CAPITULO 2

LINEAS DE ESPERA 2.1 INTRODUCCIÓN Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas. Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2, . . . , N\ y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia 2.2 OBJETIVO En las líneas de espera, existen dos costos perfectamente identificados: el costo de las transacciones, que representa la cuantificación monetaria de la pérdida de tiempo al esperar recibir un servicio o la pérdida de clientes por abandono del sistema, y el costo de proporcionar el servicio, que representa la cantidad de dinero que hay que pagar por cuestión de sueldos y salarios, energía, mantenimiento y depreciación del personal o equipo. De tal forma que en un estudio de líneas de espera el objetivo es determinar qué nivel de servicio, ya sea por cantidad de entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar para minimizar el costo total del sistema. Este costo está formado tanto por costo de servicio como por el que causa la espera. Matemáticamente podemos representarlo de la siguiente forma:

LECTURA 6.2

SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS Azarang M., Garcia E. Mc. Graw Hill. México

Estos conceptos se pueden representar gráficamente de acuerdo con el esquema mostrado en la figura 2.1. Figura 2.1 Esquema de optimización de una línea de espera.

2.3 ESTRUCTURA Un sistema de espera se representa mediante la llegada de transacciones a un sistema con el fin de recibir un servicio por cualquiera de una o más entidades dispuestas para ello, conocidas como servidores. En caso de que todas las entidades se encuentren ocupadas, la transacción permanece en espera en la fila hasta que decide abandonar la fila sin ser atendido, o bien, es seleccionado de acuerdo con cierta regla para recibir atención. Una vez que el servicio ha sido completamente proporcionado, la transacción sale del sistema y se convierte de nuevo en una transacción potencial. Servidores Representan al mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado. Estas entidades se encuentran dispuestas en forma paralela a la fila, de tal manera que las transacciones pueden seleccionar a cualquiera de ellas para el suministro de dicho servicio. Las dos características principales de los servidores son: la cantidad asignada por cada fila existente en el sistema y la distribución de probabilidad del tiempo de atención a las transacciones o de la velocidad de servicio; dentro de las distribuciones más comunes están la exponencial, la Erlang, la hiperexponencial, la degenerada. Transacciones potenciales Representan el número total de clientes que podrían requerir el servicio proporcionado por el sistema y es necesario definir dos características para este conjunto de elementos; la

primera tiene que ver con el tamaño del conjunto potencial de clientes, dando, en consecuencia, conjuntos limitados o finitos y en otros casos conjuntos ilimitados o infinitos. La segunda caracterísitica se refiere a la distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas o bien a la tasa de entrada promedio. Es común encontrarse la suposición de tasas de llegada que siguen un proceso Poisson, el cual ocurre cuando las llegadas a un sistema se llevan a cabo de forma aleatoria; es importante hacer notar que una de las propiedades de esta distribución es su relación con el tiempo entre llegadas consecutivas, que se representa en forma paralela, de acuerdo con un proceso de tipo exponencial. Existen algunos sistemas donde la tasa de llegadas se ve afectada por la decisión de una transacción de rehusar su entrada al sistema por razones diversas, por ejemplo del tamaño de la fila. Fila Is el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema. Una fila tiene tres características principales, la primera se refiere a la capacidad, o sea, al número máximo de transacciones que pueden permanecer en ella en un mismo instante y de acuerdo con este número se clasifican como finitas o infinitas. Hay que hacer notar que en el caso de los modelos con tamaño finito, la solución es mucho más fácil de encontrar a partir Figura 2.2 Estructura general de un sistema de líneas de espera.

de las ecuaciones generales ya que la solución del modelo se reduce a un sistema de ecuaciones simultáneas y a la evaluación de las medidas de desempeño mediante promedios ponderados, mientras que, en el caso de modelos de tipo ilimitado o infinito, es necesario recurrir a la solución del sistema de ecuaciones así como a la evaluación de las medidas de desempeño y a algunas series geométricas que dificultan en cierto grado el manejo algebraico de la solución. La segunda característica es el orden en que las transacciones son extraídas de la fila para su atención, en ese caso podemos encontrar: primeras llegadas, primeros servicios, por prioridad, aleatorio, etcétera y, por último/la forma de salir de la fila, que puede darse mediante el proceso de servicio o bien, mediante el abandono por factores como desesperación, hastío, etcétera. 2.4 NOMENCLATURA S número de servidores n número de clientes en el sistema N número máximo de clientes permitidos en el sistema A,,t flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistema

u,7l capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema. E(t) tiempo promedio de proceso por cliente V(t) variancia del tiempo de proceso E(á) tiempo promedio entre llegadas V(a) variancia del tiempo entre llegadas CQ coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema C2

S coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio Cp coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema PIJ probabilidad de que el sistema cambie de un estado i a un estado y después de un intervalo de tiempo Pn probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema L número promedio de clientes en el sistema Lq número promedio de clientes en la fila W tiempo promedio de permanencia en el sistema Wq tiempo promedio de permanencia en la fila p utilización promedio del servicio Ct costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de tiempo Ce costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo Cq costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo 2.5 CLASIFICACIÓN DE KENDALL Y LEE En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de líneas de espera, ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de espera, expresándolas en el formato (a / b I c) (d I e I f), donde: a distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones. b distribución de probabilidad del tiempo de servicio. Los símbolos utilizados en estos dos primeros campos son: D: constante. Ek: distribución Erlang con parámetro k. G: cualquier tipo de distribución. GI: distribución general independiente. H: distribución hiperexponencial. M : distribución exponencial. c número de servidores d orden de atención a los clientes. Los símbolos utilizados en este campo son: FCFS: primeras entradas, primeros servicios. LCFS: últimas entradas, primeros servicios SIRÓ: orden aleatorio. PR: con base en prioridades. GD: en forma general. e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo. / número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera. Por ejemplo, un modelo (M/D/3) (FCFS/20/20) representa la clasificación de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formarse en una fila común. En otro caso, un modelo (M/M/l)(LCFS/oo/oo) es la clasificación de una línea de espera donde hay 1 servidor atendiendo

