3246-6414-1-PB.pdf

7/24/2019 3246-6414-1-PB.pdf

1/5

UJ M 2(2)(2013)

UnnesJournalofMathematics

http:/ / journal.unnes.ac.id/ sju/ index.php/ ujm

2012UniversitasNegeri Semarang

ISSN 2252-6943

Info Artikel Abstrak

Abstract

PELABELAN TOTAL SISI AJ AI B PADA GRAF DOUBLE STARDAN G RAFSUN

M uhammad A kbar M uttaqien , M ulyono, A min Suyitno

J urusan Matematika, FM IPA, Universitas Negeri Semarang, IndonesiaGedung D7 Lt.1, K ampus Sekaran Gunungpati, Semarang50229

Sejarah Artikel:DiterimaApril 2013DisetujuiJuli 2013DipublikasikanNopember 2013

Pelabelan total sisi ajaib (edges magic total labeli ng) pada graf G adalah pemetaanbijektif dari V(G) E(G) pada himpunan {1,2,3,,p+q}, dengan p=| V(G)| danq=| E(G)| sehingga untuk sebarang sisi (xy) di G berlaku (x)+ (xy)+ ( )=k,untuk suatu konstanta , dan kdisebut konstanta ajaib. Tujuan dari penulisan iniyaitu untuk mengetahui pelabelan total sisi ajaib dan mencari konstanta ajaibpada graf double star dan graf sun. Metode yang digunakan dalam skripsi iniadalah dengan mengumpulkan sumber pustaka berupa buku maupun referensilain yang selanjutnya dijadikan landasan untuk melakukan penelitian ini.Berdasarkan penelitian, disimpulkan bahwa setiap grafdouble star(Sn,m) dengan ndan m bilangan asli, dan n,m2 mempunyai pelabelan total sisi ajaib dengankonstanta ajaibk=3n+2m+1. Setiap graf sun (Mn) dengannbilangan asli ganjildan n3 mempunyai pelabelan total sisi ajaib dengan konstanta ajaibk=(9n+3)/ 2.

Alamat korespondensi:[email protected]

Keywords:

Edges M agic Total

Labeling

DoubleStar Graph

Sun Graph

Edges magic total labeling on graph G is a bijective map of from V(G) U E(G)to {1,2,3,,p+ q}, withp=| V(G)| andq=| E(G)| , therefore, for any given edges(xy) on Gthere applies (x)+ (xy)+ (y)=k, for a constant k, and kis called as amagic constant ofG.Thepurpose of thispaper is to understand the edges magictotal labeling and find outk(magic constant) on double star graph and sun graph.Themethod that is used in this paper is by collectingresources such as booksand

other literatures which further are used as the base or background to do thisresearch. Based on the study, it was concluded that in every double star graph(Sn,m), withn, m are positive integer andn,m2, have edges magic total labelingwith the magic constant k=3n+2m+1. For every sun graph (Mn) with odd numbern, and n3, has the edges magic total labeling with the magic constantk=(9n+3)/ 2.

7/24/2019 3246-6414-1-PB.pdf

2/5

86

MA Muttaqien et al/ UNNES Journal of Mathematics 2 (2) (2013)

PendahuluanM enurut Budayasa(2007,1) sebuah graf

terdiri dari himpunan berhingga tak kosongV(G) yang elemen-elemennya disebut titik danhimpunan berhingga (mungkin kosong) E(G)yang elemen-elemennya disebut sisi, sedemikianhingga setiap elemen e dalam E(G) merupakanpasangan tak berurutan dari titik-titik di V(G).Sebuah graf G dapat direpresentasikan padagambar sehingga membentuk pola graf tertentu.Pola-pola yang terbentuk didefinisikan dandikelompokkan menjadi kelas-kelas graf.Beberapa kelas graf menurut banyaknya sisiyang insiden terhadap titik antara lain grafreguler, yang derajat setiap titiknya adalah samadan graf irreguler, yang derajat setiap titiknyaada yangtidak sama.

Ada beberapa contoh graf yangtermasuk graf khusus. Seperti graf lintasan,graf sikel, grafstar, graf double star, graf sundanlain lain. Menurut J errold dkk (1979) grafdouble starS

n,m adalah graf yang terdiri dari duagrafstaryaitu S

ndan S

m(n,m2), dimana kedua

titik sentralnya saling bertetangga.

M enurut Wallis dkk (2000) graf sun(matahari) adalah suatu graf sikel Cn dengandiakhiri oleh sebuah sisi dan sebuah titikberderajat 1 yang melekat pada masing-masingtitik Cn. Grafsundinyatakan dengan M ndengan

n (n3) menyatakan ukuran dari graf sun danmengarah pada banyaknya titik pada graf sikelyang digunakan untuk membentuk graf suntersebut.

