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Derivabilidad formal: completando
cálculos
El estudio de la derivabilidad formal para lenguajes de Primer Orden adopta la
forma de una mera extensión de las técnicas ya establecidas para el caso de LE. Esto
se traduce en la preservación del formato general de cada uno de los cálculos ya
estudiados y en la correspondiente adición de las reglas destinadas a tratar con los
cuantores. Las reglas que empleemos para manipular conectivas en expresiones de LC
son exactamente las mismas que empleábamos en el caso de LE. En este punto sí
parece confirmarse la existencia de una especie de manifiesta independencia entre
cada una de las constantes lógicas que integran este lenguaje. No parece darse esa
especie de dependencia residual entre conectiva que hemos constatado en la
presentación de algunas reglas en diversos cálculos. Esta afirmación no puede
aplicarse, como es evidente, al caso de los sistemas axiomáticos en los que la
interdependencia entre las diversas constantes lógicas constituye un rasgo diferencial.
Como es costumbre, empezaré por analizar la derivablidad, demostrabilidad,
sería lo correcto, en el caso de los sistemas axiomáticos. Luego seguiremos por la
descripción del Cálculo de Deducción Natural, las Tablas Analíticas, y finalizaré por el
Cálculo de Secuentes. Pese a que la estrategia parece fuertemente conservadora,
además de repetitiva, tendremos oportunidad de anunciar y discutir cambios
sustanciales en la conducta de estos cálculos forzada por la presencia de las reglas de
los cuantores. Esto servirá para que empecemos a familiarizarnos con un fenómeno
común en Lógica: el efecto que un cambio en la potencia expresiva de un lenguaje
tiene sobre la conducta general de las relaciones de consecuencia semántica y
derivabilidad formal definidas sobre ese lenguaje.
Lógica de Primer Orden
252
Sistemas axiomáticos. Tomaré como base para introducir los nuevos axiomas y reglas
el sistema ofrecido en [8], cap.2.6. Un rasgo característico de las reglas dedicadas a la
manipulación de cuantores es la inclusión de ciertas restricciones relativas a la
presencia de variables y constantes, términos en general, bajo el alcance de los
cuantores que se analiza. La siguiente definición es necesaria para establecer una de
esas restricciones.
[1] Decimos que un término t está libre con respecto a la variable x en una
fórmula A en la que ocurre x syss ninguna ocurrencia libre de t cae bajo
el alcance de un cuantor en el que x ocurre.
Esta definición simplifica una situación algo más compleja forzada por la
presencia de términos funcionales, expresiones del tipo f(t1,...tn), de las cuales he
prescindido por ahora. En una fórmula como ∃xR(y,x), la variable y no está libre con
respecto a la variable x, por ejemplo. De todos modos, no deseo insistir demasiado en
una serie de restricciones con las que realmente no vamos a trabajar en lo sucesivo.
El sistema que resulta de añadir a [8], cap. 2.6 los nuevos axiomas y reglas es el
siguiente:
[2] Sistema axiomático para LC: AxC.
Ax.1 | A→(B→A)
Ax.2 | (A→B)→((A→(B→C))→(A→C))
Ax.3 |A→(B→A&B)
Ax.4 |A&B→A
Ax.5 |A&B→B
Ax.6 |A→AvB
Ax.7 |B→AvB
Derivabilidad formal: completando cálculos
253
Ax.8 |(A→C)→((B→C)→(AvB→C))
Ax.9 |(A→B)→((A→¬B)→¬A)
Ax. 10 |¬¬A→A.
Ax. 11 | A(t)→∃xA(x), donde t está libre en A respecto a x
Ax. 12 | ∀xA(x)→A(t), donde t está libre en A respecto a x
R1) |A |A→B
|B
R2) | B→A(x)
|B→∀xA(x) donde B no contiene ocurrencias libres de x
R3) | A(x)→B
| ∃xA(x)→B donde B no contiene ocurrencias libres de x.
La restricción introducida en el Ax.11 se explica porque de otro modo,
∃xRxt→∃xRxx resultaría ser una simple instancia de substitución de dicho axioma, y
por tanto, habríamos de aceptar que tal fórmula es demostrable. Sin embargo, se trata
de una expresión claramente falsa e inaceptable desde un punto de vista intuitivo. La
restricción correspondiente al Ax. 12 hace lo propio con fórmulas del tipo
∀x∃yRxy→∃yRyy. En el caso de las reglas nos enfrentaríamos a situaciones parecidas
cuya identificación queda como ejercicio.
[3] Una fórmula A es demostrable en AxC, |AxcA en símbolos, syss existe
una demostración de A a partir de Ax.1-Ax.12 y R1-R3.
La exposición de este sistema debería dar por finalizado nuestro recorrido por
la demostrabilidad en LC, o lo que es lo mismo, debería bastar como discusión de los
sistemas axiomáticos en el contexto de la Lógica de Primer Orden. Como se puede
ver, la presentación de AxC no parece mejorar en nada las dificultades que ya
Lógica de Primer Orden
254
encontrábamos en el caso de LE para trabajar con este tipo de formalismos. Seguimos
tratando con un cálculo difícil de manejar, más aún si cabe, y nada bien orientado,
desde luego, a lo que he venido denominando el problema de la decisión.
Pese a todo ello, es en este punto donde los sistemas axiomáticos han ejercido
una mayor influencia sobre el pensamiento abstracto y sobre el desarrollo de la
Matemática moderna. A mi entender esto se debe, no tanto a las escasas bondades
que los sistemas axiomáticos presentan como herramientas de cálculo, sino a la
combinación de dos hechos independientes: i la capacidad expresiva de que se
dispone en LC permite formular principios generales aplicables a multitud de dominios
y entidades y ii. la existencia de una antigua fascinación por descubrir colecciones
necesarias y suficientes de principios o postulados capaces de determinar toda la
conducta de una determinada entidad abstracta. El caso paradigmático es el de la
geometría euclídea concebida desde sus inicios como un sistema axiomático cuyos
principios son todos ellos demostrables a partir de una serie de postulados y reglas de
inferencia.
El nombre que este tipo de sistemas suele recibir es el de teorías de Primer
Orden, aunque también es frecuente oír hablar de Lenguajes de Primer Orden. Una
teoría de Primer Orden es un sistema axiomático definido sobre un lenguaje de Primer
Orden en el que aparecen símbolos destacados que desempeñan un papel especial.
Por lo general, el sistema considerado en cada caso intenta caracterizar la conducta
de la noción representada por esos nuevos símbolos incorporados a LC. En términos
estrictamente técnicos tendríamos lo siguiente:
[4] Una teoría de Primer Orden es un sistema axiomático de Primer Orden
en el que junto con los símbolos de LC pueden aparecer otros nuevos
pertenecientes en cualquier caso a una categoría de Primer Orden junto
con una lista de axiomas específicos en los que figuran alguno de los
nuevos símbolos considerados.
