31

3.4 Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral

Le Théorème fondamental du calcul intégral et différentiel est un résultat de base,pour les fonctions d’une variable réelle, qui dit essentiellement que l’intégrale de ladérivée d’une fonction est égale à la différence des valeurs prises par cette fonction auxbornes de l’intervalle d’intégration. On va établir l’analogue de ce théorème pour lesfonctions à valeurs complexes.

Théorème 3.9 Soit F : Ω −→ C une fonction holomorphe et γ : [a, b] −→ C un

chemin dans l’ouvert Ω ⊂ C. Alors,

γF (z) dz = F (γ(b))− F (γ(a)) (3.12)

En particulier, si γ est un lacet (i.e. γ(b) = γ(a)),

γF (z) dz = 0 (3.13)

Démonstration 3.5 Posons F (γ(t)) = U(t)+iV (t) alors,∂∂t (F (γ(t))) = F (γ(t))γ(t) =

U (t) + iV (t)D’où

γF (z) dz =

b

aF (γ(t))γ(t) dt

= b

aU (t) dt + i

b

aV (t) dt

= U(b)− U(a) + i(V (b)− V (a))= U(b) + iV (b)− (U(a) + iV (a))= F (γ(b))− F (γ(a)).♣

(3.14)

L’utilisation de ce résultat peut épargner beaucoup d’efforts.

Exemple 3.4.1 Soit à calculer

γ z3 dz où γ est la portion d’éllipse x2 + 4y2 = 1 qui

relie z = 1 à z = i2 . Pour évaluer cette intégrale, on remarque que z3 = 1

4 (z4) et

donc

γz3 dz =

z4

4 i21

=14

i

2

4

− 14

= −15

64. (3.15)

On notera qu’on n’a pas eu besoin de paramétrer le chemin et qu’on obtient le

même résultat pour tout chemin reliant 1 ài2 .

Corollaire 3.10 Soit f : Ω −→ C une fonction holomorphe dans un domaine Ω ⊂ C.Si f (z) = 0 pour tout z ∈ Ω alors, f est constante dans Ω.

Démonstration 3.6 Soit z0 ∈ Ω fixé. Soit z1 ∈ Ω, d’après la proposition1.22, il existe

un chemin γ dans Ω qui relie z0 à z1.Le théorème précédent entraîne que f(z1)− f(z0) =

γ f (z) dz = 0. Par consé-

quent f(z1) = f(z0). Donc la valeurs de f en tout point de Ω est égale à sa valeur en

z0, i.e. f est constante dans Ω. ♣

32

3.5 Primitives

Définition 3.5.1 Soit f : Ω −→ C une fonction continue, Ω un ouvert de C.Une primitive de f dans Ω est une fonction holomorphe F : Ω −→ C telle que

F = f.

Remarque : Une primitive d’une fonction continue dans un ouvert est une fonctionholomorphe dont la dérivée f est continue.

Théorème 3.11 Soit f : Ω −→ C une fonction continue dans un domaine Ω ⊂ C. Les

conditions suivantes sont équivalentes

i) f admet un primitive dans Ω.

ii) Il existe une fonction F : Ω −→ C telle que pour tout chemin γ : [a, b] −→ Ω,

γf dz = F (γ(b))− F (γ(a))

iii) L’intégrale le long de tout lacet est nulle : i.e. si γ est un lacet de Ω, alors

γf dz = 0 (3.16)

iv) L’intégrale ne dépend pas du chemins i.e. si z0 et z1 sont deux points de Ω et γ0 et

γ1 sont deux chemins de Ω reliant z0 à z1, alors

γ0

f dz =

γ1

f dz (3.17)

Démonstration 3.7 .

i)⇒ ii) Soit γ : [a, b] −→ Ω un chemin C1et F : Ω −→ C telle que F = f , alors

h(t) = F (γ(t)) est de classe C1et h(t) = F (γ(t))γ(t) = f(γ(t))γ(t),

d’où F (γ(b))− F (γ(a)) = h(b)− h(a) = b

a h(t) dt =

γ f (γ(t))γ(t) dt =γ f dz.

ii)⇒ iii) trivial

iii)⇒ iv) Soient γ0, γ0 : [0, 1] −→ Ω deux chemins tels que γ0(0) = γ1(0) et γ0(1) =γ1(1).On définit γ = γ1 ∨ (−γ2) : [0, 2] −→ Ω est un lacet

γ0

f dz =

γ0

F (z) dz = F (z1)− F (z0) =

γ1

F (z) dz =

γ1

f dz (3.18)

iv)⇒ i) On va définir au moyen de l’intégrale une primitive de f . On fixe un point z0

de Ω. Soit z un autre point de Ω. Comme Ω est un domaine, il existe un chemin

γ1 dans Ω reliant z0 à z. On pose F (z) =

γ1f(ξ) dξ. On obtient ainsi une

fonction F dans Ω, car d’après l’hypothèse iv), la valeur F (z) ne dépend que

de z et pas du chemin choisi. On dit que F est bien définie. Il reste à montrer

que F est dérivable et que F = f. Soit > 0. Comme Ω est ouvert et f continue

en z, il existe δ > 0 tel que le disque D(z; δ) ⊂ Ω et |f(z + h) − f(z)| < si

|h| < δ.

