3221 Triyogi Pers.dasar Dlm Integral

Bab 4 : PERSAMAAN-PERSAMAAN DASAR UNTUK CONTROL VOLUME

DALAM BENTUK INTEGRAL

1

4.1. Hukum-hukum Dasar untuk Sistem

1. Konservasi Masa:

dimana masa m dalam sistem:

2. Hukum Newton II:

dimana: = momentum linear = gaya luar yang bekerja

pada sistem

Mencari Korelasi antara Sistem dengan Perumusan-perumusan Control Volume

0dtdm

tankonsm

sistemdtPd

F

P

F

)( )(sistemm sistemv

sistem vddmm


2

momentum dari sistem adalah :

3. Prinsip Momentum Angular:“Jumlah torsi yang bekerja pada suatu sistem = laju perubahan dari momentum angular”

dimana: = torsi = momentum angular

Momentum angular dari sistem adalah:

Torsi ( ) disebabkan oleh: gaya permukaan, gaya body dan juga oleh poros :

P


sistem vdVdmVP

sistemdtHd

T

T

H


sistem vdVxrdmVxrH

T

)(sistemm

porosssistem TdmgxrFxrT


3

4. Hukum Termodinamika-I:

Bila ditulis dalam bentuk laju perubahan:

dimana: = laju perpindahan panas = laju kerja

= laju energi total

Energi total dari sistem adalah:

dan

energi potensial per satuan

masa

energi kinetik per satuan masa

energi dalam per satuan masa

energi total per satuan masa

dEWQ

sistemdtdE

WQ

Q

W

dtdE


sistem vdedmeE

gzV

ue 2

2


4

5. Hukum Termodinamika-II:bila sejumlah panas Q dipindahkan ke dalam sistem bertemperatur T, maka berdasarkan hukum Termodinamika II perubahan entropi dS ditulis sbb:

Bila ditulis dalam bentuk laju perubahan:

Entropi dari sistem adalah:

dimana : s = entropi per satuan masa

TQ

dS


sistem vddmS ss

QTdt

dS

sistem

1

4.2. Bentuk Umum Persamaan Dasar Sistem

5

Sebutlah: N = sembarang extensive property dari sistemdan = intensive property (extensive property per satuan masa) dari sistem

Maka bila:

m vsist

m vsist

m vsist

m vsist

m vsist

vddmSSN

vdedmeEeEN

vdVxrdmVxrHVxrHN

vdVdmVPVPN

vddmmmN

sss

).

).

).

).

).

5

4

3

2

11


sistem vddmN

4.2.1. Derivasi

6

Laju perubahan dari Nsistem:

dimana:

x

y

z

stream linestream line

a). Pada waktu to b). Pada waktu to+ t

I IIIII

sistem

CV

CVsistem

Sub region (1)dari region I

Sub region (3)dari region III

t

NN

dtdN

oo tstts

tsistem

0lim

o

ootCV

tcvts vdNN

ttIIIttIttCV

ttIIIICVttIIIIItts

ooo

ooo

vdvdvd

NNNNNN

4.2.1. Derivasi

7

maka:

=

1 2 3

vc

vc

otvctotvc

0t

otvctotvc

0t

tt

Nt

NN

t

vd

vdvd

lim

lim1

tttdt

dN

tdt

dN

totI

0t

totIII

0t

otvctotvc

0tsist

otvctotItotIIItotvc

0tsist

vdvdvdvd

vdvdvdvd

limlimlim

lim

4.2.1. Derivasi

8

=

Pada daerah III masa mengalir keluar dari CV selama interval waktu t

2

t

N

ttotIII

0t

totIII

0t

limlim

vd

IIIdA

Ad

V

CSIII to + t

Cos.dA.vd 2

CSIII

CSIIIt

CSIII

t

ttIII

t

AdV

Adt

t

dA

t

vdo

Cos

Cos

Cos

0

00

lim

limlim

4.2.1. Derivasi

9

=

Pada daerah I masa mengalir masuk ke dalam CV selama interval waktu t

Note :

