3 t extr2_10_olon hub function

Раздел … Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Глава 3. Формула Тейлора. Глава 4. Экстремумы.

14 октября 2010 г.

- 2 -

Оглавление

Глава 3. Формула Тейлора.

§1. Производные высших порядков ........................................................................................ 3

1. Определения. ....................................................................................................................................... 3

2. Теорема о смешанных вторых производных. ............................................................................. 3

§2. Дифференциалы высших порядков .................................................................................. 3

1. Определение второго дифференциала функции u = u(x,y) . ......................................... 3

2. Условия существования. .................................................................................................................... 4

3. Формула для второго дифференциала .......................................................................................... 4

4. Запись второго дифференциала в матричной форме. ............................................................ 4

5. Дифференциалы более высоких порядков. ................................................................................ 4

§3. Формула Тейлора .......................................................................................................... 5

1. Формула Тейлора для функции одной переменной. ................................................................ 5

2. Вид формулы Тейлора с аргументом-точкой и с дифференциалами. ................................. 5

3. Формула Тейлора для функции двух переменных. .................................................................... 5

4. Разные формы записи остаточного члена. .................................................................................. 6

5. Запись формулы Тейлора с производными. ............................................................................... 6

6. Замечания (мн+ост; прир ф; Макл). .............................................................................................. 7

7. Различные модификации формулы Тейлора. ............................................................................ 7

Глава 4. Экстремумы функций двух переменных

§1. Понятие экстремума ........................................................................................................... 9

§2. Необходимые условия экстремума ................................................................................... 10

1. Понятие стационарной точки функции. .................................................................................... 10

2. Теорема. ............................................................................................................................................... 11

§3. Некоторые сведения из линейной алгебры ..................................................................... 12

1. Определения. ..................................................................................................................................... 12

2. Критерии Сильвестра. ..................................................................................................................... 12

3. Второй дифференциал как квадратичная форма..................................................................... 13

§4. Достаточные условия экстремума .................................................................................... 13

1. Условия со вторым дифференциалом. ....................................................................................... 13

2. Условия со вторыми производными. ......................................................................................... 14

3. Пример. ........................................................................................................................................... 14

§5. Понятие условного экстремума........................................................................................ 15

1. Топографическая интерпретация. ............................................................................................... 15

2. Постановка задачи. ......................................................................................................................... 15

§6. Необходимые условия условного экстремума .................................................................. 16

§7. Достаточные условия условного экстремума ................................................................... 16

Глава … Формула Тейлора. ГФ 2010. Лектор Лисеев И.А.

- 3 -

Гл а в а 3 . Ф О Р М У Л А Т Е Й Л О РА

§ 1 . П Р О И З В О Д Н Ы Е В Ы С Ш И Х П О Р Я Д К О В

1 . Определения .

Пусть u = u(x,y) . Тогда );y,x(uu);y,x(uu yyxx

Как видим (и как вы знаете из практического дифференцирования), первые про-

изводные зависят, вообще говоря, и от х , и от у . Так что их можно снова дифферен-цировать.

Вторыми производными или производными второго по-рядка называются производные от первых производных.

Поскольку каждую из первых производных можно дифференцировать и по х , и

по у , то у функции двух переменных u = u(x,y) будет четыре частных производных второго порядка.

Обозначения (два).

yx

uu)u(

2

xyyx , 2

2

xxxxx

uu)u(

Смешанные …

Пример . z = x4 + 4x

2y

3 + 7xy + 1 .

Определение . Частные производные от производных n–1 порядка назы-

ваются частными производными n порядка.

2 . Теорема о смешанных вторых производных . Определение. …. Вопрос …

yx

?

xy uu

Теорема . Если производные существуют в некоторой окрестности точки M

(x,y) и непрерывны в самой точке M , то они равны между собой в этой точке, то есть

yxxy uu .

# см Шипачѐв …# В точке, а потом – в области. Письменный +:

Тео р ем а . Если частные производные xyu и yxu непрерывны в

некоторой области, то они равны между собой в этой области.

§ 2 . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ы В Ы С Ш И Х П О Р Я Д К О В

1 . Определение вт орого дифференциала (дифференциал втор о-

го порядка) функции u = u(x,y).

Пусть u = u(x,y) . Тогда dx = x , dy = y и dyudxuud yx

– зависит и от x , и от y (и даже ещѐ от x и y).

Определение . Вторым дифференциалом называют дифференциал от первого дифференциала, вычисленный при тех же значениях приращений аргументов, что и

первый дифференциал. И обозначают его … d2u = d(du)

< 4 0 min

и ли 2 ∙45


- 4 -

2 . Условия сущест вования. Второй дифференциал нужен для исследования функции на экстремум. Условия существования второго дифференциала. (Все вторые производные непрерывны в данной точ-

ке (и в некоторой еѐ окрестности ?)) Теорема существования.

