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3. Variantes de l’algorithme
du
simplexe
Les deux phases du simplexe
• Pour initialiser l’algorithme du simplexe, il faut déterminer une solution de base initiale.
• Or une telle solution de base initiale n’est pas nécessairement disponible.
• De plus, en général, nous ne savons même pas si le domaine réalisable n’est pas vide.
• La phase I du simplexe:
→ indique si le problème est réalisable (i.e., son domaine réalisable
n’est pas vide)
→ si oui, fournit l’information pour générer une solution de base
initiale.
Cas simple
• Soit le problème de programmation linéaire suivant:
njx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
àSujet
xcxcxcz
j
mnmnmm
nn
nn
nn
,...,2,10
...
....
....
...
...
min
2211
22222121
11212111
2211
En utilisant les variables d’écart xn+1 xn+2
.
.
xn+m
Cas simple
• Le problème devient
mnnnjx
zxcxcxc
bxxaxaxa
bxxaxaxa
bxxaxaxa
àSujet
z
j
nn
mmnnmnmm
nnn
nnn
,,1,,...,2,10
0...
...
......
......
...
...
min
2211
2211
222222121
111212111
Les variables de base de la solutioninitiale sont xn+1, xn+2,…, xn+m
Cas plus compliqué
• Considérons plutôt le problème suivant:
njx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
àSujet
xcxcxcz
j
mnmnmm
nn
nn
nn
,...,2,10
...
....
....
...
...
min
2211
22222121
11212111
2211
En utilisant les variables d’écart xn+1 xn+2
.
.
xn+m
Cas plus compliqué
• Alors le problème devient
mnnnjx
zxcxcxc
bxxaxaxa
bxxaxaxa
bxxaxaxa
àSujet
z
j
nn
mmnnmnmm
nnn
nnn
,,1,,...,2,10
0...
...
......
......
...
...
min
2211
2211
222222121
111212111
La solution de base où xn+1, xn+2,…, xn+m sont les variables de base n’est pas réalisable car les valeurs des variables xn+i = –bi ≤ 0 i = 1,2,…,mlorsque les variables hors base sont égales à 0
Cas général
• Dans le cas général où le problème est de la forme
njx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
àSujet
xcxcxcz
j
mnmnmm
nn
nn
nn
,...,2,10
...
....
....
...
...
min
2211
22222121
11212111
2211
Nous utilisons une phasepréliminaire (Phase I)
Introduisons les variablesartificielles t1
t2
. . tm
Construisons un problème artificiel
Solution de base réalisable initiale
• Les contraintes deviennent donc
Les variables t1, t2,…, tm sont les variables de base d’une solution de base réalisable de ce système
mitnjx
btxaxaxa
btxaxaxa
btxaxaxa
ij
mmnmnmm
nn
nn
,...,2,10;,...,2,10
...
......
......
...
...
2211
222222121
111212111
Probème artificiel
• Dans le cas général où le problème est de la forme
njx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
àSujet
xcxcxcz
j
mnmnmm
nn
nn
nn
,...,2,10
...
....
....
...
...
min
2211
22222121
11212111
2211
Nous utilisons une phasepréliminaire (Phase I)
Introduisons les variablesartificielles t1
t2
. . tm
Construisons un problème artificiel
Remplaçons la fonction économique par une nouvelle: minimiser lasomme des variables artificielles
Problème artificiel
• Le problème artificielle de la phase I est donc de la forme
Résolvons ce problème avec l’algorithme du simplexe
mitnjx
wttt
btxaxaxa
btxaxaxa
btxaxaxa
àSujet
w
ij
m
mmnmnmm
nn
nn
,...,2,10;,...,2,10
0...
...
......
......
...
...
min
21
2211
222222121
111212111
Problème artificiel
mitnjx
wttt
btxaxaxa
btxaxaxa
btxaxaxa
àSujet
w
ij
m
mmnmnmm
nn
nn
,...,2,10;,...,2,10
0...
...
......
......
...
...
min
21
2211
222222121
111212111
Générons un problème équivalent en soustrayant chacune des m premières contraintes de celleassociée à la fonction économique
m
iijj ad
1
m
iibw
10
Définissons
Problème artificiel équivalent
• Le problème équivalent est donc de la forme
mitnjx
wwxdxdxd
btxaxaxa
btxaxaxa
btxaxaxa
àSujet
w
ij
mn
mmnmnmm
nn
nn
,...,2,10;,...,2,10
...
