3 · Web viewEl niño de seis años es capaz de razonar por analogía con los conjuntos de objetos que él es capaz de visualizar, sin utilizar simbolismos ni propiedades conscientemente

Grupo 12+1 Operaciones aritméticas. Comprensión de sus propiedades estructurales 1ºA

3.6 OPERACIONES ARITMÉTICAS. COMPRENSIÓN DE SUS PROPIEDADES ESTRUCTURALES

3.6.1 DESARROLLO Y ADQUISICIÓN DE LA ESTRUCTURA DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICASLos apartados anteriores se han ocupado de la comprensión de las operaciones aritméticas alcanzada por el niño, otro aspecto a tener en cuenta es la comprensión de la estructura interior de cada operación y de las relaciones entre unas y otras. Grossnickle (1959) dice que para apreciar las propiedades estructurales es necesario que el niño sea capaz de tratar a los números como entidades existentes y manipulables, dando igual el contexto en el que se encuentran. Por ejemplo, si 3 coches + 5 coches = 8 coches quiere decir que 3+5=8, independientemente del objeto.

Ya hemos estudiado la muestra de niños utilizada por Carpenter y Moser, donde vimos que algunos fueron capaces de utilizar relaciones aritméticas, a pesar de no tener experiencias previas, por lo cual, algunos niños muestran una menor utilización de la forma abstracta del número cuando ingresan en la escuela. Tampoco hablamos de un proceso de aprendizaje memorístico, ya que los experimentos de Carpenter demuestran que los niños son capaces de deducir otras ligaduras entre números a partir de las conocidas.

Por ejemplo:

4+7=11

Niño 3+7=10; 10+1=11 porque 4=3+1

La estrategia del ejemplo anterior la denomina Carpenter “de descomposición”. Otro razonamiento es la estrategia de compensación, por ejemplo, en una adición, si hay que sumar 6+8 el niño razona así:

Le quito una a 8 y se la doy a 6 7+7=14

También se puede aplicar a la sustracción, donde cabe decir que se suelen cometer más errores. Un ejemplo sería 9-6:

A 9 le quito 4 y quedan 5, le quito 2 y quedan 3

Otro ejemplo sería 13-9:

13 y 10 darían 3; así que 13 y 9 dan 2

[Escribir texto] Página 1


Con estas estrategias se observa que los niños son capaces de deducir una solución a partir de una relación numérica, desde 15 a 94 niños en el 1er grado, a los 6 años hasta 79 de 96 niños mediado el 2º grado, lo que implica un aumento considerable de razonar las propiedades abstractas de los números.

Carpenter considera posible estimular tales estrategias por enseñanza explícita; como hizo Hatano (1982) que enseña la estrategia de descomposición por aproximación a la decena, corroborado en un estudio de Yoshimura que muestra que niños de 6 años adaptan con éxito esta estrategia.

Ejemplo de ejercicio de Hatano:

8+5= (8+2)+3=10+3=13

Para los problemas de multiplicación cabe la posibilidad de utilizar estrategias semejantes, Weaver (1955) describe el método utilizado por una maestra para comprensión del proceso de multiplicación en su totalidad; éste es realizado con niños de 10 años, con experiencias previas en la multiplicación por los números 2,3 y 4. Durante el estudio la profesora siempre tiene en cuenta la capacidad de cada niño de forma individual.

En el estudio se presentan 6 fichas, con multiplicaciones tanto verticales como horizontales, como se ve en el dibujo siguiente:

En ellas, se presenta hechos (propiedades) tanto conocidos como desconocidos, con la intención de que los hechos desconocidos contribuyeran a proporcionar una inteligencia más profunda de la comprensión que el niño tenía de la multiplicación.


7X 3

9X 5

5X 6

8 X 4 = 7 X 6 =

2 X 9 =


Las fichas se presentaban de una en una, si no se obtenía respuesta inmediata, se animaba al niño a pensar en voz alta, para facilitar el proceso . En la tabla siguiente se recogen las respuestas de los niños

Alumno

Sally Respuesta automática. Producto correcto

Dudó. Después recitó la tabla entera:1 X 4 = 4 ; 2 X 4 =8 ; 3 X 4 = 12 ; 4 X 4 = 16etc., hasta8 X 4 = 32

Dudó, diciendo: “yo no sé eso”. Después escribió 5 hileras de 9 puntos y los contó de uno en uno, llegando a 45

David Respuesta automática. Producto correcto

Dijo: “vamos a ver:6 cuatros son 24,7 cuatros son 28,8 cuatros son 32,¡Eso es!

