31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf

8/19/2019 31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf

1/36

Σαρτήσεις - Όρια

Επααληπτικές Ασκήσεις

www.askisopolis.gr

Στέλιος Μιαήλογλο Δημήτρης Πατσιμάς

Εάγγελος Τόλης


2/36


3/36

www.askisopolis.gr Συναρτήσεις - Όρια

1

Επαναληπτικές Ασκήσεις στις

Συναρτήσεις και τα Όρια

1. Δίνεται η συνάρτηση f x x x x, x .

α) Να αποδείξετε ότιx x

x xlim lim 0

x x

β) Να υπολογίσετε τα όρια:

i. xlim f x

ii. x1

lim lnf x

iii. x1

lim f xf x

γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2

.

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0x 0,2

τέτοιο, ώστε 0 0 0x x x .

2. Έστω συνάρτηση f με σύνολο τιμών το ,για την οποία ισχύει ότι f xe f x x γιακάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να αποδείξετε ότι 1 xf x e x .γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική

παράσταση της 1f .δ) Να υπολογίσετε τα όρια:

i. 1 2xlim f x 1 x

ii. 1 x x

xlim ln f x x ln 2 5

ε) Να υπολογίσετε το όριο

2

f xx 1

f xlim

x e , αν είναι γνωστό ότι

x 1limf x 0

.

3. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει ότι 3 3f x f x x 2x 2 για κάθε x . Να αποδείξετε ότι:

α) Η f αντιστρέφεται.

β) Η εξίσωση υπάρχει μοναδικός 0,1 τέτοιος, ώστε f 0 .γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από τη γραφική παράσταση της 1f .

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0,1 τέτοιο, ώστε

10

10 102f f 10 f 10 .

ε) Να υπολογίσετε το όριο:

x x

x xx

f 2 f 3lim

f 3 f 4

.

στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το .


4/36


2

4. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 1 x , x .α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2

2 2x 1 x 1 x 1 x 10 3 έχει

μοναδική ρίζα.

δ) Να δείξετε ότι υπάρχει 0x 1,2 τέτοιο, ώστε 2

0 0f x x 2 .

5. Δίνεται συνάρτηση f : 0, με την ιδιότητα x

f x f y f y

, για κάθε

x, y 0 . Έστω ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει μοναδική ρίζα.α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β) Να αποδείξετε ότι

1

1

1

f f

f

για κάθε κ, λ .

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3

x x 2x 2f e f 2 f f 3

2

.

δ) Έστω ότι επιπλέον για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση f x ln y f y ln x γιακάθε x, y 0 .

i. Να αποδείξετε ότι f x ln x .ii. Να υπολογίσετε τα όρια:

2x 0f x 1

limf x ln x 2

και 2

xlim 2f x 1 f x x 1

6. Δίνεται η συνάρτηση xf x e x, x .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 0x τέτοιος ώστε 0x

0e x , .γ) Να υπολογίσετε τα όρια:

i.

x

xx

f x x 2lim

f x x 3

ii.

x x3

x 1

f x e f x elim

x 1

δ) Να λύσετε την ανίσωση 2 4 3f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 .

7. Δίνεται συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει ότι

f x x

e f x xe ln x x για κάθε x 0 .

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, .

β) Να δείξετε ότι f x ln x x .

γ) Να δείξετε ότι

ln

1

για κάθε 0 .

δ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από τη γραφική παράσταση της 1f .

ε) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός 0x για τον οποίο ισχύει

0 0ln x x , .


5/36


3

8. Δίνεται η συνάρτηση f x x 1 1 .α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1f .

γ) Σε ένα πρόχειρο σχήμα να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1f .

δ) Να υπολογίσετε το όριο

23

2x 26

f x f x 1 1lim

f x 1 1

.

ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 2 4 3f x 1 x x x x έχει τουλάχιστον μια ρίζα

στο διάστημα 0,1 .

9. Δίνεται η συνάρτηση f x x 1 x .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει: 1 1 .

ε) Να υπολογίσετε το όριο xlim f x 1 f x

.

10.Δίνεται συνάρτηση f : 0, συνεχής στο 0x 0 για την οποία ισχύει ότι

f x y f x f y για κάθε x, y .

α) Να δείξετε ότι 1

f xf x

, x .

β) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο .

γ) Αν η f είναι 1-1, να λύσετε την εξίσωση

1821f x f x

f 2 f 2x .

Έστω ότι για την f επιπλέον ισχύει ότι ( )

( )

x

y

f x e

f ye= για κάθε x,y ∈ .

δ) Να δείξετε ότι xf x e .


xf 4x f x

limf 3x f 2x

.

11.Δίνεται η συνάρτηση x

x

ef x

e 1

.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της.γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει το 1 11

f f 2

.

ε) Έστω g x 1 lnx .

i. Να ορίσετε τη συνάρτηση 1f g x και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία.

ii. Αν 1 e 1 , να αποδείξετε ότι:

1 ln ln

1 ln 1 ln 1

.


6/36


4

12. Έστω συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι x 0lim 2f x f x 0

.

α) Να δείξετε ότι x 0limf x 0

.

Έστω ότι ( ) ( ) 32f x f x x x+ − = + για κάθε x ∈ .

β) Να δείξετε ότι

3f x x x .

γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να λύσετε την ανίσωση 1 1f f x 1 .

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xf x e έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα.ε) Να υπολογίσετε τα όρια:

i. x1

lim f xf x

ii.

1

x 2

f x 1lim

x 2

13.Δίνεται η συνάρτηση x 2

f xx 1

, 2 .

α) Να βρείτε τη τιμή του για την οποία f f x x για κάθε x 1 .β) Έστω 1 .i. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.ii. Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f.iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

iv. Να λύσετε την εξίσωση f f f f f x f f x x 4 .

14. Έστω συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι: f x y f x f y για κάθεx, y .

α) Να αποδείξετε ότι f 0 0 .β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.

γ) Αν η f είναι συνεχής στο 0x 0 , να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο .

Έστω ότι η εξίσωση ( )f x 0= έχει μοναδική ρίζα.

δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

ε) Αν f 1 0 να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

στ) Να λύσετε την ανίσωση x x x xf 3 f 2 4 f 4 f 5 .

15.Δίνεται η συνάρτηση f x ln x x 1, x 0 .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να λύσετε τις ανισώσεις:i. f x 0

ii. ln x x e 1 iii. ln f x f x e 1

γ) Δίνεται συνάρτηση g : 0, για την οποία ισχύει ότι g xg x e 1 f x για

κάθε x 0 . Να δείξετε ότι g x ln x, x 0

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 1,e τέτοιο, ώστε 2g 2 .


7/36


5

16.Δίνεται η συνάρτηση f x x 2 x 1 x 2 x 1 .

α) Να αποδείξετε ότι 2, 1 x 2

f x2 x 1, x 2

.

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

δ) Να υπολογίσετε το όριο

x 2

f f x 2lim

x 2

.

ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0x 2,5 τέτοιο, ώστε:

3 2 30 0 0 0 0f x f x 3f x x x

17.Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f x f xe e 2x για κάθε x και f 0 0 .

α) Να δείξετε ότι 2f x ln x 1 x , x .β) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή.γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

18.Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο 1, για την οποία ισχύει ότι

2 2 2 2x f x 1 x ln x 2xf x για κάθε x 0 και e 1

f ee

.

α) Να δείξετε ότι 1

f x ln x , x 1x

.

β) Να βρείτε στο 1, το πλήθος των ριζών της εξίσωσης xln x 1 0 .

γ) Να λύσετε την ανίσωση 21

ln ln x e 2ln x

, x 1 .

δ) Να δείξετε ότι e

για κάθε ,

με .


2

2

x e

x ln x xf x 2x 1lim

ln x 2

.