...
......
......
...
...
min
02211
2211
222222121
111212111
m
iijj ad
1
m
iibw
10
Résolution du problème de la phase I
• Ce problème est résolu avec l’algorithme du simplexe.
• Les variables artificielles t1, t2 ,…, tm sont les variables de base de la solution initiale puisque leur valeur est non négative lorsque les variables xj du problème original sont fixées à 0.
mitnjx
wttt
btxaxaxa
btxaxaxa
btxaxaxa
àSujet
w
ij
m
mmnmnmm
nn
nn
,...,2,10;,...,2,10
0...
...
......
......
...
...
min
21
2211
222222121
111212111
Résultat de la phase I
• Proposition À la fin de la phase I
(i) si la valeur optimale min w de la fonction économique est
positive (i.e., min w > 0), alors le domaine réalisable du
problème original est vide (i.e., le problème original n’est
pas réalisable)
(ii) si la valeur optimale min w de la fonction économique est
nulle (i.e., min w = 0), alors le domaine réalisable du
problème original n’est pas vide (i.e., le problème original
est réalisable).
mitnjx
wttt
btxaxaxa
btxaxaxa
btxaxaxa
àSujet
w
ij
m
mmnmnmm
nn
nn
,...,2,10;,...,2,10
0...
...
......
......
...
...
min
21
2211
222222121
111212111
Résultat de la phase I
• Preuve
(i) (Preuve par contraposée)
Si le domaine réalisable du problème original n’est pas vide,
njx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
àSujet
xcxcxcz
j
mnmnmm
nn
nn
nn
,...,2,10
...
....
....
...
...
min
2211
22222121
11212111
2211
Résultat de la phase I
• Preuve
(i) (Preuve par contraposée)
Si le domaine réalisable du problème original n’est pas vide, substituons
ces valeurs des variables xj dans le
problème de la phase I
njx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
àSujet
xcxcxcz
j
mnmnmm
nn
nn
nn
,...,2,10
...
....
....
...
...
min
2211
22222121
11212111
2211
Résultat de la phase I
• Preuve
(i) (Preuve par contraposée)
Si le domaine réalisable du problème original n’est pas vide, substituons
ces valeurs des variables xj dans le
problème de la phase I
mitnjx
wttt
btxaxaxa
btxaxaxa
btxaxaxa
àSujet
w
ij
m
mmnmnmm
nn
nn
,...,2,10;,...,2,10
0...
...
......
......
...
...
min
21
2211
222222121
111212111
Résultat de la phase I
• Preuve
(i) (Preuve par contraposée)
Si le domaine réalisable du problème original n’est pas vide, substituons
ces valeurs des variables xj dans le
problème de la phase I
pour obtenir une solution
réalisable où toutes les variables
ti sont égales à 0 et où la
valeur de la fonction
économique w = 0.
mitnjx
wttt
btxaxaxa
btxaxaxa
btxaxaxa
àSujet
w
ij
m
mmnmnmm
nn
nn
,...,2,10;,...,2,10
0...
...
......
......
...
...
min
21
2211
222222121
111212111
Résultat de la phase I
• Preuve
(i) (Preuve par contraposée)
Si le domaine réalisable du problème original n’est pas vide, substituons
ces valeurs des variables xj dans le
problème de la phase I
pour obtenir une solution
réalisable où toutes les variables
ti sont égales à 0 et ainsi ayant
une valeur de la fonction
économique w = 0. Donc si
min w > 0, alors le problème
original n’a pas de solution.
mitnjx
wttt
btxaxaxa
btxaxaxa
btxaxaxa
àSujet
w
ij
m
mmnmnmm
nn
nn
,...,2,10;,...,2,10
0...
...
......
......
...
...
min
21
2211
222222121
111212111
Résultat de la phase I
• (ii)
Si à la fin de la phase I, la valeur de min w = 0,
Résultat de la phase I
• (ii)
Si à la fin de la phase I, la valeur de min w = 0, alors il existe une solution
réalisable du problème de la phase I où toutes les variables artificielles ti
sont égales à 0.
Dans ce cas, les valeurs que
prennent les variables xj
constituent une solution pour
le problème original.
mitnjx
wttt
btxaxaxa
btxaxaxa
btxaxaxa
àSujet
w
ij
m
mmnmnmm
nn
nn
,...,2,10;,...,2,10
0...
...
......
