35083478 Course de Matematiques Superieurs

8/3/2019 35083478 Course de Matematiques Superieurs

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Table des matires

1 quations diffrentielles linaires 91 Le premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Rsolution de lquation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Rsolution de lquation complte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Le deuxime ordre coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Rsolution de lquation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Rsolution de lquation complte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Le deuxime ordre coefficients non constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Le problme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Rsolution de (E) quand on connat une solution de (H) qui ne sannule pas

sur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Wronskien de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Rsolution de (E) quand on connat une base de SH ; mthode de variation

des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Espace vectoriel norm 211 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1 Norme et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1 Produit scalaire rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Norme associe un produit scalaire rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Expression du produit scalaire en fonction de la norme . . . . . . . . . . . . 252.4 Ingalit de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Ingalit de Minkowski, ou ingalit triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1 Norme et distance associes un produit scalaire hermitien . . . . . . . . . 283.2 Expression du produit scalaire en fonction de la norme . . . . . . . . . . . . 293.3 Ingalit de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Ingalit de Minkowski, ou ingalit triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Les normes fondamentales sur Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1 La norme N1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 La norme euclidienne ou norme N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 La norme N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Les normes fondamentales sur C([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.1 La norme de la convergence en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 La norme de la convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . 325.3 La norme de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Les normes fondamentales sur Mn,p(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


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2 TABLE DES MATIRES

7 Les suites dans un espace vectoriel norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Rgles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.3 Oprations algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9 Comparaison des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.1 Comparaison de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.2 Normes quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.4 quivalence des normes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Suites dans un espace vectoriel norm de dimension finie 391 Parties bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.2 Espace vectoriel des applications bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1 Suites convergentes et coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Cas des suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Convergence des suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Relations de comparaison entre suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1 Domination, notation O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Ngligeabilit, notation o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3 quivalence, notation

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4 Comparaison logarithmique de deux suites de ]0, +

[ . . . . . . . . . . . . 46

5 Suites relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1 Les grands thormes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Suites dfinies laide dune relation de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Sries numriques 511 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2 Condition NCESSAIRE de convergence, divergence grossire . . . . . . . 532.3 Convergence des sries termes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4 Critre de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5 Combinaison linaire de sries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Les exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1 La srie gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 Srie destruction de termes ou srie tlescopique . . . . . . . . . . . . . . 543.3 La srie du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 La srie de larctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5 La srie de lexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6 La srie du binme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Les sries termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Le thorme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Srie majorante, srie minorante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Rgle des quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.5 Comparaison logarithmique, rgle de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . 60


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TABLE DES MATIRES 3

4.6 Comparaison une srie de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 Srie absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1 Labsolue convergence, quest-ce ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Utilisation de O et o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3 Rgle des quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.4 Rgle de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.5 Produit de Cauchy de deux sries absolument convergentes . . . . . . . . . 63

6 Srie alterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.1 Lalternance, quest-ce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2 Critre spcial de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3 Les sries alternes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Transformation suite-srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.1 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.2 La constante dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3 La formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8 Dveloppement dcimal dun nombre rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Continuit en dimension finie 691 Topologie dun espace vectoriel norm de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.1 Parties ouvertes, parties fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.2 Runion et intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.3 Points adhrents, points intrieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.4 Caractrisation squentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2 Limite dune application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.1 Limite dune application en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2 Limite et coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.3 Limite et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4 Extension de la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.5 Oprations algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.6 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2 Caractrisation de la continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3 Continuit et applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Oprations algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Image rciproque de parties ouverte et ferme . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Compacit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2 Compacit et application continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Continuit des applications linaires et bilinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Suite et srie de fonctions 811 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822 Convergence uniforme des suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.2 Norme de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.3 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.4 Convergence uniforme sur tout segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3 Convergence uniforme des sries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2 Convergence normale dune srie de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3 Convergences normale et uniforme sur tout segment . . . . . . . . . . . . . 87

4 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.1 Continuit de la limite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


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4 TABLE DES MATIRES

4.2 Permutation de deux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3 Applications aux sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Quelques espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1 Subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2 Fonctions en escalier sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3 Fonction en escalier sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4 Fonctions continues par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . . . . . 915.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque . . . . . . . 925.6 Polynmes trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6 Approximation des fonctions dune variable relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.1 Approximation uniforme par des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . 956.2 Approximation uniforme par des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3 Approximation uniforme par des polynmes trigonomtriques . . . . . . . . 96

7 Drivation des fonctions vectorielles 97

1 Drive, fonction drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.1 Drive en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.2 Drive et dveloppement limit dordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.3 Drives droite, gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991.4 Fonction drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2 Oprations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.1 Linarit de la drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.2 Composantes dune drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.3 Composition avec une application numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.4 Composition avec une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.5 Composition avec une application bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3 Drives dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3 Oprations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.4 Diffomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.5 Fonction de classe Ck par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8 Srie de Fourier 1091 Srie trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.1 Quest-ce quune srie trigonomtrique? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.2 Caractrisation des sries trigonomtriques qui convergent normalement sur

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.3 Calcul des coefficients ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.1 Fonctions complexes 2-priodiques et continues par morceaux . . . . . . . 1112.2 Coefficients de Fourier dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.3 Proprits des coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.4 Ordre de grandeur des coefficients de Fourier et rgularit de la fonction . . 1152.5 Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.1 Ingalit de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.2 Convergence en moyenne quadratique de la suite

Sn(f)

n

vers f . . . . . . 1173.3 Les coefficients de Fourier dterminent la fonction . . . . . . . . . . . . . . 119

4 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.1 Cas des fonctions de classe

C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.2 Cas des fonctions de classe C1 par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


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TABLE DES MATIRES 5

9 Intgrale des fonctions vectorielles sur un segment 1231 Intgrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

1.2 Linarit par rapport la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251.3 Image de lintgrale par une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . 1261.4 Ingalit de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2 Intgrale des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.1 Dfinition de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.2 Linarit par rapport la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.3 Intgrale de deux fonctions qui cocident sauf sur une partie finie dun segment1282.4 Image de lintgrale par une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.5 Ingalit de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.6 Positivit et croissance de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302.7 Additivit de lintgrale par rapport lintervalle dintgration . . . . . . . 131

2.8 Notation ba

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313 Convergences en moyenne et en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.1 Norme de la convergence en moyenne sur C([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2 Produit scalaire sur C([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.3 Norme de la convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . 133

4 Intgration des suites de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.1 Convergence uniforme et convergence en moyenne . . . . . . . . . . . . . . 1344.2 Intgration terme terme dune srie de fonctions continues . . . . . . . . . 1344.3 Convergence simple et convergence en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5 Primitives et intgrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.1 Primitive dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2 Thorme fondamental du calcul intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376 Calcul intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.1 Formule dintgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.1 Cas des fonctions relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.2 Ingalit des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3 Prologement des fonctions de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.4 Caractrisation des fonctions de classe Ck par morceaux sur un segment . . 142

8 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.1 galit de Taylor lordre k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.2 Majoration du reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449 Suites et sries de fonctions de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.1 Drivation de la limite dune suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.2 Drivation terme terme dune srie de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 1469.3 Drive de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10 Intgrales dpendant de ses bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.1 Intgrale du type x x

t=af(t) dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.2 Intgrale du type x v(x)t=u(x)

f(t) dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14811 Intgrales dpendant dun paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

11.1 Continuit sous le signe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14811.2 Drivation sous le signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14911.3 Intgration sous le signe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151


