浙教版九年级上第三章浙教版九年级上第三章《《圆的基本性质圆的基本性质》》

1 ．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么 ?

２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？

1 ．结论：

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．强调：

（ 1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；

（ 2）圆的对称轴有无数条．

判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）

二、新课

1 ．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径 CD ；

2 ．作一条和直径 CD 的垂线的弦， AB 与 CD相交于点 E ．

问题：把圆沿着直径 CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？

A

B

C DOE

A

B

C DOE

得出结论：

①EA=EB ；② AC=BC ， AD=BD ．⌒⌒ ⌒ ⌒

理由如下：∵∠ OEA= OEB=Rt∠ ∠，

根据圆的轴轴对称性，可得射线 EA 与 EB 重合，

∴ 点 A 与点 B 重合，弧 AC 和弧 BC 重合，弧 AD 和弧 BD 重合．

∴ EA=EB ， AC=BC ， AD=BD ．

⌒ ⌒ ⌒ ⌒

思考：你能利用等腰三角形的性质，说明 OA平分 CD吗？（课内练习 1 ）

三、新知识在你们动手实验中产生

A

B

C DOE

归纳得出：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

垂径定理的几何语言

∵CD 为直径， CD AB⊥ （ OC A⊥B ）

∴ EA=EB ， AC=BC ， AD=BD ．⌒ ⌒ ⌒ ⌒

作法：⒈ 连结 AB.

⒉ 作 AB 的垂直平分线 CD ，　交弧 AB 于点 E.

点 E 就是所求弧 AB 的中点．

C

D

A B

E

例 1 已知 AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点． ( 先介绍弧中点概念）

⌒

变式一： 求弧 AB 的四等分点．C

D

A B

E

F G

m n

变式一： 求弧 AB 的四等分点．

C

D

A B

Ｍ

F

G错在哪里？

1 ．作 AB 的垂直平分线 CD

2 ．作 AT 、 BT 的垂直平分线 EF 、 GH

Ｔ

Ｅ

Ｎ

Ｈ

Ｐ

强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．

变式二：你能确定弧 AB的圆心吗？

O

A B

C a b

方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．

例 2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径 OB=10 ，水面宽 AB=16 ，求截面圆心 O 到水面的距离 OC ．

．OA B

C

思路：先作出圆心 O 到水面的距离OC ，即画 OC⊥AB ，∴ AC=BC=8 ，在 Rt△OCB 中，

6810 2222 BCOBOC

∴ 圆心 O 到水面的距离 OC 为6 ．

例 3 已知：如图，线段 AB 与⊙ O 交于C 、 D 两点，且 OA=OB ．求证： AC=BD ．思路：作 OM⊥AB ，垂足为 M ∴CM=DM ∵OA=OB ∴AM=BM ∴AC=BD ．

．O

A BC M D

圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．

小结：1 ．画弦心距是圆中常见的辅助线； ．O

A BC

rd

.2 22 drAB 弦长

2 ．半径（ r) 、半弦、弦心距 (d) 组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：

1 ．已知⊙ 0 的半径为 13 ，一条弦的 AB 的弦心距为 5 ，则这条弦的弦长等于 ． 24

2 ．如图， AB 是⊙ 0 的中直径， CD 为弦， CD⊥AB 于 E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）

A ．∠ COE=∠DOE B ． CE=DE

C ． OE=BE D ． BD=BC⌒ ⌒

C

．

A

B

C

O

DE

五、目标训练

3 ．过⊙ O 内一点 M 的最长弦长为 10cm ，最短弦长为 8cm ，那么 OM 长为（ ）

A ． 3 B ． 6cm C ． cm D ． 9cm 41

4 ．如图，⊙ O 的直径为 10 ，弦 AB 长为 8 ， M是弦 AB 上的动点，则 OM 的长的取值范围是（ ）

A ． 3≤OM≤5 B ． 4≤OM≤5

C ． 3<OM<5 D ． 4<OM<5

．A B

O

M

A

A

五、目标训练

5 ． 已知⊙ O 的半径为 10 ，弦 AB∥CD ， AB=12 ， CD=16 ，则 AB 和 CD 的距离为 ．6 ．如图，已知 AB 、 AC 为弦， OM⊥AB 于点 M ， ON⊥AC 于点 N ， BC=4 ，求 MN 的长．

2或14

．

A

CO

M N

B

思路：由垂径定理可得 M、 N分别是 AB 、 AC 的中点，所以 MN= BC=2 ． 2

1

五、目标训练

师生共同总结： １．本节课主要内容：（ 1 ）圆的轴对称性；（ 2 ）垂径定理．2 ．垂径定理的应用：（ 1 ）作图；（ 2 ）计算和证明．3 ．解题的主要方法：

六、总结回顾

.2 22 drAB 弦长

（ 2 ）半径（ r) 、半弦、弦心距 (d) 组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：

（ 1 ）画弦心距是圆中常见的辅助线；

作业

(1) : 作业本

(2) : 名师大课堂