de acuerdo con un orden de últimas entradas, primeras salidas, con tiempo de servicio exponencial. El sistema da servicio a un número infinito de clientes potenciales, mismos que al llegar serán aceptados por el sistema. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y en caso de llegar y encontrar al servidor ocupado, pasan a formarse en una fila común. Respetando la clasificación anterior, es posible agrupar los diferentes modelos de la forma mostrada en la figura 2.3, donde se separan principalmente los modelos markovianos de los no markovianos. Los markovianos se dividen en modelos con capacidad finita y modelos con capacidad infinita, los no markovianos, a su vez, se clasifican en modelos con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicio con cualquier función de probabilidad, y en modelos con tiempos entre llegadas y tiempos de servicio con cualquier tipo de distribución. Esta agrupación se realiza en función del procedimiento matemático utilizado en la solución del modelo. Figura 2.3 Agrupación de los modelos de acuerdo con el procedimiento matemático de solución. 2.6 ECUACIONES GENERALES Las medidas de desempeño con que se trabaja en teoría de colas son principalmente las siguientes: Utilización del servicio Representa el porcentaje de tiempo en que los servidores atienden a los clientes y se calcula como la razón entre la tasa promedio de llegadas y la capacidad total del sistema para proporcionar el servicio.

Tasa de entrada promedio Es el valor ponderado de las tasas de entrada a un sistema y representa el número promedio de clientes que, efectivamente, ingresan al sistema convirtiéndose de clientes potenciales en clientes reales. A su vez, esta variable es la tasa de salida del sistema; en el caso de sistemas de manufactura esta variable representa la producción que en promedio está logrando el sistema.

Número promedio de clientes en el sistema Es el promedio ponderado de los diferentes estados del sistema, definiendo el estado del sistema como el número de clientes que se encuentran acumulados tanto en espera como en servicio en cualquier momento.

2.7 PROCESOS MARKOVIANOS El proceso estocástico utilizado en la modelación de una línea de espera tiene la propiedad markoviana, ya que la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro depende exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de dicho sistema. Este conjunto de probabilidades condicionales se conoce como probabilidades de transición de un paso y hay que considerar que son estacionarias, o sea que no cambian con el tiempo. Estas probabilidades se expresan como p¿j. Hay que recordar que en este caso, el estado se define como número de transacciones dentro del sistema en un momento dado. La tabla 2.1 muestra la representación matricial del comportamiento de una línea de espera, donde los índices de la primera columna representan el estado actual del sistema y los del primer renglón los estados futuros, relacionados entre ellos por la probabilidad condicional de que el sistema cambie del estado actual al estado futuro. Las probabilidades condicionales de la matriz deben de cumplir con:

Las probabilidades de estado estacionario Pj representan el comportamiento probabilístico de cada estado del sistema a largo plazo y se calculan a partir de las probabilidades de transición de un paso de acuerdo con las ecuaciones siguientes:

Tabla 2.1 Matriz de probabilidades de un paso.

que forman un sistema de ecuaciones con N + 1 incógnitas, N + 1 ecuaciones independientes y una ecuación rendundante que debe ser eliminada.

La solución de este sistema de ecuaciones origina los valores de las probabilidades estacionarias independientes del estado en que se encuentre el sistema inicialmente; así pues, estas probabilidades se representan conforme a la matriz de la tabla 2.2. Tabla 2.2 Matriz de probabilidades de estado estacionario.

Una vez calculadas las probabilidades de estado estacionario, la solución del modelo markoviano de líneas de espera se obtiene utilizando las ecuaciones generales descritas en la sección anterior. Ejemplo. Se desea encontrar el número de pacientes promedio en el consultorio de un doctor, para ello se realizaron un total de 73 observaciones con intervalos de 5 minutos entre cada observación, registrando en cada ocasión el número de pacientes en el consultorio. En la tabla 2.3 se clasifica la información en función de la relación existente entre observacionest consecutivas distanciadas en el tiempo cada 5 minutos. Por ejemplo, de las 7^3 Observaciones totales, en 10 de ellas el sistema estuvo en estado O (estado presente) y 5 minutos después (estado futuro) el sistema había permanecido igual en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, cambiado a estado 2 en 2 ocasiones y no se observó cambio a los estados 3 y 4; en 20 de ellas el sistema estuvo en estado 1 (estado presente) y 5 minutos después (estado futuro) el sistema permaneció sin cambio en 8 ocasiones, cambió a estado 1 en 7 ocasiones, al estado 2 no se observó cambio alguno y, finalmente, cambió 1 y

4 veces a los estados futuros 3 y 4 respectivamente. Tabla 2.3 Observaciones del sistema.

Calculando la probabilidad condicional de cambiar del estado presente i al estado futuro j, puede asegurarse que:

tenemos la siguiente matriz de un paso,

Tabla 2.4 Matriz de probabilidades de un paso.

Con estas probabilidades se puede formar el siguiente diagrama de transición de un paso: Figura 2.4 Diagrama de transición de un paso

Aplicando las ecuaciones de estado estacionario 2.15 y 2.16 a la matriz de la figura 2.4, se genera el siguiente conjunto de ecuaciones: P0 = 0.3P0 + 0.4PT + 0.2P2 + 0.33 P3 + 0.5P4 P! = 0.5P0 + 0.35P! + 0.2P2 P2 = 0.2P0 + 0.2P2 + 0.66 P3 P3 = O.OSPi + 0.2P2 P4 = 0.2PX + 0.2P2 + 0.5P4 P0 + Pl + P2 + P4 - 1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: P0 = 0.355 P! = 0.310 P2 =0.122 P3 =0.041 P4 =0.173 Al sustituir en la ecuación 2.6 se encuentra el número promedio de pacientes en espera:

En el ejemplo previo, las observaciones se realizaron cada 5 minutos, sin embargo es evidente que en ese periodo pueden suceder cambios de estado que quedan fuera de la visión del observador, por lo que se recomienda reducir al máximo el intervalo entre observaciones consecutivas. Esta reducción permite que las observaciones de los cambios de estado se lleven a cabo de manera continua y estén en función de la probabilidad de ocurrencia de una llegada o una salida del sistema. Las observaciones se realizan ahora sobre estas dos últimas variables. En el caso de los modelos markovianos M/M, la distribución de probabilidad que define la llegada o salida de transacciones de un sistema y, por ende, los cambios de estado en un t + A£, está dada por la distribución Poisson expresada como:

Si se define un intervalo Ai pequeño que asegure el cumplimiento de los siguientes postulados, 1. Solamente puede ocurrir una llegada entre £ y Ai. 2. Solamente puede ocurrir una salida entre £ y A£. 3. Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre £ y A£.