6/219

6 TABLE DES MATIRES

10 Intgrale des fonctions numriques sur un intervalle 1531 Intgrale des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1.1 Intgrale dune fonction sommable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1.2 Sommabilit par runion croissante de segments . . . . . . . . . . . . . . . 1551.3 Intgrabilit sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1571.4 Intgrabilit par intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1581.5 Sommabilit sur [a, b[ laide dune primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . 1591.6 Les rfrences fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2 Oprations sur les fonctions intgrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.1 Sommabilit par combinaison linaire coefficients positifs . . . . . . . . . 1612.2 Sommabilit par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.3 Intgrabilit sur [a, +[ laide dune srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3 Fonctions sommables valeurs relles ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.1 Fonction intgrable, sommable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.2 Intgrale dune fonction intgrable (ou sommable) . . . . . . . . . . . . . . 1673.3 Outils dintgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704 Sommabilit et intgrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.1 Sommabilit sur [a, b[ et accroissement dune primitive . . . . . . . . . . . . 171

4.2 Lexemple+0

sin t

tdt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.3 Intgrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725 Espaces de fonctions sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.1 Norme de la convergence en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.2 Fonction de carr intgrable (ou sommable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.3 Norme de la convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . 175

6 Les thormes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.1 Le thorme de convergence monotone de Beppo Levi . . . . . . . . . . . . 1766.2 Application lintgration terme terme dune srie de fonctions . . . . . . 1776.3 Le thorme de convergence domine dHenri Lebesgue . . . . . . . . . . . 179

7 Intgrale dpendant dun paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.1 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.2 Drivation sous le signe

I, formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . 182

11 Srie entire 1851 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862 Rayon de convergence dune srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872.2 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882.3 Oprations algbriques et rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3 Proprits de la somme dune srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903.1 Continuit de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913.2 Intgration terme terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923.3 Drivation terme terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923.4 Sommation de sries entires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4 Fonction dveloppable en srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.2 Analyse de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954.3 Exemples de fonctions de classe C non dveloppables en srie entire . . . 1954.4 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.5 Exemples de dveloppement en srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197


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TABLE DES MATIRES 7

12 Calcul diffrentiel en plusieurs variables 2011 Limite, continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

1.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

1.2 Limite suivant un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2022 Applications continment diffrentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2032.1 Drive suivant un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2032.2 Fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052.3 Drive suivant un vecteur pour les fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . 2052.4 Dveloppement limit lordre un des fonctions de classe C1 . . . . . . . . 206

3 Diffrentielle dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074 Composition des applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

4.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084.2 Un cas particulier q = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084.3 Le cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.4 Une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5 Coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.1 Argument dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.2 Repre polaire du plan euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.3 Changement de variables en coordonns polaires . . . . . . . . . . . . . . . 213

6 Diffomorphismes de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.2 Caractrisation des diffomorphismes laide du jacobien . . . . . . . . . . 2156.3 quations aux drives partielles et changement de variables . . . . . . . . 215

7 Fonctions numriques de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.1 Lalgbre C1(U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.2 Gradient dune fonction numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.3 Extrema dune fonction numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.4 Point critique dune fonction numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.5 Ingalit des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178 Drives partielles dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218


8/219

8 TABLE DES MATIRES


9/219

Chapitre 1

quations diffrentielles linaires

Sommaire1 Le premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Rsolution de lquation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Le rsultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Le problme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Rsolution de lquation complte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Mthode de la variation de la constante . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Le problme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4 Principe de superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . 12

2 Le deuxime ordre coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Rsolution de lquation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 quation caractristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Dimension de lespace des solutions . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Le cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4 Le cas rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Rsolution de lquation complte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 Principe de superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . 142.3.3 Passage du complexe au rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4 Recherche dune solution particulire dans le cas dun second

membre de la forme P(t)exp(t), P K[X], K. . . . . . . 15

3 Le deuxime ordre coefficients non constants . . . . . . . . . . . . 15

3.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Le problme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Rsolution de (E) quand on connat une solution de (H) qui ne sannule

pas sur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Wronskien de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Rsolution de (E) quand on connat une base de SH ; mthode de varia-

tion des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


10/219

10 quations diffrentielles linaires

1 Le premier ordre

1.1 Un peu de vocabulaire

Dfinition 1.1 (quation diffrentielle linaire du premier ordre).On appelle quation diffrentielle linaire du premier ordre, une quation du type :

x = a(t) x + b(t) (E)o a et b sont des fonctions continues dun intervalle I valeurs dans K, K tant lun des corpsR ou C.

Dfinition 1.2 (quation homogne).On appelle quation homogne ou encore quation sans second membre associe (E), lqua-

tion :x = a(t) x (H)

Remarque. Dans ces dfinitions, le coefficient de x vaut 1 : on dit alors que lquation est norma-

lise ou encore rsolue en x.Si ce nest pas le cas, on divise lquation par le coefficient de x. Par exemple, t x + x = 1doit scrire x = t1 x + t1 et lintervalle I considr est lun des deux intervalles ], 0[ et]0, +[.

Tous les thormes de cette section sont relatifs des quations normalises.

Dfinition 1.3 (J-solution).Si J est un sous-intervalle de I, une J-solution de (E) (resp. (H), est une fonction x de classe

C1 sur J telle que :t J, x(t) = a(t) x(t) + b(t) resp. x(t) = x(t)

Remarque. Si J1 est un sous-intervalle de J, la restriction J1 de toute J-solution de (E) (resp.(H)), est une J1-solution de (E) (resp. (H)).

1.2 Rsolution de lquation homogne

1.2.1 Le rsultat

Thorme 1.1 (fondamental).Toutes les solutions de (H) sont dfinies sur I, ce sont des I-solutions.Lensemble des I-solutions de (H) constituent une droite vectorielle surK dirige par la fonc-

tiont I expA(t)

o A est une primitive de a sur I.

x est une I-solution de (H) k K, t I, x(t) = k expA(t)Preuve. Il suffit de dmontrer que t I x(t) expA(t) est une fonction constante, si, etseulement si, x est solution de (H). Or

t I, ddt

x(t) exp

A(t) = x(t) expA(t) x(t) A(t) expA(t)=

x(t) a(t) x(t) expA(t)x est solution de H x = a(t)x

ddt

x(t) exp

A(t) = 0 (expA(t) ne sannule pas) k K, t I, x(t) expA(t) = k

car une fonction dont la drive est nulle sur un intervalle est constante. cqfd


11/219

1 Le premier ordre 11

Remarques.Toute solution de (H) nulle en un point de I est identiquement nulle sur I.Deux solutions de (H) qui concident en un point de I, sont identiques sur I.Les I-solutions de lquation diffrentielle x + a(t) x = 0 sont les fonctions

t I k expA(t)o A est une primitive de a sur I et k une constante de K.

1.2.2 Le problme de Cauchy

Pour toute donne initiale (t0, x0) I K, il existe une unique solution x de (H) telle quex(t0) = x0, savoir

x : t I x(t) = x0 exp

t

t0

a(u) du

1.3 Rsolution de lquation complte

1.3.1 Le principe

Thorme 1.2. Soit X uneI-solution de (E) ; alors, x est uneI-solution de (E) si, et seulementsi, x X est une I-solution de (H).

Preuve. On a X = a(t)X+ b(t) et

(x X) = a(t)(x X) x X = x a(t) X + b(t) = a(t)(x X) x = a(t)x + b(t)

x est une I-solution de (E)cqfd

Remarque. On obtient les I-solutions de (E) en ajoutant une I-solution (particulire) de (E) uneI-solution (quelconque) de (H).

Comment trouver cette solution particulire? Cest lobjet de la mthode de la variation de laconstante.

