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30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg90°
180°
270°
0°/360°
TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIAÉ só o Filé!
Fred Tavares
30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg90°
180°
270°
0°/360°
TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIAÉ só o Filé!
Fred Tavares
Teorema Fundamental Teorema Fundamental da Trigonometriada Trigonometria
1cossen 22
Demonstração ...Demonstração ...
)θ1 cos
sen 1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
θ·
Continuação...Continuação...
)θ1 cos
sen 1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
1
Continuação...Continuação...
)θsen θ
cos θ
1
Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :
1cossen 22 C M P Q D
Relações Trigonométricas Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulono Triângulo Retângulo
)θCateto AdjacenteC
ateto Oposto
Hipotenusa
Continuação ...Continuação ...
Cotangente de θ
Secante de θ
Cossecante de θ
Tangente de θ
Cosseno de θ
Seno de θ
Relação no Triângulo Retângulo
Ente Trigonométrico
HICO
sen
HICA
cos
COHI
sen1
seccos
CACO
tg
CAHI
cos1
sec
COCA
tg1
gcot
Na Circunferência Na Circunferência TrigonométricaTrigonométrica
)θ cos
sen
0
sen θ
cos θ
·
tg
tg θ
Continuação ...Continuação ...
)θ0
·
cotg cotg θ
secante θ
cossec θ
Arcos NotáveisArcos Notáveis
30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg90°
180°
270°
0°/360°
arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
rad 06
4
3
2
3
22
seno 02
1
2
2
2
31 0 - 1 0
cosseno 12
3
2
22
10 - 1 0 1
tangente
cos
sen 03
31 3 - - - 0 - - - 0
Tabela de Entes Trigonométricos ...
Vamos pensar . . .
?
Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?
Observem a figura ao lado
1) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o sen vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
b
hip
.o.csen
2) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o cos vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/bc
a
hip
.a.ccos
3) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a tg vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c a
b
.a.c
.o.ctg
4) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a cotg vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c b
a
.o.c
.a.cgcot
5) Em relação ao ângulo , podemos dizer que tg .cotg vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
e) 1 1.o.c
.a.c.
.a.c
.o.c
gcot.tg
6) Se a = 3b, podemos dizer então, que
sen2 + cos2 vale:
a) b2 / a2
b) 9c2 / b2
c) 0
d) 1
e) (c2 + b2) / 9a2
Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que:
sen2 + cos2 = 1
7) Em relação ao ângulo , podemos dizer que sec2- 1 vale:
a) tg2
b) cotg2
c) - 1
d) 0
e) 1
22
22
cos
1sec
cos
1sec
olog,cos
1sec
22
2
2
2
2
22 tg1sec
cos
sen
cos
cos11
cos
11sec
22
22
cos1sen
1cossen
22 tg1sec
8) Em relação ao ângulo , podemos dizer que cossec2- 1 vale:
a) tg2
b) cotg2
c) - 1
d) 0
e) 1
22
22
sen
1seccos
sen
1seccos
olog,sen
1seccos
22
2
2
2
2
22 gcot1seccos
sen
cos
sen
sen11
sen
11seccos
22 gcot1seccos
9) Se sen b/c, então, calculando o valor de
chegaremos a:
a) a/c
b) b/c
c) a/b
d) b/a
e) 1
cos
11.)cos1(.gcoty
Procure sempre partir da relação fundamental
Resposta na outra folha
cos
1cos.)cos1(.
sen
cosy
cos
11.)cos1(.gcoty
22
22
cos1sen
1cossen
)coscos1(cos.sen
1y
1cos.)cos1(.sen
1y
2
)cos1(.sen
1y 2
2sen.sen
1y
c
by
seny
Voltando
para a parte teórica...
Lei dos SenosLei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) (^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
Lei dos CossenosLei dos CossenosSeja um triângulo ABC qualquer
temos :
Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) (^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
Gráficos das funções Gráficos das funções trigonométricastrigonométricas
SenóideSenóide
sen x
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•0° 540°
720°
450°
630°360
°
270°
180°
-180° -90°
•
90°
1
-1
CossenóideCossenóide
cos x
y
x •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0°
540°
720°450°
630°360°
270°
180°
-180°
-90° 90°
1
-1
TangenteTangente
tg x
y
x •
•
•
•
•
•
•
•
•
0° 360°
-90° 90°180°
270° 450°
540°
630°
CossecanteCossecante
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180° -90°
•
90°
1
-1
cossec x
SecanteSecante
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0°
540°
720°450°
630°360°
270°
180°
-180°
-90° 90°
sec x
y
x
1
-1
Continuação ...Continuação ...
cotg x
y
x •
•
•
•
•
•
•
•
•
0° 360°
90°
180°
270° 450° 540°
630°
720°
Trigonometria
Algumas Aplicações
Parte PráticaO exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos.