Если в некоторой окрестности точки существуют все частные производ-

ные функции u = u(x,y) до второго порядка включительно, а в самой точке они ещѐ и непрерывны, то в этой точке существует второй дифференциал. В этих условиях равны и смешанные частные производные второго порядка.

3 . Формула для вт орого дифференциала Итак, пусть эти условия выполняются. Тогда … Для функции двух переменных

…

# dx)dyudxu()yduxdu(d)ud(dud yxxxxx2

2yyxy

2xxyyxy dyudydxu2dxudy)dyudxu( . #

Таким образом, 2yyxy

2xx

2 yuyxu2xuud .

Какую формулу из школьной математики напоминает эта формула?

Пример . z = 6x5y

3.

Формула для второго дифференциала функции трѐх переменных напоминает формулу для квадрата суммы трѐх слагаемых.

)dzdyudzdxudydxu(2dzudyudxuud yzxzxy2

zz2

yy2

xx2

4 . Запись второго дифференциала в матричной форме . Второй дифференциал представляет собой квадратичную форму, и его матричная

запись имеет вид

y

x

uu

uu)yx(ud

yyxy

xyxx2 .

Проверьте сами.

Определитель матрицы этой квадратичной формы обозначим через . Он у

нас чуть позже ещѐ встретится. 2

xyyyxx uuu .

Понятие о квадратичных формах. Положительно определѐнные, отрицательно определѐнные и знако-неопределѐнные квадратичные формы.

5 . Дифференциалы более высоких порядков .

Определение . Дифференциалом n - го порядка называют дифференциал от

дифференциала n-1 - го порядка, вычисленный при тех же дифференциалах аргумен-тов, что и все предыдущие дифференциалы.

Обозначения …


- 5 -

§ 3 . ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Это главная формула дифференциального исчисления. Можно сказать – вершина дифференциального исчис-ления. Формула линеаризации получается как частный, простейший случай формулы Тейлора. Обычному человеку в жизни достаточно формулы линеаризации. Но, если вы, например, диссертацию пишите, то, возможно, вам придѐтся учитывать не только линейные члены, но и, допустим, квадратичные. И тогда вы уже говорите о формуле Тейлора.

Замечание . Формулу Тейлора можно записывать с дифференциалами или с производными. Аргумент можно указывать как точку или как еѐ координаты.

1 . Формула Тейлора для функции одной переменной .

n0

n0

2

00 r!n

)x(ud......

2

)x(ud)x(ud)x(u)x(u ,

где х = х0 + х . И х – это приращение аргумента, с которым вычисляются диф-

ференциалы. Остаточный член (остаточное слагаемое) rn = rn(x, x) = o( xn)

при x 0.Это форма Пеано для остаточного члена. Сразу с этого начать …

2 . Вид формулы Тейлора с аргументом -точкой и с дифферен-

циалами . Доказывать здесь мы ничего не будем. Изложим только конечные результаты.

Если в точке М 0 существуют дифференциалы до n - го порядка включительно, то имеет место формула

n0

n0

2

00 r!n

)M(ud......

2

)M(ud)M(ud)M(u)M(u

,

где остаточный член rn = rn(M0 , M) = o(n) при 0 , а |MM| 0 .

(в таком виде формула справедлива для функции произвольного числа переменных)

3 . Формула Тейлора для функции двух переменных . (в координатном виде) (координатная запись …)

0

0

yyy

xxx 22 yx

Пусть производные функции u = u(x,y) до n - го порядка включительно суще-

ствуют в некоторой окрестности точки M0(x0 ,y0) и непрерывны в самой точке М0 . Тогда в этой окрестности точки функция может быть представлена в виде

n00

n00

2

0000 r!n

)y,x(ud......

2

)y,x(ud)y,x(ud)y,x(u)y,x(u

или n00

2

0000 r......2

)y,x(ud)y,x(ud)y,x(u)y,x(uu , (*)

где rn = rn(x0 ,y0 , x, y) = о(n) – бесконечно малая более высокого порядка

малости чем n при 0 (то есть при х 0 и у 0 ).

M 0 (x 0 , y 0 )

M (x ,y )

!


- 6 -

З а м е ч а н и е . (В главе об экстремумах нам понадобится следующий факт …) (здесь всѐ время

будем иметь в виду проколотые окрестности). Если в некоторой окрестности точки M0 (x0 ,y0 )

сумма первых n слагаемых в правой части формулы (*) отлична от нуля, то всегда есть такая окрест-

ность точки M0 (x0 ,y0 ) , в которой r n настолько мало, что не меняет знака этой суммы. Поясним это на примерах.