Derivabilidad formal: completando cálculos
255
Una teoría de Primer Orden contiene, pues, toda el aparato expresivo y
deductivo de LPO junto con nuevos axiomas destinados a demostrar fórmulas que no
son aceptables en virtud sólo de su forma y del significado de sus constantes lógicas.
Veámoslo con un ejemplo.
[5] Teoría de los Órdenes (orden parcial)
Ax.1 ∀x x≤x
Ax.2 ∀x∀y (x≤y & y≤x →x=y)
Ax.3 ∀x∀y∀z (x≤y & y≤z → x≤z)
Salvo que por alguna razón sea preciso aclarar los axiomas y reglas del
fragmento puramente lógico, una teoría de Primer Orden se suele especificar
mencionando sólo los axiomas que esta añade. En el caso anterior, basta con tres de
ellos. Estos axiomas permiten obtener, con la ayuda eventual del armazón lógico
subyacente, todas las fórmulas que representan correctamente la conducta del
símbolo “≤”. Aunque hablar de este modo es básicamente correcto, siempre puede
parecer que la caracterización axiomática de un símbolo, “≤” en este caso, responde a
la identificación previa de un significado al cual deseamos ceñirnos. A medida que
aumenta el nivel de abstracción de las teorías consideradas, esta imagen se
substituye por otra en la que los axiomas establecen directamente la conducta del
símbolo en cuestión sin que podamos presumir la existencia de un contexto previo.
Sea como fuere, queda claro que es en el estudio y caracterización de teorías
de Primer Orden donde se puede sacar todo el partido a este tipo de mecanismo
deductivo. Como ya dije en su momento, los sistemas axiomáticos son interesantes
cuando lo que se intenta es analizar de forma perspicua las propiedades metateóricas
de un sistema. Saber que un cierto concepto o relación abstracta puede ser
caracterizada como una teoría de Primer Orden con estos o aquellos axiomas
particulares, suele aportar una cantidad de información general sobre la conducta de
Lógica de Primer Orden
256
ese concepto o relación realmente notable. Esto es algo que, de todos modos, no
estamos en condiciones de entender y evaluar en un curso introductorio como éste.
En la formulación de los axiomas para la teoría de los órdenes parciales me he
permitido la licencia de emplear el símbolo de identidad “=” como símbolo primitivo. La
práctica habitual en el momento en que la Lógica se empieza a usar como herramienta
de análisis y fundamentación de la Matemática, es considerar el símbolo de identidad
como una constante lógica más cuya conducta se caracteriza de forma independiente.
No obstante, esta no es la costumbre en el dominio de la Lógica pura. El resultado de
esta maniobra es lo que se conoce como Lógica de Primer Orden con Identidad. El
lenguaje correspondiente se identificará mediante LC=. La única novedad en este punto
hace referencia al modo de emplear el nuevo símbolo introducido. Esto da lugar a lo
siguiente:
[6] Lenguaje de la Lógica de Primer Orden con identidad LC=. Junto a las
cláusulas ya consideradas para definir fbfC se añade la siguiente
cláusula adicional:
c=) Si t y t’ son términos t=t’ es una fbfC=.
En el dominio de un sistema axiomático, incorporar el símbolo de identidad “=”
al aparto lógico del sistema puede quedar reducido a presentar los axiomas
correspondientes a “=”. Nadie se extrañará de que el resultado sea el que se indica a
continuación:
[7] Axiomas para la identidad:
Ax.1 ∀x (x=x)
Ax.2 ∀x∀y (x=y → y=x)
Ax.3 ∀x∀y∀z (x=y & y=z →x=z)
Derivabilidad formal: completando cálculos
257
Para finalizar este breve recorrido por las teorías de Primer Orden quiero hacer
una advertencia acerca del número de axiomas que eventualmente pueden precisarse
para caracterizar adecuadamente una determinada noción, y de paso, alguna
precisión de interés sobre otros usos del término “teoría”. En la definición [4] sólo se
menciona una lista de axiomas específicos que se añaden a la lista de axiomas
puramente lógicos. Nada exige que esa lista haya de ser finita. La aceptación –ya
hablaremos más delante de qué significa aceptar en este contexto- de una
determinada teoría axiomática como una representación satisfactoria de los rasgos de
un cierto concepto o teoría informal puede requerir que el número de axiomas no sea
finito. Decimos que una teoría es finitamente axiomatizable si existe un número finito
de axiomas que permiten dar cuenta satisfactoriamente de esa teoría. En otro caso, la
citada teoría será no-finitamente axiomatizable. Tal y como hemos venido hablando
aquí a partir de la definición [4] una teoría existe sólo en la medida en que existe una
axiomatización, finita o no, de la misma. Esta costumbre se apoya en la supuesta
legitimidad de confundir una teoría axiomatizable con la colección de axiomas que la
caracterizan. En contextos más abstractos, la costumbre es otra. Una teoría de Primer
Orden es un simple conjunto de fórmulas de LC cerrado bajo consecuencia. Una teoría
T, así entendida, será axiomatizable si somos capaces de establecer una colección
necesaria y suficiente de axiomas que permitan obtener T a partir de dicha colección
de axiomas. Pero al operar de este modo estamos admitiendo igualmente, la
posibilidad de reconocer la existencia de teoría no ya no-finitamente axiomatizables,
sino no-axiomatizables en absoluto. Este tipo de productos de nuestro ingenio formal
son, además, mucho más comunes de lo que cabría esperar. Por el momento
mantendré las dos acepciones del término teoría de Primer Orden reservándome la
opción de elegir por una u otra si el contexto así lo aconseja.
Cálculo de Deducción Natural. En el Cálculo de Deducción Natural cada nueva
constante lógica quedaba asociada a un par de reglas: aquella que muestra cómo
introducir esa constante, y la que indica cómo eliminarla en fórmulas en las que figura
como constante lógica principal. Como ya indiqué en su momento, es dudoso que
cada uno de estos pares pueda ser tomado como una genuina definición de la
Lógica de Primer Orden
258
constante en cuestión. Por eso mismo he preferido siempre adoptar una posición más
cauta en este asunto y hablar simplemente del par de reglas asociado a esa
constante. Lo que sí es innegable es la existencia de un genuino análisis del
significado de cada posible constante lógica tras la presentación de ese par de reglas.
En el caso que nos ocupa ahora -los cuantores- este análisis tiene que ver con el uso
de parámetros individuales como medio de proyectar el contenido de un cuantor en
enunciados simples manejables en un nivel puramente sentencial. Esta especie de
interfaz entre el nivel cuantificacional y el puramente sentencial o enunciativo es una
característica común en todos los sistemas deductivos que nos queda por estudiar.
[8] Un parámetro individual es todo elemento extraído de un conjunto
infinito enumerable del tipo {u1,u2,...ui,...} capaz de figurar en el lugar
que pueden ocupar las constantes individuales en fórmulas de LC.