São eles: uma distância
um ângulo
Observe a seguir . . .
hd.tgd
htg
.a.c
.o.ctg
portanto: tg.dh
Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo que vale 30°, podemos dizer então que:
metros8675,28h
95773502691,0.50h
30tg.50h
tg.dh
Exemplo 01.
Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?
Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação.
Observemos:
6 metros16,4 metros
2 metros
Comprimento total da rampa
solo
6 metros
16,4 metros2 metros
Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Temos em relação ao ângulo
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
121219512195,04,16
2
hip
.o.csen
Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que = 30°.
Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo , com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!
2,49121219512195,0
6
7sen
6
sen
o.chip
sen
o.chip.o.chip.sen
hip
.o.csen
6 metros
Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que é válido para ambos
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Como:
Chegamos a conclusão que o
comprimento total da rampa é 49,2 metros
Exemplo 2
Mecânica Geral
ou Trigonometria?
Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N,
F2 = 100N, F3 = 40N e
F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?
Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos.
Abaixo segue um problema CLÁSSICO de física e trigonometria
Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F
nos eixos das abscissas e das
ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F
e )y(2F
.
Analogamente, encontraremos as projeções de 3F
, encontrando os componentes )x(3F
e )y(3F
.
A r e s u l t a n t e r e l a t i v a a o e i x o d a s a b s c i s s a s
)x(Ré o b t i d a
d a s e g u i n t e m a n e i r a :
)x(31)x(2)x( FFFR
60cos.FFFF.60cosF
F60cos.
hip
a.ccos
45cos.FFFF.45cosF
F45cos.
hip
a.ccos
Como
3)x(3)x(333
)x(3
2)x(2)x(222
)x(2
N20F5,0.4060cos.FF
N70F70,0.10045cos.FFtotanPor
)x(33)x(3
)x(22)x(2
)x(31)x(2)x( FFFR
N70R
202070R
)x(
)x(
A r e s u l t a n t e r e l a t i v a a o e i x o d a s a b s c i s s a s
)y(Ré o b t i d a
d a s e g u i n t e m a n e i r a :
)y(34)y(2)y( FFFR
60sen.FFFF.60senF
F60sen.
hip
o.csen
45sen.FFFF.45senF
F45sen.
hip
o.csen
Como
3)y(3)y(333
)y(3
2)y(2)y(222
)y(2
N4,34F86,0.4060sen.FF
N70F70,0.10045sen.FFtotanPor
)y(23)y(3
)y(22)y(2
)y(34)y(2)y( FFFR
N6,25R
4,341070R
)y(
)y(
NFsenFF
NFsenFFtoPor
yy
yy
4,3486,0.4060.
7070,0.10045.tan
)(23)(3
)(22)(2
)y(34)y(2)y( FFFR
N6,25R
4,341070R
)y(
)y(
Colocando )x(R
e )y(R
, nos eixos das abscissas e dasordenadas, respectivamente,
Percebemos que a figura formada pelas forças é umtriângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força
Resultante
R, )x(R
é o cateto adjacente a e )y(R
ocateto oposto a , então, vale o teorema de Pitágoras para
calcularmos o valor de
R.
N53,74R
36,5555R
36,5555R
36,6554900R
6,2570R
RRR
cch
2
2
222
2
)y(
2
)x(
2
222
Observe que são problemas bem clássicos e resolvidos da mesma forma.
P a r a o c á l c u l o d o â n g u l o , t e m o s :
3657,070
6,25
R
R
.a.c
.o.ctg
)x(
)y(
3657,0tg
E s s e é o v a l o r d a t a n g e n t e d o â n g u l o P a r a c a l c u l a r m o s o v a l o r d o â n g u l o ,t e m o s q u e e n c o n t r a r o a r c t g , e n t ã o :
20
3657,0arctgarctg
C o n c l u í m o s e n t ã o q u e a R e s u l t a n t e N53,74R
e f o r m au m â n g u l o 20 c o m o e i x o x .
Desafio !
Mais um Problema Clássico de Vestibular
Questão01. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13
Solução:
Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.