Н а п р и м е р … Для n = 1 : 100 r)y,x(udu .

Тогда в некоторой окрестности точки M0 (x0 ,y0 ) приращение u(x0 ,y0 ) и дифференциал d

u(x0 ,y0 ) не могут иметь разные знаки.

Есть такая окрестность, в которой и u и дифференциал du (если он отличен от нуля), имеют одинаковые знаки.

Рассмотрим случай n = 2 : 200

2

00 r2

)y,x(ud)y,x(udu .

И пусть ещѐ du(x0 ,y0 ) = 0. Тогда, если d2u(x0 ,y0 ) 0 , то в некоторой окрестности

M0 (x0 ,y0 ) знак u совпадает со знаком d2u(x0 ,y0 ). Мы не будем это доказывать.

Если же и d2u = 0 в точке M0 , то знак u совпадает ( в некоторой окрестности точки

M0 ) со знаком d3u .

4 . Разные формы записи остаточного члена .

1) rn = o(n) – запись в форме Пеано .

2) Структура остаточного члена: rn = ( )n, где ( ) – бесконечно малая

при 0 . Величина равна расстоянию между точками M0 и M . # … # 3) Если в некоторой окрестности точки функция имеет

ещѐ непрерывные частные производные n + 1 порядка, то для

х из этой окрестности остаточный член может быть записан в виде

!)1n(

)P(udr

1n

n , где Р – некоторая точка, расположенная между M0 и M . (См. рис.)

Такая запись называется формой Лагранжа записи остаточного члена.

5 . Запись формулы Тейлора с производными . (для функции двух переменных) (некоторые конкретные ситуации)

n = 0. f(M) = f(M0) + df(P)

y),(fx),(f)y,x(f)y,x(f yx00

Это формула Лагранжа для функции двух переменных.

n = 1 .

200y00x00 ry)y,x(fx)y,x(f)y,x(f)y,x(f

Если отбросить r2 , то получится формула линеаризации.

y)y,x(fx)y,x(f)y,x(f)y,x(f 00y00x00

n = 2.

22

00yy00xy2

00xx

00y00x00

r]y)y,x(fyx)y,x(f2x)y,x(f[5,0

...y)y,x(fx)y,x(f)y,x(f)y,x(f

M M

0

P

!

!


- 7 -

6 . Замечания (мн+ост; прир ф; Макл) . (некоторые общие замечания).

1) Формула Тейлора представляет значения функции в виде суммы многочлена

двух переменных n-ой степени (многочлена Тейлора) и остаточного члена (который

является величиной бесконечно малой при х, у 0 и даже более высокого по-

рядка малости, чем х, у).

u(M) = Pn(M0) + rn . 2) Формула Тейлора часто используется для представления приращения функции

в точке … Формула (*).

u = du(M 0) + ½ d2u(M0) + … +rn .

3) В случае, когда точка M0 совпадает с началом координат (x0 = 0, y0 = 0 ),

формулу Тейлора называют ещѐ формулой Маклорена .

Пример . Получим формулу Маклорена (с n = 2 ) для функций f (x,y) = ex – y

и

f(x,y) = ln(1 + 3x + 2y).

Отв : ln(1 + 3x + 2y) = 3х + 2у – 4,5х2 – 6ху – 2y

2 + r2;

При малых х и у : ln(1 + 3x + 2y) 3х + 2у – 4,5х2 – 6ху – 2y

2.

4) Если в формуле Тейлора отбросить статочный член, то в ней останется толь-

ко многочлен какой-то n-о й степени. При этом знак точного равенства надо будет за-менить знаком приближѐнного равенства. И надо смотреть, большая ли ошибка полу-чается.

При n= 1 получается формула линеаризации.

7 . Различные модификации формулы Тейлора. 1. Основной вид. Точное равенство для функции.

u(M) = … (1)

В правой части многочлен n-о й степени и остаточный член . 2. Точное равенство для приращения функции.

u(M) = … (2)

В правой части многочлен n-о й степени и остаточный член .

При n= 2 имеем

u = du + ½ d2u + o(

2) .

Эта формула нам понадобится при исследовании функции на экстремум. 3. Приближѐнное равенство для функции..

u(M) … (3)

В правой части остаѐтся многочлен n-о й степени. Остаточный член отброшен.

При n= 1 получается формула линеаризации. 4. Приближѐнное равенство для приращения функции.

u(M) … (4)

В правой части остаѐтся многочлен n-о й степени. Остаточный член отброшен.

