3. RÄUMLICHE ISOPARAMETRISCHE STABELEMENTE · 3. RÄUMLICHE ISOPARAMETRISCHE STABELEMENTE 3.2 FINITE-ELEMENT-DISKRETISIERUNG WS 2014/15 FINITE -ELEMENT METHODE JUN. PROF. D. JUHRE

3. RÄUMLICHE ISOPARAMETRISCHE STABELEMENTE3.2 FINITE-ELEMENT-DISKRETISIERUNG

128WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE

Approximation der äußeren virtuellen Arbeit

Die virtuelle Arbeit der äußeren Lasten lässt sich als Funktion der vorgeschriebenen Knotenlasten

𝑁1𝑖 und der vorgeschriebenen Streckenlast 𝑝1 𝜉1 angeben.



Approximation der virtuellen Arbeit der Trägheitskräfte

Die virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte kann durch Substitution von 𝛿𝑢1 𝜉1 und 𝑢1 𝜉1 approximiert

und anschließend in Vektorform angegeben werden.




Zur Ableitung der Gleichung wurden eine konstante Querschnittsfläche 𝐴 und eine konstante

Dichte 𝜌 angenommen. Unter Berücksichtigung linearer Ansatzfunktionen 𝑁𝑖 𝜉1 kann 𝛿 𝜓𝑑𝑦𝑛𝑒

weiter entwickelt werden.

Im Vergleich zur Generierung der Elementsteifigkeitsmatrix müssen zur Integration der

Elementmassenmatrix 𝐦𝑒 quadratische Terme in 𝜉1 integriert werden, wohingegen die

Integranten der Elementsteifigkeitsmatrix konstant sind.




Die Masse des Stabelements ist mit dem Produkt der Dichte, der Querschnittsfläche und der

Stablänge zu berechnen. Die Summe der Komponenten der Massenmatrix ergibt die Masse des

Stabelements.

Die virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte in generalisierter Form kann mit Hilfe der Matrix der

Ansatzfunktionen 𝐍 𝜉1 wie folgt angegeben werden.



Stabelement mit quadratischen Ansatzfunktionen

Nach den vorangehenden Abschnitten können entsprechend die Elementvektoren und -matrizen

des dreiknotigen Stabelements mit quadratischen Verschiebungsansätzen hergeleitet werden.

Die Ansatzfunktionen des quadratischen Stabelements werden aus dem allgemeinen

Lagrange'schen Ansatzpolynom für den Polynomgrad 𝑝 = 2 abgeleitet und in der (1 × 3)-Matrix der

Ansatzfunktionen zusammengefasst.



Approximation der Koordinaten

Nach dem isoparametrischen Elementkonzept wird die physikalische Koordinate 𝑋1 mit den

Ansatzfunktionen 𝑁𝑖 𝜉1 und Positionen der Elementknoten im physikalischen Raum 𝑋1𝑒𝑖

berechnet.

Damit ist auch die Jacobi Matrix bestimmt. Die Jacobi Matrix und Jacobi Determinante sind mit

denen des linearen Stabelements identisch.



Approximation der Variablen

Die Verschiebung, die Variation der Verschiebung und die Beschleunigung können mit Hilfe

der Matrix der Ansatzfunktionen 𝑁 𝜉1 und entsprechender Elementvektoren 𝐮𝑒, 𝛿𝐮𝑒 und 𝐮𝑒

bestimmt werden.



Elementsteifigkeitsmatrix

Zur Generierung der Elementsteifigkeitsmatrix ist die Formulierung des Differentialoperators 𝐁 𝜉1durch Erweiterung um den Freiheitsgrad des zusätzlichen Elementknotens notwendig.

Die Ableitungen der Ansatzfunktionen 𝑁;1𝑖 𝜉1 sind linear in 𝜉1.



Elementsteifigkeitsmatrix

Somit ist auch der B-Operator eine Funktion von 𝜉1 und kann folglich nicht aus dem Integral für die

Bestimmung der Elementsteifigkeitsmatrix herausgezogen werden. Es sind Integrationen von

Polynomen zweiten Grades notwendig.



Konsistenter Elementlastvektor

Der konsistente Elementlastvektor 𝐫𝑝𝑒 wird mit Hilfe der Matrix der Ansatzfunktionen 𝐍 𝜉1

generiert.

Im Sonderfall einer konstanten Streckenlast 𝑝1 erhält man den konsistenten Elementlastvektor

in dem der wesentliche Anteil von 2/3 der integrierten verteilten Last 𝑝1𝐿 am Mittelknoten 2des Stabelements aufgebracht wird.



Elementmassenmatrix

Die Elementmassenmatrix 𝐦𝑒 des quadratischen Stabelements wird entsprechend der virtuellen

Arbeit der Trägheitskräfte für das lineare Stabelement (Folie 131) erzeugt.

Die Integration der Polynome vierten Grads in liefert die Elementmassenmatrix des quadratischen

dreiknotigen Stabelements.



Elementmassenmatrix

Analog zum linearen Stabelement liefert die Summation der Komponenten der Massenmatrix die

Masse des Stabs.



