[33055-158519]logica_II_revisado

Universidade do Sul de Santa Catarina

Palhoa

UnisulVirtual

2009

Lgica II

Disciplina na modalidade a distncia

CrditosUnisul - Universidade do Sul de Santa CatarinaUnisulVirtual - Educao Superior a DistnciaCampus UnisulVirtual - Avenida dos Lagos, 41 - Cidade Universitria Pedra Branca - Palhoa SC - 88137-100 Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 - E-mail: [email protected] - Site: www.virtual.unisul.br

Reitor UnisulAilton Nazareno Soares

Vice-Reitor Sebastio Salsio Heerdt

Chefe de Gabinete da ReitoriaWillian Mximo

Pr-Reitor AcadmicoMauri Luiz Heerdt

Pr-Reitor de AdministraoFabian Martins de Castro

Campus Sul Diretor: Milene Pacheco Kindermann

Campus Norte Diretor: Hrcules Nunes de Arajo

Campus UnisulVirtualDiretora: Jucimara RoeslerDiretora Adjunta: Patrcia Alberton

Equipe UnisulVirtual

Gerncia Acadmica Mrcia Luz de OliveiraFernanda Farias

Gerncia Administrativa Renato Andr Luz (Gerente)Marcelo Fraiberg MachadoNaiara Jeremias da RochaValmir Vencio Incio

Gerncia de Ensino, Pesquisa e ExtensoMoacir HeerdtClarissa Carneiro MussiLetcia Cristina Barbosa (auxiliar)

Gerncia FinanceiraFabiano Ceretta

Gerncia de Produo e LogsticaArthur Emmanuel F. Silveira

Gerncia Servio de Ateno Integral ao AcadmicoJames Marcel Silva Ribeiro (Gerente)Adriana da CostaAndiara Clara FerreiraAndr Luiz PortesBruno Ataide MartinsEmanuel Karl Feihrmann GalafassiGisele Terezinha Cardoso FerreiraHoldrin Milet BrandoJenniffer CamargoJonatas Collao de SouzaJuliana Cardoso da SilvaMaria Isabel AragonMaurcio dos Santos AugustoMaycon de Sousa CandidoMicheli Maria Lino de MedeirosNidia de Jesus MoraesPriscilla Geovana PaganiRychard de Oliveira PiresSabrina Mari Kawano GonalvesTaize MullerTatiane Crestani TrentinVanessa Trindade

Avaliao Institucional Dnia Falco de Bittencourt Rafael Bavaresco Bongiolo

Biblioteca Soraya Arruda Waltrick (Coordenadora)Paula Sanhudo da SilvaJaison GronerRodrigo Martins da Silva

Capacitao e Assessoria ao DocenteAngelita Maral Flores (Coordenadora)Adriana SilveiraCaroline Batista Cludia Behr ValenteElaine SurianPatrcia Meneghel Simone Perroni da Silva Zigunovas

Coordenao dos CursosAdriana RammeAdriano Srgio da Cunha Alosio Jos Rodrigues Ana Luisa Mlbert Ana Paula Reusing Pacheco Bernardino Jos da SilvaCarmen Maria Cipriani Pandini Charles Cesconetto Diva Marlia Flemming Eduardo Aquino Hbler Fabiana Lange Patrcio (auxiliar) Fabiano Ceretta Itamar Pedro BevilaquaJairo Afonso Henkes Janete Elza Felisbino Jorge Alexandre Nogared CardosoJos Carlos Noronha de OliveiraJucimara Roesler Karla Leonora Dahse Nunes Luiz Guilherme Buchmann Figueiredo Luiz Otvio Botelho Lento Marciel Evangelista CatneoMaria da Graa Poyer Maria de Ftima Martins (auxiliar) Mauro Faccioni FilhoMoacir Fogaa Moacir Heerdt Nazareno MarcineiroNlio Herzmann Onei Tadeu Dutra Raulino Jac Brning Rose Clr Estivalete BecheRodrigo Nunes Lunardelli

Criao e Reconhecimento de CursosDiane Dal Mago Vanderlei Brasil

Desenho Educacional Carolina Hoeller da Silva Boeing (Coordenadora)Design Instrucional Ana Cludia TaCarmen Maria Cipriani Pandini Cristina Klipp de OliveiraDaniela Erani Monteiro WillFlvia Lumi Matuzawa Karla Leonora Dahse Nunes Lucsia PereiraLuiz Henrique Milani QueriquelliMrcia LochMarcelo Mendes de SouzaMarina Cabeda Egger MoellwaldMichele CorreaNagila Cristina HinckelSilvana Souza da Cruz Viviane Bastos

Acessibilidade Vanessa de Andrade Manoel Avaliao da AprendizagemMrcia Loch (Coordenadora) Elosa Machado SeemannGabriella Arajo Souza EstevesLis Air FogolariSimone Soares Haas CarminattiNcleo Web AulaClio Alves Tibes Jnior

Design Visual Pedro Paulo A. Teixeira (Coordenador) Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro XavierAlice Demaria Silva Anne Cristyne PereiraDiogo Rafael da SilvaEdison Rodrigo ValimFernando Roberto Dias Zimmermann Higor Ghisi LucianoPatrcia Fragnani de MoraisVilson Martins FilhoMultimdia Cristiano Neri Gonalves RibeiroFernando Gustav Soares Lima PortalRafael Pessi Luiz Felipe Buchmann Figueiredo

Disciplinas a Distncia Enzo de Oliveira Moreira (Coordenador)Franciele Arruda Rampelotti (auxiliar)Luiz Fernando Meneghel

Gesto DocumentalLamuni Souza (Coordenadora)Clair Maria CardosoJanaina Stuart da CostaJosiane LealMarlia Locks FernandesRicardo Mello Platt

Logstica de Encontros Presenciais Graciele Marins Lindenmayr (Coordenadora) Ana Paula de AndradeAracelli Araldi HackbarthCristilaine Santana MedeirosDaiana Cristina BortolottiEdesio Medeiros Martins FilhoFabiana PereiraFernando Oliveira SantosFernando SteimbachMarcelo Jair Ramos

Formatura e Eventos Jackson Schuelter Wiggers

Logstica de Materiais Jeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador)Abrao do Nascimento GermanoCarlos Eduardo Damiani da SilvaFylippy Margino dos SantosGeanluca Uliana Guilherme LentzPablo Darela da SilveiraRubens Amorim

Monitoria e SuporteRafael da Cunha Lara (Coordenador)Andria Drewes Anderson da Silveira

Anglica Cristina Gollo Bruno Augusto Zunino Claudia Noemi Nascimento Cristiano Dalazen Dbora Cristina Silveira Ednia Araujo Alberto Karla Fernanda Wisniewski Desengrini Maria Eugnia Ferreira Celeghin Maria Lina Moratelli Prado Mayara de Oliveira Bastos Patrcia de Souza Amorim Poliana Morgana Simo Priscila Machado

Produo IndustrialFrancisco Asp (coordenador)Ana Paula Pereira Marcelo Bittencourt

Relacionamento com o Mercado Walter Flix Cardoso Jnior

Secretaria de Ensino a Distncia Karine Augusta Zanoni (Secretria de ensino) Andra Luci Mandira Andrei RodriguesBruno De Faria Vaz SampaioDaiany Elizabete da SilvaDjeime Sammer Bortolotti Douglas SilveiraLuana Borges Da SilvaLuana Tarsila Hellmann Marcelo Jos SoaresMiguel Rodrigues Da Silveira JuniorPatricia Nunes Martins Rafael BackRosngela Mara Siegel Silvana Henrique Silva Vanilda Liordina Heerdt Vilmar Isaurino Vidal

Secretria Executiva Viviane Schalata MartinsTenille Nunes Catarina (Recepo)

Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Jnior (Coordenador) Felipe Jacson de FreitasJefferson Amorin OliveiraJos Olmpio Schmidt Marcelo Neri da Silva Phelipe Luiz Winter da SilvaPriscila da SilvaRodrigo Battistotti Pimpo

Srgio Sell

Palhoa

UnisulVirtual

2009

Design instrucional

Ana Cludia Ta

Lgica II

Livro didtico

Edio Livro Didtico

Professor ConteudistaSrgio Sell

Design InstrucionalAna Cludia Ta

Projeto Grfico e CapaEquipe UnisulVirtual

DiagramaoAdriana Ferreira dos Santos

Reviso OrtogrficaAmaline Boulus Issa Mussi

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Universitria da Unisul

Copyright UnisulVirtual 2009

Nenhuma parte desta publicao pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prvia autorizao desta instituio.

511.3S46 Sell, Srgio Lgica II : livro didtico / Srgio Sell ; design instrucional Ana Cludia Ta. Palhoa : UnisulVirtual, 2009.

112 p. : il. ; 28 cm.

Inclui bibliografia.

1. Matemtica - Filosofia. 2. Lgica simblica e matemtica. I. Ta, Ana Cladia. II. Ttulo.

Apresentao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Palavras do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE 1 A lgica clssica e o clculo proposicional . . . . . . . . . . . . . . 15UNIDADE 2 Um pouco mais sobre o clculo proposicional . . . . . . . . . . 39UNIDADE 3 A linguagem do clculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . 55UNIDADE 4 O clculo quantificacional clssico (CQC) . . . . . . . . . . . . . . . 75

Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Sobre o professor conteudista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Respostas e comentrios das atividades de autoavaliao . . . . . . . . . . . . . . 99Biblioteca Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Sumrio

7Apresentao

Este livro didtico corresponde disciplina Lgica II.O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autnoma e aborda contedos especialmente selecionados e relacionados sua rea de formao. Ao adotar uma linguagem didtica e dialgica, objetivamos facilitar seu estudo a distncia, proporcionando condies favorveis s mltiplas interaes e a um aprendizado contextualizado e eficaz.Lembre que sua caminhada nesta disciplina ser acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Neste sentido, a indicao a distncia caracteriza apenas a modalidade de ensino por que voc optou para sua formao, pois, na relao de aprendizagem, professores e instituio estaro sempre conectados com voc.Ento, sempre que sentir necessidade entre em contato; voc tem disposio diversas ferramentas e canais de acesso, tais como: telefone, e-mail e o Espao UnisulVirtual de Aprendizagem, que o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. Nossa equipe tcnica e pedaggica ter o maior prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem o nosso principal objetivo.Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual.