При n= 1 получается линейное выражение приращения функции через при-ращения аргументов. На этом соотношении базируется вся теория ошибок. Прираще-ние функции в левой части заменяется на дифференциал в правой части. Приращения аргументов и функции интерпретируются как ошибки.

!


- 8 -

Это же соотношение используется при корректировке значений функции при изменении значений аргументов. Этого типа формулы называют дифференциальны-ми формулами.

Замечание. (о терминологии, об уважении к Тейлору). Может быть кто-то формулой Тейлора называет только равенство (1). Но мы в знак уважения к Тейлору его именем будем называть и несколько модифицированные формулы (2), (3) и (4). Формулы (1) и (2) мы будем называть точными формулами Тейлора, соответственно для функции и для при-ращения функции. Формулы (3) и (4) мы будем называть приближѐнными формулами Тейлора, соответственно для функции и для приращения функции.

- 9 -

Глава 4. Э К С Т Р Е М У М Ы Ф У Н К Ц И Й Д В У Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х

Признак дифференцируемости:

существуют частные производные функции z в некоторой окрестности этой точки, а в самой точке они непрерывны,

В этой главе мы будем рассматривать только дифференцируемые функции двух переменных. Дифференцируемые – в точках или в областях, в которых мы эти функ-ции будем рассматривать.

Это ограничение приводит к тому, что точками возможного экстремума у нас будут только стационарные точки исследуемой функции (где частные производные равны нулю). Хотя на самом деле экстремумы могут быть и в точках, где частные производные терпят разрыв.

§ 1 . П О Н Я Т И Е Э К С Т Р Е М У М А

Сейчас мы будем говорить о так называемом "безусловном экстремуме". Позже мы разберѐм ещѐ и "условный экстремум".

Те точки экстремума, которые мы сейчас определим, это будут точки строгого экстремума. А вот если в условиях экстремума поставить нестрогие неравенства, то это уже будут точки нестрогого экстремума.

Точку на графике можно обозначить малой буквой m .

Функцию сейчас (2008) я обозначаю через u .

Точка М 0 из области определения функ-

ции f (М) называется точкой максимума (точкой

строгого максимума) этой функции, если существует такая

проколотая окрестность точки М 0 , что для всех точек

М из этой окрестности выполняется условие

f (М 0 ) > f (М) . (1) Это условие (1) мы будем называть условием, которому удовлетворяет значение функции в

точке максимума..

Лемма . Точка М 0 из области определения функции f (М) является точкой максимума этой функции тогда и только тогда, когда существует проколотая окрест-

ность точки М 0 , для всех точек М которой выполняется условие

f = f(М ) – f (М 0 ) < 0 . ( Это условие означает, что при любых значениях приращений аргументов значение

приращения функции в этой точке отрицательно: 0M

f0

.) Это условие будем называть

условием максимума для приращения функции.

Если М0 – точка максимума функции f , то говорят, что функция f имеет

максимум в точке М0 . - - - - - - - - - - - - - - Точка М 0 из области определения функ-

ции f (М) называется точкой минимума (точкой

строгого минимума) функции f (М) , если существует

такая проколотая окрестность точки М 0 , что для всех

точек М из этой окрестности выполняется условие

f (М 0 ) < f (М) . (2)

Это условие (2) мы будем называть условием минимума из определения. Условия (1) и (2) называются условиями экстремума из определения точек экс-

тремума.

Условие (2) можно записать по-другому: 0)M(f)M(ff oM0.

М

0

М

0

Глава … Экстремумы. ГФ 2010. Лектор Лисеев И.А.

- 10 -

Это условие называют условием минимума для приращения функции.

Точки максимума и точки минимума функции называются точками экс-

тремума функции. Замечание . Если в любой окрестности точки

М 0 имеются такие точки М , что приращение

функции при изменении аргумента от точки М 0 к

точкам М имеет разные знаки, то эта точка М 0

не является точкой экстремума. На рисунке слева изображена "седловина".

Здесь в точке М 0 экстремума нет. Обратите внимание … 1) Точка экстремума – это точка-аргумент. То есть это точка не на графике

функции, а это точка в области определения функции (в плоскости xOy ). Просто так договорились считать.

2) Экстремум – это локальное понятие. Если в точке М 0 функция имеет, на-

пример, минимум (М 0 – точка минимума), то вполне возможна ситуация, когда в

каких-то других точках функция имеет значения ещѐ мéньшие, чем в точке М 0 .

В точке минимума (в точке М 0 ) функция имеет наименьшее значение по сравнению со значениями в рядом расположенных точках.

