351-360_Revisi Neva Satyahadewi +4+64+97+

351

PENGGUNAAN MODEL BLACK-SCHOLES UNTUK MENENTUKAN HARGA

OPSI BELI TIPE EROPA

Neva Satyahadewi dan Herman

Matematika FMIPA Universitas Tanjungpura Pontianak

ABSTRAK. Model Black-Scholes merupakan salah satu model penentuan

harga opsi yang dikembangkan oleh Fisher Black dan Meyron Scholes

pada tahun 1973. Model ini mengasumsikan bahwa variansi harga saham

bersifat konstan, proses acak dalam memperoleh harga saham, saham

tidak membayar dividen, tidak ada biaya transaksi, dan suku bunga bebas

resiko. Harga opsi sangat dipengaruhi oleh harga saham, harga

kesepakatan, volatilitas, suku bunga, dan waktu. Hasil penelitian pada

Ford Motor Company menunjukkan nilai MSE sebesar 0,223903 dan

disarankan untuk membeli opsi pada harga kesepakatan 5, 6, dan 8 agar

memperoleh keuntungan karena harga opsinya merupakan opsi murah.

Nilai perhitungan inilah yang diharapkan dapat dijadikan acuan bagi para

investor untuk membeli kontrak opsi tersebut atau tidak.

Kata Kunci: Opsi, risk free rate, Black-Scholes

1. PENDAHULUAN

Pada tahun 1973, Black dan Scholes sebagai orang yang menemukan model Black-

Scholes, dalam penelitiannya mengevaluasi rumus untuk perhitungan opsi yang telah

dilakukan beberapa peneliti terdahulu. Sebagai contoh Sprenkle (1961) merumuskan

formula untuk perhitungan opsi

*1 2c kxN b k cN b dengan

2.

)*(

*2/1/ln 2

1ttv

ttvckxb

dan

3.

22

ln / 1/ 2 *

( * )

kx c v t tb

v t t

Dalam formula tersebut, x adalah harga saham, c adalah harga kesepakatan,

t* adalah waktu jatuh tempo, t adalah waktu pada saat pembelian, v2 adalah variansi dari

return saham, ln adalah logaritma natural dan N(b) adalah fungsi densitas kumulatif

distribusi Normal. Dituliskan dalam penelitiannya juga bahwa k dan k* merupakan

parameter yang tidak diketahui, tetapi Sprenkle mencoba mendefinisikan k sebagai rasio

dari ekspetasi nilai harga saham pada waktu warrant jatuh tempo terhadap harga saham,

sedangkan k* sebagai faktor diskon yang tergantung pada resiko saham tersebut.

Kemudian dilanjutkan Samuelson pada tahun 1965 mengasumsikan nilai aset mengikuti

gerak Brownian geometrik yaitu dengan rata-rata positif. Terakhir Thorp dan Kassouf

pada tahun 1967 yang menjadikan satu dari sekian konsep yang diusung penelitian Black

dan Scholes. Dalam penelitiannya mereka mendapatkan rumus untuk warrant dengan

Penggunaan Model Black-Scholes untuk........

Seminar Nasional Matematika 2012 352 Prosiding

mencocokkan kurva pada harga warrant yang aktual, kemudian menghitung rasio dari

pembagian opsi saham yang diperlukan untuk membuat posisi dengan tingkat kerugian

nol. Kegagalan yang dialami adalah dengan tidak adanya keseimbangan di pasar,

ekspetasi dari return pada posisi dengan tingkat kerugian pada return dari aset yang

memiliki resiko. Melihat kekurangan dari model sebelumnya akhirnya ditemukan kondisi

ideal menurut Black dan Scholes.

Lee et al. [6] menerapkan teori keputusan Fuzzy sebagai dasar dalam penentuan harga

opsi model Black-Scholes. Dalam makalah ini pembahasan difokuskan pada penentuan

harga opsi beli tipe Eropa dengan menggunakan model Black-Scholes dimana aset dasar

yang melandasi opsi tersebut adalah saham.