......
...
...
min
21
2211
222222121
111212111
Résultat de la phase I
• (ii)
Si à la fin de la phase I, la valeur de min w = 0, alors il existe une solution
réalisable du problème de la phase I où toutes les variables artificielles ti
sont égales à 0.
Dans ce cas, les valeurs que
prennent les variables xj
constituent une solution pour
le problème original.
njx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
àSujet
xcxcxcz
j
mnmnmm
nn
nn
nn
,...,2,10
...
....
....
...
...
min
2211
22222121
11212111
2211
Solution initiale pour poursuivre
• Dans le cas où min w est égale à 0, nous poursuivons la résolution du problème original avec l’algorithme du simplexe en utilisant l’information du tableau de la dernière itération de la phase I pour construire une solution de base initiale pour le problème original.
• Considérons le tableau du simplexe de la dernière itération de la phase I
Tableau phase I
mnjd j ,...2,10
Solution optimale de la phase I ↓
m des colonnes du tableau sont les mvecteurs unitaires où le 1 est la iième composante
mnjd j ,...2,10
0
.
1
.
0
ie
Tableau phase I
mnjd j ,...2,10
m des colonnes du tableau sont les mvecteurs unitaires où le 1 est la iième composante
0
.
1
.
0
ie
La variable sous laquelle nousretrouvons le iième vecteur unitaire est la variable de basedans la iième ligne du tableau
Solution initiale pour poursuivre
• Deux cas différents doivent être considérés.
Cas 1: Aucune variable artificielle n’est variable de base. Donc toutes les variables de base sont des variables originales xj.
Considérons le tableau du simplexe de la dernière itération de la phase I
Solution initiale pour poursuivre
Éliminons les colonnes des variables artificielles
Remplaçons la dernière ligne du tableau par la fonction économique du problème original
0...2211 zxcxcxc nn
Solution initiale pour poursuivre
• Dénotant les variables de base par ,le tableau devientmjjj xxx ,...,,21
Pour retrouver le tableau du simplexe associé à cette base, il faut ramener
à 0 les coûts relatifs des variables de base ijc ijx
Solution initiale pour poursuivre
Modifions la dernière ligne de ce tableau en soustrayant chacune des autres lignes i multipliée par
ijc De sorte que
m
i
ijjjj accci
1
ij bczi0
mic ij ,...,2,10
Solution initiale pour poursuivre
• Le tableau devient donc
Nous avons donc un tableau du simplexe associé à une solution initiale de base pour le problème originale où les variables de base sont mi jjj xxx ,...,,
21
• Cas 2: Certaines variables de base sont des variables artificielles. Supposons que la variable artificielle tk est variable de base dans la ligne i
Solution initiale pour poursuivre
• Cas 2: Certaines variables de base sont des variables artificielles. Supposons que la variable artificielle tk est variable de base dans la ligne i.
Cette ligne du tableau à la dernière itération de la phase I est de la forme
Mais min w = 0 => tk = 0 . Ainsi 0ib
Essayons de remplacer tk par une des variables originales xj à titre de variable de base dans la ligne i. Analysons les coefficients des variables xj dans cette ligne.
Solution initiale pour poursuivre
i) Supposons qu’il existe un indice s, 1≤ s ≤ n, tel que . Transformons le dernier tableau de la phase I en exécutant un pivot sur l’élément pour que xs devienne la variable de base dans la ligne i. Ceci ne modifie en rien la valeur de l’objectif w puisque
0isa
0isa
0ib
Ainsi nous obtenons une nouvelle solution de base optimale pour la phase I où la variable xs remplace la variable tk comme variable de base dans le ligne i
Solution initiale pour poursuivre
ii) Supposons que . On peut alors démontrer que la contrainte i du problème est redondante car elle peut s’exprimer comme une combinaison linéaire des autres contraintes. Dans ce cas, la contrainte i peut être éliminée sans modifier le domaine réalisable. Nous éliminons donc la ligne i du tableau.
Après avoir traité chaque ligne où la variable de base est unevariable artificielle selon i) ou ii), alors nous obtenons une autresolution optimale de la phase I où aucune variable artificielle n’estde base. Nous retombons alors sur le Cas 1
nja ij ,...,2,10
Notion de multiplicateurs du simplexe
• Considérons la dernière ligne du tableau du simplexe associé à la base B qui correspond aux vecteurs des coûts relatifs des variables:
TBc
TRc
BBccccc TB
TB
TB
TB
TB
10
RBccc TB
TR
TR
1
ABccc TB
TT 1
Notion de multiplicateurs du simplexe
Dénotons le vecteur défini par
Alors
ou
où dénote la jième colonne de la matrice de contrainte A
mR1 BcT
BT
Acc TTT
jT
jj acc
ja
π est le vecteur des multiplicateursdu simplexe associé à la base B.