Dalam teori graf terdapat sebuah topikbahasan yaitu pelabelan. Objek kajiannyaberupa graf yang direpresentasikan titik dan sisiserta himpunan bagian bilangan asli yangdisebut label. Menurut Baskoro (2007)pelabelan graf adalah suatu pemberian nilaipada titik atau sisi dari graf atau keduanyasehingga memenuhi kondisi tertentu. Pelabelan

graf pertama kali diperkenalkan oleh Rosapadatahun 1967. Pemanfaatan teori pelabelan grafsangat dirasakan peranannya, terutama dalamsektor sistem komunikasi dan transportasi,navigasi grafis, radar, penyimpanan datakomputer, dan desain int egrated circuit padakomponen elektronik.

M enurut G allian (1997) pelabelan ajaibpertama kali diperkenalkan oleh Sadlck padatahun 1963, kemudian Stewart padapertengahan tahun 1960 yang mempelajariberbagai cara untuk melabeli sisi-sisi pada suatu

graf. Menurut Baskoro (2007), Kotzig dan Rosamendefinisikan pelabelan ajaib pada graf Gsebagai pemetaan satu-satuf:V(G) E(G) {1,2,3,,| V(G)| +| E(G)| } yangmemenuhi kondisi bahwa f(uv)+f(u)+f(v)=k,untuk setiap sisi uv di E(G). Dalamperjalanannya untuk membedakan dengankonsep pelabelan ajaib lainnya, oleh Wallis dkk(2000) pelabelan tersebut diberi nama ulangmenjadi pelabelan total sisi ajaib.

Pelabelan total sisi ajaib (edges magictotal labeling) merupakan salah satu jenispelabelan ajaib. Menurut Wallis dkk (2000)pelabelan total sisi ajaib pada graf G adalahpemetaan bijektif dari V(G) E(G) padahimpunan {1,2,3,,p+ q}, dengan p=| V(G)|dan q=| E(G)| sehingga untuk sebarang sisi (xy)

di G berlaku (x)+ (xy)+ (y)=k, untuk suatukonstanta k, dan kdisebut konstanta ajaib padaG dan G disebut graf total sisi ajaib.

Dengan demikian penulis mencobameneliti pelabelan total sisi ajaib pada grafdouble star dan graf sun. Berdasarkan latarbelakang maka rumusan masalah yang diangkatdalam penelitian ini adalah (1) Bagaimana hasilpelabelan total sisi ajaib pada grafdouble star?(2) Bagaimana hasil pelabelan total sisi ajaibpada graf sun Mn (n bilangan asli ganjil)? (3)Bagaimana hasil kosntanta ajaib pada graf

double star? (4) Bagaimana hasil konstanta ajaibpada grafsun M

n(nbilanganasli ganjil)?

Penelitian ini bertujuan untuk (1)M emahami pelabelan total sisi ajaib pada grafdouble star. (2) Memahami pelabelan total sisiajaib pada graf sun Mn (n bilangan asli ganjil).(3) M engetahui konstanta ajaib pada grafdoublestar. (4) M engetahui konstanta ajaib pada grafsun M

n(nbilanganasli ganjil).

M etode Peneli tian

Metode yang digunakan dalampenelitian ini adalah kajian pustaka. K ajianpustaka merupakan penelaah sumber pustakarelevan yang digunakan untuk mengumpulkandata maupun informasi yang diperlukan dalampenulisan ini. K ajian pustaka diawali denganpengumpulan sumber pustaka yaitu bukureferensi dan jurnal-jurnal. Definisidefinisi danteoremateorema dalam referensi dikaji ulang,kemudian dirumuskan dalam perumusanmasalah, selanjutnya dikaji dalam pembahasan.Pada pemecahan masalah dilakukan langkah-langkah sebagai berikut. (1) Menjelaskan

7/24/2019 3246-6414-1-PB.pdf

3/5


87

definisi-definisi graf double star dan graf sunyang akan dijadikan objek penelitian, (2)Menjelaskan definisi-definisi terkait pelabelantotal sisi ajaib, (3) M elakukan percobaanpelabelan pada graf double star dengan aturan

pelabelan total sisi ajaib sehingga diperolehrumusan pembangun pelabelan dan konstantaajaib-nya, (4) Melakukan pembuktian denganteorema bahwa untuk setiap graf double starmemilki pelabelan total sisi ajaib, (5) M elakukanpercobaan pelabelan pada graf sun Mn (nbilangan asli ganjil) dengan aturan pelabelantotal sisi ajaib sehingga diperoleh rumusanpembangun pelabelan dan konstanta ajaibnya,dan (6) M elakukan pembuktian dengan teoremabahwa untuk setiap graf sun M

n(nbilangan asli

ganjil) memiliki pelabelan total sisi ajaib.