3

CSI

CSI0t

CSI

0t

totI

0t

V

t

tt

Ad

Ad

dAvd

Cos

Cos

Cos-

lim

limlim

AddAdanVt0t

lim

t

N

ttotI

0t

totI

0t

limlim

vd

IdA

CSI to + t

V

Ad

Cos.dA.vd

2

4.2.1. Derivasi

10

maka laju perubahan dari N)sistem menjadi:

masuk cv keluar cv

dimana bila:cs = csI + cs III

= 0o

= 180o

Sehingga:

Persamaan TRANSPORTASI REYNOLDS

AdcosVAdcosVtdt

dN

csIIIcsIsistem

vc

vd

AddengansegarisV

cssistem

AdVtdt

dN

vc

vd

CosAdV

AdV

Ad

V

4.2.1. Derivasi

11

Arti fisik Persamaan Transportasi Reynolds:

waktupersatuansistemdari

)N(propertyextensivesembarangdaritotalperubahandt

dN

sistem

waktupersatuanvcvolumecontroldalamdi

Npropertyextensivesembarangdariperubahant

vc

vd

waktupersatuan

cssurfacecontroldarikeluarataumasukyang

Npropertyextensivesembarangcs

AdVηρ

Pemakaian Persamaan Transportasi Reynolds

12

Persamaan Transportasi Reynolds:

Dalam hal ini:

Sehingga diperoleh Formulasi CV untuk Konservasi Masa, sbb.:

4.3. Konservasi masa

0dt

dm

sistem

cssistem

AdVtdt

dN

vc

vd

0dt

dm

dt

dN

sistemsistem

1m

N

N = m

cs

AdVt

0

vc

vd

4.3.1. Kasus Khusus

13

Formulasi Konservasi Masa dapat disederhanakan, sbb. :

a. Untuk aliran Incompressible

sehingga formulasi konservasi masa disederhanakan menjadi:

= 0 = 0 (vol = konstan) (= konstan)

Sehingga :

tankons

cs

cs

cs

AdV0

AdVt

0

AdVt

0

tv

t

v

v

vdvc

cs

AdV0

cs

AdV0

4.3.1. Kasus Khusus

14

a. Untuk aliran steady

sehingga formulasi konservasi masa disederhanakan menjadi:

= 0 (aliran steady)

maka :

Note:

0

t

cs

AdVt

0

vc

vd

cs

AdV0

A

A

A

AdVA

1

A

V

A

QV:rataratatankecepa

AdVVQ:debit/flowratevolume

AdV:flowratemass

m

CATATAN PENTING

15

= merupakan vektor luasan yang arahnya positip bila ditarik keluar dari bidang

Pada section (1) aliran masuk CS, dimana dan

membentuk sudut = 180oCos 180o = -1

Pada section (1) aliran masuk CS, dimana dan membentuk sudut = 0oCos 0o = 0 Cos 0o = +1

Resume:

keluar

masuk

Ad

2Ad

1Ad

2V

1V

1

2

Ad

V

AdVCosAdVAdV o

180

AdVCosAdVAdV o

0

Ad

V

CSkealiranbilanegatipAdV

CSdarialiranbilapositipAdV

berlakumakaCSVCVBila

)()(

)(

:),(

CONTOH SOAL

16

CONTOH SOAL

17

CONTOH SOAL

18

4.4. Persamaan Momentum

19

Hukum Newton II untuk suatu sistem yang bergerak terhadap sistem koordinat yang diam :

dimana:


4.4.1. Untuk Control Volume Diam

sistemdtPd

F

)()( sistemVsistemmasasistem VdVdmVP

linearmomentumP

Bs FFF

cssistem

AdVtdt

dN

vc

vd


20

dimana:

maka persamaan momentum ditulis:

atau:

Note:Bila gaya body persatuan masa = maka:

Dalam hal ini, bila gaya bodi = berat Gaya permukaan akibat tekanan (p):

N = P BFFF

dtPd

dtdN

S

sistemsistem

VmVm

mP

mN

csvcBS AdVVvdV

tFFF

csvc

sistem

AdVVvdVtdt

Pd

B

vcmasa

B vdBdmBF

gB

A

S AdpF


21

Komponen gaya-gaya:- sumbu - x :

- sumbu – y :

- sumbu – z :

