con esto:

φ(r) =−∫

drE(r) =− λ

2πε0lnr+C

Donde C es una constante arbitraria. Notar que el potencial diverge en el infinito, ésto debido aque la carga eléctrica total no es finita. Las superficies equipotenciales son cilindros de radio r,y para r = 1

φ(1) =C

Luego la constante C no es más que el potencial de todos los puntos que están sobre el manto decilindro de radio unitario. Así

φ(r) =− λ

2πε0lnr+φ(r = 1)

Ejemplo 3.12 — Superposición de alambres infinitos. Dos cables infinitos paralelos al ejex poseen densidad de carga uniforme λ y −λ . Ellos están a distancia a del origen.a) Encuentre el potencial en un punto (x,y,z) usando el origen como punto de referencia.b) Demuestre que las superficies equipotenciales son cilindros circulares


Solucióna) Tenemos dos alambres infinitos cada uno a distancia a del origen, como se aprecia en la figurasiguiente

Por el principio de superposición, el potencial en un punto P será la suma de los potencialesdebidos a cada alambre por separado. El potencial debido al alambre de densidad λ es (ver 3.11)

φ1(P) =−λ

2πε0lnr++C1

y el potencial debido al alambre de densidad −λ es

φ2(P) =λ

2πε0lnr−+C2

Ahora, como nos piden que la referencia sea el origen, φ1(a)+φ2(a) = 0 y las constantes C1 yC2 deben satisfacer C1 +C2 = 0. El potencial en el punto P es entonces:

φ(P) = φ1(P)+φ2(P) =−λ

2πε0lnr++

λ

2πε0lnr−

Si P = (x,y,z), entonces :

r+ =√

(y−a)2 + z2

r+ =√

(y+a)2 + z2

Finalmente, el potencial es:

φ(P) = +λ

2πε0ln(√(y+a)2 + z2)− λ

2πε0ln(√

(y−a)2 + z2) =λ

2πε0ln

(√(y+a)2 + z2√(y−a)2 + z2

)

φ(P) =λ

4πε0ln((y+a)2 + z2

(y−a)2 + z2

)b) Las superficies equipotenciales están dadas por

(y+a)2 + z2

(y−a)2 + z2 = k

donde k es una constante. Esto equivale a:

3.6 Energía Potencial de una distribución de carga discreta 83

(y+a)2 + z2 = k((y−a)2 + z2)

y2 +2ay+a2 + z2 = k(y2−2ay+a2 + z2)

O, equivalentemente

y2(k−1)+ z2(k−1)+a2(k−1)−2ay(k+1) = 0

Dividiendo por k−1:

y2 + z2 +a2−2ayk+1k−1

= 0

Notar que la ecuación de una circunferencia con centro en y0 y radio R es:

(y− y20)+ z2 = R2

y2 + z2−2yy0 +(y20−R2) = 0

De aquí es claro que en planos perpendiculares a los alambres, las equipotenciales son circunfer-encias con

y0 = ak+1k−1

Despejando se obtiene que:

R =2a√

k| k−1 |

En definitiva las superficies equipotenciales son cilindros cuyos ejes apuntan según x.

3.6 Energía Potencial de una distribución de carga discreta

Supongamos una distribución discreta de cargas puntuales q j, con j ∈ 1,2, ...,N, en las posi-ciones ~x j, respectivamente. Este sistema posee una energía potencial, que se puede calcularimaginando que inicialmente todas las cargas se encuentran en el infinito, y se construye ladistribución por etapas como sigue:


1. Inicialmente traemos la carga q1 desde el infinito hasta la posición~x1. El trabajo necesariopara esto es nulo, ya que inicialmente no existe un campo eléctrico alguno que ejerza unafuerza sobre q1. Con esto W1 = 0 y el sistema en este estado posee una energía potencialigual a:

U1 =W1 = 0

2. Ahora, para traer la carga q2 desde el infinito hasta el punto ~x2, como se aprecia en lafigura, se requiere hacer un trabajo igual a:

W2 = φ(~x2)q2 =1

4πε0

q1q2

r12

Con esta configuración, el sistema tiene asociada una energía potencial dada por

U2 =W1 +W2 =1

4πε0

q1q2

r12

3. Ahora, para traer una tercera carga q3, como se ve en la figura siguiente, el trabajonecesario será

W3 = q3φ(~x3) =1

4πε0

q1q3

r13+

14πε0

q2q3

r23

Y la energía potencial de esta configuración de 3 cargas es

U3 =W1 +W2 +W3 =1

4πε0

q1

r13q3 +

14πε0

q2

r23q3 +

14πε0

q1

r12q2

3.6 Energía Potencial de una distribución de carga discreta 85

que se puede reescribir como:

U3 =12

14πε0

(q1q2

r12+

q2q1

r12+

q1q3

r13+

q3q1

r13+

q2q3

r23+

q3q2

r23

)

U3 =12

(1

4πε0

q2

r21+

14πε0

q3

r31

)q1 +

(1

4πε0

q1

r12+

14πε0

q3

r32

)q2 +

(1

4πε0

q1

r13+

14πε0

q2

r23

)q3

Finalmente

U3 =12φ(~x1)q1 +φ(~x2)q2 +φ(~x3)q3

Donde φ(~xi) es el potencial en la posición de la carga i debido a las demás cargas. Estaexpresión es fácilmente generalizable para un sistema de N cargas.

Proposición 3.6.1 En general, para un sistema de N cargas puntuales q j ubicadas respectiva-mente en~x j, con j ∈ 1,2, ...,N, la energía potencial asociada al sistema es:

U =12

N

∑i=1

qiφ(~xi) (3.9)

La extensión al caso de un medio continuo es inmediata:

U =12

∫∫∫R3

φ(~x)dq(~x) =12

∫∫∫R3

d3x ρ(~x)φ(~x) (3.10)

Claramente la Eq (3.10) se reduce a (3.9) cuando la distribución de carga es una suma dedistribuciones de Dirac.

Ejemplo 3.13 — Energía de una esfera uniformemente cargada. Calculemos la energíaelectrostática asociada a una esfera uniformemente cargada de radio R y carga total Q. En elejemplo 3.8, se obtuvo el potencial a una distancia r < R del centro de la esfera

φ(r) =Q(3R2− r2)

8πε0R3

Luego la energía electrostática de la esfera será

U =12

4π

∫ R

0r2drφ(r)ρ(r) =

12

4πρ

∫ R

0r2

φ(r)dr

Donde asumimos una densidad de carga uniforme, tal que Q = 43 πR3ρ , luego

U =3Q2

16πε0R6

∫ R

0r2(3R2− r2)dr =

3Q2

16πε0R64R5

5

Finalmente

U =35

Q2

4πε0R (3.11)


Ejemplo 3.14 — El radio clásico de un electrón. Cuál sería el radio que debiese tenerun electrón para que toda su energía (o, equivalentemente, su masa) se deba a su energíaelectrostática?. Suponiendo que el electrón es una esfera uniformemente cargada, de carga total−e y radio re, se debe tener (Ec. 4.1)

mec2 =35

e2

4πε0re

donde c = 3×108 es la velocidad de la luz, y me = 9×10−31 kg la masa del electrón en reposo.Despejando, se obtiene:

re =35

e2

4πε0mec2 = 1.69×10−15m

Es decir, unas dos veces el radio de un protón. En la visión cuántica del electrón, éste no tienedimensión. El radio clásico re representa la escala de distancia a partir de la cual la teoríacuántica de campos es necesaria.

3.7 El dipolo EléctricoDentro de las múltiples distribuciones de carga que se pueden tener, una de ellas resulta de altointerés: el dipolo. Éste consiste en 2 cargas de igual magnitud, de distinto signo y separadasuna distancia d. Esta distribución genera un campo eléctrico, y vimos en el ejemplo 1.4 quedecae más rápido con la distancia que el campo de una carga puntual. Esto es un efecto deapantallamiento: la carga positiva contraresta el campo de la carga negativa, el resultado es uncampo que decae como r−3, donde r es la distancia al centro del dipolo. El estudio del campo deun dipolo resulta útil por lo siguiente:

1. Un átomo es una distribución de cargas negativas a cierta distancia de un núcleo cargadopositivamente (carga total nula). Se puede entonces describir como un dipolo. La interac-ción materia-radiación puede ser descrita a escala atómica como la interacción entre undipolo y un campo electromagnético.

2. A su vez, una molécula puede generar un campo eléctrico a pesar de que su carga totales nula. Esto se debe igualmente a que las cargas positivas y negativas se encuentranlevemente desplazadas, comportándose de forma equivalente a un dipolo. Hasta ahorahemos supuesto que las cargas están en el vacío, pero cuando se estudie la electrostática enmedios materiales se deberá considerar los campos dipolares que genera el medio material.

3. Más adelante se verá que la radiación electromagnética generada por un sistema de cargasestará caracterizado por la variación en el tiempo de su momento dipolar, que será definidoa continuación.