1.3.2 Mthode de la variation de la constante

On pose x = z exp(A), soit z(t) = x(t)expA(t) pour t I (on effectue un changement de

fonction inconnue) ; z est une fonction de classe C1 sur I si, et seulement si, x est une fonction declasse C1 sur I, et, pour tout t I,

x(t) = a(t)x(t) + b(t) z(t)expA(t) + z(t) A(t) expA(t) = a(t)z(t)expA(t)+ b(t) z(t)expA(t) = b(t)

Ainsi x est solution de (E) si, et seulement si, z est solution de z exp(A) = c, i.e.

k K, t I, z(t) =t

t0

expA(u)c(u) du + k

Remarquez que z est une primitive (sur I) de la fonction continue (sur I) t

c(t)exp

A(t), cequi donne le


12/219


Thorme 1.3. Toute solution de (E) est dfinie sur I.Lensemble des I-solutions de (E) constituent une droite affine surK.

x est une I-solution de (E)

k K, t I, x(t) =t

t0

expA(u)c(u) du + k expA(t)

1.3.3 Le problme de Cauchy

Pour toute donne initiale (t0, x0) I K, il existe une unique solution x de (E) telle quex(t0) = x0, savoir

t

I

t

t0

expA(u)c(u) du + x0 expA(t) avec A(t) =

t

t0

a(u) du

Remarques. Deux solutions de (E) qui concident en un point de I, sont identiques sur I.Si J est un sous-intervalle de I, toute J-solution de (E) se prolonge en une unique I-solution

de (E).

1.3.4 Principe de superposition des solutions

Proposition 1.4. Si x1 est solution de x = a(t) x + b1(t) et x2 solution de x = a(t) x + b2(t),alors (x1 + x2) est solution de x = a(t) x +

b1(t) + b2(t)

Preuve.

(x1 + x2) = x

1

+ x2

= a(t) x1 + b1+ a(t) x2 + b2= a(t)

x1 + x2

+ (b1 + b2)

cqfd

2 Le deuxime ordre coefficients constants

2.1 Un peu de vocabulaire

Dfinition 2.1 (quation linaire du deuxime ordre coefficients constants).On appelle quation diffrentielle linaire du deuxime ordre coefficients constants, une qua-

tion du type :

x + a x + b x = c(t) (E)o a et b sont des scalaires de K et c une fonction continue dun intervalle I valeurs dans K.

Dfinition 2.2 (quation homogne).On appelle quation homogne associe (E), lquation

x + a x + b x = 0 (H)

Dfinition 2.3 (J-solution).Si J est un sous-intervalle de I, une J-solution de (E) est une fonction x de classe C2 sur J

telle que :

t J, x(t) + a x(t) + b x(t) = c(t)


13/219

2 Le deuxime ordre coefficients constants 13

2.2 Rsolution de lquation homogne

2.2.1 quation caractristique

Proposition 2.1. t R exp(rt) est uneR-solution de (H) si, et seulement si, r est solutionde r2 + ar + b = 0 ; cette quation est appele quation caractristique.Preuve. Puisque x(t) = exp(rt), on obtient x(t) = r exp(rt) et x(t) = r2 exp(rt). Alors,0 = x(t)+ax(t)+bx(t) = (exp rt)(r2+a r+b) r2+a r+b = 0 car t R, exp(rt) = 0. cqfd

2.2.2 Dimension de lespace des solutions

Thorme 2.2. Les solutions de (H) sont dfinies surR, ce sont desR-solutions; el les consti-tuent unK-espace vectoriel de dimension 2.

Preuve. Soit r une solution de lquation caractristique r2+ar +b = 0. On utilise le changementde fonction : x = exp(rt)y. En drivant et en substituant x dans lquation, on trouve :

x = r exp(rt)y + exp(rt)yx = r2 exp(rt)y + 2r exp(rt)y + exp(rt)y

0 =

r2 exp(rt)y + 2r exp(rt)y + exp(rt)y

+ a

r exp(rt)y + exp(rt)y

+ b exp(rt)y

= (r2 + ar + b)exp(rt)y + (2r + a) exp(rt)y + exp(rt)y

= 0 + (2r + a) exp(rt)y + exp(rt)y

La fonction x est donc solution de (H) si, et seulement si, (2r + a)y + y = 0.Si r est une racine simple de lquation caractristique, 2r + a nest pas nul, et

(2r + a)y + y = 0

k1 K, t R, y(t) = k1 exp(2r + a)t (k1, k2) K2, t R, y(t) = k12r + a

exp(2r + a)t+ k2

(1, k2) K2, t R, x(t) = exp(rt)y(t) = 1 exp(r + a)t+ k2 exp(rt)

Rappelons que (r + a) est lautre racine (simple) de lquation caractristique.Si r est une racine double de lquation caractristique, 2r + a est nul, et

y = 0 (k1, k2) K2, t R, y(t) = k1 + k2t (k1, k2) K2, t R, x(t) = exp(rt)y(t) = (k1 + k2t)exp(rt)

cqfd

2.2.3 Le cas complexe

Proposition 2.3. Soit = a2 4b le discriminant de lquation caractristique.Si = 0, lquation caractristique possde deux racines distinctesr1 etr2 et les deux fonctions

non proportionnelles t exp(r1t) ett exp(r2t) constituent une base de lespace desR-solutionsde (H).

= 0 :x est uneR-solution de (H) (k1, k2) C2, t R, x(t) = k1 exp(r1t) + k2 exp(r2t)

Si = 0, lquation caractristique possde une racine double r. Dans ce cas, t t exp rt estuneR-solution de (

H) et les deux fonctions non proportionnelles t

exp(rt) et t

t exp(rt)

constituent une base de lespace des solutions de (H).


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= 0 :x est uneR-solution de (H) (k1, k2) C2, t R, x(t) = (k1 + k2t) exp(rt)

2.2.4 Le cas rel

Proposition 2.4. Si > 0, lquation caractristique possde deux racines relles distinctes r1et r2 et les deux fonctions non proportionnelles t exp(r1t) et t exp(r2t) constituent une basede lespace desR-solutions de (H).

> 0 :x est uneR-solution de (H) (k1, k2) R2, t R, x(t) = k1 exp(r1t) + k2 exp(r2t)

Si < 0, lquation caractristique possde deux racines complexes conjugues r1 = + iet r2 = i avec = 0, et les deux fonctions non proportionnelles t exp(t)cos(t) ett exp(t)sin(t) constituent une base de lespace des solutions de (H).

< 0 :x est uneR-solution de (H)

(k1, k2) R2, t R, x(t) =

k1 cos(t) + k2 sin(t)

exp(t)

Si = 0, lquation caractristique possde une racine double relle r ; les deux fonctions nonproportionnelles t exp(rt) et t t exp(rt) constituent une base de lespace des R-solutionsde (H).

= 0 :x est uneR-solution de (H) (k1, k2) R2, t R, x(t) = (k1 + k2t) exp(rt)

2.3 Rsolution de lquation complte

2.3.1 Le principe

Thorme 2.5. Soit X uneI-solution de (E) ; alors, x est uneI-solution de (E) si, et seulementsi, x X est une I-solution de (H)Preuve. On a X + a X + b X = c(t) et

(x X) + a(x X) + b(x X) = x + ax + bx (X + aX + bX)= x + ax + bx c(t)= 0

x est une I-solution de (E)cqfd

Remarque. On obtient les I-solutions de (E) en ajoutant une I-solution (particulire) de (E) uneI-solution quelconque de (H).

2.3.2 Principe de superposition des solutions

Proposition 2.6. Soient c1 et c2 deux fonctions continues sur le mme intervalleI.Six1 est uneI-solution dex+ a x+ b x = c1(t) etx2 uneI-solution dex + a x+ b x = c2(t),

alors (x1 + x2) est une I-solution de x + a x + b x = c1(t) + c2(t)

Preuve.

(x1 + x2) + a(x1 + x2) + b(x1 + x2) = (x1 + a x

1 + b x1) + (x

2 + a x

2 + b x2)

= c1(t) + c2(t)

cqfd


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3 Le deuxime ordre coefficients non constants 15

2.3.3 Passage du complexe au rel

Proposition 2.7. Si X est une I-solution de x + a x + b x = c(t), alors X est une I-solutionde x + ax + bx = c(t).