Hasil Peneli tian dan Pembahasan

Pelabelan total sisi ajaib padagrafdouble star

Sn.m

Gambar 1. Grafdoublestar Sn.m

Dari Gambar 1 maka dapat dinotasikanhimpunan titik dan himpunan sisi sebagaiberikut.

V(Sn,m

)={v0,v1,v2,v3,,vn-1,x0,x1,x2,x3,,x

m-1}dan,

E(Sn,m)={v0x0,v0v1,v0v2,v0v3,,v0vn-1,x0x1,x0x2,x0x3,,x0xm-1}.

Berdasarkan hasil penelitian, makadiperoleh rumusan pelabelan dalam Tabel 1

sebagai berikut.

Tabel 1. Rumusan pelabelan total sisi ajaib padagrafdoublestar

Pelabelan total sisi ajaib pada grafdouble star S

n,m akan disajikan dalam teoremaberikut.

Teorema 1

Graf double star Sn,m dengan n dan mbilangan asli mempunyai pelabelan total sisiajaib.

Bukti:Akan dibuktikan graf double star Sn,m

dengan n dan m bilangan asli mempunyaipelabelan total sisi ajaib. M isalkan, graf Sn,mmempunyai p=n+m, dengan q=n+m-1. Makap+q=2(n+m)-1, dengan

V(Sn,m

)={v0,v1,v2,v3,,vn-1,x0,x1,x2,x3,,x

m-1}dan,

E(Sn,m

)={v0

x0

,v0

v1

,v0

v2

,v0

v3

,,v0

vn-1

,x0

x1

,x0x2,x0x3,,x0xm-1}.

Definisikan pemetaan

f:V(Sn,m) E(Sn,m) {1,2,3,4,5,,2(n+m)-1}.Akan ditunjukkan pemetaan f adalah

pemetaan bijektif.

Dibuat pengaitan sebagai berikut.

f(v0 )=n+1;

f(vi)=i, untuk 1 in-1;

f(x0)=n;

f(xi)=n+1+i, untuk 1im-1;

f(v0v

i)=2(n+m)-i, untuk 1 in-1;

f(v0x0)=n+2m;

f(x0xi)=n+2m-i, untuk 1 im-1;

Berdasarkan pengaitan di atas, jadifadalah

pemetaan bijektif.Akan ditunjukkan sebarang sisi (xy) di

Sn,mberlaku f(x)+f(xy)+f(y)=3n+2m+1,

K asus1

Untuk sisi (v0vi) diSn,mdiperoleh

f(v0)+f(v0vi)+f(vi) =(n+1)+(2(n+m)-i)+i

=3n+2m+1.

K asus2

Untuk sisi (v0x0) diSn,mdiperoleh

f(v0)+f(v0x0)+f(x0) =(n+1)+(n+2m)+n

=3n+2m+1.

K asus3

Untuk sisi (x0xi) diSn,mdiperoleh

f(x0)+f(x0xi)+f(xi) =n+(n+2m-i)+(n+1+i)

=3n+2m+1.

7/24/2019 3246-6414-1-PB.pdf

4/5

88


Dari kasus 1, kasus 2, kasus 3, telahditunjukkan bahwa untuk sebarang (xy) di Sn,mberlaku f(x)+f(xy)+f(y)=kdengan k=3n+2m+1.

J adi terbukti bahwa setiap graf doublestar S

n,m

dengan n dan m bilangan asli,mempunyai pelabelan total sisi ajaib.

Pelabelan Total Sisi AjaibpadaGrafSun Mn

Graf sun Mn, dengan n bilangan asli

ganjil. Notasi titik graf Mn

disajikan padaGambar 2 sebagai berikut.

Gambar 2. Grafsun Mn

Dari Gambar 2 maka dapat dinotasikanhimpunan titik dan himpunan sisi sebagaiberikut.

V(Mn)={v1,v2,v3,,vn,x1,x2,x3,,xn}dan,E(M

n)={v1v2,v2v3,,vn-1vn,vnv1,v1x1,v2x2,v3x3,,

vnx

n}.

Berdasarkan percobaan pelabelan,maka diperoleh rumusan pelabelan dalam

Tabel 2 sebagai berikut.

Tabel 2. Rumusan pelabelan total sisi ajaib pada

grafsun.

Pelabelan total sisi ajaib pada graf sunM

nakan disajikandalam teoremaberikut.

Teorema 2Setiap graf sun Mn dengan n bilangan

asli ganjil mempunyai pelabelan total sisi ajaib.

