Upload
buingoc
View
217
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ST – 511 - 2007
����������������� � ����������������� � � ������� ���� �� ��� � ������� ���� �� ���
�� �� �������� �� ������� � �� �� �������� �� ������� �
��������������� ��������������������������� ������������
Referência bibliográfica:
Mecânica Técnica e Resistência dos materiais Sarkis Melconian
����������������� ����
����������� !���������������� !������"#$�%�"&�'()'*+,�"'��%(#-)'./&�"#�0)#'�"&,�1)&"2(&,�#%()#��&,���%$�%�(+,�3 &,��"'��0)#'��42#��5&3 16#��23 '�,21#)$75�#��#3 ��)#8'./&��',��,2',��"�,(9%5�',�"&�#�:&�)#$#)#%5�'8;�#8#*'"',�'&�42'")'"&�
�: <�� �="�����#����> <�� ?= "�
�%08�,#�"�3 #%,�&%'8�"#��@�[[[[ ��A�<�[[[[ ��A=��[[[[ ��A�= <�[[[[ ����A
�,�2%�"'"#, "#���,/& <�3 3 ���&2���53 ����&2��3 ��
� �
B
B B B
������������ �� ����
���������� �� ��������� ���� � ���C����&3 #%(&�1&8')�"#��%+)5�'�#3 �)#8'./&�D &)�-#3 @
�1 <�� )� "� ��E,@�"#,"#�42#@��) <�: F�> ;��1 <��: F��>
� 21#)$75�#�5#%()7$2-'@���<��:> G���&3 #%(&�5#%()7$2-&�&2�1)&"2(&�"#��%+)5�'@��:> <�� :> "�
�H� @IJ��3 &3 #%(&�"#��%+)5�';�%&,�
$&)%#5#�"�3 #%,�&%'83 #%(#;�&�42'%(&��23 '���"#(#)3 �%'"'��,#./&��+�*�0*#8�#,(0(�5'3 #%(#�
JK 2'%(&�3 '�&)�$&)�&�*'8&)�"&�3 &3 #%(&�"#��%+)5�';�3 '�,�)#,�,(#%(#�,#)0�'�1#.'�
� 'E#3 &,�42#�?�� # ��� ,/&�',��5&&)"#%'"',��"&��5#%()&��"#�-)'*�"'"#��"#,('�1#.'�5&%L2-'"';��82,()'"'�'E'�:&�
�%(/&@
M�?I�� I F�? �� �N�?�� �<
M�� I�F�� �N
M��I�� I�F�� �� �N���� �<
M�� I�F�� �N
�%'8&-'3 #%(#;��1&"#�,#)�2,'"&�1')'�5&3 E�%'.6#,��"#�3 '�,�"#�"2',�,#.6#,�,�3 18#,���',��1')'��,#.6#,�5&3 18#:',;�+ 3 #8O&)�2,')�23 �1)&-)'3 '"#��%(#-)'./&�-)0$�5'�
������������ �� ����
?
�
�I
�
�� I
��
����������� (#�%#) P �)'%,8'./&�"#�#�:&,
�&3 �?�#��;�42#�,/&�#�:&,�,&E)#�&��� ;�"#�23 '�,21#)$75�#;�"#(#)J3 �%0*#8��,#�(&)%'�&�3 &3 #%(&�"#��%+)5�'�"#,('�,21#)$75�#�#3 �)#8'./&'�23 �&2()&�#�:&�1')'8#8&�:1 #�>1 #3 �?�#�#3 ��;�'18�5'%"&J,#�&(#&)#3 '�"#�� (#�%#);�',,�3 @
"�
��>
:
:1
>1
8:
8>
�
Jxp = � ( y + ly )² dA
Jyp = � ( x + lx )² dA
A
A
"�
��>
:
:1
>1
8:
8>
�
Jxp = � ( y + ly )² dA + 2ly � y + dA+ly ² � dA
Q '3 &,�"#(#)3 �%')�&��>1
A A A Aveja que 2ly� y + dA ² = 0
Pois xx é o baricentro
A
Jxp = � y² + ly ² � dA Jxp = Jx + ly ². A A A
"�
��>
:
:1
>1
8:
8>
�
Jyp = � ( x + lx ² )AA
Jyp = � x² dA + lx.ly ² � dA
Jyp = Jy + lx ² . A
Jyp = � ( x + lx )² dAA A
Jyp = � x² dA + 2lx � x dA + lx ² � dAveja que 2ly� y + dA ² = 0
Pois yy é o baricentroA A A
A
A A
�,,�3 ;�&�3 &3 #%(&�"#��%+)5�'�"#�23 '�,21#)$75�#�18'%';�#3 �)#8'./&�D23 �#�:&�1')'8#8&�'&�#�:&�"&�5#%()&�"#�-)'*�"'"#;�+�&E(�"&�1#8&�1)&"2(&�#%()#�'�0)#'�"'�,21#)$75�#�#�'�"�,(9%5�'�#%()#�'&�#�:&,1')'8#8&,;�#8#*'"&�'&�42'")'"&;��,(&�+@
Jlx = Jx + . ly² Jly = Jy + . lx²� �
�
CG
8:
8>
>1
:1
�,42#3 '�)#1)#,#%('(�*&�@
� ��������� ���� �� ���
�>
�:
�
Jy = A . Ix²
Jx = A . Iy ²
�
?