Si les scalaires a et b sont rels et X une I-solution de x + a x + b x = c(t), alors e(X)(resp. m(X)) est uneI-solution de x + a x + b x = e c(t) (resp. x + a x + b x = m c(t)).Preuve. On a X

= X et X

= X. De mme e(X) = e(X), e(X) = e(X), m(X) =

m(X) et m(X) = m(X). cqfd

2.3.4 Recherche dune solution particulire dans le cas dun second membre de laforme P(t) exp(t), P K[X], K.

Proposition 2.8. Dans ce cas, les solutions de (E) sont dfinies surR.Si nest pas racine de lquation caractristique, on recherche une solution particulire de (E)

sous la formeX(t) = Q(t)exp(t) avec Q K[X] et deg Q = deg P

Si est racine simple de lquation caractristique, on recherche une solution particulire de(E) sous la forme

X(t) = Q(t) exp(t) avec Q K[X] et deg Q = deg P + 1

ou mieuxX(t) = t Q1(t)exp(t) avec Q1 K[X] et deg Q1 = deg P

Si est racine double de lquation caractristique, on recherche une solution particulire de(E) sous la forme

X(t) = Q(t) exp(t) avec Q K[X] et deg Q = deg P + 2

ou mieux sous la forme

X(t) = t2 Q2(t) exp(t) avec Q2 K[X] et deg Q2 = deg P

ou mieux encore, on pose x = z exp(t) et on recherche lquation diffrentielle vrifie par lafonction z (on trouve z = P(t)).

3 Le deuxime ordre coefficients non constants

3.1 Un peu de vocabulaireDfinition 3.1 (quation linaire du deuxime ordre coefficients non constants).

On appelle quation diffrentielle linaire du deuxime ordre coefficients non constants, unequation du type :

x + a(t) x + b(t) x = c(t) (E)o a, b et c sont des fonctions continues dun mme intervalle I valeurs dans K, o K dsignelun des corps R ou C.

Dfinition 3.2 (quation homogne).On appelle quation homogne associe (E), lquation

x + a(t) x + b(t) x = 0 (H)


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Remarque. Dans ces dfinitions, le coefficient de x vaut 1 : on dit alors que lquation est nor-malise ou encore rsolue en x.

Si ce nest pas le cas, on divise lquation par le coefficient de x. Par exemple, t2 x + x = 1

doit scrire x + t2

x = t2

et lintervalle I considr est lun des deux intervalles ], 0[ et]0, +[.Tous les thormes de cette section sont relatifs des quations normalises.

Dfinition 3.3 (J-solution).Si J est un sous-intervalle de I, une J-solution de (E) est une fonction x de classe C2 sur J

telle que :

t J, x(t) + a(t) x(t) + b(t) x(t) = c(t)

3.2 Le problme de Cauchy

Dfinition 3.4 (Conditions initiales).

Une condition initiale dune quation diffrentielle du deuxime ordre est un triplet (t0, x0, x0)de IK2, ce qui correspond linstant initial t0, la position initiale x0 et la vitesse initiale x0.

Dfinition 3.5 (Problme de Cauchy).La fonction x est solution du problme de Cauchy de condition initiale (t0, x0, x0) si x est une

I-solution de lquation diffrentielle (E) avec

x(t0) = x0 et x(t0) = x0

Thorme 3.1 (Cauchy-Lipschitz).Pour tout triplet (t0, x0, x0) I K2, il existe une unique I-solution de (E) (resp. (H)) au

problme de Cauchy de condition initiale (t0, x0, x0).

Thorme 3.2 (Structure des solutions de (E) et de (H)).Si x1 et x2 sont deux solutions de lquation avec second membre (E), x1 x2 est solution de

lquation homogne (H), i.e.() les solutions de(E) sont les sommes des solutions de (H) et dunesolution de (E).

LensembleSH des solutions de (H) est unK-espace vectoriel de dimension deux.

Preuve. On a les identits pour tout t I

x1(t) + a(t)x1(t) + b(t)x1(t) = c(t)

x2(t) + a(t)x2(t) + b(t)x2(t) = c(t)

Par diffrence, on obtient, en utilisant la linarit de la drivation,

0 =

x1(t) x2 (t)

+ a(t)

x1(t) x2(t)

+ b(t)

x1(t) x2(t)

= (x1 x2)(t) + a(t)(x1 x2)(t) + b(t)(x1 x2)(t)

Lapplication qui, une solution x de (H), fait correspondre le couple x(t0), x(t0) K2, estune application linaire. Le thorme de Cauchy-Lipschitz montre que cette application linaireest une bijection. Ainsi, SH et K2 sont isomorphes et ont donc mme dimension. cqfd

Remarque. Lensemble SE des solutions de lquation diffrentielle (E) est un sous-espace affinede C2(I,K) de dimension 2 et de direction le K-espace vectoriel SH des solutions de lquationdiffrentielle (H).


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3.3 Rsolution de (E) quand on connat une solution de (H) qui ne san-nule pas sur I

Soit h une solution de (H

) qui ne sannule pas sur I; on effectue le changement de fonctioninconnue :

y =x

h(t) x = h(t)y

Ainsi, par drivation,

x = h(t)y + h(t)y

x = h(t)y + 2h(t)y + h(t)y

En substituant x dans (E), on obtientc(t) = x + a(t)x + b(t)x

= h(t)y + 2h(t)y + h(t)y+ a(t)h

(t)y + h(t)y+ b(t)h(t)y= h(t)y +

2h(t) + a(t)h(t)

y +

h(t) + a(t)h(t) + b(t)h(t)

= h(t)y +

2h(t) + a(t)h(t)

y + 0

et x est solution de (E) si, et seulement si, y est solution de h(t)y + 2h(t) + a(t)h(t)y = c(t),i.e. solution dune quation diffrentielle linaire du premier ordre en la variable y, quation quelon sait rsoudre laide de deux quadratures.

x = h(t) y est solution de (E)

y = z

z +

2h(t)h(t)

+ a(t)

z =c(t)

h(t)

Remarque. Les deux intgrations successives donnent lexistence de deux constantes pour x, cequi montre que lensemble des solutions de (E) dpend de deux constantes.

3.4 Wronskien de deux applications

Dfinition 3.6 (Wronskien de deux applications).On appelle wronskien des applications h1 et h2 de classe C1 sur lintervalle I et valeurs dans

K, lapplication w(h1, h2) dfinie par

t I, w(h1, h2)(t) = det

h1(t) h2(t)h1(t) h

2(t)

= h1(t)h

2(t) h1(t)h2(t)

Remarques. Le wronskien w(h1, h2) est une application continue sur I.Deux applications proportionnelles ont un wronskien identiquement nul.

Proposition 3.3 (Wronskien de deux solutions de (H)).Soient h1 et h2 deux solutions de (H) ; ou bien le wronskien w(h1, h2) est identiquement nul

sur I et les fonctions h1 et h2 sont proportionnelles, ou bien le wronskien w(h1, h2) ne sannulepas sur I et (h1, h2) constituent une base de SH.Preuve. Puisque h1 et h2 sont de classe C2, w(h1, h2) est une fonction de classe C1 et, pardrivation

w(h1, h2) = (h1h2 h1h2) = (h1h2 + h2h2) (h2h2 + h1h2)

= h1h2 h1h2 = h1

a(t)h2 b(t)h2 a(t)h1 b(t)h1h2= a(t)

h1h

2 h1h2

= a(t)w(h1, h2)


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Ainsi w(h1, h2)(t) = w(h1, h2)(t0)expt

t0a(u) du et w(h1, h2) est soit identiquement nul, soit

ne sannule pas sur I.Si h1 et h2 ne sont pas proportionnelles, (h1, h2) constituent une base de SH (la dimension

est 2). Lisomorphisme h h(t0), h(t0) de SH sur K2 montre les couples h1(t0), h1(t0) eth2(t0), h2(t0) forment une base de K2, et w(h1, h2)(t0) est non nul. cqfdProposition 3.4 (Expression dune fonction laide dune base de SH).