Estos parámetros se comportan a todos los efectos como constantes
individuales pero no forman parte del lenguaje de LC, sino que deben ser interpretados
como recursos expresivos ligados a los mecanismos específicos de que consta un
determinado sistema deductivo. Una vez aclarado este extremo, lo que procede es
presentar las reglas correspondientes a los cuantores.
Derivabilidad formal: completando cálculos
259
[9] Cálculo de Deducción Natural para LC (DNC): Junto a las reglas
consideradas en [9] cap. 2.6 para las conectivas enunciativas se
añaden las siguientes cuatro reglas:
(I∃) Aui
∃xA(ui/x)
(I∀) Aui
∀xA(ui/x)
Supuesto que el parámetro u i
no ocurre en ningún supuesto
previo no cancelado ni en las
premisas.
(E∃) ∃xA
A(x/ui)
...
B
BSupuesto que el parámetro u i no ocurre en
ningún supuesto previo no cancelado, ni en las
premisas, ni en A ni en B.
(E∀) ∀xA
A(x/ui)
Las restricciones que en cada caso es preciso imponer son en esta ocasión
considerablemente más directas que las que tuvimos que discutir en el caso de AxC.
En el caso del cuantor universal lo único que se intenta es evitar la derivación de
argumentos del tipo A(b) |DNc ∀xA, y del tipo ∃xA |DNc ∀xA, obviamente incorrectos.
Para ello se identifican los posibles lugares de procedencia de los parámetros
individuales presentes en una derivación. No existen muchas opciones:
i.corresponden a constantes individuales en las premisas, ii. han sido introducidos
mediante una fórmula que introduce la apertura de un supuesto o iii. procede de la
eliminación de un cuantor universal. Los dos primeros casos constituyen instancias de
parámetros que muy bien podríamos denominar cargados. La restante es un ejemplo
de parámetro neutro. La idea que subyace a esta terminología es bastante clara: los
Lógica de Primer Orden
260
parámetros cargados responden a actos extralógicos de ejemplificación de variables
mediante parámetros que no pueden dar lugar a inferencias por completo
independientes de las decisiones arbitrarias que entonces tienen lugar. Así pues, un
cuantor universal sólo se puede introducir sobre parámetros neutros. Estos son los
únicos que no involucran decisión arbitraria alguna. El matiz es más sutil de lo que en
principio parece, al punto de que lo mejor puede ser retener la distinción entre
parámetros neutros y cargados e intentar explicar los diversos actos de instanciación
de variables por medio de estos.
La restricción aplicada a la eliminación del cuantor existencial está destinada a
no permitir la derivación de argumentos del tipo ∃xA |DNcA(b) o |DNc ∃xA→A(b). En
general, la eliminación del cuantor existencial puede explicarse como el intento de no
repetir el uso de parámetros cargados, ni transformar un parámetro cargado en uno
neutro. La primera parte de esta restricción impide repetir el uso de parámetros
cargados, mientras que la segunda evita que uno de estos pueda ser convertido en un
parámetro neutro. En breve discutiremos los detalles a partir de una serie de ejemplos.
La introducción de parámetros como herramienta supletoria en DNc de las
constantes de individuo obliga a dar un pequeño rodeo a la hora de definir la relación
de derivabilidad |DNc en LC. Ya he advertido en alguna otra ocasión contra el peligro de
confundir en exceso las entidades con que se trabaja en un cálculo y las fórmulas
sobre las que se define una relación de consecuencia. Entre una cosa y otra puede
haber tanta distancia como sea preciso. Para dejar clara esta diferencia introduciré un
recurso técnico, que denominaré fórmula parametrizada, y que representaré como Aπ.
Una fórmula parametrizada es en todo igual a una fórmula habitual de LC sólo que en
lugar de contener constantes individuales contiene parámetros en {u1,u2,...u i,...}. La
parametrización de una fórmula de LC consiste en el reemplazo de las constantes por
los correspondientes parámetros. Dado un conjunto de fórmulas, establecemos una
parametrización uniforme de sus elementos, y lo representamos como Xπ, cuando
reemplazamos las mismas constantes por los mismos parámetros y, además, nunca
Derivabilidad formal: completando cálculos
261
empleamos el mismo parámetro para reemplazar constantes individuales distintas.
Con esto mente decimos ahora,
[10] X |DNc A syss considerada la parametrización uniforme del conjunto
XW{A}, existe una derivación en DNc que parte de fórmulas en Xπ y que
finaliza en Aπ.
Esta definición sólo difiere de la ya dada para el caso sentencial en el uso de
ese interfaz entre fórmulas y fórmulas con parámetros que es preciso considerar aquí.
Por lo demás, no hay nada significativo que altere las propiedades generales de este
cálculo. En particular, la preservación aproximada del mismo formato de definición
para la relación de derivabilidad en el caso sentencial y en el relativo a LC permite
aventurar que en nada mejora la posición de este cálculo respecto al problema de la
decisión. No es posible distinguir cuándo un argumento no es derivable y cuándo nos
hallamos tan sólo ante una derivación inconclusa.
En el caso sentencial suministré una especie de guía heurística útil para
orientarse en la construcción de derivaciones –cfr. [5], cap. 2.7-. Esa misma guía se
puede extender al caso actual sin especiales modificaciones. Lo que sí me interesa es
aclarar el modo en que vamos a manejar aquí ciertos conflictos surgidos entre reglas
relativas a cuantores por la existencia de las restricciones ya vistas. En la práctica
adoptaremos una estrategia consistente en conceder prioridad al uso de reglas que
presentan restricciones. Esto es especialmente relevante en el caso de las reglas de
eliminación de los cuantores. Es posible obtener una notable simplificación de la rutina
de trabajo en el caso de la eliminación del cuantor existencial cuando se opta por
elegir siempre un parámetro nuevo para eliminar ese cuantor. Por parámetro nuevo
debemos entender uno que no ha aparecido aún en ninguna fórmula que figure en
alguna línea de la derivación en curso, con independencia de si se trata de una línea
bajo el alcance de un supuesto no cancelado, una línea de premisa o una línea
cualquiera que no se halla en ninguno de estos casos. Esta decisión, en absoluto
necesaria a partir de una lectura estricta de la regla correspondiente, obliga a
Lógica de Primer Orden
262
posponer el uso de reglas de eliminación de cuantores no sometidas a restricciones, la
correspondiente al cuantor universal, en definitiva. Operar así evita una proliferación
innecesaria de parámetros y de este modo se consigue salvar ciertos puntos críticos
que, de otro modo, harían fracasar la derivación en curso. Veamos con un ejemplo lo
que se quiere decir:
[11] Ejemplo: ∀x(Px→Rax), ∃yPy |DNc ∃x∃yRxy
Opción 1 (aplicación literal de las restricciones)
1. ∀x(Px→Ru1x) premisa parametrizada
2. ∃yPy premisa
3. Pu2→Ru1u2 (E∀) en 1
4. Pu2 <u2> parámetro cargado
5. Ru1u2 (E→) 3,4
6. ∃yRu1y (I∃) 5
7. ∃yRu1y (E∃) 2, 3-6
8. ∃x∃yRxy I∃ 7
Opción 2 (elección de parámetros nuevos sin selección de prioridades)
1 ∀x(Px→Ru1x) premisa parametrizada
2. ∃yPy premisa
3. Pu2→Ru1u2 (E∀) en 1
4. Pu3 <u3> parámetro nuevo cargado
........