33

Soit z + h ∈ D(z; δ), comme le disque est convexe, le chemin ρ(t) = z + th,

0 ≤ t ≤ 1 est contenu dans D(z; δ). on pose γ2 = ρ ∨ γ1. Alors :

F (z + h)− F (z) =

γ2

f(ξ) dξ −

γ1

f(ξ) dξ =

ρf(ξ) dξ (3.19)

D’où

F (z + h)− F (z)

h− f(z)

=|F (z + h)− F (z)− hf(z)|

|h|

=|

ρ f(ξ) dξ − f(z)

ρ 1 dξ||h|

=|

ρ f(ξ)− f(z) dξ||h|

≤ λ(ρ)|h| =

|h||h| =

(3.20)

Donc limh−→0

F (z + h)− F (z)h

= f(z), par suite F est dérivable et F = f,

comme souhaité.♣

Exemple 3.5.2 1) Soit γ le cercle de rayon r > 0 et de centre a ∈ C orienté

positivement. Calculer

γ(z − a)n dz pour tout entier n ∈ Z.

Solution : Premièrement si n ≥ 0 alors, (z − a)n = 1n+1 ((z − a)n+1) est

la dérivée d’une fonction holomorphe dans C, d’après le théorème précédentγ(z − a)n dz = 0 Secondo, pour n ≤ −2, on a aussi (z − a)n = 1

n+1 ((z −a)n+1) qui est holomorphe dans Ω = C\0. Comme γ est un lacet du domaine

Ω, on a

γ(z − a)n dz = 0 Finalement, si n = −1. On va calculer directement.

On paramètre γ par γ(t) = reit + a, 0 ≤ t ≤ 2π. Alors γ(t) = ireit, d’où

γ

1z − a

dz = 2π

0

1(reit + a)− a

ireitdt = 2π

0i dt = 2iπ.

En résumé :

γ(z − a)n dz =

0 si n = −1,

2iπ si n = −1.(3.21)

2) Montrer qu’il n’existe pas de fonction holomorphe dans Ω = C\0 telle que

f (z) = 1z .

Solution : Si une telle fonction existe, alors

γ1z dz = 0 si γ est le cercle unité.

Mais, d’après le cacul précédent

γ1z dz = 2iπ = 0.♣

34

Remarque 3.12 Il s’en suit, qu’il n’existe pas de détermination du logarithme dans le

domaine Ω = C \ 0.

Proposition 3.13 Soit Ω un domaine de C et f : Ω −→ C une fonction continue.

Si F1 et F2 sont deux primitives de f. Alors il existe c ∈ C tel que F1 = F2 + c.

Démonstration 3.8 F 1 = F 2 = f , par suite F 1 − F 2 = 0 dans Ω, d’où F1 = F2 +constante. ♣

3.6 Indice d’un point par rapport à un lacet

Il existe une formule utile pour exprimer combien de fois une courbe fermée oulacet γ tourne autour d’un point donné z0. Ce nombre, est appelé indice de γ par

rapport au point z0.

La formule qu’on va utiliser pour calculer l’indice est basée sur le calcul qu’on afait dans l’exemple 3.12 : Si γ est le cercle unité γ(t) = eit, 0 ≤ t ≤ 2π

γ

1z

dz = 2iπ (3.22)

Si γ(t) = eit, 0 ≤ t ≤ 2nπ, alors γ tourne autour de l’origine n fois, et on trouvede la même façon

12iπ

γ

1z

dz = n (3.23)

Notation : Si γ : I −→ C est un chemin on notera par γ∗ son image γ(I).

Définition 3.14 Soit γ un lacet de C et z0 ∈ C un point qui n’est pas sur γ i.e. z0 ∈ γ∗.On appelle indice de z0 par rapport à γ le nombre

Indγ(z0) =1

2iπ

γ

1(z − z0)

dz (3.24)

Remarque 3.15 i) Indγ(z0) n’est pas défini si z0 ∈ γ∗

ii) Ind−γ(z0) = −Indγ(z0)iii) Si γ1 et γ2 sont deux lacets de même origine et z0 ∈ γ∗1 ∪ γ∗2 alors

Indγ1∨γ2(z0) = Indγ1(z0) + Indγ2(z0).

FIGURE 3 – indice de 0 = 1

Théorème 3.16 (Théorème de l’indice) Pour tout lacet γ : [a, b] −→ C , on a :

(i) Pour tout z0 ∈ C \ γ∗, Indγ(z0) est un entier.

(ii) la fonction z → Indγ(z) est une fonction continue.

35

FIGURE 4 – indice de 0 = −1

Démonstration 3.9 (i)- Soit

g(t) = t

a

γ(s)γ(s)− z0

ds (3.25)

alors aux points oùγ(s)

γ(s)−z0est continue, on a

g(t) =γ(t)

γ(t)− z0(3.26)

Par suited

dte−g(t)(γ(t)− z0) = 0 (3.27)

au point où g(t) existe, et alors e−g(t)(γ(t)− z0) est constante par morceaux sur

[a, b]. Mais, e−g(t)(γ(t)− z0) est continue, donc elle est constante sur [a, b].On obtient alors e−g(a)(γ(a)− z0) = e−g(b)(γ(b)− z0).Comme γ est un lacet γ(a) = γ(b), ce qui entraîne e−g(a) = e−g(b).D’autre part g(a) = 0, d’où e−g(b) = 1 par conséquent il existe un entier n ∈ Z

tel que g(b) = 2inπ i.e.

n =g(b)2iπ

=1

2iπ

b

a

γ(s)γ(s)− z0

ds =1

2iπ

γ

1(z − z0)

dz = Indγ(z0) (3.28)

(ii)- Fixons z0 ∈ C \ γ∗, et soit r > 0 tel que le disque D(z0; 2r) soit contenu dans

C \ γ∗.Pour tout z ∈ C\γ∗ tel que |z−z0| ≤ r on a Indγ(z)−Indγ(z0) = 1

2iπ

γ

1(ξ−z) dξ−

12iπ

γ

1(ξ−z0)

dξ = z0−z2iπ

γ

1((ξ−z)(ξ−z0))

dξ. Comme pour tout ξ ∈ γ∗ on a |ξ− z0| ≥2r et |ξ−z| ≥ r, donc |Indγ(z)−Indγ(z0)| ≤ |z0−z|

4πr2 λ(γ) ce qui prouve la continuité.