1.1 Distribusi Lognormal. Jika X = ln Y merupakan distribusi Normal, X ~ N ( , 2), dan Y mempunyai interval 0 < Y < , maka dapat dikatakan bahwa Y mempunyai distribusi Lognormal, Y ~ LOGN ( , 2). Misalkan Y = ex, maka Y dikatakan berdistribusi Lognormal, karena logaritma naturalnya, yaitu X = ln Y mempunyai

distribusi Normal (Bain dan Engerhardt, [1]).

Definisi 1.1. (Bain dan Engerhardt, [1]). Sebuah distribusi yang terkait dengan distribusi

Normal, tetapi hanya untuk variabel random yang diasumsikan bernilai positif 21 ln( )

21

( : , )2

x

f x ex

untuk - < 0 .

Distribusi Lognormal mempunyai mean 2

2tt

e

dan variansi 2 22( )( 1).t t te e

1.2 Return dan Dividen. Tingkat pengembalian (return) yang diharapkan adalah laba

yang akan diterima oleh pemodal atas investasinya dalam waktu yang akan datang dan

tingkat keuntungan ini sangat dipengaruhi oleh prospek perusahaan, selain itu dengan

memperhitungkan return investor juga perlu mempertimbangkan resiko suatu investasi

(Husnan, [5]).

Return dibedakan menjadi simple return satu periode, simple return multiperiode

dan log return. Simple return untuk satu periode dinotasikan dengan rumus

1

1 ,ttt

PR

P

Sedangkan untuk simple return untuk multiperiode dinotasikan dengan rumus

1 1

1 2

1 ( ) ...t t t t ktt k t t t k

P P P PR k

P P P P

selanjutnya log return atau logaritma natural dari return yang disingkat ln return

merupakan logaritma dari simple return (Tsay, 2010), dinotasikan sebagai

1

1

ln(1 ) ln tt t t tt

Pr R P P

P

ln return inilah yang selanjutnya digunakan untuk menghitung nilai volatilitas pada

penelitian ini.

Jika sebuah saham membayarkan dividen maka pemegang saham berhak untuk

mendapatkan keuntungan dari perusahaan. Dividen adalah keuntungan perusahaan yang

dibagikan kepada pemegang saham, keuntungan tidak dibagikan seluruhnya oleh

perusahaan kepada pemegang saham tetapi ada yang ditanam kembali. Dividen yang

diterima oleh pemegang saham ditentukan dalam Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS)

perusahaan tersebut. Selain memperoleh keuntungan dari selisih harga saham, sebuah



saham yang membayarkan dividen juga memberikan keuntungan bagi investor melalui

hasil pembagian dividen tersebut.

1.3 Opsi. Opsi (option) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak dimana satu pihak

memberi hak kepada pihak lain untuk membeli atau menjual aset tertentu pada harga dan

periode tertentu. Berdasarkan periode waktu penggunaannya, opsi dapat dikelompokkan

menjadi dua yaitu opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi

yang dapat dilaksanakan pada saat jatuh tempo saja, sedangkan opsi tipe Amerika adalah

opsi yang dapat dilaksanakan pada saat jatuh tempo atau sebelumnya (Hull, [4]). Opsi

adalah salah satu bentuk investasi, yang nilainya sangat bergantung aset yang mendasari

opsi tersebut, misalkan saham, indeks, dan komoditas. Untuk mendapatkan hak dari

sebuah opsi, baik opsi beli maupun opsi jual (melaksanakan atau tidak melaksanakan

opsi) kita perlu membayar dengan harga kontrak opsi yang disebut sebagai premi

(premium).

Berdasarkan dari pengertian opsi (opsi beli maupun opsi jual), harga opsi

merupakan pengurangan antara harga saham dengan harga kesepakatan untuk opsi beli

dan berlaku sebaliknya untuk opsi jual yaitu pengurangan antara harga kesepakatan

dengan harga saham. Opsi beli dan opsi jual dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan

matematis berikut ini

( ,0)TC maks S K

dan

( ,0)TP maks K S

dengan

C : Opsi beli ($)

P : Opsi jual ($)

ST : Harga saham pada saat T (jatuh tempo) ($)

K : Harga kesepakatan ($) (Dickson et al., 2009).

dari persamaan di atas, sebuah opsi beli akan mempunyai nilai apabila 0TS K

(in the money) dan jika 0TS K opsi beli akan mempunyai nilai nol (out of the

money). Sedangkan untuk kasus opsi jual, sebuah opsi akan mempunyai nilai apabila

0 tSK dan apabila 0 tSK sebuah opsi akan bernilai nol.