19.Δίνεται η συνάρτηση x xf x 2 3 1 ,x .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .

β) Να λύσετε την εξίσωση2 2

x 3x 2x 4 2x 4 x 3 x2 2 3 3 γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) , 0 .


xf x

limf x 1

.

20. Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει 2 2f x x 2xf x για κάθεx .

α) Να αποδείξετε ότι

x 0

f xlim 1

x .

β) Να υπολογίσετε το όριο 2x 0

f xlimx x

.


8/36


6

γ) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο .

i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h x f x x διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα

από τα διαστήματα ,0 και 0, .ii. Να βρείτε όλους τους δυνατούς τύπους της .

21. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο 0,1 για την οποία ισχύουν οι

σχέσεις:

x 0

f x 5lim 4

x

και

3 22 x 1 10 x 1 x 1 f x 8x 14x 6 για

κάθε x 0,1 .

α) Να υπολογίσετε τα όρια x 0lim f x

και

x 1lim f x

.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης h x f x ln x 4 , x 0,1 .

γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 4g x e τέμνει την

y x σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη 0x 0,1 .

δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f x4xe e στο διάστημα 0,1 για κάθε .


9/36


7

1. Δίνεται η συνάρτηση ( ) f x x x x, x= + ηµ − συν ∈ .

α) Να αποδείξετε ότιx x

x xlim lim 0

x x→+∞ →+∞

ηµ συν= =

β) Να υπολογίσετε τα όρια:

i. ( )xlim f x→+∞ ii. ( )x1

lim ln f x→+∞ iii. ( ) ( )x1

lim f x f x→+∞ ηµ

γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2

π

.

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0x 0,2

π ∈

τέτοιο, ώστε 0 0 0x x x+ ηµ = συν

Λύση

α) Για κάθε x 0 έχουμε:xx 1 1

x x x x

1 x 1

x x x

Είναιx x

1 1lim 0 lim

x x

, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής είναι καιx

xlim 0

x .

Όμοια καιx

xlim 0

x

.

β) i. x x

x xlim f x lim x 1

x x

ii. Θέτουμε 1

uf x

, τότε x x1

lim u lim 0f x

. Επειδή xlim f x

είναι f x 0

κοντά στο 0x , οπότε: x 1lim ln f x u 0lim ln u .

iii. x u 0 u 01 1 u

lim f x lim u lim 1f x u u

γ) Έστω 1 2x ,x 0,2

με 1 2x x (1), τότε: 1 2x x (2) ,

1 2 1 2x x x x (3) και με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2), (3)

έχουμε: 1 1 1 2 2 2x x x x x x 1 2f x f x άρα η f είναι γνησίως

αύξουσα στο 0, 2

.

δ) 0 0 0 0 0 0 0x x x x x x 0 f x 0

Είναι f 0 1 0 , f 1 02 2

, δηλαδή f 0 f 02

και επειδή η f είναι συνεχής

στο 0,2

, λόγω του θεωρήματος Bolzano, υπάρχει 0x 0,2

τέτοιο, ώστε

0f x 0 0 0 0x x x . Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2

το 0x

είναι μοναδικό.


10/36


8

2. Έστω συνάρτηση f με σύνολο τιμών το ,για την οποία ισχύει ότι ( ) ( )

f xe f x x+ = για

κάθε x ∈ .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να αποδείξετε ότι ( )1 xf x e x− = + .γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική

παράσταση της 1f − .

δ) Να υπολογίσετε τα όρια:

i. ( )1 2xlim f x 1 x−→+∞

+ −

ii. ( )( ) ( )1 x xxlim ln f x x ln 2 5−→+∞

− − +

ε) Να υπολογίσετε το όριο( )

( )

2

f xx 1

f xlim

x e→ −, αν είναι γνωστό ότι ( )

x 1limf x 0

→= .

Λύση

α) Έστω ότι υπάρχουν 1 2x ,x

με 1 2x x τέτοια, ώστε 1 2f x f x (1),τότε:

1 2f x f xe e (2) και με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2) έχουμε:

1 2f x f x1 2 1 2f x e f x e x x που είναι άτοπο. Άρα 1 2f x f x και η f είναιγνησίως αύξουσα στο .

β) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 οπότε αντιστρέφεται.

Θέτουμε f x y , τότε η σχέση f xe f x x γίνεται:

y 1 ye y x f y e y, y , άρα 1 xf x e x, x ,

γ) Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των f και 1f είναι συμμετρικές ως προς την y x , η f C

βρίσκεται κάτω από την 1f C όταν βρίσκεται κάτω από την y x .

f x xf x x e e οπότε και f x xf x e x e x x x xe e 0 ισχύει.

δ) i. Θέτουμε2x 1 x u

Είναι 2 2

2

2x x x

x 1 x x 1 xlim u lim x 1 x lim

x 1 x

2

x

xlim

21 x x

2 2

1lim 0

1 1x 1 x x 1 1

x x

, οπότε

1 2xlim f x 1 x

1 u

u 0 u 0limf u lim e u 1

,

ii. 1xlim ln f x x

x xln 2 5

x

x x

eu

x 2 5

x xx x u 0 u 0

elim ln lim ln u

2 5

αφούx x

x x xx x

x

e elim lim

2 525 15

x

xx

e 1lim 0

5 21

5


11/36


9

ε)

2 2f (x) y

1 yf xx 1 x 1 y 0 y 0

f x ylim lim

f y ex e

2

yy 0

ylim

e yy e

2

y 0

ylim

y0

3. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει ότι

( ) ( )3 3f x f x x 2x 2+ = + − για κάθε x ∈ . Να αποδείξετε ότι:α) Η f αντιστρέφεται.

β) Η εξίσωση υπάρχει μοναδικός ( )0,1ρ∈ τέτοιος, ώστε ( )f 0ρ = .γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από τη γραφική παράσταση της 1f − .

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ( )0,1ξ∈ τέτοιο, ώστε

( ) ( ) ( )10

10 102f f 10 f 10− −ξ = + .

ε) Να υπολογίσετε το όριο:

( ) ( )

( ) ( )

x x

x xx

f 2 f 3

limf 3 f 4→−∞

+ −

.

στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το .

Λύση

α) Έστω 1 2x ,x με 1 2x x , τότε 1 22x 2x και3 3

1 2x x , οπότε και

3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2x 2x x 2x x 2x 2 x 2x 2 f x f x f x f x (1)

Έστω 3g x x x, x .

Έστω 1 2x ,x με 1 2x x , τότε3 3

1 2x x και 3 3

1 1 2 2 1 2x x x x g x g x g 1 .

g

1 2 1 21 g f x g f x f x f x f f 1 1 1

1 και αντιστρέφεται.

β) Για x 0 είναι 3 2f 0 f 0 2 f 0 f 0 1 2 και επειδή 2f 0 1 0 , είναι

f 0 0 .

Για x 1 είναι 3 2f 1 f 1 1 f 1 f 1 1 1 και επειδή 2f 1 1 0 , είναι

f 1 0 .

Επειδή f 0 f 1 0 και η f είναι συνεχής στο 0,1 , λόγω του θεωρήματος Bolzano,

υπάρχει 0,1

τέτοιος, ώστε f 0

. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα το ρ είναιμοναδικό.

γ) Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των f και 1f είναι συμμετρικές ως προς την y x , η f C

βρίσκεται πάνω από την 1f C όταν βρίσκεται πάνω από την y x . Δηλαδή:

1 3 3f x f x f x x f x x άρα και 3 3f x f x x x 3x 32x 2 x x x 2 ,

δ) Η f είναι γνησίως αύξουσα άρα:: 10f 0 f 10 f 1 , 10

10f 0 f 10 f 1 και

10 10

10 10 10 1012f 0 f 10 f 10 2f 1 f 0 f 10 f 10 f 12


12/36


10

Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει 0,1 : 1 1

f f f 0,012 e

και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, το ξ είναι μοναδικό.