Palavras do professor

Caro(a) estudante,

Seja bem-vindo(a) disciplina Lgica II.

Nesta disciplina, voc aprofundar alguns contedos estudados em Lgica I e conhecer novas formas de analisar e avaliar proposies e argumentos. Voc estudar uma parte especfica da Lgica contempornea, denominada Lgica Clssica. Mesmo tratando-se de uma abordagem introdutria, este estudo lhe possibilitar compreender a base terica de algumas das principais elaboraes filosficas do sculo XX.

Aqui, como em Lgica I, a lgica ser entendida como um instrumento que pode ser til a diversas finalidades. Deste modo, alm dos contedos que precisam ser aprendidos, esta disciplina tem como objetivo desenvolver algumas habilidades necessrias realizao de operaes formais e anlise das estruturas lingusticas do raciocnio.

Por isso, alm de ler com ateno os materiais didticos, voc ter de fazer exerccios. Muitos exerccios. Assim como em Lgica I, pacincia e perseverana e disposio para o trabalho braal sero atitudes de grande valia para o seu aprendizado. Mais do que nunca, um bom planejamento do seu tempo de estudo ser fundamental para o seu sucesso.

A Lgica no costuma ser um daqueles estudos que nos conquistam logo no primeiro contato. Por isso, este material didtico foi elaborado com o objetivo de lhe possibilitar um aprendizado fcil e estimulante. Com um pouco de disciplina no estudo e vontade de aprender, tenho a convico de que voc compreender o motivo de alguns dos principais nomes da histria da filosofia terem-se apaixonado pela Lgica.

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Prepare-se para mais uma vez adentrar no fascinante mundo da Lgica.

Bom estudo!

Professor Srgio Sell

Plano de estudo

O plano de estudos visa a orient-lo(a) no desenvolvimento da disciplina. Possui elementos que o(a) ajudaro a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto a construo de competncias se d sobre a articulao de metodologias e por meio das diversas formas de ao/mediao.So elementos desse processo:

O livro didtico.

O Espao UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA).

As atividades de avaliao (a distncia, presenciais e de autoavaliao).

O Sistema Tutorial.

Ementa

Elementos do Clculo de Predicados. Aspectos histricos e conceituais.

Objetivos

Definir e contextualizar a lgica clssica.

Conhecer os aspectos tericos e operacionais do clculo proposicional e do clculo de predicados.

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Desenvolver a habilidade de trabalhar com linguagens formalizadas cada vez mais complexas.

Contribuir para a compreenso das temticas abordadas nas disciplinas Filosofia da Linguagem, Filosofia da Cincia, Teoria do Conhecimento e Histria da Filosofia.

Aprofundar e instrumentalizar a atitude reflexiva e crtica.

Carga Horria

A carga horria total da disciplina 60 horas-aula.

Contedo programtico/objetivos

Veja, a seguir, as unidades que compem o livro didtico desta disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos resultados que voc dever alcanar ao final de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que voc dever possuir para o desenvolvimento de habilidades e competncias necessrias sua formao.

Unidades de estudo: 4

Unidade 1 - A lgica clssica e o clculo proposicional

Nesta unidade, voc revisa alguns conceitos da disciplina Lgica I e contextualiza a lgica clssica em suas relaes com outras disciplinas da Lgica. Alm disso, voc inicia o estudo dos mtodos de anlise e avaliao da validade de argumentos utilizando operaes lgico-sintticas. Voc conhece, ainda, os fundamentos do clculo proposicional e aprende a aplicar as suas dez regras bsicas.

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Nome da disciplina

Unidade 2 Um pouco mais sobre o clculo proposicional

Voc aprofundar nesta unidade o estudo do clculo proposicional e passar a lidar com operaes lgico-sintticas mais complexas. Voc estudar as regras derivadas, que simplificam e ampliam as possibilidades das provas de validade das formas de argumento.

Unidade 3 A linguagem do clculo de predicados

Nesta unidade, voc inicia o estudo do clculo de predicados, um sistema formal mais complexo que possibilita analisar um nmero muito mais amplo de estruturas lingusticas. Mantendo os conceitos e regras de derivao do clculo de predicados, o clculo de predicados recorre tambm ao uso de constantes e variveis nominais e de quantificadores. Aqui voc estuda as principais caractersticas da linguagem desse novo sistema formal.

Unidade 4 O clculo quantificacional clssico (CQC)

Nesta unidade, voc vai seguir estudando o clculo de predicados e aprender novas regras de derivao especficas para os quantificadores. Com isso, voc passa a ter uma viso completa dos fundamentos do clculo de predicados, que o ncleo da lgica clssica.

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Agenda de atividades/ Cronograma

Verifique com ateno o EVA, organize-se para acessar periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorizao do tempo para a leitura, da realizao de anlises e snteses do contedo e da interao com os seus colegas e professor .

No perca os prazos das atividades. Registre no espao a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA.

Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina.

Atividades obrigatrias

Demais atividades (registro pessoal)

1UNIDADE 1A lgica clssica e o clculo proposicionalObjetivos de aprendizagem

Definir lgica clssica e clculo proposicional.

Conhecer as principais aplicaes e limitaes do clculo proposicional.

Definir deduo natural.

Discutir as vantagens da deduo natural.

Conhecer e aplicar as regras de derivao bsicas do clculo proposicional.

Exercitar a tcnica de derivao e prova de validade de formas de argumento.

Sees de estudo

Seo 1 A Lgica Clssica e o Clculo Proposicional

Seo 2 Aspectos formais do Clculo Proposicional

Seo 3 Clculo Proposicional: regras no hipotticas

Seo 4 Clculo Proposicional: regras hipotticas

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Para incio de estudo

Voc iniciar o estudo desta unidade fazendo a reviso de alguns conceitos j estudados em Lgica I principalmente aqueles referentes lgica matemtica (unidades 5 e 6).

O objetivo principal da unidade apresentar-lhe as noes fundamentais da Lgica Clssica e lev-lo(a) a desenvolver algumas habilidades associadas ao raciocnio lgico. Para alcanar esse objetivo, voc estudar agora a verso mais simples da lgica clssica: o clculo proposicional.

A compreenso dos conceitos desta unidade a base para todas as outras que se sucedem. Por isso, alm de ler com ateno o contedo, voc precisa fazer todos os exerccios propostos nas autoavaliaes, antes de passar para a prxima unidade.

Seja bem-vindo(a) Lgica Clssica!

SEO 1 A Lgica Clssica e o Clculo Proposicional

Aquilo que hoje chamado de Lgica Clssica no pode ser confundido com a teoria do silogismo formulada por Aristteles nem com os desenvolvimentos realizados nessa teoria, ao longo da Idade Mdia.

A expresso lgica clssica se refere, mais propriamente, a um conjunto de pressuposies terico-formais que no derivam da teoria do silogismo, mas que tm a sua base de sustentao em princpios que remontam a Aristteles.

Hoje se compreende que a mais fundamental das contribuies de Aristteles para a lgica clssica foi a elaborao dos princpios da enunciao do ser, os quais regem todos os juzos: identidade, no contradio e terceiro excludo.

Princpio da identidade: o ser e o no ser no . Princpio da no contradio: impossvel que o mesmo atributo pertena e no pertena, ao mesmo tempo, ao mesmo sujeito sob o mesmo ponto de vista. Princpio do terceiro excludo: no possvel que haja qualquer coisa entre as duas partes de uma contradio, mas necessrio ou afirmar ou negar uma coisa de outra.

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Lgica II

Unidade 1

A Lgica Clssica um sistema formal que, sem opor-se lgica aristotlica, se constitui a partir da contribuio dos principais tericos da lgica matemtica.

A lgica clssica o ncleo da lgica formal dedutiva. Ela incorpora os princpios fundamentais da lgica aristotlica a estratgias de formalizao simblica e a tcnicas de avaliao de estruturas lingusticas e de processos de inferncia.

Lgica Clssica e clculo proposicional

Num sentido filosfico mais abrangente, a lgica pode ser concebida como a reflexo sistemtica e rigorosa sobre a validade dos processos de inferncia a partir da anlise dos seus aspectos formais. (SELL, 2008, p. 48). Nessa perspectiva, a lgica pode ser dividida inicialmente em duas partes:

1- a primeira, dedicada anlise dos processos de inferncia vlidos; 2- a outra, dedicada ao estudo das inferncias que, embora invlidas, aparentam ser vlidas (ou seja, o estudo das falcias e sofismas).

Por sua vez, a anlise dos processos de inferncia vlidos tambm pode ser dividida em duas partes:

1- lgica dedutiva; 2- lgica indutiva (dedicada a inferncias provveis, mas no necessrias).

A lgica dedutiva estuda os processos de inferncia em que a concluso pode ser considerada uma decorrncia necessria das premissas.

Historicamente, o estudo da lgica dedutiva se inicia com Aristteles, e a primeira sistematizao desse estudo foi a teoria do silogismo.

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A partir da contribuio de alguns filsofos/matemticos, surge, desde o final do sculo XIX, a lgica clssica como uma nova forma de sistematizar a lgica dedutiva, caracterizada pelo uso de formalizaes simblicas e definio de um conjunto restrito de operaes lgicas fundamentais.

A partir do sc. XX, surgem outras sistematizaes da lgica dedutiva que, embora compartilhem com a lgica clssica o uso de formalizaes simblicas, definem, de forma diferente, o seu conjunto de operaes lgicas, ou partem de um conjunto de princpios incompatveis com aqueles que foram propostos por Aristteles.

A lgica clssica consiste, basicamente, no clculo de predicados de primeira ordem ou clculo quantificacional clssico (CQC).

Nesta unidade, no entanto, estudaremos uma verso simplificada da lgica clssica: o clculo proposicional clssico (CPC).