♣

A)Indγ(.) est constante sur chaque composante connexe de C \ γ∗, et est nulle sur lacomposante non-bornée .

Démonstration 3.10 Comme Indγ(.) est continue et à valeurs dans Z, alors elle est

constante sur cheque composante connexe.

On notera que γ∗ est un sous-ensemble borné de C, d’où il existe R > 0 tel que

γ∗ ⊂ D(0;R), alors, la composante non-bornée de C\γ∗ est le domaine contenu dans

C \ γ∗ et contenant C \ D(0;R). On notera par C∞ cette composante.

Soit z0 ∈ C∞ tel que |z0| > R. Comme |z − z0| ≥ |z0|−R sur γ∗, on a

|Indγ(z0)| =12π

γ

1z − z0

dz ≤ 1

2π.

1|z0|−R

λ(γ) (3.29)

et donc |Indγ(z0)| tend vers 0 lorsque |z0| vers +∞. Comme Indγ(z) est constante

dans le domaine C∞, cette constante est 0. ♣

36

B) Soit γn : [0, 1] −→ C, t → Re2inπt, n ∈ Z∗.Alors,

Indγn(z) =

n si z ∈ D(0;R),0 si z ∈ C \ D(0;R).

(3.30)

Démonstration 3.11 L’ensemble C \ γ∗ a deux composantes, une bornée D(0;R) et

une non-bornée C \ D(0;R).Si z0 ∈ D(0;R) alors Indγ(z0) = Indγ(0) = 1

2iπ

γ

1z dz = n

Si z0 ∈ C \ D(0;R), alors Indγ(z0) = 0. ♣

Définition 3.6.1 Soit γ : I −→ C un lacet. On appelle intérieur de γ, l’ensemble

Int(γ) := z ∈ C; Indγ(z) = 0 et extérieur de γ, l’ensemble Ext(γ) := z ∈C; Indγ(z) = 0. On a C = Int(γ) ∪ γ∗ ∪ Ext(γ).

Comme Indγ(z) est constante sur chaque composante connexe de C\γ∗, Int(γ) etExt(γ) sont des ouverts et leurs frontières vérifient : ∂(Int(γ)) ⊂ γ∗ et ∂(Ext(γ)) ⊂γ∗.

Dans ce dessin, chaque nombre répresente la valeur de l’indice d’un point ce trou-vant dans le domaine correspondant. L’indice vaut 0 pour les points dans le domainenon borné.

3.7 Une méthode de calcul de l’indice

Soit γ : [a, b] −→ C un chemin et z0 ∈ C \ γ∗ et u ∈ C∗.On suppose que la demi-droite de direction u et d’origine z0 coupe γ en un nombre

fini de points γ(t1), γ(t2), . . . γ(tn), (0 < t1 < t2 < · · · < tn) tels que les tangentesγ(ti) existent et ne sont pas parallèles à u i.e. u, γ(ti) est une base de R2 pour tout

i ∈ 1, 2 . . . , n. On pose σi =

1 si det[u, γ(ti)] > 0,

−1 si det[u, γ(ti)] < 0.

Alors, Indγ(z0) =n

i=1

σi.

S’il existe une demi-droite de direction u ∈ C∗ et d’origine z0 qui ne coupe pas γalors Indγ(z0) = 0.

Exercice 3.7.1 Démontrer ce résultat.

37

4 Le théorème de Cauchy-Goursat

Théorème 4.1 (Théorème de Cauchy-Goursat) Soit Ω ⊂ C un domaine. Soit f ∈H(Ω). Soit γ un lacet tel que Int(γ) ⊂ Ω.

Alors

γf(z) dz = 0.

Ce théorème s’applique à tout domaine et à tout lacet dont l’intérieur est contenudans le domaine.

Remarque :1) la condition Int(γ) ⊂ Ω est équivalente à : z /∈ Ω entraîne Indγ(z) = 0Il est important de noter que cette condition est nécessaire.Par exemple, Pour Ω = C− 0 et f(z) = 1

z , et γ le cercle unité on a :γ f(z) dz = 2iπ = 0, en effet dans ce cas la condition n’est pas satisfaite puisque

Indγ(0) = 2iπ = 0 i.e. 0 ∈ Int(γ). 2) On ne peut pas juste utiliser le théorème 3.11puisqu’on ne sait pas si f admet une primitive dans Ω.

La démonstration de ce théorème est assez longu, elle se trouve au §6.

4.0.1 Primitives dans un domaine simplement connexe

On a déja montrer (voir Remarque 3.12) que si Ω = C \ 0, la fonction f(z) = 1z

n’admet pas de primitive dans Ω. On remarquera la présence d’un "trou" dans Ω.On va s’intéresser aux domaines de C dans lesquels toute fonction holomorphe

admet une primitive. On appelle un tel domaine, un domaine simplement connexe.

Définition 4.2 Un domaine Ω de C est dit simplement connexe si l’intérieur de tout

lacet dans Ω est contenu dans Ω.

Ceci est équivalent à : si γ est un lacet de Ω alors pour tout z /∈ Ω on a Indγ(z) = 0.

Exemple 4.0.2 1) C, un disque, un demi-plan, C \ R−, une bande B = z ∈ C; a <m(z) < b sont des domaines simplement connexes.

2) Les ensembles suivants ne sont pas simplement connexes :

(i) Ω = C \ 0 n’est pas simplement connexe.

(ii) l’extérieur du disque unité Ω = C \ D(0; 1) .

(iii) Une couronne C(a; r;R) = z ∈ C; r < |z − a| < R n’est pas simplement

connexe.