Soient (h1, h2) une base de SH ; pour toute fonction numrique f de classeC2 sur I, il existeun unique couple (g1, g2) de fonctions numriques de classeC1 sur I, tel que

t I, f(t) = h1(t)g1(t) + h2(t)g2(t) et f(t) = h1(t)g1(t) + h2(t)g2(t)ou, ce qui est quivalent,

t I, f(t) = h1(t)g1(t) + h2(t)g2(t) et 0 = h1(t)g1(t) + h2(t)g2(t)

Preuve. Rappelons que la matrice a bc d est inversible si, et seulement si, ad bc = 0, et, dansce cas,

a cb d

1=

1

ad bc

d cb a

Il suffit de rsoudre le systme linaire, pour tout t I,f(t) = h1(t)g1(t) + h2(t)g2(t)

f(t) = h1(t)g1(t) + h2(t)g2(t)

que lon crit matriciellement

f(t)f(t) =

h1(t) h2(t)h1(t) h2(t)

g1(t)g2(t)

Puisque le wronskien w(h1, h2)(t) ne sannule pas sur I, il vientg1(t)g2(t)

=

h1(t) h2(t)h1(t) h

2(t)

1f(t)f(t)

=

1

w(h1, h2)(t)

h2(t) h2(t)

h1(t) h1(t)

f(t)f(t)

On constate que les fonctions g1 et g2 sont uniques et de classe C1 sur I.En drivant lidentit t I, f(t) = h1(t)g1(t) + h2(t)g2(t), on obtient :

f(t) = h1(t)g1(t) + h2(t)g2(t) + h1(t)g

1(t) + h2(t)g

2(t)

On a donc lquivalence, pour tout t I,

f(t) = h1(t)g1(t) + h2(t)g2(t) 0 = h1(t)g1(t) + h2(t)g2(t)cqfd

3.5 Rsolution de (E) quand on connat une base de SH ; mthode devariation des constantes

Soient (h1, h2) une base de SH. La proposition prcdente montre que lon peut rechercher lessolutions x de (E) sous la forme

x = h1(t)y1 + h2(t)y2

avec les conditions quivalentes :

x = h1(t)y1 + h2(t)y2 0 h1(t)y1 + h2(t)y2


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En drivant et en substituant dans lquation (E), on obtientx = h1(t)y1 + h

2(t)y2 + h

1(t)y

1 + h

2(t)y

2

c(t) = x + a(t)x + b(t)x=

h1(t)y1 + h2(t)y2 + h

1(t)y

1 + h

2(t)y

2

+ a(t)

h1(t)y1 + h

2(t)y2

+ b(t)

h1(t)y1 + h2(t)y2

=

h1(t) + a(t)h1(t) + b(t)h1(t)

y1 +

h2(t) + a(t)h

2(t) + b(t)h2(t)

y2

+

h1(t)y1 + h

2(t)y

2

= 0 + 0 + h1(t)y

1 + h

2(t)y

2

Les fonctions inconnues y1 et y2 sont solutions du systme linaire

t I, 0 = h1(t)y1 + h2(t)y2c(t) = h1(t)y

1 + h

2(t)y

2

ce qui donne, pour tout t I, 0

c(t)

=

h1(t) h2(t)h1(t) h2(t)

y1y2

y1y2

=

h1(t) h2(t)h1(t) h

2(t)

10

c(t)

=

1

w(h1, h2)(t)

h2(t) h2(t)

h1(t) h1(t)

0c(t)

do lexpression des fonctions y1 et y2 :

t I, y1(t) = c(t)h2(t)h1(t)h2(t) h1(t)h2(t) et y2(t) = c(t)h1(t)h1(t)h2(t) h1(t)h2(t)

Deux intgrations donnent y1 et y2, et donc x.

Remarque. Le problme de la rsolution de lquation diffrentielle linaire du deuxime ordre estdonc la dtermination dune solution, qui ne sannule pas, de lquation homogne associe, ou dela dtermination de deux solutions non proportionnelles de cette mme quation.

Il a t dmontr quil nexiste pas de mthode gnrale permettant la dtermination de tellessolutions, do lintrt de pouvoir donner des rsultats thoriques sur certain type dquations,et de pouvoir effectuer des calculs numriques rapides et soigns.


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Chapitre 2

Espace vectoriel norm

Sommaire1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1 Norme et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1 Produit scalaire rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Norme associe un produit scalaire rel . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Expression du produit scalaire en fonction de la norme . . . . . . . . . . 252.4 Ingalit de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Ingalit de Minkowski, ou ingalit triangulaire . . . . . . . . . . . . . 27

3 Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe . . . . . . . . . . . 27

3.1 Norme et distance associes un produit scalaire hermitien . . . . . . . 28

3.2 Expression du produit scalaire en fonction de la norme . . . . . . . . . . 293.3 Ingalit de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Ingalit de Minkowski, ou ingalit triangulaire . . . . . . . . . . . . . 30

4 Les normes fondamentales sur Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1 La norme N1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 La norme euclidienne ou norme N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 La norme N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Les normes fondamentales sur C([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1 La norme de la convergence en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 La norme de la convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . 325.3 La norme de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Les normes fondamentales sur Mn,p(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 Les suites dans un espace vectoriel norm . . . . . . . . . . . . . . . 327.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Rgles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.2.1 Limite dune combinaison linaire . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2.2 Suite borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2.3 Norme de la limite dune suite convergente . . . . . . . . . . . 34

8 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8.2.1 Les fonctions numriques de classe C1 sur un segment. . . . . . 348.2.2 La norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.2.3 Lintgrale dune fonction continue sur un segment . . . . . . . 35

8.3 Oprations algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


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22 Espace vectoriel norm

9 Comparaison des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

9.1 Comparaison de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.2 Normes quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

9.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.4 quivalence des normes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


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1 Un peu de vocabulaire 23

Dans ce chapitre, K dsigne le corps R ou le corps C, et E un K-espace vectoriel de dimensionfinie ou non.

1 Un peu de vocabulaire

1.1 Norme et distance

Dfinition 1.1 (Norme). On appelle norme sur le K-espace vectoriel E, toute applicationN: E [0, +[ vrifiant :

(i) x E, N(x) = 0 x = 0 axiome de sparation;(ii) (,x) K E, N(x) = ||N(x) axiome dhomognit;

(iii) (x,y) E2, N(x + y) N(x) +N(y) ingalit triangulaire.Proposition 1.1 (Ingalit de Minkowski). Pour tout (x,y) E2, on a :

N(x) N(y) N(x y)Preuve. En crivant x = (x y) + y, on obtient laide de lingalit triangulaire : N(x) N(x y) +N(y), soit N(x) N(y) N(x y). En changeant les rles de x et y, on obtient :N(y) N(x) N(y x) = N(x y), ce qui donne lingalit annonce. cqfdDfinition 1.2 (Distance associe une norme). Soit N une norme sur E; on appelledistance associe N lapplication d : E E [0, +[ dfinie par :

d(x,y) = N(y x)Les proprits suivantes sont des consquences immdiates de la dfinition :

(i) (x,y) E2, d(x,y) = 0 x = y axiome de sparation;(ii) (x,y) E2, d(x,y) = d(y,x) axiome de symtrie;

(iii) (x,y, z) E3, d(x, z) d(x,y) + d(y, z) ingalit triangulaire;(iv)

(a,x,y)

E3, d(x + a,y + a) = d(x,y) invariance par translation;

(v) (,x,y) K E2, d(x, y) = || d(x,y) homognit.

1.2 Boules

Dfinition 1.3 (Boules ouverte et ferme). Soit a E et r ]0, +[.Lensemble B(a, r) = {x E /N(x a) = d(a,x) < r} est appele boule ouverte de centrea

et de rayon r.Lensemble Bf(a, r) = {x E /N(x a) = d(a,x) r} est appele boule ferme de centrea

et de rayon r.