Tabla 2.5 Matriz de probabilidades de un paso para Ai -> O.

2.7.1 MODELOS (M/M/c)(d/N/f) Caracterizados por la interrupción de entradas al sistema cuando éste llega a un cierto estado y cuyo impedimento para entrar puede tener causas atribuibles al sistema como la falta de espacio, o bien a los clientes como en el" caso, por ejemplo, de que todos los clientes potenciales se encuentren dentro del sistema y no exista la posibilidad de que llegue otro cliente. En todos los casos, los sistemas que pueden ser representados mediante un modelo de capacidad finita se resuelven mediante la aplicación directa de las ecuaciones generales, gracias al hecho de que es posible evaluar numéricamente el promedio ponderado de la longitud promedio de fila o de la longitud promedio de clientes en el sistema. En este caso, la solución se puede encontrar de la siguiente forma: • Esquematizar el diagrama de probabilidades de transición para todos los estados posibles del sistema. • Crear la matriz de transición o matriz de probabilidades de un paso. • A partir de las ecuaciones 2.15 y 2.16, encontrar todas las ecuaciones de balance. • Resolver el sistema de ecuaciones para la obtención de las probabilidades de estado estacionario. • Calcular la tasa efectiva de entrada de clientes al sistema. • Calcular L, LQ, W, Wq y p a partir de las fórmulas generales. • Si aplica, evaluar en términos de costo el rendimiento del sistema en estudio. Ejemplo. Una sala de espera tiene capacidad para 3 personas. Las personas arriban al sistema de acuerdo con una tasa de 8 por hora con distribución Poisson y son atendidas por una recepcionista en 10 minutos con distribución exponencial. Si alguien llega y el sistema está lleno, se retira sin entrar. La clasificación de este sistema es (M/M/l)(FCFS/4/oo) con el diagrama de probabilidades que se muestra en la figura 2.5.

Figura 2.5 Diagrama de probabilidades.

La matriz de un paso correspondiente al diagrama de transiciones se muestra en la tabla 2.6. De la matriz de probabilidades de la tabla 2.6 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolviendo el sistema de ecuaciones para encontrar las probabilidades de rstado estable:

Se requiere oí valor do /*> para la solución de P,,, por lo <|ur . u htuyen estos valores en la ecuación 2.22:

Ahora es posible calcular las medidas de desempeño del sistema, empezando por la tasa efectiva de entrada al sistema.

valor inferior a 8 personas/hora ya que el 32.76% del tiempo la sala de espeni está llena y se pierden clientes. Utilizando la ecuación 2.2 para calcular la utilización del servicio, esto o.-;, el porcentaje de tiempo que la recepcionista se encuentra atendiendo clientes,

teniendo en mente que el servidor se encuentra ocupado en promedio el 89.6% del tiempo, entonces el sistema tiene capacidad suficiente para atender a IOM 5.379 clientes que entran por hora. Con la ecuación 2.4, calculamos el promedio j del número de clientes en la sala de espera, incluyendo al que está siendo atendido por la recepcionista,

Por último, los factores de tiempo promedio de espera en la fila y de estancia en el sistema se calculan haciendo uso de las ecuaciones 2.7 y 2.9 respectivamente y los resultados son:

Para algunos clientes, probablemente parezca un tiempo de espera excesivo, quizá esperen que su tiempo en este sentido pueda ser mejorado; una de las -oluciones para lograrlo es, por ejemplo, contratar a una segunda recepcionista, n este caso la clasificación del sistema es (M/M/2)(FCFS/5/oo) y tanto en el

Figura 2.6 Formas completa y simplificada del diagrama de probabilidades.

y por lo tanto, Pl = 0.3167 P2 = 0.2111 P3 = 0.1407 P4 = 0.0938 La nueva distribución de probabilidad de estado estable nos indica un incremento en la probabilidad de estar vacío, ya que de un 10.37% con una recepcionista ha pasado a un 23.76%. Otro dato interesante es que la probabilidad de que el sistema se encuentre lleno ha disminuido de 32.74% a 9.38%, lo cual permite intuir que si antes el sistema permitía una entrada efectiva de sólo 5.379 personas/hora, ahora este flujo debe aumentar, para comprobarlo, tomamos la ecuación 2.3

con esto, el sistema ha permitido un aumento en el flujo promedio de 1.87 clientes/hora. A pesar de tener una tasa de entrada efectiva más alta, la utilización del servicio disminuye, principalmente por el hecho de haber duplicado la capacidad promedio de servicio; de nueva cuenta, con la ecuación 2.2, se calcula el porcentaje de tiempo en que las recepcionistas están atendiendo clientes:

Con los servidores trabajando un 60.4% se asegura que el sistema tiene la posibilidad de llegar a estado estable. Con esta información y con la ecuación 2.6 se calcula el número promedio de clientes en la fila:

La ecuación 2.5, permite calcular, de una manera más sencilla, el número de clientes promedio incluyendo aquellos que están con cada una de las recepcionistas: L = Lq + Sp = 0.3283 + (2)(0.604) = 1.5362

Por último, los nuevos factores de tiempo promedio de espera en la fila y de estancia en el sistema se calculan mediante las ecuaciones 2.9 y 2.8 respectivamente y los resultados son:

Como era de esperarse, se obtiene una disminución considerable en el tiempo de espera promedio de 18.5 a 12.71 minutos/cliente. No hay que olvidar que la decisión de agregar una recepcionista depende principalmente de los costos en que incurra el sistema y del ahorro que se pueda generar con el cambio, por ejemplo, si agregar esa nueva recepcionista incrementa los costos en $15/hy el ahorro promedio, considerando el tiempo de espera en la fila de los clientes, es sólo de $10/h, entonces no se justifica la contratación de otra recepcionista. Ejemplo. En una oficina se cuenta con 5 impresoras. Cada una de ellas trabaja un promedio de 2 horas con distribución exponencial antes de detenerse por falta de tinta, papel o problemas mecánicos. Se asignaron dos personas para mantener las impresoras activas. Si el tiempo para reactivar una impresora es de 15 minutos con distribución exponencial, entonces, la clasificación de este sistema es: (M/M/2)(FCFS/5/5) y el diagrama de probabilidades de estado estable se muestra en la figura 2.7, dando por consiguiente la matriz de un paso, en la que es importante hacer notar la disminución progresiva en la probabilidad al cambiar de un estado i a i + 1 puesto que al ir aumentando el número de copiadoras descompuestas, la tasa promedio de entrada disminuye proporcionalmente. Figura 2.7 Diagrama de probabilidades de estado estable.

Tabla 2.8 Probabilidades de un paso de un modelo (M/M/2MFCFS/5/5).

Este sistema de ecuaciones se resuelve de una forma similar a la de los ^emplos previos, pero debido a que la probabilidad de que se descomponga una máquina depende del número de máquinas ya descompuestas, las probabilidades de Pn quedan expresadas término a término de acuerdo con:

La distribución de probabilidad para los 5 estados restantes queda: Pl = 0.3444 P2 = 0.0861 P3 = 0.0161 P4 = 0.002 P5 = 0.00012 En este caso, la tasa de llegadas está ligada a la cantidad de copiadoras descompuestas, de tal manera que si todas las copiadoras están trabajando, la tasa de llegadas es 5 veces más alta que en el caso en que tengamos 4 máquinas ya descompuestas y solamente 1 trabajando; mediante la ecuación 2.3 el promedio en la tasa de entrada es:

hace que se pueda pensar en disminuir el número de servidores, en caso de que económicamente sea adecuado. Usando la ecuación 2.4, se calcula el número promedio de copiadoras descompuestas:

El resultado de aproximadamente 0.5 copiadoras, guarda una estrecha relación con la utilización de los servidores, que al estar en un nivel del 27.66%. la mayor parte del tiempo se encuentran disponibles para la reparación del equipo, consiguiendo así que las copiadoras estén en servicio lo antes posible. Esta idea se ve reflejada también en el número promedio de copiadoras esperando ser reparadas, valor que puede ser estimado a partir de la ecuación 2.6:

El tiempo de espera promedio antes de la reparación y/o mantenimiento calculado con la ecuación 2.9 es:

y el tiempo promedio en el sistema incluyendo el tiempo de reparación de 15 minutos se estima en: W=Wq + E(t) = 0.55 + 15 = 15.55 min 2.7.2 MODELOS (M/M/c) (d/oo/oo) En un gran número de sistemas, tanto la población potencial como la capacidad del sistema se pueden considerar ilimitados, por ejemplo, la fila para comprar un boleto para ver un juego de fútbol, la fila para utilizar un cajero automático, etcétera. A diferencia de los modelos anteriores, la solución para estos casos hace necesaria la utilización de series geométricas ya que la distribución de probabilidad de estado estable no tiene límite superior en cuanto a la capacidad del sistema. Es importante recalcar que dada la ausencia de este límite, se requiere asegurar la convergencia del sistema a un estado estable, para lo cual debe cumplirse la condición de que p < 1, es decir, que la ta-sa promedio de entrada sea estrictamente inferior a la capacidad promedio de servicio. En este caso, la solución se puede encontrar mediante los pasos que a continuación se expresan: • Esquematizar el diagrama de probabilidades de transición para el conjunto de estados que definan al sistema de la mejor manera posible. • Crear la matriz de transición o matriz de probabilidades de un paso. • A partir de las fórmulas 2.15 y 2.16 definir las ecuaciones de balance. • Representar las probabilidades de estado estacionario Pn mediante una expresión algebraica. • Calcular la utilización de los servidores y verificar que sea menor a 1 para asegurar la convergencia del sistema. • Calcular la probabilidad de que el sistema se encuentre vacío (P0). En este tipo de problemas, es necesario hacer uso de series geométricas para encontrar la convergencia de los resultados. • Encontrar L, Lq, W, WQ a partir de las fórmulas generales, considerando dentro del procedimiento la utilización de las series geométricas. • Si aplica, evaluar en términos de costo, el rendimiento del sistema en estudio. Ejemplo. Se desea evaluar el costo promedio/hora en un sistema de producción en el cual la entrada de materia prima a un proceso de taladrado sigue una distribución Poisson con una tasa promedio de 9 piezas/hora. Se cuenta con un taladro manual en donde 6 minutos es el tiempo promedio de proceso que sigue una distribución exponencial. Los costos de funcionamiento del taladro y de inventario de piezas se estiman en $1.3/hora y $0.50 respectivamente.

Figura 2.8 Diagrama simplificado de probabilidades de un paso.

El modelo queda clasificado como (M/M/l)(FCFS/oo/oo) y el diagrama de probabilidades de un paso que se muestra en la figura 2.8, se emplea para evaluar en términos de costo se utiliza la ecuación 2.1; sustituyendo los costos de espera y de servicio se obtiene:

lo que requiere el cálculo del número promedio de piezas en espera. Para esto se necesita construir la siguiente matriz de estado transitorio: Tabla 2.9 Probabilidades de un paso para un modelo (M/M/1MFCFS/00/00).