Observe na esquematizao a seguir as subdivises da Lgica e o contexto em que se situa o clculo proposicional (CPC):

Estudo das inferncias invlidas

Lgica Lgica indutiva Teoria do silogismoCQC (CPC)

Estudo das inferncias vlidas Lgica clssica

Lgica dedutiva Lgicas complementares da lgica clssica

Epistmica

Dentica

Modal

Etc.Lgicas no clssicas

Intuicionistas (rejeitam o princpio do terceiro excludo)

Paraconsistentes (rejeitam o princpio da no contradio)

No reflexivas (rejeitam o princpio da identidade)

Difusas

No alticas

Etc.Figura 1.1 - O clculo proposicional (CPC) no contexto das subdivises da Lgica.Fonte: Elaborado pelo autor.

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Lgica II

Unidade 1

SEO 2 Aspectos formais do clculo proposicional

Como todo sistema formal, a lgica clssica envolve uma semntica e uma sintaxe.

A noo mais fundamental da semntica lgica a de valor de verdade, que pode ser aplicada tanto a enunciados quanto a argumentos. A partir desta noo, possvel elaborar tabelas de verdade, para classificar os argumentos como vlidos, ou invlidos.

Por outro lado, a noo mais fundamental da sintaxe lgica a de frmula bem formada. (fbf). A partir dessa noo, possvel elaborar demonstraes da validade de argumentos, usando regras de derivao.

Uma regra de derivao uma operao simblica que representa uma inferncia elementar vlida dentro de um sistema formal, considerando-se exclusivamente os aspectos sintticos das fbfs envolvidas.

Na curta (mas rica) histria da lgica clssica, os mtodos de avaliao semntica sofreram poucas alteraes. No entanto, paralelo a isso, ocorreu uma grande evoluo nos mtodos sintticos de prova da validade de argumentos. Neste livro, voc estudar um mtodo sinttico de determinao da validade de argumentos chamado Deduo Natural.

A deduo natural um mtodo de prova sinttica, inicialmente formulado por Gerhard Gentzen e Stanislaw Jaskowski, em meados da dcada de 1930. Diferente de outros sistemas dedutivos, a deduo natural utiliza como ponto de partida apenas um conjunto de regras de inferncia, sem a necessidade de recorrer a um conjunto de axiomas fundamentais.

O que diferencia os sistemas de deduo natural de outros sistemas dedutivos a no necessidade de um conjunto de axiomas fundamentais que sirvam de base para a aplicao das regras de inferncia. Na deduo natural, as regras de inferncia caracterizam-se, entre outros aspectos, por no apresentarem um conjunto de axiomas e regras de inferncias, mas apenas um conjunto de regras.

Um enunciado uma

proposio simples ou

uma frase composta

pela conexo de duas

ou mais proposies

atravs dos operadores

lgicos.

Na terminologia

da Lgica, o termo

argumento pode ser

tomado como sinnimo

do termo raciocnio.

No entanto os lgicos

contemporneos

evitam usar o termo

raciocnio para evitar

mal-entendidos

filosficos gerados por

uma interpretao

mentalista.

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A deduo natural um sistema de demonstrao simples e eficiente. Simples, porque, com um pequeno nmero de regras de inferncia, possvel demonstrar a validade de uma infinidade de formas de argumento. Eficiente, porque um sistema lgico correto e completo.

Um sistema lgico considerado correto, se, nele, todos os argumentos sintaticamente vlidos so tambm semanticamente vlidos; alm disso, ele considerado completo, se, nele, todos os argumentos semanticamente vlidos so tambm sintaticamente vlidos. O CPC possui essas duas propriedades.

A linguagem do CPC

Nas lgicas formais, h fundamentalmente trs elementos os quais constituem o alfabeto que permite representar formalmente sentenas e argumentos:

1- os smbolos lgicos (que possuem interpretao fixa e representam graficamente os operadores lgicos);

2- os smbolos no lgicos (que possuem interpretao varivel e representam elementos de um vocabulrio que precisa ser definido em cada contexto de aplicao);

3- os sinais de pontuao.

No Calculo Proposicional (CPC), utilizam-se cinco operadores fundamentais:

Operador Lgico Smbolo Interpretao Fixa Smbolos Alternativos

Negao No o caso que ou ~

Conjuno E . ou &

Disjuno Ou [no h]

Condicional Se ... ento

Bicondicional Se e somente se

Quadro 1.1 - Operadores lgicos fundamentais.

Fonte: Sell, 2008, p. 116.

V

V

A partir deste ponto, at o final desta seo, o texto uma adaptao da seo 2 da unidade 5 do livro didtico de Lgica I (Sell, 2008, p. 115 120).

21

Lgica II

Unidade 1

Letras sentenciais e a constituio de frmulas

Como j dissemos anteriormente, o vocabulrio de representao formal de argumentos e sentenas deve incluir tambm alguns smbolos no lgicos. O CPC usa como smbolos no lgicos as letras maisculas do alfabeto latino (A, B, C, ... , X, Y, Z). Como esses smbolos no possuem uma interpretao fixa, cabe a ns determinar, em cada situao, a sua interpretao.

Sendo assim, cada letra maiscula (A, B, C, ... , X, Y, Z) representa uma sentenas da lngua portuguesa. Por isso, esses smbolos no lgicos podem ser chamados de letras sentenciais.

Acompanhe o seguinte exemplo:

Exemplo 1 - Vamos assumir que a letra sentencial J signifique Joo ama Maria e que a letra sentencial M signifique Maria ama Joo. Com estas convenes, j podemos formalizar as seguintes proposies:

Proposio em Portugus Formalizao

a) Joo ama Maria. J

b) Maria ama Joo. M

c) Joo no ama Maria. J

d) Joo e Maria se amam. J M

e) Joo ama Maria, mas Maria no ama Joo. J M

f) Joo ama Maria ou Maria ama Joo. J M

g) Se Joo ama Maria, ento Maria ama Joo. J M

h) Joo s ama Maria, se for amado por ela. J M

Quadro 1.2 - ProposiesFonte: Sell, 2008, p. 117.

Neste exemplo, importante voc observar que:

V

VV

22


nas duas primeiras formalizaes, cada uma delas formada por um nico smbolo no lgico; nesses casos, chamamos a representao simblica de frmula atmica;

na terceira formalizao, alm do smbolo no lgico, tambm foi usado um smbolo lgico, o operador da negao. Neste caso, em que mais de um smbolo usado, chamamos a representao simblica de frmula molecular;

nas quatro ltimas formalizaes, que tambm so frmulas moleculares, alm dos smbolos no lgicos, so usados tambm os conectivos lgicos da conjuno, disjuno, condicional e bicondicional.

A noo de frmula bem formada (fbf)

Depois de conhecer algumas convenes necessrias constituio de frmulas, voc pode estar perguntando-se:

Existe alguma regra para combinar esses smbolos? H alguma ordem correta para fazer isso?

Sim, existem: so as regras sintticas, que padronizam a formao e a interpretao de frmulas, eliminam ambiguidades e do consistncia representao formal. Tais regras que determinaro, se uma dada sequncia de smbolos faz sentido, ou no, na nossa linguagem. Surge assim a noo de frmula bem formada.

Frmula bem formada (fbf) uma sequncia de smbolos que respeita as regras de formao estabelecidas em um dado sistema formal.

No CPC, Vamos assumir o seguinte conjunto de regras de formao:

Sintaxe (do Grego syntaxis, ordem, disposio) a parte de uma gramtica dedicada descrio do modo como os termos de uma linguagem so combinados para formar sentenas, sendo essa descrio organizada sob a forma de regras.

Embora essas regras possam variar de um sistema formal para outro, uma vez assumido um conjunto de regras, conveniente mant-lo. Mudar as regras significa mudar toda a linguagem.

23

Lgica II

Unidade 1

1) Qualquer letra sentencial uma fbf;

2) Se uma fbf, ento tambm o ;

3) se e so fbf, ento ( ), ( ), ( ) e ( ) tambm o so;

4) estas regras podem ser usadas recursivamente (podem ser usadas quantas vezes quisermos);

5) qualquer sequncia de smbolos que no possa ser produzida apenas com a aplicao destas regras de formao no ser uma fbf.

Vamos ver como funciona?

De acordo com essas regras, vamos avaliar se as seguintes frmulas so bem formadas:

a) M uma fbf, de acordo com a regra 1b) Q uma fbf, de acordo com a regra 1c) M uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 2 a (a)d) (M M) uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 3 a (a) e a (c)e) (M Q ) obtida a partir da aplicao da regra 3 a (a) e (b)f) ((M M) (M Q )) uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 3 a (d) e a (e)g) MM No uma fbfh) MM No uma fbfi) M No uma fbf

V

V

V

V

V V V

V

24


SEO 3 Clculo proposicional - regras no hipotticas

Nesta seo, voc comear a aprender um conjunto de regras bsicas que tornaro mais simples a determinao da validade de formas de argumento. O clculo proposicional utiliza, fundamentalmente, dez regras bsicas de derivao as chamadas regras bsicas. Nesta seo, voc conhecer e aprender a usar as oito regras no hipotticas. Na seo seguinte, voc completar o rol com as duas regras hipotticas.

Depois de j ter visto os aspectos tericos do clculo proposicional, agora chegou a vez de ir parte mais prtica e operacional. Vamos l? Acompanhe.

Eliminao da dupla Negao (E) De uma fbf da forma , infere-se .

Modus Ponens (MP): De um condicional e seu antecedente, infere-se o seu consequente.

Eliminao da Conjuno (E ) De uma conjuno, infere-se cada um dos seus elementos.

Introduo da Conjuno (I ) De 2 fbf's da forma e , infere-se

Eliminao da Disjuno (Ev) De 3 fbfs de forma , e , infere-se

Introduo da Disjuno(Iv) De uma fbf , infere-se a disjuno de com qualquer outra fbf.

Eliminao do bicondicional (E ) De uma fbf da forma , infere-se ou

Introduo do bicondicional (I ) De 2 fbfs da forma e , infere-se

Quadro 1.3 - Regras bsicas no hipotticas do CPC.Fonte: Nolt & Rohatyn, 1991, p. 145. Adaptado pelo autor.