Exercice 4.0.3 Un domaine Ω est dit étoile par rapport au point a ∈ Ω si pour tout

z ∈ Ω, le segment [a; z] := ξ ∈ C; ξ = a + t(z − a), 0 ≤ t ≤ 1 ⊂ Ω. On dit dans

ce cas que a est un centre de Ω.Montrer que tout domaine étoilé est simplement connexe. Ω est étoilé

Solution :

Quitte à faire une translation on peut supposer que a = 0.Soit alors γ : [a, b] −→ Ω un lacet et z0 ∈ Ω fixé.

Pour tout s ∈ [0, 1] posons Γ(t, s) = sγ(t) et définissons le lacet Γs par Γs(t) =sγ(t). On a pout tout s ∈ [0, 1], Γs est un lacet de Ω (car Ω est étoilé par rapport à 0)et Γ1 = γ.

38

Puisque la fonction Γ est continue sur le compact [a, b] × [0, 1] son image K =∪0≤s≤1Γ∗s est un compact de C contenu dans Ω ( puisque 0 est un centre de Ω).

Donc la distance δ = dist(z0, K) est strictement positive. Alors pour 0 < s ≤ 1on pose

f(s) = IndΓs(z0) =1

2iπ

b

a

sγ(t)sγ(t)− z0

dt = Indγ

z0

s

(4.1)

Cette dernière égalité montre que la fonction f est continue puisque Indγ(.) estcontinue sur C \ γ∗.

Il s’en suit que la fonction f est constante, d’où f(s) = f(1) = Indγ(z0).Or quand s −→ 0, z0

s −→ ∞ (car z0 = 0), d’où pour s assez petit f(s) =Indγ( z0

s ) = 0 et par suite Indγ(z0) = 0.♣Remarque : 1) Il existe des domaines simplement connexes et qui ne sont pas étoilés ;par exemple : Ω = C \ R− ∪ z = t + i;−∞ < t < 0.

Une conséquence importante du théorème de Cauchy-Goursat est l’existence deprimitive dans un domaine simplement connexe.

Théorème 4.3 Soit Ω un domaine simplement connexe. Soit f : Ω −→ C une fonction

holomorphe alors :

i)

γ f(z) dz = 0 pour tout lacet γ ⊂ Ω.

ii) f admet une primitive dans Ω i.e. il existe une fonction F : Ω −→ C holomorphe

telle que F = f.

4.1 Conséquences du théorème de Cauchy-Goursat

4.1.1 Formule de Cauchy

Théorème 4.4 (Formule de Cauchy) Soit Ω un domaine de C et f : Ω −→ C une

fonction holomrphe. Soit γ : I −→ Ω un lacet tel que Int(γ) ⊂ Ω. Soit z0 un point de

Ω \ γ∗. Alors,

Indγ(z0).f(z0) =1

2iπ

γ

f(z)(z − z0)

dz (4.2)

Le théorème dit que les valeurs de f à l’intérieur de γ sont complètement détermi-nées par ses valeurs sur son image γ∗.

Démonstration 4.1 Soit γr le cercle de centre z0 et de rayon r (orienté dans le sens

positif i.e. γr(t) = z0+reit, t ∈ [0, 2π], r est choisit assez petit pour le disque D(z0, r)

soit contenu dans Int(γ). On va se mrramener au cas où l’indice au point z0 est nul.

Sans perdre de généralité on peut supposer que Indγ(z0) > 0. Soit β un chemin qui

relie γ à γr

Alors, le lacet Γ = γ ∨ β ∨ (−γr ∨ . . .∨−γr)∨−β, où on prend Indγ(z0) fois le

chemin −γr, a un indice nul en z0 i.e. IndΓ(z0) = 0.Alors d’après le théorème de Cauchy-Goursat appliqué à la fonction holomorphe

g : Ω− z0 −→ C, définie par g(z) =f(z)− f(z0)

z − z0nous donne

0 =

Γg(z) dz =

γ+

β−

γr

− . . .−

γr

−

β

g(z) dz

39

d’où

γ g(z) dz = Indγ(z0)

γrg(z) dz. D’autre part lorsque r −→ 0,

γr

g(z) dz =

γr

f(z)−f(z0)z−z0

dz ≤ supz∈γr

f(z)−f(z0)z−z0

.2πr −→ |f (z0)|.0 = 0.

Ainsi,

γ g(z) dz = 0 i.e.

γ

f(z)z − z0

dz = f(z0)

γ

dz

z − z0= 2iπ.Indγ(z0).f(z0)♣

Cette formule est extrêmement utile pour le calcul. Par exemple, on obtient immé-diatement que

C+(0,1)

ez

z dz = 2iπe0 = 2iπ.La formule de Cauchy est souvent utilisée dans le cas particulier où le lacet γ est

un cercle et z0 est un point du disque ouvert bordé par γ.

Corollaire 4.5 Soit D = D(a;R) un disque ouvert et f : D −→ C une fonction

holomorphe. Alors pour tout 0 < r < R et pour tout z ∈ D(a, r) on a :

f(z) =1

2iπ

C+(a;r)

f(ξ)(ξ − z)

dξ (4.3)

Le cercle C+(a; r) est orienté dans le sens positif et est paramétré parγ : [0, 1] −→ D(a; r), t → a + re2iπt.

Démonstration 4.2 Soit 0 < r < ρ et z ∈ D(a, r), d’après la formule de Cauchy on

a

γf(ξ)ξ−z dξ = 2iπ.Indγ(z).f(z)

Comme z et a appartiennent à la même composante de D\C(a; r) on a Indγ(z) =Indγ(a) = 1

2iπ

γ

1(ξ−a) dξ = 1.