Alzó la mirada un momento; después dijo: “¡Ahora ya sé cómo calcular eso!, 5 decenas son 50, así que le quito 5 y resulta 45”

Linda Dudó; después dijo: “7 y 7 son 14-15, 16-17, 18-19, 20-21”

Dudó, después dijo: “¡Ah, ya sé! Es lo mismo que 4 ochos y me acuerdo que eso son 32”

Dudó, diciendo: “nunca nos pusieron eso”. Empezó a sumar 9 y 9; después, de pronto, se paró y contó de 5 en 5 hasta 45

Carole Respuesta automática. Producto correcto

Sin duda aparente, dijo: “4 cuatros son 16; y 10 hacen 26; y 6 más, 30, 32”

Con sólo un instante de duda, dijo: “bueno, 4 nueves son 36; y 10, hacen 46; así que le quitamos 1, y salen 45”

Jerry Respuesta automática. Producto correcto

Respuesta automática, pero el producto que dio, 36, era incorrecto. Cuando se le pidió que lo demostrase, pareció desconcertado y dijo: “no sé, pero estoy seguro de que es lo que es, 36”

Pareció muy confuso, diciendo: “no me acuerdo de ese. ¿nos lo han puesto antes?” Incapaz de abordarlo sensatamente, preguntó: “¿está cerca de 14?”

Podemos observar que aunque estos niños puedan estar obteniendo una respuesta correcta, no son comparables por lo que a su dominio de los hechos y su comprensión de la naturaleza del proceso de multiplicación concierne. La razón es que, por ejemplo, unos utilizan hileras de puntos, otros son capaces de utilizar un enfoque abstracto etc.


7

X 38 X 4 =

9

X 5


3.6.2 LAS PROPIEDADES ESTRUCTURALES DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICASEn la sección precedente se ha mostrado que los niños van adquiriendo gradualmente la conciencia de algunas de las propiedades de las operaciones aritméticas como resultado de generalizaciones basadas en experiencias concretas con estas operaciones.

Williams señala que la mayor parte de las propiedades estructurales están relacionadas con las nociones de igualdad e invariancia. Así, un niño puede combinar un conjunto de 3 coches y un conjunto de 5 coches y efectuar el descubrimiento empírico de que así resultan 8 coches. Si después reúne 3 camiones y 5 camiones, quizá no le sorprenda lo más mínimo encontrar que hay 9 camiones, por haberse equivocado al contar. En un estadio posterior, adquiere conciencia; el hecho de que 3 coches y 5 coches den un total de 8 coches, es consecuencia inexorable del comportamiento de los números; esto es: que 3 y 5 siempre serán 8.

Williams da una lista de propiedades estructurales de las operaciones aritméticas, relacionadas con las nociones de igualdad e invariancia:

- Identidad. Un número queda invariable al sumarle o restarle 0. También permanece el mismo si es multiplicado o dividido por 1.

- Conmutatividad. La adición y la multiplicación (pero no la sustracción ni la división) se pueden efectuar en orden inverso o retrógrado; por ejemplo 2+3=3+2 ó 2x3=3x2.

- Asociatividad. Cuando se realiza más de una operación de adición (o multiplicación), los números se pueden combinar por pares en cualquier orden; por ejemplo (2+3)+4=2+(3+4) ó (2x3)x4=2x(3x4).

- Distributividad. La multiplicación puede ser descompuesta en sumo o diferencia de otras multiplicaciones. Por ejemplo, 10 veces 5 es lo mismo que 6 veces 5 más 4 veces 5; ó 10 veces 5 es igual a la diferencia entre 12 veces 5 y 2 veces 5; ó una quinta parte de 30 es igual a una quinta parte de 20 más una quinta parte de 10; y así sucesivamente.

- Invariancia. Dos números iguales dan resultados iguales si se realizan sobre cada uno de ellos operaciones idénticas, por ejemplo, si 3+4=6+1, entonces (3+4)x5=(6+1)x5.

- Invariancia de la diferencia. Si dos números son desiguales, su diferencia se mantiene al sumar o restar de ambos un mismo número. Esta propiedad constituye la base del método de “sumar iguales” para restar. Por ejemplo, 73-28 se convierte en 7,3-2,8 dado que se han sumado diez unidades tanto al minuendo como al sustraendo, por lo que la diferencia permanece invariable.