Definisi 1.2. (Norstad, [7]). Suatu universe adalah risk neutral jika untuk setiap aset A

dan setiap periode waktu t, nilai dari aset V(A,0) pada waktu t = 0 merupakan nilai

ekspetasi dari aset pada waktu tak kontinu t yang didiskontokan terhadap present value-

nya dengan menggunakan risk free rate

( ,0) ( ( , ))rTV A e E V A t

dengan r adalah continuously compounded risk free rate dan V(A,t) adalah variabel yang

memberikan nilai aset pada waktu t.

Sehingga rumus opsi beli tipe eropa dapat ditulis menjadi

( ( ,0))rT TC e E maks S K

Faktor-faktor yang mempengaruhi harga opsi adalah harga saham, harga kesepakatan,

tingkat bunga, jangka waktu akan jatuh tempo, dan volatilitas harga saham.

1.4 Model Black-Scholes. Model Black-Scholes adalah model yang dikembangkan oleh

Fisher Black dan Meyron Scholes pada tahun 1973. Model Black-Scholes menggunakan

beberapa asumsi, yaitu opsi yang digunakan adalah opsi tipe Eropa, variansi harga saham



bersifat konstan selama usia opsi dan diketahui secara pasti, proses acak dalam

memperoleh harga saham, suku bunga bebas resiko, saham yang digunakan tidak

memberikan dividen dan tidak terdapat pajak dan biaya transaksi (Hull, [4]).

Rumus matematis model Black-Scholes untuk perhitungan harga opsi beli tipe

Eropa pada saham yang tidak membayarkan dividen (Hull, [4]) adalah sebagai berikut

BSC = 0 1 2rTS N d Ke N d

dengan

201

ln / / 2,

S K T rd

T

202 1

ln / / 2,

S K T rd d T

T

dan

21

21

( ) ,2

xy

N x e dy

C : Harga Opsi Beli,

0S : Harga saham saat ini,

K : Harga kesepakatan (Strike Price),

r : Tingkat bunga bebas resiko,

T : Jangka waktu berlakunya opsi,

xN : Fungsi kumulatif distribusi Normal Standar, : Volatilitas data,

Tingkat suku bunga tersebut adalah tingkat suku bunga yang ditetapkan bank sentral

Amerika dan merupakan ln return saham dalam satu tahun yakni 252 hari yang diasumsikan sebagai jumlah hari perdagangan dalam setahun (Hull, [4]).

Selanjutnya akan dijabarkan rumus matematis dari model Black-Scholes. Fungsi

densitas dari ST yang berdistribusi lognormal dapat ditulis sebagai berikut

0,0

0,2

1

)(

2ln

2

1

T

T

S

TT

S

SeSSg

T

Menurut Dickson et al. (2009) harga opsi dapat dituliskan dalam bentuk

( ( ,0))rT TC e E maks S K

dengan ST adalah harga saham pada waktu T dan E menunjukkan nilai harapan. Di bawah

proses stokastik diasumsikan oleh Black dan Scholes bahwa ST berdistribusi lognormal.

Diasumsikan harga saham mengikuti proses random Brownian geometrik 2

2

0

Tr T W

TS S e

, sehingga diperoleh 20

1ln ln ( )

2T TS S r T W dengan

(0, ).TW N T Rata-rata dan variansi dari ln ST masing-masing adalah

T

TrSSE T

22

1

2

01 )2

1(ln)(ln



Jadi standar deviasi dari ln ST adalah .T

Selanjutnya ekspetasi fungsi keuntungan opsi dapat dijabarkan dalam bentuk

( ) ( )

( ) ( )

rT

T T T

K

rT

T T T T T

K K

C e S K g S dS

e S g S dS K g S dS

(1.1)