Essas oito regras bsicas esto representadas esquematicamente no quadro a seguir:

Eliminao da negao (E) Modus Ponens (MP)

Eliminao da Conjuno (E ) Introduo da Conjuno (I )

V

V

V

V

V V

V V

V

25

Lgica II

Unidade 1

Eliminao da Disjuno (E ) Introduo da Disjuno(I )

Eliminao do bicondicional (E ) Introduo do bicondicional (I )

Quadro 1.4 - Representao esquemtica das regras bsicas no hipotticas do CPC.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Agora que voc j conhece essas oito regras bsicas, podemos ver como aplic-las.

As regras bsicas, bem como as outras regras as quais veremos mais tarde, so regras de derivao sinttica. Com elas, possvel testar a validade de formas de argumento.

A prova da validade de uma forma de argumento feita atravs de uma sequncia de linhas. Nas primeiras linhas, so colocadas fbfs das premissas. Nas linhas seguintes, aplicam-se as regras inferncia na tentativa de chegar-se fbf da concluso.

A prova ser bem-sucedida se, a partir das fbfs das premissas, atravs da aplicao das regras de derivao, for possvel chegar concluso.

Vamos agora formalizar alguns argumentos e testar a sua validade, usando as regras bsicas. Para isso, vamos assumir a seguinte interpretao para as letras sentenciais:

J: Joo ama Maria

M: Maria ama Joo

V V

V

V V

Forma de argumento o conjunto de fbfs e sinais de pontuao que representa esse argumento num sistema formal.

26


Acompanhe como funciona a prova da validade dos argumentos a seguir.

Argumento 1:

O Joo ama a Maria e a Maria ama o Joo.Portanto os dois se amam.

Forma do argumento 1:

J, M J M

Prova:

1. J2. M

3. J M

P [premissa]P [premissa]

1, 2 I [das linhas 1 e 2, aplicando-se a introduo da conjuno]

Observe que a prova feita como uma sequncia de linhas numeradas ordenadamente. Em cada linha, h duas colunas.

Na primeira coluna so dispostas as fbfs.

Na segunda coluna, aparece uma descrio abreviada da origem de cada fbf [sob este aspecto, a fbf pode ser uma premissa ou uma fbf derivada a partir da aplicao das regras].

No caso deste argumento 1, pode-se afirmar que o argumento vlido, porque, na prova da sua forma, foi possvel derivar a concluso a partir das premissas, usando as regras bsicas.

Argumento 2:

O Joo s ama a Maria se a Maria ama o Joo.A Maria ama o Joo.

Portanto o Joo ama a Maria.

V

V V

27

Lgica II

Unidade 1

Forma do argumento 2:

J M, M J

Prova:

1. J M 2. M3. M J4. J

PP1 E 2, 3 MP

Como voc pde observar, este argumento vlido, uma vez que, avaliando a forma do argumento, foi provado que a concluso uma consequncia sinttica das premissas. Nesta prova, a partir das linhas 1 e 2 [premissas] foram aplicadas sucessivamente as regras:

Eliminao do Bicondicional;

Modus Ponens.

A prova termina, quando se chega fbf da concluso. Para todo argumento vlido, formalizado na linguagem do CPC, h uma prova possvel.

E se o argumento no for vlido?

Nesse caso, o CPC no capaz de determinar nada. Isso acontece, porque:

se conseguimos mostrar que h uma derivao que chegue concluso a partir das premissas, com o uso das regras de derivao, ento o argumento vlido;

se no conseguimos, ento o argumento pode ser invlido; mas tambm pode ser que ns que no estejamos encontrando a sequncia mais adequada de aplicao das regras.

28


O que fazer quando no conseguimos achar um caminho adequado de derivao?

Uma sada partir para outro mtodo de avaliao (como, por exemplo, usando tabelas de verdade). Ou esfriar a cabea e, em outro momento, tentar novamente.

Agora acompanhe mais dois exemplos:

Exemplo 3 - Prove a validade da seguinte forma de argumento:

A C, A B, B C B D

Prova:

1. A C P2. A B P 3. B C P 4. A B 2E 5. C B 3 E 6. B 1, 4, 5 E 7. B D 6 I Argumento Vlido


A B, A C, A (A (B C)) D

Prova:

1. A B P2. A C P 3. A P 4. A B 1E 5. B 3, 4 MP6. C 2, 3 MP

V V

V

V

V V

V V V

29

Lgica II

Unidade 1

7. B C 5, 6 I 8. A (B C) 3, 7 I 9. (A (B C)) D 8 I Argumento Vlido

Viu como simples? muito fcil! E tambm um timo passatempo.

Antes de comear a fazer os exerccios, leia as observaes postas a seguir.

H vrios caminhos possveis para se provar a validade de uma forma de argumento.

A ordem de aplicao das regras no interfere no resultado.

Agora hora de exercitar o que foi aprendido! S inicie o estudo da prxima seo, depois de resolver a segunda questo das atividades de autoavaliao.

SEO 4 Clculo proposicional - regras hipotticas

Nesta seo, voc aprender mais duas regras de inferncia. Acrescentando essas novas regras s outras oito j estudadas na seo anterior, voc ter sua disposio as dez regras bsicas do clculo proposicional. Para todo e qualquer argumento vlido, formalizvel na linguagem do clculo de predicados, h uma prova possvel da sua validade, usando-se apenas estas dez regras bsicas do clculo proposicional.

As duas regras que sero apresentadas nesta seo so diferentes das outras j estudadas na seo anterior, pois utilizam o que chamamos de raciocnio hipottico.

V V

V V V

V V

V V

Raciocnio hipottico aquele que se baseia em uma hiptese ou suposio.

30


No raciocnio hipottico, assume-se, temporariamente, que uma proposio qualquer seja verdadeira e deduzem-se as consequncias que tal acrscimo traria ao processo de inferncia.

Em alguns casos, a consequncia identificada pode ser til para se chegar a novas proposies cuja validade no se restringe apenas situao hipottica. Nesses casos, a hiptese pode ento ser descartada, mantendo-se, no entanto, as novas proposies a partir delas obtidas. As duas regras hipotticas fundamentais so:

1. a prova do condicional; 2. a reduo ao absurdo.

Veja na sequncia a explicao de cada uma dessas regras hipotticas.

Prova do condicional (PC)

Sendo possvel derivar uma fbf a partir de uma hiptese , ento podemos descartar a hiptese e inferir

Para deixar claro que a hiptese precisa ser descartada, vamos usar uma linha vertical esquerda das frmulas obtidas na derivao, enquanto a hiptese estiver vigente.

Confira a seguir um exemplo de aplicao da regra prova do condicional:


A B C B

Prova:

1. A B P [Premissa]2. C

3. B

HPC [Hiptese para Prova do Condicional]

1 E [da linha 1, por Eliminao da Conjuno]

V

V

V

31

Lgica II

Unidade 1

No raciocnio hipottico, assume-se, temporariamente, que uma proposio qualquer seja verdadeira e deduzem-se as consequncias que tal acrscimo traria ao processo de inferncia.

Em alguns casos, a consequncia identificada pode ser til para se chegar a novas proposies cuja validade no se restringe apenas situao hipottica. Nesses casos, a hiptese pode ento ser descartada, mantendo-se, no entanto, as novas proposies a partir delas obtidas. As duas regras hipotticas fundamentais so:

1. a prova do condicional; 2. a reduo ao absurdo.

Veja na sequncia a explicao de cada uma dessas regras hipotticas.

Prova do condicional (PC)

Sendo possvel derivar uma fbf a partir de uma hiptese , ento podemos descartar a hiptese e inferir

Para deixar claro que a hiptese precisa ser descartada, vamos usar uma linha vertical esquerda das frmulas obtidas na derivao, enquanto a hiptese estiver vigente.

Confira a seguir um exemplo de aplicao da regra prova do condicional:


A B C B

Prova:

1. A B P [Premissa]2. C

3. B

HPC [Hiptese para Prova do Condicional]

1 E [da linha 1, por Eliminao da Conjuno]

4. C B 2-3 PC [da linha 2 linha 3, por Prova do Condicional] Veja agora outro exemplo, um pouco mais complexo:


A B, B C C A

Prova:

1. A B P2. B C P3. C HPC4. C B 2 E 5. B 3,4 MP6. B A 1 E 7. A 5,6 MP8. C A 3-7 PC

Como voc pde observar, essa regra um pouquinho diferente, pois:

ela exige a colocao de um trao vertical esquerda, enquanto a hiptese estiver sendo usada;

embora a hiptese possa ser descartada a qualquer momento, deve-se mant-la at que se chegue a um resultado conveniente;

obrigatrio descartar a hiptese antes do fim da derivao;

ao descartar a hiptese, tem-se um condicional em que o antecedente a hiptese e o consequente a ltima frmula obtida com o uso da hiptese.

Esquematicamente, a estrutura da regra Prova do Condicional (PC) pode ser representada assim:

32


: :

Na prtica, a regra da Prova do Condicional funciona como uma regra de introduo do condicional. Assim, ela preenche uma lacuna que ainda estava aberta no rol das regras bsicas do clculo proposicional. A ltima lacuna restante ser preenchida com a regra da reduo ao absurdo, que veremos a seguir.

Reduo ao Absurdo (RAA)

Toda vez que uma hiptese possibilitar a inferncia de uma contradio, pode-se descartar a hiptese e inferir a sua negao.

O uso da reduo ao absurdo, assim como o de outras formas de inferncia muito recorrentes desde a lgica medieval, s vezes indicado pela sua denominao em Latim - Reductio ad absurdum. Dessas regras com nome em Latim, alm da RAA, j vimos o modus ponens (MP) e veremos logo a seguir o modus tollens (MT).

Confira a seguir um exemplo de aplicao da regra reduo ao absurdo:

Exemplo 7- Prove a validade da seguinte forma de argumento:

A B, B A

33

Lgica II

Unidade 1

Prova:

1. A B P [Premissa]2. B P [Premissa]3.

4.

5.