Bukti:Akan dibuktikan bahwa graf sun Mn

dengan n bilangan asli ganjil mempunyaipelabelan total sisi ajaib.

Misalkan, GrafMnmempunyaip=2n, danq=2n, makap+q=4n, dengan

V(Mn)={v1,v2,v3,,vn,x1,x2,x3,,xn}dan,

E(Mn)={v1v2,v2v3,,vn-1vn,vnv1,v1x1,v2x2,v3x3,,

vnx

n}.

Definisikan pemetaan

f:V(Mn) E(Mn) {1,2,3,4,5,6,,4n}.Akan ditunjukkan pemetaan f adalah

pemetaan bijektif.

Dibuat pengaitansebagai berikut:

f(vi)=(i+1)/ 2, untuk ibilanganasli ganjil

1 in;

f(vi)=(n+1+i)/ 2, untuk ibilangan asli genap

1

7/24/2019 3246-6414-1-PB.pdf

5/5


89

K asus5

Untuk sisi (vix

i) diM

n, dengan ibilangan asli

genapdiperoleh

f(vi)+f(v

ix

i)+f(x

i) =(9n+3)/ 2.

Pada kasus 1, kasus 2, kasus 3, kasus 4,dan kasus 5 telah ditunjukkan bahwa untuksebarang sisi (xy) di M

n berlaku

f(x)+f(xy)+f(y)=k, dengan k=(9n+3)/ 2.

Jadi terbukti bahwa setiap graf sun Mndengan n bilangan asli ganjil mempunyaipelabelan total sisi ajaib.

SimpulanDari hasil penelitian dan pembahasan

yang telah dilakukan, maka simpulan yangdapat diambil mengenai pelabelan total sisiajaib pada grafdouble stardan graf sunadalahsebagai berikut.

Setiap grafdouble star Sn,mdengan ndanm bilangan asli mempunyai pelabelan total sisiajaib. Pelabelan dibentuk dengan pengaitansebagai berikut.

f(v0 )=n+1;

f(vi)=i, untuk 1 in-1;

f(x0)=n;

f(xi)=n+1+i, untuk 1 im-1;

f(v0vi)=2(n+m)-i, untuk 1 in-1;f(v0x0)=n+2m;

f(x0xi)=n+2m-i, untuk 1 im-1.

Diperoleh konstanta ajaib k=3n+2m+1.Setiap graf sun M

n dengan n bilangan

asli ganjil mempunyai pelabelan total sisi ajaib.Pelabelan dibentuk dengan pengaitan sebagaiberikut.

f(vi)=(i+1)/ 2, untuk ibilanganasli ganjil

1 in;

f(vi)=(n+1+i)/ 2, untuk ibilangan asli genap

1 < i< n;

f(xi)=2n-i+1, untuk 1in;

f(vivi+1)=4n-i, untuk i=1,2,3,4,,n-1;

f(vnv1)=4n;

f(vix

i)=(5n+i)/ 2, untuk ibilanganasli ganjil

1 in;

f(vix

i)=(4n+i)/ 2, untuk ibilangan asli genap

1 < i< n.

Diperoleh konstanta ajaib k=(9n+3)/ 2.

Ucapan TerimakasihUcapan terima kasih disampaikan

kepada semua pihak yang telah ikut membantudalam penyelesaian artikel ini

Daftar PustakaBaskoro, E. T. 2007. Mengenalkan Indonesia

Melalui Teori Graf. Pidato IlmiahGuruBesar Institut Teknologi Bandung diBalai Pertemuan Ilmiah ITB. Bandung,13Juli.

Budayasa, I. K . 2007. Teori Graph danAplikasinya. Surabaya: UnesaUniversity Press.

Gallian, J.A. 2008. A Dynamic Survey ofGraphLabeling. TheElectronic

J ournal of Combinatorics, volume15.Minnesota. United StateOf America.

Tersedia di:www.combinatorics.org/ ojs/ index.php/eljc/ article/ download/ DS6/ pdf/(diunduh 29 Mei 2013).

J errold, dkk. 1979. Generalized RamseyTheory for Graph, x: DoubleStar.DescreteMathematics, volume28. 247-254. Tersedia di:http:/ / www.sciencedirect.com/science/ article/ B6V00-45J C8K2-6T/ 2/ 58dfb68c74eb0c0516b320d269777fc6(diunduh 30 J uni 2013).

Wallis, W. D, dkk. 2000. EdgeMagic TotalLabeling. Australasian J ournal of

Combinatorics, volume22. 177-190.Tersedia di:http:/ / ajc.maths.uq.edu.au/pdf/ 22/ ocr-ajc-v22-p177.pdf/(diunduh 5 M ei 2013).

Documents

3246-6414-1-PB.pdf