........
Derivabilidad formal: completando cálculos
263
Opción 3 (elección de parámetros nuevos con selección de prioridades)
1 ∀x(Px→Ru1x) premisa parametrizada
2. ∃yPy premisa
3. Pu2 <u2> parámetro nuevo cargado
4. Pu2→Ru1u2 (E∀) en 1
5. Ru1u2 (E→) 3,4
6. ∃yRu1y (I∃) 5
7. ∃yRu1y (E∃) 2, 3-6
8. ∃x∃yRxy I∃ 7
En la primera opción elegimos el parámetro ya usado u2 por la sencilla razón de
que no viola las condiciones de la regla de eliminación del cuantor existencial: no
aparece en las premisas ni en ningún supuesto previo no cancelado. En otras
palabras, no es un parámetro ya cargado. La razón por la que elegimos un parámetro
nuevo en el caso de la eliminación del cuantor universal en la línea 3 es por pura
conveniencia. Si hubiéramos elegido u1, parámetro cargado al figurar en una premisa,
la eliminación del cuantor existencial tendría que haberse llevado a cabo con otro
parámetro distinto bloqueando la aplicación de la regla (E→) en 5. La relación del
parámetro cargado que se introduce al eliminar el cuantor existencial en 4 permite
identificar perfectamente el parámetro que no puede ser bajo ningún concepto
exportado fuera de ese supuesto. Obsérvese que en 7 se obtiene una fórmula en la
que figura, no obstante, un parámetro. Sin embargo, este no es el que figurar ligado al
paso 4, y por tanto actúa como parámetro no cargado respecto a este supuesto –
aunque está cargado por proceder de una premisa-.
En la opción 2 se hace una aplicación rectificada de la regla de eliminación del
cuantor existencial: el parámetro elegido es nuevo en este caso. Sin embargo, no se
tiene un cuenta las consecuencias de esa reinterpretación de la restricción. Al afectar
al orden de aparición de los parámetros en una derivación, se hace preciso tener en
Lógica de Primer Orden
264
cuenta modos de hacer óptima esa aparición. El no hacerlo bloquea la aplicación de la
regla (E→) entre 3 y 4 y deja suspendida –que no finalizada- la derivación en un punto
crítico. La opción 3 indica cómo resolver ese problema alterando el orden de
eliminación de los cuantores.
Como se puede ver, buena parte de la rutina típica de las derivaciones en de
DNc consiste en hacer aplicables las reglas correspondientes del nivel sentencial. Los
cuantores son eliminados mediante un acto que permite acercar las expresiones del
lenguaje a fórmulas puramente sentenciales. Es posible que este modo de proceder
tienda a provocar la impresión de que en el fondo lo que mueve el cálculo sigue siendo
la subestructura enunciativa aún vigente. Estas cuestiones plantean interrogantes que
hoy en día no tienen una respuesta clara.
Voy a terminar comentando dos ejemplos más en los que abusaremos del uso
de las reglas de Dnc para establecer ya no la derivabilidad de un argumento, sino la
aceptabilidad de un regla acerca de la derivabilidad en Dnc.
[12] Teorema: Para toda fórmula A sucede :
i. ∀xA |Dnc ¬∃x¬A
ii. ∃xA |DNc ¬∀x¬A
Esquema de la demostración : En este caso basta con emplear las
reglas de DNc para establecer sendas derivaciones en las que las
fórmulas son reemplazadas por símbolos esquemáticos de manera
sistemática.
Derivabilidad formal: completando cálculos
265
Caso 1: ∀xA |Dnc ¬∃x¬A
1. ∀xA premisa
2. ∃x¬A
3. ¬A(x/u1) <u1>
4. ∀xA
5. A(x/u1) (E∀) 4
6. A(x/u1)& ¬A(x/u1) (I&) 4,5
7. ¬∀xA (I¬) 4-6
8. ¬∀xA (E∃) 2, 3-7
9. ∀xA & ¬∀xA (I&) 1,8
10. ¬∃x¬A (I¬) 2-9
Caso 2: ∃xA |DNc ¬∀x¬A
1. ∃xA premisa
2. ∀x¬A
3. ¬A(x/u1) (E∀) 2
4. A(x/u1) <u1>
5. ∃xA
6. A(x/u1) &¬ A(x/u1) (I&) 3,4
7. ¬∃xA (I¬) 5-6
8. ¬∃xA (E∃) 1, 4-7
9. ∃xA & ¬∃xA (I&) 1,8
10. ¬∀x¬A (I¬) 2-9
Lógica de Primer Orden
266
El teorema anterior establece parte de las reglas de interdefinición de
cuantores, reglas que permiten trasladar al cálculo lo que en cualquier caso es
evidente: ∃xA=def ¬∀x¬A, y ∀xA=def ∃xA.
Puesto que al presentar Axc resultó oportuno hablar de la identidad, mostraré
también ahora el modo de extender DNc al lenguaje LC=. En este caso, lo que
corresponde es presentar el par habitual de reglas que indican cómo introducir y cómo
eliminar este símbolo tratado ahora como una constante lógica.
[13] Cálculo de Deducción Natural para LC= (DNC
=): Junto a las reglas
consideradas en [174] para las conectivas enunciativas se añaden las
siguientes reglas:
(I=) A(x/ui)
∀x(x=ui→A)
(E=) ∀x(x=ui→A)
A(x/ui)
Lo único que merece la pena añadir aquí es que lo que antes eran axiomas que
parecían caracterizar una teoría de Primer Orden, la de la identidad, son ahora
fórmulas derivables en DNc=. Lo cual no es nada extraño, por otra parte, ya que las
reglas están especialmente diseñadas a tal efecto. Sí es más interesante hacer notar
el modo en que el uso de estas reglas depende de la posibilidad de derivar ciertos
hechos básicos de tipo sentencial acerca de la conducta de la identidad. La presunta
independencia de las constantes lógicas en la presentación que de éstas se hace en
un Cálculo de Deducción natural vuelve a estar con ello en entredicho. Veamos lo que
se quiere decir obteniendo un principio tan elemental como ∀x(x=x)
Derivabilidad formal: completando cálculos
267
[14] Ejemplo: |DNc= ∀x (x=x)
1. u1=u2
2. ¬(u1=u2)
3. (u1=u2) & ¬(u1=u2) (I&) 1,2
4. ¬¬(u1=u2) (I¬) 2-3
5. u1=u2 (E¬) 4
6. u1=u2→ u1=u2 (I→) 1-6
7. ∀x(x=u2→x=u2) (I∀) 6
8. u2=u2 (E=) 7
9. ∀x(x=x) (I∀) 8
El uso de la regla de eliminación de la identidad en 8 es lo único notable en
esta derivación. Queda claro de qué modo es posible aislar antecedente y
consecuente del condicional que constituye el alcance del cuantor en 7 y con ello
aplicar de forma productiva la regla en cuestión. El resto de las propiedades o axiomas
característicos de la identidad se demuestran de manera parecida, pero esto queda
como ejercicio.