ABccc TB
TT 1
Notion de multiplicateurs du simplexe
• Le vecteur des multiplicateurs du simplexe π permet de calculer
les coûts relatifs directement à partir des données originales du problème.
• Les composantes πi (i=1,2,…,m) du vecteur des multiplicateurs peuvent être considérés comme des poids associés aux lignes i du tableau (ou aux contraintes i du problème) tel que la soustraction d’une combinaison linéaire des lignes avec ces poids de la dernière ligne du tableau permet d’annuler les coûts relatifs des variables de base.
jT
jj acc
jc
Sensitivité de la valeur optimale auxmodifications des termes de droite
• Les multiplicateurs du simplexe associés à une base optimale permettent de mesurer l’effet de modifier les termes de droite sur la valeur optimale d’un problème.
• Considérons le problème original et un autre où les termes de droite sont modifiés
0
0
min
x
zxc
bAxàSujet
z
T
0~0~~
~
~min
x
zxc
bbxAàSujet
z
T
Sensitivité de la valeur optimale auxmodifications des termes de droite
• Dénotons par B* une base optimale du problème original, et la solution de base optimale correspondante
dont la valeur (optimale pour le problème) est donnée par
0
0
min
x
zxc
bAxàSujet
z
T
0~0~~
~
~min
x
zxc
bbxAàSujet
z
T
0
01**
*
*
bbBx
x
B
R
bcbBcxcxcz TB
TBR
TRB
TB ****
1****
Sensitivité de la valeur optimale auxmodifications des termes de droite
• Choisissons la valeur de de telle sorte que
• Donc B* demeure une base réalisable pour le nouveau problème modifié puisque la solution de base associée est
0
0
min
x
zxc
bAxàSujet
z
T
0~0~~
~
~min
x
zxc
bbxAàSujet
z
T
b
0)( 1*1*1* bBbBbbB
0)(~0~
1**
*
*
bbBx
x
B
R
Sensitivité de la valeur optimale auxmodifications des termes de droite
• Donc B* demeure une base réalisable pour le nouveau problème modifié puisque la solution de base associée est
• De plus, puisque ni les coûts cj ni la matrice A n’ont pas été modifiés, alors le vecteur des multiplicateur π* reste inchangé. Par conséquent les coûts
relatifs demeurent inchangés et donc non négatifs pour le nouveau problème.
La solution précédente est donc optimale pour le nouveau problème.
0)(~0~
1**
*
*
bbBx
x
B
R
jc
Sensitivité de la valeur optimale auxmodifications des termes de droite
• Cette solution est optimale pour le nouveau problème.
• Évaluons la valeur optimale du nouveau problème:.
0)(~0~
1**
*
*
bbBx
x
B
R
jc jc
m
iii
T
TB
TB
TB
RTRB
TB
bz
bz
bBcbBc
bbBc
xcxcz
1
**
**
1*1*
1*
***
**
*
**
)(
~~~
Sensitivité de la valeur optimale auxmodifications des termes de droite
• Évaluons la valeur optimale du nouveau problème:.
Ainsi, indique la taux de variationunitaire de la fonction économique lorsque le terme de droite bi de lacontrainte i est modifié d’une quantité choisie de telle sorte que la basedemeure réalisable pour le nouveauproblème.
*i
ib
m
iii
T
TB
TB
TB
RTRB
TB
bz
bz
bBcbBc
bbBc
xcxcz
1
**
**
1*1*
1*
***
**
*
**
)(
~~~
Domaine réalisable
• L’ensemble des points réalisables pour le système
5x + 3y ≤ 30
2x + 3y ≤ 24
1x + 3y ≤ 18
x,y≥0
Domaine réalisable
• L’ensemble des points réalisables pour le système
5x + 3y ≤ 30
2x + 3y ≤ 24
1x + 3y ≤ 18
x,y≥0
Forme révisée du simplexe
• Dans cette variante de l’algorithme du simplexe, nous exploitons les multiplicateurs du simplexe pour permettre de faire le pivot sur un tableau de dimension réduite.