Definición 3.7.1 — Momento dipolar de una distribución de cargas. Definiremos elmomento dipolar de una distribución de cargas ρ , mediante:

~p =∫∫∫

R3~xρ(~x)d3x (3.12)

Uno reconoce inmediatamente una especie de centro de gravedad de la distribución, dondela carga juega el rol de la masa. El momento dipolar de una distribución discreta de N cargas sereduce a:

~p =N

∑i=1

~xiqi (3.13)

3.7 El dipolo Eléctrico 87

3.7.1 Momento dipolar de un dipoloAhora, consideremos dos cargas iguales en magnitud, pero de signo opuesto: esto es un dipolo.A partir de la definición 3.12, el momento dipolar asociado es

~p = q~x1−q~x2 = q(~x1−~x2)

Suponiendo que la distancia entre ambas cargas es a = ‖~x2−~x1‖, y dado que k = (~x2−~x1)/a esla dirección unitaria que une la carga negativa con la positiva, Entonces el momento dipolar sepuede reescribir como:

~p = qak (3.14)

Para un dipolo eléctrico el momento dipolar es un vector de magnitud qa y su dirección vasiempre desde la carga negativa hacia la carga positiva. Esta configuración es muy importante enelectrostática.

En la figura siguiente se muestran 2 ejemplos de sistemas que poseen un momento dipolar. Elprimero de ellos es el átomo de hidrógeno, en donde el electrón se mantiene en órbita en torno alnúcleo a una distancia igual al radio de bohr a0 ≈ 5.29×10−11 m. El momento dipolar asociadoapunta hacia el núcleo y su magnitud es de p = a0e = 8.46×10−30 Cm.

Otro ejemplo es el de la molécula de agua. Como sistema completo, la molécula es neutra.Sin embargo, la densidad electrónica se encuentra concentrada en torno al átomo de oxígeno,dejando un exceso de carga positiva alrededor de los 2 átomos de hidrógeno. La molécula deagua posee entonces un momento dipolar de magnitud p = 6.2×10−30 Cm. Las moléculas queposeen un momento dipolar son llamadas polares, y son suceptibles de interactuar con camposeléctricos y formar enlaces entre ellas debido a interacciones electrostáticas entre los diferentesdipolos, como ocurre en el caso del agua.


3.7.2 Campo generado por un dipoloCalculemos el potencial eléctrico en un punto arbitrario P debido a un dipolo. Para ello consid-eremos un dipolo orientado según un eje vertical z, como se muestra en la figura 3.7.2, y lascoordenadas esféricas r,ϑ ,ϕ (esta última no se muestra):

En primer lugar se debe notar la simetría azimutal de la distribución de carga: el potencial sólodependerá de r y del ángulo ϑ , cualquier rotación del plano x− y en torno a z deja invariante elvalor del potencial en P. Por el principio de superposición, el potencial en dicho punto está dadopor:

φ(P) =1

4πε0

(qr +− q

r−

)(3.15)

Donde, por el teorema del coseno:

r2+ = r2 +(a/2)2−ar cosϑ

r2− = r2 +(a/2)2−ar cos(π−ϑ) = r2 +(a/2)2 +ar cos(ϑ)

De esta forma:r± = r

√1+(a/2r)2∓ (a/r)cosϑ

Para el límite en que a r, se puede desarrollar en serie de Taylor en potencias de (d/r):

1r±

=1r

(1+(a/2r)2∓ (a/r)cosϑ)

)−1/2=

1r

(1− 1

2(a/2r)2± (a/2r)cosϑ + ...

)Con esto, el potencial en P puede aproximarse por:

φ(P) = φ(r,ϑ)≈ q4πε0r

acosϑ

r=

pcosϑ

4πε0r2

Notar entonces que el potencial eléctrico a grandes distancias (a << r) queda absolutamentedeterminado por su momento dipolar ~p = aqz y disminuye según el cuadrado de la distancia(es un potencial más débil que el de una carga puntual). Las superficies equipotenciales estandescritas por r2 = p

4πε0φ0cosϑ , donde φ0 es una constante. En particular, en el plano X-Y

(ϑ = π/2) el potencial es nulo. Notando que ~p = pcosϑ r− psinϑϑ , el potencial se escribe ensu forma más general posible:

φ(~x) =~p · r

4πε0r2 =~p ·~x

4πε0‖~x‖3 (3.16)

Notas


1. La expresión (3.16) es válida a grandes distancias del dipolo (r a). Cuando r escomparable a a, se debe recurrir a la expresión exacta (3.15).