♣

4.2 D’autres conséquences

Soit Ω un ouvert de C et z0 ∈ Ω. Désignons par dz0 la distance de z0 au complé-mentaire de Ω. Alors dz0 = supr > 0; D(z0; r) ⊂ Ω. On remarquera que si Ω = Calors dz0 = +∞. Le disque D(z0; dz0) est le plus grand disque centré en z0 et contenudans Ω

On a déja montré qu’une fonction analytique est holomorphe (voir Corollaire 1.10),on va maintenant montrer à l’aide de la formule de Cauchy que la réciproque est vraie,ainsi une fonction est holomorphe si et seulement si elle est analytique.

Théorème 4.6 Toute fonction holomorphe f dans l’ouvert Ω est développable en série

de Taylor+∞

n=0 an(z − z0)nen tout point z0 ∈ Ω, dans le disque D(z0; dz0).

De plus

an =f (n)(z0)

n!=

12iπ

C(z0;r)

f(ξ)(ξ − z0)n+1

dξ (4.4)

où C(z0; r) est le cercle de centre z0 et de rayon r (orienté positivement), 0 < r < dz0 .En particulier f admet des dérivées de tout ordre k ∈ N∗ et ces dérivées f (k)

sont

holomorphes dans Ω.

Démonstration 4.3 Soit z0 ∈ Ω, D’après la formule de Cauchy on a pour tout lacet

γ : I −→ D(z0; dz0) et z un point de D(z0; dz0) \ γ∗,

Indγ(z).f(z) =1

2iπ

γ

f(ξ)(ξ − z)

dξ

40

En particulier si 0 < r < dz0 et C(z0; r) est le cercle paramétré par γ : [0, 1] −→

D(z0; dz0), t → re2iπt + z0. on a Indγ(z) =

1 si |z − z0| < r,

0 si |z − z0| > r.par suite f(z) =

12iπ

γ

f(ξ)(ξ−z) dξ pour tout z ∈ D(z0; r). D’autre part

f(ξ)ξ − z

=f(ξ)

(ξ − z0)− (z − z0)=

f(ξ)ξ − z0

.1

1− z−z0ξ−z0

=f(ξ)

ξ − z0

n≥0

z − z0

ξ − z0

n =

n≥0

f(ξ)(ξ − z0)n+1

(z − z0)n(4.5)

Cette formule est valable si | z−z0ξ−z0

| < 1 et il suffit pour cela que z ∈ D(z0, r) car

|ξ − z0| = r, ce qui assure la convergence normale. En intégrant terme à terme on

obtient pour tout z ∈ D(z0; r)

f(z) =1

2iπ

γ

f(ξ)(ξ − z)

dξ =1

2iπ

n≥0

γ

f(ξ)(ξ − z0)n+1

dξ(z−z0)n =

n≥0

an(z−z0)n

(4.6)

avec an = 12iπ

γ

f(ξ)(ξ − z0)n+1

dξ. Donc f est développable en série de Taylor+∞

n=0 an(z−

z0)net ainsi f(z) =

n≥0

f(n)(z0)n! (z−z0)n

d’où an =f (n)(z0)

n!=

12iπ

γ

f(ξ)(ξ − z0)n+1

dξ.

En faisant tendre r vers dz0 on obtient le résultat. ♣

Théorème 4.7 (Inégalités de Cauchy) Soit f : Ω −→ C une fonction holomorphe.

Soit z0 ∈ Ω et R > 0 tel que le disque fermé D(z0;R) soit contenu dans Ω.Alors, pour tout n ≥ 0 on a

|f (n)(z0)|n!

≤max

|z−z0|=R|f(z)|

Rn(4.7)

Démonstration 4.4 Soit le lacet γ : [0, 1] −→ D(z0; dz0), t → Re2iπt + z0. On a

f (n)(z0)n!

=

γ

f(ξ)(ξ − z0)n+1

dξ d’où|f (n)(z0)|

n!=

12π

γ

f(ξ)(ξ − z0)n+1

dξ

Comme

f(ξ)

(ξ − z0)n+1

≤max

|z−z0|=R|f(z)|

Rn+1, par conséquent

|f (n)(z0)|n!

≤ 12π

max|z−z0|=R

|f(z)|

Rn+1λ(γ). Mais λ(γ) = 2πR, d’où le résultat.♣

Théorème 4.8 ( Morera) Soit Ω un domaine de C. Soit f : Ω −→ C une fonction

continue telle pour tout lacet γ dans Ω, on a

γ f(z) dz = 0.Alors f est holomorphe dans Ω.

Démonstration 4.5 D’après le théorème 3.11, cette condition est équivalente à l’exis-

tence d’une primitive F de f dans Ω. Alors F est holomorphe et donc aussi f = F

d’après le théorème 4.6 ♣

Remarque 4.9 La réciproque de ce théorème i.e. f holomorphe entraîne

γ f(z) dz =0, n’est pas vraie pour tout domaine Ω.

41

Par exemple, si Ω = C\0 et f = 1z . Alors f est holomorphe dans le domaine Ω,

mais

γ f(z) dz = 2iπ = 0, si γ est le cercle unité.

Théorème 4.10 (Principe du maximum) Soit Ω un domaine de C et f : Ω −→ C une

fonction holomorphe et non constante. Alors la fonction |f | n’admet pas de maximum

dans Ω.

Démonstration 4.6 Supposons |f | atteint son maximum en a ∈ Ω . Posons B = z ∈Ω; |f(z)| = |f(a)|.

B est un fermé de Ω : car la fonction |f | est continue et B = |f |−1|f(a)|.B est un ouvert de Ω En effet, si z ∈ B, d’après l’inégalité de Cauchy pour n = 0,

|f | est constante égale à |f(a)| sur tous les cercles centrés en z et contenu dans un

disque centré en z et contenu dans Ω, donc constante sur tout le disque, i.e. le disque

est contenu dans B.