Rappelons la dfinition dun ensemble convexe :

Dfinition 1.4 (Ensemble convexe). Une partie A de E est dite convexe si, et seulement si,pour tous x et y de A, le segment dextrmits x et y est contenu dans A, i.e. :

(x,y) A, t [0, 1], (1 t)x + ty AProposition 1.2 (Convexit des boules). Les boules ouvertes et les boules fermes sont desensembles convexes.

Preuve. Soient (a, r) E ]0, +[ ; pour x et y dans B(a, r) et t [0, 1], on a :da, (1 t)x+ ty = N(1 t)x + t(y a) = N(1 t)(x a) + t(y a)

N(1 t)(x a)+Nt(y a)= (1 t)N(x a) + tN(y a) < (1 t)r + t r = r

Ceci montre que (1 t)x+ ty B(a, r) pour tout t [0, 1], ou encore que le segment dextrmitsx et y est contenu dans la boule ouverte B(a, r).

Le lecteur ou la lectrice est invit montrer la convexit de la boule ferme. cqfd


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2 Norme euclidienne

Dans cette section, E dsigne un R-espace vectoriel de dimension finie ou infinie.

2.1 Produit scalaire rel

Dfinition 2.1 (Produit scalaire). On appelle produit scalaire rel sur E, toute forme bilinairesymtrique et dfinie positive, i.e. toute application : E E R telle que

(i) x E, x : y (x,y) est linaire linarit droite;(ii) (x,y) E2, (x,y) = (y,x) symtrie;

(iii) x E, x = 0 = (x,x) > 0 dfinie positive.Dfinition 2.2 (Espace prhilbertien rel, espace euclidien). E muni du produit scalaire est appel un espace prhilbertien rel. Si E est un espace de dimension finie, (E, ) est un espaceeuclidien.

Le produit scalaire scalaire (x,y) de deux vecteurs est notx

|y

, ou encore x

y, ,

(x |y). . .Remarques.

La linarit droite et la symtrie impliquent la linarit gauche.Si lun des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.Le caractre dfini positif du produit scalaire peut stablir en montrant que

x E, x | x 0 et x | x = 0 = x = 0Si F est un sous-espace vectoriel de E, tout produit scalaire sur E induit un produit scalaire

sur F.

Exemples 2.1.

(i) Produit scalaire canonique sur Rn : il est dfini par

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), x | y =n

k=1

xkyk

(ii) Produit scalaire canonique sur Mn,1(R) : il est dfini par

(X, Y) Mn,1(R)2, X | Y = tXY = nk=1

xk yk

(iii) Produit scalaire canonique sur Mn,p(R) : il est dfini par

(A, B) Mn,p(R)

2

, A | B = tr(tAB) =i,j

ai,j bi,j

(iv) Produit scalaire sur le R-espace vectoriel des fonctions continues sur le segment [a, b] et valeurs relles :

(f, g) C([a, b],R)2, f | g = ba

f(t)g(t) dt

(v) Produit scalaire sur le R-espace vectoriel des fonctions continues sur R, 2-priodiques et valeurs relles :

(f, g) C2(R)2, f | g = 12

f(t)g(t) dt

(vi) Produit scalaire sur lespace R[X] des polynmes coefficients rels :

(P, Q)

R[X]2

,

P

|Q

=

1

1P(t)Q(t) dt


25/219

2 Norme euclidienne 25

2.2 Norme associe un produit scalaire rel

E dsigne un espace prhilbertien rel dont le produit scalaire est not | .

Dfinitions 2.3 (Norme et distance associes). La norme associe au produit scalaire | est dfinie par

x E, x = x | xLa distance associe au produit scalaire est dfinie par

(x,y) E2, d(x,y) = y x = y x | y xDans ce cas rel, la norme et la distance associe sont qualifies deuclidiennes.

Proposition 2.1. Lapplication x

x

= x | x est une application de E sur [0, +[ quivrifie :

(i) x E, x = 0 x = 0 axiome de sparation ;(ii) (,x) R E, x = || x axiome dhomognit.Preuve.

(i) 0 = x2 = x | x x = 0 ;(ii) x = x | x =2x | x = ||x | x

cqfd

Lingalit triangulaire sera dmontre la fin de cette section.

2.3 Expression du produit scalaire en fonction de la normeProposition 2.2. Voici trois relations pourx ety lments de E :

(i) x+ y2 = x2 + 2x | y + y2 ;(ii) x+ y2 + x y2 = 2x2 + 2y2 galit du paralllogramme ;

(iii) x | y = 12x + y2 x2 y2 = 14x + y2 x y2

Preuve.(i) Utilisons la linarit droite et gauche, et la symtrie du produit scalaire

x + y2 = x+ y | x + y = x | x + x | y + y | x + y | y= x2 + 2x | y + y2

(ii) En changeant y en y, on obtientx y2 = x2 2x | y + y2

Il suffit dadditionner les deux formules pour obtenir le rsultat annonc.cqfd

La deuxime galit sinterprte par le

Corollaire (galit du paralllogramme). La somme des carrs des longueurs des cts dunparalllogramme est gale la somme des carrs des longueurs des diagonales.

Remarque. Lgalit du paralllogramme caractrise les normes euclidiennes, i.e. les normes qui

sont associes un produit scalaire (rel).


26/219


2.4 Ingalit de Schwarz

Thorme 2.3 (Ingalit de Schwarz). Pour toutx ety de E, on a

|x | y| x yLgalit a lieu si, et seulement si, la famille (x,y) est lie.

Preuve. Si x = 0, x est le vecteur nul, lingalit, qui devient une galit dans ce cas, estvrifie, et la famille (x = 0,y) est une famille lie.

Si x = 0, on pose pour RT() = x + y2 = 2x2 + 2x | y + y2

T() est un trinme du second degr, que lon crit sous forme canonique

0 T() = x2

+x | yx2

2+

x2y2 x | y2x2 (2.1)

En donnant la valeur particulire 0 = x

|y

x2 , on obtient lingalit annonce.Dans le cas de lgalit, on a

0 T() = x2

+x | yx2

2(2.2)

Donnant la valeur particulire 0 = x|yx2 , on obtient 0 = T(0) = 0x+y2, soit 0x+y = 0et la famille (x,y) est une famille lie.

Rciproquement, si la famille (x,y) est une famille lie, par exemple y = x, alors

|x | y| = |x | x| = || x | x = || x2 = x x = x ycqfd

Exemples 2.2. Voici quelques exemples dapplication de lingalit de Schwarz :

(i) cas de Rn :

|x | y| = n

k=1

xkyk

x y = nk=1

x2k

12 n

k=1

y2k

12

=

nk=1

x2k

nk=1

y2k

(ii) cas de Mn,1(R) :|X | Y| = |tXY| tXX12 tY Y 12 = tXXtY Y

(iii) cas de Mn,p(R) :

|A | B| = |tr(tAB)| =i,j

ai,j bi,j

tr(tAA)

12

tr(tBB)

12 =

i,j

a2i,j

12

i,j

b2i,j

12

(iv) cas de C([a, b],R) :

|f | g| =b

a

f(t)g(t) dt b

a

f(t)2

dt 1

2b

a

g(t)2

dt 1

2

Lingalit de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls x et y de E, le quotient x|yx yest un rel de [1, 1] ; il existe un unique compris entre 0 et tel que cos soit gal ce quotient,ce qui donne la

Dfinition 2.4 (cart angulaire entre deux vecteurs rels).Si x et y sont deux vecteurs non nuls dun espace prhilbertien rel, il existe un unique [0, ]tel que

x | y = x y cos est appel langle (non orient) entrex ety ; cet angle est dfini prs.