Numerische Integration

Die Integration der Komponenten der Elementsteifigkeitsmatrix, der Elementmassenmatrix und

des konsistenten Elementlastvektors wurde in den vorangehenden Folien analytisch durchgeführt.

Um bei der Entwicklung komplexerer finiter Elemente über ein adäquates Werkzeug zur

Integration analytisch nicht oder nur sehr schwer integrierbarer Elementgrößen zu verfügen, wird

am Beispiel des Fachwerkstabs die numerische Integration eingeführt und untersucht.

Durch die numerische Integration ist es möglich, beliebige Funktionen approximativ zu

integrieren.

Dadurch ergibt sich sowohl eine Vereinfachung der Integration als auch die grundsätzliche

Integration analytisch nicht integrierbarer Funktionen.

Nachteilig ist sicherlich der erhöhte numerische Aufwand zur Generierung der Elementmatrizen

und -vektoren. Zudem ist die exakte Berechnung von höherwertigen Funktionen nicht immer

gewährleistet.




Im Rahmen der Finite-Element-Methoden hat sich die sogenannte Gauß-Legendre Quadratur

etabliert.

Die Gauß-Legendre Quadratur einer Funktion 𝑓 𝜉1 über dem Parameterraum 𝜉1 ∈ [−1,1]ist durch die Summe

gegeben. 𝑤𝑖 sind die Wichtungsfaktoren zu den Funktionswerten 𝑓 an den Stützstellen 𝜉1𝑖

und 𝑛 die Anzahl der Integrationspunkte oder sogenannten Gaußpunkte.

Mit der Gauß-Legendre Quadratur können Polynome des Polynomgrads 𝑝 ≤ 2 𝑛 − 1 exakt,

höherwertige Polynome und andere Funktionen approximativ integriert werden.




Eine Zusammenstellung von 𝜉1𝑖 und 𝑤𝑖 für 𝑛 = 1, 2, 3 findet sich in der folgenden Tabelle.




Sollen alle Elementgrößen (𝐤𝑒, 𝐫𝑝𝑒 , 𝐦𝑒) des Stabelements numerisch integriert werden, so sind die

Anforderungen an die Integration zu differenzieren.

Zur exakten Integration der Steifigkeitsmatrix des linearen Stabelements mit der Gauß-Legendre

Quadratur genügt es, eine Ein-Punkt-Integration durchzuführen, da mit 𝑛 = 1 eine lineare

Funktion exakt integriert werden kann.

Bei der Generierung des Vektors der konsistenten Knotenlasten ist die exakte Integration mit der

Ein-Punkt-Gauß-Legendre-Integration nur für eine konstante Streckenlast 𝑝1 möglich.Bei

Applikation höherwertiger Funktionen 𝑝1 𝜉1 wird der konsistente Lastvektor inexakt integriert. Zur

exakten Integration muss die Anzahl der Gaußpunkte an den Polynomgrad der Lastfunktion

angepasst werden. Lastfunktionen, die nicht durch ein Polynom abgebildet werden können,

werden in jedem Fall nur näherungsweise integriert.

Zur exakten Integration der Elementmassenmatrix sind quadratische Funktionen zu integrieren,

was eine Zwei-Punkt-Gauß-Legendre-Integration erfordert. Eine in Äquivalenz zur

Steifigkeitsmatrix durchgeführte Ein-Punkt-Gauß-Legendre-Integration resultiert in einer inexakten

Integration der Massenmatrix.




Ist die numerisch exakte Lösung aller Elementgrößen gefordert, sind mindestens die in der

Tabelle zusammengefassten Gauß-Legendre-Quadraturen zu verwenden.

Häufig wird die Integrationsordnung an die Bedürfnisse der Integration der

Elementsteifigkeitsmatrix angepasst, was zur Folge hat, dass die Massenmatrix inexakt und

der konsistente Lastvektor nur in Sonderfällen exakt integriert werden.

3. RÄUMLICHE ISOPARAMETRISCHE STABELEMENTE3.2 ASSEMBLIERUNG DER STRUKTUR


Grundsätzliches

Nach der Generierung der Elementgrößen aller in einem System befindlichen finiten Elemente

sollen diese zu einem Ensemble geformt werden. Grundlage dieser Assemblierung der Elemente

bildet die vorgenommene Gebietszerlegung und die Forderungen bezüglich der virtuellen

Arbeiten, in Verbindung mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen.

Die Generierung des Systems oder der Struktur aus finiten Elementen, die die Bauteile der

Struktur darstellen, gliedert sich im wesentlichen in zwei Schritte:

1. An Verbindungsstellen von Elementfreiheitsgraden zweier oder mehrerer Elemente an

einem gemeinsamen Strukturknoten müssen diese kompatibel sein.

2. Benachbarte finite Elemente werden über ihre kompatiblen Elementfreiheitsgrade an

gemeinsamen Strukturknoten zum System beziehungsweise zur Struktur verknüpft,

indem ihre Elementfreiheitsgrade zu einem Systemfreiheitsgrad zusammengefasst

werden.



