30/10/2013

1

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

1

SISTEM PERSAMAAN NON LINIERMETODE NEWTON-RAPHSON

),( 2111 xxfy

Dua variabel bebas:

),( 2122 xxfy

Nilai/titik pendekatan: ),( )(2)(1 pp xxNilai koreksi : ),( 21 xx

Nilai yang benar : ),( 2)(21)(1 xxxx pp +

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

2

),( 2)(21)(111 xxxxfy pp ),( 2)(21)(122 xxxxfy pp

Kedua fungsi dapat ditulis sebagai:

Deret Taylor:

122

11

1

1)(2

)(111 ),( Sxx

fxxfxxfy

pp

pp

222

21

1

2)(2

)(122 ),( Sxx

fxxfxxfy

pp

pp

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-TE

UB

3

Jika y1 = y2 = 0 dan S1 dan S2 diabaikan, diperoleh sistem persamaan linier:

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

)(2

)(12

)(2

)(11

),(

),(

x

x

xf

xf

xf

xf

xxf

xxf

pp

pp

pp

pp

30/10/2013

2

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-TE

UB

4

Solusi bagi nilai koreksi:

),(

),(

)(2

)(12

)(2

)(11

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

pp

pp

pp

pp

xxf

xxf

xf

xf

xf

xf

x

x

Karena S1 dan S2 diabaikan, maka

1)(

11 xxxp dan

2

)(22 xxx p belum merupakan nilai yang benar.

Nilai x1 dan x2 adalah (dianggap) benar ketika masing-masing nilai koreksinya mendekati nol.

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

5

Multi variabel ),...,,( 2111 nxxxfy ),...,,( 2122 nxxxfy

),...,,( 21 nnn xxxfy

n

n

nnn

n

n

nn

n

n

x

xx

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xxxf

xxxfxxxf

.

.

.

.

.

.

...

...

),...,,(...

),...,,(),...,,(

2

1

)0(

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)0()0(2

)0(1

)0()0(2

)0(12

)0()0(2

)0(11

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

6

Dengan J adalah matrik Jakobi bagi fungsi fi, dan C adalah vektor koreksi. Elemen-elemen matrik D dan J ditentukan dengan menggunakan nilai-nilai xi terakhir. Nilai-nilai elemen C ditentukan dengan menggunakan persamaan:

C = J-1 D

Nilai-nilai xi terbaru adalah:

iii xxx

)0()1(

Proses perhitungan ini diulangi sampai didapatkan selisih dua nilai berurutan semua variabel memenuhi ketelitian yang ditetapkan.

Atau: D = JC

30/10/2013

3

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

7

Contoh soalDapatkan akar sistem persamaan nonlinier:

Penyelesaian:

022 12 xx

044 122 xx

Nilai perkiraan awal: 11 )0(2

)0(1 xx

44 1221 xxf

22 122 xxf30

Oct

ober

201

3M

ahfu

dz S

-M

etod

e N

umer

ik

-TE

UB

8

4

1

1

xf

22

1 2xxf

1

1

2

xf

22

2

xf

Dengan nilai perkiraan awal: 11 )0(2)0(

1 xx

didapat SPL

2

1

2124

11

xx

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

9

Nilai-nilai xi yang diperbaiki:

Solusi SPL ini adalah: 5,00 21 xx

11)0(

1)1(

1 xxx 5,02

)0(2

)1(2 xxx

Iterasi 2: 44 1221 xxf = 0,25

22 122 xxf = 0

30/10/2013

4

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

10

4

1

1 xf

1

1

2

xf

22

2

xf

22

1 2xxf

= 1

Diperoleh SPL:

2

1

2114

025,0

xx

Solusi SPL ini adalah: 03571,007143,0 21 xx

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

11

Nilai-nilai xi yang diperbaiki: 92857,01

)1(1

)2(1 xxx

53571,02)1(

2)2(

2 xxx

Iterasi 3:

4

1

1

xf

1

1

2

xf

22

2

xf

44 1221 xxf = 0,00127

22 122 xxf = -0,00001

22

1 2xxf

=1,07142

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

12

Diperoleh SPL:

2

1

2107142,14

00001,000127,0

xx

Solusi SPL ini adalah:

Nilai-nilai xi yang diperbaiki:

0,0001890,000368 21 xx

92822,01)2(

1)3(

1 xxx 53589,02

)2(2

)3(2 xxx

30/10/2013

5

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

13

Jika ditetapkan =0,0005, maka nilai x1= -0,92822 dan x2 = 0,53589.

Selanjutnya, jika kedua nilai diatas disubstitusikan kedalam persamaan asal untuk checking akhir,

44 1221 xxf = 0,00006

22 122 xxf = 0,00000

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

14

Soal

50,1276,120,1

31

13222

32121

xxxxxxxxxx

Dengan nilai awal: 75,010 )0(3)0(

2)0(

1 xxx

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

15

Penyelesaian 20,1321

211 xxxxf

70,1132222 xxxxf

50,12 313 xxf

Matrik Jakobi:

20121

12

232

121

xxxxxx

J

30/10/2013

6

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

16

a. Mulai iterasi

75,010

x

005,0

45,0

3

2

1

fff

D

2.0000 0 1.0000 1.0000 2.7500 1.0000 1.0000 0 1.0000

J

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

17

0.4500- 0.1818- 0.9000

1DJCx

Nilai x yang diperbaiki adalah

0.3000 0.8182 0.9000

)0()1( xxx

Proses perhitungan ini diulangi sampai didapat nilai xmemenuhi ketelitian yang dikehendaki.

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

18

Hasil lengkap sampai dengan konvergen adalah

iterasi x1 x2 x3-----------------------------------------------------------

0 0 1.0000 0.75001. 0.9000 0.8182 0.30002. 0.5784 0.8570 0.46083 0.5131 0.8706 0.49354 0.5105 0.8710 0.49475 0.5105 0.8710 0.4947

---------------------------------------Jadi akar sistem persamaan itu adalah:

x1=0,5105 x2=0,8710 x3=0,4947

30/10/2013

7

30 O

ctob

er 2

013

Mah

fudz

S -

Met

ode

Num

erik

-

TEU

B

19

Soal

50,1276,120,1

31

13222

32121

xxxxxxxxxx

Dengan nilai awal: 75,010 )0(3)0(

2)0(

1 xxx

5,0

13,0

3,0