A HRAA [Hiptese para Reduo ao Absurdo]

B 1, 3 MP [das linhas 1 e 3, por Modus Ponens]

B B 4, 2 I [das linhas 4 e 2, por introduo da conjuno]6. A 3-5 RAA [da linha 3 linha 5, por Reduo ao Absurdo]

Veja agora outro exemplo, pouco mais complexo, de reduo do absurdo:


( A B), A B

Prova:

1. ( A B) P 2. A P

3. B HRAA

4. A B 2, 3 I

5. ( A B) ( A B) 4, 1 I

6. B 3-5 RAA

7. B 6 E

Como voc pde observar, essa regra tem algumas semelhanas com a regra da Prova do Condicional, mas ela tambm apresenta algumas diferenas marcantes, tais como:

ela tambm exige a colocao de um trao vertical esquerda, enquanto a hiptese estiver sendo usada;

tambm obrigatrio descartar a hiptese, antes de encerrar a derivao;

V V

V

V V V

V V V V

34


diferente da hiptese para prova do condicional, a hiptese para reduo ao absurdo no pode ser descartada a qualquer momento; ela s pode ser descartada, quando ocorre uma contradio, ou seja, uma fbf do tipo ( );

ao descartar a hiptese, deve-se assumir na linha seguinte a negao da hiptese;

diferente do que ocorre na prova do condicional, a frmula da ltima linha de vigncia da hiptese no reaproveitada de nenhuma forma nas linhas seguintes.

Esquematicamente, a estrutura da regra Reduo ao Absurdo (RAA) pode ser representada assim:

: :

Na prtica, a regra da Reduo ao Absurdo funciona como uma regra de ltimo recurso. Quando as outras regras no ajudam, quando aparentemente no h mais nada a fazer, o jeito recorrer reduo ao absurdo. Ela tambm usada muitas vezes como uma regra coringa, pois pode ser usada para substituir outras regras. E, finalmente, ela uma regra me, pois dela possvel fazer derivar inmeras outras regras.

Por tudo isso, fundamental que voc esteja bem treinado(a) no uso dessa regra. Que tal ento fazer alguns exerccios? S inicie o estudo da unidade 2, aps ter feito todos os exerccios da unidade 1.

V

V

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Lgica II

Unidade 1

Sntese

Voc estudou nesta unidade que o clculo proposicional clssico (CPC). Viu que ele uma verso simples da lgica clssica.

Voc pde estudar, tambm, que a lgica clssica no deve ser confundida com a teoria do silogismo, ainda que assuma os princpios aristotlicos de enunciao do ser (identidade, no contradio e terceiro excludo).

Finalmente, voc estudou as dez regras de derivao bsicas do CPC e como elas podem ser aplicadas para provar a validade de formas de argumento.

Atividades de autoavaliao

Ao final de cada unidade, voc realizar atividades de autoavaliao. O gabarito est disponvel no final do livro-didtico. Mas esforce-se para resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, voc estar promovendo (estimulando) a sua aprendizagem.

1) Explique com suas palavras a diferena entre lgica clssica e teoria do silogismo.

36


2) Construa uma prova para cada uma das formas de argumento a seguir:

a) A, (B C) (A C)

b) B C (C A)

c) (A B), (A C) B

d) (B A), (A B) (A B)

e) ((A B) (A C)) ((A B) (C A)

f) (A B), A B

g) (A B), (B C), A (B C)

h) A, (B C) ( A C)

i) B C (C A)

j) A, (B C) (A C)

3) Construa uma prova para cada uma das formas de argumento a seguir, usando as regras hipotticas e tambm as no hipotticas:

a) A B A

b) A B A B

c) A B (A C)

d) A B, B A

e) A B, A B

f) A A A

V

V

V V

V

V V

V

V VV V

V V

V

V

V

37

Lgica II

Unidade 1

4) Demonstre a validade dos seguintes argumentos, usando as regras de inferncia do clculo proposicional:

a) Ou Joo ama a Maria ou no a ama. Se ele a ama, ento ela no o ama. Se ele no a ama, ela tambm no o ama. Portanto, Maria no ama o Joo.

b) Se Joo ama a Maria e Maria ama o Joo, podemos concluir que Maria ama o Joo e Joo ama a Maria.

Saiba mais

Se voc desejar, aprofunde os contedos estudados nesta unidade, atravs de consulta s seguintes referncias:

MORTARI, Cezar Augusto. Introduo lgica. So Paulo: Editora da Universidade Estadual Paulista, 2001.

NOLT, John; ROHATYN, Dennis. Lgica. So Paulo: McGraw-Hill, 1991.

SELL, Srgio. Lgica I. Palhoa: UnisulVirtual, 2008.

2UNIDADE 2Um pouco mais sobre o Clculo ProposicionalObjetivos de aprendizagem

Conhecer e aplicar regras derivadas, teoremas e equivalncias.

Exercitar a tcnica de derivao e prova de validade de formas de argumento.

Sees de estudo

Seo 1 Clculo Proposicional: regras derivadas

Seo 2 Teoremas e equivalncias

40



Na unidade 1, voc conheceu os fundamentos do CPC (clculo proposicional clssico). Nesta, voc ter a oportunidade de aprofundar um pouco mais o seu estudo dessa parte da Lgica e de exercitar o uso dessa tcnica de prova da validade das formas de argumento atravs da derivao sinttica.

SEO 1 A Lgica Clssica e o Clculo Proposicional

Na unidade anterior, voc estudou as dez regras bsicas do clculo proposicional. Voc viu que, com elas, possvel provar se h validade em qualquer forma de argumento. No entanto algumas dessas provas podem ser simplificadas com o auxlio de regras derivadas. So essas regras auxiliares que voc vai estudar nesta seo.

As regras derivadas so regras produzidas a partir das regras bsicas. O processo de criao de regras derivadas simples: basta mostrar, atravs de uma derivao, que uma fbf consequncia sinttica de outra. A partir da, a nova regra pode ser batizada e passar a ser usada como se fosse um atalho nas prximas dedues.

Voc mesmo(a) pode criar as suas prprias regras derivadas. No entanto a tradio de estudos da Lgica j elaborou algumas regras derivadas importantes, com nomes j estabelecidos pela literatura. So essas regras derivadas mais famosas que voc ir conhecer a seguir.

Modus Tollens (MT)

Uma regra derivada famosa o modus tollens (MT). Acompanhe a demonstrao a seguir.

41

Lgica II

Unidade 2


A B, B A

Resoluo:

1. A B P2. B P 3. A HRAA4. B 1, 3 MP5. B B 4, 2 I 6. A 3-5 RAA

Como voc pde acompanhar, a forma de argumento A B, B A vlida.

Para transformar essa derivao em uma regra derivada, temos de fazer a mesma derivao, usando smbolos que, ao invs de representar proposies, representem qualquer fbf. Os smbolos que temos usado para representar uma fbf qualquer so as letras do alfabeto grego. Podemos usar, ento, as letras e para substituir as letras A e B na derivao anterior. Confira na sequncia.


,

Resoluo:

1. P2. P 3. HRAA4. 1, 3 MP5. 4, 2 I 6. 3-5 RAA

Com essa demonstrao, fica provado que dadas duas frmulas do tipo e , pode-se inferir . Essa passa a ser ento uma nova regra do CPC, uma regra derivada, construda a partir da aplicao das regras bsicas. S falta dar um nome a ela.

V V

V V

42


Cabe, neste caso, uma informao de cunho histrico: essa regra que, para o CPC, derivada das regras bsicas, j era usada na lgica medieval e conhecida com o nome de mudus tollens. Sendo assim, vamos manter o nome j tradicional dessa regra.

Portanto temos:

Modus Tollens (MT)

Agora que voc j entendeu como surgem as regras derivadas, acompanhe, a seguir, a prova de mais 6 regras.

Silogismo Hipottico (SH)

Seguindo a estratgia j adotada para a prova da regra modus tollens, vamos construir uma derivao que prove a validade de:

,

1. P 2. P 3. HPC4. 1, 3 MP5. 2, 4 MP 6. 3-5 PC

Portanto:

Silogismo Hipottico (SH)

43

Lgica II

Unidade 2

Repetio (RE)

Da mesma forma, podemos provar que:

Confira:

1. P 2. HRAA3. 1, 2 I 4. 2-3 RAA5. 4 E

Portanto:

Repetio (RE)

Contradio (CONTRAD)

Seguindo a mesma estratgia, possvel provar que:

,

Acompanhe:

1. P 2. P 3. HRAA 4. 1, 2 I 5. 3-4 RAA6. 5 E

V V

V V

44


Portanto:

Contradio (CONTRAD)

Esta regra significa que, dadas duas frmulas contraditrias, pode-se concluir corretamente qualquer outra frmula que se queira.

Silogismo Disjuntivo (SD)

Da mesma forma, podemos provar que:

,

Acompanhe:

1. P 2. P 3. HPC 4. 2, 3 CONTRAD 5. 3-4 PC 6. HPC7. 6 RE 8. 6-7 PC9. 1, 5, 8 E

Portanto:

V

V

V

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Lgica II

Unidade 2

Silogismo Disjuntivo (SD)

Dilema construtivo (DC)

Da mesma forma, prova-se ser vlida a regra:

, ,

Acompanhe:

1. P 2. P 3. P 4. HPC 5. 2, 4 MP6. 5 Iv 7. ( ) 4-6 PC 8. HPC9. 3, 8 MP10. 9 Iv 11. ( ) 8-10 PC12. 1, 7, 11 Ev

Portanto:

V

V V

V

V

V

V

V

V

46


Dilema construtivo (DC)

Absoro (ABS)

possvel provar que:

( )

Acompanhe:

1. P 2. HPC3. 1, 2 MP4. ( ) 2, 3 I 5. ( ) 2-4 PC

Portanto:

Absoro (ABS)

( )

V

V

V

V

V

V

V

47

Lgica II

Unidade 2

Outras regras derivadas

H inmeras outras possibilidades de se criarem regras derivadas. Voc viu aqui as 7 mais utilizadas, com nomenclatura j estabelecida, mas voc tambm pode criar as suas prprias regras derivadas para uso pessoal, como j se disse.

Ateno! Se voc for usar uma regra derivada em um contexto pblico (como um trabalho escolar ou um artigo para publicao), s vlido usar as regras derivadas de uso consagrado e nomenclatura padronizada ou regras derivadas pessoais que estejam demonstradas no prprio trabalho.

importante voc saber que h ainda duas outras regras que tambm so derivadas:

a introduo de teorema; a introduo de equivalncia.