2. A partir de (3.16) se puede deducir que el potencial es nulo para ϑ = π/2, es decir, lasdos cargas definen un plano (en la figura 3.7.2, el plano x-y) donde el potencial es nulo.

Podemos obtener el campo eléctrico mediante (3.3), recordando la expresión para el gradienteen coordenadas esféricas:

~∇ f =∂ f∂ r

r+1r

∂ f∂ϑ

ϑ +1

r sinφ

∂ f∂φ

φ

Se deduce que el campo eléctrico sólo tendrá componentes en las direcciones r y θ .

Er =−∂φ

∂ r=

pcosϑ

2πε0r3

Eϑ =−1r

∂φ

∂ϑ=

psinϑ

4πε0r3

Así:

~E(r,ϑ) =p

4πε0r3 (2cosϑ r+ sinϑϑ) (3.17)

O en su forma más general

~E(~x) =1

4πε0‖r‖3 (3(~p · r)r−~p) (3.18)

El campo eléctrico debido a un dipolo disminuye según el inverso del cubo de la distancia a éste.


3.7.3 Energía potencial externa y fuerza sobre un dipoloEs claro que un dipolo tiene una energía potencial interna, de acuerdo a (3.9). Ahora supongamosque un dipolo se encuentra en una región donde existe un campo electrostático externo ~E. Laidea es calcular la energía potencial del dipolo asociada a la prescencia de este campo externo.

La energía potencial externa asociada al dipolo será, de acuerdo a (3.9) :

U =−qφ(~x)+qφ(~x+~a)

donde ~E =−~∇φ . Podemos desarrollar φ(~x+~a) en serie de Taylor (hasta primer orden en ‖~a‖):

φ(~x+~a) = φ(~x)+~∇φ(~x) ·~a

de forma que un dipolo de largo infinitesimal a ubicado en~x tiene una energía potencial:

U(~x) = q~a ·~∇φ(~x) = ~p ·∇φ(~x)

o, equivalentemente:

U(~x) =−~p ·~E(~x) (3.19)

La configuración que miniza la energía de interacción es aquella en la que el momento dipolar ~pse alinea paralelamente al campo ~E. Finalmente, la fuerza que ejerce ~E sobre el dipolo es:

~F(~x) =−~∇U(~x) = ~∇(~p ·~E(~x)

)

~F(~x) = (~p ·~∇)~E(~x) (3.20)

3.7.4 NotaLa descripción correcta de la interacción entre un campo electromagnético y la materia se obtienea través de la mecánica cuántica (fenómenos como la absorción y emisión de la luz por unátomo, el efecto fotoeléctrico, o el funcionamiento de un láser no pueden ser explicados con unmodelo puramente clásico). La expresión clásica de la energía de interacción U =−~p ·~E tomaprácticamente la misma forma en mecánica cuántica.

Ejemplo 3.15 — Fuerza entre un dipolo y una línea cargada. Un dipolo con momentodipolar ~p se localiza a una distancia r de una barra muy delgada con largo infinito y homogénea-mente cargada con densidad lineal de carga λ > 0. Asuma que el dipolo está orientado con el


campo eléctrico debido a la barra cargada como muestra la figura.

a) Suponiendo que la separación fija l entre las cargas que conforman el dipolo es tal que l r,determine la fuerza sobre el dipolo, a primer orden en l/rb) Demuestre que en este límite, la fuerza sobre el dipolo puede ser escrita como:

~F(~x) =(~p ·~∇

)~E(~x)

(válido para un dipolo puntual)

SoluciónYa fue obtenido anteriormente el campo eléctrico de una distribución lineal de carga muy larga yde densidad λ (ejemplo 1.9). El campo está dado por:

~E(r) =λ

2πε0rr

La fuerza sobre el dipolo es entonces:

~F = q~E(r+ l/2)−q~E(r− l/2) = qE(r+ l/2)−E(r− l/2) r

~F =qλ

2πε0

(1

r+ l/2− 1

r− l/2

)r =

qλ

2πε0r

(1

1+ l2r

− 11− l

2r

)r

~F =qλ

2πε0r

((1+

l2r

)−1

−(

1− l2r

)−1)

r

Recordando la expansión a primer orden de (1+ x)n ≈ 1+ nx, buena aproximación cuandox 1, la fuerza se puede aproximar a primer orden:

~F ≈ qλ

2πε0r

(1− l

2r−(

1+l

2r

))r =

qλ

2πε0r

(− l

r

)r

~F ≈ −qlλ2πε0r2 r =

−pλ

2πε0r2 r

donde p es la magnitud del momento dipolar del dipolo.

b) Notar que si l r, se espera obtener para la fuerza el resultado que se obtuvo para eldipolo puntual (ecuacion 3.20) :


~F(~x) =(~p ·~∇

)~E(~x)

Utilizando coordenadas cilíndricas, y recordando la naturaleza radial del campo eléctrico(~p ·~∇

)~E(r) =

(pr · ∂

∂ rr)~E(r)

= p∂

∂ r

(λ

2πε0r

)r =−p

λ

2πε0r2 r

que es el mismo resultado que se obtuvo en la parte anterior.