- Invariancia de la razón. La razón de un número a otro se preserva si ambos números son multiplicados o divididos por el mismo; por ejemplo: 2/10, 1/5, 10/20. Esta propiedad constituye el principio que subyace a la equivalencia de fracciones.

- Multiplicación y división como reiteración de la adición y sustracción. El multiplicador puede ser considerado a modo de contador del número de veces que el número es sumado, por ejemplo 4x7 es equivalente a 7+7+7+7 ó 4+4+4+4+4+4+4. En el caso de la división, 8/4 puede ser considerado equivalente al número de veces que se le puede restar 4 a 8.

- Operaciones inversas. La sustracción es la operación inversa de la adición (por ejemplo, 3+5=8 es equivalente a 8-5=3 y a 8-3=5). La multiplicación y la división son inversa una de otra.

- No asociatividad de la sustracción y la división. La sustracción no se puede efectuar en cualquier orden, por ejemplo, 12-(6-2) ≠ (12-6)-2.

El niño no aprende conscientemente estas propiedades en forma abstracta. Algunas de las propiedades anteriores son mucho más complejas que las demás y es probable que la mayoría de los niños se percaten de ellas mucho más tarde.

No siempre resulta fácil averiguar si el niño tiene conciencia de las propiedades estructurales antedichas, salvo observando si las utiliza al resolver problemas.

No obstante, algunos niños sí parecen darse cuenta de algunas de estas propiedades a edades muy tempranas: el niño de seis años de la muestra de Carpenter, ante el problema de sumar 4+7 respondió: “Siete y 3 son 10, así que añadí 1 más y obtuve 11”. Usó la propiedad conmutativa para transformar 4+7 en 7+4, y además la asociativa para pasar de 7+(3+1) a (7+3)+1.

Si se le dan números grandes e s muy posible que el niño no sea capaz de valerse de estas relaciones. Collins muestra que el 70% de los niños de siete años respondió correctamente a las cuestiones de este tipo: 4+3=3+ ◊; 8+4-4= ◊. Pero, en cambio, prácticamente ninguno puede responder correctamente: 429+379=379+ ◊;

4283+571-571= ◊.

Hacia los nueve años de edad, el 70% puede dar respuestas correctas para cada una de las dos últimas cuestiones. El niño de seis años es capaz de razonar por analogía con los conjuntos de objetos que él es capaz de visualizar, sin utilizar simbolismos ni propiedades conscientemente abstraídas, en la resolución de problemas con números grandes se les pide al niño que se fije en la estructura del enunciado simbólico, despreciando los números propiamente dichos.



Conmutatividad

Para Ginsburg, es importante que, además de practicar el cómputo, los niños se sientan estimulados a percatarse de las propiedades que subyacen a una operación, pues, de lo contrario, el niño se torna rigido e inflexible en la aplicación de las reglas aprendidas. Da el ejemplo de Barbara, de 6 años, que estaba aprendiendo a hacer sumas sencillas con ayuda de bloques, se le pidió que efectuase los siguientes problemas utilizando bloques:

La niña trató de igual modo todos los ejercicios, reuniendo 5 bloques con 7 bloques en el reunió 7 bloques con 5 bloques, los contó, y prosiguió de esta manera. Ginburg hace incapié en que, a pesar de que la estrategia que utiliza es correcta y está obteniendo respuestas acertadas, es preciso reconocer que su comprensión es muy limitada. No está alcanzando a percibir la regularidad resultante de la conmutatividad de la adición, e incluso aunque se dé cuenta de que existe alguna regularidad, no está sacando partido de tal conocimiento.

Otro ejemplo es Joe de 11 años:

Se le pusieron sumas, las tres con los mismos números, que el niño resolvió como sigue:

Parece pues, que Joe ha estado tan preocupado por los detalles de rutina de cómputo que no ha tenido oportunidad o estímulo para abstraer importantes propiedades del número.


5+ 7

7+ 5

3+ 2

2+ 3

4+ 3

3+ 4

5+ 3

3+ 5

379 16+ 427 922

437 379+ 16 812

16 427+ 379 822


Sin embargo Diana, de nueve años:

…estaba firmemente convencida de que 20 +14 es lo mismo.

E: ¿Te parece a ti que funcionará siempre con otros números?