Mas isso j assunto da prxima seo. Que tal agora fazer alguns exerccios? Voc j pode resolver o exerccio 1 das Atividades de Autoavaliao do final desta unidade.

SEO 2 Teoremas e Equivalncias

At aqui, voc viu formas de argumento cuja estrutura formada por premissa(s) e concluso. Tais formas de argumento so consideradas vlidas sempre que for possvel demonstrar que a concluso uma consequncia necessria das premissas. Agora, voc ver que existe um tipo muito especfico de argumento, o qual no necessita de premissas. Os argumentos desse tipo especial so os teoremas.

48


Teoremas

Algumas fbfs so logicamente necessrias, independente de qualquer outra fbf assumida como premissa. Tais proposies podem ser inferidas a partir de qualquer conjunto de premissas e, inclusive, podem ser inferidas sem a necessidade de nenhuma premissa, partindo-se apenas de hipteses. Essas fbfs logicamente necessrias recebem o nome de teoremas. Acompanhe.

Teorema uma fbf de um sistema formal que pode ser provada sem a necessidade de premissas. Um teorema uma fbf logicamente necessria.

Acompanhe o exemplo a seguir para entender a aplicao do teorema.


( )

Resoluo:

1. HPC2. ( ) 1 I 3. ( ) 1-2 PC

Observe que nenhuma premissa foi utilizada. A demonstrao j inicia com uma hiptese. Ou seja:

Neste caso a fbf ( ) vlida e no depende de mais nada para ser vlida, a no ser das regras j aceitas no sistema formal que est sendo utilizado (no nosso caso, as regras do CPC).

Acompanhe este outro exemplo.

V

V V

V

V

49

Lgica II

Unidade 2


( )

Resoluo:

1. HRAA2. ( ) 1-1 RAA

Essa uma prova muito interessante, pois a fbf assumida como hiptese para RAA , ao mesmo tempo, uma contradio o que permite encerrar imediatamente a hiptese. Basta, portanto, uma nica linha de derivao, para que se possa chegar concluso. Em apenas duas linhas, o teorema est provado.

Os teoremas podem ser muito teis em uma derivao. Mas, para isso, precisamos formular mais uma regra derivada: a Introduo de Teorema.

Introduo de Teorema (IT)

Qualquer teorema que j tenha sido anteriormente

provado pode ser introduzido em qualquer linha de uma

prova.

Mais uma vez preciso deixar claro que, se voc for usar uma regra derivada em um contexto pblico (como um trabalho escolar ou um artigo para publicao), s vlido usar as regras derivadas de uso consagrado e nomenclatura padronizada ou regras derivadas pessoais que estejam demonstradas no prprio trabalho.

Equivalncias

Duas fbfs so consideradas equivalentes, sempre que for possvel derivar uma da outra, sob a forma de um teorema.

V

V V

50


Em termos de representao simblica, uma equivalncia um teorema que tem a forma de um bicondicional. Na prtica, as equivalncias permitem substituir a fbf que est em um dos lados do bicondicional pela fbf que est do outro lado.

Sendo assim, note que as equivalncias funcionam como regras derivadas. Veja a seguir uma tabela com as principais equivalncias:

Equivalncia Nome

(P Q) ( P Q) Lei de De Morgan (DM)

(P Q) ( P Q) Lei de De Morgan (DM)

(P Q) (Q P) Comutao (COM)

(P Q) (Q P) Comutao (COM)

(P (Q R)) ((P Q) R) Associao (ASSOC)

(P (Q R)) ((P Q) R) Associao (ASSOC)

(P (Q R)) ((P Q) (P R) Distribuio (DIST)

(P (Q R)) ((P Q) (P R) Distribuio (DIST)

P P Dupla Negao (DN)

(P Q) ( Q P) Transposio (TRANS)

(P Q) ( P Q) Implicao Material (IM)

(( P Q) R) (P (Q R)) Exporttao (EXP)

P (P P) Tautologia (TAUT)

P (P P) Tautologia (TAUT)

Tabela 2.1 Equivalncias.Fonte: Nolt, Rohaty, 1991, p. 144. Adaptado pelo autor.

Agora, acompanhe um exemplo, usando uma equivalncia na derivao.


A, B, C (A B) C

Resoluo:

1. A P2. B P

V V V V

V V

V V

V V V V

V V V V

V

VV

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

51

Lgica II

Unidade 2

3. C (A B) P4. A B 1, 2 I 5. (A B) 4 DM [Lei de De Morgan]6. C 3, 5 MT

claro que a validade dessa mesma forma de argumento poderia ser provada sem usar as equivalncias. Mas, nesse caso, a demonstrao utilizaria um nmero bem maior de linhas, como voc pode conferir no exemplo a seguir.

Exemplo 6 - Prove a validade da seguinte forma de argumento, sem usar equivalncias:

A, B, C (A B) C

Resoluo:

1. A P2. B P3. C (A B) P4. C HRAA5. (A B) 3,4 MP6. B 1, 5 SD7. B B 6, 2 I 8. C 4-7 RAA

Esses dois exemplos ajudam a compreender a funo das equivalncias: perceba que, no primeiro deles (com uso de equivalncia), foi possvel construir uma prova usando um nmero menor de linhas e sem usar nenhuma hiptese.

Portanto o uso de equivalncias permitiu construir uma prova mais direta e simples, uma prova mais elegante da validade de uma dada forma de argumento.

V

V V

V

V

V

V

V V

52


Chegamos ao final de mais uma unidade do livro. Para no perder o hbito, que tal fazer agora mais alguns exerccios propostos na autoavaliao?

Sntese

Nesta unidade, voc conheceu novas regras do clculo proposicional. Voc estudou que as regras derivadas so construdas a partir da aplicao das regras bsicas e podem ser usadas para simplificar etapas da prova da validade de uma forma de argumento. Embora sempre seja possvel criar novas regras derivadas, algumas delas j so consagradas pelo seu uso na literatura especializada da filosofia e da matemtica, recebendo nomes especficos. Destas, as mais famosas so o modus tollens, o silogismo hipottico, a absoro, o dilema construtivo, a repetio, a contradio e o silogismo disjuntivo.

Voc viu que um tipo especial de regra derivada a introduo de teorema, que, na prtica, representa a possibilidade de se introduzir em uma derivao, sempre que for til, uma fbf que j tenha sido provada como sendo logicamente necessria.

Por fim, voc estudou um terceiro tipo de regra derivada: as equivalncias. Toda vez que uma fbf que tenha a forma de um bicondicional for provada como sendo um teorema, um dos lados do bicondicional passa a ser considerado equivalente do outro. Assim, os dois lados do bicondicional funcionam como se fossem duas novas fbfs livremente intercambiveis entre si. Tambm no caso das equivalncias, algumas j so de uso consagrado na literatura, como as leis de De Morgan e a dupla negao.

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Lgica II

Unidade 2




a) A B, B C, C Ab) A B, B C A Cc) C D, A C Dd) A (A A)e) A (C D), A B, C F, D G F Gf) A B, A B C


a) A, B (A v B)b) (A B) A v Bc) (A B) (C D), (C D) A Bd) (A B) (C D), C D (A B)e) C D, A C Df) A (B B) (A A)g) A B, B C, A C Dh) (A B), A B Ci) A (B A)j) C ((C D) D)

V

V V

V

V V

V

V

V V V V

V V V V

V

V V V

V V

V

54


Saiba mais


ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciao lgica matemtica. So Paulo: Nobel, 2002.


3UNIDADE 3A linguagem do clculo de predicadosObjetivos de aprendizagem

Fazer a distino entre o clculo proposicional e o clculo de predicados.

Definir os termos quantificador e varivel.

Conhecer as regras de formao de frmulas do clculo de predicados.

Desenvolver a habilidade de formalizao de sentenas, usando a linguagem do clculo de predicados.

Sees de estudo

Seo 1 Que o clculo de predicados

Seo 2 A formalizao no clculo de predicados, usando constantes nominais

Seo 3 Clculo Proposicional: regras derivadas

Seo 4 Um pouco mais sobre a formalizao, usando variveis

Seo 5 As frmulas do clculo de predicados, usando quantificadores

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Aps ter estudado o clculo proposicional nas duas primeiras unidades deste livro, voc finalmente ter o seu primeiro contato com o ncleo da Lgica Clssica: o clculo de predicados. Nesta unidade, voc estudar as caractersticas dessa nova linguagem usada na formalizao de sentenas. Na unidade 5, voc aprender as regras de derivao aplicveis a essa nova linguagem.

Sempre que houver a indicao, faa os exerccios. Eles so indispensveis para uma adequada compreenso dos contedos estudados.

SEO 1 Que o clculo de predicados

Nas unidades anteriores, voc estudou o clculo proposicional. Nesse tipo de linguagem, cada proposio representada por um nico smbolo. No clculo proposicional, a proposio considerada em sua totalidade. A partir de agora, vamos trabalhar com uma linguagem mais precisa, que leva em considerao as partes que constituem a proposio.

Conhea-a na sequncia.

O clculo de predicados um tipo de formalizao de enunciados que leva em considerao os elementos constitutivos da proposio.

Analisando uma proposio simples, por exemplo, Scrates filsofo, podemos identificar nela duas funes lgicas fundamentais:

1. a funo de sujeito; 2. a funo de predicado.

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Lgica II

Unidade 3

No clculo proposicional, formaliza-se essa sentena, atribuindo a ela uma letra proposicional. No clculo de predicados, so usadas duas letras: uma para o sujeito e outra para o predicado, como mostra o exemplo a seguir.