Ejemplo 3.16 — Torque sobre un dipolo. Considere un dipolo de momento dipolar ~p for-mando un ángulo ϑ con la horizontal. Suponga que existe un campo eléctrico externo uniformedado por ~E = Ex.a) Calcule la fuerza total y el torque que se ejerce sobre el dipolob) ¿Qué ocurre si el campo no es uniforme?

SoluciónComo se aprecia en la figura, se tiene que la fuerza total sobre el dipolo será:

~F = ~F++~F− = qEi−qEi =~0

La fuerza neta sobre el dipolo en un campo externo uniforme es nula. Calculemos ahora el torqueque se ejerce sobre el dipolo, con respecto a su centro de masa (origen):

~τ =~r+×~F++~r−×~F−

~τ = (acosϑ i+asinϑ j)×qEi+(−acosϑ i−asinϑ j)×−qEi

~τ = asinϑ j×qEi+asinϑ j×qEi

~τ = 2asinϑ j×qEi =−2aqsinϑEk

Vemos que existe un torque neto sobre el dipolo, a pesar que la fuerza neta sobre él es nula. Ladirección del torque es según −k , es decir, el dipolo tiende a girar en el sentido del reloj para

3.8 Expansión Multipolar 93

alinearse respecto al campo y así minizar la energía potencial U =−~p ·~E. Ahora, la magnituddel momento dipolar es:

p = 2aq

Luego, se puede reescribir:

~τ =−pE sinϑ k

Y en su forma más general, se tiene:

~τ = ~p×~E (3.21)

que es la expresión para el torque sobre un dipolo de momento dipolar ~p sumergido en un campoeléctrico ~E.

b) Si el campo externo no es uniforme, seguirá existiendo un torque sobre el dipolo y éste rotaráhasta alinearse con respecto al campo eléctrico. Además, en general la fuerza neta sobre eldipolo no será nula, por lo que además de girar, se desplazará hacia donde el campo eléctrico seamás intenso.

3.8 Expansión MultipolarSupongamos que se tiene una cierta distribución de carga confinada a un volumen Ω. Es decir,

ρ =

ρ(~x) si~x ∈Ω

0 si~x /∈Ω

La idea es obtener una expresión aproximada para el campo (o equivalentemente, el potencial) agrandes distancias de Ω. El potencial está dado por:

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∫Ω

d3x′ρ(~x′)‖~x−~x′‖

por el teorema del coseno, ‖~x−~x′‖=(‖~x‖2 +‖~x′‖2−2~x ·~x′

)1/2 entonces

1‖~x−~x′‖

=1‖~x‖

(1+‖~x′‖2

‖~x‖2 −2~x ·~x′

‖~x‖2

)−1/2

Recordando la expansión en serie de taylor:

(1+ z)−1/2 = 1− 12

z+38

z2 +O(z3)

se deduce :

1‖~x−~x′‖

≈ 1‖~x‖

1− 1

2

(‖~x′‖2

‖~x‖2 −2~x ·~x′

‖~x‖2

)+

38

(‖~x′‖2

‖~x‖2 −2~x ·~x′

‖~x‖2

)2

=1‖~x‖

1+

~x ·~x′

‖~x‖2 −12‖~x′‖2

‖~x‖2 +38

[(‖~x′‖2

‖~x‖2

)2

+4(~x ·~x′

‖~x‖2

)2

−4(~x ·~x′)‖~x′‖2

‖~x‖4

]


=1‖~x‖

1+

~x ·~x′

‖~x‖2 −12‖~x′‖2

‖~x‖2 +32

(~x ·~x′

‖~x‖2

)2

+O(‖~x′‖‖~x‖

)3

Con esto, la expansión del potencial electrostático a segundo orden es:

φ(~x)=1

4πε0

1‖~x‖

∫∫∫Ω

ρ(~x′)d3x′+~x‖~x‖3 ·

∫∫∫Ω

ρ(~x′)~x′d3x′+1

2‖~x‖5

∫∫∫Ω

(3(~x ·~x′)2−‖~x′‖2‖~x‖2)