§ 2 . Н Е О Б Х О Д И М Ы Е У С Л О В И Я Э К С Т Р Е М У М А

1 . Понят ие стационарной точки функции. Определение . Точка, в которой функция дифференцируема и в которой ча-

стные производные (а, следовательно, и дифференциал) (а, следовательно, и градиент) равны

нулю, называется стационарной точкой этой функции.

В стационарной точке . (*)

Вопрос студентам. А чему равны дифференциал и вектор-градиент функции в ста-ционарной точке?

В о п р о с . Что вы можете сказать о производной функции в стационарной точке по какому-либо

направлению. О т в е т . Так как градиент функции в стационарной точке равен нулю, то и производ-ная в этой точке по любому направлению равна нулю.

В чѐм состоит геометрический смысл стационарной точки ?

Найдѐм вектор-градиент к поверхности z = z(x ,y) . Для этого зададим еѐ в

неявной форме: z – z (x ,y) = 0 . Получается, что вектор-градиент, который является

и вектором нормали к поверхности, имеет координаты: .

Поэтому . Этот вектор является нормальным вектором для касательной плоскости. Значит,

касательная плоскость в стационарной точке будет

параллельна координатной плоскости xOy .

Это можно воспринимать как геометрический смысл стационарной точки.

М

0 М0


- 11 -

2 . Теорема.

Т е о р е м а . Если М 0 – точка экстремума функции z = z(x ,y)

и z(x ,y) дифференцируема в точке М 0 , то частные производные

этой функции в точке М 0 равны нулю.

0)M('z

0)M('z

oy

ox

Другими словами, эта точка является стационарной точкой данной функции.

С л е д с т в и е . Если функция дифференцируема в точке М 0 , и точка М 0 – точка экстремума, то в этой точке первый дифференциал функции равен нулю.

dz = 0. # Поясните, почему. #

Согласно теореме точка экстремума дифференцируемой в этой точке функции обязательно является стационарной точкой. Это означает, что точки экстремума могут быть только среди стацио-нарных точек. Поэтому точки, удовлетворяющие необходимому условию экстремума, называют ещѐ точками возможного экстремума. И искать точки экстремума среди надо стационарных точек (напоминаю, что при исследовании на экстремум мы договорились рассматривать только дифференцируемые функции).

Доказательство теоремы.

# Зафиксируем y = y0 . Получится функция одной переменной

z = z(x ,y0 ) , для которой точка х = х0 является точкой экстремума.

Согласно теореме для функций одной переменной производная

)y,x(z'z ox в точке х = х0 равна нулю. То есть 0)y,x(z oox .

Теперь зафиксируем х = х0 . ………………# З а м е ч а н и е . [Пй] Функция может иметь экстремум и в точке, где она не является

дифференцируемой. В этом случае нельзя будет говорить, что частные производные равны нулю. Они могут просто не существовать.

П р и м е р . (Пример точки экстремума, не являющейся стационарной точкой)

. Это прямой круговой ("бесконечный вниз") конус с вершиной на оси

z . Точка х = 0 , у = 0 является точкой экстремума, но она не является стационар-ной точкой. Частные производные здесь имеют разрыв. В вершине конуса не сущест-вует касательной плоскости к нему.

З а м е ч а н и е . Теорема даѐт необходимые условия существования экстремума. Эти условия не являются достаточными. Если даже эти условия выполняются, то точка не обязательно будет точкой экстремума.

П р и м е р . (Пример стационарной точки, не являющейся точкой экстремума) Седлови-

на. z = x2 – y

2.

x0

y0

На рисунке изображены линии уровня функции z = z (x ,y) . Пусть x0 , y0 – точка максимума.

z = z(x,y0 )

z = z(x0 ,y )

Рис. __. Куда бы мы ни сместились от точки x0 ,y0 , значения функции там будут меньше.


- 12 -

§ 3 . Н Е К О Т О Р Ы Е С В Е Д Е Н И Я И З Л И Н Е Й Н О Й А Л Г Е Б Р Ы

1 . Определения.

Квадратичной формой в линейной алгебре называют функцию не-скольких переменных вида

= xT∙A ∙x,

где А – симметричная матрица, а х – столбец. В случае двух переменных квадратичная форма расписывается так …

Одной из важных задач, связанных с квадратичными формами является задача нахождения условий знакопостоянства квадратичной формы. Знакопостоянные – это положительно определѐнные или отрицательно определѐнные квадратичные формы.

Квадратичная форма = xT∙A ∙x (и сама матрица А этой квадратичной

формы) называется положительно определённой , если при всех х 0 выполняется неравенство

xT∙A ∙x > 0.