�&�1)&"2(&�"'�"�,(9%5�'�"&��� �'&�#�:&)#$#)#%5�'8�#8#*'"'�'&�42'")'"&�5&3 �'0)#'�(&('8�"'�,21#)$75�#
�#(#)3 �%'J,#�&�)0�& "#�-�)'./&�"'�,21#)$75�#;42'%"&�"#(#)3 �%'"&�$&)�&*'8&)�"&�3 &3 #%(&�"#��%+)5�';�#�#:1)#,,'�1#8'�)'�R�42'")'"'�"'�)#8'./&��%()#�&�3 &3 #%(&�"#��%+)5�'�#�'�0)#'�"'�,21#)$75�#�
Jxi x =
A
Jxi x =
A[[[[ i ] = { [[[[ L ] / [[[[ L ] } = [[[[ L ]
B IG
�� �� ���������� �� ������� �� �'�)#8'./&�#%()#�&�3 &3 #%(&�"#��%+)5�'�"&�#�:&�"&��� �5&3 �'�"�,(9%5�'�"#,(#�#�:&�'(+�'�E&)"'�3 '�,�#:()#3 '�"'�,#./&�#3#,(2"&�
�3 0:
:3 0:
CG?
�
�
JxW x =
ymáx.
JxW y =
xmáx.
[[[[ J ] [[[[ L ][[[[ W ] = = = [[[[ L ]
x ou y [[[[ L ]
BS
������ ��� ������ � ;� � �#� �
� ��T �� @��K � ��������������� � ��Y
X
a
b
4( a )
J(x,y) =12
a 3i(x,y) =
6
3a
W(xy) =6
������ ��� ������ � ;� � �#� �
� ��� ������ ����� ��������������@Y
X
4 4
� ( D – d )J(x,y) =
64
2 2D + d
i(x,y) =4
d
D
4 4
� ( D – d )W(x,y) =
32D
������ ��� ������ � ;� � �#� �
� ��� �������������Y
X
a
4( a )
J(x,y) =12
a 3i(x,y) =
6
3a 2
W(xy) =12
b
������ ��� ������ � ;� � �#� �
� ��� ����U �� � �����U �� � ���@Y
X
3( b.h )
Jx =36
h 2ix =
6
b.h ²Wx =
24
b
h
3( h.b )
Jy =36
b 2iy =
6
h.b ²Wy =
24
������ ��� ������ � ;� � �#� �
� ��� ������������������ �� �����@Y
X
a
4 4( a ) – ( b )
J(x,y) =12
a ² +`b ²i(x,y) =
12 b
b
a
2 ( a + b ) i(x,y) =
12a
4 4
������ ��� ������ � ;� � �#� �
� ��� ��� ���J�C�� ���@
Jx = 0,1098 r
r
4 Jy = 0,3927 r 4
ix = 0,2640 r iY = 0,5000 r
Wx = 0,1900 r Wy = 0,3927 r 3 3
������ ��� ������ � ;� � �#� �
� ��� ��V�����C�� ���@
�: <��> <��W;WXBY�)4
3
r
Y
X
�: <��> <��W; ZBW�)
�: <��> <��W;WYXS�)3
������ ��� ������ � ;� � �#� �
� ��� ����C������@[E'\������������['E\
�: <������������]�����> <B����������������������B
3
Y
X
�����������'��������������� ��:<����������<������]��> <�����������<�
4��� ���������������� �
[E'\ [E'=�: <���������������]�����: <�������
B'������������������������B['E\������������������['E=
�> <���������������]�����> <BE������������������������B
?�3 0:
��30:
E
'
� )#'�<['E
'��%(#-)'8�"#�0)#'�"&,�1)&"2(&,�#%()#�1#42#%',�$)'.6#,�"#�0)#'
¨"�¨ "#�23 '�,21#)$75�#�#3 �)#8'./&�D,�5&&)"#%'"',�)#$#)#%5�'"',�D