Clculo proposicional - Scrates filsofo: S

Clculo de predicados - Scrates filsofo: Fs

Observe que, ao identificar na notao simblica o sujeito [s] e o predicado [F], a formalizao do clculo de predicados possibilita fazer uma anlise mais precisa da proposio. De um modo geral, o clculo de predicados propicia um tratamento mais rigoroso de enunciados e de raciocnios. E ainda tem outras vantagens. Veja, por exemplo, as proposies a seguir:

Scrates filsofo

Scrates mortal

Agora, compare as respectivas notaes no clculo proposicional e no clculo de predicados:

Clculo Proposicional Clculo de Predicados

Scrates filsofo: SScrates mortal: M

Scrates filsofo: FsScrates mortal: Ms

A notao do clculo de predicados deixa claro que estamos falando da mesma pessoa, a quem se atribui mais de uma propriedade; j, a notao do clculo proposicional no evidencia nenhuma relao entre as duas sentenas.

Essa possibilidade de poder comparar as proposies muito til em diversas situaes de aplicao do clculo de predicados. Veja a seguir como o clculo de predicados pode ajudar, por exemplo, a diminuir a quantidade de smbolos usados na formalizao:

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clculo proposicional clculo de predicados

Scrates filsofo: SScrates mortal: MScrates humano: HPlato filsofo: PPlato mortal: QPlato humano: RAristteles filsofo: AAristteles mortal: BAristteles humano: C

Scrates filsofo: FsScrates mortal: MsScrates humano: HsPlato filsofo: Fp Plato mortal: Mp Plato humano: Hp Aristteles filsofo: FaAristteles mortal: MaAristteles humano: Ha

Neste exemplo simples, observe que, enquanto o clculo proposicional exigiu nove smbolos para representar as nove proposies, o clculo de predicados exigiu apenas seis. Em outros casos, essa diferena pode tornar-se ainda maior.

Sujeito ou indivduo?

A distino dos termos da proposio, feita pelo clculo de predicados, vai alm da identificao do sujeito e do predicado. De fato, a distino que ocorre entre indivduos e predicado. Veja os seguintes exemplos:

Joo ama a Maria.

Joo falou de Maria para Pedro

Veja que, nessas duas proposies, temos um sujeito gramatical o Joo. Mas observe que temos mais de um indivduo envolvido [Joo e Maria, na primeira sentena; Joo, Maria e Pedro, na segunda sentena]. Para alcanar um grau maior de preciso, o clculo de predicados d preferncia ao uso da noo de indivduo.

Letras predicativas e letras nominais

Como voc j deve ter notado nos exemplos postos, a notao do clculo de predicados usa dois tipos distintos de letra:

No exemplo dado, cada novo acrscimo de predicado ou de indivduo levaria a um aumento no nmero de smbolos. No clculo proposicional, esse aumento seguiria uma progresso geomtrica, enquanto que, no clculo de predicados, seguiria uma progresso aritmtica.

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Lgica II

Unidade 3

1. as letras predicativas (maisculas) representam predicados [propriedades e relaes];2. as letras nominais (minsculas) representam indivduos.

As letras predicativas e as letras nominais so consideradas smbolos no lgicos.

Os smbolos no lgicos, so aqueles que no possuem uma interpretao fixa e precisam ser definidos em cada situao.

As letras nominais, por sua vez, podem ser de dois tipos:

constantes nominais; variveis nominais.

Na prxima seo, voc ver como se faz a formalizao de sentenas no clculo de predicados, usando constantes nominais.

SEO 2 A formalizao no clculo de predicados, usando constantes nominais

Para iniciar o estudo da formalizao simblica do clculo de predicados, o ideal utilizar uma verso simplificada dessa linguagem, contendo constantes nominais, mas sem incluir o uso de variveis. Nessa verso simplificada, as regras para a formalizao de enunciados, usando a notao do clculo de predicados, so praticamente as mesmas j utilizadas na formalizao do clculo proposicional.

Em oposio aos smbolos lgicos, que tm uma interpretao fixa. Os smbolos lgicos que usamos at aqui so os operadores , , , e . VV

Fonte: .

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Em todo caso, vale a pena apresentar de forma rigorosa as novas regras:

Vamos assumir o seguinte conjunto de regras de formao:

1) Qualquer letra predicativa sozinha ou seguida por uma ou mais letras nominais uma fbf;

2) Se f uma fbf, ento f tambm o ;3) se f e Y so fbf, ento (f Y), (f Y), (f Y) e (f Y)

tambm o so;4) estas regras podem ser usadas recursivamente (podem ser

usadas quantas vezes quisermos);5) qualquer sequncia de smbolos que no possa ser produzida

apenas com a aplicao destas regras de formao no ser uma fbf.

Grau do Predicado

Alguns predicados indicam propriedades de indivduos. Outros indicam relaes entre dois ou mais indivduos.

No clculo de predicados, essa diferena de nmero de indivduos envolvidos no predicado chamada de grau do predicado.

Toda vez que definimos um vocabulrio de interpretao dos smbolos no lgicos, fundamental deixar claro o grau do predicado. Os graus mais comuns tm nomes especficos.

Predicados zerorios No se referem a indivduos (ex. Chover; ser domingo; etc.)

Predicados unrios Propriedades de indivduos(ser cantor; ser alto; ser filsofo; etc.)

voc pode comparar essas regras com aquelas que foram apresentadas na Seo 3 da Unidade 5 do livro didtico da disciplina Lgica I.

V

V

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Lgica II

Unidade 3

Predicados binrios Relaes entre 2 indivduos(ser filho de, ser mais alto que, ser anterior a, etc.)

Predicados ternrios Relaes entre 3 indivduos(dar algo a algum; falar de algo a algum; etc.)

Predicados n-rios Relaes entre n indivduos.

Cada predicado deve estar associado exatamente ao nmero de indivduos indicado por seu grau; nem mais, nem menos.

Considere a seguinte interpretao para os smbolos no lgicos:

a: Ana p: Pedro

j: Joo M_ _: ser me de

Acompanhe como fica a formalizao dos enunciados a seguir:

Ana me de Joo Maj

Ana me de Pedro Map

Ana me de Joo e de Pedro Maj Map

Observe que, no exemplo acima, ao se propor qual interpretao deve ser dada aos smbolos no lgicos, o predicado ser me foi definido como um predicado binrio (isso feito com o uso de 2 traos horizontais direita da letra M).

Sendo assim, seria inaceitvel uma formalizao como:

Ana me de Joo e de Pedro Majp [incorreta]

Note que a incorreo est em associar um predicado binrio a trs indivduos.

V

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Que tal agora fazer alguns exerccios de formalizao, usando essa nova linguagem? Resolva o exerccio n 1 das atividades de autoavaliao antes de iniciar a leitura da Seo 3.

SEO 3 Quantificadores e a formalizao, usando variveis

Nesta seo, voc conhecer um novo tipo de operadores lgicos, os quantificadores, e aprender a formalizar sentenas, usando variveis nominais. O clculo de predicados que usa quantificadores e variveis nominais tambm chamado de clculo de predicados de primeira ordem ou de clculo quantificacional clssico (CQC).

O conceito mais fundamental da Lgica Clssica o de operao lgica. At aqui, vnhamos utilizando cinco operadores fundamentais (negao, conjuno, disjuno, condicional e bicondicional).

O uso desses operadores fundamentais nos possibilita formalizar diversas formas de argumento, tanto usando a notao do clculo proposicional quanto a do clculo de predicados.

Mas no nos permite representar simbolicamente as proposies categricas (universais e particulares). Para suprir essa carncia, o clculo de predicados precisa recorrer a uma nova noo, a de variveis, e a um novo tipo de operador lgico, os quantificadores. Veja na sequncia a definio de cada um deles.

Varivel um elemento do vocabulrio de uma linguagem formal, que possibilita representar algo cujo referente no est definido;

Quantificador um operador lgico que possibilita a interpretao de uma varivel. Os principais quantificadores da lgica clssica so o quantificador existencial ( ) e o quantificador universal ( ).

H tambm os clculos de predicados de ordem superior (segunda, terceira, etc.) que, alm das variveis nominais, apresentam variveis para os predicados.

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Lgica II

Unidade 3

Usando o quantificador existencial ( )

Suponha que quisssemos formalizar a proposio O cu azul, usando a notao do clculo de predicados. Para isso, teramos que definir um vocabulrio que contivesse smbolos para o predicado ser azul e para o sujeito cu. Uma possibilidade seria:

Vocabulrio Formalizao

A_: ser azulc: cu

O cu azul: Ac

Pense na seguinte questo:

Mas como formalizar a proposio algo azul?

Uma forma de representar proposies como essa, em que no se atribui a propriedade a um sujeito determinado, usar o quantificador existencial ( ), conforme apresentado a seguir:

Notao Interpretao

x Ax Existe um indivduo x tal que x azul. Seguindo a mesma estratgia de representao, poderamos formalizar a proposio nada azul da seguinte forma:

Notao Interpretao

x Ax No existe um indivduo x tal que x azul.

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Usando o quantificador universal ( )

Se quisssemos, por exemplo, representar a proposio tudo azul, precisaramos usar o quantificador universal ( ). Veja a formalizao desta representao a seguir:

Notao Interpretao

x Ax Para todo indivduo x, x azul.ou Qualquer que seja o indivduo x, x azul.

Seguindo a mesma estratgia de representao, poderamos formalizar a proposio nem tudo azul da seguinte forma:

Notao Interpretao

x Ax No o caso que para todo indivduo x, x seja azul.

Na prxima seo, voc ver como usar, na prtica, as variveis e os quantificadores.

SEO 4 Um pouco mais sobre a formalizao, usando variveis

Nesta seo, vamos ampliar a nossa linguagem simblica, tornando possvel formalizar proposies e raciocnios que usem quantificadores e variveis.

Considere o seguinte vocabulrio:

H_: ser humano

M_: ser mortal

s: Scrates

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Lgica II

Unidade 3

Usando esse vocabulrio, podemos formalizar sem dificuldade as proposies:

Scrates humano ...................... Hs

Scrates mortal ......................... Ms

Como poderamos formalizar Algo humano?

muito simples:

Algo humano ......................... x Hx

Tambm muito fcil formalizar Algo mortal:

Algo mortal ............................. x Mx

E, como faramos para formalizar tudo humano? ou tudo mortal? Tambm muito simples:

Tudo humano .............................. x HxTudo mortal ................................. x Mx

Mas, se tivermos que formalizar a proposio Todo humano mortal?