ε) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει ότι 0 f 1 f 2 f 3 f 4 , οπότε:

x

x

x x

x x xx xx

f 3f 2 1

f 2f 2 f 3lim lim

f 3 f 4 f 4f 3 1

f 3

x

x

xx

f 31

f 2f 2lim

f 3 f 4

1 f 3

γιατί

f 20 f 2 f 3 1

f 3 άρα

x

x

f 2lim

f 3

,

f 31

f 2 και

x

x

f 3lim 0

f 2

,

x

x

f 4 f 41 lim 0

f 3 f 3

.

στ) Επειδή f x x για κάθε x 2 , είναι f x x για κάθε x 2 , άρα

1 1f x x 0 0

x f x

και από Κ.Π. είναι x

1lim 0

f x , άρα

x

lim f x

.

Όμοια xlim f x

, οπότε η f έχει σύνολο τιμών το .

4. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x x 1 x= + − , x ∈ .α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )2

2 2x 1 x 1 x 1 x 10 3+ − + − + + = − έχει

μοναδική ρίζα.

δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )0x 1,2∈ τέτοιο, ώστε ( )2

0 0f x x 2= − .

Λύση

α) 2

2 2 11 2 1 1 2 2

x 1f x f x x 1 x x 1 x

2

2x 1 1 22 2

1 1

x xx 1 x 1

1 2 1 21 2 1 22 2

1 1

x x x xf x f x x x

x 1 x 1

1 21 2

2 2

1 2

x xx x 1

x 1 x 1

,

2 2

1 2 1 2

1 2 2 21 2

x x x 1 x 1x x

x 1 x 1


13/36


11

Είναι2 2x 1 x x 2 2 2x 1 x x 1 x x 1 0 , άρα

2

1 1x x 1 0 ,2

2 2x x 1 0 και επειδή 1 2x x 0 είναι

1 2 1 2f x f x 0 f x f x f 2 .

β) Είναι xlim f x

2x

1lim x 1 1

x

και

2

x x

xlim f x lim

21 x

2 x

2

1lim 0

1x 1 xx 1 1

x

.

Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο έχει σύνολο τιμών το

f A 0, .

γ) 2

2 2 2x 1 x 1 x 1 x 10 3 f x 1 f x 10 3

1 1

f f x f 3 f x 3

.

Επειδή το 3 ανήκει στο σύνολο τιμών της f και η f είναι γνησίως φθίνουσα, η εξίσωση

f x 3 έχει μοναδική ρίζα.

δ) Έστω 2g x f x x 2, x 1,2 .

Είναι g 1 f 1 1 2 2 1 1 2 0 , g 2 f 2 4 2 5 2 2 5 4 0

δηλαδή g 1 g 2 0 και επειδή η g είναι συνεχής στο 1,2 ως άθροισμα συνεχών

συναρτήσεων, λόγω του θεωρήματος Bolzano, υπάρχει 0x 1,2 τέτοιο, ώστε

0g x 0 2

0 0f x x 2 .

5. Δίνεται συνάρτηση ( ) f : 0,+∞ → με την ιδιότητα ( ) ( )x

f x f y f y

− =

, για κάθε

x,y 0> . Έστω ότι η εξίσωση f(x) 0= έχει μοναδική ρίζα.α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )

( )

1

1

1

f f

f

−−

−

κ κ − λ =

λγια κάθε κ, λ ∈ .

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) ( )3

x x 2x 2f e f 2 f f 3

2

− + ++ = +

.

δ) Έστω ότι επιπλέον για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση ( ) ( )f x lny f y ln x+ = + γιακάθε x,y 0> .

i. Να αποδείξετε ότι ( )f x lnx= .ii. Να υπολογίσετε τα όρια:

( )

( )2

x 0

f x 1lim

f x lnx 2+→

+

− +και ( ) ( )

( )

2

x

lim 2f x 1 f x x 1→+∞

+ − + +

Λύση


14/36


12

α) Η σχέση: x

f x f y f y

1 για x y 1 γίνεται:

f 1 f 1 f 1 f 1 0 . Οπότε η x 1 είναι η μοναδική ρίζα της f.

Έστω 1 2x ,x 0 με 1 2f x f x . Η σχέση 1 για 1x x και 2y x , γίνεται:

1 1 11 2 1 22 2 2

x x xf x f x f f 0 1 x x

x x x

, οπότε η f είναι 1 1 , οπότε

αντιστρέφεται.

β) Έστω f x κ και f y λ , τότε 1x f κ και 1y f λ .

Είναι x

f x f y f y

, άρα:

1

1 1 1 1

1

f κ x xf f x f y f f f κ λ f κ λ

y y f λ

.

γ) Πρέπει xe 0 που ισχύει και3

x 2x 20

2

(1)

3 3

x xx 2x 2 x 2x 2f e f 2 f f 3 f e f 3 f f 22 2

3

x x1 1

x 2x 2e e2f f 3 3 3

3x 2x 2

2 3

x 32e x 2x 2 0

Έστω x 3g x 2e x 2x 2, x . Εύκολα αποδεικνύεται ότι η g είναι γνησίως

φθίνουσα στο . Επιπλέον είναι g 0 0 , οπότε η x 0 είναι η μοναδική ρίζα της

g x 0 και επειδή επαληθεύει την (1) είναι η λύση της εξίσωσης.

δ) i. x x

f x ln y f y ln x f x f y ln x ln y f lny y

και θέτοντας

xu 0

y προκύπτει f u ln u, u 0 άρα και f x ln x, x 0 .

ii.

ln x u

2 2u u ux 0f x 1 u 1 ulim lim lim

f x ln x 2 u u 2

2u0 και

2

2 2

2x x x

x 1lim 2f x 1 f x x 1 lim 2ln x 1 ln x x 1 lim ln

x x 1

Είναι

2 2 2

2 2 2x x x

x 1 x 2x 1 xlim lim lim 1

x x 1 x x 1 x

, άρα θέτοντας

2

2

x 1u

x x 1

έχουμε:

2

2x u 1

x 1lim ln limln u 0

x x 1


15/36


13

6. Δίνεται η συνάρτηση ( ) xf x e x, x= + ∈ .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός 0x ∈ τέτοιος ώστε 0x

0e x ,= α − α ∈ .

γ) Να υπολογίσετε τα όρια:

i. ( )( )

x

xx

f x x 2limf x x 3→+∞

− +− +

ii. ( ) ( )x x3

x 1

f x e f x elimx 1→

− − −−

δ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ) ( ) ( )2 4 3f x 1 f x 1 f x 1 f x 1− + − > − + − .

Λύση

α) Έστω 1 2x ,x με 1 2x x , τότε 1 2x x

e e και 1 2x x1 2e x e x 1 2f x f x

f 1 .

β) 0 0x x0 0 0e x e x f x .

Είναι xx xlim f x lim e x και xx xlim f x lim e x .Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο έχει σύνολο τιμών το f A .

Επειδή , υπάρχει μοναδικός 0x τέτοιος ώστε 0x

0 0f x e x .

γ) i.

x x

xx x

f x x 2 e xlim lim

f x x 3

x x

x

2

e x

x

x

x

x xxx

2e 1

elim

3 e3 1

3

x

x

xx

21e e

lim 03 e

13

ii. x x x3

x 1 x 1

f x e f x e elim lim

x 1

xx e x3 e xx e 3

x 1

x xlim

x 1 x 1

Θέτουμε 6 x u , τότε 23 x u , 3x u και 6x u , οπότε:

22 336

x 1 u 1 u 1

u u 1x x u ulim lim lim

x 1 u 1

u 1 5 4 3 2

1

6u u u u u 1

δ) Είναι 2 2x 1 x 1 x x x x 1 και 4 3 4 3 3x 1 x 1 x x x x 1 Αν x 0 ή x 1 είναι

f

2 2 2x x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 f x 1 f x 1 1

(1) και

f

3 4 3 4 3 4 3x x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 f x 1 f x 1 1

(2)

2 4 31 2 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 .