• Nous considérons le problème de programmation linéaire sous sa forme standard
0
0
min
x
zxc
bAxàSujet
z
T
Forme révisée du simplexe
• Les données du problème
peuvent être résumées dans le tableau suivant
0
0
min
x
zxc
bAxàSujet
z
T
• Construisons un nouveau tableau à partir de ce dernier en ajoutant une matrice identité mxm à côté de la matrice A des contraintes
et en lui associant un vecteur de m composantes égales à 0 dans la dernière ligne du tableau
• Supposons que nous résolvions le problème avec l’algorithme du simplexe et que nous fassions également les pivots sur la partie additionnelle du tableau à chaque itération.
• Considérons une solution de base réalisable dont la base B est constituée des m premières colonnes de A.
Pour faciliter la présentation représentons le tableau augmenté sous une forme matricielle équivalente:
• Le tableau du simplexe associé à la base B peut être retrouvé
en multipliant les m premières lignes du tableau par B-1
et en ramenant les coûts relatifs des variables de base à 0
B-1
0
• Considérant maintenant la représentation explicite du tableau augmenté à cette itération
La matrice B-1 se retrouve à l’endroit où était la matrice identité dans le tableau des données originales
Dénotons par π = [π1, π2,…, πm]T le vecteur des multiplicateurs associés à la base B. Alors
En particulier, pour i = 1,2,…,m, puisque cn+i = 0 et
mnjacc jT
jj ,...,2,1
iin ea
iiT
in ec 0
Ce tableau s’écrit donc sous la forme
B-1 inverse de la base
Multiplicateurschangés de signe
Comporte toute l’information nécessaire pour compléter une itération du simplexe.
La partie suivante de ce tableau
Critère d’entrée: Pour déterminer la variable d’entrée ou vérifier si la solution actuelle est optimale, il faut déterminer les coûts relatifs
njacc jT
jj ,...,2,1
Critère de sortie: Pour compléter cette étape, il faut connaître Or
sa
ss aBa
1
Pivot: Il suffit de compléter le pivot uniquement sur les colonnes dutableau précédent. En effet nous aurons alors toute l’informationnécessaire pour compléter la prochaine itération.En pivotant sur l’élément rsa
Variante du simplexe pour problème avec variables bornées
• Considérons le problème de programmation linéaire avec variables bornées suivant
• Ramenons à 0 les bornes inférieures en faisant le changement de variables suivant
xj = gj – lj (i.e., gj = xj + lj )
nmARhRcg
njqgl
hAg
gc
mn
jjj
T
matriceuneestet,,,où
,...,2,1
àSujet
min
Variante du simplexe pour problème avec variables bornées
le problème devient
et en remplaçant: uj = qj – lj et b = h – Al
nmARhRlxcg
njqlxl
hlxA
lxc
mn
jjjj
T
matriceuneestet,,,,,où
,...,2,1
)(àSujet
)(min
njux
bAx
lcxc
jj
TT
,...,2,10
àSujet
min
• Dans ce problème
puisque cTl représente une constante, nous pouvons éliminer ce terme de la fonction économique sans changer la solution optimale
et dans la suite de la présentation considérer ce problème sans perte de généralité.
Variante du simplexe pour problème avec variables bornées
njux
bAx
lcxc
jj
TT
,...,2,10
àSujet
min
Variante du simplexe pour problème avec variables bornées
• Considérons la formulation explicite du problème
• Une façon de le résoudre est de le ramener sous une forme standard en introduisant des variables d’écart yj,
et d’ensuite utiliser l’algorithme du simplexe
njux
mibxa
xcz
jj
n
jijij
n
jjj
,...,2,10
,...,2,1àSujet
min
1
1
njyx
njuyx
mibxa
xcz
jj
jjj
n
jijij
n
jjj
,...,2,10,
,...,2,1
,...,2,1àSujet
min
1
1
• Considérons une solution de base réalisable de ce problème.
• La présence des contraintes xj + yj = uj implique qu’au moins une des deux variables xj ou yj est variable de base, j = 1,2,…,n.