27/219

3 Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe 27

2.5 Ingalit de Minkowski, ou ingalit triangulaire

Proposition 2.4 (Ingalit de Minkowski). Pour toutx ety de E,

x+ y x + yPreuve. Dveloppons x+ y2 et utilisons lingalit de Schwarz :

x+ y2 = x2 + 2x | y + y2 x2 + 2x y + y2 = x + y2cqfd

Corollaire. Lapplication x x = x | x est une norme sur E.3 Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe

Dans cette section, E dsigne un C-espace vectoriel de dimension finie ou infinie.Remarque. Sur R, lgalit x21 + x

22 = 0 est quivalente x1 = 0 et x2 = 0. Sur C, la situation est

diffrente ; on a :

0 = z21 + z22 = (z1 + iz2)(z1 iz2) z1 + iz2 = 0 ou z1 iz2 = 0

tandis que0 = |z1|2 + |z2|2 = z1z1 + z2z2 z1 = 0 et z2 = 0

Dfinition 3.1 (Produit scalaire hermitien). On appelle produit scalaire complexe ou produitscalaire hermitien sur E, toute forme sesquilinaire symtrie hermitienne et dfinie positive, i.e.toute application : E E C telle que

(i)

x

E, x : y

(x,y) est linaire linarit droite;

(ii) (x,y) E2, (y,x) = (x,y) symtrie hermitienne;(iii) x E, x = 0 = (x,x) > 0 dfinie positive.Dfinition 3.2 (Espace prhilbertien complexe, espace hermitien).

E muni du produit scalaire est appel espace prhilbertien complexe. Si E est un espace dedimension finie, (E, ) est un espace hermitien.

Le produit scalaire (x,y) de deux vecteurs est not x | y, ou encore x y, , (x |y). . .Remarques.

La linarit droite et la symtrie hermitienne impliquent la semi-linarit gauche, i.e. pourtous nombres complexes 1 et 2, pour tous vecteurs x1, x2 et y de E,

1x1 + 2x2

|y

=y

|1x1 + 2x2

symtrie hermitienne

= 1y | x1 + 2y | x2 linarit droite= 1x1 | y + 2x2 | y symtrie hermitienne

Si lun des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.Le caractre dfini positif du produit scalaire peut stablir en montrant que

x E, x | x 0 et x | x = 0 = x = 0

Si F est un sous-espace vectoriel de E, tout produit scalaire sur E induit un produit scalairesur F.

Exemples 3.1. Reprenons les mmes exemples que dans le cas rel, arrangs la sauce complexe

par lutilisation de la conjugaison de la premire variable.


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(i) Produit scalaire canonique sur Cn : il est dfini par

x = (x1, . . . , xn),

y = (y1, . . . , yn),

x

|y

=

n

k=1

xkyk

(ii) Produit scalaire canonique sur Mn,1(C) : il est dfini par

(X, Y) Mn,1(C)2, X | Y = tXY = nk=1

xkyk

(iii) Produit scalaire canonique sur Mn,p(C) : il est dfini par

(A, B) Mn,p(C)2, A | B = tr(tAB) = i,j

ai,j bi,j

(iv) Produit scalaire sur lespace des fonctions continues sur le segment [a, b] et valeurs com-

plexes :

(f, g) C([a, b],C)2, f | g = ba

f(t)g(t) dt

(v) Produit scalaire sur lespace des fonctions continues, 2-priodiques sur R et valeurs com-plexes :

(f, g) C22, f | g = 12

f(t)g(t) dt

(vi) Produit scalaire sur lespace C[X] des polynmes coefficients complexes :

(P, Q) C[X]

2

, P | Q =11

P(t)Q(t) dt

3.1 Norme et distance associes un produit scalaire hermitien

E dsigne un espace prhilbertien complexe dont le produit scalaire est not | .Dfinitions 3.3 (Norme et distance associes). Les dfinitions sont identiques au cas rel.La norme associe au produit scalaire | est dfinie par

x E, x = x | xLa distance associe au produit scalaire est dfinie par

(x,y) E2, d(x,y) = y x = y x | y xDans ce cas complexe, on donne le qualificatif dhermitienne la norme et la distance associes

au produit scalaire.

Proposition 3.1. x x = x | x est une application de E sur [0, +[ qui vrifie(i) x E, x = 0 x = 0 sparation ;

(ii) (,x) C E, x = || x homognit.Preuve.

(i) 0 = x2 = x | x x = 0 ;(ii) x = x | x =||2x | x = ||x | x

cqfd

Lingalit triangulaire sera dmontre la fin de cette section.


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3 Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe 29

3.2 Expression du produit scalaire en fonction de la norme

Proposition 3.2. Voici des relations pourx ety lments de E :(i)

x+ y

2 =

x2 + 2

ex

|y

+y2 ;

(ii) x+ y2 + x y2 = 2x2 + 2y2 galit du paralllogramme ;(iii) ex | y = 12

x+ y2 x2 y2 = 14x + y2 x y2mx | y = 1

2

x iy2 x2 y2 = 14

x iy2 x+ iy2et x | y = 14

x+ y2 x y2+ i4x iy2 x + iy2Preuve.

(i) Utilisons la linarit droite, la semi-linarit gauche et la symtrie hermitienne du produitscalaire

x + y2 = x+ y | x + y = x | x + x | y + y | x + y | y= x2 + x | y + x | y + y2=

x

2 + 2

e

x

|y

+

y

2

(ii) En changeant y en y, on obtientx y2 = x2 2 ex | y + y2

Il suffit dadditionner les deux formules pour obtenir le rsultat annonc.

(iii) Changeons y en iy ; on obtient, en utilisant e(iz) = m z,x iy2 = x2 + 2 e(ix | y) + y2

= x2 + 2 mx | y + y2

cqfd

La deuxime galit sinterprte toujours par le

Corollaire (galit du paralllogramme). La somme des carrs des longueurs des cts dunparalllogramme est gale au double de la somme des carrs des longueurs des diagonales.

Remarque. Lgalit du paralllogramme caractrise les normes hermitiennes, i.e. les normes as-socies un produit scalaire complexe (ou hermitien).

3.3 Ingalit de Schwarz

Thorme 3.3 (Ingalit de Schwarz). Pour toutx ety de E, on a

|x | y| x y

Lgalit a lieu si, et seulement si, la famille (x,y) est lie.

Preuve. Si x = 0... voir le cas rel.Si x = 0, on pose pour C

0 T() = x+ y2 = x + y | x + y= x2 + x | y + x | y + y2

= x2

+x | yx2

+

x | yx2

+ y2 x | yx | yx2

= x2 + x | yx2

2 + x2y2 |x | y|2x2T() est un trinme du second degr en la variable complexe , que lon a crit sous sa forme

canonique. En donnant la valeur particulire 0 =

x|y

x

2 , on obtient lingalit annonce.

Le reste de la dmonstration se traite comme dans le cas rel. cqfd


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Exemples 3.2. Toujours les mmes exemples dapplication de lingalit de Schwarz ; il suffitdajouter une pince de condiment conjugaison sur la premire variable et le plat est prt.

(i) cas de Cn :

|x | y| = n

k=1

xkyk

x y = nk=1

|xk|2 1

2 nk=1

|yk|2 12 =

nk=1

|xk|2 n

k=1

|yk|2

(ii) cas de Mn,1(C) :

|X | Y| = |tXY| tXX12 tY Y 12 =tXXtY Y(iii) cas de Mn,p(C) :

|A | B| = |tr(tAB)| =i,j

ai,jbi,j

tr(tAA)

12

tr(tBB)

12 =

i,j|ai,j |2

12

i,j|bi,j |2

12

(iv) cas de C([a, b],C) :

|f | g| =b

a

f(t)g(t) dt b

a

|f(t)|2 dt 1

2b

a

|g(t)|2 dt 1

2

Lingalit de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls x et y de E, le quotient x|yx yest un nombre complexe de module infrieur ou gal 1 ; on ne peut plus parler dcart angulaireentre deux vecteurs dun espace vectoriel complexe.