23 �#�:&�
������������C�� ����� ����� ������������ �:>�:>
A
dA
y
Y
X
x
�:> <�^ :>":>"��
���Q���� �����K � ������� ���� �����
�#1#%"#%"&�"'�1&,�./&�"'�,21#)$75�#�#3 �)#8'./&�'&�#�:&�)#$#)#%5�'8?�#��;�&�1)&"2(&��%#)5�'8;�1&"#)0�,#)�1&,�(�*&;�%#-'(�*&�&2�'(+�%28&�� #)0�1&,�(�*&�42'%"&�1)#"&3 �%')�%&�I_�#�S_�42'")'%(#�#�%#-'(�*&�%& _�#�B_�42'")'%(#;�#�,#)0�%28&�42'%"&�O&2*#)�#�:&�"#�,�3 #()�'�
X<0Y>0
X>0Y>0
X>0Y<0
X<0Y<0
X
Y
I_�#�S_�K � ������� ��:> >>>> W _�#�B_�K � ������� ��:> ` W�� ������� �������� ��:> < W
� ���������������������� � �������������� ��a ��� ����¨ ��¨ @
#%(/&@ �1 <� ' )) "�"�'
�E,@��0 23 �5&%"�5�&%'%(#;��,(&�+@�
"#,"#�42#@ ) <�: F�> ��
�1 <� ' MM: F�> N"N"'�����1 <[[[[ ' : ""'�F ' > ""'�A �1 <��: F��>
� 21#)$75�#�5#%()7$2-'@�������<���:�> G��
�&3 #%(&�5#%()7$2-&�&2�1)&"2(&�"#��%+)5�'@
��:�> <� :�>�"��
�������������������������� ��
���� ����
����������� (#�%#) P �)'%,1&)(#�"#�#�:&,
�&3 �?�#��;�42#�,/&�#�:&,�,&E)#�&��� ;�"#�23 '�,21#)$75�#;�"#(#)J3 �%0*#8��,#�(&)%'�&�3 &3 #%(&�"#��%+)5�'�"#,('�,21#)$75�#�#3 �)#8'./&'�23 �&2()&�#�:&�1')'8#8&�2�#3 �?�#�*�#3 ��;�'18�5'%"&J,#�&(#&)#3 '�"#�� (#�%#);�',,�3 @
"�
��
>
:
2
*
E
'�
Juv = � (y + a)(x + b) dA
Juv =� xyd� F�a^�:"� F�E^�>"� F�'E ^�"�
A
A
Y
X
A A A
�&3 &�&,�#�:&,�:�#�>�1',,'3 �1#8&��� ;�(#3 J,#@
a ^�:"� <�W����# ^�>"� <�W
��#�E�<W�1&)�,#)#3 �#3 �$2%./&�"&�#�:&:�#�>�42#�1',,'3 �1#8&���
�%(/&@��2* <��:> F���'�E
A A
���� ��� ������������� �� � ���C���� ������� �
� ��T �� @��K � ��������������� � ��Y
X
a
b
Jxy = 0
Xa
a
� ��� ����U �� � �����U �� � ���@Y
X
b
h
ME=�O=N�:> <
b �
���� ��� ������������� �� � ���C���� �������
��?�� ���������� ���������
H',#�(#c)�5'@
IJ�#8&��� �"#�23 '�,21#)$75�#;�1',,'3 ��%$�%�(&,�#�:&,;�#�%23 �"#,,#,�#�:&,;�1',,'3 �&,�1')#,�"#�3 #%&)�#�3 '�&)�3 &3 #%(&�"#��%+)5�'� J��"#�3 '�&)�3 &3 #%(&�#,(')0�3 '�,�'$',('"&�&2�"�,('%(#�"&,�#8#3 #%(&,�"#�,21#)$75�#;�42#�$&)3 '3 �'�,21#)$75�#�(&('8�SJ��"#�3 #%&)�3 &3 #%(&�#,(')0�3 '�,�1#)(&�&2�1)c:�3 &�"&,�#8#3 #%(&,�"#�,21#)$75�#;�42#�$&)3 '3 �'�,21#)$75�#�(&('8�
��?�� ���������� ���������
.C.G.
