3-Teoria Colas Quiroz

INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONES II

LIC. EDUARDO QUIROZ VERA

TEMA 1: Teoría de colas

Investigación de Operaciones II 2

TEORIA DE COLASLas LINEAS DE ESPERA,FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas:

• Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco,

• Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,• Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo,

• Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.


TEORIA DE COLAS• Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto

en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.

• Los Análisis de Colas relacionan:

– la longitud de la línea de espera,– el promedio de tiempo de espera

y otros factores como:– la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,

Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).


Un sistema de colas tiene dos componentes básicos: la cola y el mecanismo de servicio. En la figura se presenta un esquema de una cola.


TEORIA DE COLASCostos de Servicio y Costos de Espera• Los Administradores reconocen el equilibrio que debe haber

entre el COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos.

• Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más.

• Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO


TEORIA DE COLASEquilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

Costo por proporcionar el

SERVICIO

Costo

Costo Total Mínimo

COSTO TOTAL ESPERADO


TEORIA DE COLASCostos de Servicio vs Nivel de Servicio• Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el

NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes.

– En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario.

– En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.


TEORIA DE COLAS• Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de

tiempo perdido en las líneas de espera.• Este costo puede reflejar pérdida de

productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas.

• En ciertos servicios (IESS, Bancos, Cedulación) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.


TEORIA DE COLASCOLAS MAS COMUNES

SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO

Supermercado Compradores Pago en cajas

Peaje Vehículos Pago de peaje

Consultorio Pacientes Consulta

Sistema de Cómputo Programas a ser corridos

Proceso de datos

Compañía de teléfonos

Llamadas Efectuar comunicación

Banco Clientes Depósitos y Cobros

Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación

Muelle Barcos Carga y descarga


TEORIA DE COLASCaracterísticas de una LINEA DE ESPERA

• Una cola de espera está compuesta de tres elementos:

1. Arribos o ingresos al sistema2. Disciplina en la cola3. Servicio

• Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.


TEORIA DE COLASCaracterísticas de una LINEA DE ESPERA

• 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:• La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes

para el servicio tiene tres características principales:a. Tamaño de la población que arribab. Patrón de llegada a la colac. Comportamiento de las llegadas.

1.a.Tamaño de la Población:El tamaño de la población puede ser:

infinito (ilimitado) o limitado (finito). Usamo imfinito


Características de una LINEA DE ESPERA1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

1.a. Tamaño de la Población:Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribosen un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado.

LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO.Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consutorio médico



• 1.b. Patrón de arribo al sistema:– Los clientes arriban a ser atendidos de una manera

programada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria.

– Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente.

– Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad.



• DISTRIBUCION DE POISSON:

• P(x) = Probabilidad de x arribos• .x= número de arribos por unidad de tiempo• = rata promedio de arribo

.e = 2.71828

,...4,3,2,1,0_!

xparax

exP

x Mas labda, mas normal

Para colas


Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una centralita telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, el número de accidentes en un cruce, etc. Todos estos ejemplos tienen un punto en común: todos ellos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores nonegativos enteros (0,1,2,3,4…). El número de pacientes que llegan al ambulatorio en un intervalo de 15 minutos puede ser igual, a 0, 1, 2, 3

La llegada de pacientes se puede caracterizar de la forma siguiente:•1. El número medio de llegadas de los pacientes para cada intervalo de 15 minutos puede ser obtenido a través de datos históricos


TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO = 2

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

ARRIBOS/ UNIDAD DE TIEMPO

PR

OB

AB

ILID

AD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO = 4

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

ARRIBOS/ UNIDAD DE TIEMPO

PRO

BABIL

IDAD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9



1.c. Comportamiento de los arribos:La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son pacientes o sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se pasan entre colas. Desafortunadamente, la vida es complicada y la gente se reniega. Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin completar su transacción.

Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y el análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio.


2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

• La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de un sistema de colas. La longitud de la cola puede ser también LIMITADA o ILIMITADA.– Cola LIMITADA es aquella que por aspectos físicos no puede

incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser el caso de una peluquería que tiene pocos barberos y sillas para atender.

– Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de longitud infinita. Una cola es ILIMITADA cuando su tamaño no tiene restricción como es el caso de una caseta de peaje que sirve a los vehículos que arriban.


2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:• Una segunda característica de las líneas de espera se

refiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los sistemas usan la regla Primero En Entrar Primero En Salir (First In First Out) [PEPS (FIFO)]. Se denomina también FIFS (First In First Served).

• En las áreas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta regla dependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que arriban por auxilio médico.

• En supermercados, personas con menos de 10 artículos tienen la caja express que atiende a este tipo de clientes. Pero en la cola se les atiende con la política PEPS.

En los bancos no se cumple, urgencias


CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA3. Características del Servicio

El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son importantes dos propiedades básicas:1. La configuración del sistema de servicio.2. El patrón de tiempos de servicio

3.1. CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO:Los sistemas para el servicio son clasificados en función del numero de canales (servidores) y el número de fases (número de paradas que deben hacerse durante el servicio).

Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o los establecimientos de comida rápida.


CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA3.1. Configuraciones básicas para el Servicio

– Sistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas.

– Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Un restaurant de comida rápida en el cual la persona que toma la orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase

– Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estación, se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera


TEORIA DE COLASConfiguraciones Básicas de Sistemas de Colas

3.2. Distribución del Tiempo de Servicio

Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios.I. Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad

de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas (Lavadora automática de carros).

II. Si el tiempo de servicio es distribuído aleatoriamente – que es el caso más común – se lo representa por la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e-x

para x 0. Esta es una hipótesis matemática muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribución de Poisson.

Llegadas poison , salidas servicio exponencial tiempo entre cada una de las llegadas


Mientras que la distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. Mientras que la distribución de Poisson es discreta, la distribución exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero.

Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos, más específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Ejemplos típicos de esta situación son el tiempo que un médico dedica a una exploración, el tiempo de servir una medicina en una farmacia, o el tiempo de atender a una urgencia.


Sistemas de colas

Cuando no hay intercambio significativo c toma como el primer caso.


TEORIA DE COLASMedición del Rendimiento de las Colas

• Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.

• Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola2. Longitud de cola promedio3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo

de espera + tiempo de servicio).4. Número de clientes promedio en el sistema.5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío6. Factor de utilización del sistema7. Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el

sistema.

Caracteristicasd

Debe star al 100, pero no siempre


MODELO DE UNA COLA Y UN SERVIDORCARACTERISTICAS DE OPERACIÓN

1

servicio) de tiempo espera de (tiempo

sistema elen permanece unidad una que promedio Tiempo

sistema deln utilizació deFactor

sistema elen (clientes) unidades de promedio Número

sistema elen unidades de número

tiempode períodopor servidos cosas o gente de promedio Número

tiempode períodopor arribos de promedio Número

S

S

SS

W

W

LL

n


MODELO DE UNA COLA Y UN SERVIDOR

1

servicio) de tiempo espera de (tiempo

sistema elen permanece unidad una que promedio Tiempo

sistema deln utilizació deFactor

sistema elen (clientes) unidades de promedio Número

sistema elen unidades de número

tiempode períodopor servidos cosas o gente de promedio Número

tiempode períodopor arribos de promedio Número

S

S

SS

W

W

LL

n


Caso Práctico Nº 1Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora: •Determine las características de Operación.•Analice los resultados


Evaluación del sistema cuando se conoce el costo de espera.

Sé esta estudiando un muelle de carga y descarga de camiones para aprender cómo debe formarse una brigada. El muelle tiene espacio sólo para un camión, así es un sistema de un servidor. Pero el tiempo de carga o descarga puede reducirse aumentando el tamaño de la brigada.

Supóngase que puede aplicarse el modelo de un servidor y una cola (llegadas Poisson, tiempos de servicio exponenciales) y que la tasa promedio de servicio es un camión por hora para un cargador. Los cargadores adicionales aumentan la tasa de servicio proporcionalmente. Además, supóngase que los camiones llegan con una tasa de dos por hora en promedio y que el costo de espera es de $ 20 por hora por un camión. Si se le paga $ 5 por hora a cada miembro de la brigada, ¿Cuál es el mejor tamaño de esta?