D: sí. Excepto para la multiplicación.

Así pues, Diana era capaz de estar segura de la conmutatividad de la adición, pero no aceptaba la de la multiplicación.

Willington examinó en una muestra pequeña de niños hasta que punto había reconocido la conmutatividad de la multiplicación, planteándoles la cuestión en un texto concreto. Tomó 6 floreros y colocó 4 flores en cada uno, preguntándose después al niño cuántas flores habría en cada florero si los floreros solamente fueran 4.

Esta cuestión formaba parte de una tarea más amplia, deducida de otra de Piaget (por ejemplo, también se les preguntó, dados 4 floreros con 6 flores en cada uno, cuántas flores habría si hubiera que repartirlas por igual entre 12 floreros). Willintgon vio que los problemas eran resueltos correctamente por la mayoría de niños de 9 y 10 años y en algunos casos también de 8, pero se servían de las propiedades de la multiplicación.

Parece posible, pues, que el uso funcional de la conmutatividad de la multiplicación no empiece a darse, por lo general, hasta los últimos años de primaria/primeros de secundaria (10 o más). Pero es posible que puedan resolver ejemplos escritos del tipo 3 X 4= 4 X a edades bastante tempranas.



Para Brown la dificultad está en que los niños no solamente llegan a aceptar la conmutatividad de la adición y la multiplicación, sino que suponen, también, que esta propiedad es cierta para la sustracción y la división. Por ejemplo, cambiaban el orden de dividendo y divisor. Brown concluyó que a lo sumo el 30% de los niños de 12 años eran conscientes de que la división no era conmutativa, mientras que para la sustracción era alrededor del doble.

Asociatividad

Willington ideó también un test para la asociatividad de la adición por ejemplo, (2+3)+4=2+(3+4). Puso:

2 canicas en cada una de 2 bolsas rojas

3 canicas en cada una de 2 bolsas amarillas.

4 canicas en cada una de 2 bolsas verdes.

5 canicas en cada una de 2 bolsas azules.

Colocó una bolsa de cada color a cada uno de los lados de una mesa. Tomó después una bolsa blanca vacía y vació en su interior el contenido de las bolsas roja y azul del lado izquierdo, y le preguntó al niño si había ahora más canicas en el lado izquierdo o en el derecho.

Algunos niños de 7 años, y casi todos los de 8, supieron resolver la tarea de conocer el número de canicas que contenía cada bolsa, pero operaron sumando los totales de cada lado, y no por lógica. La mayor parte de los niños de 10 años, y algunos de 9 supieron razonar lógicamente a partir de equivalencias sin conocer los números de bolas de las bolsas. (Las muestras eran muy pequeñas).

Distributividad. Tanto P .G .Brown (1969) como Willington (1967) idearon pruebas prácticas de distributividad de la multiplicación respecto de la adición (por ejemplo, 5 X 4 = [2 X 4]).


R RAz AzV A V A

B


Brown se valió de colecciones de problemas con puntos y de un clavijero, y preguntó, por ejemplo, cuál de los grupos de puntos de la sección B contiene el mismo número de puntos que hay en la totalidad de la sección A.

Sección A Sección B

El planteamiento de Willington fue más concreto:



Willington retiró todos los botones que llevaban los chicos y todos los utilizados por todas las chicas y preguntó que montón contenía más. En algunos casos había el mismo número de chicas, pero las que utilizaban rebeca tenían cada una un menor número de botones; en otros el número de botones era el mismo, siendo, en cambio, diferentes los de chicos y chicas.

Lo mismo Brown que Willington encontraron que alrededor de la mitad de los niños de 10 años y unos pocos de 8 y 9 años eran capaces de razonar correctamente valiéndose de nociones de distributividad (esto es, sin calcular previamente los números totales mediante la multiplicación).

En la tabla siguiente se citan unos cuantos resultados aislados, tomados de encuestas de Collis (1975) Ward (1979) y APU (1980a, b; 1981a, b):

Resultados de encuestas, relativos a la comprensión de las propiedades aritméticas

Propiedad Fuente Resultado

1) Identidad APU, 1980a, p.37 El 90% de los chicos de 15 años y el 60% de los APU, 1980a, p.22 de 11 años saben deducir que si _ X 9 = 9, Entonces tiene que ser igual a 1.