• Donc une des trois situations suivantes prévaut pour chaque j = 1,2,…,n:
a) xj = uj est variable de base et yj = 0 est variable hors base
b) xj = 0 est variable hors base et yj = uj est variable de base
c) 0 < xj < uj est variable de base et 0 < yj < uj est variable de base
njyx
njuyx
mibxa
xcz
jj
jjj
n
jijij
n
jjj
,...,2,10,
,...,2,1
,...,2,1àSujet
min
1
1
Non dégénérescence:toutes les variables de base sont positives à chaque itération
njyx
njuyx
mibxa
xcz
jj
jjj
n
jijij
n
jjj
,...,2,10,
,...,2,1
,...,2,1àSujet
min
1
1
m + n variables de base requisesil y a n variables yj
Il y a au moins m variables xj dans la base
Exactement m variables xj satisfont 0 < xj < uj.En effet, si m0 m variables xj
satisfaisaient la relation, alors les m0 variables yj correspondantes seraientégalement dans la base. De plus, pour les n – m0 autres indices jxj = uj (cas a) ou bien yj = uj (cas b) seraitvérifié.Alors le nombre de variables de base serait égal à 2m0 + (n – m0) = n + m0 n + m
La base a donc la forme suivante
m
n
0 < xj < uj 0 < yj < uj xj=uj yj=uj
La base a donc la forme suivante
m
n
0 < xj < uj 0 < yj < uj xj=uj yj=uj
Base de A
Les colonnes de la base B de Acorrespondent aux variables 0<xj<uj
• Ainsi, nous pouvons développer une variante du simplexe pour résoudre directement le problème
en traitant implicitement les bornes supérieures uj. À chaque itération, nous allons considérer une solution (de base) associée à une base B de A ayant
m variables de base
n – m variables hors base
njux
mibxa
xcz
jj
n
jijij
n
jjj
,...,2,10
,...,2,1àSujet
min
1
1
IBjux jj 0
JBjuoux jj 0
• À chaque itération, nous allons considérer une solution (de base) associée à une base B de A ayant
m variables de base
n – m variables hors base .
• Si on dénote les indices des variables de base IB = {j1, j2, …, jm} où ji est l’indice de la variable de base dans la iième ligne, alors
La valeur de la fonction économique est
IBjux jj 0JBjuoux jj 0
JBjuoux jj 0
Nous retrouvons lesmêmes expressions quepour les problèmes sansbornes sauf que les variables hors base
JBjuoux jj 0i
IBjjj
m
i
ijjJBj
j
m
ij
jij
IBj
m
ijji
m
ij
bczxaccx
xaccbcz
i
iii
ii
)(0
)(
11
11
mixabxJBj
jijiji,...,2,1
Il suffit d’ajuster les critères d’entrée et de
sortie en conséquence pour retrouver la
variante du simplexe.
Nous retrouvons lesmême expressions quepour les problèmes sansbornes sauf que les variables hors base
JBjuoux jj 0
Étape 1: Choix de la variable d’entrée
Le critère pour choisir la variable d’entrée est modifié pour tenir compte des variables hors base xj à leur borne supérieure uj qui peuvent diminuer.
Ainsi, pour un indice
si , il est avantageux d’augmenter xj
si , il est avantageux de diminuer xj
JBj0et0 jj cx
0et jjj cux
Déterminons et
SoitSi , alors la solution est optimale et l’algorithme s’arrête.
Si , alors la variable xs augmente; aller à l’étape 2.1.
Si , alors la variable xs diminue; aller à l’étape 2.2
0:min1
jjJBj
s xcc
0sc
10 sss ccetc
10 sss ccetc
jjjJBj
s uxcc
:max2
21 ,min sss ccc
Étape 2.1: Choix de la variable de sortie
• L’augmentation de la variable d’entrée xs est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit:
i) xs atteint sa borne sup. us
ii) une variable de base
décroît à 0 (dans ce cas )
iii) une variable de base
augmente pour atteindre sa
borne sup. (dans ce cas
)
Soit
rjx
0rsa
rjx
rju
0rsa
0:min,0:min,min11
isis
ij
miis
is
i
mis a
a
gua
a
gu i
JBj
jijii xabg
Si θ = ∞, alors le problème n’est pasborné inférieurement et l’algorithmes’arrête.
Étape 2.1: Choix de la variable de sortie
• L’augmentation de la variable d’entrée xs est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit:
i) xs atteint sa borne sup. us
ii) une variable de base
décroît à 0 (dans ce cas )
iii) une variable de base
augmente pour atteindre sa
borne sup. (dans ce cas
)
Soit
rjx
0rsa
rjx
rju
0rsa
0:min,0:min,min11
isis
ij
miis
is
i
mis a
a
gua
a
gu i
JBj
jijii xabg
Si θ = us, alors l’ensemble des variables de base reste le même et la même base estutilisée à la prochaine itération. La variable xs demeure hors base hors et sa valeur passe de 0 à us. Retourner à l’étape 1.