Ainsi B est ouvert et fermé non vide dans Ω, il est donc égal à Ω. Mais |f | constant

dans un domaine entraîne f constante (utiliser les conditions de cauchy-Riemann).♣

Corollaire 4.11 Soit Ω un domaine borné de C et f une fonction continue dans Ω,

holomorphe et non constante sur Ω. Alors la fonction |f | atteint son maximum sur la

frontière ∂Ω = Ω \ Ω.

Démonstration 4.7 Comme Ω est compact et |f | est continue, |f | atteint son maximum

dans Ω. D’après le principe du maximum, ce maximum n’est pas atteint dans Ω, donc

il sera atteint sur la frontière. ♣

4.2.1 Le théorème des zéros isolés

Théorème 4.12 Soit Ω un domaine de C et f : Ω −→ C une fonction holomorphe.

Soit a ∈ Ω tel que f (n)(a) = 0 pour tout n ≥ 0, alors f est identiquement nulle.

Démonstration 4.8 Posons A = z ∈ Ω; f (n)(z) = 0 pour tout n ≥ 0.A est un fermé de Ω : En effet, comme les f (n)

sont des fonctions continues, alors

A = ∩n≥0(f (n))−1(0) est fermé dans Ω comme intersection de fermés de Ω,

A est un ouvert de Ω En effet, si z0 ∈ A, alors d’après le théorème 4.6, le disque

D(z0; dz0) est contenu dans Ω.Donc A est ouvert et fermé dans Ω, de plus a ∈ A montre que A n’est pas vide.

Alors A = Ω d’après la connexité de Ω et ainsi f est identiquement nulle.♣

Corollaire 4.13 Soit Ω un domaine de C et f : Ω −→ C une fonction holomorphe. Si

f n’est pas identiquement nulle alors les zéros de f sont isolés.

Démonstration 4.9 Soit z0 ∈ Ω un zéro de f i.e. f(z0) = 0. comme f n’est pas

identiquement nulle d’après le théorème 4.12, il existe m ≥ 1 tel que f (m)(z0) = 0, et

f (k)(z0) = 0, 0 ≤ k ≤ m − 1, de sorte que le développement en série de Taylor de fdans le disque D(z0; dz0) peut se mettre sous la forme

f(z) =

n≥m

f (n)(z0)n!

(z − z0)n =f (m)(z0)

m!(z − z0)m

1 + c(z − z0) + · · ·

(4.8)

D’où il existe 0 < r < dz0 tel que f(z) = 0 pour tout z ∈ D(z0; r) \ z0, on

obtient ainsi un voisinage de z0 dans lequel il n’y a pas d’autres zéros de f. ♣

42

Corollaire 4.14 Soit Ω un domaine de C et f : Ω −→ C une fonction holomorphe non

identiquement nulle. Soit z0 est un zéro de f , alors il existe un unique entier m > 0 tel

que f (k)(z0) = 0 si k ≤ m − 1 et f (m)(z0) = 0 une fonction holomorphe gqui ne s’annule pas dans un voisinage de z0 telle que

f(z) = (z − z0)mg(z)

L’entier m est appelé mutiplicité du zéro z0.

Corollaire 4.15 Soit Ω un domaine de C, f et g deux fonctions holomorphes dans Ωet a ∈ Ω.

On suppose qu’il existe une suite zn dans Ω \ a qui converge vers un point aet telle que f(zn) = g(zn) pour tout n ≥ 0.

Alors f ≡ g.

Démonstration 4.10 La fonction h = f − g admet les zn et le point a pour zéros.

Comme la suite zn est différente de a et converge vers a, le zéro a est donc non isolé

d’où h ≡ 0. ♣

4.2.2 Fonctions entières

Lorsque le domaine Ω = C, on a pour tout z0 ∈ Ω, dz0 = +∞ ainsi d’aprèsle théorème 4.6, toute fonction holomorphe dans C est la somme d’une série entièreconvergente dans C.

Définition 4.2.1 .

On appelle fonction fonction entière toute fonction holomorphe dans C.

Théorème 4.16 (Théorème de Liouville) Une fonction entière et bornée est constante.

En particulier une fonction entière f telle que lim|z|−→+∞

f(z) = 0, est identique-

ment nulle.

Démonstration 4.11 Soit M ≥ 0 tels que |f(z)| ≤M pour tout z ∈ C.D’après les inégalités de Cauchy on a : pour tout z0 ∈ C et R > 0

|f (z0)| ≤max

|z−z0|=R|f(z)|

R≤ M

R(4.9)

En faisant tendre R vers +∞, on obtient f (z0) = 0 pour tout z0 ∈ C, d’où f est

constante.

Maintenant si f : C −→ C une fonction holomorphe et lim|z|−→+∞

f(z) = 0 alors f

est bornée.

En effet, cette condtion entraîne l’existence d’un nombre R > 0 tel que : |f(z)| < 1si |z| > R et par suite sup

C|f(z)| ≤ 1 + max

|z|≤R|f(z)|.

D’après ce qui précède f est constante et cette constante ne peut être que 0. ♣

Corollaire 4.17 (Théorème de d’Alembert) Tout polynôme non constant dans C ad-

met au moins une racine.

43

Démonstration 4.12 Soit P (z) =n

i=0 aiziun polynôme avec an = 0.