Evaluación del sistema con costos de espera desconocidos

Considérese un restaurante de comida rápida con un menú limitado. El restaurante se está diseñando para que todos los clientes se unan a una sola línea para ser servidos. Una persona tomará la orden y la servirá. Con sus limitaciones, la tasa de servicio puede aumentarse agregando más personal para preparar la comida y servir las ordenes.

Esto constituye un sistema de un servidor y una cola. Si las llegadas y salidas son aleatorias, puede aplicarse el modelo de una cola. Supóngase que la administración quiere que el cliente promedio no espere más de dos minutos antes de que se tome su orden .


MODELO DE UNA COLA CON SERVICIOS CONSTANTES

)(2

2

qL )(2

qW

)(2

)2(

sL )(2

2

sW


EJEMPLO

Imagínese un lavado automático de autos con un alinea de remolque de manera que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como en una línea de ensamble. Una instalación de este tipo tiene dos tiempos de servicio diferentes: el tiempo entre autos y el tiempo para completar un auto.

Desde el punto de vista de la teoría de colas, el tiempo entre autos establece el tiempo de servicio del sistema.

Supóngase que él lavado de autos puede aceptar un auto cada cinco minutos y que la tasa promedio de llegadas es de nueve autos por hora (con distribución Poisson).

Solución:9

12


COMPARACION DE TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES Y CONSTANTES Consideremos el siguiente ejemplo

Tiempo de servicio exponencial

Tiempo de servicio constante

Lq 2.25 1.125Wq 15 min 7.5 minLs 3 1.875Ws 20 min 12.5 minUtilización 75% 75%

9 12


Tiempo de servicio exponencial

él lavado de autos puede aceptar un auto cada

• MM1• MD1/MG1


CARACTERISTICAS DE OPERACIÓNMODELO DE UNA COLA Y MULTIPLES SERVIDORES

PoMM

L

L

M

M

M

Mn

P

P

M

M

S

s

MMn

n

no

o

2

1

0

.!.1

:sistema elen unidades o personas de promedio número

para

!

1

!

1

1

sistema elen unidades o personas CEROexistan que de adProbabilid

canal cadaen servicio de promedio tasa

arribo de promedio tasa

abiertos canales de número


CARACTERSITICAS DE OPERACIÓNMODELO DE UNA COLA Y MULTIPLES SERVIDORES

q

Sq

q

SSq

q

S

M

S

s

LWW

W

LLL

L

LPo

MMW

W

1

serviciopor esperando cola laen da tar

se unidad o persona una que promedio Tiempo

servicio de esperaen cola, o línea laen unidades o personas de promedio Número

1

! 1

)(atendida) servida siendoy cola la(en

sistema, elen permanece unidad una que promedio Tiempo

2


Caso Práctico 2

El ambulatorio de una región tiene dos médicos de cabecera que atienden a los pacientes que van llegando. En general los pacientes tienen que esperar a ser atendidos y la gerencia está estudiando la posibilidad de contratar un nuevo médico para aligerar el sistema. Como es muy difícil estimar en términos monetarios el coste de espera de los pacientes, la gerencia realizará la nueva contratación si se consiguen reducir los tiempos totales del servicio (espera más atención) a la mitad. Después de observar y recoger datos sobre las llegadas y sobre el tiempo de servicio, la gerencia calcula que en media llegan 8 pacientes por hora, y que cada uno de los médicos puede atender 5 pacientes por hora.


En el cuadro 3 se presentan los resultados después de aplicar las fórmulas del modelo con dos y tres médicos.