Квадратичная форма = xT∙A ∙x (и сама матрица А этой квадратичной

формы) называется отрицательно определённой , если при всех х 0 вы-полняется неравенство

xT∙A ∙x < 0.

Квадратичная форма = xT∙A ∙x называется знаконеопределённой ,

если при каких-то х она принимает положительные значения, а при других х она принимает отрицательные значения.

2 . Крит ерии Сильвест ра. В линейной алгебре получены следующие результаты. Для простоты их сфор-

мулируем для квадратичной формы с двумя переменными. Обозначим

1) Если главные (угловые) миноры матрицы положительны,

a1 1 > 0 , > 0 , то она положительно определѐнная. И квадратичная форма с такой матрицей – поло-жительно определѐнная.

2) Если знаки еѐ главных (угловых) миноров чередуются, начиная с минуса,

a1 1 < 0 , > 0 , то матрица отрицательно определѐнная. И квадратичная форма с такой матрицей – отрицательно определѐнная.

3) Если определитель матрицы квадратичной формы с двумя переменными – отрицательный,

< 0 , то эта квадратичная форма – знаконеопределѐнная. Для квадратичной формы с бóльшим чис-

лом переменных это условие значительно усложнится.

Замечание. Если = 0 , то критерии Сильвестра не дают ответа на вопрос о знаке квад-ратичной формы.


- 13 -

3 . Второй дифференциал как квадрат ичная форма.

Именно ко второму дифференциалу мы применим теперь результаты линейной ал-гебры.

§ 4 . Д О С Т А Т О Ч Н Ы Е У С Л О В И Я Э К С Т Р Е М У М А

См выводы (док-ва) 1999…

1 . Условия со вторым дифференциалом . Напишем формулу Тейлора со вторым для приращения функции

z = dz + ½ d2z + o(

2) .

Для стационарной точки М0 имеем: dz = 0 и

z = ½ d2z + o(

2) . (*)

Пусть d2z 0 в т. М0 . В этом представлении (*) второе слагаемое на-

столько мало вблизи т. М0 , что

знак z определяется знаком d2z 1.

В серьѐзных курсах математики это доказывается. Если знать, что в ближайшей окрестности стационарной точки знак прираще-

ния функции определяется (совпадает) знаком второго дифференциала, становится понятной следующая теорема.

Теорема. Пусть М0– стационарная точка функции f(x ,у) . Пусть в этой точке существует второй дифференциал. (Вторые частные производные определены в некоторой

окрестности этой точки, а в самой точке непрерывны.)

d2u = u'x∙ x + u'y∙ y .

Тогда, если (при разных х и у , но не равных нулю одновременно 2) вто-рой дифференциал меньше нуля:

d2f(M0) < 0 , то М0 – точка максимума,

если же d2f(M0) > 0 , то М0 – точка минимума.

Если в любой окрестности точки М0 второй дифференциал d2f(M0)

может быть и положительным и отрицательным при разных х и у , то

М0 – не является точкой экстремума. # Вспомним одно замечание об остаточном члене в формуле Тейлора (Без доказательства) #

Замечание. Если d2z 0 в т. М 0 , то в формуле (*) надо учитывать третий дифференциал. Но у нас таких

ситуаций не будет.

1 то есть, если d 2

z положительно, то и z положительно, если d 2z отрицательно, то и z отрицательно,

если d 2z принимает значения разных знаков, то и z принимает значения разных знаков. Строго так надо говорить:

существует такая окрестность точки М 0 , в которой это имеет место. 2 Строго так надо говорить: если существует проколотая окрестность точки М 0 , в которой …

Говоря о непрерывности, мы договорились считать, что функ-ция определена в некоторой окрестности точки.

Напомню, говоря о дифференцируемости, мы договорились считать, что функция определена в некоторой окрестности точки.


- 14 -

2 . Условия со вторыми производными . Для безусловного экстремума удаѐтся сформулировать более простые для проверки достаточные усло-

вия, в которых фигурируют только вторые производные. Сразу можно сказать, что анализировать знак второго дифференциала дело непростое. Но, поскольку

второй дифференциал – это квадратичная форма, то тут можно использовать результаты линейной алгебры. Результаты линейной алгебры позволяют сильно упростить достаточное условие экстремума. Но это только

для безусловного экстремума. И ещѐ, это условие со вторыми производными не всегда срабатывает. Если = 0, то всѐ равно приходится анализировать второй дифференциал. Заметим, забегая вперѐд, что для условного экстремума, который будем рассматривать дальше, такого условия со вторыми производными вывести не удаѐт-ся. Поэтому там всѐ время приходится пользоваться условием со вторым дифференциалом (для условного экс-тремума).