Note que afirmar todo humano mortal no equivale nem a algo humano nem a tudo humano.

Como ento formalizar essa proposio?

Neste caso, teremos que tomar um cuidado especial, pois essa proposio estabelece uma relao entre dois conjuntos de seres: os humanos e os mortais. Trata-se de uma relao de incluso: o conjunto dos humanos est contido no conjunto dos mortais. Podemos visualizar essa relao no diagrama abaixo:

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Humanos Mortais

Diagrama 3.1 Todo humano mortal.

Fonte: Elaborao do autor.

Para descrever verbalmente essa relao entre conjuntos, na forma de uma proposio, poderamos reescrev-la na seguinte forma:

Todo elemento do conjunto dos humanos pertence tambm ao conjunto dos mortais.

No entanto ns no temos na nossa linguagem formal um smbolo que represente o termo elemento nem um operador lgico que represente o termo pertencer. Portanto essa soluo ainda insuficiente.

Seria possvel, ento, reescrever essa proposio, usando apenas os termos que j temos no nosso vocabulrio e os operadores fundamentais da Lgica Matemtica?

Uma possibilidade seria:

Se algo humano, ento esse algo mortal.

Mas lembre que estamos falando de todos os elementos do conjunto dos humanos.

Ento, para no deixar dvidas, vamos reescrever novamente a proposio, na seguinte forma:

Qualquer que seja o ser, se ele humano, ento ele mortal.

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Lgica II

Unidade 3

Aqui, chegamos onde queramos: essa forma de apresentar a relao entre humanos e mortais no ambgua e formalizvel. Veja:

x (Hx Mx)

Agora que conseguimos resolver o problema, podemos passar a usar essa estratgia como uma soluo padronizada.

Sempre que tivermos uma proposio da forma todo A B, podemos formaliz-la como x (Ax Bx)

Acompanhe a seguir mais alguns exemplos de formalizao de proposio.

Exemplo 1 - Considere a seguinte interpretao para os smbolos no lgicos:

A_: ser ave

B_: ser bonito

C_: custar caro

P_: ser periquito

U_: ser urubu

Veja como formalizar as proposies a seguir:

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a) Toda ave bonita. x (Ax Bx)[Para todo x, se x uma ave, ento x bonito]

b) Todo urubu feio. x (Ux Bx)[Para todo x, se x um urubu, ento x no bonito]

c) Nem toda ave bonita. x (Ax Bx)[no o caso que para todo x, se x uma ave, ento x bonito]

d) Todo periquito custa caro. x (Px Cx) [Para todo x, se x uma ave, ento x caro]

e) Toda ave bonita custa caro. x ((Ax Bx) Cx) [Para todo x, se x uma ave e x bonito, ento x caro]

Que tal fazer alguns exerccios para avaliar o quanto voc aprendeu sobre a formalizao de proposies com quantificadores e variveis? O ideal que voc s inicie a seo 5 aps ter feito todos os exerccios de autoavaliao n 2.

SEO 5 As frmulas do clculo de predicados, usando quantificadores

A formalizao de proposies, usando quantificadores e variveis, deve obedecer ao seguinte conjunto de regras de formao:

A proposio No o caso que para todo x, se x uma ave, ento x bonito significa quase a mesma coisa que No verdade que para todo x, se x uma ave, ento x bonito ou No correto que para todo x, se x uma ave, ento x bonito. No entanto vamos preferir a primeira dessas formas para evitar discusses epistemolgicas a respeito dos termos verdade e correo.

V

Essa formulao das regras de formao uma verso adaptada das regras propostas por Nolt e Rohatyn, 1991, pginas 250 e 251.

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Lgica II

Unidade 3

1) Qualquer letra predicativa, sozinha ou seguida por uma ou mais letras nominais, uma fbf;

2) Se uma fbf, ento tambm o ;3) Se e so fbf, ento ( ), ( ), ( ) e ( ) tambm o so;

4) Se uma fbf, e uma letra nominal que ocorre em , e o smbolo de uma varivel individual que no ocorre em , ento qualquer frmula que tenha a forma ou uma fbf, considerando que o resultado de se substituir uma ou mais ocorrncias de em por ;5) Estas regras podem ser usadas recursivamente (podem ser usadas quantas vezes quisermos);

6) Qualquer sequncia de smbolos que no possa ser produzida apenas com a aplicao destas regras de formao no ser uma fbf.

Vamos ver como funcionam essas regras em exemplos prticos?

De acordo com essas regras, vamos avaliar se as seguintes frmulas so bem formadas:

a) Ma uma fbf, de acordo com a regra 1

b) Pbc uma fbf, de acordo com a regra 1

c) Ma uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 2 ao exemplo (a)

d) (Ma Ma) uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 3 a (a) e a (c)

e) (Ma Pbc) obtida a partir da aplicao da regra 3 a (a) e (b)

V

V

/ /

/

V

V

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f) ((Ma Ma) (Ma Pbc)) uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 3 a (d) e a (e)

g) x Pxc uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 4 a (b)

h) x Pbx uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 4 a (b)

i) y x Pyx uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 4 a (h)

j) z (Mz Ma) uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 4 a (d), optando por substituir pela varivel z apenas uma das ocorrncias da constante individual a

k) z (Mz Mz) uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 4 a (d), optando por substituir pela varivel z todas as ocorrncias da constante individual a

l) x y ((Mx Ma) (My Pbc)) uma fbf, obtida a partir da aplicao, 2 vezes, da regra 4 a (f)

m) x Pbx uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 4 a (b)

n) x y Pyx uma fbf, obtida a partir da aplicao da regra 4 a (m)

o) x No uma fbf

p) x No uma fbf

q) x Pa No uma fbf, pois a varivel x s deveria aparecer junto a um quantificador. se ela de fato ocorresse na frmula

Aps ter analisado esses exemplos referentes s regras de formao de frmulas com quantificadores e variveis, voc chegou ao final desta unidade dedicada linguagem do CQC.

V V V

V

V

V V V

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Lgica II

Unidade 3

Na prxima unidade, voc ter a oportunidade de aplicar esses novos conhecimentos, ao estudar as tcnicas de derivao do clculo de predicados.

Sntese

Nesta unidade, voc estudou que a principal caracterstica do clculo de predicados a anlise dos elementos constitutivos da proposio. Voc viu que isso leva ao uso de smbolos no lgicos distintos para predicados e para indivduos.

Voc tambm pde estudar que uma verso simplificada do clculo de predicados envolve apenas o uso de Letras Predicativas e constantes nominais. Uma verso mais completa inclui tambm o uso de quantificadores (existencial e universal) e de variveis nominais.

No que se refere s regras de formao de frmulas do clculo de predicados, voc pde estudar que estas englobam as regras aplicveis ao clculo proposicional e tambm regras especficas para o uso de letras nominais e para os quantificadores.

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1) Considere a seguinte interpretao para os smbolos no lgicos:

a: Andreiab: Brbarac: Caetanod: Davie: ricaf: Francisco

G_ _: gostar deH_: ser historiadorI_ _: ser irmo deJ_: ser japonsK_: ser cantor L_ _: amar

M_ _: ser me de N_ _: namorar comP_ _: ser pai de

Em seguida, formalize as proposies a seguir:

a) Andreia gosta de Davi.

b) Andreia e Brbara gostam de Davi.

c) Andreia gosta de Davi, mas Davi gosta de Brbara.

d) Caetano cantor, Francisco tambm.

e) Davi no gosta de Caetano, mas gosta de Francisco.

f) Se Davi gosta de Brbara, ento no gosta de Andreia.

g) Brbara s gosta de Davi, se Davi no gosta de Andreia.

h) Alm de cantor, Francisco tambm historiador.

i) Francisco no japons.

j) Davi um historiador japons.

k) De Andreia e Brbara, pelo menos uma delas japonesa.

l) De Andreia e Brbara, apenas uma delas japonesa.

m) rica namora com Caetano, mas no o ama.

n) rica a me de Davi.

o) O cantor Francisco o pai de Davi.

p) Francisco ama Davi, mas Davi no ama Francisco.

q) Andreia e Davi so irmos.

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Lgica II

Unidade 3

r) O historiador japons Davi irmo de Andreia e filho de Francisco e rica.

s) Davi e Andreia gostam um do outro.

t) No verdade que Davi e Andreia no gostam um do outro.

u) Francisco e rica se amam.

v) No o caso que se Davi ama Brbara ento Brbara ama Davi.

w) Davi se ama.

x) Brbara no gosta de si mesma.

y) Francisco pai de Davi, mas Davi no cantor.

z) Brbara, Davi e Andreia se amam mutuamente.

2) Considere a seguinte interpretao para os smbolos no lgicos:

A_: ser aveB_: ser bonitoC_: custar caro F_ _: ser filho de

G_: ser gansoL_ _: amarM_ _: ser me de P_: ser periquito

V_: ser capaz de voarj: Jool: Lourom: Maria

Em seguida formalize as proposies a seguir:

a) Toda ave bonita.

b) H pelo menos uma ave que bonita.

c) H aves bonitas.

d) Toda ave custa caro.

e) Todo ganso bonito.

f) Toda ave voa.

g) H aves que voam.

h) Nenhuma ave capaz de voar.

i) No verdade que nenhuma ave capaz de voar.

j) Os gansos no voam.

k) Louro um periquito.

l) Todo periquito voa.

m) Se todo periquito voa, ento Louro voa.

n) Se todo periquito voa e Louro um periquito, ento Louro voa.

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o) Maria tem um filho.

p) Algum ama Maria.

q) Maria ama algum.

r) Algum ama a si mesmo.

s) Toda pessoa ama algum.

t) Todo mundo amado por algum.

u) Todo mundo ama todo mundo.

v) Maria ama algum que lhe ama.

w) Maria s ama quem lhe ama.

x) Nem todo mundo ama quem lhe ama.

y) Todo mundo ama algum que ama um outro.

z) Maria tem um filho que a ama.

Saiba mais


MORTARI, Cezar Augusto. Introduo lgica. So Paulo: Editora da Universidade Estadual Paulista, 2001.


4UNIDADE 4O Clculo Quantificaci

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