)II(y.3h
y.60tghhy.60tgy
h
.a.c
.o.c60tg
)I()y20(.3
3h
)y20(.30tghh)y20(.30tg)y20(
h
.a.c
.o.c30tg
metros10y
y220yy320y.3)y20(
y.3.3)y20(.3y.3)y20(.3
3
y.3h)II()y20(.3
3h)I(
Igualando o h das equações ( I ) e (II)
Como
metros17h
10.7,1h
y.3h
30 metros
17 metros para subir a árvore
17 metros para descer da árvore
Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
v = 0,2 m/s
segundos20eutosmin5touutosmin333,5t
60
segundos320tsegundos320
2,0
64t
V
stst.V
t
sV
Portanto
RESUMÃO DE FÓRMULAS
Relações básicas
sen2 α + cos2 α = 1tan α . cot α = 11 + tan2 α = 1 / cos2 α1 + cot2 α = 1 / sen2 α
Relações com quadrantes
Obs: valores de ângulos em graus. Conversão para radianos:
90 → π/2 180 → π 270 → 3π/2 360 → 2π
sen (90 + α) = + cos α sen (90 − α) = + cos α sen (180 + α) = − sen α sen (180 − α) = + sen αcos (90 + α) = − sen α cos (90 − α) = + sen αcos (180 + α) = − cos α cos (180 − α) = − cos α
RESUMÃO DE FÓRMULAS
tag (90 + α) = − cot α tan (90 − α) = + cot αtan (180 + α) = + tan α tan (180 − α) = − tan αcot (90 + α) = − tan α cot (90 − α) = + tan αcot (180 + α) = + cot α cot (180 − α) = − cot αsen (270 + α) = − cos α sen (270 − α) = − cos αsen (360 + α) = + sen α sen (360 − α) = − sen αcos (270 + α) = + sen α cos (270 − α) = − sen αcos (360 + α) = + cos α cos (360 − α) = + cos αtan (270 + α) = − cot α tan (270 − α) = + cot αtan (360 + α) = + tan α tan (360 − α) = − tan αcot (270 + α) = − tan α cot (270 − α) = + tan αcot (360 + α) = + cot α cot (360 − α) = − cot αsen (−α) = − sen α cos (−α) = + cos αtan (−α) = − tan α cot (−α) = − cot αsen (α ± k 360) = + sen α cos (α ± k 360) = + cos αtan (α ± k 180) = + tan α cot (α ± k 180) = + cot α
O símbolo k significa um número inteiro e positivo.
RESUMÃO DE FÓRMULAS
Relações com soma / diferença de ângulos
sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen βcos (α ± β) = cos α cos β ± sen α sen βtan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ± tan α tan β)cot (α ± β) = (cot α cot β ± 1) / (cot β ± cot α)
Relações com soma / diferença / produto de funções
sen α + sen β = 2 sen (α + β)/2 . cos (α − β)/2sen α − sen β = 2 cos (α + β)/2 . sen (α − β)/2cos α + cos β = 2 cos (α + β)/2 . cos (α − β)/2cos α − cos β = − 2 sen (α + β)/2 . sen (α − β)/2
a sen x + b cos x = √ (a2 + b2) sen (x + φ) onde φ = arctan b/a se a ≥ 0 ou φ = arctan b/a ± π se a < 0
tan α ± tan β = sen (α ± β) / (cos α cos β)cot α ± cot β = sen (β ± α) / (sen α sen β)sen α sen β = (1/2) cos (α − β) − (1/2) cos (α + β)sen α cos β = (1/2) sen (α + β) + (1/2) sen (α − β)cos α cos β = (1/2) cos (α + β) + (1/2) cos (α − β)tan α tan β = (tan α + tan β) / (cot α + cot β) = − (tan α − tan β) / (cot α − cotβ)cot α cot β = (cot α + cot β) / (tan α + tan β) = − (cot α − cot β) /(tan α − tan β)cot α tan β = (cot α + tan β) / (tan α + cot β) = − (cot α − tan β) /(tan α − cot β)
RESUMÃO DE FÓRMULAS
Relações diversas
sen α = 2 sen α/2 . cos α/2cos α = cos2 α/2 − sen2 α/2tan α = sen α / cos αcot α = cos α / sen αsen α = tan α / √(1 + tan2 α)cos α = cot α / √(1 + cot2 α)tan α = sen α / √(1 − sen2 α)cot α = cos α / √(1 − cos2 α)sen α = √(cos2 α − cos 2α)
Relações diversas
cos α = 1 − 2 sen2 α/2tan α = √[ (1/cos2 α) − 1 ]cot α = √[ (1/sen2 α) − 1 ]sen α = √[ (1 − cos 2α) / 2 ]cos α = √[ (1 + cos 2α) / 2 ]tan α = [ √(1 − cos2 α) ] / cos αcot α = [ √(1 − sen2 α) ] / sen αsen α = 1 / √(1 + cot2 α)cos α = 1 / √(1 + tan2 α)sen 2α = 2 sen α cos α
Relações diversas
cos 2α = cos2 α − sen2 αcos 2α = 2 cos2 α − 1cos 2α = 1 − 2 sen2 αtan 2α = 2 tan α / (1 − tan2 α)tan 2α = 2 / (cot α − tan α)cot 2α = (cot2 α − 1) / (2 cot α)cot 2α = (1/2) cot α − (1/2) tan αsen α/2 = √[ (1 − cos α) / 2 ]cos α/2 = √[ (1 + cos α) / 2 ]tan α/2 = sen α / (1 + cos α)cot α/2 = sen α / (1 − cos α)tan α/2 = (1 − cos α) / sen αcot α/2 = (1 + cos α) / sen αtan α/2 = √[ (1 − cos α) / (1 + cos α) ]
Pessoal, espero ter contribuído um pouco mais para o seu sucesso.
Abraços
Fred Tavares