Теорема. Пусть М 0 – стационарная точка функции u(x ,у) . Рассмотрим опре-делитель

в точке М 0 .

Если в точке М 0 значение > 0, то точка М 0 – точка экстремума.

Причѐм, если в этой точке , то это точка минимума,

если в этой точке , то это точка максимума.

Если в точке М 0 значение < 0, то точка М 0 – не является точкой экс-тремума.

Если же = 0 , то вторые производные не дают ответа на вопрос об экстре-муме. В этом случае надо анализировать второй дифференциал.

3 . Пример .

u(x,y) = 2x2 –2xy + 3y

2 + 18x – 34y + 5.

u(–2, 5) = 98 – минимум. § …. Точечная квадратичная аппроксимация (подбор коэффициентов в форму-

лах) Смотри дальше …


- 15 -

§ 5 . П О Н Я Т И Е У С Л О В Н О Г О Э К С Т Р Е М У М А

1 . Топографическая интерпретация.

Надо найти точки минимума или максимума не вообще на какой-то обширной местности (это был бы безусловный экстремум), а только на какой-то, допустим, доро-

ге, проходящей по этой местности. Функция здесь H = H(x, y) – это функция,

описывающая рельеф местности. А условие (х,у)=0 – это уравнение, задаю-щее дорогу.

На рисунке рельеф изображѐн горизонталями; отмеченная точка является точкой

условного экстремума функции . H = H(x, y) при условии (х,у)=0 .

2 . Постановка задачи.

Пусть в некоторой области задана функция z = f (x ,y ).

Точка М 0 (х 0 , у 0 ) называется точкой условного экстре-

мума этой функции при условии

(х ,у) = 0, (*)

если х 0 является точкой обычного экстремума сложной функции (одной

переменной) g = f(x ,y(x)) , где у(х) определяется из условия (*) .

Можно и так сказать: … если она является точкой обычного (безусловного) экс-тремума этой функции, но рассматриваемой только на множестве (*).

Условие (*) называют уравнениями связи .

Условие (уравнение) (*) обычно представляет собой уравнение некоторой ли-нии ("линии связи").

Можно ещѐ так пояснить понятие условного экстремума:

1) мы ищем точки экстремума только среди таких точек М 0 , координаты которых удовлетворяют условию (*), то есть лежат на линии, которая описывается этим услови-ем,

2) в рассматриваемых точках М 0 мы сравниваем значение функции f (M 0 ) со

значениями функции не во всех рядом расположенных точках М , а только со значе-ниями функции в тех рядом расположенных точках, в которых выполняется условие (*), то есть в точках, лежащих на линии (*).

М

0 (x ,y) = 0

H = H(x ,y)

Рис. __


- 16 -

§ 6 . Н Е О Б Х О Д И М Ы Е У С Л О В И Я У С Л О В Н О Г О

Э К С Т Р Е М У М А

Т е о р е м а . Пусть f , – непрерывно дифференцируемы в области G .

Пусть М 0 (х 0 , у 0 ) G – точка экстремума функции z = f (x ,y) при выполнении

условия (х ,у) = 0 .

Пусть L(x,y) = f (x ,y) + (x ,y) (функция L называется функцией

Лагранжа , а называется множителем Лагранжа 3).

Тогда в точке М 0 :

0)x(

0'L

0'L

y

x

.

Интересно, что уравнение связи (х ,у) = 0 можно записать в виде: L' = 0 .

# …… #

Такую систему здесь будем называть системой Лагранжа, а точки (х,у) с оп-

ределѐнными значениями , удовлетворяющие этой системе, будем называть

стационарными точками функции Лагранжа . 4

§ 7 . Д О С Т А Т О Ч Н Ы Е У С Л О В И Я У С Л О В Н О Г О

Э К С Т Р Е М У М А

Об условном экстремуме можно почитать в учебнике Кудрявцева Л.Д. Курс математического анализа. (В трѐх томах. Я смотрел издание 2, 1988 год. Нужен 2 том, с 267-285)

Мы ведѐм разговор сейчас об условном экстремуме функции f(x,y) при усло-

вии (х ,у)=0 . Для этого экстремума не удаѐтся получить таких простых достаточных условий со вто-

рыми производными, какие получены для безусловного экстремума, поэтому при исследовании функции на условный экстремум приходится пользоваться условием со вторым дифференциалом.

Пусть точка М 0 (х 0 , у 0 ) является стационарной точкой для

функции Лагранжа L = L(x,y) с соответствующим значением .