Note:1). Langkah ke-1 yang harus dilakukan adalah menentukan

tanda dari

2). Langkah ke-2 adalah menentukan tanda dari kecepatan u, v, w, yang tergantung dari sistem koordinat yang dipilih. Dalam hal ini tandanya harus diperhitungkan bila disubstitusikan untuk mendapatkan harga numerik, sbb.:

csvcBzSzz AdVvd

tFFF

ww

csvcBySyy AdVvd

tFFF

vv

AdV

coscos AdVAdVAdV

cosAdVAdV

uu

csvcBxSxx AdVvd

tFFF

uu


22


23


24

4.4.2. Untuk Control Volume Yang Bergerak Dengan Kecepatan Konstan

25

Cara Analisa:Dalam analisanya, ada 2(dua) hal yang harus dicatat:1). semua kecepatan diukur relatif terhadap CV (koordinat : xyz bukan XYZ)

2). semua derivasi terhadap waktu, diukur relatif terhadap CV (koordinat: xyz bukan XYZ)


csvcsistem

AdVvdtdt

dN

y

x

Y

X

CV

suduV

U

VCdarikonstankecepatanU


26

Untuk momentum:- N = Pxyz maka : = Vxyz

maka persamaan momentum untuk CV yang bergerak dengan kecepatan konstan:

dimana:subcript : xyz = menunjukkan relatif terhadap CV.

csvcBS Advd

tFFF

xyzxyzxyz VVV


27


28

4.5. Prinsip Momentum Angular

29

Prinsip Momentum Anguler untuk suatusistem yang bergerak terhadap sistem koordinat yang diam :

dimana:



cssistem

AdVtdt

dN

vc

vd

sistemdtHd

T

)()( sistemVsistemmasa

sistem VdVxrdmVxrH

angularmomentumH

ygtotaltorsiT

nyasekeliling dr

sistempdbekerja

)(sistemm

shafts TdmgxrFxrT


30

dimana:

maka persamaan momentum anguler ditulis:

atau:

Karena pada saat to sistem berimpit dengan CV, maka :

Sehingga:

N = H T

dtHd

dtdN

sistemsistem

Vxrm

mVxrmH

mN

csvc

sistem

AdVVxrvdVxrtdt

Hd

csvcsistemmshaftS AdVVxrvdVxr

tTdmgxrFxrT

)(

VCsistem TT

csvc

shaftS AdVVxrVxrt

TvdgxrFxr

vc

vd

Contoh Soal : Lawn Sprinkler

31

DiketahuI:

Tentukan : a). Vjet relatif thdp setiap nosel b). Torsi akibat friksi pd pivotpersamaan dasar:

dimana kecepatan diukur relatif terhadap koordinat inertial (tetap) XYZ.Asumsi: 1). aliran incompressible 2). aliran uniform pd setiap section 3). Kecepatan sudut ( ) = konstan

cs

AdVt

0

vc

vd

csvc

shaftS AdVVxrVxrt

TvdgxrFxr

vc

vd

= 0 (1)

= 0 (a) = 0 (b)


32

Dari kontinuitas, kecepatan relatif jet (Vjet)pada nosel dapat dihitung:

Dalam kasus ini persamaan momentum Angular dapat dipahami setiap bagiannya sbb:

Sehingga satu-satunya Torsi yang bekerja pada CV hanyalah akibat gesekan pada pivot sbb. :

s/m97,4

s60

minx

m

mm10x

lt1000

mx

mm4

14x

min

lt5,7x

2

1

D

4

2

Q

A2

QV

2

26

3

22

2jetjet

rel

0jumlahnyasehinggaarahberlawanan

&besarsamalengankeduapadaforcebodyakibatntTorsi/Momeb).

momentanmenghasilktidak

sehinggaO,axialsumbupdtepatinletpdtekangayadan

CS,pdseluruhbekerjatekanankarenantTorsi/mome0Fxra). s

KTT fshaft


33

Sebelum mengevaluasi persamaan integraluntuk CV pada sisi kanan (=) dari persamaan momentum anguler diatas,terlebih dulu akan dievaluasi tentang posisivektor dan vektor kecepatan (diukurrelatif terhadap XYZ) untuk setiap elemenfluida dalam CV :

r

V

o

X

Y

Z

A

B

B'


34

Panjang lengan kanan OA = R menempel pada bidang XY; sementara AB membentuk sudut kemiringan tdp bidang XY, dimana titik B’ adalah proyeksi dari titik B pd bidang XY.Bila diasumsikan panjang tip AB = L yang relatif sangat kecil dibanding R(L<<R) momentum fluida dlm tip AB << momentum fluida dlm lengan R.