Kemudian dicari penyelesaian untuk persamaan (1.1) sebagai berikut2

1

1

2

1

1

ln1

2

1

ln1

2

1

1( )

2

1

2

T

T

S

T T T T T

K K T

S

T

K

S g S dS S e dSS

e dS

Selanjutnya dengan memisalkan TzSz

T dSdzeeeSzT lnln diperoleh

2

1

1

2121

2 21 1

21

2 21 1

21

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1

21

1

2

ln 1

( )

2

ln 1

2 ( )

2

ln 1

2 ( )1

2

ln 1

2 ( ) ( ) ( )1

2

1

1( )

2

1

2

1

2

1

2

1

2

z

z

T T T

K K

zz

K

z z

K

z z

K

z z

S g S dS e e dz

e dz

e dz

e dz

e

2 2 2 2 4 21 1 1 1 1 1 1

21

4 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1

2 21 1

4 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1

2 21 1

ln

2 ( ) ( ) 21

2

ln 1

2 2 ( ) ( )1

2

1ln

2 2 ( ) ( )1

22

1ln

1

2

1 1

2

1 1

2

K

z z

K

z z

K

z z

K

dz

e dz

e dz

e dz

22

1 12

1 11

( )1122

1ln

1 1.

2

z

K

e e dz

Kemudian dengan permisalan

2

1 1

1

( )zq

, dqdz 1 diperoleh



221 1

21 1

1

21 1

1 221 1

1 1

2 21

1ln ( )

ln ( )

1 1

2 2

1 1

2

1

2

q

K

K

q

e e dz

e e dz

21 1

2 20

1 2

1 12

1

2 21 1 0ln ( )2 2

20

0

ln ( )

1ln (ln ( ) )

2

1ln

2

S r T T

rT

Ke N

K S r T T

e NT

Sr T

KS e N

T

Langkah berikutnya adalah perhitungan untuk integral ( )T TK

K g S dS

2

1

1

ln1

2

1

1( )

2

TS

T T T

K K T

K g S dS K e dSS

dengan permisalan 11 1

1

ln 1TT T T

T

Sz dz dS S dz dS

S

diperoleh

2

1

1

1

1 2

1

21

ln 1

ln

1

2

1( )

2

1

2

z

T T T T

KK T

K

z

K g S dS K e S dSS

K e dz

1

1

2

0

ln

1ln ln

2.

KKN

K S r T

KNT



Berdasarkan perhitungan integral di atas didapatkan hasil akhir berikut ini

T

TrSK

KNT

TrK

S

NeSeC rTrT

20

20

0

2

1lnln

2

1ln

dengan

20

1

1ln

2

Sr T

Kd

T

;

20

2 1

1ln

2

Sr T

Kd d T

T

Persamaan di atas menunjukkan nilai opsi beli dengan harga awal saham S0, waktu jatuh

tempo T, harga kesepakatan K, suku bunga r, dan volatilitas . Hal ini menunjukkan bahwa, nilai opsi beli tipe Eropa untuk model Black-Scholes merupakan selisih perkalian

dari nilai saham awal yang dirumuskan sebagai S0 dan suatu fungsi distribusi kumulatif

Normal Standar pada titik d1 dengan perkalian harga kesepakatan dan ekponensial negatif

rT dan fungsi distribusi kumulatif Normal Standar pada titik d2.

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

Studi kasus dilakukan dengan pengumpulan dan pengolahan data sekunder

berupa data runtun waktu dari harga saham penutupan, harga kesepakatan (strike price),

harga saham ketika opsi dibeli, harga saham di pasar dan tanggal jatuh tempo opsi dari

perusahaan (Ford Motor Company) yang diakses langsung dari

http://www.finance.yahoo.com. Pada penelitian ini dilakukan investigasi harga saham dari