Если в точке М 0 при разных х и у , удовлетворяющих

уравнению связи (х ,у)=0 и не равных нулю одновременно (и не выво-

дящих значения аргументов за некоторую окрестность точки М 0 5) второй диффе-

ренциал функции Лагранжа L = L(x,y) остаѐтся бóльшим нуля:

d2L > 0 , то М 0 – точка минимума.

Если же при тех же условиях он остаѐтся меньшим нуля:

d2L < 0 , то М 0 – точка максимума.

Если же при тех же условиях (какие бы малые х и у мы ни

брали) второй дифференциал d2L принимает значения разных зна-

ков, то М 0 не является ни точкой минимума, ни точкой максимума.

3 Геодезисты же, наверное, для того, чтобы противопоставить себя математикам (чтобы показать, что они без вся-

кой математики сами со всем справляются) (я шучу, конечно) эти множители Лагранжа называют коррелатами (коррелятами), а сам метод уравнивания, базирующийся на условном экстремуме, называют коррелатным способом уравнивания.

4 Еѐ называют стационарной точкой функции Лагранжа, поскольку все частные производные функции Лагранжа, как функции трѐх переменных, равны нулю в этой точке.

5 Строго так надо говорить: существует такая проколотая окрестность точки М 0 , в которой ...


- 17 -

В достаточном условии условного экстремума фигурирует второй диффе-

ренциал функции Лагранжа d2L(x,y) , вычисленный в стационарной точке функ-

ции Лагранжа при соответствующем этой точке значении . При этом анализиро-

вать этот второй дифференциал надо в предположении, что х и у связаны уравне-

нием связи (х ,у) = 0 . Продифференцировав это уравнение, получаем соотно-

шение между dx и dy . Выразив из этого соотношения, например, dy через dx ,

подставим это dy в d2L(x,y) . В результате d

2L(x,y) будет выражен только

через dx и можно будет проанализировать знак d2L.

Второй дифференциал в конкретной точке и с учѐтом уравнения связи будет зависеть от одной переменной –

приращения аргумента: или d x , или d y . Поэтому не будет большим трудом проанализировать его знак.

Пр и мер 1 . Функция f(x,y) = x y. Уравнение связи: х – у = 0 .

L = x y + ( х – у). …… x = 0, y = 0, = 0.

d2f = 2 dx dy. При условии dу = dх получается d

2f = 2 dx

2 > 0.

Поэтому М0(0, 0) – точка минимума.

Пр и мер 2 . [my example] Функция f(x,y) = x2 – y

2. Уравнение связи: у = х

2.

Функция Лагранжа: L = x2 – y

2 + ( у – х

2). Рисунок ….

У функции Лагранжа три стационарные точки.

1) Начало координат: x = 0, y = 0 с = 0.

2) М1 и М2 : , y = ½ с = 1.

Второй дифференциал функции Лагранжа равен

d2L = 2(1– ) dx

2 – 2dу

2.

При этом на линии связи dy = 2x dx и

d2L = (2(1– ) – 8х

2) dx

2.

Для точки в начале координат получаем: d2L = 2dx

2 > 0 . Следовательно,

это – точка минимума. В этой точке z = 0 .

В точках М1 и М2 получаем: d2L = –2dу

2 = –8х

2dх

2 =

= –4 dх2

< 0 . Следовательно, это – точка максимума. В этой точке z = 0 ,25 . Интересно построить линии уровня этой функции и найти точки экстремума

графически. (см. рисунок) Пр и мер 3 . [Краснов] Функция f(x,y) = x

2 + y

2. Уравнение связи: х + у = 2 .

L = x2 + y

2 + ( х + у – 2).

Стационарная точка функции Лагранжа: x = 1, y = 1 с = –2.

Второй дифференциал функции Лагранжа в стационарной точке (1; 1) с = –2 равен

d2L = 2dx

2 + 2dу

2.

При этом на линии связи dy = – dx .

Для стационарной точки получаем: d2L = 4dx

2 > 0 . Следовательно, это –

точка минимума. В этой точке z = 2 . = = = = = =


- 18 -

Тут ещѐ будут два геодезических примера на безусловный и условный экстремумы.

1) Ортогональная линейная регрессия. (Более общо: точечная квадратичная аппроксимация). Это задача на безусловный экстремум.

2) Уравнивание маленькой (совсем маленькой) нивелирной сети. (более общо: коррелатный способ уравнивания) Это задача на условный экстремум.

На следующей неделе на лекции разберѐм эти примеры.

Следующи й р а здел " Интегр и р о ва ни е функц ий неско льки х п ер еменных" .

Documents

3 t extr2_10_olon hub function