Όμοια αν 0 x 1 προκύπτει

2 4 3f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 .

Άρα 2 4 3f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 x 0 ή x 1 .


16/36


14

7. Δίνεται συνάρτηση ( ) f : 0,+∞ → για την οποία ισχύει ότι( ) ( )

f x xe f x xe ln x x+ = + + για κάθε x 0> .

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0,+∞ .

β) Να δείξετε ότι ( )f x lnx x= + .

γ) Να δείξετε ότι

ln

1

αβ <

β − αγια κάθε 0 < α < β .

δ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από τη γραφική παράσταση της 1f − .

ε) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός 0x για τον οποίο ισχύει

0 0

lnx x ,= α − α∈ .

Λύση

α) Έστω 1 2x ,x 0 με 1 2x x (1), τότε1 2x x

e e και1 2x x

1 2x e x e (2) , 1 2ln x ln x (3),οπότε από (1) +(2) +(3) έχουμε: 1 21 2 f x f xx x1 1 1 2 2 2 1 2x e ln x x x e ln x x e f x e f x (4).

Έστω xg x e x, x . Εύκολα αποδεικνύεται ότι g 1 , οπότε από τη (4) έχουμε:

g

1 2 1 2g f x g f x f x f x f 0, 1

1 .

β) f x f xx ln x xe f x xe ln x x e f x e e ln x x

g1 1

f x ln x xe f x e ln x x g f x g ln x x f x ln x x

.

γ) ln

1 ln ln ln ln f f

που ισχύει αφού

0 και f 0,1

δ) Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των f και 1f είναι συμμετρικές ως προς την y x , η f C

βρίσκεται πάνω από την 1f C όταν βρίσκεται πάνω από την y x . Δηλαδή:

1f x f x f x x ln x x x ln x 0 x 1 .

ε) 0 0 0 0 0ln x x ln x x f x .Είναι

x 0 x 0lim f x lim ln x x

και

x xlim f x lim ln x x

.

Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A 0, έχει σύνολο τιμών το

f A , . Επειδή υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός 0x για τον

οποίο ισχύει 0f x 0 0ln x x .


17/36


15

8. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x 1 1= − + .α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1f − .

γ) Σε ένα πρόχειρο σχήμα να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και 1f − .

δ) Να υπολογίσετε το όριο ( ) ( )( )( )( )

23

2x 26

f x f x 1 1lim

f x 1 1→

− − −− −

.

ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )( )4 2 4 3

f x 1 x x x x− = + − − έχει τουλάχιστον μια ρίζα

στο διάστημα ( )0,1 .

Λύση

α) Για να ορίζεται η f πρέπει x 1 0 x 1 , άρα f A 1, .

Έστω 1 2x ,x 1, με 1 2x x , τότε 1 2 1 2x 1 x 1 x 1 x 1

1 2x 1 1 x 1 1 1 2f x f x f 1, f 1 1 1 και αντιστρέφεται.Θέτουμε f x y x 1 1 y x 1 y 1

Πρέπει y 1 0 y 1 , τότε 2 2 2 2x 1 y 1 x 1 y 2y 1 x y 2y 2

άρα 1 2f y y 2y 2, y 1 , οπότε και 1 2f x x 2x 2, x 1 .

β) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα τα κοινά σημεία των 1f f C ,C βρίσκονται στην y x ,

επομένως:

1 1 2 2f x f x f x x x 2x 2 x x 3x 2 0 x 1 ή x 2

Κοινά σημεία τα 1,1 και 2,2 .

γ)

δ)

23

2x 2 x 26

x 1 1 x 1 1f x f x 1 1lim lim

f x 1 1

1 2

3 1

x 1 1

1 2

6 1

3

6x 2

x 1 x 1lim

x 1 1

Θέτουμε 6 x 1 u , τότε 23 x 1 u και 3x 1 u . Όταν x 2 τότε u 1 και το

όριο γίνεται: 23 2

u 1 u 1

u u 1u ulim lim

u 1

u 1 1

ε) 2 2 4 3f x 1 x x x x x 1 1 1

22 4 3x x x x

2x 22x 1 x 4 3 4 3x x x x x 3x 1 0


18/36


16

Με σχήμα Horner η εξίσωση γράφεται 3 2x 1 x 2x 2x 1 0 x 1 απορρίπτεται

ή 3 2x 2x 2x 1 0 Έστω 3 2g x x 2x 2x 1, x 0,1 .

Είναι g 0 1 0, g 1 4 0 δηλαδή g 0 g 1 0 και επειδή η g είναι συνεχής στο

0,1 , λόγω του θεωρήματος Bolzano, η εξίσωση g x 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο

0,1 .

9. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x 1 x= + + .α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 ≤ α < β ισχύει: 1 1β + − β < α + − α .


( ) ( )( )xlim f x 1 f x→+ ∞ + −

.

Λύση

α) Για να ορίζεται η f πρέπει:x 0 x 0

x 0x 1 0 x 1

, άρα f A 0, .

Έστω 1 2x ,x 0, με 1 2x x , τότε 1 2x x , 1 2 1 2x 1 x 1 x 1 x 1

οπότε και1 1 2 2

x 1 x x 1 x 1 2f x f x f 0, 1 .

β) Είναι x xlim f x lim x 1 x

και f 0 1 .

Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο 0, έχει σύνολο τιμών το

x

f A f 0 , lim f x 1,

.

γ) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και 1-1 και αντιστρέφεται.

Θέτουμε f x y x 1 x y και επειδή y 1 έχουμε:

2

2 2x 1 x y x 1 2 x 1 x x 2 x x 1 y 2x 1

2 22 2 2 4 2

4 x x y 2x 1 4x 4x y 2y 2x 1 2x 1

2

4x 4x

4 2 2 2

y 4y x 2y 4x 4x

4 22 4 2

2

y 2y 1

1 4y x y 2y 1 x 4y

άρα 4 2

1

2

y 2y 1f y , y 1

4y

, οπότε και 4 2

1

2

x 2x 1f x , x 1

4x

.

δ) 1 1

1 1 1 11 1

1

1

1 1 1

1 1 1


19/36


17

1 1f f

f f

ισχύει αφού 0 και f 0,1 .

ε) x xlim f x 1 f x lim x 2 x 1

x 1 x

x x x

x 2 x x 2 x xlim f x 1 f x lim lim

x 2 x

2 x

2x 1 x

x

x x x

2 2lim f x 1 f x lim lim 0

2 2x 1 x x 1 1

x x

.

10.Δίνεται συνάρτηση ( )f : 0,→ +∞ συνεχής στο 0x 0= για την οποία ισχύει ότι

( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = για κάθε x,y ∈ .

α) Να δείξετε ότι ( )( )

1f x

f x− = , x ∈ .

β) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο .

γ) Αν η f είναι 1-1, να λύσετε την εξίσωση( )

( )

( )

( )

1821f x f x

f 2 f 2x= .

Έστω ότι για την f επιπλέον ισχύει ότι ( )

( )

x

y

f x e

f ye= για κάθε x,y ∈ .

δ) Να δείξετε ότι ( ) xf x e= .

ε) Να υπολογίσετε το όριο ( ) ( )

( ) ( )xf 4x f x

limf 3x f 2x→+∞

−+

.

Λύση

α) Για x y 0 είναι 2f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 0 f 0 f 0 1 0

f 0 0 απορρίπτεται ή f 0 1 .Για y x είναι:

1f x x f x f x f 0 f x f x 1 f x f x f x

f x .

β) Για να είναι η f συνεχής στο αρκεί 0

0x xlim f x f x

ή 0 0h 0limf x h f x

, 0x .