Tablas Analíticas. El cálculo de Tablas Analíticas es bastante literal por lo que hace a
su nombre. Realmente se trata de analizar un conjunto de expresiones obteniendo en
el proceso fórmulas de grado lógico cada vez menor. Este rasgo permite, junto con
otros aspectos menos evidentes, alcanzar un punto en el que podemos dar por
concluido el análisis y establecer una conclusión acerca de la derivabilidad del
argumento propuesto. En la extensión de este procedimiento a LC deberemos estar
Lógica de Primer Orden
268
especialmente atentos al modo en que las nuevas reglas afectan a los componentes
que hacen que TA se comporte en el caso de LE como un procedimiento de decisión.
Cada conectiva queda asociada –de nuevo evito hablar de algo más fuerte
como podría ser “caracterización” o incluso “definición”- a un par de reglas reconocidas
como “verdad de...” y “falsedad de...”. Tendremos que añadir, por tanto, cuatro reglas,
dos para cada cuantor.
[15] Cálculo de Tablas Analíticas para LC (TAc): Reglas para cuantores.
(V∀) ∀xA
A(x/ui)
(V∃) ∃xA
A(x/ui)
Donde ui es un parámetro que
no ocurre en ninguna fórmula de
las ramas en que figura esa
ocurrencia de ∃xA.
(F∀) ¬∀xA
¬A(x/ui)
Donde ui es un parámetro que no
ocurre en ninguna fórmula de las ramas
en que figura esa ocurrencia de ∃xA.
(F∃) ¬∃xA
¬A(x/ui)
Como se puede ver, volvemos a hacer uso de parámetros con el fin de evitar la
confusión con genuinas constantes individuales. Las restricciones que hemos añadido
a la elección de parámetros siguen estando orientadas a evitar la derivabilidad de
ciertos argumentos intuitivamente inaceptables. Esta vez, sin embargo, implican
Derivabilidad formal: completando cálculos
269
abiertamente y desde un principio la consideración de componentes contextuales
ligados al propio desarrollo de la derivación. Siempre que se obliga a elegir un
parámetro “nuevo” estamos introduciendo componentes contextuales que pueden
variar dependiendo del orden en que se proceda a aplicar reglas sobre las fórmulas
presentes en una tabla. Veámoslo discutiendo de nuevo el ejemplo [11].
[16] Ejemplo: ∀x(Px→Rax), ∃yPy |TAc∃x∃yRxy
Opción 1: 1. ∀x(Px→Ru1x)
2. ∃yPy
3 ¬{∃x∃yRxy}
4. Pu2→Ru1u2 (V∀) 1
5. ¬∃yRu1y (F∃) 3
6. ¬Ru1u2 (F∃) 5
7. ¬Pu2 (V→) 4 8. Ru1u2 (V→) 2
9. Pu3 (V∃) 2
...........
...........
Opción 2: 1. ∀x(Px→Ru1x)
2. ∃yPy
3 ¬{∃x∃yRxy}
4. Pu2 (V∃) 2
5. Pu2→Ru1u2 (V∀) 1
6. ¬∃yRu1y (F∃) 3
7. ¬Ru1u2 (F∃) 5
8. ¬Pu2 (V→) 4 9. Ru1u2 (V→) 2
Lógica de Primer Orden
270
La única diferencia entre ambas tablas es el orden en que se ha procedido a
aplicar reglas sobre las fórmulas que ocupan sus nodos. En la segunda tabla, se ha
dado prioridad a la fórmula cuya regla presenta restricciones, mientras que en la
primera se ha ignorado esta instrucción y se ha procedido por orden de aparición. El
resultado es, sin embargo, determinante. Mientras que la segunda tabla puede ser
considerada como una tabla cerrada a todos los efectos, no es fácil ver que puede
decirse de la primera. Antes de discutir más en profundidad lo que a todas luces
parece un conflicto entre dos resultados distintos y correctos, introduciré algo de
terminología.
[17] Tipología de las fórmulas de LC según TAc.
i. formulas tipo α: fórmulas a las que corresponde una regla del
nivel sentencial que no introduce un punto de bifurcación,
ii. fórmulas tipo β: fórmulas a las que corresponde una regla del
nivel sentencial que sí introduce un punto de bifurcación,
iii. fórmulas tipo γ: fórmulas a las que corresponde una regla de
cuantores no sometida a restricción sobre la elección de
parámetros,
iv. fórmulas tipo δ: fórmulas a las que corresponde una regla de
cuantores sometida a restricciones relativas a la elección de
parámetros.
En el caso de LE vimos que era conveniente dar prioridad al uso de fórmulas
tipo α sobre fórmulas tipo β. La razón era evitar la generación de tablas complejas
cuando no había necesidad de ello. No obstante, tuve buen cuidado de advertir que el
incumplimiento de esta recomendación no afectaba en nada al veredicto final que una
de estas tablas arroja –cfr. cap.2.7-. Ahora la situación es obviamente muy distinta.
Acabamos de ver un caso en el que dependiendo del tipo de prioridades aplicadas en
la extensión de la tabla el resultado es una tabla cerrada o una cuya conclusión no es
evidente. ¿Qué resultado nos interesa primar? Dado que el ejemplo considerado en
Derivabilidad formal: completando cálculos
271
[16] corresponde a un argumento correcto desde un punto de vista intuitivo, la opción
natural será la de considerar que para establecer la derivabilidad de un argumento en
TAc bastará pues con establecer la existencia de al menos una tabla cerrada. Y todo
parece indicar, a su vez, que la obtención de tablas cerradas se conecta con el respeto
de un sistema de prioridades que no viene dado en la descripción de TAc, sino que
hay que considerar de forma independiente.
[18] Descripción de las prioridades entre fórmulas de los tipos α,β,γ,δ:
1. Fórmulas tipo α.
2. Fórmulas tipo β que contengan subfórmulas cuantificadas.
3. Fórmulas tipo δ
4. Fórmulas tipo γ.
5. Fórmulas tipo β que no contengan subfórmulas cuantificadas.
La idea general a la que responde este sistema de prioridades es muy fácil de
entender, lo que permite que se aplique con cierta libertad. Se trata de llegar cuanto
antes a establecer el tipo γ o δ de cada subfórmula cuantificacional que pueda
aparecer en fórmulas de las tabla inicial T0. Esto es algo que obliga a utilizar fórmulas
tipo β siempre que resulte necesario.