Étape 2.1: Choix de la variable de sortie
• L’augmentation de la variable d’entrée xs est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit:
i) xs atteint sa borne sup. us
ii) une variable de base
décroît à 0 (dans ce cas )
iii) une variable de base
augmente pour atteindre sa
borne sup. (dans ce cas
)
Soit
rjx
0rsa
rjx
rju
0rsa
0:min,0:min,min11
isis
ij
miis
is
i
mis a
a
gua
a
gu i
JBj
jijii xabg
Si
alors la valeur de la variable d’entrée xs
augmente à θ. La variable d’entrée xs devient variable debase à la place de la variable de sortie .Pivoter sur et retourner à l’étape 1
0:min1
isis
i
mirs
r aa
g
a
g
rsarj
x
Étape 2.1: Choix de la variable de sortie
• L’augmentation de la variable d’entrée xs est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit:
i) xs atteint sa borne sup. us
ii) une variable de base
décroît à 0 (dans ce cas )
iii) une variable de base
augmente pour atteindre sa
borne sup. (dans ce cas
)
Soit
rjx
0rsa
rjx
rju
0rsa
0:min,0:min,min11
isis
ij
miis
is
i
mis a
a
gua
a
gu i
JBj
jijii xabg
Si
alors la valeur de la variable d’entrée xs
augmente à θ. La variable d’entrée xs devient variable debase à la place de la variable de sortie .Pivoter sur et retourner à l’étape 1rsa
0:min
1is
is
ij
mirs
rja
a
gu
a
guir
rjx
Étape 2.2: Choix de la variable de sortie
• La réduction de la valeur de la variable d’entrée xs est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit:
i) xs atteint sa borne inf. 0
ii) une variable de base
décroît à 0 (dans ce cas )
iii) une variable de base
augmente pour atteindre sa
borne sup. (dans ce cas
)
Soit
rjx
0rsa
rjx
rju
0rsa
JBj
jijii xabg
0:min,0:min,min11
isis
ij
miis
is
i
mis a
a
gua
a
gu i
Si θ = us, alors l’ensemble des variables de base reste le même et la même base estutilisée à la prochaine itération. La variable xs demeure hors base hors et sa valeur passe de us à 0. Retourner à l’étape 1.
Étape 2.2: Choix de la variable de sortie
• La réduction de la valeur de la variable d’entrée xs est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit:
i) xs atteint sa borne inf. 0
ii) une variable de base
décroît à 0 (dans ce cas )
iii) une variable de base
augmente pour atteindre sa
borne sup. (dans ce cas
)
Soit
rjx
0rsa
rjx
rju
0rsa
JBj
jijii xabg
0:min,0:min,min11
isis
ij
miis
is
i
mis a
a
gua
a
gu i
Si
alors la valeur de la variable d’entrée xs
est réduite de θ (i.e., xs← us– θ). La variable d’entrée xs devient variable debase à la place de la variable de sortie .Pivoter sur et retourner à l’étape 1
0:min1
isis
i
mirs
r aa
g
a
g
rsarj
x
Étape 2.2: Choix de la variable de sortie
• La réduction de la valeur de la variable d’entrée xs est limitée par la première des trois situations suivantes qui se produit:
i) xs atteint sa borne inf. 0
ii) une variable de base
décroît à 0 (dans ce cas )
iii) une variable de base
augmente pour atteindre sa
borne sup. (dans ce cas
)
Soit
rjx
0rsa
rjx
rju
0rsa
JBj
jijii xabg
0:min,0:min,min11
isis
ij
miis
is
i
mis a
a
gua
a
gu i
Si
alors la valeur de la variable d’entrée xs
et réduite de θ (i.e., xs← us– θ). La variable d’entrée xs devient variable debase à la place de la variable de sortie .Pivoter sur et retourner à l’étape 1
0:min1
isis
ij
mirs
rja
a
gu
a
guir
rsarj
x
Domaine réalisable
• L’ensemble des points réalisables pour le système
5x + 3y ≤ 30
2x + 3y ≤ 24
1x + 3y ≤ 18
x,y≥0
x ≤ 4