Supposons que P ne s’annule pas dans C, alors la fonction f = 1P est une fonction

entière de plus

lim|z|−→+∞

f(z) = lim|z|−→+∞

1zn(an + an−1

z + · · · + a0zn )

= 0 (4.10)

D’aprés le théorème précédent f est identiquement nulle, ce qui est absurde.♣

5 Théorème des résidus et applications

5.1 Développement en série de Laurent

Soit r, R ∈ R+ ∪ +∞, 0 ≤ r < R.L’ouvert C(a; r;R) = z ∈ C; r < |z − a| < R est appelé couronne de centre a,

de rayon intérieur r et de rayon extérieur R.Puisque C(a; r;R) n’est pas un domaine simplement connexe, la formule de Cau-

chy n’est pas valable pour tout lacet Γ de Ω. En particulier elle n’est pas valable pourle lacet Γ = C(a; s), le cercle de centre a et de rayon s, avec r < s < R.Proposition 5.1 Soit f une fonction holomorphe dans la couronne C(a; r;R). Pour

tout n ∈ Z, les intégrales

12iπ

C+(a;s)

f(ξ)(ξ − a)n+1

dξ

ne dépendent pas de s, (r < s < R).

Démonstration 5.1 Soit r < s < s < R . Soit β un segment qui relie C(a; s) à

C(a; s). Alors, le lacet Γ = C(a; s) ∨ β ∨ −C(a; s) ∨ −β, a un indice nul en z0 i.e.

IndΓ(z0) = 0. On applique alors le théorème de Cauchy-Goursat au lacet Γ et à la

fonctionf(z)

(z − a)n+1holomorphe dans C(a; r;R) . ♣

Théorème 5.2 Toute fonction holomorphe dans une couronne C(a; r;R) est déve-

loppable en série de la forme f(z) =+∞−∞ an(z − a)n

dite série de Laurent, qui

converge normalement dans tout compact K ⊂ C(a; r;R).De plus pour tout n ∈ Z et s ∈]r, R[ on a, an = 1

2iπ

C(a;s)

f(ξ)(ξ−a)n+1 dξ.

Remarque 5.3 Le développement en série de Laurent est unique.

Démonstration 5.2 Fixons z ∈ C(a; r;R) et s, s tels que r < s < |z− a| < s < R.Soit β un segment qui relie C(a; s) à C(a; s). On définit le lacet Γ := C(a; s) ∨ β ∨−C(a; s)∨−β. Comme l’indice de z par rapport à Γ est égal à 1, la formule de Cauchy

nous donne f(z) = 12iπ

Γ

f(ξ)(ξ−z) dξ = 1

2iπ

C(a;s)

f(ξ)(ξ−z) dξ− 1

2iπ

C(a;s)

f(ξ)(ξ−z) dξ. En

écrivant1

(ξ − z)=

+∞

n=0

(z − a)n

(ξ − a)n+1(on a convergence normale dans C(a; s)), et

1(ξ − z)

= −+∞

n=0

(ξ − a)n

(z − a)n+1( convergence normale dans C(a; s)). On a ainsi

f(z) = 12iπ

C(a;s) f(ξ)

+∞n=0

(z−a)n

(ξ−a)n+1 dξ + 12iπ

C(a;s) f(ξ)

+∞n=0

(ξ−a)n

(z−a)n+1 dξ

44

f(z) =+∞

n=0

1

2iπ

C(a;s)

f(ξ)(ξ−a)n+1 dξ

(z − a)n

++∞

n=0

1

2iπ

C(a;s) f(ξ)(ξ − a)ndξ

1

(z−a)n+1 d’où le résultat. ♣

Définition 5.4 Soit f(z) =+∞

−∞an(z− a)n

le développement en série de Laurent de f

dans la couronne C(a; r;R).−1

−∞an(z − a)n

est la partie principale du développement et

+∞

0

an(z − a)nsa partie

régulière.

Exemples 5.1.1 1) f(z) = 1z2+1 est holomorphe dans C \ ±i. Soit a un point de

H+z ∈ C;m(z) > 0, alors |a− i| < |a + i|. On pose r = |a− i| et R = |a + i|.f est holomorphe dans la couronne C(a; r;R) et donc y admet un développement en

série de Laurent, que nous allons déterminer.

f(z) =1

z2 + 1=

1(z − i)(z + i)

=12i

1z − i

− 12i

1z + i

.

Si |z − a| > r, on a1

z − i=

1z − a

11− i−a

z−a

=+∞

n=0

(i− a)n

(z − a)n+1=

−1

−∞

(z − a)n

(i− a)n+1.

Si |z − a| < r, on a1

z+i = 1i+a

11− a−z

i+a

=+∞

n=0

(a− z)n

(i + a)n+1

D’où pour tout z ∈ C(a; r;R), f(z) =12i

n=−1

−∞

(z − a)n

(i− a)n+1− 1

2i

+∞

n=0

(a− z)n

(i + a)n+1

La partie principale est12i

n=−1

−∞

(z − a)n

(i− a)n+1et la partie régulière est− 1

2i

+∞

n=0

(a− z)n

(i + a)n+1.

En particulier si a = i et C(a; r;R) = C(i; 0; 2),

f(z) =12i

1z − i

− 12i

+∞

n=0

(i− z)n

(2i)n+1=

12i

1z − i

++∞

n=0

(−1)n+1(z − i)n

(2i)n+2.

2) f(z) = exp( 1z ) est holomorphe dans C\0 = C(0; 0;+∞). Le développement en

série de Laurent de f(z) =+∞

n=0

1n!

1zn

= 1 +−1

−∞

zn

(−n)!sa partie régulière est 1 et sa

partie principale est

−1

−∞

zn

(−n)!.

Corollaire 5.5 Pour toute fonction f holomorphe dans la couronne C(a; r;R), l’inté-

grale1

2iπ

C(a;s) f(z) dz pour tout r < s < R, est égale au coefficient a−1 du terme

1z−a du développement en série de Laurent de f.

Corollaire 5.6 (Inégalités de Cauchy) Soit f une fonction holomorphe dans la cou-

ronne C(a; r;R). Alors, f(z) =+∞−∞ an(z − a)n

et pour tout n ∈ Z et s ∈]r, R[ :

|an| ≤Mf (s)

sn

où Mf (s) = max|z−a|=s

|f(z)|.