Aplicando las ecuaciones 2.15 y 2.16 para calcular las probabilidades de estado estacionario, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Ejemplo. La llegada de barcos al muelle de un puerto, sigue una distribución Poisson con una tasa promedio de 20 barcos/semana. El muelle cuenta con 3 espacios para las labores de descarga y en cada espacio hay una grúa, con la cual es posible realizar las labores de descarga en 1 día con distribución exponencial. Si un barco llega y los espacios están ocupados, espera en mar abierto hasta que llegue su turno de descarga. Considerando semanas de 7 días se determinará el tiempo promedio de espera de un barco desde que llega al puerto hasta que

empieza a ser descargado; el modelo se clasifica como (M/M/3)(FCFS/oo/oo) y se crea el siguiente diagrama de probabilidades:

Con la expresión matemática de la distribución de probabilidad de estado estable, y la ecuación 2.6, se calcula el número promedio de barcos en espera

Las equivalencias algebraicas son útiles para llevar a cabo el proceso para encontrar la convergencia de la serie geométrica de Lq:

2.8 PROCESOS NO MARKOVIANOS En algunos sistemas de líneas de espera no es posible explicar la variabilidad mediante un proceso Poisson, lo que ocasiona que el cálculo de la distribución de probabilidad de estado estable Pn sea difícil de obtener, dada la complejidad para encontrar la probabilidad de un paso p¿7- Se han desarrollado ecuaciones particulares para procesos no markovianos donde se utiliza el coeficiente cuadrado de variación Cv2 como una relación entre la media E(f) y la variancia V(f) de las distribuciones involucradas. A continuación se presentan algunos modelos que pueden llegar a ser de utilidad en el análisis de líneas de espera. 2.8.1 MODELO (M/G/1)(d/oo/oo) El desarrollo de las ecuaciones para este modelo se realiza utilizando el análisis de líneas de espera por medio de cadenas de Markov y desemboca en la obtención de la fórmula 2.30, conocida como la ecuación de Pollaczek-Khintchine:

Ejemplo. Un sistema de manufactura cuenta, para su proceso de perforado, con un robot programado para taladrar en 6 minutos/pieza de una manera constante. La entrada de piezas sigue una distribución Poisson con media de 9.5 piezas/hora. Aunque se tiene suficiente espacio para recibir todas las piezas que requieran de este proceso, se calculará el promedio de piezas esperando ser taladradas y el tiempo promedio de permanencia en el sistema.

La clasificación del sistema es (M/G/l)(FCFS/oo/oo), donde: A, = 9.5 piezas/hora ILI = 10 piezas/hora E(t) = 6 minutos/pieza V(t) = O, por ser un proceso automatizado con tiempo constante (vea la tabla 2. 11). Para comprobar si el sistema puede llegar a estado estable, calculamos la utilización promedio del servicio con la ecuación 2.2:

que al ser menor a 1 asegura la estabilización. A partir de la ecuación 2.30, es posible calcular el inventario promedio de piezas,

con este inventario promedio de 9.025, puede calcularse el tiempo de espera y el tiempo en el sistema, utilizando las ecuaciones generales 2.9 y 2.8:

2.8.2 MODELO (M/G/S) (d/oo/oo) Este modelo considera un conjunto de S servidores atendiendo a un número ilimitado de clientes potenciales; no existe limitación sobre la capacidad del sistema por lo que es preciso mantener p < 1 para lograr el estado estable. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad Poisson mientras que el servicio es de tipo general con media E(f) y variancia V(t). Las fórmulas para este modelo son:

Ejemplo. La llegada de barcos al muelle de un puerto, sigue una distribución Poisson con una tasa promedio de 20 barcos/semana. El muelle cuenta con 3 espacios para las labores de descarga y en cada espacio hay una grúa, con la cual es posible descargar en promedio 1 barco/día con una varianza de 0.01. Si un barco arriba al puerto y los espacios están ocupados, espera en mar abierto hasta que llegue su turno de descarga. Si se trabaja los 7 días de la semana, el modelo se clasifica como (M/G/3) (FCFS/oo/oo). Después se determina el número promedio de barcos esperando ser descargados. La información relevante en el problema se resume a continuación: K = 20 barcos/semana fi = 7 barcos/semana S = 3 grúas E(f) = 1/7 semanas/barco V(f) = 0.01 semanas/barco Con estos datos se calcula la utilización de las grúas, para determinar si el sistema llega al estado estable, entonces:

Del ejemplo (M/M/3)(FCFS/oo /oo) resuelto antes, se determinó que la longitud promedio de espera es de 18.22 barcos. Al calcular el coeficiente cuadrado de variación del tiempo de descarga con la ecuación 2.11, se obtiene:

2.8.3 MODELO (G/G/1) (d/oo/oo) En este modelo existe un servidor y no hay un límite superior en cuanto al número de clientes potenciales, así como tampoco sobre la capacidad del sistema. Dadas estas condiciones el estado estable se conserva si y sólo si p < 1. El tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio son distribuciones generales con media E(f) y varianza V(t). Las fórmulas siguientes se usan ampliamente para la modelación de sistemas conectados en red, teniendo en cuenta que el manejo de la variabilidad y la conectividad entre cada elemento de la red se debe realizar

usando las ecuaciones 2.10, 2.11 y 2.12 y que se debe respetar el balance en el flujo de transacciones entre cada elemento de la red. Las fórmulas para el modelo (G/G/l)(d/oo/oo) son:

Ejemplo. El tiempo entre llegadas de clientes a un taller de reparación de automóviles de "servicio rápido" sigue una distribución Weibull con parámetros y = O horas, a = 4 horas, (3 = 2. El tiempo promedio de reparación se estima en 1.5 horas con una desviación estándar de 0.8 horas y solamente se cuenta con un mecánico para este servicio. El dueño desea comenzar una campaña publicitaria donde se establezca que los automóviles estarán listos, en promedio, antes de 2 horas. ¿Debe iniciar su campaña publicitaria o tiene que replantear su propuesta en cuanto al tiempo de entrega de los automóviles? El modelo se clasifica como (G/G/l)(FCFS/oo/oo) y se calculan los coeficientes cuadrados de variación para el tiempo entre llegadas y el tiempo de reparación. En el caso de las llegadas y utilizando las fórmulas de la tabla 2.11 para una distribución Weibull, se obtiene el tiempo esperado y su variancia. Para tal cálculo es necesario utilizar los valores de la función gamma correspondientes a T(1.5) y F(2.0) de 0.88623 y 1 respectivamente:

Tomando la ecuación 2.32 para calcular la longitud promedio de fila para este modelo, con el factor de ajuste k de la ecuación 2.33, correspondiente a un coeficiente cuadrado de variación de llegadas menor a 1.