Transformation der Elementmatrizen und -vektoren

Die Transformation der Elementgrößen 𝐤𝑒 , 𝐫𝑝𝑒 und 𝐦𝑒 vom elementspezifischen

Koordinatensystem, das durch die Basisvektoren (𝐞1, 𝐞2, 𝐞3) aufgespannt wird, in ein beliebig

orientiertes, durch die Basen (𝐞1′ , 𝐞2

′ , 𝐞3′ ) charakterisiertes, kartesisches Koordinatensystem basiert

auf der Transformation des Elementverschiebungsvektors 𝐮𝑒.

Da das Koordinatensystem (𝐞1, 𝐞2, 𝐞3) so gewählt wurde, dass nur die Verschiebung in Richtung

des Basisvektors 𝐞1 von Null verschieden ist, besteht der Elementverschiebungsvektor 𝐮𝑒

lediglich aus den Komponenten 𝑢1𝑒𝑖 für 𝑖 = 1,… , 𝑝 + 1.

Folglich enthält der Verschiebungsvektor am Elementknoten 𝑖 nur eine Komponente 𝑢1𝑒𝑖. Der

Elementverschiebungsvektor im beliebig gewählten Koordinatensystem (𝐞1′ , 𝐞2

′ , 𝐞3′ ) besteht

hingegen aus drei Komponenten je Elementknoten 𝑖.




Die Transformationsbeziehung ist knotenweise anzuwenden und kann daher für den Polynomgrad

𝑝 = 1 abgeleitet und für beliebige Polynomgrade 𝑝 generalisiert werden.

Die folgende Abbildung illustriert die

Elementfreiheitsgrade in den beiden

Koordinatensystemen (𝐞1, 𝐞2, 𝐞3) und

(𝐞1′ , 𝐞2

′ , 𝐞3′ ) und die Generierung der

Elementverschiebung 𝑢1𝑒2 mit der

Summe der auf die Basis 𝐞1 projizierten

Verschiebungskomponenten des

Vektors 𝐮𝑒2′.




Die Projektion von 𝑢1𝑒2′ ist durch den Richtungscosinus cos 𝛼1, der wiederum aus der Orientierung

des Stabelements im Raum gewonnen werden kann, gegeben. Werden die weiteren Projektionen

analog durchgeführt, erhält man die

gesuchte Verschiebungskomponente

mit den, mit der Ähnlichkeit der

Geometrie von Verschiebung und

Staborientierung im Raum bestimmten,

Richtungscosini cos 𝛼𝑗 für 𝑗 = 1, 2, 3.




Dabei wurde der Elementortsvektor in Analogie zum Elementverschiebungsvektor definiert.

Die Komponente 𝑢1𝑒1 des Elementverschiebungsvektors 𝐮𝑒 kann in Analogie zur Komponente 𝑢1

𝑒1

mit Hilfe der Richtungscosini cos 𝛼𝑗 und der Komponenten 𝑢𝑗𝑒1′ des Elementverschiebungsvektors

𝐮𝑒′

bestimmt werden.

In Matrizenform erhalten wir




𝐓 stellt eine 2 × 6 Transformationsmatrix dar. Bei Stabelementen des Polynomgrads 𝑝 nimmt

die Transformationsmatrix die Dimension 𝑝 + 1 × 3 𝑝 + 1 an. Da die Transformationen einzelner

Elementknoten entkoppelt sind, lässt sich die für den Polynomgrad 𝑝 erweiterte

Transformationsmatrix direkt angeben,

Mit der Transformationsmatrix 𝐓 können der Elementverschiebungsvektor, dessen Variation und

der Elementbeschleunigungsvektor vom Koordinatensystem (𝐞1′ , 𝐞2

′ , 𝐞3′ ) in das Koordinatensystem

(𝐞1, 𝐞2, 𝐞3) abgebildet werden.




Bei der inversen Transformation gehen die Komponenten 𝑢𝑗𝑒𝑖′ aus der Projektion der Komponente

𝑢1𝑒𝑖 des Elementknotens 𝑖 auf den Basisvektor 𝐞𝑗 hervor.

Damit sind auch die Transformationen der Elementvektoren von lokalen Elementkoordinaten auf

globale Systemkoordinaten gegeben.




Die entsprechende Transformation der Elementsteifigkeitsmatrix 𝐤𝑒 und des Elementlastvektors

𝐫𝑒 können mit der Betrachtung der inneren virtuellen Arbeit beziehungsweise der virtuellen Arbeit

der äußeren Lasten gewonnen werden.

Die Transformationen des Elementverschiebungsvektors und dessen Variation in die innere

virtuelle Arbeit des Stabelements eingebracht

liefert die Transformationsbeziehung der Elementsteifigkeitsmatrix.




Die Transformation der Elementlasten ergibt sich aus der Betrachtung der virtuellen Arbeit der

externen Lasten und der Transformation der Variation des Elementverschiebungsvektors.

Somit erhalten wir

Mit einer analogen Vorgehensweise kann die Transformationsbeziehung der Massenmatrix mit

Hilfe der virtuellen Arbeit der Trägheitskräfte und der Transformation des

Elementbeschleunigungsvektors hergeleitet werden.

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