45

Démonstration 5.3 Comme an = 12iπ

C(a;s)

f(ξ)(ξ−a)n+1 dξ = 1

2π

2π0

f(a+seiθ)sn+1 e−inθ dθ.

d’où |an| ≤ 12π

max|z−a|=s |f(z)|sn+1 λ(C(a; s)) = 1

2πMf (s)sn+1 .2πs = Mf (s)

sn . ♣

Corollaire 5.7 (Théorème de prolongement de Riemann) Soit f une fonction holo-

morphe dans un ouvert Ω sauf peut être en un point z0 ∈ Ω tel que

limz−→z0

(z − z0)f(z) = 0.

Alors f admet un prolongement (unique) en une fonction holomorphe dans Ω.

Démonstration 5.4 Comme, Ω est ouvert et z0 ∈ Ω il existe un disque D(z0;R) ⊂ Ω,f étant holomorphe dans la couronne C(z0; 0;R) = D(z0;R) − z0 elle y admet

développement en série de Laurent+∞−∞ an(z − z0)n.

Les inégalités de Cauchy nous donnent, pour tout n ∈ Z et s ∈]0, R[

|an| ≤max|z−z0|=s |f(z)|

sn=

max|z−z0|=s |sf(z)|sn+1

.

Comme par hypothèse limz−→z0 max|z−z0|=s |sf(z)| = 0, d’où pour tout n ≤ −1,

an = 0.Par conséquent f(z) se réduit à une série entière

+∞0 an(z − z0)n, et le prolon-

gement holomorphe dans Ω, f de f , s’obtient en posant

f(z) =

a0 si z = z0

f(z) si z = z0(5.1)

♣

5.2 Singularités

Définition 5.2.1 1. Soit A un sous-ensemble de C et a ∈ A. On dit que a est isolé

dans A, s’il existe r > 0 tel que D(a, r) ∩A = aoù D(a, r) = z ∈ C; |z − a| < r.

2. Un sous-ensemble A de C est discret si tous ses points sont isolés.

Définition 5.2.2 On dit qu’une fonction f a une singularité isolée en un point z0 s’il

existe r > 0 tel que f soit holomorphe dans le disque épointé D∗(z0; r) = D(z0; r)−z0.

Comme D∗(z0; r) est une couronne, f(z) y admet un développement en série de

Laurent+∞

−∞an(z − z0)n. Il y a 3 types de singularités isolées :

(1) Singularité apparente (ou singularité superficielle)

f a une singularité apparente en z0 si pour tout n < 0, les coefficients an = 0 (i.e. sapartie principale est nulle.)Dans ce cas f admet un prolongement holomorphe au disque D(z0; r) (Théorème deprolongement de Riemann.)(2) Pôle

f a un pôle d’ordre m > 1 en z0 si pour tout n < −m, les coefficients an = 0 eta−m = 0. Dans ce cas f(z) =

+∞−m an(z− z0)n. On dit aussi que f est méromorphe

46

en z0.(3) Singularité essentielle

f a une singularité essentielle en z0 si pour une infinité de n < 0, les coefficientsan = 0.

Exemple 5.2.3 (1) f(z) = 1z2+1 a deux singularités isolées i et −i. On a vu que dans

le disque épointé D∗(i; 2) = C(i; 0; 2), f(z) = 12i

1z−i +

+∞n=0

(−1)n+1(z−i)n

(2i)n+2 . Donc

f a un pôle d’ordre 1 en i. De même f a un pôle d’ordre 1 en −i. (pour voir cela

développer f en série de Laurent dans D∗(−i; 2) = C(−i; 0; 2).)(2) f(z) = exp( 1

z ) a une singularité isolée en z = 0. On a vu que dans C \ 0 =C(0; 0;+∞) = D∗(0; +∞), le développement en série de Laurent de f(z) = 1 +−1−∞

zn

(−n)! d’où an = 1(−n)! = 0 pour tout n < 0, et donc f a une singularié

essentielle en z = 0.

5.3 Calcul pratique des résidus

Définition 5.8 On appelle résidu de f au point z0, noté Res(f, z0), le coefficient a−1

du développement en série de Laurent de f dans un disque épointé D∗(z0; r).

Soit Ω un domaine et f(z) = g(z)h(z) tels que g et h sont holomorphes dans Ω et h

non identiquement nulle. Alors les zéros de h sont isolés dans Ω. Comme chaque zéroa de h est de multiplicité finie, f est méromorphe en ce point. On va calculer le résidusde f au point a, distinguons deux cas :(1) a est un pôle simple i.e. d’ordre 1. Si a est un pôle simple, on a dans un disque

épointé D∗(a, r), f(z) = a−1z−a +

+∞0 an(z − z0)n. Alors (z − a)f(z) = a−1 +

+∞0 an(z − z0)n+1 et donc lim

z−→a(z − a)f(z) = a−1 = Res(f, a).

Dans le cas f(z) = g(z)h(z) avec g(a) = 0, h(a) = 0 et h(a) = 0 on a

limz−→a

(z − a)g(z)h(z)

= limz−→a

g(z)z − a

h(z)=

g(a)h(a)

. D’où Res g

h, a

=

g(a)h(a)

.

(2) a est un pôle d’ordre m ≥ 2 . Si a est un pôle d’ordre m ≥ 2, on a dans un disque

épointé D∗(a, r),f(z) = a−m

(z−a)m + · · · + a−1z−a +

+∞0 an(z − z0)n.

Alors, (z− a)mf(z) = a−m + · · ·+ a−1(z− a)m−1 ++∞

0 an(z− z0)n+m et d’où

Res(f, a) = a−1 = limz−→a

(z − a)mf(z)(m− 1)!

(m−1)