Este valor proporciona al dueño del negocio la base para lanzar su campaña publicitaria con la confianza de poder cumplir con el plazo promedio de 2 horas. 2.9 RESUMEN Los modelos de líneas de espera permiten analizar sistemas en los que un conjunto de clientes llamados transacciones entran a recibir un servicio proporcionado por un conjunto de entidades en paralelo llamados servidores. Con este análisis se obtiene un conjunto de medidas de desempeño del sistema como la utilización de los servidores, el tiempo de espera en la fila, la longitud promedio de transacciones en el sistema, que permitan determinar si el servicio que se está proporcionando es adecuado. Actualmente, este concepto se utiliza ampliamente en el modelado de sistemas de manufactura, como una alternativa a los modelos de simulación; programas computacionales como el MANUPLAN, permiten analizar cualquier sistema de manufactura mediante líneas de espera conectadas entre sí formando

una red y obteniendo valores estimados en un plazo relativamente corto. Estos valores pueden emplearse como una primera aproximación, antes de desarrollar formalmente un modelo para la simulación del sistema. 2.10 PROBLEMAS 2.1. Calcule la longitud promedio de la fila para un sistema (M/M/l)(FCFS/2/?), utilizando las siguientes probabilidades de un paso:

1.2. Determine el tiempo promedio de espera en la fila para un sistema clasificado como (M/M/2) (FCFS/3/oo) al que llegan 21 clientes/h. Las probabilidades de un paso se encuentran en la siguiente matriz:

En una construcción se está usando una flotilla de 5 camiones para transportar el escombro hacia otro lugar. Se utiliza un trascavo para cargar los camiones y este proceso tiene una duración de 1/4 de hora con distribución exponencial. El camión cargado lleva el escombro y la descarga en otro lugar, el viaje redondo promedio es de 1 hora con distribución exponencial. Calcule: a) El número promedio de camiones esperando para ser descargados. 6) La probabilidad de que el trascavo esté ocioso. c) El número de camiones que llegan a la construcción por hora. 2.4. A un sistema (M/M/l)(FCFS/5/oo) llegan los clientes con una tasa de 5 por hora con distribución Poisson. El tiempo de servicio es de 15 minutos con distribución exponencial. Suponga que los clientes pueden abandonar la fila sin recibir servicio. En general, cada cliente espera 10 minutos con distribución exponencial antes de abandonar la fila. a) Construya el diagrama de tasas. b) Determine la longitud promedio de la fila. 2.5. Una pequeña bodega se surte de material usando una flotilla de 3 camionetas. Se contrata a un muchacho para descargar las camionetas. El tiempo de descarga depende del número de camionetas en la bodega (ji) de acuerdo a la función E(t)= l/7i horas, para n - 1, 2, 3 con distribución exponencial. Las camionetas descargadas van por más material y el tiempo de viaje es de 2 horas con distribución exponencial. Determine: a) El número promedio de camionetas esperando ser descargadas. 6) La probabilidad de que el muchacho esté ocupado. c) La probabilidad de que todas las camionetas estén de viaje. d) El número promedio de camionetas viajando.

2.6. El tiempo entre llegadas a un sistema de inspección visual es 2 minutos/pieza con distribución exponencial. El tiempo de inspección se distribuye exponencialmente con media de 1.8 minutos/pieza. a) Clasifique el modelo de acuerdo con la notación de Kendall y Lee. b) Calcule el tiempo promedio de espera antes de inspección, considerando la clasificación realizada en el inciso anterior. c) Si el sistema se clasifica como (G/G/l)(FCFS/oo/oo), ¿cuál será el tiempo de espera promedio en este caso? d) ¿Qué se obtiene si se clasifica como (M/G/l)(FCFS/oo /oo) y se utiliza la ecuación del límite superior de Lq para encontrar el tiempo de espera promedio? 2.7. Encuentre la expresión matemática para calcular P0 y LQ para un modelo (M/M/2) (FCFS/oo/oo) con X = 10 y ja = 6. 2.8. Demuestre que para cualquier modelo (M/M/S)(FCFS/oo/oo) con tasa de entrada y tasa de servicio, la expresión para calcular LQ es:

2.9. En UH taller existen dos secciones, cada una cuenta con una máquina que tiene capacidad de producción de 5 piezas/h con distribución Poisson. La entrada de materia prima a cada sección es de 4.5 piezas/hora con distribución Poisson. El costo de funcionamiento de cada máquina es de $ I/hora. El dueño del taller está interesado en cambiar las dos máquinas a una sola sección y hacer que toda la materia prima llegue a ese lugar. Si el costo de tener la materia prima en espera de ser procesada se estima en $ 0.50 y se consideran los sistemas (FCFS/oo/oo), determine cuál de las dos opciones genera menor costo. 2.10. Una empresa tiene actualmente una máquina con una capacidad de producción de 10 piezas/hora con distribución Poisson. El costo de funcionamiento de esta máquina es de $1.5 O/hora. La empresa está interesada en sustituirla por una máquina completamente automática con una capacidad de producción de 10 piezas/h cuyo costo de funcionamiento se estima en $2.00/hora. El costo de tener la materia prima en inventario es $0.60/hora/pieza. Si la entrada de materia prima es de 9 piezas/h con distribución Poisson y se considera un modelo de tipo (FCFS/oo/oo), calcule: a) El costo promedio por hora con la máquina actual. 6) El costo promedio por hora con la máquina automática. c) El costo unitario de mantener el inventario para que sea indiferente el seleccionar cualquiera de los dos sistemas. 2.11. Un banco emplea 10 cajeras para atender a sus clientes. Los clientes llegan de acuerdo con un proceso Poisson con una media de 3 clientes/minuto. Si un cliente encuentra a todas las cajeras ocupadas se coloca en una fila común. Si el tiempo de servicio es exponencial con una media de 1 minuto/cliente, calcule: a) La probabilidad de que el banco esté vacio. b) La probabilidad de que haya 10 clientes en el banco. c) La utilización de las cajeras. d) El número promedio de clientes en el banco. 2.12. Una tienda emplea a un dependiente para atender a sus clientes. Los clientes llegan de acuerdo con una distribución Poisson con una media de 12 clientes/hora. El dependiente tiene que cobrar y empacar los artículos comprados por los clientes. Cada uno de los procesos consume 2 minutos con distribución exponencial por lo que el tiempo de servicio acumulado es Erlang con k = 2 y una media de 4 minutos/cliente. Calcule: a) La probabilidad de que la tienda no tenga ningún cliente.