Una vez discutido este extremo podemos analizar en qué situación queda la
tabla que resulta de la primera de las opciones consideradas en [16]. Parece obvio que
todas sus fórmulas han sido usadas, esto es, han sido objeto de la aplicación de
alguna regla de TAc, o son fórmulas atómicas parametrizadas y por tanto no son
sujeto de la aplicación de regla alguna. En LE esto bastaría para dar por terminada la
tabla –según la terminología introducida en [14.ii] cap. 2.6- y, según se discute en el
cap.2.7, para entender que no existen extensiones no redundantes de la tabla
terminada en cuestión. Como ya de discutió en su momento –cap. 2.7- toda tabla
Lógica de Primer Orden
272
terminada que pueda ser extendida en LE reutilizando alguna fórmula en alguna de sus
ramas abiertas, si existen, sólo da lugar a ramas redundantes. Es decir, a repetir
fórmulas ya presentes en esas ramas. Que esto mismo ya no se verifica para TAc se
confirma revisando las nuevas reglas introducidas. Cada una de las reglas
consideradas para cada cuantor permite un número ilimitado de reutilizaciones no
redundantes: basta elegir cada vez un parámetro distinto al empleado la última vez.
Este nuevo elemento obliga a que reformulemos la noción de rama terminada
reemplazando este concepto por otro que haga mayor justicia a la situación.
[19] Conceptos relativos a tablas:
i. Una rama es terminal si todas las fórmulas que la integran han
sido usadas, o bien son fórmulas atómicas parametrizadas sobre
las cuales no cabe ya emplear regla alguna.
ii. Una tabla es terminal si todas sus ramas lo son.
iii. Una rama en una tabla está cerrada syss contiene una fórmula y
su negación.
iv. Una tabla es cerrada syss todas sus ramas lo son.
Como vemos sólo cambian las nociones de rama y tabla terminada que en este
caso pueden ser confundentes. Al hablar de tablas terminales ya no tenemos una
entidad en el cálculo que se pueda asociar a la no derivabilidad de un argumento. En
LE podíamos afirmar que un argumento no era derivable si la correspondiente tabla
terminada que resulta de extender la tabla T0 formada por la cabecera de dicho
argumento contenía ramas abiertas. Ahora no tenemos tablas terminadas, sino tablas
terminales que puede extenderse a otras tablas sin término aparente, salvo que, en
algún punto den lugar a una tabla definitivamente cerrada. Determinar si una tabla
Derivabilidad formal: completando cálculos
273
terminal puede ser finalmente extendida a una tabla cerrada es una pregunta que no
puede ser respondida desde TAc sin contar con datos de cierta envergadura.
Conviene también que sepamos diferenciar el problema que ahora se plantea
del hecho de aplicar o no las prioridades para uso de fórmulas establecidas en [18].
Este sistema de prioridades sólo ayuda a evitar una innecesaria proliferación de
parámetros, pero no garantiza que si una tabla terminal obtenida mediante el estricto
respeto de este sistema contiene ramas abiertas, entonces cualquier extensión de esa
tabla también las contiene. Esto supondría, entiéndase bien, tanto como admitir la
existencia un número máximo de parámetros a considerar a la hora de analizar la
derivabilidad de un argumento en TAc. Si fuese posible establecer un metateorema
con ese contenido, es decir, uno que determinase el número máximo de parámetros
que es preciso considerar en una tabla, entonces toda tabla terminal que contuviese
ese número máximo de parámetros podría ser tratada en la práctica como una tabla
terminada. Este hecho constituiría una consecuencia trivial de admitir que una tabla
terminal obtenida con la aplicación del sistema de prioridades anterior sólo se extiende
a lo sumo a tablas terminales. En la medida en que dudemos de la veracidad del
primer resultado, no podemos admitir el segundo. Puedo anticipar ya que, ni uno ni
otro son ciertos cuando lo que se evalúa es la derivabilidad sobre LC, aunque podemos
encontrar fragmentos donde ambos extremos se cumplen.
Estas consideraciones obligan a reformular con algo más de cuidado la noción
de argumento derivable en TAc.
[20] Derivable en TAc: Un argumento X|TAcA es derivable en TAc si existe al
menos una tabla cerrada que extiende a la tabla incial T0 formada por las
fórmulas parametrizadas Xπ y Aπ.
Como se desprende de la discusión anterior, no siempre podremos determinar
si una tabla tal existe o no. Con ello vemos decaer esa notable característica de TA en
el caso de LE que permitía ver en este cálculo un procedimiento de decisión. Este dato
Lógica de Primer Orden
274
no es efecto de un cambio en las normas básicas del procedimiento, sino que es el
resultado de la adición de las reglas que responden al significado y conducta de las
nuevas constantes lógicas consideradas. Sea como fuere, y a falta de otras
consideraciones, acabamos de constatar que el Cálculo de Tablas Analíticas no puede
ser considerado como un procedimiento de decisión para la derivabilidad en LC. Si no
somos capaces de encontrar otro procedimiento capaz de enmendar esta dificultad, o
si no se obtienen resultados colaterales que permitan reinterpretar las nuevas
características del cálculo, deberemos hacer frente a un resultado de cierta
importancia: la derivabilidad en LC no sería ya decidible. Seguramente es mejor que
empecemos a considerar algo que más que una posibilidad entre otras es un hecho
cierto.
La necesidad de reutilizar fórmulas ya usadas no es, como veremos a
continuación una circunstancia que quepa considerar infrecuente o extraña.
[21] Ejemplo: Considérese la siguiente tabla Tn:
....
....
∀x∀y¬Rxy
....
∃x(¬Rxx→∃yRxy)
La única forma de extender esa tabla a una tabla cerrada es mediante
reutilizando la fórmula ∀x∀y¬Rxy tal y como se indica a continuación:
Derivabilidad formal: completando cálculos
275
.....
.....
n. ∀x∀y¬Rxy
....
m. ∃x(¬Rxx→∃yRyx)
m+1. ¬Ru1u1→∃yRyu1 (V∃) m
m+2. ¬¬Ru1u1 (v→) m+1 m+3. ∃yRyu1 (V→) m+1
m+4. Ru1u1 (F¬) m+2 m+5. Ru2u1 (V∃) m+3
m+5. ∀y¬Ru1y (V∀) n m+6. ∀y¬Ru1y (V∀) n
m+7. ¬Ru1u1 (V∀) m+5 m+8. ∀y¬Ru2y (V∀) n
m+9. ¬Ru2u1 (V∀) m+8
La reutilización tiene lugar en el paso m+8, en el que se desestima el
parámetro heredado de m+6 para iniciar un nuevo proceso. Este tipo de maniobras
suele estar asociado a la presencia de distintas distribuciones de variables en fórmulas
similares, como sucede en Rxx y Rxy. No sería difícil exponer de forma más general
este tipo de fenómeno pero tampoco obtendríamos con ello una mejora sustancial de
la situación de este cálculo. Así pues bastará con lo dicho hasta ahora.