Είναι 0 0 0 0 0h 0 h 0 h 0limf x h lim f x f h f x limf h f x f 0 f x

.

γ)

18211 1

1821 1821f x f x

f x f 2x f x f 2 f x 2x f x 2f 2 f 2x

1821 1821x 2x x 2 x x 2 0 (1) Έστω 1821g x x x 2, x . Εύκολα αποδεικνύεται ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο

, οπότε είναι και 1-1. Τότε 1 1

1 g x 0 g x g 1 x 1

.


20/36


21/36


19

x x

f A lim f x , lim f x 0,1

.

γ) f 1 1 1 οπότε αντιστρέφεται.

Θέτουμε x

x x x x x

x

ef x y y e ye y e ye y e 1 y y

e 1

(1).

Επειδή y 0,1 η (1) γίνεται: x y y

e x ln1 y 1 y

, άρα 1 y

f y ln , y 0,11 y

οπότε και 1 x

f x ln , x 0,11 x

.

δ) Έστω ότι 1 1 1

f f 2

τότε

1 1 1 11 1 1

f f f f f f f f f f 2 2 2

f

f

1 e 1f f

2 2e 1

f f f 2e e 1 e 1 f 0 που είναι αδύνατο

αφού f 0,1 .

ε) i. Είναι gA 0, .

Για να ορίζεται η 1f g πρέπει:

1g

f

x A x 0 x 0 x 0

g x A 1 ln x 0,1 0 1 ln x 1 1 ln x 0

x 0 x 01 x e

0 ln x 1 1 x e

, οπότε 1f gA 1,e .

Είναι 1 1 1 ln x

f g x f g x ln ln 1 ln x ln xln x

.

Έστω 1 2x , x 1,e με 1 2x x , τότε: 1 2 1 2ln x ln x ln x ln x 2 και

1 2 1 21 ln x 1 ln x ln 1 ln x ln 1 ln x (3) και με πρόσθεση κατά μέλη των (2)

και (3) έχουμε: 1 1 2 2ln 1 ln x ln x ln 1 ln x ln x

1 1 11 2f g x f g x f g 1,e 2 .

ii.

1 ln 1 1 ln 11 ln ln 1 ln 1 lnln ln1 ln 1 ln 1 ln ln 1 ln ln 1

1

f g1 1f g f g 1 1

2

ισχύει.

12. Έστω συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει ότι ( ) ( )( )x 0lim 2f x f x 0

→+ − = .

α) Να δείξετε ότι ( )x 0limf x 0

→= .

Έστω ότι ( ) ( ) 32f x f x x x+ − = + για κάθε x ∈ .

β) Να δείξετε ότι ( )

3

f x x x= + .γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να λύσετε την ανίσωση ( )( )1 1f f x 1− − > .


22/36


20

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) xf x e−= έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα.ε) Να υπολογίσετε τα όρια:

i. ( )( )x1

lim f xf x→+∞

ηµ

ii. ( )1

x 2

f x 1lim

x 2

−

→

−−

Λύση

α) Θέτουμε x u , τότε:

x 0 u 0lim 2f x f x 0 lim 2f u f u 0

οπότε και

x 0lim 2f x f x 0

(1)

x 0 x 0 x 0lim 2f x f x 0 2lim 2f x f x 0 lim 4f x 2f x 0

(2)

α΄ τρόπος

Από 1 2 x 0 x 0lim 2f x f x lim 4f x 2f x 0

x 0lim 2f x

f x 4f x 2f x

x 00 lim 3f x 0

x 0 x 0

3limf x 0 limf x 0

.

β΄ τρόπος

(1),(2)

x 0 x 0 x 0

1 1limf x lim 3f x lim f (x) 2f( x) 2f( x) 4f x 0

3 3

β) Αν στη σχέση 32f x f x x x (3) θέσουμε όπου x το x έχουμε:

3 32f x f x x x 2f x f x x x (4) και

33 4f x 2f x 2x 2x (5)

Με πρόσθεση κατά μέλη των (4) και (5) έχουμε: 3 33f x 3x 3x f x x x .

γ) Έστω 1 2x ,x με 1 2x x , τότε: 3 3

1 2x x και 3 3

1 1 2 2 1 2x x x x f x f x

f 1 1 1 οπότε η f αντιστρέφεται.

f

1 1 1 1 1 1f f x 1 f f f x f 1 f x 2 f f x f 2 x 10 1

δ) Έστω x 3 xg x f x e x x e , x .

Έστω 1 2x ,x με 1 2x x , τότε: 1 2 1 2x x x x

1 2x x e e e e ,

οπότε και 1 2x x1 2 1 2f x e f x e g x g x g 1 .

Είναι 3 x

x xlim g x lim x x e

, 3 x

x xlim g x lim x x e

και επειδήη g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο , έχει σύνολο τιμών το

x x

g A lim g x , lim g x

.

Επειδή το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών της g, η εξίσωση xg x 0 f x e έχειμοναδική ρίζα.

ε) i. Θέτουμε 1

uf x

. Είναι3 3x x x

1 1lim u lim lim 0

x x x

, οπότε:

x u 0 u 01 1 u

lim f x lim u lim 1f x u u


23/36


21

ii. Θέτουμε 1f x u x f u .

όταν x 2 , τότε f u 2 f u f 1 και επειδή η f είναι 1-1 ισχύει ότι u 1 .

Είναι

1

3x 2 u 1 u 1 u 1

f x 1 u 1 u 1 u 1lim lim lim lim

x 2 f u 2 u u 2

u 1 21

4u u 2

13.Δίνεται η συνάρτηση ( )x 2

f xx 1

α +=

−, 2α ≠ − .

α) Να βρείτε τη τιμή του α∈ για την οποία ( ) ( )f f x x= για κάθε x 1≠ .β) Έστω 1α =i. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.

ii. Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f.

iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

iv. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f x f f x x 4+ = + .

Λύση

α) Αρχικά για να ορίζεται η f f πρέπει:

f

f

x 1x A x 1

x 2f x A x 2 x 11

x 1

x 1

1 x 3

(1).

Αν 1 τότε

x 1x 1

3

1 x 3 x 1

, οπότε f f 3

1, 1

1

,

άρα 1 και τότε x 1

10 3 ύ

, άρα f f 1 . Τότε

x 2f x

x 1

και

x 2x 22

x 1f f x f f xx 2

1x 1

2x 2 x 1

x 2 x 1x 1

3xx

3

β) i. x 2 x 1 3 3

f x 1x 1 x 1 x 1

Έστω 1 2x x 1 , τότε 1 21 2

1 1x 1 x 1x 1 x 1

1 2 1 2

3 3 3 31 1

x 1 x 1 x 1 x 1

1 2f x f x f ,1 2 .

Έστω1 2

1 x x , τότε1 2

1 2

1 1x 1 x 1

x 1 x 1

1 2 1 2

3 3 3 31 1

x 1 x 1 x 1 x 1

1 2f x f x f 1, 2 .

ii. x x xx 2 x

lim f x lim lim 1x 1 x

, x x xx 2 x

lim f x lim lim 1x 1 x

,


24/36


22

x 1 x 1

1lim f x lim x 2

x 1

και

x 1 x 1

1lim f x lim x 2

x 1

Στο διάστημα 1 ,1 η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα

1xx 1

f lim f x , lim f x ,1

.

Στο διάστημα 2 1, η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα

2x x 1

f limf x , lim f x 1,

.

Το σύνολο τιμών της f είναι το 1 2f A f f ,1 1, 1 .

iii. Έστω 1 2x ,x 1 με 1 2f x f x 1 2

1 2

x 2 x 2

x 1 x 1

1 2x x 1 2x 2x 2 1 2x x 1 22x x 2 1 2x x f 1 1 , οπότε αντιστρέφεται

iv. x x

f f f f f x f f f f f x f f f x f x

.

f f f f f x f f x x 4 f x x x 4

x 24 x 2 4x 4 6 3x x 2

x 1

14.Έστω συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει ότι: ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + γιακάθε

x,y ∈ .