b) El número promedio de clientes en la fila. c) Tiempo promedio de espera en la tienda. 2.13. A un sistema llegan 5 clientes/h con distribución Poisson. Si a las 5:00 llegó un cliente, a) ¿cuál es la probabilidad de que llegue un cliente antes de las 5:05?, ¿>) ¿cuál es la probabilidad de que en ese mismo intervalo lleguen 5 clientes? 2.14. A la siguiente red de manufactura de tipo taller de producción intermitente (job-shop) entran 2

piezas/hora con distribución Poisson. Después de la primera operación, las piezas se distribuyen a las demás operaciones de acuerdo con las proporciones mostradas en el diagrama.

determine: a) El inventario promedio y la utilización de cada una de las estaciones. ¿>) La estación "cuello de botella". Nota: La distribución de probabilidad de las llegadas a taladrado y a escariado se conserva como Poisson, aunque con una media más baja en cada una ya que el flujo de 2 piezas/h se divide. 2.15. Lalito tiene tres balones y durante todo el día se divierte entrando y saliendo con ellos del interior de la casa hacia el jardín y viceversa. Debido a su edad, solamente puede manejar un balón al mismo tiempo, aunque a veces entra o sale de la casa sin balón. El niño se mantiene un promedio de 3 minutos con distribución expo-nencial en el jardín y después entra a la casa donde permanece un promedio de 5 minutos con distribución exponencial antes de volver a salir al jardín. o) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más balones adentro de la casa que en el jardín? 6) En promedio, ¿cuántos balones permanecen en el jardín? 2.15. Se tiene un sistema de producción al tipo (M/M/l)(FCFS/oo/oo) al cual llegan 12 piezas/hora y cada una

se procesa en un tiempo de 3 min/pieza. Indique de qué tamaño tiene que ser el almacén de espera para que el 80% del tiempo todas las piezas que lleguen quepan en dicho almacén. Cada pieza mide un metro cuadrado y no se pueden estibar.

2.17. A una máquina de torneado le llegan 10 piezas/hora de la operación anterior, el tiempo de torneado sigue una distribución exponencial con media de 5 minutos/pieza. Debido a problemas con el torno, algunas piezas tienen que volver a ser torneadas por no cumplir las normas de calidad; en particular, se estima que el 15% de la producción tiene que reprocesarse en el mismo torno. Una pieza que se reprocesa tiene que regresar al final de la linea de espera para tornearse de nuevo. Si se considera que la entrada de piezas al torno (incluyendo las que vienen del proceso anterior y las reprocesadas) sigue una distribución Poisson. a) ¿Cuál es la tasa real de entrada al torno? 6)' ¿Cuál es la utilización del torno? c) ¿Cuál es el número de piezas promedio en el inventario? Nota: El proceso es (FCFS/oo/oo). 2.18. A la biblioteca de Ciudad Mecano llegan un promedio de 26 personas/año con distribución Poisson, a pedir prestado el libro Líneas de Espera. Aquella persona que logra encontrarlo, lo mantiene en su poder durante 4 días con distribución exponencial. Las personas que piden el libro y encuentran que está prestado se van y nunca regresan. a) Si la biblioteca sólo tiene una copia del libro, ¿cuál es el número esperado de personas que podrán leer el libro durante el año? b) Si cada persona que entra a la biblioteca y no encuentra el libro disponible ocasiona una pérdida de $1 como costo de imagen y mala voluntad. Además, cada libro cuesta $11. ¿Cuántos libros debe comprar la biblioteca? 2.19. Un promedio de 10 personas/hora con distribución Poisson entran a los carriles centrales de una alberca con el fin de nadar durante un rato. En promedio, cada persona nada 30 minutos con distribución exponencial. En la alberca existen 3 carriles disponibles para este tipo de nadadores. Si un nadador se encuentra solo en un carril, nadará pegado siempre al lado derecho del carril; en caso de que otra persona entre en ese carril, cada nadador realizará su ejercicio por un extremo del carril. Debido a políticas de seguridad nunca puede haber más de 2 nadadores en un mismo carril, por esto, si un nadador llega y están ocupados los carriles se retira enojado y no regresa. a) ¿Cuál es la proporción del tiempo en la que habrá 3 personas nadando? b) ¿Cuántas personas en promedio se encuentran nadando en la alberca? c) ¿Cuántos carriles es necesario asignar para asegurar que el 95% de este tipo de nadadores que llegan a la alberca puedan entrenar? 2.20. Cinco estudiantes compraron un barril de cerveza y decidieron organizar un convivio. El tiempo para llenar un vaso de cerveza sigue una distribución exponencial con media de 2 minutos. El tiempo para beber la cerveza sigue una distribución exponencial con media de 18 minutos. Después de terminarse su cerveza, cada estudiante inmediatamente vuelve a llenar su vaso. a) En promedio, ¿cuánto espera un estudiante en la fila del barril? b) ¿Qué fracción de tiempo no se usa el barril? c) Si el barril tiene una capacidad de 500 vasos de cerveza, ¿cuánto tiempo les tomará a los estudiantes terminárselo? 2.21. Una caja tiene sólo un cajero de tiempo completo. Los clientes llegan a la caja de acuerdo con un proceso Poisson con una tasa media de 30 clientes/hora. Cuando en el sistema hay menos de 5 clientes, la fila es atendida por el cajero de tiempo completo, sin embargo, cuando en el sistema hay más de 5 clientes se abre una caja adicional con otro cajero y entre ambos atienden a la fila. El tiempo de atención del cajero de tiempo completo sigue una distribución exponencial con media de 2 minutos/cliente. El tiempo de atención del cajero de tiempo