ρ(~x′)d3x′

En la tercera integral aparece un término que puede ser reescrito de la siguiente forma:(3(~x ·~x′)2−‖~x′‖2‖~x‖2)= 3

(~xT~x′

)(~x′T~x

)−‖~x′‖2~xT~x

=~xT (3~x′~x′T −‖~x′‖2)~xPodemos identificar en el primer término la carga total de la distribución:

q =∫∫∫

Ω

ρ(~x′)d3x′

En el segundo reconocemos el momento dipolar (3.12) :

~p =∫∫∫

Ω

ρ(~x′)~x′d3x′

Se define además el momento cuadripolar como la siguiente matriz:

Q =∫∫∫

Ω

ρ(~x′)

3~x′ ·~x′T −‖~x′‖2d3x′ (3.22)

Finalmente, la expansión queda:

φ(~x) =1

4πε0

q‖~x‖

+~p ·~x‖~x‖3 +

12~xT Q~x‖~x‖5 + ...

(3.23)

Será una buena aproximación bajo la condición ‖~x‖ sup~x′∈Ω ‖~x′‖, es decir, lejos de la distribu-ción de carga.

Notas

1. El primer término, que decae como 1/‖~x‖, corresponde al potencial de una carga puntual qen el origen. Considerar sólo este término en la expansión es la aproximación más simpleque se puede hacer.

2. El segundo término en la expansión, que decae como 1/‖~x‖2, equivale al potencial de undipolo con momento dipolar ~p .

3. El tercer término decae como 1/‖~x‖3, y corresponde al potencial que genera un cuadripolo.El cuadripolo elemental consiste en una distribución de 4 cargas, 2 con carga +q y 2 con−q, dispuestas de forma que su momento dipolar es nulo. Un ejemplo de una distribucioncuya carga y momento dipolar son cero se vio en el ejemplo 3.22.

3.9 Las dos leyes fundamentales de la electrostática 95

4. Más términos en la expansión permiten definir momentos de orden mayor, cuya contribu-ción al campo total decae cada vez más rápido. En resumen, la expansión multipolarpermite expresar el campo de una distribución de carga arbitraria como el equivalente a lasuperposición de una carga q, un dipolo ~p, un cuadripolo Q, etc.

3.9 Las dos leyes fundamentales de la electrostática

Hasta ahora se han establecido los principios fundamentales de la electrostática, éstos son: la leyde Coulomb y el principio de superposición. Hemos visto que a partir de estos principioes sepueden deducir:

1. La ley de Gauss: el flujo del campo eléctrico sobre una superficie cerrada es proporcionala la carga contenida en ella. Precisamente:∫∫

∂Ω

d~S(~x) ·~E(~x) = 1ε0

∫∫∫Ω

d3x ρ(~x)

2. El campo eléctrico es conservativo, es decir, su circulación es nula.∮Γ

d~x ·~E(~x) = 0

En primer lugar, veremos que estas ecuaciones poseen una formulación diferencial equivalente,que son las dos primeras ecuaciones de Maxwell en el vacío para campos electrostáticos.

3.10 Forma diferencial de la ley de Gauss

A partir de la ley de Gauss, y utilizando el teorema de la divergencia de Green-Ostrogradsky, seobtiene: ∫∫

∂Ω

d~S(~x) ·~E(~x) =∫∫∫

Ω

d3x ~∇ ·~E(~x) = 1ε0

∫∫∫Ω

d3xρ(~x)

∫∫∫Ω

d3x(~∇ ·~E(~x)− ρ(~x)

ε0

)= 0

para todo volumen Ω de integración. Asumiendo suficiente regularidad en el campo y la densidadde carga, esto significa:

~∇ ·~E(~x) = ρ(~x)ε0

(3.24)


3.11 Forma diferencial de la ley de circulaciónDel mismo modo, a partir de la ley de circulación y utilizando el teorema de Stokes:∮

Γ

d~x ·~E(~x) =∫∫

S(Γ)d~S(~x) ·

(~∇×~E(~x)

)= 0

donde Γ(S) es cualquier superficie cuyo contorno es Γ. De aquí se desprende que:

~∇×~E(~x) = 0 (3.25)

En resumen, las dos leyes integrales fundamentales del campo electrostático tienen una formu-lación equivalente en dos ecuaciones diferenciales:

~∇ ·~E(~x) = ρ(~x)ε0

~∇×~E(~x) = 0

La primera de ellas relaciona la divergencia del campo electrostático en cada punto con ladensidad de carga. La segunda establece que el campo eléctrico es conservativo o irrotacional.Este par de ecuaciones diferenciales son las dos primeras ecuaciones de Maxwell en el vacíocuando el campo eléctrico no depende del tiempo. Dado que ambas han sido obtenidas a partirde primeros principios (ley de Coulomb, principio de superposición), es válido cuestionarse sison suficientes para caracterizar completamente el campo electrostático. En efecto, veremos acontinuación que éstas contienen absolutamente toda la teoría de la electrostática.