3.4 Ingalit de Minkowski, ou ingalit triangulaire

Proposition 3.4. Pour toutx ety de E,

x+ y x + yPreuve. Dmonstration identique au cas rel :

x+ y2 = x2 + 2 ex | y + y2 x2 + 2x y + y2 = x + y2cqfd

Corollaire. x x = x | x est une norme sur E.4 Les normes fondamentales sur Kn

4.1 La norme N1Dfinition 4.1. Pour x = (x1, . . . , xn) Kn, on pose :

N1(x) =n

j=1

|xj |

Proposition 4.1. Lapplication N1 est une norme surKn.Preuve.Sparation : N1(x) = 0

j |xj | = 0 j [[1, n]], |xj | = 0 x = 0

Homognit : N1(x) =

j|xj | = ||

j |xj | = ||N1(x)Ingalit triangulaire : N1(x+ y) =

nj=1|xj + yj |

nj=1|xj | + |yj | =

nj=1|xj | +

nj=1|yj| =

N1(x) +N1(y) cqfd


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5 Les normes fondamentales sur C([a, b]) 31

4.2 La norme euclidienne ou norme N2

Dfinition 4.2 (Norme euclidienne). Pour x = (x1, . . . , xn) Kn, on pose :

N2(x) = n

j=1

|xj |2 = n

j=1

|xj |21/2

Remarque. La norme euclidienne N2 est la norme associe au produit scalaire canonique sur Kn :

x | y =

nj=1

xj yj dans le cas rel,

nj=1

xj yj dans le cas complexe.

4.3 La norme N

Dfinition 4.3. Pour x = (x1, . . . , xn) Kn, on pose :

N(x) = sup|xj | j [[1, n]] = max{|xj | / j [[1, n]]}

Proposition 4.2. Lapplication N est une norme surKn.

Preuve.Sparation : N(x) = 0 supj[[1,n]]|xj | = 0 j [[1, n]], |xj | = 0 x = 0Homognit : N(x) = supj[[1,n]]|xj | = || supj[[1,n]]|xj | = ||N(x)Ingalit triangulaire : des ingalits |xk + yk| |xk| + |yk| supj |xj | + supj|yj| vraies pour toutk [[1, n]], on tire que supj |xj | + supj|yj | est un majorant de |xk + yk| k [[1, n]] ; ainsi :

N(x+ y) = supj[[1,n]]

|xj + yj | supj[[1,n]]

|xj | + supj[[1,n]]

|yj | = N(x) +N(y)

cqfd

5 Les normes fondamentales sur C([a, b])

5.1 La norme de la convergence en moyenne

Dfinition 5.1. Pour f C([a, b]), on pose :

N1(f) =b

a

|f| =b

a

f(t) dtProposition 5.1. Lapplication N1 est une norme sur C([a, b]) ; elle est appele la norme de laconvergence en moyenne sur [a, b].

Preuve. Puisque |f| est une application positive et continue sur le segment [a, b], son intgraleexiste et est positive, ce qui montre que N1 est une application de C([a, b]) valeurs dans [0, +[.Sparation : N1(f) =

ba|f| = 0 t [a, b], f(t) = 0 f = 0, car |f| est une fonction

positive, continue, dintgrale nulle sur le segment [a, b].Homognit : N1(f) =

b

a|f| = ||

b

a|f| = N1(f)

Ingalit triangulaire :N1(f+g) = ba |f+ g| ba |f|+ |g| = ba |f|+ba |g| = N1(f)+N1(g) cqfd


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5.2 La norme de la convergence en moyenne quadratique


N2(f) =b

a

|f|2 =b

a

f(t) dtProposition 5.2. Lapplication N2 est une norme sur C([a, b]) ; elle est appele la norme de laconvergence en moyenne quadratique sur [a, b]. N2 est la norme euclidienne associe au produitscalaire canonique surC([a, b]) :

f | g =b

af g dans le cas relb

af g dans le cas complexe

5.3 La norme de la convergence uniforme


N(f) = supf(t) t [a, b] = maxf(t) t [a, b]

Proposition 5.3. Lapplication N est une norme sur C([a, b]) ; elle est appele la norme de laconvergence uniforme sur [a, b].

Preuve. Lapplication |f| est une application continue sur le segment [a, b] ; elle est donc borneet atteint ses bornes, ce qui montre que N est une application de C([a, b]) valeurs dans [0, +[.Sparation : N(f) = sup

f(t) t [a, b] = 0 t [a, b], f(t) = 0 f = 0Homognit : N(f) = supt[a,b]

f(t)

= || supt[a,b]f(t)

= ||N(f)Ingalit triangulaire : de lingalit

t

[a, b], f(t) + g(t) f(t) + g(t) supf(t) t [a, b]+supg(t) t [a, b], on tire : f+ g = supf(t) + g(t) t [a, b] supf(t) t

[a, b]

+ supg(t) t [a, b] = f + g cqfd

6 Les normes fondamentales sur Mn,p(K)

Dfinition 6.1. Pour A = (aij ) Mn,p(K), on pose :

N1(A) =n

i=1

pj=1

|aij |

N2(A) =

n

i=1

p

j=1|

aij|2

N(A) = sup{|aij| / i [[1, n]], j [[1, p]]}

N1,N2 etN sont des normes sur Mn,p(K). Le lecteur est invit dmontrer ces affirmations.De plus N2 est la norme euclidienne associe au produit scalaire

A | B =

tr(tA B) dans le cas rel

tr(tA B) dans le cas complexe

7 Les suites dans un espace vectoriel norm

Dans cette section, E est un K-espace vectoriel norm muni de sa norme .


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7 Les suites dans un espace vectoriel norm 33

7.1 Suites convergentes

Dfinition 7.1 (Suite convergente, suite divergente).On dit que la suite (un)n

EN valeurs dans E converge si, et seulement si, il existe un

vecteur a E tel que la suite relle un an converge vers 0, i.e. : > 0, N N, n N, n N = un a

On dit alors que la suite (un)n converge vers a, ou que a est la limite de la suite (un)n.Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Remarque. On a donc, comme toujours :

un n

a un a n

0 un a n

0

Thorme 7.1 (Unicit de la limite). La limite dune suite convergente (un)n est unique; elleest note lim

n

+un ou lim

nun ou lim(un)n.

Preuve. Soient a1et a2 deux limites de la suite convergente (un)n ; alors :

0 a1 a2 = a1 un + un a2 a1 un + un a2et puisque les suites

una1n et una2n convergent vers 0, la suite constante a1a2ntend vers 0 par encadrement ; ainsi a1 a2 = 0 et donc a1 = a2. cqfd

7.2 Rgles de calcul

7.2.1 Limite dune combinaison linaire

Proposition 7.2 (K-espace vectoriel des suites convergentes).Lensemble des suites convergentes valeurs dans E est unK-espace vectoriel et lapplication

qui toute suite convergente (un)n associe sa limite limn un est une application linaire.En dautres termes, si (un)n converge vers a et (vn)n versb, alors pour tout (, ) K2 la

suite (un + vn)n converge vers a + b.

Preuve. De 0 (un +vn)(a+b) = (una)+ (vnb) || una+|| vnb,on tire, par encadrement, que (un + vn) (a + b) tend vers 0.

Puisque la suite nulle converge vers 0, les suites convergentes constituent un sous-espace vec-toriel sur K des suites quelconques sur E. cqfd

7.2.2 Suite borne

Dfinition 7.2 (Suite borne).La suite (un)n est borne si, et seulement si, il existe un nombre positifM, indpendant de n telque pour tout n N on ait un M.Proposition 7.3 (Suite borne et suite de limite nulle).Soient (un)n une suite de E et (n)n une suite deK.

(i) Si (un)n est borne et limn n = 0, alors limn nun = 0.(ii) Si (un)n tend vers0 et (n)n est borne, alors limn nun = 0.

Preuve.(i) Puisque la suite (un)n est borne, il existe un nombre positifM, indpendant de n, tel que pour

tout n N on ait un M. Ainsin N, 0 nun = |n| un |n|M

et par encadrement limnnun = 0.


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(ii) La suite (n)n est borne si, et seulement si, il existe un nombre positif , indpendant de n telque pour tout n N on ait |n| . Ainsi

n

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