Jmín.
Jmáx.
X
Y
u
v
ααααmín.
ααααmáx
.
"�
u
v
Jmáx. = 0,5(Jx+Jy) + (Jx-Jy)² + 4J²xy
Jmín. = 0,5(Jx+Jy) - (Jx-Jy)² + 4J²xy
Valores de αααα
tg.αααα máx = Jx - Jy Jxy e tg.αααα míx = Jx - Jy Jxy
��?�� ���������� ���������
.C.G.
Jmín.
Jmáx.
X
Y
u
v
ααααmín.
ααααmáx
.
"�
u
v
Então: αααα máx = αααα mín + 90°
�,,�3 �,#%"&@�
K 2'842#)�1')�"#�#�:&,�"#$','"&,�"#�YWd�#%()#�,�;�#�42#�1',,'3 �1#8&��� �"'�,21#)$75�#;�(#)0�'�,&3 '�"#�,#2,�3 &3 #%(&,�"#��%+)5�'�5&%,('%(#�
�3 0:��F��3 7%�<�: F��>
���������������������
��� � ������� ������������������������������������ �� � ��� � ����������� ������������������� ��� �� �� �������!������
� �� � �����"Jp = ^� r ² d r ² d �
# �������"
Jp = ^A ( x² + y² ) d A
Jp = ^A x² d A + ^A y² d A
Portanto:Jp = Jx + Jx
'�)#8'./&�#%()#�&��3 &3 #%(&���"#��%+)5�'�1&8')�"'�,#./&�#3 �#,(2"&�5&3 �&�5&3 1)�3 #%(&�"&��1&8& 3 '�,�"�,('%(#�"'�$'5#�"'�,#./&�#3 �#,(2"&�
�1
����<
)��0:
�� �� �������� �� ������������� ��
[[[[ L ] �%08�,#�"�3 #%,�&%'8[[[[ Wp ] = = [[[[ L ]
[[[[ L ]
43
)�30:
#���
Y
X
�3 1&)('%(#�&E,#)*'./&@
$ �� %��������� ��&�� ������������ � ��� � ����������������'������� �!���(����������� ���������������� ��������!������� � ���������� %������ � ����� �������)�����������������������*�
������ ��� ������ �1 #� �1
� ��T �� @������� � ��Y
X
b
h
b . h ( b² + h² )Jp =
12
b . h² Wp =
3+ (1,8 . h/b)
������ ��� ������ �1 �#� �1
� ��� ������ ����� ��������������@Y
X
4 4
� ( D – d )Jp =
32 d
D
4 4
� ( D – d )Wp =
16D
������ ��� ������ �1 #� �1
� ��� ������ �������K � ����������������@Y
X
4 4
� ( D ) – a )Jp =
32 D
3 4�d – a
Wp = -16D 3d
a
a
� ��� ������ �������� �?��Q��������������@
ad X
Y
45 3 . a
Jp =8
�d³ 5 3aWp = -
16 4d
4
������ ��� ������ �1 #� �1
�?��C����IJ�#(#)3 �%')@�
J�&3 #%(&,�"#��%+)5�'@J0�& "#�-�)'./&@J�c"28&�"#�)#,�,(e%5�'
"'"&,@'<I b3 3 ��↔↔↔↔ M�I ;b53 NE<I b3 3 ��↔↔↔↔ M�I ;b53 N
#,&8*#%"&@I�IJ�#(#)3 �%'%"&�&,�3 &3 #%(&,�"#��%+)5�'� � @
'���������������������I ;b�������,#./&�42'")'"'@��:<�><���������� �:<�><
I ���������������������I
���� �:<�><� IZb;fb53 ���≅≅≅≅ IZf53
Y
X
b
a
44
4 4
I� J�#(#)3 �%'%"&�&,�)0�&, "#�-�)'./&� � @
I�SJ�#(#)3 �%'%"&�&,�3 c"28&,�"#�)#,�,(e%5�' � @
a 3i(x,y) =
6
12,7 3ix = iy = = 3,67 cm
6
4
3a
W(xy) =6
312,7
W(xy) =6
W(xy) = 341,4 cm ³