Tal y como hemos venido presentando y discutiendo aquí el método de Tablas
Analíticas no puede haber duda acerca de que este procedimiento constituye una
caracterización de la derivabilidad en LC (LE). No obstante, aún es frecuente presentar
este procedimiento como un análisis semántico de la consecuencia, algo que,
propiamente, nos situaría ante una definición alternativa de la consecuencia
semántica. Este error se basa en dos rasgos característicos del cálculo de Tablas
Analíticas. El primero, y con diferencia menos relevante, hace referencia a la
denominación de sus reglas características. Se habla de reglas de verdad y de
falsedad, de donde se deduce que son reglas de tipo semántico. Esta conclusión es
obviamente incorrecta ya que no son por ello más o menos semánticas que las del
Cálculo de Deducción Natural. Es posible que en este modo de ver las cosas hayan
Lógica de Primer Orden
276
influido algunas presentaciones de TA en las que las fórmulas eran explícitamente
etiquetadas con los símbolos “V” y “F”, dando pie así a considerar que lo que era un
simple recurso técnico del cálculo constituía una genuina alusión a la interpretación de
tales fórmulas. La segunda razón es más especiosa. Es cierto que este método
permite conectar con extraordinaria facilidad ramas abiertas con modelos, o para ser
más precisos, con especificaciones parciales de funciones modelo. Esta conexión se
establece a partir de un expediente realmente sencillo: dada una rama, decimos que la
función modelo asociada a esa rama es aquella que satisface el principio según el cual
si A está en la rama, entonces es verdadera en esa función modelo. El objetivo de esta
asociación es llegar a definir conjuntos, denominados en ocasiones conjuntos
modelos, que puedan ser interpretados como genuinas descripciones en el lenguaje
de un modelo –una función modelo-. Da la impresión de que este método explotase el
significado modelista de las constantes lógicas de LPO de una forma mucho más clara
o manifiesta que otros cálculos. Creo que se puede admitir que la presentación tabular
de este cálculo suministra una visualización más clara de lo que puede ser la
descripción parcial de una función modelo, pero de ahí a decir que por eso mismo es
un método semántico o que sus reglas reflejan mejor el significado modelista de las
constantes lógicas hay un salto que resulta claramente ilegítimo. Por otra parte, las
especificaciones ulteriores a las que hay que someter al método de tablas para
permitir que una rama abierta se aproxime fielmente a un modelo no hacen que este
método goce de mayores ventajas que otros. Sea como fuere, no es aún el momento
de entrar a discutir la forma en que los sistemas deductivos pueden ser puestos en
relación con los modelos que dan significado a sus fórmulas. Sí quiero dejar claro que
cualquier sistema deductivo respeta de igual modo la conducta modelista de sus
constantes, ya que de otro modo, resultarían simplemente incorrectos.
No hay a penas tradición en lo que hace a la extensión de este cálculo al
lenguaje LC= de la identidad. Una solución airosa que permita extender el
procedimiento a dicho lenguaje podría pasar por considerar lo siguiente:
Derivabilidad formal: completando cálculos
277
[22] Reglas para la identidad:
(V=) ui=uj
A(ui)
A(uj)
(F=) ¬(ui=ui)
Es posible que no sean reglas muy ortodoxas desde el punto de vista de TAc,
pero permiten operar adecuadamente.
Cálculo de Secuentes. Con el Cálculo de Secuentes cabe esperar ya pocas
novedades. Hemos visto cómo el Cálculo de Tablas Analíticas para LC pierde el
estatuto que le convertía en un procedimiento de decisión para la derivabilidad en LE.
Podríamos haber mantenido la tensión a la espera de ver qué sucede con Sq, pero de
hecho la respuesta ya ha sido anticipada al sugerir que tal vez sea la propia relación
de derivabilidad formal sobre LC la que no es decidible. Y ello a causa de una serie de
argumentaciones que en cierta medida son independientes de la presentación de
estos cálculos. El problema se presenta, de hecho, de forma tal que podemos anticipar
cualquier cálculo decidible para LC es en realidad un cálculo incorrecto.
Así las cosas, lo único que cabe esperar aquí es la confirmación de la pérdida
de aquellos rasgos que permitían que Sq pudiese operar también como un
procedimiento de decisión para la derivabilidad en LE. Ya hemos visto que el formato
canónico de un Cálculo de Secuentes no hace que este sistema constituya de suyo un
procedimiento tal. Hacen falta dos propiedades notables para que pueda hacerse
Lógica de Primer Orden
278
operar un cálculo secuencial de forma que arroje un procedimiento de decisión para la
derivabilidad. La primera de ellas es la confirmación de un resultado de considerable
alcance: la eliminabilidad de la Regla de Corte. La segunda se refiere al equilibrio
existente entre las fórmulas que aparecen en la cabecera y en el consecuente de cada
regla. La razón por la que Sq deja de ser un procedimiento de decisión no tiene que
ver con la modificación del estatuto de la Regla de Corte: esta sigue siendo tan
eliminable como antes. Por tanto, debemos buscar las razones, o parte de ellas, en el
fenómeno de equilibrio que se ha mencionado. El problema ocupa un lugar similar al
que en tenía TAc la imposibilidad de considerar que una fórmula ya usada no era
capaz de introducir información nueva mediante una segunda utilización. De hecho, y
en la medida en que un Cálculo de Secuentes sólo se conecta con un procedimiento
de decisión cuando aplicamos su reglas en orden inverso -como reglas de eliminación-
, podemos decir que la dificultad a la que nos enfrentaremos muy bien podría ser vista
como una versión de aquella que afecta a TAc.
La filosofía que animaba la definición de Sq era la de ver en todo argumento
derivable una complicación de un esquema básico, el que recoge el axioma. Las
reglas correspondientes a las constantes lógicas, las llamadas reglas lógicas, se
agrupaban según lo anterior, en reglas de y de introducción por la derecha. Esto hace
que debamos añadir otras cuatro reglas a las que ya considerábamos en el caso
sentencial: una de introducción y otra de eliminación para cada cuantor. En cuanto a
las restantes reglas, las reglas estructurales, no hay nada que deba ser cambiado. En
la medida en que el contexto de derivación y la interpretación general de la
consecuencia no cambia en absoluto, y puesto que las reglas estructurales se
consideran en general asociadas a estos rasgos, no hay razones para alterar en nada
su formato. El axioma tampoco se modifica, salvo por el hecho de que ahora debe
considerar fórmulas de LC parametrizadas.
Derivabilidad formal: completando cálculos
279
[23] Cálculo Secuencial para LC (Sqc). Reglas para cuantores.
I∀ X,Aui⇒Y
X,∀xA⇒Y
I∃ X,Aui⇒Y
X,∃xA⇒Y
Donde el parámetro ui no
ocurre en el secuente
X,∃xA⇒Y
D∀ X⇒Aui,Y
X⇒∀xA,Y
Donde el parámetro ui no ocurre
en el secuente X,∃xA⇒Y
D∃ X⇒ Aui,Y
X⇒∃xA,Y
Como ya he dicho, el resto de las reglas de Sq se mantienen intactas, así como
el axioma. Las restricciones son materia ya común en cada uno de estos cálculos y
responden como es obvio al deseo de bloquear la derivabilidad de argumentos
intuitivamente indeseables.