Ford Motor Company dengan menentukan harga opsi saham perusahaan tersebut

berdasarkan model Black-Scholes. Langkah awal melakukan rekapitulasi harga penutupan

saham perusahaan Ford Motor Company selama 1 tahun, untuk periode 1 Oktober 2010

sampai dengan 30 September 2011 secara berurutan n+1. Berikut ini adalah langkah-

langkah pengerjaan beserta hasil perhitungannya:

a) Menghitung ln return harga saham, diperoleh estimasi mean dari ln return saham

harian 0,000941721tR , estimasi variansi dari ln return saham harian

2 0.000543723s dan volatilitas dari data2252* 0.370159735.s

Nilai volatilitas ini merupakan nilai standar deviasi dari return saham tahunan

perusahaan Ford Motor Company untuk periode 1 Oktober 2010 sampai dengan 30

September 2011.

b) Selanjutnya dilakukan perhitungan harga opsi beli tipe Eropa untuk perusahaan Ford

Motor Company pada tanggal 6 Oktober 2011. Adapun rincian informasi yang

diperlukan untuk melakukan perhitungan tersebut adalah sebagai berikut:

a. Harga saham sekarang (S0) : 10,56($) b. Harga pelaksanaan (K) : 5, 6, 7, 8, dan 9($) c. Jatuh tempo (t) sampai dengan 21 Oktober 2011 : 15 hari d. Volatilitas ( ) : 0,370159735 e. Tingkat suku bunga bebas resiko (r) : 0,25% atau 0,0025, tingkat suku bunga

yang ditetapkan oleh bank sentral Amerika dan diakses langsung melalui

http://www.fxstreet.com/fundamental/interest-rate-table/



f. Harga opsi dipasar untuk harga pelaksanaan 5($), 6($), 7($), 8($) dan 9($) adalah 4,70($); 3,95($); 3,60($); 2,54($); dan 1,63($).

Berdasarkan informasi tersebut didapatkan perhitungan nilai 1 9,966911604d dan

2 9,891872374d

c) Selanjutnya dicari nilai N(d1) dan N(d2) dengan bantuan perintah NORMSDIST pada

software Microsoft Excel. Kemudian dihitung harga opsi beli tipe Eropa dengan

menggunakan model Black-Scholes yang hasilnya 5,560513672C

Dengan cara yang sama dapat harga opsi tipe Eropa untuk K yang berbeda seperti yang

disajikan dalam Tabel (2.1)

Tabel 2.1. Perhitungan Harga Opsi menggunakan Model Black-Scholes

Harga Saham

(S0) Harga

Kesepakatan(K) Waktu Volatilitas Harga Opsi

10,56 5 0,041096 0,370159 5,560514

10,56 6 0,041096 0,370159 4,560616

10,56 7 0,041096 0,370159 3,560719

10,56 8 0,041096 0,370159 2,560839

10,56 9 0,041096 0,370159 1,565237

Tabel 2.1 merupakan tabel perhitungan harga opsi menggunakan model Black-Scholes

dengan mengetahui masing-masing harga saham, harga kesepakatan, waktu, volatilitas,

dan suku bunga. Selanjutnya dengan mensubstitusikan seperti harga kesepakatan 5,

didapatlah harga opsi untuk harga kesepakatan 6, 7, 8, dan 9. Informasi yang tersaji pada

Tabel (2.1) diharapkan dapat menjadi acuan investor untuk membeli/menjual opsi beli.

Kemudian harga opsi yang dihitung dibandingkan dengan harga pasar dengan tujuan

untuk mengetahui seberapa besar perbedaan harga opsi hitung dan harga opsi yang

ditawarkan di pasar untuk dijadikan acuan investor dalam berinvestasi.

Tabel 2.2. Perbandingan Harga Opsi Black-Scholes dengan Opsi di Pasar

Harga

Kesepakatan Harga Opsi Beli

Black-Scholes Harga Opsi Beli Di

Pasaran Error

5 5,560514 4,7 0,740484

6 4,560616 3,95 0,372852

7 3,560719 3,6 0,001543

8 2,560839 2,54 0,000434

9 1,565237 1,63 0,004194

MSE 0,223907

Berdasarkan Tabel 2.2 harga opsi pada harga kesepakatan 5, 6, dan 8 sangat menarik

untuk dibeli. Hal ini disebabkan oleh harga opsi di pasar yang ternyata lebih murah

apabila dibandingkan dengan harga hitung Black-Scholes. Nilai hitung inilah yang

diharapkan bisa menjadi acuan untuk investor dalam membeli opsi. Dengan mengetahui

informasi tersebut diharapkan inivestor dapat meminimalisir kerugian atau memperoleh

keuntungan dari investasi pada opsi beli. Selanjutnya nilai MSE sebesar 0,223907,

diperoleh dari kuadrat selisih harga Black-Scholes dan harga opsi di pasar. Nilai MSE ini



digunakan untuk mengukur seberapa jauh model Black-Scholes dapat menaksi harga opsi

beli suatu asset.