2) Conmutatividad APU, 1980a, p.37 Entre el 60% y el 90% de los niños de 11 años mostraron comprender la conmutatividad de la adición y de la multiplicación por la forma en que respondieron a los problemas(que no fueron dados a conocer).

3) Asociatividad APU 1980b, p.22 El 40% de los chicos de 15 años respondió correctamente a una cuestión relativa a la asociatividad.

4) Distributividad APU, 1980a, p.37 Alrededor de la mitad de los niños de 11 años



respondió correctamente a una cuestión que verificaba el conocimiento implícito de la ley distributiva.

Los resultados ahora citados sugieren que aunque algunos niños de tan sólo seis años de edad pueden ser capaces de utilizar propiedades estructurales de los números en ciertas circunstancias, la validez de estas propiedades no se puede generalizar a la totalidad de los números naturales hasta la edad de nueve años, por lo menos. Resulta claro que en el caso de otras propiedades no se puede generalizar a la totalidad de los números naturales hasta la edad de nueve años, por lo menos. Resulta claro que en el caso de otras propiedades, muchos niños de secundaria son incapaces de aplicarlas con soltura a la resolución de problemas.

Grossnickle (1959) tenía la convicción de que una vez alcanzado un estadio en el que los niños estuvieran razonablemente familiarizados con las propiedades estructurales fundamentales de las operaciones aritméticas y fuesen capaces de aplicarlas, sería el momento de introducirles en un tercer estadio de desarrollo, que comportaría la investigación y descubrimiento de regularidades aritméticas. El objetivo, en este estadio, es enriquecer y reforzar lo aprendido, amén de suscitar el interés del alumno.

3.6.3 CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS

Vemos que no existe preocupación por que el niño aprenda explícitamente las propiedades aritméticas, sean expresadas en símbolos o con palabras. Lo importante es que el alumno esté capacitado para manejar los números con soltura al resolver problemas reales y para operar con destreza y eficiencia, tanto en el cálculo mental como con una calculadora. Por ejemplo, hallar la diferencia entre 387 y 569, un buen método consistiría en darse cuenta que la diferencia es la misma que entre 87 y 69, o sea 18. Estos cálculos se fundan en el principio de invariancia de la diferencia. No resulta sencilla la enseñanza de esta técnica; depende, de que el niño perciba e interiorice las diversas pautas estructurales y después las aplique espontáneamente en las circunstancias adecuadas. Para esto es necesario la utilización de referentes concretos, tanto discretos (conjuntos) como continuos (longitudes/rectas numéricas).

Grossnickle (1989) nos dice que con la ayuda de los artilugios se pueden representar las propiedades conmutativa y distributiva, o destacar la relación inversa entre multiplicación y división.



Collis (1975) dice que hay que trabajar los referentes concretos con niños mayores (8 a 13 años), ya que eran incapaces de acertar en problemas del siguiente tipo:

95 – 4694 – 97 = 93 – 46

93 – 4895 – 48

568 + 487567 + 486 = 568 + 485

566 + 487566 + 485

Collis proporciona un programa de instrucción basado en ejemplos sencillos:

2 + 4 1 + 5

El método de Collis muestra mejoras importantes en las propiedades estructurales de la adición y sustracción.

Weaver (1955) plantea que es necesario proporcionar experiencias al niño, adaptadas al nivel correcto para cada niño individual.

Propone un problema, en el cuál los niños deben averiguar cuántas ruedas son necesarias para un número de camionetas de juguete. Divide la clase en 3 grupos y propone actividades independientes:

1er grupo: actividad enfocada a reforzar la comprensión de las tablas de multiplicar

Ejemplo: si para 1 camioneta hacen falta 4 ruedas ¿cuántas ruedas son necesarias para 2 camionetas?

1 X 4 = 4

2 X 4 = 8 4 + 4 = 8

2º grupo: dedujesen el producto desconocido a partir de otros productos conocidos

Ejemplo: si para 28 furgonetas necesitas 112 ruedas, ¿para 29 furgonetas cuantas necesitaremos?



3er grupo: actividades abstractas basadas en las regularidades de las tablas de multiplicar.

Denvir, Stolz y Brown resaltan el importante papel que desempeñan el análisis y el interrogatorio para implantar este tipo de relaciones


Documents

3 · Web viewEl niño de seis años es capaz de razonar por analogía con los conjuntos de objetos que él es capaz de visualizar, sin utilizar simbolismos ni propiedades conscientemente