α) Να αποδείξετε ότι ( )f 0 0= .β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.

γ) Αν η f είναι συνεχής στο0x 0= , να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο .

Έστω ότι η εξίσωση ( )f x 0= έχει μοναδική ρίζα.δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

ε) Αν ( )f 1 0> να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

στ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ) ( ) ( )x x x xf 3 f 2 4 f 4 f 5+ ⋅ > + .

Λύση

α) Για x y 0 είναι f 0 f 0 f 0 f 0 0 .

β) Για y x είναι f x x f x f x f 0 f x f x

0 f x f x f x f x f περιττή.

γ) Επειδή η f είναι συνεχής στο 0x 0 ισχύει ότι x 0lim f x f 0 0

.

Για να είναι η f συνεχής στο αρκεί 0 0h 0limf x h f x

, 0x .

Είναι 0 0 0 0 0h 0 h 0 h 0limf x h lim f x f h f x limf h f x 0 f x

δ) Επειδή f 0 0 η x 0 είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f x 0 .


25/36


23

Έστω 1 2x , x με 1 2 1 2f x f x f x f x 0

1 2 1 2f x f x 0 f x x 0 1 2 1 2x x 0 x x f 1 1 .

ε) Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.

Έστω , , με .

Αρκεί να αποδείξουμε ότι f f f ή f f f .

Έστω ότι δεν ισχύει ο προηγούμενος ισχυρισμός και έστω ότι f f f , τότε

επειδή f f και η f είναι συνεχής στο , , λόγω του θεωρήματος ενδιάμεσων

τιμών υπάρχει , τέτοιο, ώστε f f . Επειδή όμως η f είναι 1-1 ισχύει ότι

που είναι άτοπο αφού , . Άρα η f είναι γνησίως μονότονη.

Επειδή 0 f 0 f 1 και η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα.

στ) f

x x x x x x x x x x x xf 3 f 2 4 f 4 f 5 f 3 2 4 f 4 5 3 2 4 4 5 1

x x

x x x 3 43 4 5 0 1 05 5

(1).

Έστω x x

3 4g x 1

5 5

, x .

Έστω1 2

x , x με 1 2x x τότε1 2x x3 3

5 5

,1 2x x4 4

5 5

, άρα και

1 1 2 2 1 1 2 2x x x x x x x x3 4 3 4 3 4 3 4

1 15 5 5 5 5 5 5 5

1 2g x g x g 2 .

g

1 g x g 0 x 0 2

.


26/36

www.askisopolis.gr Σπλαξηήζεο - Όξα

24

15. Δίλεηα ζπλάξηζ f x lnx x 1, x 0 .

α) Να ανδείμεηε όη f είλα γλζίωο αύμνπζα.

β) Να ιύζεηε ηο αλζώζεο:

i. f x 0 ii. lnx x e 1 iii. lnf x f x e 1

γ) Δίλεηα ζπλάξηζ g: 0, γα ηλ ννία ζρύε όη

g xg x e 1 f x

γα άε x 0 . Να δείμεηε όη g x ln x, x 0

δ) Να ανδείμεηε όη πάξρε 1,e ηέηνν, ώζηε2

g 2 .

Λύση

α) Έζηω 1 2x ,x 0, κε 1 2x x , ηόηε: 1 2ln x ln x (1) α 1 2x 1 x 1 (2)Με ξόζεζ αηά κέι ηωλ (1), (2) έρνπκε:

1 1 2 2 1 2ln x x 1 ln x x 1 f x f x άξα f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην

0, .

β) i. Παξαηξνύκε όη f 1 ln1 1 1 0 , νόηε:

f

f x 0 f x f 1 x 1 1

ii. ln x x e 1 ln x x 1 e f x e (3)

Παξαηξνύκε όη f e lne e 1 1 e 1 e , νόηε (3) γίλεηα:

f

f x f e x e 1

iii. ln f x f x e 1 ln f x f x 1 e f f x e (4)

Αξρά γα λα νξίεηα f f x ξέε:

f

x 0x 0x 1

f x 0 f x f 1 x 1

1 .

Η (4) γίλεηα: f f

f f x f e f x e f x f e x e 1 1

γ) Είλα g x g xg x e 1 f x g x e 1 ln x x 1

g x ln xg x e 1 ln x e 1 (5)

Θεωξνύκε η ζπλάξηζ xh x x e 1, x .

Έζηω 1 2x ,x κε 1 2x x (i), ηόηε: 1 2x x

e e (ii) α αό (i) + (ii) έρνπκε:

1 2 1 2x x x x1 2 1 2 1 2x e x e x e 1 x e 1 h x h x , άξα h είλαγλζίωο αύμνπζα ζην , νόηε είλα α 1 1 .

Αό η ζρέζ (5) έρνπκε: 1 1

h g x h ln x g x ln x

.

δ) 2 2g 2 ln 2 0

Έζηω 2x ln x 2x x , x 1,e . Η θ είλα ζπλερήο ζην 1,e ωο άξνζκα ζπλερώλζπλαξηήζεωλ.

Είλα 1 ln1 2 1 1 0 α 22 2e lne 2e e 1 2e e e 1 0

διαδή 1 e 0 , άξα ιόγω ηνπ Θ.Bolzano πάξρε 1,e ηέηνν, ώζηε 0 2g 2 .


27/36


25

16. Δίλεηα ζπλάξηζ f x x 2 x 1 x 2 x 1 .

α) Να ανδείμεηε όη2, 1 x 2

f x2 x 1, x 2

.

β) Να κειεηήζεηε ηλ f ωο ξνο η κνλνηνλία.

γ) Να βξείηε ην ζύλνιν ηκώλ ηο f.

δ) Να πνινγίζεηε ην όξνx 2

f f x 2lim

x 2

.

ε) Να ανδείμεηε όη πάξρε0x 2,5 ηέηνν, ώζηε:

3 2 3

0 0 0 0 0f x f x 3f x x x

Λύση

α) Αξρά ξέε x 1 0 x 1 , x 2 x 1 0 α x 2 x 1 0

f x x 1 1 2 x 1 x 1 1 2 x 1

2 2

f x x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1

2 2

f x x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1

f x x 1 1 x 1 1

Είλα x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 2 Αλ x 2 ηόηε f x x 1 1 x 1 1 2 x 1 α

αλ 1 x 2 ηόηε f x x 1 1 x 1 1 2 .

Άξα

2, 1 x 2

f x 2 x 1, x 2

β) Όηαλ x 1, 2 f είλα ζηαεξή.

Έζηω 1 2x ,x 2, κε 1 2x x , ηόηε:

1 2 1 2 1 2 1 2x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 f x f x , άξα f είλα

γλζίωο αύμνπζα ζην 2, .

γ) Αξρά α κειεηήζνπκε ηλ f ωο ξνο η ζπλέρεα ζην x 2 .

Είλα x 2 x 2 x 2

lim f x lim 2 x 1 2 lim f x f 2

, άξα f είλα ζπλερήο ζην x 2

α εεδή είλα ζπλερήο α ζηα δαζηήκαηα 1, 2 , 2, , f είλα ζπλερήο ζην εδίννξζκνύ ηο.

Είλα x xlim f x lim 2 x 1

.

Γα ην δάζηκα 1A 1,2 , εεδή f είλα ζηαεξή, είλα 1f A 2 .

Σην δάζηκα 2A 2, , f είλα ζπλερήο α γλζίωο αύμνπζα, άξα

2xx 2

f A lim f x , lim f x 2,

.

Τν ζύλνιν ηκώλ ηο f είλα ην 1 2f A f A f A 2, .