�?��C���� J�#(#)3 �%')@�
J�&3 #%(&,�"#��%+)5�'@J0�& "#�-�)'./&@J�c"28&�"#�)#,�,(e%5�'
"'"&,@"< XB3 3 ��↔↔↔↔ M� X;B53 N
#,&8*#%"&@ �IJ�#(#)3 �%'%"&�&,�3 &3 #%(&,�"#��%+)5�'� � @
Y
Xd
4� . d
J(x,y) =64
4�.(25,4 )
J(x,y) =64
J(x,y) =20.431,7 cm4
� J�#(#)3 �%'%"&�&,�)0�&, "#�-�)'./&� � @
�SJ�#(#)3 �%'%"&�&,�3 c"28&,�"#�)#,�,(e%5�' � @
3�.25,4
W(xy) =32
W(xy) = 1.608,80 cm ³
di(x,y) =
4
25,4i(x,y) =
4i(x,y) = 6,35 cm
3�.d
W(xy) =32
������ ��� ������ � ;� � �#� �
SJ� ��� ����U �� � �����U �� � ���@
Y
X
3b. ( h )
Jx = jy =36
381 mm
381m
m
S�IJ�#(#)3 �%'%"&�&,�3 &3 #%(&,�"#��%+)5�'� � @
338,1 x (38,1h )
Jx = jy =36
381 mm = 38,1 cm
4Jx = jy = 58.532,54 cm
������ ��� ������ � ;� � �#� �
SJ� ��� ����U �� � �����U �� � ���@
Y
X
381 mm
381m
m
S� J�#(#)3 �%'%"&�&,�3 &3 #%(&,�"#��%+)5�'� � @
Jx = jy = 8,98 cm
h 2ix = iy =
6
38,1 2ix = iy =
6
������ ��� ������ � ;� � �#� �
SJ� ��� ����U �� � �����U �� � ���@
Y
X
h³ Wx = Wy =
24
381 mm
381m
m
38,1³ Wx = Wy =
24 Wx = Wy = 2304,43cm³
S�SJ�#(#)3 �%'%"&�&,�3 c"28&,�"#�)#,�,(e%5�'� � @
�?��C����BJ�#(#)3 �%')@�
J�&3 #%(&,�"#��%+)5�'@J0�& "#�-�)'./&@J�c"28&�"#�)#,�,(e%5�'
"'"&,@'<ISX3 3 ��↔↔↔↔ M� X;W53 NE< XW3 3 ��↔↔↔↔ M�IS;X53 N
#,&8*#%"&@B�I'J�#(#)3 �%'%"&�&,�3 &3 #%(&,�"#��%+)5�'� �: @
'�E����������������� X���IS;X,#./&�42'")'"'@��:<���������������� �:<
I ���������������������I
���� �:<������XI X;bf53 ���≅≅≅≅ XI Z53
Y
X
b
a
3 3
4 4
�?��C����BJ�#(#)3 �%')@�
J�&3 #%(&,�"#��%+)5�'@J0�& "#�-�)'./&@J�c"28&�"#�)#,�,(e%5�'
"'"&,@'<ISX3 3 ��↔↔↔↔ M�IS;X53 NE< XW3 3 ��↔↔↔↔ M� X;W53 N
#,&8*#%"&@B�IEJ�#(#)3 �%'%"&�&,�3 &3 #%(&,�"#��%+)5�'� �> @
E�'�����������������IS;X��� X;W�,#./&�42'")'"'@��><���������������� �><
I ���������������������I
���� �><IbXbf;IS�53 ≅≅≅≅ IbXbY53
Y
X
b
a
3 3
4 4
B� J�#(#)3 �%'%"&�&,�)0�&, "#�-�)'./&� � @
a 3i(x) =
6
25,0 3ix = = 7,22 cm
6
13,5 3iy = = 3,90 cm
6
b 3i(y) =
6
B� 'J�#(#)3 �%'%"&�&,�)0�&, "#�-�)'./&� �: @
B� EJ�#(#)3 �%'%"&�&,�)0�&, "#�-�)'./&� �> @
B�SJ�#(#)3 �%'%"&�&,�3 c"28&,�"#�)#,�,(e%5�' � @
3b . ( a )
W(x) =6
313,5 . (25,0 )
W(x) =6
W(x) = 35.156,25 cm ³
3a . ( b )
W(y) =6
325,0 . ( 13,5 )
W(y) =6
W(y) = 10.251,56cm ³
B�S'J�#(#)3 �%'%"&�&,�3 c"28&,�"#�)#,�,(e%5�'� �: @
B�SEJ�#(#)3 �%'%"&�&,�3 c"28&,�"#�)#,�,(e%5�'� �> @