Tahap selanjutnya adalah menghitung keuntungan jika melakukan pembelian terhadap

lima harga kontrak opsi. Opsi yang jatuh tempo pada tanggal 21 Oktober 2011

menunjukkan peningkatan pada harga saham, menunjukkan jika melakukan pembelian

opsi beli maka kita akan memperoleh keuntungan. Harga saham naik menjadi 12,26 dari

harga saham semula sebesar 10,56 berarti jika tanpa melalui transaksi opsi akan

memperoleh keuntungan sebesar 1,7($). Tabel 2.3 menunjukkan keuntungan pembelian

opsi.

Tabel 2.3. Keuntungan Membeli Opsi

Harga

Kesepakatan Harga Opsi di

Pasar Harga Saham Saat Jatuh

Tempo Keuntungan/

kerugian

5 4,7 12,26 2,56

6 3,95 12,26 2,31

7 3,6 12,26 1,66

8 2,54 12,26 1,72

9 1,63 12,26 1,63

Dari Tabel 2.3 terlihat bahwa keuntungan yang diperoleh dari pembelian opsi untuk harga

kesepakatan 5, 6, dan 8 lebih besar dibandingkan dengan pembelian harga opsi untuk

harga kesepakatan sebesar 7 dan 9. Hal ini disebabkan karena opsi dengan harga

kesepakatan 5, 6 dan 8 adalah opsi murah.

3. KESIMPULAN Adapun beberapa kesimpulan yang diperoleh melalui penelitian ini adalah:

1. Penyelesaian dari rumus harga opsi beli tipe Eropa untuk model Black-Scholes dipengaruhi oleh harga saham, harga kesepakatan, waktu, suku bunga, dan

volatilitas.

2. Dengan menerapkan model Black-Scholes, harga opsi beli tipe eropa untuk opsi saham perusahaan Ford Motor Company dengan harga kontrak 5, 6, 7, 8, dan 9

berturut-turut adalah 5,560514; 4,560616; 3,560719; 2,560839; dan 1,565237.

3. Pembelian opsi saham perusahaan Ford Motor Company dengan harga kesepakatan 5, 6, dan 8 ternyata cenderung menguntungkan, karena opsi beli

tersebut merupakan opsi murah.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Bain, L.J. and Engerhardt, M., 1992, Introduction to Probability and Mathematical

Statistics, Second Edition, Duxbury Press, California.

[2] Black, F. and Scholes, M., 1973, The Pricing of Options and Corporate Liabilities,

The Journal of Political Economy, Vol. 81, No. 3. (May June., 1973), pp. 637-654.

[3] Dickson, D.C.M.; Hardy, M.R., and Waters, H.R., 2009, Actuarial Mathematics for

Life Contingent Risks, Cambridge University Press, New York.



[4] Hull, J.C., 2006, Option, Futures and Other Derivatives, Sixth Edition, Prentice Hall, New Jersey.

[5] Husnan, S., 2000, Manajemen Keuangan, Edisi 4, BPFE-Yogyakarta, Yogyakarta.

[6] Lee, C.F.; Tzeng, G.H., and Wang, S.Y., 2005, A new application of fuzzy set

theory to the BlackScholes option pricing model, The Journal of Finance, Vol. 29, pp. 330-342.

[7] Norstad, J., 2005, Black-Scholes the Easy Way, Northwestern University,

http://www.norstad.org/finance/bseasy.pdf, Tanggal Akses: 4 April 2011.

Documents

351-360_Revisi Neva Satyahadewi +4+64+97+