28/36


26

δ) Θέηνπκε 2 2u u u

f x u 2 x 1 u x 1 x 1 x 12 4 4

Εεδή x 2lim f x 2

, όηαλ x 2 , ηόηε u 2 . Είλα

2 2x 2 u 2 u 2 u 2

8 u 1 1f f x 2 f u 2 2 u 1 2

lim lim lim limu u 4x 2 u 2 u 21 2

4 4

2

u 2 u 2

8 u 1 18 u 1 1 u 1 1lim lim

u 2 u 2 u 1 1 u 2 u 2 u 1 1

u 2 u 2

8 u 28 u 1 1lim lim

u 2 u 2 u 1 1

u 2 8

18u 2 u 1 1

ε) Έζηω 3 2 3g x f x f x 3f x x x, x 2,5 .

Η g είλα ζπλερήο ζην 2,5 ωο ζύλεζ α άξνζκα ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ. Είλα

3 2g 2 f 2 f 2 3f 2 8 2 8 4 6 10 8 0 α

3 2 3 3 2g 5 f 5 f 5 3f 5 5 5 4 4 3 4 125 5 28 0 , διαδή

g 2 g 5 0 άξα ιόγω ηνπ Θ.Bolzano, πάξρε 0x 2,5 ηέηνν, ώζηε

3 2 30 0 0 0 0 0g x 0 f x f x 3f x x x .

17. Δίλεηα ζπλάξηζ f : γα ηλ ννία ζρύε όηf x f x

e e 2x γα άε

x α f 0 0 .

α) Να δείμεηε όη 2f x ln x 1 x , x .

β) Να δείμεηε όη f είλα εξηηή.

γ) Να ανδείμεηε όη f είλα γλζίωο θίλνπζα.

δ) Να βξείηε ην ζύλνιν ηκώλ ηο f.

Λύση

α)

2f x f x f x f x f x

f x

1e e 2x e 2x 0 1 e 2xe 0

e

2 2

f x f x f x2 2 2e 2xe x x 1 e x x 1 .

Θέηνπκε f xg x e x , ηόηε ξνγνύκελ ζρέζ γίλεηα: 2 2g x x 1 (1)

Εεδή2x 1 0 γα άε x είλα α g x 0 γα άε x α εεδή g είλα

ζπλερήο ωο ζύλεζ α άξνζκα ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ α δαηξεί ζηαεξό ξόζκν.

Είλα f 0g 0 e 1 0 άξα g x 0 α (1) γίλεηα:

f x f x2 2 2g x x 1 e x x 1 e x 1 x (2)

Είλα2 2 2 2 2

x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 0 άξα (2) γίλεηα:

2f x ln x 1 x , x .

β) Εεδή f έρε εδίν νξζκνύ ην , γα άε x είλα α x .


29/36


27

2 22

2

x 1 x x 1 xf x ln x 1 x ln

x 1 x

22 2

2

2

x 1 x xf x ln ln

x 1 x

21 x 2x 1 x

f x ln1 0 2ln x 1 x f x άξα f είλα εξηηή.

γ) Αξεί λα ανδείμνπκε όη γα άε 1 2x ,x κε 1 2x x είλα 1 2f x f x .

Έζηω όη 1 2f x f x , ηόηε 1 2f x f x

1 2f x f x e e (3) α

1 2 1 2f x f x f x f xe e e e (4).Με ξόζεζ αηά κέι ηωλ (3), (4) έρνπκε:

1 1 2 2f x f x f x f x

1 2 1 2e e e e 2x 2x x x

νπ είλα άηνν. Άξα 1 2f x f x α f είλα γλζίωο θίλνπζα ζην .

δ) Είλα 2 2 2 2x x x1 1

lim x 1 x lim x 1 x lim x 1 xx x

2x

1lim x 1 1

x

, άξα

2u x 1 x

2

x x u ulim f x lim ln x 1 x lim ln u

Είλα 2 2 2 2

2

2x x x

2

x 1 x x 1 x x 1 xlim x 1 x lim lim

1x 1 xx 1 x

x

x

2

1lim 0

1x 1 1

x

, άξα

2u x 1 x

2

x x u 0 u 0lim f x lim ln x 1 x lim ln u

.

Εεδή f είλα ζπλερήο α γλζίωο θίλνπζα ζην A , έρε ζύλνιν ηκώλ ην

x xf A lim f x , lim f x , .

18. Δίλεηα ζπλάξηζ f ζπλερήο ζην

1, γα ηλ ννία ζρύε όη

2 2 2 2x f x 1 x ln x 2xf x γα άε x 0 α

e 1f e

e

.

α) Να δείμεηε όη1

f x lnx , x 1x

.

β) Να βξείηε ζην

1, ην ιήνο ηωλ ξώλ ηο εμίζωζο xln x 1 0 .

γ) Να ιύζεηε ηλ αλίζωζ 2 1

ln lnx e 2lnx

, x 1 .


30/36


28

δ) Να δείμεηε όη e

γα άε , κε .

ε) Να πνινγίζεηε ην όξν2

2

x e

xln x xf x 2x 1lim

ln x 2

.

Λύση

α) 2 2 2 2 2 2 2 2x f x 1 x ln x 2xf x x f x 2xf x 1 x ln x

2 2 2xf x 1 x ln x

(1).

Θέηνπκε g x xf x 1, x 0 , ηόηε (1) γίλεηα 2 2 2g x x ln x

(2)

Είλα 2 2x ln x 0 γα άε x 1 νόηε α g x 0 γα άε x 1 . Εεδή g είλα

ζπλερήο ζην 0, α δαηξεί ζηαεξό ξόζκν ζην 1, .

Είλα g e ef e 1 e e 1

e

1 e 0 , άξα g x 0 γα άε x 1 α (2) γίλεηα:

1

g x x ln x xf x 1 x ln x xf x x ln x 1 f x ln x , x 1x

Αό η ζρέζ (1) γα x 1 έρνπκε: 2

f 1 1 0 f 1 1 , άξα

1

ln x , x 1f x x

1, x 1

. Εεδή f είλα ζπλερήο ζην 1, , ηειά είλα

1

f x ln x , x 1x

.

β) 1x ln x 1 0 ln x 0 f x 0x

.

Έζηω 1 2x ,x 1, κε 1 2x x , ηόηε 1 2ln x ln x α1 2 1 2

1 1 1 1

x x x x , άξα α

1 2

1 2

1 1ln x ln x

x x 1 2f x f x άξα f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην 1, .

Είλα x x

1lim f x lim lnx

x

.

Εεδή f είλα ζπλερήο α γλζίωο αύμνπζα ζην A 1, , έρε ζύλνιν ηκώλ ην

xf A f 1 , lim f x 1,

.Εεδή ην κδέλ βξίζεηα ζην ζύλνιν ηκώλ ηο f α f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην Α,

πάξρε κνλαδόο 0x A ηέηννο, ώζηε 0f x 0 , νόηε δνείζα εμίζωζ έρεκνλαδή ξία.

γ) 2 2 21 1

ln ln x e 2 ln ln x 2 e f ln x f eln x ln x

(3)

Αξρά γα λα νξίεηα ζύλεζ f lnx ξέε ln x 1 x e .

Εεδή f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην 1, (3) γίλεηα:2

2 eln x e x e , νόηε

ηειά

2e

e x e

.


31/36


29

δ)

1 11 1 1 1

e e e ln ln ln

1 1

ln ln f f

νπ ζρύε αθνύ 1 α f είλα γλζίωο αύμνπζα

ζην 1, .

ε)

2 2

22

x e x e

1x ln x x ln x 2x 1

x ln x xf x 2x 1 xlim lim

ln x 2 ln x 2

2

2

x e

x ln x x ln x 1lim

2x 1 2

2

x e

x ln x ln x 2lim

ln x 2 ln x 2

2x e

x ln x 2lim

ln x 1

ln x 2

23e

19. Δίλεηα ζπλάξηζ

x xf x 2 3 1 ,x

.