En el cuadro podemos observar que si añadimos un médico adicional el tiempo de espera de cada paciente en el sistema pasa de 0,555 horas a 0,240 horas. Por lo tanto, el objetivo de la gerencia se cumple al añadir un nuevo médico. También se puede observar que con tres médicos el tiempo de espera en la cola es insignificante

Cuadro 3: Resultados del modelo de una cola múltiples servidores

2 3Probabilidad de que todos los médicos esten libres P0 0,111 0,190Probabilidad de que todos los médicos esten ocupados Pw 0,710 0,278Número medio de pacientes en el sistema Ls 4,442 1,918Número medio de pacientes en cola Lq 2,842 0,318Tiempo medio de un paciente en el sistema Ws 0,555 0,240Tiempo medio de un paciente en cola Wq 0,355 0,040

MédicosMedida


• M/M/S


COMPARACION DE UN SERVIDOR RAPIDO CON DOS SERVIDORES LENTOSConsidérense un expendio de helados en que sirven en el auto con una ventanilla y dos meseras. Estas pueden trabajar juntas en cada orden o pueden procesar las ordenes por separado. Cuando trabajan juntas forman un sistema de un servidor y una cola y pueden atender a 60 clientes en una hora. Cuando trabajan separadas forman un sistema de dos servidores y una cola en que cada servidor puede atender a 30 clientes por hora. Supóngase que las llegadas son Poisson y los tiempos de servicio son exponenciales.

Dos servidores lentos

Un servidor rapido

Lq 1.07 1.33Wq 1.6 min. 2 minLs 2.4 2Ws 3.6 min. 3 min.Utilización 67% 67%


Caso Práctico Nº 3Consideremos el caso de un gran laboratorio farmacéutico que tiene en su almacén un único estacionamiento de carga de que sirve a todas las farmacias de una región, y existe un único trabajador para buscar los medicamentos del pedido de cada furgoneta y cargarlos en ella. Se observa que de vez en cuando las furgonetas de transporte se acumulan en el estacionamiento formando cola, y de vez en cuando el trabajador está ocioso. Después de un estudio del sistema observamos que éste cumple las condiciones expuestas anteriormente. Después de examinar las llegadas de las camionetas durante varias semanas, se determina que la tasa media de llegada es de 4 camionetas por hora, y que la tasa de servicio es de 6 camionetas por hora. Los gestores del almacén están considerando el añadir un trabajador adicional, o incluso dos de ellos, para aumentar la tasa de servicio. El problema consiste en evaluar estas opciones diferentes.

Si se añade un trabajador, el sistema seguirá siendo de cola simple, porque una única camioneta puede cargarse a la vez. Si usamos dos trabajadores, la tasa de servicio será igual a 12. Si utilizamos tres trabajadores, la tasa de servicio será igual a 18.


En el Cuadro 1 se han utilizado las ecuaciones expuestas anteriormente para obtener las medidas de eficiencia del sistema. Hemos supuesto que la capacidad de trabajo es proporcional al número de trabajadores.

Cuadro 1: Resultados del modelo de una coal y un servidor

1 2 3Número medio de camionetas en la cola Lq 1,333 0,167 0,063Número medio de camionetas en el sistema Ls 2,000 0,500 0,286Tiempo medio de la camioneta en cola Wq 0,333 0,042 0,016Tiempo medio de la camioneta en el sistema Ws 0,500 0,125 0,071Ocupación del servicio ρw 0,667 0,333 0,222

TrabajadoresMedida


Supongamos que los costes de operación de cada camioneta por hora son de S/. 20 y los trabajadores cobran S/.18 por hora de trabajo y que estos trabajan 8 horas al día. En el Cuadro 2 se presentan los costes asociados. Al interpretar los tiempos, hay que ir con cuidado ya que estos están en fracciones de hora.

Cuadro 2: Costos de operación del sistema

1 2 3Costo de Camioneta por dia 320 144 464Costo de mano de obra por dia 80 288 368Costo total por dia 46 432 478

Trabajadores

Los gestores tendrían que añadir un nuevo trabajador al sistema ya que esto representará una reducción de los costes totales operacionales, aunque el factor de utilización pasará a ser de 33%. Es decir, que los dos trabajadores tendrán 5 horas y 20 minutos para dedicarse a otras tareas dentro del laboratorio farmacéutico.


Documents

3-Teoria Colas Quiroz