A continuación, conviene definir la noción de derivabilidad en Sqc:
[24] Derivable en Sqc: X|Sqc A syss existe una derivación que parte de
instancias del axioma y finaliza en el secuente Xπ⇒Aπ empleando tan
sólo las reglas correspondientes al nivel sentencial y las ofrecidas en
[23].
Una buena forma de apreciar el modo en que actúan las restricciones
introducidas es mediante un ejemplo:
Lógica de Primer Orden
280
[25] Ejemplo: ∃xA |Sqc A(x/a)
1. ∃xA ⇒A(x/u1)
2. A(x/u2)⇒A(x/u1) (I∃) 1
.......
El esquema inferencial propuesto es inaceptable, por tanto, desearemos ver
alguna forma de bloquear su derivabilidad en Sqc. Como venía siendo habitual,
procedemos en orden inverso al que oficialmente propone un cálculo secuencial. La
línea 1 contiene, por tanto, una versión parametrizada del secuente que corresponde
al argumento cuya demostración se propone. La línea 2 se obtiene aplicando la regla
de introducción por la izquierda del cuantor existencial (I∃) sobre 1. Esta regla es una
de las sometidas a restricción, y por tanto, se habrá de introducir (eliminar) el cuantor
existencial sobre un parámetro que no se encuentre presente en el secuente en
cuestión. En la práctica, es decir, en un uso invertido del cálculo secuencial, esta
restricción obliga a considerar la eliminación del cuantor eligiendo un parámetro nuevo,
restricción por entero similar a la que estaba vigente en el caso de TAc.
Este rasgo impide que el cálculo muestre el modo de acotar el número de
parámetros que es preciso tener en cuenta a la hora de derivar un cierto argumento en
Sqc. El efecto de estas restricciones es el mismo que en el caso de TAc: la pérdida de
la decidibilidad. De nuevo quiero insistir en que resultado no se puede extrapolar sin
más a la derivabilidad en LPO. Sucede, es cierto, que cálculos que antes estaban
mediata o inmediatamente asociados a ciertos procedimientos de decisión para la
derivabilidad en LE ya no lo están. Pero eso es algo que en principio siempre podría
resolverse mediante algún razonamiento auxiliar establecido al efecto. Parece
evidente que en este caso, ese razonamiento debería llevar a establecer un resultado
bastante general que permitiera determinar el número máximo de parámetros que es
preciso considerar en el proceso de derivación de un argumento. Si todos esos
parámetros intervienen de forma relevante y el análisis del argumento no muestra una
forma de proceder a partir del axioma y las reglas hasta el secuente buscado,
Derivabilidad formal: completando cálculos
281
entonces podríamos afirmar que el argumento no es derivable del mismo modo que lo
hacíamos en el caso sentencial. Sucede, sin embargo, que este resultado intermedio
no puede ser establecido, y por tanto, no hay forma de reconducir la conducta de Sqc
hasta obtener de nuevo un procedimiento de decisión. Este análisis es interesante en
la medida en que permite ver, desde el análisis de la nueva conducta de este cálculo,
el tipo de cosas que afectan en general al problema de la decisión.
Sí me gustaría dejar claro que aunque en general usemos las mismas palabras
que en el caso sentencial, hablar de la no derivabilidad de un argumento en LC y en LE
ya no significa lo mismo. Cuando en LC nos servimos de un cálculo, con seguridad TAc
o Sqc, para analizar la derivabilidad de un argumento sólo tenemos a nuestra
disposición dos alternativas: i. la identificación de una derivación efectiva del
argumento, o ii. un proceso inconcluso acerca de cuya continuación no tenemos
especiales instrucciones que aplicar. Es frecuente decir que en este segundo caso el
argumento no es derivable, pero como ya hemos visto, esta es una forma muy
inapropiada de hablar. Lo que suele suceder es que en tales casos disponemos de
evidencia independiente que permite afirmar tal cosa. Esta evidencia puede consistir
en algún argumento capaz de mostrar que la prueba inconclusa no puede ser
extendida a una derivación aceptable del argumento en ningún caso, o puede apelar
de forma más indirecta aún, a la construcción de un contramodelo y a la corrección del
cálculo en cuestión. Sea como fuere, el cálculo ya no basta. Quizá sea esta la mejor
forma de ver unos hechos que sin duda alguna exigen un cierto grado de sutileza.
No creo que debamos utilizar mucho más tiempo en consideraciones que
habremos de analizar con detalle más adelante. Por eso concluiré con algún ejemplo
más. En esta ocasión mostraré el modo en que las restricciones obligan, como en TAc,
a considerar un sistema de prioridades por entero similar al que era vigente entonces.
Dejaré como ejercicio la correcta descripción del mismo.
Lógica de Primer Orden
282
[26] Ejemplo: ∀xPx|Sqc¬∃x¬Px
1. ∀xPx ⇒¬∃x¬Px
2. ∀xPx, ∃x¬Px⇒ (D¬) 1
3. ∀xPx, ¬Pu1⇒ (I∃) 2
4. Pu1, ¬Pu1⇒ (I∀) 3
5. Pu1⇒Pu1 (I¬) 4
Puesto que el secuente que figura en 5 es una instancia del axioma, el
argumento es derivable. El punto crítico de esta derivación se presenta en el paso de 2
a 3. En 2 hay dos fórmulas cuantificadas cualquiera de las cuales puede ser objeto de
la aplicación de una regla. La cuantificada universalmente no se ve afectada por
restricción alguna, mientras que la cuantificada existencialmente sí. Puesto que la
restricción implica considerar los parámetros ya presentes, el orden de eliminación se
ve involucrado en la aplicación de las restricciones. Al analizar la definición de la
derivablilidad en Sqc vemos que se apela a la existencia de al menos una cadena que
conduzca de instancias del axioma al secuente buscado. Lo que hacemos al aplicar
este protocolo de prioridades también puede ser visto entonces como una forma de
seleccionar de manera óptima las derivaciones correctas, cuando estas existen.
Derivabilidad formal: completando cálculos
283
Orientación Bibliográfica.
Las referencias útiles en este capítulo son las mismas que en el caso de los
capítulos 2.6 y 2.7. Por fortuna podemos añadir además toda la batería de ejercicios
de [Marraud y Navarro, 1988]. Se trata de problemas muy completos. A partir de
argumentos en el lenguaje ordinario se propone su formalización y resolución
mediante el uso de distintos cálculos. Todos ellos están resueltos y en ocasiones
comentados. Para practicar con ejercicios de cálculo en DNc y TAc, así como con la
formalización, sigue siendo una buena referencia [Falguera y Martínez Vidal, 1999].
Lógica de Primer Orden
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