3.12 Completitud de la electrostática3.12.1 Descomposición de Helmholtz

Teorema 3.12.1 Si ~F es un campo vectorial de clase C1(R3) que decae a cero en el infinitoigual o más rápido que 1/‖~x‖2, entonces existe un campo vectorial ~A y un campo escalar φ talque ~F se puede descomponer como:

~F = ~∇×~A−~∇φ

con

φ(~x) =1

4π

∫∫∫R3

~∇′ ·~F(~x′)‖~x−~x′‖

d3x′

~A(~x) =1

4π

∫∫∫R3

~∇′×~F(~x′)‖~x−~x′‖

d3x′

Ademas, ésta descomposición es única.

Corolario 3.12.2 Si ~F es irrotacional (~∇×~F =~0), entonces deriva de un potencial escalar.Es decir, existe φ tal que

~F =−~∇φ

Si ~F es solenoidal (~∇ ·~F = 0), entonces deriva de un potencial vectorial ~A tal que

3.12 Completitud de la electrostática 97

~F = ~∇×~A

Corolario 3.12.3 La electrostática es una teoría completa, ya que existe un unico campo ~Eque decae igual o mas rapido que 1/‖~x‖2 y que cumple con:

~∇ ·~E = ρ/ε0

y :~∇×~E =~0

En efecto, el teorema de Helmholtz establece que entonces ~E está completamente determinadopor la siguiente representación integral- diferencial:

~E(~x) =−~∇ 14π

∫∫∫R3

~∇′ ·~E(~x′)‖~x−~x′‖

d3x′ =−~∇ 14πε0

∫∫∫R3

ρ(~x′)‖~x−~x′‖

d3x′ (3.26)

y utilizando la identidad 3.1

~E(~x) =1

4πε0

∫∫∫R3

ρ(~x′)(~x−~x′)‖~x−~x′‖3 d3x′ (3.27)

lo que corresponde a la ley de Coulomb

El conjunto de ecuaciones diferenciales que representan las leyes fundamentales de la teoría essuficiente para determinar completamente el campo eléctrico.

Como se puede ver en la figura, a partir de la ley de Coulomb deducimos dos leyes integrales parael campo eléctrico: la ley de gauss y la ley de circulación. Ambas leyes poseen un equivalente enforma diferencial que involucran la divergencia y el rotor del campo eléctrico, respectivamente.Finalmente, a partir de ambas leyes diferenciales es posible demostrar la ley de Coulomb, elciclo está cerrado. Toda la información de la electrostática se puede resumir en las dos leyesdiferenciales (3.24) y (3.25).


3.13 Densidad de energía electrostática

La energía electrostática está localizada en los lugares del espacio donde reina el campo eléctrico.En efecto, a partir de la ecuación 3.10, vemos que la energía total de una distribución de carga seobtiene como la integral sobre todo el espacio de una cierta densidad de energía:

u(~x) =12

ρ(~x)φ(~x)

La forma diferencial de la ley de Gauss 3.24 permite escribir ρ(~x) = ε0~∇ ·~E(~x), de forma que:

u(~x) =ε0

2φ(~x)~∇ ·~E(~x)

Además, φ~∇ ·~E = ~∇ · (φ~E)−~E ·~∇φ = ~∇ · (φ~E)+‖~E‖2

ya que ~E =−~∇φ . Finalmente, se obtiene que la energía electrostática puede escribirse como

U =ε0

2

∫∫∫R3

d3x [~∇ · (φ~E)+‖~E‖2]

El primer término corresponde a un término de superficie (teorema de la divergencia de Green-Ostrogradsky), que se anula en el infinito. Finalmente

U =ε0

2

∫∫∫R3‖~E(~x)‖2d3x (3.28)

La densidad volumétrica de energía se puede escribir entonces como

u(~x) =ε0

2‖~E(~x)‖2

(3.29)

Ejemplo 3.17 — Densidad de energía de una esfera homogéneamente cargada. Enel ejemplo 2.3 se calculó el campo eléctrico generado por una esfera de radio R uniformementecargada con carga total Q:

~E(r) =

Qr

4πε0R3 r si r ≤ RQ

4πε0r2 r si r > R

La densidad de energía asociada es, de acuerdo a 3.29:

u(r) =ε0

2‖~E(~x)‖2 =

ε0Q2r2

2(4πε0)2R6 r si r ≤ Rε0Q2

2(4πε0)2r4 r si r > R

y la energía total de la esfera es:

U = 4π

∫∞

0U(r)r2dr = 4π

(∫ R

0u(r)r2dr+

∫∞

Ru(r)r2dr

)

U =Q2

2(4πε0)

(∫ R

0

r4

R6 dr+∫

∞

R

1r2 dr

)

U =Q2

2(4πε0)

(1

5R+

1R

)=

3Q2

5(4πε0)R

exactamente el resultado obtenido en el ejemplo 4.1.

3.13 Densidad de energía electrostática 99

Ejemplo 3.18 — Densidad de carga en la atmósfera. El campo eléctrico sobre la superfi-cie de la Tierra está dado por la expresión

~E(z) =−ae−αzk

Con a = 100 V/m, α = 3.5 km y donde z es la altura desde la superficie de la tierra.a) Determine la densidad de carga en la atmósfera.b) Calcule la cantidad total de carga contenida en una columna vertical de sección S que seextiende desde z = 0 hasta z = ∞. Cuál es la carga total contenida en la atmosfera (radio de latierra RT = 6400 km)?

Solucióna) Para obtener la densidad de carga, utilizamos la forma diferencial de la ley de Gauss 3.24:

~∇ ·~E = ρ/ε0

Las componentes de ~E en x e y son nulas, así

αae−αz =ρ(z)ε0

Finalmente, la atmósfera esta cargada positivamente con una densidad de carga dada por

ρ(z) = ε0αae−αz

b) La carga total contenida en una columna vertical de sección S será

QS = S∫

∞

0ε0αae−αzdz = Sε0a

La carga total en la atmósfera se obtiene considerando S como la superficie total de la tierra, esdecir, S = 4πR2

T , donde RT = 6400 km es el radio terrestre. Obtenemos una carga total igual a:

QT = 4πε0R2T a =+4.55 105 C


3.14 Resumen y fórmulas escenciales• El campo eléctrico proviene de un potencial escalar φ tal que ~E =−~∇φ . En términos de

la distribucion de cargas, el potencial está dado por

φ(~x) = 14πε0

∫∫∫R3 d3x′ ρ(~x′)

‖~x−~x′‖

tal que φ → 0 en el infinito. Agregar una constante arbitraria al potencial no modifica elcampo eléctrico.

• El trabajo del campo eléctrico sobre una carga q que se mueve a lo largo de una curva Γ

depende únicamente de los extremos de la curva. Se tiene

W = q∫ ~x2

~x1

d~x ·~E = q(φ(~x1)−φ(~x2))

En particular, el trabajo a lo largo de una curva cerrada es cero. El campo eléctrico esentonces conservativo o irrotacional. Esta es la ley de circulación

∮d~x ·~E = 0, cuya forma

diferencial es~∇×~E =~0

• La ley de Gauss puede ser escrita como:

~∇ ·~E = ρ/ε0

• Es posible definir la energía electrostática de una distribución de carga a partir de la

definición U = 12∫∫∫

R3 d3x′ρ(~x′)φ(~x′)

donde u = 12 ρφ representa una densidad de energía electrostática. Esta densidad puede ser

escrita también comou =

12

ε0‖~E‖2

• La ley de circulación y la ley de Gauss contienen toda la teoría electrostática. En efecto,a partir del teorema de Helmholtz, es posible demostrar que si se conoce la divergencia(ley de Gauss) y el rotacional (ley de circulacion) de ~E, entonces el campo necesariamentesatisface la ley de Coulomb 1.3.

• Un átomo o una molécula eléctricamente neutra genera de todas formas un campo eléctricoque decae al menos como 1/r3. Esto se debe a que las cargas positivas y negativas no sesuperponen perfectamente. Esto puede ser descrito a través del momento dipolar ~p, tal

que el potencial generado por ~p esta dado por φ(~x) = ~p·~x4πε0‖~x‖3

• Un dipolo ~p en un campo eléctrico ~E posee una energía potencial U = −~p · ~E. Enconsecuencia, este sentirá una fuerza ~F = (~p ·~∇)~E y un torque~τ = ~p×~E.

Documents

3 — Potencial electrostáticofabiancadiz.com/images/03Electro.pdf · 66 Potencial electrostático 3.1Introducción En este capítulo veremos que el campo electrostático es un campo