a) Obtenga el número de clientes promedio en el sistema (L). 2.22. Una máquina procesa piezas con un tiempo que sigue una distribución exponencial, con media de 20 minutos/pieza. Indique cuál es la probabilidad de que una pieza cualquiera sea procesada en un tiempo mayor a 35 minutos. 2.23. Un banco tiene una caja de tipo autoservicio. Los carros llegan de acuerdo con un proceso Poisson con media de 12 carros/hora. El tiempo de atención al cliente sigue una distribución exponencial con media de 4 minutos/carro. Frente a la caja existe un techo que proporciona sombra para 5 carros (incluyendo al que se encuentra en servicio). Indique cuál es la probabilidad de que al entrar un cliente al sistema le toque sombra durante toda su estancia. 2.24. En una tienda se tienen 3 cajeras, cada una atiende en un tiempo que sigue una distribución exponencial con una media de 2 minutos/cliente. Si las llegadas ocurren de acuerdo con una distribución de Poisson con parámetro de 1.0 clientes/minuto indique: a) ¿cuál es la probabilidad de que 2 cajeras estén ociosas? b) ¿cuál es el número de clientes promedio que se encuentran en la cola? 2.25. Un muelle cuenta con una grúa para descargar barcos. El tiempo de descarga es de 2 días/barco con distribución exponencial, y la tasa de llegadas sigue una distribución Poisson con una media de 3 barcos cada 7 días. Si un barco llega y el muelle está ocupado se une a una linea de espera para ser atendido en orden FCFS. Determine el tiempo promedio que transcurre desde que un barco llega al sistema hasta que termina su descarga, la probabilidad de que el sistema esté vacio y la longitud promedio de la fila. 2.26. Suponga que un sistema de colas tiene 2 servidores, el tiempo entre llegadas sigue una distribución exponencial con una media de 2 horas y el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial con una media de 2 horas. El máximo número de personas que pueden estar en el sistema es de 5. Determine: a) la probabilidad de que el sistema esté vacio b) la longitud promedio de la fila. 2.27. A un sistema llegan 10 transacciones/hora de acuerdo con un proceso Poisson. El sistema cuenta con 3 servidores, cada uno de los cuales procesa las transacciones de acuerdo con una distribución exponencial con media de 15 min/transacción. El costo de servicio es de $500/h-servidor y el costo de la espera se estima en $ 1000/h-transacción. a) Determine p, L, Lq, Wy WQ. 2.28. El tiempo entre llegadas de las piezas a un sistema sigue una distribución normal (ja = 5, a = 3) minuto. Si el proceso de las piezas lo realiza un robot en 4.9 min/pieza. Determine: a) el inventario de piezas antes de llegar al robot b) ¿cuántos minutos de espera transcurren antes de que las piezas sean procesadas? 2.29. Obtenga el valor de Pn n = 1, 2, . . . para un sistema con un servidor, donde las llegadas son Poisson con una media de X,;l= 15(1 - (?i/3)) y el tiempo de proceso es exponencial con media de 5 min/cliente. 2.30. Un sistema cuenta con 3 servidores. El tiempo de atención a los clientes sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos/cliente. La tasa de llegadas al sistema sigue una distribución Poisson con una media que va disminuyendo conforme aumenta el

n 0 1 2 3 4 >5 X 35 30 25 20 15 10 Considerando que el sistema es de tipo ilimitado, encuentre el valor de Lq. 2.31. En una tienda hay 3 cajeras, cada una atiende en un tiempo exponencial con una media de 2 minutos/cliente. Si las llegadas ocurren de acuerdo con una distribución de Poisson con parámetro de 1.5 clientes/minuto, indique a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 cajeras estén ociosas? b) ¿Cuál es el número promedio de clientes que se encuentran en la cola? 2.32. El Centro de Salud de Monterrey es responsable de administrar la vacuna oral contra la poliomielitis a los niños de edad escolar. El centro está organizado de tal forma que los padres con sus hijos formen una sola fila para recibir atención. El servicio se ofrece una vez por semana y en ese día las llegadas siguen una distribución Poisson con media de 30 niños/hora. El Director del Centro sabe que la mayoría de los padres tienen que ausentarse de su trabajo para llevar los niños a vacunarse, por eso el director desea limitar el tiempo de estancia en el Centro de Salud a no más de 1 minuto. Si una sola enfermera es capaz de vacunar de acuerdo con una distribución Poisson con tasa de 20 niños/hora. ¿Cuántas enfermeras debe programar el Director ese día para lograr su objetivo? 2.35. A un sistema llegan 10 transacciones/hr de acuerdo con un proceso Poisson. Existen 3 servidores, cada uno de los cuales procesa las transacciones de acuerdo con una distribución exponencial con media de 15 min/transacción. El costo de servicio es de $500/hora-servidor y el costo de la espera se estima en $1000/hora-transacción. Determine p, LQ y WQ. Al sistema anterior llegó un nuevo servidor para sustituir a los 3 anteriores; se sabe que es capaz de atender cada transacción de acuerdo con una distribución exponencial con media de 5 min, pero cobra un sueldo de $1500/hora. a) Determine p, Lq y Wq. b) Determine con base en los costos, cuál de las dos políticas (S = 3 o S = 1) es mejor para la empresa.