A

B'

R

L Cos Sin

L Cos Cos

L Cos

X

Y


35

Maka momentum fluida dalam lengan kanan R (OA) dihitung sbb. :

untuk menghitung akan dihitung lebih dulu sbb.:

sehingga:

maka:

X

Y

O

r

Vt

A

r

Vt Cos

Vt Sin

r Cos

r Sin

vc

vdVxrt

Vxr

22222 ˆ)(ˆ rSinrCosrVxr KK

)(ˆ)(ˆ

ˆˆ

CosrSinVSinrCosVV

SinrCosrr

tt

JI

JI

AR

drArdvVxrR

OOAv

3

ˆˆ3

2

)(

KK


36

maka:

dimana A = luas penampang pipa

Analog untuk lengan kanan, lengan kiri juga akan menghsilkan harga yang sama (= 0).Selanjutnya untuk menghitung momentum anguler yang menembus CS = akan ditentukan lebih dulu : yang dihitung relatif tdp XYZ.

Untuk lengan kanan OAB, sbb. :

03

ˆ3

)(

A

R

tdvVxr

t OAv

K

AdVVxrcs

jetBjet Vjetkecepatadanrr


37

untuk L << R, maka :

selanjutnya:

A

B'

R

L Cos Sin

L Cos Cos

L Cos

X

Y

R Sin

R Cos

SinLKCosCosLSinRJSinCosLCosRIrB

SinRJCosRIrB

SinVKCosRCosVJSinRCosVI

CosRJSinRISinVK

CosCosVJSinCosVI

VVV

relrelrel

rel

relrel

tipreljet

ˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ


38

sehingga:

maka momentum anguler yang menembus CS untuk lengan kanan (OAB):

Analog untuk lengan kiri (OCD):

RCosVRKCosSinVRJSinSinVRI

CosSinRCosVRKCosSinVRJSinSinVRIVxr

relrelrel

relrelreljB

ˆˆˆ

ˆˆˆ 22

2

ˆˆˆ)(

QRCosVRKCosSinVRJSinSinVRIAdVVxr relrelrel

OABcs

j

2

ˆˆˆ)(

QRCosVRKCosSinVRJSinSinVRIAdVVxr relrelrel

OABcs

j

A

B'

R

X

Y

Vrel Cos

Vrel CosSin

Vrel CosCos

R

R Cos R Sin

R Cos

R Sin

R

Vrel CosSin

Vrel CosCos

R

O

C

D'

R Sin

R Sin

R Cos

R Cos


39

sehingga bila di jumlahkan antara lengan kiri & kanan, didapat:

maka:

atau:

sehingga dr data yang diketahui, didapat:

maka:

QRCosVRKAdVVxr rel

cs

j ˆ

ρQωRCosαVRT relf

QRCosVRKKTT relfshaft

ˆˆ

s

m471,0

mm1000

mx

s60

mntx

put

rad2xmm150x

mnt

put30R

m.N0718,0

mm1000

mx

m.kg

s.Nx

s60

minx

lt1000

mx

min

lt5,7x

m

kg999x

s

m471,030Cosx

s

m97,4mm150T

23

3o

f

4.5. Hukum Termodinamika-I

40

Hukum Termodinamika-I menyatakan tentang kesetimbangan Energi, sbb.:

dimana:

(+ bila panas ditambahkan masuk ke dalam sistem)

(- bila kerja dilakukan sistem keluar ke sekeliling)

dan

energi potensial per satuan masa energi kinetik per satuan masa

energi dalam per satuan masa

energi total per satuan masa

sistemdt

dEWQ

panasnperpindahalajuQ

jakerlajuW

)sistem(m )sistem(v

sistem vdedmeenergitotalE

gz2

Vue

2

4.5. Hukum Termodinamika-I

41


dimana:

maka :

Karena pada saat to sistem berimpit dengan CV, maka :

Sehingga:

N = E

cssistem

AdVtdt

dN

vc

vd

WQdt

dE

dt

dN

sistemsistem

em

E

m

N

cssistem

AdVeetdt

dE

vc

vd

vcsistem WQWQ

cs

AdVeet

WQ

vc

vd

4.5.1. Laju kerja yang dilakukan oleh CV

42

Laju kerja yang dilakukan oleh CV diklasifikasikan menjadi 4 sbb.:

Laju Kerja Porosadalah laju kerja yang dipindahkan oleh

poros menembus control surface (CS)

Bila gaya bekerja menyebabkanperpindahan sejauh , maka kerja yangdilakukan diberikan sbb.:

sehingga laju kerja yang dihasilkan:

1. Kerja Poros ( )sW

sW

2. Kerja akibat Tegangan Normal pada CS ( )normalW

F

F

F

sd

sdFW

VFt

sdFlim

t

WlimW

0t0t

othershearnormalshaft WWWWW


43

Laju kerja pada element dari CS oleh tegangan normal ( ) :

maka total laju kerja akibat :

Gaya geser yang bekerja pada elemen dari CS diberikan:

dimana adalah tengan geser yang bekerja pada bidang

Laju kerja pada keseluruhan CS akibattegangan geser:

F

Ad

VAdVFdWd nnnormal

nn

3. Kerja akibat Tegangan Geser pada CS ( )shearW

Ad

dAFd

Ad

nn

cscs

shear dAVVdAW

cs

nn

cs

nnnormal AdVVAdW


44

Laju kerja akibat tegangan geser dapatdiuraikan dalam 3 term:

sehingga:

Bila CSmaka = 90odan

F

)()()( portsAsurfacesolidAshaftsA

shear dAVdAVdAVW

)( portsA

shear dAVW

V

090CosVV o

0shearW

V

)Wdalamdihitungsudahdianggap(0dAV shaft

)shafts(A

)0dindingdiV(0dAV)surfacesolid(A

)ports(A)ports(A

dACosVdAV


45

Kerja lain meliputi: energi listrik, energi elektromagnetik, dll.

Sehingga secara keseluruhan laju kerja dapat ditulis sbb.:

F

4. Kerja lain-lain ( )

othershear

cs

nnshaft WWAdVWW

otherW

4.5.2. Persamaan Control Volume

46

Dengan menguraikan maka Hk Termodinamika I dalam formulasi CV menjadi:

atau

karena (dimana = specific volume), maka:

sehingga:

Dalam dunia teknik u/ aliran secara umum (dimana p = tekanan termodinamika) maka:

atau

F

vc cs

othershear

cs

nnshaft AdVevdet

WWAdVWQ

cs

nn

vc cs

othershearshaft AdVAdVevdet

WWWQ

W

1atau1

cs cs

nnnn AdVAdV

vc cs

nnothershearshaft AdV)e(vdet

WWWQ

vc cs

othershearshaft AdV)pe(vdet

WWWQ

vc cs

2

othershearshaft AdV)zg2

Vpu(vde

tWWWQ

pnn

)gz2

Vue:untuk(

2

Contoh Soal

47

Udara memasuki sebauh kompresor di (1) dan keluar di (2), dengan kondisi seperti tergambar.Bila laju aliran masa udara sebesar 9 kg/s dan daya input memasuki kompresor sebesar 447 kW

Tentukan: Laju aliran panas

4.6. Hukum Termodinamika-II

48

Hukum Termodinamika-II dinyatakan sbb.:

dimana total entropy (S) dari sistem diberikan sbb.:


dimana

maka

QT

1

dt

dS

sistem

)sistem(m )sistem(v

sistem vdsdmsentropytotalS

cssistem

AdVtdt

dN

vc

vd

N = S

sm

S

m

N

QT

1

dt

dS

dt

dN

sistemsistem

cssistem

AdVsstdt

dS

vc

vd

4.6. Hukum Termodinamika-II

49

Karena pada saat to sistem & CV berimpit, maka:

Sehingga Hk Termodinamika II dalam formulasi CV menjadi:

Note:Dalam persamaan diatas, menyatakan heat flux per satuan luas dalam CV yang melintasi elemen dA.

Untuk menghitung maka heat flux ( ) dan temperatur lokal T, keduanya harus diketahui untuk setiap luas elemen dari CS.

dAA

Q

T

1Q

T

1Q

T

1

csvcsistem

dAA

Q

T

1AdVss

tdt

dS

cscssistem

vc

vd

A

Q

dAA

Q

T

1

cs

A

Q

Documents

3221 Triyogi Pers.dasar Dlm Integral