α) Να ανδείμεηε όη f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην .

β) Να ιύζεηε ηλ εμίζωζ2 2

x 3x 2x 4 2x 4 x 3x2 2 3 3

γ) Να βξείηε ην ζύλνιν ηκώλ ηο f.

δ) Να βξείηε ην ιήνο ηωλ ξώλ ηο εμίζωζο f (x) , 0 .

ε) Να πνινγίζεηε ην όξνx

f xlim

f x 1 .

Λύση

α) Έζηω 1 2x , x κε 1 2x x , ηόηε: 1 2x x2 2 , 1 2x x3 3 , άξα α

1 1 2 2 1 1 2 2x x x x x x x x2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 1 2f x f x άξα f είλα γλζίωοαύμνπζα ζην .

β) 2 2 2 2

x 3x 2x 4 2x 4 x 3x x 3x x 3x 2x 4 2x 42 2 3 3 2 3 2 3

2 2x 3x x 3x 2x 4 2x 4 22 3 1 2 3 1 f x 3x f 2x 4 (1)

Εεδή f είλα γλζίωο αύμνπζα είλα α , νόηε (1) γίλεηα: 2 2x 3x 2x 4 x 5x 4 0 x 1 ή x 4 .

γ) Είλα x xx xlim f x lim 2 3 1 1 γαηίx x

x xlim 2 lim 3 0 α

x xx xlim f x lim 2 3 1

γαηί x xx xlim 2 lim 3

.

Εεδή f είλα ζπλερήο α γλζίωο αύμνπζα ζην έρε ζύλνιν ηκώλ ην

x x

f lim f x , lim f x 2,

.

δ) Εεδή ην α αλήε ζην ζύλνιν ηκώλ ηο f α f είλα γλζίωο αύμνπζα ζην

, πάξρε κνλαδόο 0x ηέηννο, ώζηε 0f x .


32/36


30

ε)

x x

x xx x

f x 2 3 1lim lim

f x 1 2 3 1

1

x

x

3

lim

x

x x

x

2 11

3 3

3

x

x

21

3

x x

xx

2 110 1 03 3

lim 10 12

13

20. Δίλεηα ζπλάξηζ f : γα ηλ ννία ζρύε

2 2f x x 2xf x γα άε

x .

α) Να ανδείμεηε όηx 0

f xlim 1

x .

β) Να πνινγίζεηε ην όξν2x 0

f xlim

x x

.

γ) Έζηω όη f είλα ζπλερήο ζην .

i. Να ανδείμεηε όη ζπλάξηζ h x f x x

δαηξεί ζηαεξό ξόζκν ζε

αέλα αό ηα δαζηήκαηα ,0 α 0, .

ii. Να βξείηε όινπο ηνπο δπλαηνύο ηύνπο ηο .

Λύση

α) Γα x 0 είλα 2 22 2

f x xx2

x x

2

f x

x

2 2

f x f x x2 0

x x x

2 22 2

f x f x f xx x2 1 1 1 1

x x x x x

2 2

x 0 x 0

f x xlim 1 lim 1 1 1 0

x x

.

2 2

f x f x f x f x f x f x1 1 1 1 1 1

x x x x x x

Είλα

2 2

x 0 x 0

f x f x

lim 1 lim 1 0x x

, νόηε αό ην ξηήξν αξεκβνιήο

είλα α

x 0 x 0

f x f xlim 1 0 lim 1

x x

.

β)

2x 0 x 0

f x f x x 1lim lim 1

x x x x x 1

γαηί x u

x 0 u 0 u 0

f x f ulim lim L 1

x u

γ) Είλα 2 2 2 2f x x 2xf x f x 2xf x x

2 2 2 2f x 2xf x x x x 2 2 2 2 2 2f x x x x h x x x .


33/36


31

Είλα x x άξα 2 2x x 0 α 2 2x x 0 κόλν γα x 0 . Η h έρε κνλαδή

ξία ηλ x 0 νόηε δαηξεί ξόζκν ζε αέλα ,0 , 0, ,

δ) 2 2h x x x ή 2 2h x x x ή

2 2

2 2

x x ,x 0

h x 0 ,x 0

x x ,x 0

, ή

2 2

2 2

x x ,x 0

h x 0 ,x 0

x x , x 0

21. Δίλεηα ζπλάξηζ f ζπλερήο α γλζίωο θίλνπζα ζην 0,1 γα ηλ ννία ζρύνπλ

ν ζρέζεο:x 0

f x 5lim 4x

α 3 22 x 1 10 x 1 x 1 f x 8x 14x 6

γα άε x 0,1 .

α) Να πνινγίζεηε ηα όξαx 0

limf x

αx 1

limf x

.

β) Να βξείηε ην ζύλνιν ηκώλ ηο ζπλάξηζο h x f x lnx 4 , x 0,1 .

γ) Να ανδείμεηε όη γξαθή αξάζηαζ ηο ζπλάξηζοf x 4

g x e

ηέκλε ηλ

y x ζε έλα κόλν ζκείν κε ηεηκκέλ0

x 0,1 .

δ) Να βξείηε ην ιήνο ηωλ ξώλ ηο εμίζωζοf x4xe e

ζην δάζηκα 0,1 γα

άε .

Λύση

α) Έζηω f x 5

xx

, x 0 , ηόηε: f x 5 x x f x x x 5 α

x 0 x 0lim f x lim x x 5 5

.

Γα x 1 είλα: 3

2 x 1 10 x 1 2x 1 f x 8x 14x 6

2 2 x 1x 12 10 x 1 f x

x 1

4x 3

x 1

Είλα x 1 u2 2

x 1 u 0 u 0

x 1 ulim 2 10 x 1 lim 2 10u 2x 1 u

, x 1lim 2 4x 3 2

νόηε αό ην ξηήξν αξεκβνιήο είλα α x 1lim f x 2

.

β) Έζηω 1 2x , x 0,1 κε 1 2x x , ηόηε 1 2f x f x (1),

1 2 1 2 1 2ln x ln x ln x ln x ln x 4 ln x 4 (2)

Με ξόζεζ αηά κέι ηωλ (1), (2) έρνπκε:

1 1 2 2 1 2f x ln x 4 f x ln x 4 h x h x h 0,1 2

Είλα

x 1 x 1lim h x lim f x ln x 4 2

α

x 0 x 0lim h x lim f x ln x 4

.

Εεδή h είλα ζπλερήο α γλζίωο θίλνπζα ζην 0,1 έρε ζύλνιν ηκώλ ην:


34/36


32

x 1 x 0

h A lim h x , lim h x 2,

γ) Αξεί λα δείμνπκε όη εμίζωζ f x 4

e x έρε αξβώο κία ιύζ ζην 0,1 .

Έζηω f x 4x e x , x 0,1 .

Εύνια ανδελύεηα όη θ είλα 2 ζην 0,1 α x 0lim x e

, 2

x 1lim x e 1

.

Άξα 21

0,1 1,ee

.

Εεδή 0 A α θ είλα γλζίωο θίλνπζα ζην 0,1 , εμίζωζ x 0 f x 4e x

έρε κνλαδή ξία ζην 0,1 .

δ) f x f x 44xe e e xe e

. Έζηω f x 4x e xe , x 0,1 .

Εύνια ανδελύεηα όη ω 2 0,1 α έρε ζύλνιν ηκώλ2

1e , e

e

.

• Αλ 22

1e 0 e e 2

e

ηόηε εμίζωζ x 0 έρε κία ιύζ.

• Αλ2

1e 0

e

διαδή 2 εμίζωζ x 0 δελ έρε ακία ιύζ.


35/36


36/36

www.askisopolis.gr
http://www.askisopolis.gr/http://www.askisopolis.gr/

Documents

31354 1801oria_epan ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΤΟΛΗΣ.pdf